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Taller de Papiroflexia Matemática Francisco Maíz Jiménez1
IES Dionisio AguadoFuenlabrada, Spain
Sumario¿Hacia quien va dirigido este taller?El presente taller de papiroflexia matemática está preparado para profesores de matemáticas de secundaria y primaria. También es recomendable para profesores que trabajen con alumnos problemáticos o desmotivados.
Motivación del tallerEl uso del papel como elemento accesible y cotidiano para los alumnos hace del origami una herramienta a tener en cuenta en la enseñanza de las matemáticas. Las actividades son muy llamativas y entretenidas tanto para los alumnos como para el profesor. Además los alumnos comprueban que lo aprendido en la clase de matemáticas no es algo irreal, sino tangible y que efectivamente se usa en la vida cotidiana.
Introducción Desarrollo de habilidades y valores:
Percepción:Tamaño y escalas. Utilizando diversas medidas de papel en figuras o modulares.Composición: combinando elementos de diversa o similar naturaleza para producir efectos complejos.Transición del plano al espacio: la educación transcurre normalmente en el plano, donde escribimos, dibujamos, etc. Pero el mundo que nos rodea es tridimensional (desde la perspectiva de la geometría clásica). Al plegar el papel agregamos una nueva dimensión a nuestro trabajo.La mayoría de las piezas utilizan la simetría, difícil de explicar teóricamente y mucho más en el caso de simetrías espaciales.
Motricidad fina:La manipulación de papel requiere poder de observación, cuidado en los detalles, diversos grados de fuerza en los pliegues y perfección en los mismos.
Valores individuales y sociales:Autoestima: una pieza de papiroflexia que logramos nos llena de satisfacción; hemos tenido que superar obstáculos, comprender manipulaciones complejas, tolerar la frustración y aplicarnos. Además tiene un efecto inmediato sobre el entorno, ya que si un niño ve a otro terminando una figura de papiroflexia, normalmente le preguntará cómo lo ha hecho y querrá hacerlo por él mismo.
Colaboración y trabajo en equipo: Aún con plegados muy sencillos pueden lograrse efectos espectaculares si todos unen sus módulos en la creación de una obra compleja. Los resultados pueden ser tan atractivos que se destinen a decorar el aula, o la escuela, con el consiguiente incremento de la valoración social del trabajo.
Definición e Historia de la PapiroflexiaLa papiroflexia es el arte de construir figuras doblando papel. Las reglas ortodoxas impiden usar pegamento o tijeras y
1 Instituto GeoGebra de Cantabria, www.geogebra.es
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se parte de un único trozo de papel cuadrado.La Historia de la papiroflexia comienza con el invento del papel en China en el siglo I-II dC y llega a Japón en el siglo VI dC. La papiroflexia surgió en Japón, donde se denomina “Origami”. En principio era exclusivamente para las clases más privilegiadas,ya que el papel era un artículo muy costoso.Otro hito importante en la Historia de la papiroflexia es la incorporación de la simbología actual de instrucciones de plegado inventado por Akira Yoshizawa (1956). Este sistema hace entendibles los modelos independientemente del idioma.Una ramificación de la papiroflexia moderna es la papiroflexia modular, en la que se pliegan varias piezas independientes para acabar encajándolas.
Papiroflexia y MatemáticaLa papiroflexia está íntimamente ligada a las matemáticas.Algunos alumnos pueden encontrar dificultades en la comprensión de conceptos geométricos tales como: punto medio, mediatriz, bisectriz, simetrías, semejanzas... Sin embargo, usarán estos conceptos abstractos de forma intuitiva en el plegado de una construcción.
Ejemplo: suma de ángulos de un triángulo.
Ejemplo: triángulos semejantes en el primer teorema de Haga.
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Los aspectos fundamentales que vamos a desarrollar en la relación entre papiroflexia y matemáticas son:
1.- Números: Construcción de puntos y rectas. Construcción de números. Fracciones. Raíces cuadradas. Trisección de un ángulo
2.- Lugares geométricos: Parábola, elipse, hipérbola, paraboloide hiperbólico.3.- Polígonos: Cuadrado, rectángulo áureo. Triángulo equilátero, hexágono, pentágono.4.- Poliedros: (origami modular). Clasificación de mólulos
4.1. Sólidos platónicos4.2. Sólidos arquimedianos y estrellados. 4.3. Simetrías.4.4. Dualidades.4.5. Estudio de la fórmula de Euler.
5.- Avanzados: Preparación de los dobleces mediante programas CAD o GeoGebra
1. Numeros: Construcción de puntos y rectas. Construcción de números. Fracciones. Raíces cuadradas. Trisección del ángulo
Constructibilidad de puntos y rectas:De forma análoga a los axiomas de constructibilidad con regla y compás, la papiroflexia cuenta con su propia axiomática (axiomas de Huzita):
(O1) Dados dos puntos P1 y P2 podemos construir la línea que los une.
(O2) Dados dos puntos P1 y P2 podemos llevar P1 a P2 (construyendo su mediatriz)
(O3) Dados dos líneas L1 y L2 podemos llevar L1 a L2 (construyendo su bisectriz)
(O4) Dados un punto P1 y una línea L1, podemos construir una perpendicular a la línea L1 pasando por el punto P1.
(O5) Dados dos puntos P1 y P2 y una línea L1 podemos llevar P1 a la línea L1 mediante un doblez que pase por P2. Dicho doblez es una línea constructible.
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(O6) Dados dos puntos P1 y P2 y dos líneas L1 y L2 podemos hacer un doblez que lleve P1 a L1 y P2 a L2. Dicho doblez es una línea constructible.
Recientemente ha sido añadido un 7º axioma por Atori:
(O7) Dados un punto P1 y dos líneas L1 y L2 podemos hacer un doblez perpendicular a L2 y que lleva P1 a L1. Dicho doblez es una línea constructible.
Los axiomas del 1 al 5 construyen el mismo conjunto de puntos que los construidos con regla y compás (hasta ecuaciones cuadráticas).El axioma 6 permite la construcción de ecuaciones cúbicas.
Construcciones de númerosFácilmente se pueden construir números enteros, números fraccionarios (sobretodo los que tienen por denominador potencias de 2). Veamos un ejemplo con otras fracciones:
Ejemplo: ½ y 2/3
También es fácil construir raíces cuadradas.
Ejemplo: rectángulo áureo
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No obstante, la auténtica potencia de la papiroflexia está en usar su 6º axioma, que resuelve dos de los problemas clásicos en matemáticas: la duplicación del cubo y la trisección de un ángulo:
Ejemplo: duplicación del cubo.
Ejemplo: trisección de un ángulo
2. PolígonosLa papiroflexia nos permite la construcción de polígonos regulares tales como: triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, heptágono...
Ejemplo: pentágono-nudo
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3. Lugares GeométricosAunque a primera vista parece que las construcciones en papiroflexia no pueden representar curvas, podemos expresarlas mediante envolventes.
Ejemplo: parábola
Ejemplo: elipse Ejemplo: hipérbola
Ejemplo: paraboloide hiperbólico
Este último ejemplo nos lleva a la 3ª dimensión, donde las figuras más representativas son los poliedros.
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4. PoliedrosAunque existen algunas construcciones con una sola hoja de papel, en general se suelen usar módulos para la construcción de poliedros. Estos módulos pueden clasificarse en tres grupos:
a) Según sus caras. Suelen ser los más débiles, pero más fácilmente reconocibles.
Ejemplo: cubo
b) Según sus aristas. Son muy fuertes, pero el encaje de los módulos es muy complejo.
Ejemplo: tetraedroc) Según sus vértices.
Ejemplo: dodecaedro Ejemplo: octaedro
Los tipos de construcciones que podemos hacer nos permiten el estudio de:
4.1. Sólidos platónicos (como los ejemplos vistos anteriormente)4.2. Sólidos arquimedianos y estrellados.
Ejemplos: rombocubioctaedro, octaedro estrellado, icosaedro estrellado
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4.3. Simetrías.
Ejemplos: esqueleto octaedro, planos de simetría del cubo
4.4. Dualidades.
Ejemplos: cubo-octaedro, dodecaedro-icosaedro
4.5. Estudio de la fórmula de Euler. Los poliedros construidos nos permiten estudiar la fórmula de Euler (C+V=A+2) y comprobar cuándo se cumple.
Ejemplo: toro cuadrado no equivalente topológicamente a una esfera
5. Avanzados: Preparación de los dobleces mediante programas CAD o GeogebraLa preparación de las imágenes inicialmente las hice con programas de dibujo técnico y de arquitectura CAD (un programa con licencia GNU y sencillo en su uso es Qcad). Pero en la actualidad realizo las imágenes con GeoGebra, ya que además de realizar las construcciones desde el punto de vista de dibujo técnico, permite el estudio matemático e incluso se pueden realizar demostraciones y animaciones.En la actualidad existen numerosos estudios matemáticos acerca de la papiroflexia y las MV-asignaciones de dobleces.También existen programas informáticos que realizan las marcas de plegado para las construcciones de papiroflexia.El más conocido es TreeMaker:
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ConclusionesLa papiroflexia contribuye al desarrollo de habilidades tales como Percepción espacial y Motricidad fina; así como valores individuales y sociales.
Hemos estudiado la relación entre papiroflexia y matemáticas y algunos de sus principales puntos de encuentro.
Finalmente hemos señalado la posibilidad de incorporar las nuevas tecnologías, destacando el uso de GeoGebra, en la papiroflexia.
Referencias bibliográficas
Las construcciones hechas con GeoGebra pueden visitarse en la siguiente dirección de carpeta de GeoGebra Upload:
http://www.geogebra.org/en/upload/index.php?&direction=0&order=&directory=fmaizjimenez/spanish/Papiroflexia
En la siguiente dirección se desarrolla la papiroflexia matemática usando GeoGebra (es una unidad didáctica del seminario de GeoGebra de Madrid geogebramad):http://geogebramad.wikispaces.com/Unidad+did%C3%A1ctica+17
Página web de la Asociación Española de Papiroflexia, http://www.pajarita.org
Hull,T. “Project Origami. Activities for Explorin Mathematics”, A.K.Peters, Ltd (Wellesley, Massachusetts, 2006)
Lang, R. “Origami and Geometric Constructions” (1996-2003)
Royo, J.I. “Matemáticas y Papiroflexia”, Sigma Nº21 Octubre 2002
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