papiroflexia y geometría

Papiroflexia: geometría en el papel plegado.

Pr

of.

Elm

er

Ro

lan

do

ES

TR

EL

LA

GR

IMA

LD

O

Geometría en el papel plegado

PAPIROFLEXIAEl mundo maravilloso del papel plegado y su aplicación en la matemática.

030

r = 1

½½ sE O

D

o

30

X

O

D

E0

30 r

= 1½

½s

Fig

. 22

La Paloma

Elroesgri


Pr

of.

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do

ES

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EL

LA

GR

IMA

LD

O

01

PUNTO, RECTA, LINEA Y PLANO.

1. PUNTO.-

Es una representación abstracta (idea) que solo podemos relacionarlos con los demás elementos geométricos. Es así como podemos menciona que, cuando dejamos caer un lapicero sobre una hoja de papel, la huella dejado nos hacer referencia de un

2. RECTA.-Si plegamos una hoja, podemos decir que estamos representando una recta; es así que, dos puntos determinan una recta.

A

B

Fig. No 01

PAPIROFLEXIA, es el arte de hacer figuras reconocibles utilizando papel plegado. Si relacionamos el término Papiroflexia con origami, podemos mencionar que ambos términos tiene un mismo significado, siendo el segundo un término japones, y entendiendo que este técnica tiene sus orígenes en Japón. Cuando plegamos una simple figura como puede ser un avión, pajarito, etc; en ella queda impresos una serie de líneas, que al cortarse forma un sin número de ángulos y de polígonos regulares e irregulares. Entonces estamos hablando de la relación íntima que tiene del origami con la matemática.

En Papiroflexia, existen axiomas que demuestras como la bisectriz de un ángulo, líneas paralelas, etc. Además podemos mencionar que plegando papeles se construyen desde un simple triángulo, hasta un complejo polígonos regulas como el toro modular. Para muchas personas el plegar papel es un simple pasatiempo, pues para los que miras de otro perspectiva el plegar papeles es un arte que ayuda a perfeccionar el movimiento motriz fina de la manos y además ayuda a cultivar la inteligencia espacial y el razonamiento lógico matemático.

PAPIROFLEXIAEl mundo maravilloso del papel plegado

Punto

.A

DenotadoEs una

No es Se lee

Objeto real Punto A

Idea

LaRecta

Como Solo

Conjunto de puntos

2 puntosdeterminan

la recta

A y Bpuntos

RectaAB

Se lee

Sean

3. LINEA.-

Es un elemento geométrico que está compuesto de un conjunto de puntos alineados en sus dos sentidos. Si plegamos una hoja de papel, en ella queda representado una línea que puede ser de acuerdo a sus clases.

Elroesgri


02

3.1. CLASES DE LINEAS.-Tomamos una hoja de papel, construimos un avión; luego desplegamos y en el la queda plasmado las clases de l íneas. Fig. 02

Fig. 02

Lín

ea cu

rva

Línea recta

)s

at cer y Línea mixta (curvas

Línea quebrada (dos o más rectas)

4. PLANO.-Podemos decir que una hoja de papel nos da una idea de un plano. Existen varios planos, cuando plegamos una hoja de papel en cuatro; en tonces podemos decir que en ella hay cuatro planos. Fig. 03

P

P

P

P

1

2

3

4

Fig. 03

El Avión

Línea

SusConjunto

De puntosalineados

En sus dossentidos

Una mismadirección

Son

Clases

Recto Curvo Quebrado Mixto

Po

rcion

es ed

Conjunto

SegmentoRecto

2 o másRectas

Carece

IndefinidosEn

Plano

Tres puntosno alineados

Determinan Existen

Plano P

P

Planoilimitados

Representa

Se lee

Angulo

Dos semi rectascon mismo origen

Angulo AOB Clasifican

Magnitud Característica Posición

Forman

SusDenota

Se

Según su

Lados: OA y OB

Elementos

Vértice O

Dos rayos

Son

Son

Interse

ed nói cc

ANGULOS.

Pr

of.

Elm

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Ro

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do

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GR

IMA

LD

O

Elroesgri


03

La Taza

Una vez construido la taza de papel, hemos desplegado la hoja y en e l la apreciamos e l ángulo AOB, que deja la marca al plegar la hoja, y ademas existen varios ángulos. Fig. 04.

1. CONCEPTOS.-A. Es la figura formado por dos rayos (o líneas) trazados desde un mismo punto.B. Cada uno de las dos regiones ilimitadas en que queda dividido un plano cuando dos rayos

(semirectas) parten desde un mismo punto.C. Porción del plano determinado por dos semirectas con origen común.Cuando plegamos una hoja de papel para realizar cualquier figura, en ella encontramos un sin número de rectas, los cuales al intersectarse forman ángulos de distintas medidas y clases.A continuación cogemos un papel en forma de cuadrado para construir una taza, luego desplegamos y en ella se grafican lo que es un ángulo.

B

A

O

Concepto:

Lados OB, OAVértices O.

Formar dos semirectascon un mismo origen

* Según su posición

* Según su característica

* Según su magnitud

Clasifican:

Angulos agudosAngulos RectosAngulos obtusos

Angulos nulos

Angulos Convexos.

Angulos llanosAngulos Cóncavos.Angulos de vuelta.

Elementos:

Angulos complementariosAngulos suplementarios

Angulos consecutivosAngulos adyacentesAngulos opuestos por el vértice.

Angulo

2. CLASIFICACION.-L o s á n g u l o s s e clasifican es según su:Magnitud.Característica.Posición.Tomanos los pliegues b á s i c o s o fundamentales de la figura la Tetera de papel, para ver las clases de ángulos, como se muestra en la figura 05.

Angulos = 180

0

Angulos = 360

0Son

Tenemos los

Son

Angulosde 0

0

Angulo llano

Angulos de vuelta

Angulo

Cóncavo

Angulo nulo

Son

Rectos = 90

0

Obtusos

< de 900

Agudos > 90

0

Tenemos

2.1.-

Angulos > 180

0

Angulos < 360

0

Tenemos

Y

Angulos

Cóncavos

Angulo

Convexo

Según su magnitud

O

A

B

Angulo AOB

Fig. 04

α

Pr

of.

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Ro

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do

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LA

GR

IMA

LD

O

Elroesgri


04

=360

<90

=90

=1

80

<360

Fig. 05

Los ejemplos de clasificación de los ángulos según su carac-terística y posi-ción, presenta-mos en la figura de la paloma d e p a p e l , e n d o n d e identificamos los ángulos c o m p l e m e n t a r i o s y suplementario, consecutivos, adyacente y opuestos por el vértice; en la Fig. 06.

La Tetera

α+β = 90o

Complementarios

Sumados sus dosángulos dan 90o

Cuando

Sea

Según su Característica

α+β = 180o

Tenemos

Sea

2.2.-

Suplementarios

Sumados sus dosángulos dan 180o

Cuando

Angulo = Angulo α β

Angulos opuestospor el vértice

AngulosAdyacentes

Angulos consecutivos

Según su posición

Tenemos los

Vértices y ladocomún

Lados no comunesy rayos opuestos

Lados de uno sonsemirectas opuestos de los lados del otroEntonces

Tienen TienenTienen

2.3.-

α + β =180º (ángulos suplementario) δ + λ =90º (ángulo complementario) π = ω (ángulos opuestos por el vértice)

Fig. 06

La Paloma

3. BISECTRIZ DE UN ANGULO.-

La bisectriz es una semi recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales, de tal modo que cada ángulo representa la mitad del ángulo original, Fig. 07.

α

β

ω

π

λ

δ

Pr

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IMA

LD

O

Elroesgri


052

4. ANGULOS FORMADOS POR DOS PARALELAS CORTADOS POR UNASECANTE.-

L1

L2

1 23 4

5 67 8

Fig. 08

De los ángulos alternos externos son iguales. En la Fig. 08:1=8 y 2=7.De los ángulos conjugados internos son suplementarios. En la Fig. 08.: 3+5=180º y

4+6=180ºDe los ángulos conjugados externos son suplementarios. En la Fig. 08.:1+7=180º y

2+8=180º

De los pliegues básicos o fundamentales de la Paloma de papel se toma una cuarta parte de la hoja como ejemplo para identificar los ángulos formados por dos paralelas cortados por una secante; de los cuales podemos apreciar en la figura Nro. 08.De los ángulos correspondientes son iguales. En la

Fig.08 : 1=5, 2=6, 3=7 y 4=8.De los ángulos alternos internos son iguales. En la

Fig. 08: 3=6 y 4=5.

Bisectriz de un ángulo

Es unasemi recta

Origen en elvértice del ángulo

Divide al ángulode 2 ángulos congruentes

Es

Tiene Que

Suplementarios

Dos rectasparalelas

Por unasecante

1 2

3 4

6

7 8

5

Angulos conjugados internos

Son Tales

IgualesAnguloscorrespondientes

Son Tales 1 = 5 ; 3 = 72 = 6 ; 4 = 8

3+5 = 1804+6 = 180

TalesIgualesAngulos alternos

internosSon Angulos 3 = ángulo 6

Angulo 4 = ángulo 5

IgualesAngulos alternos

externosSon Tales Angulo 1 = ángulo 8

Angulo 2 = ángulo 7

Tenemos los

Cor

tado

s

SuplementariosAngulos conjugadosexternos

Son Tales 1+7 = 1802+8 = 180O

O

O

O

POLIGONOS.CONCEPTO.- Un polígono esta conformado por más de dos líneas poligonales cerrada; por eso, debemos mencionar que el polígono que posee de mínimo de lados y ángulos es el triángulo, que tiene tres lados y tres ángulos. El polígono de n lados, siempre y cuando n>2; es la circunferencia que tiene infinitos lados. A continuación presentamos un esquema de diagrama de llaves y un mapa conceptual sobre los polígonos (concepto, elementos y clasificación).

Bisectriz

Bise

ctriz

Fig. 07

Pr

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Elroesgri


062

Concepto

Elementos

Clasifican

Porción del plano limitado por unalínea poligonal cerrada.

LadoVérticeAngulos interioresAngulos exterioresDiagonales yPerímetro

1.- Por le número de lados o ángulos.

2.- Por su convexidad

3.- En función a sus lados y ángulos.

4.- Por su relación con la circunferencia

TriánguloCuadrado.N-ágonos

ConvexoCóncavo

EquiláteroEquiánguloRegular

Inscrito en unacircunferenciaCircunscrito en unacircunferencia.

PO

LIGON

OS

Por el número delados o ángulos

El Número de ladosigual al número

de ángulos

Cuadrilátero

Pentágono

N-ágonos

Por suconvexidad

Cóncavo

Convexo

Cruzado

Paralelogramo

Trapecio

Trapeziode

En función a suslados y ángulos

Regular

Equilátero

Equiángulo

Por su relación con la circunferencia

Inscrito

Circunscrito

Lados

Vértices

Ang. Interiores

Diagonales

Perímetro

Ang. Exteriores

Polígono

Porción del planolimitado por una línea

poligonal cerrado

EsS

us

part

es

Se clasifican

Tenemos TenemosTenemos Tenemos

Tenemos

Tenemos

EsCuandoT

riángulo

TRIANGULOS.1. CONCEPTO.-

Es la porción del plano común a tres ángulos coplanarios que tienen dos a dos un lado común.

Es la porción del plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos. Figura geométrica formado por tres rectas que se cortan dos a dos. Polígono plano formado por tres lados y tres ángulos.

2. CLASIFICACION.- De los triángulos lo desarrollaremos en talleres siguientes:2.1. Según sus lados:A.- Construcción de un triángulo equilátero. Fig. 09

Pr

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Elroesgri


07

B.- Construcción de un triángulo isósceles. Fig. 11, 10 y 07.En los pliegues básicos de la mesa de papel (Fig. 10), Fig. 07 y Fig. 11 encontramos varios triángulos isósceles y los lados congruentes son: AB = BC del triángulo ABC y DF =EF del triángulo DE.

Fig. 07

==

La mesa

1ro

2do

=

=

4to

Fig. 11

3ro

BC

A

AB=BC deltriángulo ABC

C.- Construcción de un triángulo escaleno. Fig. 12.

Teniendo como base un papel de forma cuadrada, se ha construido las Cinco fases para plegar un cuadrado; de ello tomamos los pliegues básicos para identificar al triángulo escaleno que tiene sus tres lados y ángulos que no son congruentes. En la figura Nro. 12 apreciamos 14 triángulos escalenos; siendo uno de ellos el triángulo ABC.

Triángulo

Porción del plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos.

Es

Clasifican

Sus ángulosSus ladosTenemos

Isósceles

2 án

gulo

s =

Eq

uilátero

3 lad

os =

Escalen

o3 án

gulo

s =

Tenemos

Acutángulo

Obtusángulo

Rectángulo

3 Ang. A

gudos <90

1 Agn. O

btuso >90

1 Ang. R

ecto = 90

Tenemos

Tenemos

Según

Notación

TriánguloABC

ABC

Se denota

Se lee

Elementos

Vértices A

, B, C

Lados A

B, B

,A, C

A

Ang. Int.

Ang. E

xt. , ,

, ,

Son

SeSusSu

A continuación tomanos un papel que tenga un figura rectangular, para construir un triángulo isósceles, teniendo cuatro procedimiento que a continuación detallamos.

1ro

3ro

2do

Fig. 09

=

=

=

4to

C

En los pliegues básicos de la mesa de papel (Fig. 10), Fig. 07 y Fig. 11 encontramos varios triángulos isósceles y los lados congruentes son: AB = BC del triángulo ABC y DF =EF del triángulo DE.

==

==

A

B

D

F

E

Fig.10 Pr

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08

A

BCFig. 12

Cinco fases para plegar un cuadrado

2.2. Según sus ángulos:A.- Construcción de un triángulo acutángulo: Fig. 13

C.- Construcción de un triángulo rectángulo: Fig. 13

B.- Construcción de un triángulo obtusángulo: Fig. 13

AB

C

Fig. 13

D

E

F

GH

De la Fig. 13 (Cinco fases para plegar un cuadrado), apreciamos l o s s i g u i e n t e s t r i á n g u l o s clasificados según sus ángulos: Triángulo acutángulo GFH

(tres ángulos agudos o sea menores que 90º).

Triángulo obtusángulo ABD (un ángulo obtuso o sea mayor que 90º)

Triángulo rectángulo ECD (un

3. TEOREMAS FUNDAMENTALES:

A. La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo de igual a 180º O sea que α + β + ϕ = 180º

Cogemos una hoja de papel de cualquier y plegamos un triángulo sin importar su medida ni clasificación; una vez construida procedemos a recortar, por las líneas dejados al hacer los pliegues, de tal modo quedando solo el triángulo. Fig. 14

A

C B

A

CB

A

C B

AC B

ACB

AC B

1ro 2do 3ro

4to 5to 6to

Fig. 14

A

CB

Fig. 15X

Y

Z

B. Cualquier ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. Demostramos en la Fig. 15.

Del triángulo ABC, tenemos sus ángulos exteriores X ,Y y Z.

X = β + ϕ Y = α + ϕ Z = α + β

C. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo cualquiera es igual a 360º . De la Fig. 15 hemos invertidos los colores, teniendo como ángulos exteriores X, Y y Z.

Luego procedemos a cortas lo mencionados ángulos para luego juntarlos como indica la figura y queda demostrados.

ángulo recto 90º

Pr

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09

A

CB

Fig. 15X

Y

Z

X+Y+Z=360

X

YZ

D. En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen los ángulos iguales Fig. 11. Para demostrar este teoremas, es necesario plegar haciendo coincidir el vértice A con el

vértice C. De ahí podemos decir que los ángulos α = β, que se oponen al vértice B o al ángulo ϕ.

4. LINEAS NOTABLES EN UN TRIANGULO:A. ALTURA.- Distancia medida perpendicularmente desde la base de una figura o cuerpo desde el

punto que se halle más alejado de la base. Es el segmento perpendicular desde una de los vértices al lado opuesto o a su

prolongación.

Utilizando un triángulo cualquiera, trazamos la altura plegando del vértice A hacia CB; del mismo modo trazamos plegando las demás alturas de los vértices B y C, como indica en la Fig. 16.De los pliegues realizados tenemos las alturas h’, h’’ y h’’’ y un punto O en donde las tres alturas se cortan; e s e p u n t o s e l l a m a Ortocentro.

A

BC

A

CB

A

BC

A

BC

O

Fig. 16

h’’

h’’’

h’

h’

1ro

2do

3ro 4to

B. BISECTRIZ.- Es un segmento que divide a un ángulo del triángulo en dos ángulos iguales; pero teniendo un mismo vértice con los restos de los ángulos.

Trazados las bisectrices de los tres ángulos del triángulo ABC como indica en la Fig. 17, todos ellos se intersectan en un punto llamado Incentro (punto medio de la circunferencia).

Fig. 17

A

BC

1ro

A

C

B

2do

A

BC

’

3ro

A

BC

O

’

’ ’

= ’= ’= ’

4to

=

=

Fig. 11

BC

A

AB=BC del triángulo ABCentonces, =

β

Pr

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10

C. MEDIANA.- Es el segmento que une un

vértice del triángulo con el punto medio del lado puesto.

Trazados las medianas de los tres ángulos del triángulo ABC como indica en la Fig. 18, todos ellos se intersectan en un punto llamado Baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo.

A

BC

1ro A

BC

3ro

BC

A4to

=

=O

A

C

B

2do

A

BCA

BC

Fig. 19

1ro

3ro

B

4to

A

CB

2do

A

C

=

=O

5. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS:Dos o mas triángulos con congruentes cuando al superponerlos, todos sus lados y ángulos coinciden. Veamos la Fig. 20.

A B

CD

E

F

G

H

O O

B G

E

A

CD

F

H

Fig. 20

Hemos plegado una hoja de forma cuadrada, en la cual existen varios triángulos (isósceles). Seguidamente hacemos coincidir el vértice B hacia el vértice D ; en ésta superposición tenemos varios triángulos congruentes como: AOE=AOF, EOD=BOF, DOH=BOG, COH=GOC, AOD=AOB, DOC=BOC y ADC=ABC.

6. BASE MEDIA DE UN TRIANGULO:Toma un papel y construya un triángulo ABC y

luego recórtalo.Trazar la mediatriz del segmento CB, obteniendo el

punto medio k.Trazar la mediatriz del segmento AB, obteniendo

el punto medio N.Al segmento AB trazar la altura hacia el vértice C,

obteniendo el punto g.Realice un pliegue, de tal modo que el vértice C

coincida con el punto g, teniendo como resultado el segmento Mk, y

Finalmente realice un pliegue desde el punto M hacia el punto N, obteniendo el segmento MN que viene a ser el Base Media del triángulo ABC; donde MN=Ck =kB, entonces MN=CB/2.

A

BC

M N

g

k

Fig. 21

Es la recta perpendicular a un lado, trazado desde su punto medio.

Trazados las mediatrices de los tres lados del triángulo ABC como indica en la Fig. 19, todos ellos se intersectan en un punto O llamado Circuncentro (punto medio de la circunferencia inscrito el triángulo ABC).

D. MEDIATRIZ.-

Fig. 18

Pr

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11

6. TEOREMA DE PITÁGORAS:Construimos una triángulo equilátero circunscrito a una circunferencia (según la Fig. 22), de lo cual extraemos un triángulo EOD, y traza la altura del segmento ED hacia el vértice O, y además teniendo como radio r=1. Del teorema de Pitágoras procedemos a resolver la

2 2 2.ecuación h =x +xUna vez resuleta la ecuación procederemos a hallar las seis funciones trigonométricas

0 0del ángulo de 30 y de 60 del triángulo AOD.

A

B C

O

D

E

0

30 r

= 1½

½s

030

r = 1

½½ sE O

D

o

30X

Fig. 22

Hallando uno de los catetos del triángulo r e c t á n g u l o E D S , utilizando el Teorema de Pitágoras.

Una vez hallando el cateto, ahora hallamos las funciones

0trigonométricas de 30 .

Una vez hallando el cateto, ahora hallamos las funciones

0trigonométricas de 60 .

En la Fig. 23, podemos apreciar un cuadrado que tienen varios pliegues, de los cuales una circunferencia está circunscrito al cuadrado, esto no ayudará a identificar la radio r=1, para

o hallar las funciones trigonométricas del ángulo de 45

2

2

112

222

222

h

h

h

bah

2

245

2

1450

��

Sen

2

245

2

145

�

/ AD

Cos

145

1

145

�

�: �

Tan

Fig. 23

r =

1

r = 1C

A

B

r =

1

r = 1C

A

B

h

h

CUADRILATEROS

1. CONCEPTO.- Es todo polígono de cuatro lados y cuatro ángulos; es cuadriláteros

pueden ser cóncavos o convexos. La suma de sus ángulos interiores de un cuadrilátero es o

360 .

2

2

2

222

222

4/3

4/11

4/11

)2/1(1

x

x

x

x

bah

2130

12

130

�

��

Sen

2330

12

330

�

/ AD

Cos2

360

12

360

�

��

Sen

2

160

12

160

�

/ AD

Cos360

2

3260

21

23

60

�

�: �

Tan

Tan

3330

32

230

232

130

�

�: �

Tan

Tan

x

x

4

3

4

3

2. CUADRILATEROS CONVEXOS:

CLASES DE CUADRILATEROS:Los cuadriláteros se clasifican en: Paralelogramos (rectangulares y oblicuos), Trapecios (escalenos, isósceles, rectángulos y equiláteros)y Trapezoides.

Pr

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IMA

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12

Cuadrilátero

Polígonos de4 lados

Elementos

VérticesA, B, C y D

< Int. , ,1 2

y 3 4

< Ext. , ,1 2

y 3 4

Lados AB,BC,CD y AD

Clasifican

Cóncavo

Cruzado

Convexo

Son Se Sus

En

Son

CONSTRUCCION DE POLIGONOS REGURALES CONVEXOS CON EL METODO DE PAPIROFLEXIA

1. TRIÁNGULOS EQUILÁTERO:1. Coge una hojas que tenga la forma de un rectángulo ABCD, realiza un pliegue, por la

mitad, de tal modo que el vértice A coincida con el vértice D y B con C, obteniendo el segmento ST. (1er).

2. Coge el vértice A y realiza un pliegue, de tal modo que coincida en un punto del segmento ST y que pase por el vértice C, obteniendo el segmento DE. (2do).

3. Seguidamente coge el vértice B y realiza un pliegue, de tal modo que coincida con el segmento DE, obteniendo el segmento EF (3er), y finalmente despliegue los dobleces y tendremos el triángulo equilátero DEF. Fig. 24.

Fig. 24

1er

C

T

A B

D

S

3er

CD

T

E

F

2do B

CD

T

E

S

A

E

F

=

=

B

CD

S T

A

=

4to

A. Cuadrado: 4 lados iguales y c/u de sus0

4 ángulos mida 90 .B. Rectángulo: es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos iguales y rectos y sus lados opuestos iguales dos a dos.

A. Rombo: lados iguales y paralelos, sus ángulos iguales de dos a dos y una y diagonal perpendicular.B. Romboide: sus lados paralelos entre si dos a dos, formados por 2 ángulos obtusos y 2 agudos.

1. Rectangulares:

2. Oblicuos:

I. Paralelogramos:

II. Trapecios:

III. Trapezoides:

1. Escaleno: Tiene lados no paralelos.2. Isósceles: Lados no paralelos iguales.3. Rectángulos: Es aquel que tiene 2 lados rectos.4. Equilátero: Es aquel que tiene 3 lados no paralelos iguales.

1. Asimétricos: Es aquel que no tiene ninguna simetría.2. Simétricos: Si uno de sus diagonales es mediatriz de otro.

2. CUADRADO:Cogemos una pedazo de papel que contenga una figura geométrica irregular y sigue los procedimientos:1. Pliegüe una recta AB.2. Pliegüe una recta perpendicular a AB, iniciando por el punto A, entonces tenemos la

Pr

of.

Elm

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Ro

lan

do

ES

TR

EL

LA

GR

IMA

LD

O

Elroesgri


13

recta AC y el ángulo CAB.3. Del ángulo CAB traza su bisectriz.4. Pliegüe una recta perpendicular a AC, iniciando por el punto C, notamos que la recta y la

bisectriz del ángulo CAB se intersectan, a ese punto llamamos punto D, entonces ya tenemos la recta DE.

5. Pliegue una recta perpendicular a CD, iniciando por el punto D. Notamos que la perpendicular de intersectan en un punto con la recta AB, a ese le llamamos punto E, entonces tenemos la recta DE. Obteniendo el cuadrado ACDE. Fig. 25.

C

A B

D

E

A B

DC

AB

A

B

CD

C

A

D

E B

A B

Fig. 25

1er 2do 3er

4to5to 6to

3. PENTÁGONO:Utiliza un papel tipo tira y luego haga un nudo de la siguientes manera.

Utilizando la tira de papel, con el procedimiento uno ARRIBA y dos ABAJO consecutivamente, construiremos un pentágono. Fig. 26.

4. EXÁGONO:

1ro

2do

4to 5to

Utiliza un papel tipo tira, utilizando el Algoritmo “Pliegue y Tuerce” construiremos un exágono, los pasos siguientes:

Fig. 26

1ro 2do

3ro4to

5to

6to7mo

8vo

9no

3ro

En el 1ro, pliegue triángulos equiláteros, de tal manera quede c o m o i n d i c a l a f i g u r a , seguidamente prosiga los pasos siguientes.

Para terminar el exágono, repite el 3ro y 5to y obtendremos la gráfica siguientes.

Pr

of.

Elm

er

Ro

lan

do

ES

TR

EL

LA

GR

IMA

LD

O

Elroesgri


14

Entonces:

1. Los pliegues de la Taza, como se nuestra hallar el valor de los ángulos α,β y ω.A B

α

D C

F

E G

I

J

K

Del cuadriláteroBFGK, los ladosBK=BG=BF, entonces el ΔBGKy el ΔBFK es isós-celes.

Solución:

º45

º902

º180º90

º5.67

º45º1802

º180º45

CGI

BGK

Es isósceles.

º5.67

º180º5.67º45

º180

º4 5

º5.6 7

º5.6 7

Respuesta:

Ejercicios propuestos utilizando los pliegues de las figuras.3. En la figura, hallar los valores de los ángulos. Propuesta del Maestro KASAHARA.

ab

c

de

fg hj

k

l mn

op rs

Solución:Los ángulos l, n, m son iguales:

Por ángulos correspondientes:

Por ángulosopuestos.º120

º120

º120

º180:

º120

º180:

º30

º90:

º30

º90:

º60

:

º60

º120:

º60

:

º60

º60,,:

º180

jo

gp

o

orSi

p

pkSi

a

asSi

f

fhSi

s

skSi

k

nrSi

r

rhSi

h

hn

mnl

mnl

Respuesta:

º45

º15

º75,:

º120,,,:

º60,,,,,,:

º30,:

b

c

de

jgop

skrhmnl

af

º45

º90º45

º90º30º15

º90

º15

º165º180

º180º90º75

º180º90

º75º75

º1502

:

º180º30

º180

b

b

b

abc

c

c

c

cd

de

e

deSi

de

def

A B

α

D C

F

E

G

JI

Del ángulo B.

º5.67

º180º5.112

º180º90º5.22

º5.224

º90

BIJ

º5.67

º180º45º5.67

º180

E ICRespuesta:

oα = 67.5

oβ = 67.5

2. Dada la figura, hallar α, β sabiendo que BF es la bisectriz de ABD, BE s bisectriz de DBC y CA es bisectriz de BCD. Pliegues de la Fig. 07.

4. De la recta AC, AB es la media parte; hallar la recta BE, si BEC es 11. Solución:

A B C

DE

F

53

CE=5AE=CD=3Hallando el lado AC deltriángulo ACE, por teo-rema de Pitágoras.

4

925

35 222

AC

AC

AC

BCD

Hallando el lado BE deltriángulo BCE=11.

4

1152

11

BE

BE

CEBCBE

BCE

Pr

of.

Elm

er

Ro

lan

do

ES

TR

EL

LA

GR

IMA

LD

O

Elroesgri


15

El taller que presentamos es del maestro KASAHARA. Utiliza una hoja de papel cuadrada y luego realiza cuatro pliegues como indica y luego halle los diferentes ángulos.

AB

C

D

EF

G HJ

K

L MN

OP RS

Fig. 29

1ro 2do

3ro

4to

1ro 5to

A

B C

DE

F

G

HO

UT

K

W

Q

De los pliegues básicos de la paloma, hallar el ángulo.

A continuación halle los valores de los ángulos.

αβ

θα

Pr

of.

Elm

er

Ro

lan

do

ES

TR

EL

LA

GR

IMA

LD

O

Elroesgri

papiroflexia y geometría

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