papiroflexia: geometría con papel josé ignacio royo prieto universidad del país vasco...
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Papiroflexia: geometría con papelJosé Ignacio Royo Prieto
Universidad del País Vasco
MATEMÁTICAS EN ACCIÓN
Santander, 24 de mayo de 2006
Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa)
• Se empieza con un único trozo de papel cuadrado;
• Sólo se puede plegar el papel;
• No se pueden realizar cortes;
• No se puede usar pegamento.
Modelos tradicionales
Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis CarrolBarco de papel
León, leona y cría (David Brill)
Mantis religiosa (Ronald Koh)
Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)
Dos Cisnes (David Derudas)
Peces (John Montroll)
Demonio
(Jun Maekawa)
Dragón (Shatoshi Kamiya)
Insectos (Robert Lang)
Rosa (Toshikazu Kawasaki)
Eric Joisel
Jedi Master Yoda
(Fumiaki Kawahata)
• Osos Panda (Akira Yoshizawa y Sonny Fontana)
Procesión con nazarenos (Isidoro González, Sevilla)
Demonio de Tasmania (J.I.R.)
Mosca (J.I.R.)
Pájaro aleteador
Origami
Ori = Doblar
Kami= Papel
“Un mago convierte hojas de papel en pájaros”
Grabado en madera japonés de 1818.
“Senbazuru Orikata”
Japón, 1789
Miguel de Unamuno (Zuloaga)
Monumento a la Pajarita (Ramón Acín),
Parque de Huesca
Akira Yoshizawa
Akira Yoshizawa
Elefantes (Akira Yoshizawa)
Avispa (Kamiya)
Avispa (Kamiya)
Avispa (Kamiya)
Avispa (Kamiya)
Tomoko Fuse
Instrucciones de plegado de un insecto de Robert Lang.
Sistema de símbolos de Yoshizawa-Randlett
Relación Matemáticas-Papiroflexia
• Papiroflexia modular• Teoremas de papel• Constructibilidad de puntos con Origami• Diseño de figuras con métodos matemáticos
Poliedros
• Definición: conjunto conexo de R3 formado por polígonos (caras) que cumplen:
• cada lado de cada cara es compartido con otra cara;
• en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.
Poliedros convexos
Su interior es convexo, y su interior se puede definir mediante fórmulas:
Siendo C el número de caras.
Sólidos Platónicos- Definición: Un poliedro convexo es regular si:
-sus caras son polígonos regulares;
-en cada vértice concurre el mismo número de aristas.
-(Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son:
Cubo OctaedroTetraedro Dodecaedro Icosaedro
Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)
Icosaedro truncado, cuestión de estado.
Papiroflexia modular
• Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos)
• El interés para con las matemáticas es doble:– representación de poliedros y otras figuras;– la construcción nos acerca a las propiedades de
esas figuras.
Clases de módulos
• Por vértices;
• por aristas;
• por caras.
Problema de la coloración
• Construir el poliedro en cuestión de modo que sus caras, vértices o aristas sigan un patrón. Ejemplo: que no concurran dos colores iguales
• Utilizaremos el grafo plano de un poliedro
Grafos planos de los sólidos platónicos
Coloración icosaedro
Coloración icosidodecae
dro
Icosidodecaedro
6 ciclos de aristas en
un icosidodeca
edro
Coloración icosaedro estrellado Coloración triacontaedro rómbico
Triacontaedro rómbico
Coloración icosaedro estrellado usando módulos Sonobè
Dualidad de poliedros
Dualidad icosaedro-dodecaedro
Cinco Tetraedros Intersecados
Satoshi Kamiya
Balón de fútbol
• 12 pentágonos;• 20 hexágonos;• En cada vértice, se
juntan 2 hexágonos y un pentágono.
Fullerenos
• Están formados por hexágonos y pentágonos;
• Concurren 3 aristas en cada vértice
Cúpula geodésica de Montreal (Richard Buckminster Fuller)
Característica de Euler
Pentágonos de un fullereno
Construcción de nuevos fullerenos
Fullereno gigante
(810 piezas)
Teorema de Steinitz
Problema de Steinitz
Un grafo se puede realizar como un poliedro convexo de 3 si y sólo si es plano y 3-conexo.
Decidir cuándo un grafo se puede realizar en 3 como un poliedro convexo circunscrito en la esfera usual.
El balón de la Champions
• Pentágonos• Triángulos• ¿Cuadrados?
Fórmula de Euler para 2
Dominios fundamentales
Roberto Gretter
(555 piezas)
Sergei Lupashin (120 piezas)
Sarah Belcastro (105 piezas)
Curvatura de 2 con origami
• Pentágonos: curvatura positiva• Hexágonos: curvatura cero• Heptágonos: curvatura negativa
Teoremas de papel
• Teoremas del triángulo
• División en 3 partes
• Nudo pentagonal
Trisección del ángulo con Origami
Método de Hisashi Abe
Axiomática de Humiaki Huzita
O1
O6
O5
O4
O3
O2
New York Journal of Mathematics, 2000
Métodos matemáticos de diseño
Propiedades del mapa de cicatrices de un modelo plano
Proyección sobre la base de un modelo plano
Mapa de cicatrices y base correspondiente
Método de Kawahata-Meguro
Pliegue oreja de conejo
Hipérbola: lugar geométrico de los incentros
Figuras de Fumiaki Kawahata
Treemaker de Robert Lang
“Tree theorem” de Lang
Figura diseñada con Treemaker
Origag
(Roberto Morassi, 1984)
Bibliografía
Más bibliografía
• http://www.pajarita.org (A.E.P.)
• http://www.divulgamat.net (sección cultura => matemáticas y papiroflexia)
• http://web.merrimack.edu/~thull
• Project Origami- T.Hull, A.K. Peters, 2006.
GRACIAShttp://www.ehu.es/joseroyo