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Taller-2 Ecología Numérica - Resuelva y Estudie los siguientes Ejercicios y Ejemplos.

FUNCIONES LINEALES

La ecuación lineal constituye la función más simple que relaciona a dos variables a la

vez que puede ser estimada con facilidad por vía matemática cuando se tienen dos coordenadas o por vía estadística cuando se tienen múltiples coordenadas que

se alinean de forma aproximada a una función lineal. Si bien la mayoría de

las funciones que se encuentran en la naturaleza no siguen una línea recta, se pueden transformarse a una forma lineal generalmente con el empleo de

logaritmos en alguna de las variables o en ambas. La función lineal está

representada en situaciones sencillas como son las reglas de tres directas, los radios, las proporciones, el cálculo de porcentajes o la homologación de datos a

una misma unidad de referencia.

FORMULACIÓN EXPLÍCITA

-La ecuación que describe una línea recta se define como: Y = a+bX , donde Y y X se grafica generalmente, en las ordenadas (eje: vertical) y las abscisas (eje: horizontal) respectivaamente.

La gráfica siguiente ilustra los casos previamente

referidos.

Y

x

Las ecuaciones lineales se pueden escribir en forma explícita como sería el caso de

Y=2+3X, o en forma implícita como -3X + Y = 2. Una u otra forma se emplea según la conveniencia para los objetivos que se persiguen, siendo muy simple el paso de una

a otra. Así, por ejemplo, para propósitos de estimación estadística, se acostumbra

a usar la forma explícita, mientras que, en la resolución de ecuaciones simultáneas, matrices o en cálculos de valores propios, se prefiere el modo implícito.

Desde las matemáticas, la ecuación lineal se estima a partir de 2 coordenadas o

a partir de una coordenada y la pendiente.


Ejemplo:

¿Cuál es la ecuación de la línea recta que pasa por las

coordenadas (2, 3) y (4, 4)?

Solución:

Como primera medida hay que hacer notar que las coordenadas (2, 3) y (4,

4) refieren en su primer término un valor de X y, en segundo, uno de Y. Para propósitos de cálculo cualquiera de las 2 coordenadas puede ser tomada como 1 ó como 2. Si elegimos la coordenada (4, 4) como (X2 ,

Y2) y la coordenada (2, 3) como (X1 ,Y1) se tiene que la pendiente es

igual a:

b Y

2 Y

1

X2 X

1

El coeficiente a, se obtiene a partir de la pendiente y una de

las coordenadas (4, 4):

a= 4 —0,5 (4)=2

Si se hubiese empleado la coordenada (2, 3) el valor de a no cambiaría:

a = 3 — 0,5 (2)=2

La ecuación en su forma explícita es entonces: Y = 2 + 0,5X luego, la recta intercepta al eje Y en 2, y por cada unidad de incremento en X, se aumenta

Y en un valor igual a 0,5.


Ejercicio:

Grafique la línea recta definida por la ecuación Y =3+ 2X, para

valores de X = 0, 1, 2, 3.

Si: X = 0 : Y = 3 + 2 ( 0 ) = 3

X = 1 : Y =3 +2 (1 ) = 5

X = 2 : Y = 3 + 2 ( 2 ) = 7

X = 3 : Y = 3 + 2 ( 3 ) = 9

Ejercicio:

4

Graf ique l as l íneas correspondientes a las ecuaciones descritas a continuación, para los valores de X = 0, 1, 2, 3.

Y=2X

Y=1+2X

Y=2+2X

Ejercicio:

Grafique las líneas definidas por las siguientes ecuaciones, para X =

0, 1, 2, 3:

Y=5 -3X

Y=5 -2

X Y

=5—X

5

4


REGLA DE TRES DIRECTA

Cuando se realizan reglas de tres directas, y aunque el investigador no se percate necesariamente de ello, de manera implícita se están llevando a cabo relaciones

lineales entre las variables que, por demás, pasan por el origen. Así, por ejemplo, si

se determina la densidad de arbustos en 0,1 ha. Pero para propósitos de comparación se desea expresar tal resultado en otra unidad de área, se realiza

una regla de tres directa.

Ejercicio

La densidad de un bosque es igual a 100 arbustos por 0,1 ha. ¿cuál es la densidad por hectárea?

Grafique los valores de la tabla y compare con los datos obtenidos de la regla de tres directa.

Área (ha.) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Arbustos 0 100 1.000

RAZONES

Se vieron ya nociones importantes alrededor de las razones y las proporciones, las

cuales se amplían a continuación en lo concerniente con el papel que cumplen como funciones lineales. Vale destacar que en la aplicación de las razones está implícito el supuesto de linealidad entre las dos variables y, además, la recta pasa por el origen (el intercepto o término independiente es igual a cero).

Ejercicio

Durante el estudio de una población de truchas se obtuvo una

muestra con 231 machos y 440 hembras.

a. ¿Cuál es la razón entre hembras y machos para la muestra?

b. ¿Cuál es la ecuación lineal que relaciona la abundancia de los

dos géneros? c. Si hay en la población 2.750 machos, ¿cuál es el número de

hembras? Ejercici

En una ciénaga se tienen las capturas promedio por unidad de

esfuerzo (toneladas por pescador) para cada mes del año y, a partir de ellas, se desean expresar tales cuantías como porcentajes.

Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

0,1 0,5 1 2 3 1,7 1,4 1 0,8 0,6 0,5 0,4

5


En primer lugar se obtiene la suma total de las capturas; después se divide cada captura por dicha suma y, por último, el

resultado se multiplica por 100. De este modo, para el mes de enero el valor porcentual es:

Regla de tres directa:

13 Capturas (total) >>> 100

% 0,1 Capturas (enero) >>> X

X = 0,77%

FORMULACIÓN IMPLÍCITA

Los ejercicios anteriores han utilizado la forma explícita de la ecuación lineal, no obstante y tal como se refirió previamente, para algunos propósitos es

más conveniente expresar la forma implícita, tal como se ilustra en los siguiente ejercicios.

Ejercicio

Un zorro consume 5 Kg. de alimento por día y sus presas son conejos

y ratones que en promedio pesan 2 y 1 Kg. respectivamente.

a. ¿Cuál es la ecuación lineal que precisa tal relación?

b. Grafique tal ecuación e indique en la gráfica la región en que el zorro consume más y menos de 5 Kg.

Con base en el ejercicio anterior:

a. ¿Cuál es la ecuación de alimentación del zorro si requiere 4 Kg. por día? b. Grafique esta nueva ecuación junto con la del ejercicio anterior y

defina ¿qué características tienen las dos soluciones en sus parámetros?


FUNCIONES NO LINEALES

Se abordan las funciones hiperbólica, exponencial, de potencia, logarítmica y de segundo orden, las cuales con gran frecuencia representan las relaciones que

se observan entre las variables biológicas y las abióticas, o incluso entre las mismas variables biológicas. Para la estimación de los parámetros que definen estas funciones se transforman éstas a lineales y se aplican l os procedimientos vistos.

Supongamos que un barco pequeño captura 50 Kg. de pesca en promedio por

día. A partir de tal información se podría inferir por regla de 3 directa, la existencia de una relación entre el número de barcos y las capturas así:

1 Barco 50 Kg.

2 Barcos 100 Kg.

3 Barcos 150 Kg.

4 Barcos 200 Kg.

5 Barcos 250 Kg.

6 Barcos 300 Kg.

Las inferencias realizadas asumen y tienen implícito, que las 2 variables estudiadas se relacionan linealmente; para este ejemplo, las variables son captura (C) y esfuerzo de pesca (f). La relación lineal, es entonces: C = a + bf; cuando no hay barcos tampoco hay capturas y, por ende, esta relación pasa por el origen (0, 0), por lo que la relación anterior se simplifica como C = bf.

El procedimiento expuesto es útil para hacer conversiones pero denota un problema frente a la vida real, puesto que la relación entre la captura y el esfuerzo

no es lineal y la inferencia por regla de tres sencillamente no es válida.

En realidad, a medida que aumenta el esfuerzo de pesca se agotan

progresivamente los peces, y cada vez es más difícil mantener una captura proporcional a la ya obtenida.

La relación entre estas dos variables se suele trabajar en pesquerías, a -través de los modelos de Schaefer y Fox.

Semejan una parábola o parte de ella. Por lo anterior, hay un punto donde el esfuerzo maximiza las capturas, y si se sobrepasa tal valor, las capturas se

reducen

.

13


;

Ejercicio:

La ecuación para una pesquería regional se ha estimado como C =

55f — 5f2 con base en ella se desean graficar las capturas para el

dominio 0 — 11 dado que las capturas están expresadas en toneladas y el esfuerzo en número de barcos.

Esfuerzo (1)

Captura (C)



2.FUNCIÓN

HIPERBÓLICA

La aproximación más inmediata al modelo hiperbólico parte de la

regla de tres inversa. En tal situación, el incremento de una variable

se acompaña con una reducción —hiperbólica - en la otra variable. La

siguiente aplicación ilustra esta relación.

Ejemplo:

La producción vegetal y con ello la producción de madera de los bosques depende, entre múltiples variables, de la densidad de siembra. Tal relación es inversa y ha sido propuesta, entre otros

modelos, por la relación:

R = 1 / ( a+bp)

donde, R es el rendimiento o producción y p la densidad.

Asumamos que el rendimiento de dos bosques de pino durante 10

años y bajo 2 densidades de siembra distintas, es el siguiente: Volumen por

árbol (m3)

Densidad

(ha)

0,7 500

0,25 1.000

¿Cuál es la ecuación que define la producción del pino?

EXPONENTES Y

LOGARITMOS

Supongamos que una bacteria se divide en 2 nuevas bacterias cada hora,

dando lugar a la siguiente ecuación de crecimiento poblacional: Nt = 2t. Si las bacterias no se Mueren durante las primeras 10 horas, la población en ese lapso de tiempo es igual a:

Horas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bacterias 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1.024


La aplicación de la fórmula anterior no reviste dificultades, pero si nos preguntamos por ejemplo, ¿cuántas horas se necesitan para que la

población alcance 1'048.576 bacterias?, resultaría muy dispendioso seguir haciendo cálculos una y otra vez hasta alcanzar tal resultado. El uso de logaritmos, facilita este tipo de procedimientos tal como se ilustra a continuación:

Nt = 2t

Si aplicamos logaritmos a lado y lado de la igualdad se

tiene que:

Si bien se utilizaron ya algunas propiedades de los logaritmos aún no

vistas, es clara su utilidad práctica en la resolución de ejercicios en los cuales trabajemos con exponentes.

Ejercicio:

Si una célula se divide en 3 nuevas células por unidad de tiempo,

¿cuántas horas se necesitan para alcanzar 10 células?


La ecuación de crecimiento de esta célula también puede expresarse

como: Nt =N0Kt, donde K es el número de células en que una célula se

divide y No es el de células inicial. Para el ejemplo en curso, el número

de células en el tiempo 3 es: N3 =1x 23 = 8 ; igualmente, para el tiempo 4:

N4 =1 x 24 =16 .

Para esta última ecuación se acostumbra por conveniencia, expresar el valor de 2 o número de células en que se divide cada organismo por unidad de tiempo, como función del exponente e. Para ello simplemente

se obtiene el logaritmo natural de 2: ln 2= 0,6931 = b, y la ecuación se

re-escribe como: N, =1 e 0,6931*t. donde b es la base de nacimientos de la

población.

Ejercicio:

Una población de microalgas crece 30% por día durante 5

días.

a. Establezca la ecuación de crecimiento si

No= 15

b. Estime Nt para el intervalo t1

a t5.


Ejercicio:

Una especie A cuenta con 20 individuos y crece un 2% por día, mientras que otra especie con 5 individuos, crece al 3% diario.

a. ¿En qué día se igualan las 2 poblaciones?

b. ¿Cuántos individuos tiene cada población cuando se igualan?

Solución:

a. Partiendo de un procedimiento similar al del ejercicio

anterior, se establece la ecuación de crecimiento de cada especie:

Especie A Especie B

Nt= 20 x1,02t

Nt = 5 x1,03t

18


Ejercicio:

La población colombiana en las últimas décadas y según cifras del

DANE (Departamento Administrativo Nacional de Estadística) ha

variado así:

A ñ o

Población

1964 1973 1985 1993 2005

17'484.510 20'666.920 27'853.436 33'109.840 41'242.948

a. ¿Cuál es la tasa de crecimiento durante cada uno de los períodos?

b. ¿Cuál es el porcentaje de incremento anual?


41. Descomposición de la Materia Orgánica

La descomposición de la biomasa orgánica depende de diferentes variables

incluidas la naturaleza química del material, lo particulado que se encuentre, las condiciones físicas y químicas del suelo, la humedad, el pH, la temperatura, el potencial redox y la comunidad de microorganismos locales. La ecuación que

define esta variable a través del tiempo es la siguiente:

Wt =Wo*e-K*t

Donde: K: Tasa de descomposición (negativa, por tanto es un modelo exponencial inverso)

Wo: Biomasa inicial

Wt: Biomasa en un tiempo t

Ejercico:

Se dispone para su descomposición 10 Kg. de biomasa foliar de 2 especies vegetales A y B. Transcurridas 1 7 semanas, de la

especie A quedan 0,5 Kg., mientras que de la especie B permanecen 0,45 Kg. a las 19 semanas.

a. ¿Cuál es la ecuación de descomposición de cada especie vegetal?

b. ¿Cuál es la razón entre las 2 tasas de descomposición? c. ¿Qué biomasa hay de cada especie después de 10 semanas?

d. ¿Cuál es el porcentaje de descomposición semanal en cada especie?


4.3 Atenuación de Luz

La atenuación de la luz en las plantas arbóreas y arbustivas se relaciona con su Índice de Área Foliar (LAI) según el modelo exponencial siguiente:

I = Io e-K *LAI

Dónde:

Io: Intensidad de luz incidente sobre el árbol (100%) I : Intensidad de luz bajo el árbol

LAI : [Área de todas las hojas] / [Área total que cubre la planta o

cobertura]

K: Coeficiente de atenuación

,

Cobertura

Ejercici

Se estima que el área media de las hojas de un árbol es de 1 cm2, el número

de hojas es 15.000 y su cobertura es 25 m2. Halle la ecuación de

atenuación de luz si la intensidad lumínica bajo el árbol es 45%.


Ecología del Paisaje

La relación entre el área de una unidad de paisaje con su perímetro es de

notable interés en ecología del paisaje, dado que indica el grado de

exposición de ésta ante las unidades vecinas. Un mayor perímetro por

unidad de área indica mayor incidencia del clima externo, mayor potencial de

transporte de nutrientes y biomasa, y mayor intercambio de especies, entre otras.

Dentro de esta temática el exponente b del modelo de potencia es conocido como

"fractal" y se ha sugerido como indicador de incidencia antrópica.

Ejemplo:

Determine la relación área : perímetro para las siguientes figuras:

Solución:

Las coordenadas y la gráfica correspondiente para tales unidades,

son las siguientes:

Área 1 4 9 16 25

Perímetro 4 8 12 16 20

Área / Perímetro 0,25 0,50 0,75 1 1,25



Tal como se aprecia en los resultados, la relación área : perímetro se incrementa a medida que la unidad de estudio se hace más

grande, independientemente de que la forma sea la misma. Así mismo, la gráfica señala que la relación entre estas variables no es de tipo lineal.

Ejercicio:

Determine la relación área : perímetro para unidades de paisaje circulares de radio 1, 2, 3, 4 y 5. Interprete.

Radio 1 2 3 4 5

Área 3,14 12,57 28,27 50,27 78,54

Perímetro 6,28 12,57 18,85 25,13 31,42

Área / Perímetro 0,5 1 1,5 2 2,5 Ejercicio

Halle la ecuación general que relaciona el área (Y) y el perímetro (X.)

para unidades de paisaje cuadradas y, a partir de aquélla lineal izada,

calcule los fractales para el ejemplo de unidades cuadradas

previamente expuesto.

23


6. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

El modelo logarítmico se refiere a una relación directa en la cual la variable X

crece en forma aritmética y la variable Yen forma geométrica decreciente. La

linealización de este modelo se logra aplicando logaritmos (u otras

transformaciones como la raíz cuadrada) sobre la variable X.

Y

Log o Ln X

El ejemplo más representativo de este modelo en ecología, se refiere a la relación entre el número de especies y el área o esfuerzo de muestreo. Esta relación

se utiliza regularmente para definir si una muestra es o no representativa,

entendiéndose esta última como el haber incluido gran cantidad de especies del taxa estudiado en la muestra, si bien muchas especies raras quedan excluidas de la

misma.

Ejemplo:

Se realiza un muestreo de aves a partir de un esfuerzo definido por el número total de horas de observación. Los resultados encontrados y

la gráfica correspondiente son los siguientes:

Horas 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1.024

Especies 1 2 3 4 7 8 12 15 21 24 26


30

*

*

200 400 600 800 1000

Tiempo (horas)

Grafique la relación anterior empleando logaritmos naturales en la

variable X y estime la ecuación lineal entre estas variables a partir de

la primera y la última coordenada: Solución:

Ln(Horas) 0 0,69.. 1,38.. 2,07.. 2,77.. 3,46.. 4,15.. 4,85.. 5,54.. 6,23.. 6,93..

Especies 1 2 3 4 7 8 12 15 21 24 26

Especies

30

*

20 *

*

10 *

* * *

*

0 1 2 3 4 5 6 7

Ln Tiempo de observación

Coordenadas X, Y: {6,931.., 26}, {0, 1} . La pendiente, el intercepto y

la ecuación son entonces:

Número de especies = 1 + 3,6 Ln [horas de observación]

34


Dado que la ecuación debe pasar por el origen por cuanto no puede haber

avistamientos en tiempo cero, la ecuación se generaliza como:

No Especies = b x Ln (Esfuerzo muestreo)

Ahora bien, si el esfuerzo de muestreo se representa por el número de individuos avistados (N), y llamamos S al número de especies, la ecuación se transforma a:

S = b Ln (N)

La pendiente b que relaciona a estas 2 variables ha sido regularmente empleada

en ecología como índice de riqueza o de diversidad, y tal es el caso de los

siguientes índices:

7. FUNCIONES MÁS COMPLEJAS En biología y en ecología con frecuencia se trabajan relaciones más complejas a

las previamente referidas, que conducen al empleo de software especializado

en regresión no lineal. Algunos de tales ejemplos son los siguientes:

Crecimiento poblacional dependiente de la densidad o

logístico:

Crecimiento poblacional logístico tardío:

Crecimiento corporal en talla y peso de

Bertalanffy:

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