TABLAS DE FRECUENCIASVariables discretas

BAD CS * DÍA 49

Tablas de Frecuencias• Son Tablas que presentan múltiples columnas:

• COLUMNA 1• vi = Columna de modalidades del carácter cualitativo o atributo.• xi = Columna de modalidades de la variable discreta.• ( , ) = Columna de las clases si la variable es continua.

• COLUMNA 2• m.c. = Marca de clase. Es el valor medio del intervalo de valores que

toma xi, cuando xi es una variable continua.• Si el intervalo es (3 , 7), entonces m.c.=5• A efectos prácticos m.c. es igual que xi.

• COLUMNA 3• ni = Frecuencia o cantidad de veces que se repite cada modalidad.

Tablas de Frecuencias• COLUMNA 4• fi = Frecuencia relativa de dicha modalidad, o sea la cantidad de veces

que se repite en relación al total.

• COLUMNA 5 • fi % = Igual que fi, pero expresarse en porcentaje en lugar del número

decimal que resulta fi.

• COLUMNA 6• Ni = Frecuencia acumulada , que es la acumulación o suma de todas

las modalidades anteriores.

• COLUMNA 7• Fi = Es la frecuencia relativa acumulada, la frecuencia relativa a la

suma de todas las modalidades anteriores.

• COLUMNA 8• xi.ni = Columna del producto o peso real de la modalidad.

• COLUMNA 9• |xi – x| = Columna de las desviaciones.

• COLUMNA 10• ni.xi2 = Columna del producto de la varianza.

• Y además, en las siguientes columnas es muy necesario hallar el sumatorio, la suma de todos los valores que existen en dicha columna:

• ni , xi.ni , ni.xi2 • Para el sumatorio, ∑, se reserva la última fila de la tabla de

frecuencias.

Tablas de Frecuencias

Ejemplo_1

Color de ojos de los 50 alumnos de ESPAD III y ESPAD IVVARIABLE CUALITATIVA O ATRIBUTO

vi ni fi fi % Ni Fi

Claros 7 7 / 50 = 0,14 14 7 14

Verdes 3 3 / 50 = 0,06 6 7+3=10 14+6=20

Azules 5 5 / 50 = 0,10 10 10+5=15 20+10=30

Marrones 25 25 / 50 = 0,50 50 15+25=40 30+50=80

Negros 10 10 / 50 = 0,20 20 40+10=50 80+20=100

50 1 100

Ejemplo_2

Procedencia de alumnos en un IES de Bachillerato InternacionalVARIABLE CUALITATIVA O ATRIBUTO

vi ni fi fi % Ni Fi

Francia 50 50 / 200 = 0,25 25 50 25

Alemania 35 35 / 200 = 0,175 17,5 85 42,5

España 65 65 / 200 = 0,325 32,5 150 75

Italia 30 30 / 200 = 0,15 15 180 90

Portugual 20 20 / 200 = 0,10 10 200 100

200 1 100

Ejemplo_3Calificaciones de 100 alumnos de una clase en MatemáticasVARIABLE DISCRETA

xi ni fi fi(%) Ni Fi(%) xi.ni ni xi 2

0 3 0,03 3% 3 3 0 0

1 5 0,05 5% 8 8 5 5

2 8 0,08 8% 16 16 16 32

3 11 0,11 11% 27 27 33 99

4 15 0,15 15% 42 42 60 240

5 18 0,18 18% 60 60 90 450

6 13 0,13 13% 73 73 78 468

7 10 0,10 10% 83 83 70 490

8 8 0,08 8% 91 91 64 572

9 6 0,06 6% 97 97 54 486

10 3 0,03 3% 100 100 30 300

100 1 100% 500 3142

Ejemplo_4Cantidad, en ml, de soluto en un litro de agua.VARIABLE DISCRETA

xi ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni.xi2

0,10 2 0,08 8 2 8 0,20 0,02

0,30 6 0,24 24 8 32 1,80 0,54

0,50 9 0,36 36 17 68 4,50 2,25

0,70 5 0,20 20 22 88 3,50 2,45

0,90 3 0,12 12 25 100 2,70 2,43

25 1 100 12,70 7,69

Importante: La variable xi toma sólo 5 valores posibles. Luego, aunque haya decimales, es discreta.

Ejemplo_5Calificaciones de un trabajo a 40 alumnos.Variable discreta.

xi ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni xi 2

3 5 0,125 12,5 5 12,50 15 45

5 20 0,500 50 25 62,50 100 500

7 15 0,375 37,5 40 100 105 735

40 1 100 220 1280

Nota: En este ejemplo el profesor, al corregir un trabajo, sólo pone a cada alumno un 3, un 5 o un 7.

MuestrasNº de hijos de una muestra de 80 familias

1 0 0 0 0 0 0 1

2 0 2 0 0 0 0 2

3 3 3 3 3 3 3 3

2 2 0 0 2 0 2 2

3 4 4 0 3 4 3 0

2 2 4 2 2 5 2 4

5 4 2 4 2 0 2 1

2 3 2 3 2 3 1 1

3 2 3 2 3 2 1 4

2 4 2 2 2 2 1 1

Ejemplo_6Sólo hay 6 posibles resultados. Es pues VARIABLE DISCRETA

xi ni fi fi(%) Ni Fi(%) xi.ni ni xi 2

0 17 0,2125 21,25 17 21,25 0 0

1 8 0,10 10 25 31,25 8 8

2 27 0,3375 33,75 52 65 54 108

3 17 0,2125 21,25 69 86,25 51 153

4 9 0,1125 11,25 78 97,50 36 144

5 2 0,025 2,5 60 100 10 50

80 1 100 159 463

TABLAS CON VARIABLES CONTINUAS

• Cuando la variable es continua, en lugar de xi se pondrá el intervalo que abarca en la primera columna, y de forma ordenada.

• En la siguiente columna se pone la marca de clase (m.c.) correspondiente a cada intervalo, o sea el valor medio de los valores que limitan el intervalo.

• Ejemplos

• (2 , 7) m.c. = (2+7)/2 = 9/2 = 4,50• (0’14 , 0’ 56) m.c. = (0,14+0,56)/2 = 0,70/2 = 0,35

• Para elaborar el resto de la tabla, nos olvidamos de la primera columna (las clases o intervalos) y trabajamos como si la marca de clase (m.c.) fuera el valor de xi.

• Es decir, si hay 25 alumnos cuyo peso está entre 60 kg y 62 kg, al ser m.c.= 61 kg, trabajamos como si los 25 alumnos pesaran 61 kg todos.

Ejemplo_1Cantidad, en gr, de cacao en un litro de leche.VARIABLE CONTINUA

Clases m.c. ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni.xi2

[0,00-0,02) 0,010 20 0,08 8 20 8 0,20 0,002

[0,02-0,04) 0,030 60 0,24 24 80 32 1,80 0,054

[0,04-0,06) 0,050 90 0,36 36 170 68 4,50 0,225

[0,06-0,08) 0,070 50 0,20 20 220 88 3,50 0,245

[0,08-0,10) 0,090 30 0,12 12 250 100 2,70 0,243

250 1 100 12,70 0,769

•Importante: La variable xi puede tomar hasta 250 valores diferentes. Luego, al ser demasiados, procede a considerarla variable continua y hacer intervalos o clases.

•Aunque no es obligado, suelen ser del mismo ancho.

Ejemplo_2Calificaciones de un trabajo a 40 alumnos.Variable discreta.

Clases m.c. ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni xi 2

[2 , 4) 3 5 0,125 12,5 5 12,50 15 45

[4 , 6) 5 20 0,500 50 25 62,50 100 500

[6 , 8] 7 15 0,375 37,5 40 100 105 735

40 1 100 220 1280

•Nota: En este ejemplo la nota del alumno puede ser cualquier valor entre el 2 y el 8. Para evitar que nos salgan 40 resultados distintos, se agrupan en clases.

•Si un alumno saca un 4,00 se le contaría en el intervalo [4 , 6) y no en el [2 , 4).

Ejemplo_3Calificaciones de 200 alumnos de una clase en MatemáticasVARIABLE CONTINUA ( notas con decimales)

Clases m.c. ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni.xi2

[0 , 2] 1 15 0,075 7,50 15 7,50 15 15

(2 , 4] 3 50 0,250 25 65 32,50 150 450

(4 , 6] 5 75 0,375 37,50 140 70 375 1875

(6 , 8] 7 40 0,20 20 180 90 280 1960

(8 , 10] 9 20 0,10 10 200 100 180 1620

200 1 1000 5920

Muestras 1

2,01 1,00 8,01 3,91 8,01 3,01 1,01 1,01

2,05 7,05 8,09 8,05 8,05 8,05 2,05 2,05

3,15 3,15 8,75 8,15 3,15 3,15 2,55 1,15

2,07 7,07 8,77 3,07 1,07 8,07 5,07 2,07

3,74 4,00 8,37 8,34 8,34 3,34 5,54 1,34

2,25 7,75 2,25 1,55 5,55 5,55 5,55 6,65

2,38 7,18 2,18 5,18 5,18 5,18 5,88 1,18

2,11 3,31 2,11 2,31 1,11 3,11 6,11 6,11

3,14 7,14 2,14 2,14 2,14 2,14 6,34 1,14

2,21 7,71 2,21 2,21 2,21 2,21 6,61 6,61

clases m.c. ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni xi 2

[1 , 3] 2 33 0,4125 41,25 33 41,25 66 132

(3 , 5] 4 12 0,15 15 45 56,25 48 192

(5 , 7] 6 15 0,1875 18,75 60 75 90 540

(7 , 9] 8 20 0,25 25 80 100 160 1280

80 1 100 364 2144

Ejemplo_4Nos dan, en una tabla, el peso en gramos de 80 insectos, para suTabulación y posterior estudio estadístico.

Localizamos la medida menor y la mayor.

Determinamos la cantidad de intervalos o clases.

Fijamos los límites de cada clase, todas de igual ancho generalmente.

Y contamos los datos (pesos) correspondientes a cada clase.

Muestras 2

261 140 201 100 201 102 201 110

265 405 245 405 305 205 205 265

317 315 345 315 312 335 315 375

267 207 207 207 227 204 237 277

374 400 474 400 372 404 334 480

225 245 445 225 225 225 225 425

500 418 248 418 238 500 238 218

211 331 211 331 221 331 311 431

314 214 314 214 314 214 316 264

225 444 221 221 221 221 261 221

clases m.c. ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni xi 2

[100 , 200) 150 4 0,05 5 4 5 600 90000

[200 , 300) 250 41 0,5125 51,25 45 56,25 10250 2562500

[300 , 400) 350 20 0,25 25 65 81,25 7000 2450000

[400 , 500] 450 15 0,1875 18,75 80 100 6750 3037500

80 1 100 24600 8140000

Ejemplo_5Nos dan, en una tabla, la precipitación (litros de lluvia por metrocuadrado) en 80 lugares diferentes de un pais para suTabulación y posterior estudio estadístico.

Localizamos la medida menor y la mayor. Determinamos la cantidad de intervalos o clases. Fijamos los límites de cada clase, todas de igual ancho generalmente. Y contamos los datos (litros) de cada clase.