Tabla de Derivadas e Integrales

Dr. Julian Gpe. Tapia Aguilarjuliangpe@yahoo.com.mx

E S F M del I P N

Enero de 2008

1. Derivadas

1.1. Logaritmos y Exponenciales

Dx[ ln u] =1u·Dx[u] (1)

Dx[ logb u] =1

(ln b) · u ·Dx[u] (2)

Dx[eu] = eu ·Dx[u] (3)Dx[au] = (ln a) · au ·Dx[u] (4)

1.2. Funciones Trigonometricas

Dx[ sin u] = cosu ·Dx[u] (5)Dx[ cos u] = − sinu ·Dx[u] (6)Dx[ tan u] = sec2 u ·Dx[u] (7)Dx[ cot u] = − csc2 u ·Dx[u] (8)Dx[ sec u] = secu tanu ·Dx[u] (9)Dx[ csc u] = − csc u cotu ·Dx[u] (10)

Dx[ sin−1 u] =1√

1− u2·Dx[u] (11)

Dx[ cos−1 u] = − 1√1− u2

·Dx[u] (12)

Dx[ tan−1 u] =1

1 + u2·Dx[u] (13)

Dx[ cot−1 u] = − 11 + u2

·Dx[u] (14)

1

Calculo II – Julian Gpe. Tapia Aguilar 2

Dx[ sec−1 u] =1

u√

u2 − 1·Dx[u] (15)

Dx[ csc−1 u] = − 1u√

u2 − 1·Dx[u] (16)

1.3. Funciones Hiperbolicas

Dx[ sinh u] = coshu ·Dx[u] (17)Dx[ cosh u] = sinhu ·Dx[u] (18)Dx[ tanh u] = sech2u ·Dx[u] (19)Dx[ coth u] = −csch 2u ·Dx[u] (20)Dx[sechu] = −sechu tanhu ·Dx[u] (21)Dx[cschu] = −cschu cothu ·Dx[u] (22)

Dx[ sinh−1 u] =1√

u2 + 1·Dx[u] (23)

Dx[ cosh−1 u] =1√

u2 − 1·Dx[u] (24)

Dx[ tanh−1 u] =1

1− u2·Dx[u] (25)

Dx[ coth−1 u] =1

1− u2·Dx[u] (26)

Dx[sech−1u] = − 1u√

1− u2·Dx[u] (27)

Dx[csch−1u] = − 1u√

1 + u2·Dx[u] (28)

2. Integrales

2.1. Logaritmos y Exponenciales

Recuerde que:

ax = ex·ln a, loga x =ln x

ln a

∫ln x dx = x ln x− x (29)

∫x · ln x dx =

x2

2ln x− x2

4(30)

∫x2 · ln x dx =

x3

3ln x− x3

9(31)

Calculo II – Julian Gpe. Tapia Aguilar 3

∫xn · ln x dx =

xn+1

n + 1ln x− xn+1

(n + 1)2(32)

∫eax dx =

1a· eax (33)

∫bax dx =

1a ln b

· bax (34)∫

x · eax dx = (x

a− 1

a2) · eax (35)

∫x2 · eax dx = (

x2

a− 2x

a2+

2a3

) · eax (36)∫

xn · eax dx =xn

aeax − n

a

∫xn−1 · eax dx. (37)

2.2. Funciones Trigonometricas

∫sin ax dx = −1

acos ax. (38)

∫cos ax dx =

1a

sin ax. (39)∫

tan ax dx = −1a

ln | cos ax| = 1a

ln | sec ax|. (40)∫

cot ax dx =1a

ln | sin ax| = −1a

ln | csc ax|. (41)∫

sec ax dx =1a

ln | sec ax + tan ax| = −1a

ln | sec ax− tan ax|. (42)∫

csc ax dx = −1a

ln | csc ax + cot ax| = 1a

ln | csc ax− cot ax|. (43)∫

sec2 ax dx =1a

tan ax. (44)∫

csc2 ax dx = −1a

cot ax. (45)∫

sec ax tanx dx =1a

sec ax. (46)∫

csc ax cotx dx = −1a

csc ax. (47)∫

1√a2 − x2

dx = sin−1(x

a) = − cos−1(

x

a) + constante. (48)

∫1

a2 + x2dx =

1a

tan−1(x

a) = −1

acot−1(

x

a) + constante. (49)

Calculo II – Julian Gpe. Tapia Aguilar 4

∫1

x√

x2 − a2dx =

1a

sec−1(x

a) = −1

acsc−1(

x

a) + constante. (50)

Para algunas potencias de senos y cosenos es importante recordar las identidades, conocidas comodel angulo doble:

sen(2x) = 2 sinx cosx, sen2 x =12(1− cos 2x), cos2 x =

12(1 + cos 2x).

∫sin2 x dx =

12x− 1

4sen(2x). (51)

∫sin3 x dx = − cosx +

cos3 x

3= −3 cos x

4+

cos(3x)12

. (52)∫

sin4 x dx =3x

8− sen(2x)

4+

sen(4x)32

. (53)∫

cos2 x dx =12x +

14

sen(2x). (54)∫

cos3 x dx = senx− sen3 x

3=

3 senx

4+

sen(3x)12

. (55)∫

cos4 x dx =3x

8+

sen(2x)4

+sen(4x)

32. (56)

∫tan2 x dx = tanx− x. (57)

∫tan3 x dx =

tan2 x

2+ ln | cosx|. (58)

∫tan4 x dx =

tan3 x

3− tan x + x. (59)

∫tann x dx =

tann−1 x

n− 1−

∫tann−2 x dx, n 6= 1. (60)

Para productos de senos y/o cosenos con argumentos diferentes, las identidades importantes son,

sen(α± β) = senα cosβ ± sen β cosα, cos(α± β) = cosα cosβ ∓ sinβ sinα,

que con simples manipulaciones de sumas y restas nos dan las siguientes identidades:

sen α cosβ =12

[sen(α + β) + sen(α− β)]

sen α sen β =12

[cos(α− β)− cos(α + β)]

cosα cosβ =12

[cos(α + β) + cos(α− β)]

Calculo II – Julian Gpe. Tapia Aguilar 5

Algunas formulas de integracion (para α 6= ±β) son:∫

sen(αx) cos(βx) dx =12

[−cos[(α + β)x]

α + β− cos[(α− β)x]

α− β

](61)

∫sen(αx) sen(βx) dx =

12

[sen[(α− β)x]

α− β− sen[(α + β)x]

α + β

](62)

∫cos(αx) cos(βx) dx =

12

[sen[(α + β)x]

α + β+

sen[(α− β)x]α− β

](63)

2.3. Funciones Hiperbolicas

∫sinhx dx = coshx (64)

∫coshx dx = sinhx (65)

∫tanhx dx = ln(coshx) = − ln(sechx) (66)

∫cothx dx = ln | sinhx| = − ln |cschx| (67)

∫sechx dx = tan−1(sinhx) (68)

∫cschx dx = ln | tanh(

x

2)| (69)

∫sech2x dx = tanhx (70)

∫csch 2x dx = − cothx (71)

∫sechx tanhx dx = −sechx (72)

∫cschx cothx dx = −cschx (73)

2.4. Funciones Hiperbolicas Inversas

Las funciones hiperbolicas inversas puedes expresarse en terminos de logaritmos naturales; son,

sinh−1 x = ln(x +

√x2 + 1

), x ∈ R (74)

cosh−1 x = ln(x +

√x2 − 1

), x ≥ 1 (75)

tanh−1 x =12

ln(

1 + x

1− x

), |x| < 1 (76)

Calculo II – Julian Gpe. Tapia Aguilar 6

coth−1 x =12

ln(

x + 1x− 1

), |x| > 1 (77)

sech−1x = ln(

1 +√

1− x2

x

), 0 < x ≤ 1 (78)

csch−1x = ln(

1x

+

√1x2

+ 1)

, x 6= 0 (79)

Hecho 2.1 Relaciones Inversas.

Si uno tiene las formulas para las primeras tres funciones hiperbolicas en las ecuaciones anteriores,las otras tres se siguen de la siguiente relacion entre funciones inversas.

coth−1 x = tanh−1(1x

),

sech−1x = cosh−1(1x

),

csch−1x = sinh−1(1x

).

Hecho 2.2 Para integrar funciones que contengan radicales de la forma

a2 ± b2x2

se puede hacer la siguiente factorizacion:

a2 ± b2x2 = a2(1± b2x2

a2) = a2(1± (

bx

a)2) = a2(1± u2),

con el cambio de variable indicado, que es:

u =bx

a, du =

b

adx.

Ahora puede utilizar las formulas 48 – 50 y 80 – 84 con a = 1.∫

1√x2 + a2

dx = sinh−1(x

a) (80)

∫1√

x2 − a2dx = cosh−1(

x

a) (81)

∫1

a2 − x2dx =

1a

tanh−1(x

a) (82)

∫1

x√

a2 − x2dx = −1

asech−1(

|x|a

) (83)∫

1x√

a2 + x2dx = −1

acsch−1(

x

a) (84)

Calculo II – Julian Gpe. Tapia Aguilar 7

Hecho 2.3 Un poco mas general, si el radical es de la forma√

px2 + qx + c,

suponiendo p > 0, procederemos de la siguiente manera:

px2 + qx + c = p(x2 +q

px +

c

p) = p[(x +

q

2p)2 − q2

4p2+

c

p] = p[(x +

q

2p)2 +

4pc− q2

4p2].

Si p < 0, la factorizacion es similar.Se sigue que el radical se puede escribir de la siguiente manera:

√px2 + qx + c =

√p[(x +

q

2p)2 +

4pc− q2

4p2] =

√p

√(x +

q

2p)2 +

4pc− q2

4p2=√

p√

u2 ± a2,

con las identificaciones, tomando en cuenta el signo,

u2 = (x +q

2p)2, a2 = |4pc− q2

4p2|.

2.5. Productos – Potencias de x y Trigonometricas

∫x · sen(ax) dx = −x

acos(ax) +

1a2

sen(ax). (85)∫

x2 · sen(ax) dx = (−x2

a+

2a3

) cos(ax) +2x

a2sen(ax). (86)

∫xn · sen(ax) dx = −xn

acos(ax) +

n

a

∫xn−1 · cos(ax) dx. (87)

∫xn · sen(ax) dx = −xn

acos(ax) +

nxn−1

a2sen(ax)− n(n− 1)

a2

∫xn−2 · sen(ax) dx. (88)

∫x · cos(ax) dx =

x

asen(ax) +

1a2

cos(ax). (89)∫

x2 · cos(ax) dx = (x2

a− 2

a3) sen(ax) +

2x

a2cos(ax). (90)

∫xn · cos(ax) dx =

xn

asen(ax)− n

a

∫xn−1 · sen(ax) dx. (91)

∫xn · cos(ax) dx =

xn

asen(ax) +

nxn−1

a2cos(ax)− n(n− 1)

a2

∫xn−2 · cos(ax) dx. (92)

Calculo II – Julian Gpe. Tapia Aguilar 8

2.6. Productos – Potencias de x e Hiperbolicas

∫x · sinh(ax) dx =

x

acosh(ax)− 1

a2sinh(ax). (93)

∫x2 · sinh(ax) dx = (

x2

a+

2a3

) cosh(ax)− 2x

a2sinh(ax). (94)

∫xn · senh(ax) dx =

xn

acosh(ax)− n

a

∫xn−1 · cosh(ax) dx. (95)

=xn

acosh(ax)− nxn−1

a2senh(ax) +

n(n− 1)a2

∫xn−2 · senh(ax) dx. (96)

∫x · cosh(ax) dx =

x

asinh(ax)− 1

a2cosh(ax). (97)

∫x2 · cosh(ax) dx = (

x2

a+

2a3

) sinh(ax)− 2x

a2cosh(ax). (98)

∫xn · cosh(ax) dx =

xn

asenh(ax)− n

a

∫xn−1 · senh(ax) dx. (99)

=xn

asenh(ax)− nxn−1

a2cosh(ax) +

n(n− 1)a2

∫xn−2 · cosh(ax) dx.(100)

2.7. Productos – Exponenciales y Senos y/o Cosenos

∫eax sen(bx) dx =

eax

a2 + b2[a sen(bx)− b cos(bx)] . (101)

∫eax cos(bx) dx =

eax

a2 + b2[a cos(bx) + b sen(bx)] . (102)