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TEMA 12 – CÁLCULO DE PRIMITIVAS
12.1 - PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(x): F(x) es una primitiva de f(x) si F’ (x) = f(x) Ejemplos: función: f(x) Primitiva: F(x) 2x x2 sen x - cos x ex ex 1/x Ln |x| Nota: Una función tiene infinitas primitivas Ejemplo: función: f(x) Primitiva: F(x) 2x x2 2x x2 + 1 2x x2 – 7 ..... ..... 2x x2 + C INTEGRAL INDEFINIDA DE f(x) Llamamos integral indefinida o simplemente integral de f(x) al conjunto de todas sus primitivas y se denota:
∫ += C)x(Fdx)x(f t.q. F´(x) = f(x)
Ejemplos: [1] ∫ += C xdx x2 2
[2] ∫ += C x cos - dx x sen
[3] ∫ += C|x|Lndxx
1
OPERACIONES CON INTEGRALES (Se cumplen las mismas que en derivadas)
[1] ∫ ∫= dx)x(fkdx)x(f.k
[2] ( )∫ ∫ ∫±=± dx)x(gdx)x(fdx)x(gf
[3] ( ) [ ][ ]∫∫ ∫≠ dx)x(g.dx)x(fdx)x(g.f
[4] ∫∫∫≠
dx)x(g
dx)x(fdx)x(
g
f
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
NOTA: u y v representan expresiones que son funciones de x
INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplos Potenciales
Cxdx +=∫ Cxdxdx +== ∫∫ 555
Cnudxuu
nn +
+=
+
∫ 1 '
1
)1( −≠n Cxdxx +=∫ 4
43 ; Cxdxx +
+=+∫ 3
)13()13(33
2
Cudxu
u+=∫ 2
' Cxdxxx
++=+
∫ 112
3 3
3
2
Exponenciales y logarítmicas Cedxeu uu +=∫ ' Cedxex xx += ++∫ 333 44
4
Ca
adxauu
u +=∫ ln' Cdx
xx +=∫ 2ln
22·77
7
Cudxuu
+=∫ ln' Cxdxx
x++=
+∫ 1ln1
3 33
2
Trigonométricas Cudxuu +−=∫ cos sen ' Cxdxxx ++−=+∫ )5cos()5(sen 2 22
Cudxuu +=∫ sen cos' Cxdxxx +−=−∫ )1(sen)1cos(3 332
Cudxuu +−=∫ cosln tg' Cxxdxxxx ++−=++∫ )cos(ln)( tg)12( 22
Cudxuu +=∫ sen ln cotg' Cxdxxx +=∫ 22 sen ln cotg2
Cudxu
u+=∫ tg
cos'2 Cxdx
x+=∫ 3 tg
3cos32
Cudxuu +=∫ tg sec' 2 Cxxdxxx +++=+++∫ )1( tg 1)x(sec)13( 3322
Cudxuu +=+∫ tg) tg1(' 2 Cxdxx +=+∫ 2 tg)2 tg1(2 2
Cudxu
u+−=∫ cotg
sen'2 Cxdx
xx
+−=∫ 222 cotg
sen2
Cudxuu +−=∫ cotg cosec' 2 Cxxdxxx ++−=++∫ )( cotg x)(1)cosec4( 4423
Cudxuu +−=+∫ cotg)cotg1(' 2 Cxdxx +−=+∫ 3 cotg)3cotg1(3 2
Cudxu
u+=
−∫ arcsen
1'
2 Cx
xdx
+=−
∫ 2arcsen 41
22
Cudxu
u+=
+∫ arctg1
'2 Cedx
ee x
x
x
+=+∫ arctg
1 2
PROPIEDADES BÁSICAS
∫∫ = dxukdxku ∫∫∫ ±=± dxvdxudxvu )(
Integración por partes:
∫∫ −= duvuvdvu Cambio de variable:
∫∫ = dttfdxuuf )(')( , llamando t = u(x)
Ejemplos:
[1] dx 2 =∫ 2x + C
[2] dx x 3 =∫ C4
x 4
+
[3] dx x =∫ C2
x 2
+
[4] dx 2x 5 =∫ C3
xC
6
x.2
66
+=+
[5] C5
x2.x3Cx2
5
3C
3
5x
2C1
3
2x
2 dx x23 2
3 533/5
3
13
2
33 2 +=+=+=++
=+
∫
[6] dx x
43
=∫ 4 Cx
2C
2
x.4dxx
2
23 +−=+
−=
−−
∫
[7] dx 2senx3x x3 =+−∫ 3 C2Ln
2xcos
4
x x4
+++
[8] dx 5.e-3cosx x =∫ -3senx –5ex + C
[9] dx x1
x-12
2
=−∫ ∫ +=
−Carcsenxdx
x1
12
[10] dx 1x
32
=+∫ 3.arctag x + C
[11] dx 1x
x2
=+∫ C1xLn
2
1dx
1x
x2
2
1 22
++=+∫
[12] ( ) dx 3x5x5).cos-(2x 2 =+−∫ sen(x2 – 5x + 3) + C
[13] dx e 13x =∫+ Ce
3
1dxe.3
3
1 1x31x3 += ++∫
[14] dx x-1
x4
=∫ ( )∫ +=−
Carcsenx2
1dx
x1
x2
2
1 2
22
[15] dx tagx =∫ C|xcos|Lndxxcos
senx +−=∫
[16] dx 2x
3x2
=+∫ C|2x|Ln
2
3dx
2x
x2
2
3 22
++=+∫
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN [1] Inmediatas o método de sustitución (Cuando las dos funciones tienen relación, función y derivada) Cambio f(x) = t siendo f(x) la función.
Ejemplo: ∫ =xdxcos.xsen4
[ t = sen x ⇒ dt = cos x dx]
= C5
xsenC
5
tdtt
554 +=+=∫
[2] Integración por par tes: Cuando las dos funciones no tienen relación.
D(u.v) = du.v + u dv ⇒ udv = d(u.v) – vdu ⇒ ∫ ∫ ∫−= vdu)v.u(dudv ⇒
∫ ∫−= du.vv.uudv
Tenemos Necesitamos u -------Derivamos -----------du
dv -----Integramos ----------- v = ∫dv
¿Cuál tomamos como u?
a) arcos o logaritmos b) Polinomios c) Trigonométrica o exponenciales
Ejemplos:
[1] ∫ dxe.x x
===⇒=
=⇒=
∫ ∫xxx edxedv v dxedv
dx du xu
x.ex - ( )∫ +−=+−= Ce1xCee.xdxe xxxx
[2] ∫Lnxdx
===⇒=
=⇒=
∫ ∫ xdxdv v dxdv
dxx
1 du xlnu
lnx.x - ∫ dxx
1.x =x.lnx - ∫ =dx x.lnx – x + C = x.(lnx – 1) + C
[3] ∫ senxdx.ex
===⇒=
=⇒=
∫ ∫xxx edxedv v dxedv
cosxdx du senxu
senx.ex - ∫ xdxcos.ex
• ∫ xdxcos.ex
===⇒=
=⇒=
∫ ∫xxx edxedv v dxedv
senxdx- du xcosu
=cos x.ex + ∫ senxdxex
∫∫ ∫ ⇒−=⇒−−= )xcossenx(e senxdxe2 senxdxee.xcose.senxsenxdxe xxxxxx
C2
)xcossenx(esenxdxe
xx +−=∫
INTEGRALES CON RAÍCES
Transformar en sumas
Potencias
Raíces y arcos ∫ += C)x(fdx)x(f2
)x('f ∫ +=
−C)x(arcsenfdx
)x(f1
)x('f2
Sustitución: Lo de dentro de la raíz = tmcm de los índices de las raices.
∫ − dxxba 222
⇒ asentbx =
[1]
dxx
x32 2
∫+
= ∫ ∫+−
dxx3dxx2 2
3
2
1
=
Cx5
x6x4Cx
5
6x4C
2
5x
.3
2
1x
.22
52
5
2
1
++=++=++
[2] C2x3dx2x2
x23dx
2x
x3 2
22++=
+=
+ ∫∫
[3] ( ) ( )∫ ∫ ∫ +=
−=
−=
−Carcsenx
2
1dx
x1
x2
2
1dx
x1
xdx
x1
x 2
22224
[4] ∫ + x)x1(
dx
[x = t2 ⇒ dx = 2t dt]
∫ ∫ +=+=+
=+
Cx 2.arctag C t arctag2dtt1
12
t)t1(
tdt222
[5] ∫ − dxx4 2
[x = 2sent ⇒ dx = 2costdt]
∫ ∫∫ =−=− dttcos4dt.tcos2)tsen1(4tdtcos2.tsen44 222 (Integral trigonométrica)
[6] ∫ dxx-9
22
Modo 1: Ver que es un arcoseno. Dividir numerador y denominador por 3:
C+3/arcsenx2=dx(x/3)-1
3/12=dx
(x/3)-1
3/2=dx
9/)x-9(
3/2=dx
3/x-9
3/2 ∫∫∫∫ 2222
Modo 2: [x = 3sent ⇒ dx = 3costdt]
∫ ∫∫∫∫∫ C+t2=dt2=dttcos3
tcos6=dt
tcos9
tcos6=dt
)tsen-1(9
tcos6=tdtcos3
(3sent)-9
2=dx
x-9
22222
[x = 3sent ⇒ sent = x/3 ⇒ t = arcsen x/3 ] Sol: 2arcsen x/3 + C
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
∫ dx.xcos.xsen mn
m impar ⇒ Cambio sen x = t
n impar ⇒ Cambio cos x = t
m y n pares ⇒ Cambio tag x = t
[1 + tag2 x = xcos
12 ⇒ cos2 x = 2t1
1
+
sen2 x = 1 – cos2 x = 1 - 2t1
1
+ = 2
2
t1
t
+
(1 + tag2 x) dx = dt ⇒ dx = 2t1
dt
+ ]
Nota: Casos particulares: ∫ ∫ xdxcos ó xdxsen 22
Recordar las fórmulas trigonométricas
sen2 x = 2
x2cos1− cos2 x = 2
x2cos1+
[1]
∫ ∫ ∫ ∫∫ =−=−=−= xdx2cos22
1
2
1x
2
1xdx2cos
2
1dx
2
1dx
2
x2cos1xdxsen2
Cx2sen4
1x
2
1 +−
[2] ∫ =xdxsen.xcos 34
[cos x = t ⇒ -sen x dx = dt ⇒ dx = senx
dt
− ]
∫ ∫ ∫∫ =−−=−=−
= dx)xcos1(tdx.xsen.tsenx
dt.xsen.xcosxdxsen.xcos 24243434
∫ ∫ ++−=++−=+−=−− C7
xcos
5
xcosC
7
t
5
tdtttdt)t1(t
75756424
[3] ∫ =xdxcos5
[senx = t ⇒ cos x..dx = dt ⇒ dx = xcos
dt]
∫ xdxcos5 = ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =−=−=== dt)t1(dxxsen1dx)x(cosxdxcosxcos
dt.xcos 22222245
∫ C+5
xsen+
3
xsen.2senx=C+
5
t+
3
t2t=dt)t+t21(
535342
[4] ∫ xdxcos.xsen 22
[ tag x = t ⇒ cos2 x = 2t1
1
+ , sen2 x = 2
2
t1
t
+ , dx = 2t1
dt
+ ]
∫∫ +=
+++dt
)t1(
t
t1
dt.
t1
1.
t1
t32
2
222
2
(Integral racional)
INTEGRALES RACIONALES ∫ dx)x(Q
)x(P
Caso I : Grado de P(x) ≥≥≥≥ Grado Q(x) ⇒ Hacer la división ⇒ ∫ + dx)x(Q
)x(R)x(C
Y grado de R(x) < grado Q(x) Caso I I : Grado de P(x) < Grado Q(x) ⇒ Factorizar el denominador: Q(x) Caso II.1 : Todas las raíces de Q(x) son reales y simples: Q(x) = (x-a).(x-b).(x-c)
∫∫
−+
−+
−= dx
cx
C
bx
B
ax
Adx
)x(Q
)x(P
Los números A, B y C se hallan reduciendo a común denominador e igualando los numeradores. Modo 1: Igualando los coeficientes del mismo grado. Modo 2: Dando valores a la “x” (a,b,c) y resolviendo el sistema. Solución: Logaritmos Caso II.2 : Todas las raíces de Q(x) son reales, pero alguna no simple:Q(x)=(x-a).(x-b)3
( )∫∫
−+
−+
−+
−= dx
)bx(
D
bx
C
bx
B
ax
Adx
)x(Q
)x(P32
Los números A, B y C se hallan reduciendo a común denominador e igualando los numeradores. Modo 1: Igualando los coeficientes del mismo grado. Modo 2: Dando valores a la “x” (a,b,cualquier otro) y resolviendo el sistema. Solución: Logaritmos y Potencias Caso II.3 : Alguna raíz de Q(x) no real: Q(x) = (x-a).(x2+1)
∫∫
+++
−= dx
1x
CBx
ax
Adx
)x(Q
)x(P2
(En el numerador un polinomio de un grado menos
que en el denominador) Los números A, B y C se hallan reduciendo a común denominador e igualando los numeradores. Modo 1: Igualando los coeficientes del mismo grado. Modo 2: Dando valores a la “x” (a, cualquier otro) y resolviendo el sistema. Solución: Logaritmos y arcotangentes. Ejemplos:
Ejercicios resueltos de integrales de tipo arcotangente.
Ejemplos
Denominador con raíces imaginarias
[1]
∫ ∫∫ =−
+−=−
+−=−
+−dx
3x2
2
2
1.
4
1x
4
5
2
x
2
3dx
3x24
1
4
5x
2
3dx
3x2
4x7x3 22
C|3x2|ln8
1x
4
5
4
x3 2
+−+−
[2] ∫ ∫ −−+−+=
−−+−+
6x7x
13x3x41dx
6x7x
7x10x4x3
2
3
23
dx = x + ∫ −−+−
dx6x7x
13x3x43
2
Factorizamos el denominador: x3 – 7x – 6 = (x+1).(x-3).(x+2)
2x
C
3x
B
1x
A
6x7x
13x3x43
2
++
−+
+=
−−+−
=
6x7x
)3x).(1x(C)2x).(1x(B)2x).(3x(A3 −−
−++++++−
4x2 – 3x + 13 = )3x).(1x(C)2x).(1x(B)2x).(3x(A −++++++− Modo 1: igualando coeficientes 4x2 – 3x + 13 = A(x2 – x –6) + B(x2 + 3x + 2) + C(x2 – 2x –3) 4 = A + B + C -3 = -A + 3B –2C ⇒ Resolviendo el sistema (Gauss) ⇒ A = ; B = ; C = 13 = -6A + 2B –3C Modo 2: dado valores a “x” 4x2 – 3x + 13 = )3x).(1x(C)2x).(1x(B)2x).(3x(A −++++++− x = 3 ⇒ 36 – 9 + 13 = B.4.5 ⇒ B = 40/20 = 2 x = -2 ⇒ 16 + 6 + 13 = C.(-1).(-5) ⇒ C = 35/5 = 7 x = -1 ⇒ 4 + 3 + 13 = A(-4).1 ⇒ A = 20/-4 = -5
x + ∫ −−+−
dx6x7x
13x3x43
2
= x +
∫ +++−++−=+
+−
++
−C|2x|Ln.7 |3x|Ln.2 |1x|Ln5xdx
2x
7
3x
2
1x
5
[3] ∫ −+−+−+−−
dxxx2x2x
2x5xx5x7x62356
2345
Q(x) = x2.(x-1)3.(x+1)
= ∫ ++
−+
−+
−++ dx
1x
F
)1x(
E
)1x(
D
1x
C
x
B
x
A322
Operando obtenemos : A = 1, B = -2, C = 5, D = 2, E = -4, F = 0
∫ −−
−+
−+− dx
)1x(
4
)1x(
2
1x
5
x
2
x
1322
=
∫ ∫ ∫∫∫ =−−−+−
+− −−− dx)1x(4dx)1x(2dx1x
15dxx2dx
x
1 322
= Ln |x| – 2 =+−−−
−−+−+
−
−−−
C2
)1x(4
1
)1x(.2|1x|ln5
1
x 211
= Ln|x| ( )
C1x
2
1x
2|1x|ln.5
x
22
+−
+−
−−++
[4] ∫ ∫∫ +++=+
++
=++
Carctagx3|1x|Lndx1x
3dx
1x
x2dx
1x
3x2 2222
[5] ∫ ∫ ∫ ∫ +++
+++=
++++=
+++
dx1xx
12dx
1xx
1x2dx
1xx
21x2dx
1xx
3x22222
= Ln|x2 + x + 1| +
2. ∫ ∫
+
++++=
+
+dx
4
34
3
4
32
1x
1
4
31
.2|1xx|Lndx
4
3
2
1x
12
22
=Ln|x2 + x + 1| +
∫ ∫ =
+
++++=
+
+dx
13
1x2
3
2
2
3
3
8|1xx|Lndx
13
1x2
1
3
82
22
Ln|x2 + x + 1| + C3
1x2arctag
3
34 +
+
[6] ∫ ∫ ∫ ∫ =++−−+=
++−=
++
−=
++−
dx1xx
3/211x2
2
3dx
1xx
3/2x2
2
3dx
1xx
)1x3(3
2
2
3dx
1xx
1x32222
∫ ∫ ++−
+++
dx1xx
1
3
5.
2
3dx
1xx
1x2
2
322
= ∫ ++−++ dx
1xx
1
2
51xxLn
2
32
2 =
C3
1x2arctag
3
32
2
51xxLn
2
3 2 +
+−++ = C3
1x2arctag
3
351xxLn
2
3 2 +
+−++
LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES
13.1 – INTEGRAL DEFINIDA APROXIMACIÓN DEL AREA BAJO UNA CURVA Suma inferior (mi = mínimo) Suma superior (Mi = máximo)
M)xx(M)xx(S A m)xx(m)xx(s 212101212101 −+−=≤≤−+−= Si aumentamos el número de trozos, la diferencia será cada vez menor.
∑∑=
−=
− −=≤≤−=n
1i1iii
n
1i1iii )xx.(M S A )xx.(ms
Si el número de trozos es infinito: La suma inferior = A = suma superior (mi=M i=f(xi))
A = ∫∑ =−∞
=−
b
a1i
1iii dx)x(f)xx)(x(f
Por tanto la integral definida entre los puntos x = a x = b nos da el área de la región limitada entre la curva en el eje de abscisas entre los puntos a y b.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
[1] ∫ =a
a0dx)x(f
[2] ∫ ∫a
b
b
a dx)x(f- =dx)x(f
[3] Signo de la integral:
• Si f(x) > 0 y continua en [a,b], entonces ∫b
adx)x(f > 0
• Si f(x) < 0 y continua en [a,b], entonces ∫b
adx)x(f < 0
[4] Si a < b < c y f es continua en [a,b] ⇒ ∫b
a dx)x(f = ∫
c
a dx)x(f + ∫
b
cdx)x(f
[5] Si f(x) ≤ g(x) en cada x ∈ [a,b] ⇒ ∫b
adx)x(f ≤ ∫
b
adx)x(g
OPERACIONES CON INTEGRALES DEFINIDAS
[1] Suma o resta: ∫ ±b
adx)x)(gf( = ∫
b
adx)x(f ± ∫
b
adx)x(g
[2] Multiplicación por un escalar: ∫b
adx)x(kf = k. ∫
b
adx)x(f
TEOREMAS DE INTEGRACIÓN [1] Teorema del valor medio del cálculo integral.
Sea f una función continua en [a,b] ⇒ ∃ c ∈ [a,b] tal que: ∫b
adx)x(f = f(c).(b-a)
[2] Teorema fundamental del cálculo
Si f es una función continua en [a,b] ⇒ La función F(x) = ∫x
adx)x(f , x ∈ [a,b] es
derivable, y se verifica que F´(x) = f(x) [3] Regla de Bar row Si f(x) es continua en [a,b] y F(x) es una primitiva suya, entonces:
∫b
adx)x(f = )a(F-)b(F=
a
b)x(F ∋ F ´(x) = f(x)
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA [1] Cálculo del área encerrada entre una curva y el eje OX entre x = a y x = b
• Si f(x) ≥ 0 , x ∈ [a,b]
A = ∫b
adx)x(f
• Si f(x) < 0 , x ∈ [a,b]
A = - ∫b
adx)x(f
• Si f(x) cambia de signo en [a,b]
x ∈ [a,c] f(x) ≥ 0 x ∈ [c,b] f(x) < 0
A = ∫∫ −b
c
c
adx)x(fdx)x(f
• Cálculo:
o Hallar los puntos de corte de la función con el eje OX ( y = 0) o Hallar una tabla de valores entre los puntos de corte o Representar la función (extremos relativos, puntos de inflexión) o Hallar la integral, teniendo en cuenta cuando la función está por encima
del eje y cuando por debajo.
[2] Cálculo del área encerrada entre var ias curvas
= -
A = [ ]dx )x(g)x(fb
a∫ −
Es decir, la integral definida entre la resta de la función que esta por encima menos la que está por debajo entre los puntos de corte de ambas.
• Cálculo:
o Puntos de corte entre las dos funciones. Resolver el sistema
==
)x(gy
)x(fy
o Hallar una tabla de valores entre los puntos de corte o Representar cada función (extremos relativos, puntos de inflexión) o Hallar la integral, cual es la función que está por encima y cuál es la que
está por debajo.
[3] Volumen de un cuerpo de revolución Un trozo de curva y = f(x), x ∈ [a,b], se hace girar alrededor del eje X engendrando un cuerpo de revolución cuyo volumen queremos calcular. La rodaja señalada en la figura tiene por volumen:
Π f(ci)2 (xi – xi-1)
El volumen de este cuerpo es, aproximadamente
∑=
n
1i
Π f(ci)2 (xi – xi-1)
Pasando al límite obtenemos el valor exacto mediante una integral:
V = ∫ ∫π=πb
a
b
a
22 dx)x(fdx)x(f
CÁLCULO DE INTEGRALES EJERCICIO 1 : Halla las siguientes integrales:
dx3x2senxa) dxe12xb) x2 dxx6xcos·3xc) 2 23 xx
dxd)
dx2xx2e) 2 dxxsen1x3f) dx
e3
e3g)x2
x2
dx3x2x
2h) 2
dxx
x3xi)3
2 dxxln3x2j) dxx32k)
22 dxx
)lnx(cosl)
3 2x5
dxm) dx
3e
en)x2
x2 dx1xxñ) 2 dx
x2sen
x2cos)o
3
dxx
xx2p)2
dxxlnxxq)
dx
1x45
x1
3r)2
dxxcos
es)2
tgx
t)
dxx1
x1 u) 1xxdx v)
dx
1e
ex
x2 w)
2
2
x1
dxx
dxe1xx) x2 dxcosx1xy) z) dxx1x 2 dxsenxx321)
dxarctgx·x32) 2 dxx3xcos3) dxlnx1x4) dxe1xx5) x2
dxlnxx6) 2 7) 34x6xdx
2 8) xx2xdx
23 9) dx
6x5x9x5x
2
2
10) dx
x4x5x1x20x25x5
23
23 11)
dxx4x1x
3
3 12)
dxx2xx6x2x
23
4
13) 5x2xdx
2 14) 2x2xdxx
2 15) 17x2xdxx2
2 16)
dx5x
6xx2
2
LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS EJERCICIO 1 : Halla las siguientes integrales
∫− −3
3
2 dxx9 ∫−
−+
1
1
2 dxx11
DERIVAR INTEGRALES
EJERCICIO 2 : Dada la función: ( ) ( )∫ +=x
0
2 dttcos1xF Calcula F' (x).
EJERCICIO 3 : Sin necesidad de resolver la integral, indica dónde hay máximo o mínimo relativo en la función:
( ) ( )∫ −=x
1dt2tlnxF
EJERCICIO 4 : ( ) ( ) ( )∫ −=x
0
3 dt1ttgxF que sabiendo x'F Halla
EJERCICIO 5 : ( ) ∫= esta de extremos puntos posibles losObtén .dttsenxFfunción la Dada 2 función en [0, 2π].
EJERCICIO 6 : ( ) ( )∫ +=x
1
2 dt·logttsenx'F Calcula
CÁLCULO DE ÁREAS EJERCICIO 7 : Halla el área limitada por la recta x = y + 5, el eje abscisas y las rectas x = 2 y x = 4, mediante la integral definida y por la geometría elemental. EJERCICIO 8 : Mediante los métodos de la integral definida y geometría elemental calcula el
área abscisas. de eje ely 7x,2x,12
xy rectas laspor limitada ==+=
EJERCICIO 9 : Calcula el área del recinto comprendido entre el eje de abscisas, el eje de ordenadas, y la recta que pasa por el punto P (2, 3) y tiene de pendiente m = - 2, mediante los métodos de la integral definida y de la geometría elemental.
EJERCICIO 10 : Halla el área limitada por la parábola y = x2 - 7x + 6, el eje de abscisas y las rectas x = 2, x = 6.
EJERCICIO 11 : Halla el área limitada por la curva y = x3 - 6x2 + 8x y el eje de abscisas.
EJERCICIO 12 : .2= y x1= xlas rectas , x2= yla funciónitado por limo intrec área del Calcula el ; y
el eje OX EJERCICIO 13 : Halla el área del recinto limitado por la curva y = (x - 1) · (x + 2), las rectas x = 3, x = 2 y el eje de abscisas. EJERCICIO 14 : Calcula el área limitada por la curva xy = 36, el eje de abscisas y las rectas x = 3, x = 12.
EJERCICIO 15 : Calcula el área limitada por las curvas y = x2 e y = |x + 2|.
EJERCICIO 16 : Halla el área limitada por la curva y = x2 y la recta y = x + 6.
EJERCICIO 17 : Halla el área limitada por las parábolas y = 6x + x2, y = - x2 + 2x.
EJERCICIO 18 : Calcula el área limitada por la parábola y = x2 - 4x y la recta y = 3x - 6.
EJERCICIO 19 : Demuestra mediante el cálculo integral la fórmula del área de un rectángulo. EJERCICIO 20 : Deduce mediante el cálculo integral la fórmula del área de un trapecio rectangular. EJERCICIO 21 : Obtén la fórmula del área de un triángulo rectángulo mediante el cálculo integral. EJERCICIO 22 : Obtén, utilizando el cálculo integral, el área de un trapecio rectangular de bases 3 cm y 5 cm, y de altura 4 cm. EJERCICIO 23 : Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área de un triángulo rectángulo de base 3 m y altura 5
m es 7,5 m2.
EJERCICIO 24 : 1= xentre y,= xrecta lay x
1=y curva lapor limitado recinto del área el Calcula ,x = 4. y OX
EJERCICIO 25 : y 1 xrectas lasy 0,y recta la ,x
3y curva lapor limitado recinto del área el Halla === x = e2.
EJERCICIO 26 : Halla el área del recinto limitado por las curvas y = 2x3 − x2 + x e y = x3 + 3x2 + x.
EJERCICIO 27 : ely 1,y x 1 xrectas las ,1x
2xy curva lapor limitado recinto del área elObtén
2=−=
+= eje de
abscisas.
EJERCICIO 28 : Halla el área del recinto limitado por la curva y = x (x + 1)2, las recta x = −1 y x = 1, y el eje de abscisas.
CÁLCULO DE VOLÚMENES
EJERCICIO 29 : Halla el volumen engendrado al girar alrededor del eje X el recinto limitado por y2 = 2x, x=1, x=2.
EJERCICIO 30 : Calcula el volumen engendrado por la curva y2 = 8x y la recta x = 2 al girar alrededor del eje X.
EJERCICIO 31 : delalrededor girar al 1y4
x elipse lapor engendrado cuerpo del volumen el Halla 2
2
=+ eje X.
EJERCICIO 32 : X. eje delalrededor girar al 14
y
9
x elipse lapor engendrado volumen el Calcula
22
=+
EJERCICIO 33 : Halla el volumen engendrado por el trapecio limitado por las rectas x=0, x=5, y = 0, x + 5y - 10 = 0 al girar alrededor del eje X. EJERCICIO 34 : Obtén, mediante el cálculo integral, el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 5 cm. EJERCICIO 35 : Utilizando el cálculo integral, calcula el volumen de un cono de radio 5 m y altura 10 m. EJERCICIO 36 : Calcula, mediante el cálculo integral, el volumen de un tronco de cono de radios 3 cm y 5 cm, y altura 6 cm. EJERCICIO 37 : Utilizando el cálculo integral, obtén el volumen de una esfera de radio 2 cm. EJERCICIO 38 : Halla, mediante el cálculo integral, el volumen de un elipsoide de radios 3 cm y 4 cm.
CÁLCULO DE INTEGRALES EJERCICIO 1 : Halla las siguientes integrales:
dx3x2senxa) dxe12xb) x2 dxx6xcos·3xc) 2 23 xx
dxd)
dx2xx2e) 2 dxxsen1x3f) dx
e3
e3g)x2
x2
dx3x2x
2h) 2
dxx
x3xi)3
2 dxxln3x2j) dxx32k)
22 dxx
)lnx(cosl)
3 2x5
dxm) dx
3e
en)x2
x2 dx1xxñ) 2 dx
x2sen
x2cos)o
3
dxx
xx2p)2
dxxlnxxq)
dx
1x45
x1
3r)2
dxxcos
es)2
tgx
t)
dxx1
x1 u) 1xxdx v)
dx
1e
ex
x2 w)
2
2
x1
dxx
dxe1xx) x2 dxcosx1xy) z) dxx1x 2 dxsenxx321)
dxarctgx·x32) 2 dxx3xcos3) dxlnx1x4) dxe1xx5) x2
dxlnxx6) 2 7) 34x6xdx
2 8) xx2xdx
23 9) dx
6x5x9x5x
2
2
10) dx
x4x5x1x20x25x5
23
23 11)
dxx4x1x
3
3 12)
dxx2xx6x2x
23
4
13) 5x2xdx
2 14) 2x2xdxx
2 15) 17x2xdxx2
2 16)
dx5x
6xx2
2
LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS EJERCICIO 1 : Halla las siguientes integrales
∫− −3
3
2 dxx9 ∫−
−+
1
1
2 dxx11
DERIVAR INTEGRALES
EJERCICIO 2 : Dada la función: ( ) ( )∫ +=x
0
2 dttcos1xF Calcula F' (x).
EJERCICIO 3 : Sin necesidad de resolver la integral, indica dónde hay máximo o mínimo relativo en la función:
( ) ( )∫ −=x
1dt2tlnxF
EJERCICIO 4 : ( ) ( ) ( )∫ −=x
0
3 dt1ttgxF que sabiendo x'F Halla
EJERCICIO 5 : ( ) ∫= esta de extremos puntos posibles losObtén .dttsenxFfunción la Dada 2 función en [0, 2π].
EJERCICIO 6 : ( ) ( )∫ +=x
1
2 dt·logttsenx'F Calcula
CÁLCULO DE ÁREAS EJERCICIO 7 : Halla el área limitada por la recta x = y + 5, el eje abscisas y las rectas x = 2 y x = 4, mediante la integral definida y por la geometría elemental. EJERCICIO 8 : Mediante los métodos de la integral definida y geometría elemental calcula el
área abscisas. de eje ely 7x,2x,12
xy rectas laspor limitada ==+=
EJERCICIO 9 : Calcula el área del recinto comprendido entre el eje de abscisas, el eje de ordenadas, y la recta que pasa por el punto P (2, 3) y tiene de pendiente m = - 2, mediante los métodos de la integral definida y de la geometría elemental.
EJERCICIO 10 : Halla el área limitada por la parábola y = x2 - 7x + 6, el eje de abscisas y las rectas x = 2, x = 6.
EJERCICIO 11 : Halla el área limitada por la curva y = x3 - 6x2 + 8x y el eje de abscisas.
EJERCICIO 12 : .2= y x1= xlas rectas , x2= yla funciónitado por limo intrec área del Calcula el ; y
el eje OX EJERCICIO 13 : Halla el área del recinto limitado por la curva y = (x - 1) · (x + 2), las rectas x = 3, x = 2 y el eje de abscisas. EJERCICIO 14 : Calcula el área limitada por la curva xy = 36, el eje de abscisas y las rectas x = 3, x = 12.
EJERCICIO 15 : Calcula el área limitada por las curvas y = x2 e y = |x + 2|.
EJERCICIO 16 : Halla el área limitada por la curva y = x2 y la recta y = x + 6.
EJERCICIO 17 : Halla el área limitada por las parábolas y = 6x + x2, y = - x2 + 2x.
EJERCICIO 18 : Calcula el área limitada por la parábola y = x2 - 4x y la recta y = 3x - 6.
EJERCICIO 19 : Demuestra mediante el cálculo integral la fórmula del área de un rectángulo. EJERCICIO 20 : Deduce mediante el cálculo integral la fórmula del área de un trapecio rectangular. EJERCICIO 21 : Obtén la fórmula del área de un triángulo rectángulo mediante el cálculo integral. EJERCICIO 22 : Obtén, utilizando el cálculo integral, el área de un trapecio rectangular de bases 3 cm y 5 cm, y de altura 4 cm. EJERCICIO 23 : Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área de un triángulo rectángulo de base 3 m y altura 5
m es 7,5 m2.
EJERCICIO 24 : 1= xentre y,= xrecta lay x
1=y curva lapor limitado recinto del área el Calcula ,x = 4. y OX
EJERCICIO 25 : y 1 xrectas lasy 0,y recta la ,x
3y curva lapor limitado recinto del área el Halla === x = e2.
EJERCICIO 26 : Halla el área del recinto limitado por las curvas y = 2x3 − x2 + x e y = x3 + 3x2 + x.
EJERCICIO 27 : ely 1,y x 1 xrectas las ,1x
2xy curva lapor limitado recinto del área elObtén
2=−=
+= eje de
abscisas.
EJERCICIO 28 : Halla el área del recinto limitado por la curva y = x (x + 1)2, las recta x = −1 y x = 1, y el eje de abscisas.
CÁLCULO DE VOLÚMENES
EJERCICIO 29 : Halla el volumen engendrado al girar alrededor del eje X el recinto limitado por y2 = 2x, x=1, x=2.
EJERCICIO 30 : Calcula el volumen engendrado por la curva y2 = 8x y la recta x = 2 al girar alrededor del eje X.
EJERCICIO 31 : delalrededor girar al 1y4
x elipse lapor engendrado cuerpo del volumen el Halla 2
2
=+ eje X.
EJERCICIO 32 : X. eje delalrededor girar al 14
y
9
x elipse lapor engendrado volumen el Calcula
22
=+
EJERCICIO 33 : Halla el volumen engendrado por el trapecio limitado por las rectas x=0, x=5, y = 0, x + 5y - 10 = 0 al girar alrededor del eje X. EJERCICIO 34 : Obtén, mediante el cálculo integral, el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 5 cm. EJERCICIO 35 : Utilizando el cálculo integral, calcula el volumen de un cono de radio 5 m y altura 10 m. EJERCICIO 36 : Calcula, mediante el cálculo integral, el volumen de un tronco de cono de radios 3 cm y 5 cm, y altura 6 cm. EJERCICIO 37 : Utilizando el cálculo integral, obtén el volumen de una esfera de radio 2 cm. EJERCICIO 38 : Halla, mediante el cálculo integral, el volumen de un elipsoide de radios 3 cm y 4 cm.