mat aplicada (derivada y integrales

MATEMATICA APLICADA

MSc Cesar Vera

Mantenimiento de Maquinaria de Planta

2012-II

LO QUE TIENEN QUE SABER

• Sala de profesores de Mecánica

• 4 pm a 6.30 pm

Nota Final = 0,30 E + 0,70 PA

E = Examen finalPA = Promedio de prácticas calificadas y otros ( 7 notas)

Práctica calificada 01.Práctica calificada 02.Práctica calificada 03.Práctica calificada 04.Práctica calificada 05.

Portafolio/cuaderno del alumno.Participación en clase.Problema - tarea.

1m3• Matemática

• Aplicada

• Para

• Resolver

• Problemas

• Reales

• de Ingeniería

• Como … ?

El Problema de la Recta Tangente

Se quiere hallar la recta tangente a la curva

en el punto (a ; f(a))

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

y = f(x)

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

y = f(x)

(a; f(a))

(x; f(x))

Se quiere hallar la recta tangente a la curva

en el punto (a ; f(a))

Se toma un punto arbitrario (x ; f(x)) y se traza la

recta secante que pasa por esos dos puntos

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

(a; f(a))

(x; f(x))

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

(a; f(a))

(x; f(x))

¿Cuál es la pendiente de la recta secante?

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

(a; f(a))

(x; f(x))

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x


2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x


2 4 6 8

2

4

6

x

y

ax


Pendiente de la recta secante que pasa por

los puntos (a; f(a)) y (x; f(x))

ax

afxfPendiente

−−= )()(

Pendiente de la recta tangente en el punto (a; f(a))

ax

afxflímm

ax −−=

→

)()(

La siguiente es una forma equivalente:

h

afhaflímmh

)()(0

−+=→

Ejemplos

• 1) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto (1;1).

• 2) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y = 3/x en el punto (3;1).

Ejemplos

• 3) Encuentre la pendiente de la recta tangente en el punto (9;3) a la curva:

xy =

Definición

• La derivada de una función f en un

número a, denotada con f’(a), es:

h

afhaflímafh

)()()('

0

−+=→

si este límite existe.

Definición alterna

ax

afxflímaf

ax −−=

→

)()()('

Interpretación geométrica de la derivada

• La derivada de una función f en un número a

es la pendiente de la recta tangente a la

gráfica de la función en el punto (a; f(a)).

• Posteriormente se verá que la derivada

también se puede interpretar como la razón de cambio de una magnitud respecto de

otra.

La derivada como una función

• Si en la definición anterior,

cambiamos el número “a” por la

variable “x”, obtenemos:

h

xfhxflímxfh

)()()('

0

−+=→

En este caso, f’ es una nueva función llamada derivada de f.

Ejemplos

• Halle las derivadas de f, g y h enuncie sus respectivos dominios.

1)()3 −= xxh

xxxg −= 3)()2

235)()1 xxf −=

La Integral

• Determina la antiderivadamás general.

• Interpreta la integral y su relación con la derivada.

• Define la integral definida.

• Calcula áreas de regiones limitadas en el plano.

37

38

Antiderivadas

Definición : Una función F se llamaantiderivada de una función f en unintervalo I si la derivada de F es f,esto es F´(x) = f(x) para todo x en I.

39

Teorema:

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.

Teorema:

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.

Teorema:

Si dos funciones P y Q son antiderivadasde una función f en un intervalo I ,entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante)para todo x en I.

40

INTERPRETACION GEOMETRICA

41


42


43


44

Ejemplo 1

Encuentre la antiderivada más general de cada una d e las siguientes funciones.

n

x

xxfc

b

exfa

=

=

=

)( )x1

f(x) )

)( )

45

xsen

x

e

x

nx

xgxf

xfc

x

n

cos

1

)1(

)()(

)(

−≠+

Función

( )

x

xsen

e

x

nx

xGxF

xcF

x

n

cos

ln

1

)()(

)(

1

−

+

++

Antiderivadaparticular

46

CALCULO DE ÁREAS

A2

A4

A3

A1

INTEGRAL DEFINIDA Y

¿Área?

48

1e)x(f x +=

Definición : El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la funcióncontinua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:

( ) ( ) ( )[ ]xxfxxfxxfAA nn

n

ii

n∆++∆+∆==

∞→=∞→ ∑ **2

*1

1

...limlim

x∆

49

∑∫=∞→

∆=n

1iii

*

n

b

a

x)x(flimdx)x(f

∫b

a

dx)x(f

Integrando

Limite

superior

No tiene significado, indica respecto a que variable se integra.

El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración .

Limite Inferior

50

2°Teorema Fundamental del Cálculo

Si f es una función continua en [a, b]y F una antiderivada de f en [a, b], entonces:

Esta regla convierte al cálculo de integrales definidas en u nproblema de búsqueda de antiderivadas y evaluación.

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a−==∫

51

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDAPROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Si f y g son funciones integrablesen [a, b] y αααα y ββββ son constantes, setiene :

∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ββββ++++αααα====ββββ++++ααααb

a

b

a

b

adx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(

Propiedad de linealidad

52

2. Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha:

∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ====++++c

a

b

a

b

cdx)x(fdx)x(fdx)x(f

Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración

bac ,∈

53

La propiedad anterior es aplicada cuando la función está def inidapor partes y cuando es seccionalmente continua.

≤<≤≤

=31 1 -

10 x )(

2

xx

xxf

∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ −−−−++++====3

0

1

0

3

1

2 dx)1x(dxxdx)x(f

( )∫3

0

dxxf

Ejemplo:Si

y se quiere hallar:

54

)( abhdxhb

a−=∫

Y representa el área de un rectángulo de alturah y longitud de base (b – a).

3.

55

DEFINICIONES:Sea f una función integrable en[a, b], entonces :

∫∫∫∫ ====a

a0dx)x(f.1

∫∫∫∫ ∫∫∫∫−−−−====b

a

a

bdx)x(fdx)x(f.2

56

Definición :Sea f una función contínua tal que :• f(x) ≥≥≥≥0 en [a, b] y• S={(x, y)/ a ≤≤≤≤x≤≤≤≤b, 0≤≤≤≤y≤≤≤≤f(x)}

Se denota por A(S) y se llama área dela región definida por S al númerodado por:

∫∫∫∫====b

adx)x(f)S(A

57

y = f(x)

dx

dA = f(x)dx

∫=b

a

f(x)dxA ∫=b

a

f(x)dxA

f(x)

dx

y

x0 a bx∆

58

Ejemplo 1:Calcular el área de la región :S={(x, y)/ 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 2, 0 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ x2 + 1}

59

dy

y

x0

dyx = g(y)

d

c

∫∫∫∫====d

c

g(y)dyA ∫∫∫∫====d

c

g(y)dyA

dA = g(y)dy

g(y)

60

Ejemplo 2:

Hallar el área de la región limitadapor y = 2x, y = (x-2) 2 + 1, x = 3 y eleje X, tal como lo muestra la figura.

61

dx

y

x0 dx

y = f(x)

y = g(x)

f(x)

- g(x)

[[[[ ]]]]∫∫∫∫====b

a

dxg(x)-f(x)A [[[[ ]]]]∫∫∫∫====b

a

dxg(x)-f(x)A

dA =[f(x) - g(x)]dxba

62

3. Encontrar el área entre las curvas y = x - x 3 ; 2x1xy −−−−====

-1 1

-1

1

x

y

63

4. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3; x−=1y2

Edwards y Penney CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA (ESPAÑOL)

mat aplicada (derivada y integrales

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