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Estimacin por Mnimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

Sea el siguiente modelo lineal simple:

Ni

XYiii

..1

)11(21

En base a una muestra de tamao N , es posible estimar los parmetros del modelo.

Un criterio muy utilizado es el de Mnimos Cuadrados Ordinaros (MCO).

Este mtodo consiste en la minimizacin de la suma de los residuos del modelo elevados al cuadrado.

El programa de Minimizacin es el siguiente:

),()( 212

2

1

1

1

2

, 21

fXYM in i

N

i

i

N

i

i

Supuestos de la estimacin MCO

Sean los siguientes supuestos de la estimacin de MCO-Modelo clsico de regresin lineal:

1.

El modelo de regresin es lineal en los parmetros2. Los valores de X son fijos en muestreo repetido

3. El valor esperado de la perturbacin estocstica condicionada en los valores Xs es igual a cero

4.

Homoscedasticidad

5.

Ausencia de autocorrelacin en los errores

6. El modelo est correctamente especificado

7. Existe suficiente variabilidad en la(s) variable(s) explicativa(s)

1. El modelo de regresin es lineal en los parmetros

)11(21 iii XY

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Esto claramente se ve en la ecuacin (11).

Este supuesto se cumple mientras los parmetros del modelo son lineales en la LRP (es decir en la esperanza

condicional dei

Y )

2. Los valores de X son fijos en muestreo repetido: las Xs no son estocsticas

El investigador selecciona las X y en base a los valores de X realiza un muestreo aleatorio de la variable dependiente.

Por ejemplo, selecciona X=80 y luego selecciona aleatoriamente el valor de Y.

Inicialmente se realiza el anlisis de regresin condicionado en las Xs.

3. El valor esperado de la perturbacin estocstica es igual a cero

Esto quiere decir que los valores dei

no afectan sistemticamente a los valores dei

Y

Si:

NiXE

uXY

ii

iii

...10/

)11(21

Entonces:

iii

iiiiii

iiiii

XXYE

XEXXEXYE

XXEXYE

21

21

21

)/(

)/()/()/(

)/()/(

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4. Homoscedasticidad o igual varianza de la perturbacin estocstica del modelo

Las varianzas condicionales de la perturbacin estocstica son iguales.

Bajo este supuesto:

Ni

X

XEX

XEEX

ii

iiii

iiiii

...1

)19()/var(

/)()/var(

/))(()/var(

2

2

2

El supuesto anterior implica que:

2

21

)/var()/var(

)/var()/var(

iiii

iiiii

XXY

XXXY

Este resultado se obtiene fcilmente, ya sea utilizando las propiedades de la varianza o mediante la definicin de

varianza.

LRP

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5. No existen problemas de autocorrelacin de los errores

,...2,1..1

)20(0,/(),/cov(

,/))())(((),/cov(

jTt

XXEXX

XXEEEXX

jttjttjttjtt

jttjtjtttjttjtt

El problema de autocorrelacin es generalmente un problema de series de tiempo.

La ausencia de autocorrelacin implica quet

Y depende sistemticamente y nicamente de tX .

Si existieran problemas de autocorrelacin, tambin dependera sistemticamente de los errores rezagados del

modelo.

6. No existen problemas de correlacin entre la(s) variable(s) explicativa(s) y el trmino de error

Ni

XXiii

..1

)21(0)/cov(

El segundo supuesto garantiza que esto se cumpla. Al ser las Xs determinsticas la covarianza con el trmino de error

es 0.

Ms adelante se levantar el supuesto de no aleatoriedad y se vern las consecuencias.

7. El nmero de observaciones debe ser por lo menos igual al nmero de parmetros a estimar

kN

k es el nmero de parmetros a estimar. 2k en el modelo de regresin simple.

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8. Existe suficiente variabilidad en las Xs

Esto se puede comprender mejor utilizando la solucin:

N

i

i

N

i

ii

x

yx

1

2

1

2

Si las Xs no tuvieran variabilidad entonces:

01

2

N

i

ix

Ello implicara que la solucin sera indeterminada.

9. El modelo est correctamente especificado

+ Todas las variables importantes estn incluidas en el modelo.

+ La forma funcional es la correcta.

+ El modelo est bien definido en trminos de las ecuaciones necesarias.

+ Los supuestos probabilisticos sobre Yi, Xi y ui son los correctos.

+ Las variables se miden correctamente.

+ En general, no se ha cometido ningn error de especificacin.

De haberlo hecho, dependiendo del tipo de error, ello tendra implicaciones ms o menos serias sobre las

propiedades de los estimadores MCO.

10. En un modelo de regresin mltiple, se agrega el supuesto de ausencia de multicolinealidad

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Ninguna de las variables explicativas puede ser escrita como combinacin lineal de las otras variables explicativas del

modelo (incluyendo la constante).