SUPERPOSICIÓN DE

ONDAS

La forma de onda resultante de la superposición de ondas se obtiene

sumando algebraicamente cada una de las ondas senoidales que componen

ese movimiento complejo.

Si superponemos ondas senoidales de igual frecuencia, aunque con

eventuales distintas amplitudes y/o fases, obtendremos otra onda senoidal

con la misma frecuencia, pero con distinta amplitud y fase. Eventualmente

esas ondas pueden cancelarse, por ejemplo si tuvieran igual amplitud pero

una diferencia de fase de 180º.

En algunos campos de la acústica puede resultar también interesante el caso

de la superposición de ondas senoidales que se desarrollan sobre ejes

perpendiculares. No estudiaremos aquí esos casos.

De particular interés resulta el caso de superposición de ondas senoidales de

distinta frecuencia y eventual distinta amplitud y fase (por constituir el caso

descrito por Fourier para la descomposición de los movimientos complejos).

Si bien la descomposición de todo movimiento complejo en una

superposición de distintas proporciones de movimientos armónicos simples

es estrictamente cierta para el caso de movimientos complejos periódicos,

determinadas aproximaciones matemáticas nos permiten descomponer

también todo movimiento no periódico en un conjunto de movimientos

simples.

Si superponemos parciales no armónicos obtendremos una forma de onda

no periódica, como la mostrada en la Figura 01.

FIGURA 01: Onda compleja no periódica

La superposición de ondas senoidales cuyas frecuencias guarden una

relación sencilla de números enteros (es decir, armónicos) resultará en un

movimiento complejo periódico. Las próximas figuras muestran la

resultante de la superposición de distintos armónicos de una serie.

La Figura 02 muestra la resultante de superponer el segundo y el tercer

armónico de una seria, es decir dos sonidos separados por un intervalo de

quinta.

FIGURA 02: Resultante de la superposición del segundo y tercer armónico

La Figura 03 muestra la resultante de la superposición del cuarto y quinto

armónico de una serie, es decir sonidos separados por un intervalo de

tercera mayor.

FIGURA 03: Resultante de la superposición del cuarto y quinto armónico

La siguiente figura ilustra la resultante de la superposición de sonidos

separados por un intervalo de octava, es decir el primer y segundo armónico

de la serie.

FIGURA 04: Resultante de la superposición del primer y segundo armónico

FIGURA 05: Resultante de la superposición del primer y segundo armónico

pero con diferentes amplitudes y ángulos de fase

Nótese que la forma de onda resultante en todos estos casos varía en función

de la amplitud y la fase de cada una de las ondas senoidales que

superponemos. La Figura 05 muestra las resultantes de superponer octavas

con distintas amplitudes y fases. Es notoria la diferencia de las formas de

ondas resultantes.

Las Figuras 06 y 07 muestran cómo varía la resultante en función de

variaciones en el ángulo de fase de las componentes del movimiento

complejo. La única diferencia entre ambas figuras es el ángulo de fase del

segundo y tercer armónicos. Mientras que en la Figura 06 todas las

componentes tienen igual ángulo de fase, en la Figura 07 el segundo

armónico tiene una diferencia de fase de 90º con respecto a la fundamental,

mientras que la diferencia de fase del tercer armónico con la fundamental es

de 180º. La forma de onda resultante de esencialmente distinta en uno y otro

caso.

Lo curioso es que en este caso nuestro sistema auditivo será incapaz de

distinguir diferencia alguna entre ambos sonidos correspondientes a cada

una de las resultantes. Por más que las formas de onda son radicalmente

distintas, para nosotros el sonido será exactamente el mismo.

FIGURA 06: Suma de los tres primeros armónicos con igual fase

FIGURA 07: Suma de los tres primeros armónicos con distintas fases

PULSACIONES

La superposición de ondas de frecuencias ƒ1 y ƒ2 muy cercanas entre sí

produce un fenómeno particular denominado pulsación (o batido).

En esos casos nuestro sistema auditivo no es capaz de percibir

separadamente las dos frecuencias presentes, sino que se percibe una

frecuencia única promedio (ƒ1 + ƒ2) / 2, pero que cambia en amplitud a una

frecuencia de ƒ2 - ƒ1 .

Es decir, si superponemos dos ondas senoidales de 300 Hz y 304 Hz,

nuestro sistema auditivo percibirá un único sonido cuya altura corresponde a

una onda de 302 Hz y cuya amplitud varía con una frecuencia de 4 Hz (es

decir, cuatro veces por segundo).

FIGURA 01: Pulsaciones producida por la superposición de dos ondas de

frecuencias muy cercanas

Las pulsaciones se perciben para diferencias en las frecuencias de hasta

aproximadamente 15-20 Hz. Diferencias mayores de 15-20 Hz le dan al

sonido percibido un carácter áspero, mientras que si la diferencia aumenta

comienzan nuevamente a percibirse las dos ondas simultánea y

separadamente.

OSCILACIONES

Oscilación libre

En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y

oscile libremente hasta detenerse por causa de la

amortiguación, recibe el nombre de oscilación libre. Éste

es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una

guitarra.

FIGURA 01: Oscilación libre. La envolvente dinámica

muestra fases de ataque y caída

Oscilación amortiguada

Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al

sistema en oscilación, éste seguiría vibrando

indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se conoce

como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el

producto del choque de las partículas (moléculas) y la

consecuente transformación de determinadas cantidades

de energía en calor. Ello resta cada vez más energía al

movimiento (el sistema oscilando), produciendo

finalmente que el movimiento se detenga. Esto es lo que

se conoce como oscilación amortiguada.

FIGURA 02: Oscilación amortiguada

En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma

varía en el tiempo (según una curva exponencial),

haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar a cero. Es

decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la

guitarra) se detiene finalmente en su posición de reposo.

La representación matemática es

, donde es el coeficiente

de amortiguación. Notemos que la amplitud es

también una función del tiempo (es decir, varía con el

tiempo), mientras que a y son constantes que dependen

de las condiciones de inicio del movimiento.

No obstante, la frecuencia de oscilación del sistema (que

depende de propiedades intrínsecas del sistema, es decir,

es característica del sistema) no varía (se mantiene

constante) a lo largo de todo el proceso. (Salvo que se

estuviera ante una amortiguación muy grande.)

Oscilación autosostenida

Si logramos continuar introduciendo energía al sistema,

reponiendo la que se pierde debido a la amortiguación,

logramos lo que se llama una oscilación autosostenida.

Éste es por ejemplo el caso cuando en un violín frotamos

la cuerda con el arco, o cuando soplamos sostenidamente

una flauta.

FIGURA 03: Oscilación autosostenida. La envolvente

dinámica presenta una fase casi estacionaria (FCE),

además de las fases de ataque y caída

La acción del arco sobre la cuerda repone la energía

perdida debido a la amortiguación, logrando una fase (o

estado) casi estacionaria. Preferimos llamarla fase casi

estacionaria -y no estado estacionario, como suele

encontrarse en alguna literatura- debido a que, en

condiciones prácticas, resulta sumamente difícil que la

energía que se introduce al sistema sea exactamente igual

a la que se pierde producto de la amortiguación. En

consecuencia, la amplitud durante la fase casi estacionaria

no es en rigor constante, sino que sufre pequeñas

variaciones, cuya magnitud dependerá de nuestra

habilidad para compensar la energía perdida.

Si la energía que se repone al sistema en oscilación es

menor a la que se pierde producto de la fricción

obtenemos una oscilación con amortiguación menor,

cuyas características dependen de la relación existente

entre la energía perdida y la que se continúa

introduciendo. También en este caso el sistema termina

por detenerse, aunque demore más tiempo. (En música lo

llamaríamos decrescendo.)

Por el contrario, si la energía que introducimos al sistema

es mayor que la que se pierde por la acción de la fricción,

la amplitud de la oscilación crece en dependencia de la

relación existente entre la energía perdida y la que se

continúa introduciendo. (En música lo llamaríamos

crescendo.)

Oscilación forzada

Las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza

periódica y de magnitud constante (llamada generador G)

sobre un sistema oscilador (llamado resonador R). En

esos casos puede hacerse que el sistema oscile en la

frecuencia del generador (ƒg), y no en su frecuencia

natural (ƒr). Es decir, la frecuencia de oscilación del

sistema será igual a la frecuencia de la fuerza que se le

aplica. Esto es lo que sucede por ejemplo en la guitarra,

cuando encontramos que hay cuerdas que no pulsamos

pero que vibran "por simpatía".

Debe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una

fuerza periódica sobre un sistema se produce una

oscilación forzada. La generación de una oscilación

forzada dependerá de las características de amortiguación

del sistema generador y de las del resonador, en particular

su relación.

Resonancia

Si, en el caso de una oscilación forzada, la frecuencia del

generador (ƒg) coincide con la frecuencia natural del

resonador (ƒr), se dice que el sistema está en resonancia.

La amplitud de oscilación del sistema resonador R

depende de la magnitud de la fuerza periódica que le

aplique el generador G, pero también de la relación

existente entre ƒg y ƒr.

Cuanto mayor sea la diferencia ente la frecuencia del

generador y la frecuencia del resonador, menor será la

amplitud de oscilación del sistema resonador (si se

mantiene invariable la magnitud de la fuerza periódica

que aplica el generador). O, lo que es lo mismo, cuanto

mayor sea la diferencia entre las frecuencias del generador

y el resonador, mayor cantidad de energía se requerirá

para generar una determinada amplitud en la oscilación

forzada (en el resonador).

Por el contrario, en el caso en que la frecuencia del

generador y la del resonador coincidieran (resonancia),

una fuerza de pequeña magnitud aplicada por el generador

G puede lograr grandes amplitudes de oscilación del

sistema resonador R. La Figura 04 muestra la amplitud de

oscilación del sistema resonador, para una magnitud

constante de la fuerza periódica aplicada y en función de

la relación entre la frecuencia del generador ƒg y la

frecuencia del resonador ƒr.

FIGURA 04: Curva de resonancia a = f (t)

ƒg/ƒr = 1 => Resonancia

En un caso extremo el sistema resonador puede llegar a

romperse. Esto es lo que ocurre cuando un cantante rompe

una copa de cristal emitiendo un sonido con la voz. La

ruptura de la copa no ocurre solamente debido a la

intensidad del sonido emitido, sino fundamentalmente

debido a que el cantante emite un sonido que contiene una

frecuencia igual a la frecuencia natural de la copa de

cristal, haciéndola entrar en resonancia. Si las frecuencias

no coincidieran, el cantante debería generar intensidades

mucho mayores, y aún así sería dudoso que lograra

romper la copa.

El caso de resonancia es importante en el estudio de los

instrumentos musicales, dado que muchos de ellos tienen

lo que se conoce como resonador, como por ejemplo la

caja en la guitarra. Las frecuencias propias del sistema

resonador (caja de la guitarra) conforman lo que se

denomina la curva de respuesta del resonador. Los

parciales cuyas frecuencias caigan dentro de las zonas de

resonancia de la caja de la guitarra serán favorecidos

frente a los que no, de manera que el resonador altera el

timbre de un sonido.

PROPAGACIÓN DEL

SONIDO

Una oscilación que se propaga en un medio (con velocidad finita) recibe el

nombre de onda. Dependiendo de la relación que exista entre el sentido de la

oscilación y el de la propagación, hablamos de ondas longitudinales,

transversales, de torsión, etc. En el aire el sonido se propaga en forma de ondas

longitudinales, es decir, el sentido de la oscilación coincide con el de la

propagación de la onda.

Medio

Podemos definir a un medio como un conjunto de osciladores capaces de entrar

en vibración por la acción de una fuerza.

Cuando hablemos de un medio, y a no ser que se indique específicamente otra

cosa, nos estaremos refiriendo al aire. Esto se debe nuevamente a razones

prácticas, en la medida en que el aire es el medio más usual en el que se realiza

la propagación del sonido en los actos comunicativos por medio de sistemas

acústicos entre seres humanos, ya sea mediante el habla o la música.

Para que una onda sonora se propague en un medio, éste debe cumplir como

mínimo tres condiciones fundamentales: ser elástico, tener masa e inercia.

Las ondas sonoras no se propagan en el vacío, pero hay otras ondas, como las

electromagnéticas, que sí lo hacen.

El aire en tanto medio posee además otras características relevantes para la

propagación del sonido:

la propagación es lineal, que quiere decir que diferentes ondas sonoras

(sonidos) pueden propagarse por el mismo espacio al mismo tiempo sin

afectarse mutuamente.

es un medio no dispersivo, por lo que las ondas se propagan a la misma

velocidad independientemente de su frecuencia o amplitud.

es también un medio homogéneo, de manera que el sonido se propaga

esféricamente, es decir, en todas las direcciones, generando lo que se

denomina un campo sonoro.

Propagación

Como ya mencionáramos, un cuerpo en oscilación pone en movimiento a las

moléculas de aire (del medio) que lo rodean. Éstas, a su vez, transmiten ese

movimiento a las moléculas vecinas y así sucesivamente. Cada molécula de aire

entra en oscilación en torno a su punto de reposo. Es decir, el desplazamiento

que sufre cada molécula es pequeño. Pero el movimiento se propaga a través del

medio.

Entre la fuente sonora (el cuerpo en oscilación) y el receptor (el ser humano)

tenemos entonces una transmisión de energía pero no un traslado de materia. No

son las moléculas de aire que rodean al cuerpo en oscilación las que hacen entrar

en movimiento al tímpano, sino las que están junto al mismo, que fueron puestas

en movimiento a medida que la onda se fue propagando en el medio.

El (pequeño) desplazamiento (oscilatorio) que sufren las distintas moléculas de

aire genera zonas en las que hay una mayor concentración de moléculas (mayor

densidad), zonas de condensación, y zonas en las que hay una menor

concentración de moléculas (menor densidad), zonas de rarefacción. Esas zonas

de mayor o menor densidad generan una variación alterna en la presión estática

del aire (la presión del aire en ausencia de sonido). Es lo que se conoce como

presión sonora. Ver Figura 01.

FIGURA 01: La distancia entre las barras representa las zonas de mayor o menor

presión sonora

Si el cuerpo que genera la oscilación realiza un movimiento armónico simple, las

variaciones de la presión en al aire pueden representarse por medio de una onda

sinusoidal. Por el contrario, si el cuerpo realiza un movimiento complejo, las

variaciones de presión sonora deberán representarse por medio de una forma de

onda igual a la resultante de la proyección en el tiempo del movimiento del

cuerpo. Ver Figura 02.

FIGURA 02: Variaciones de presión en el aire (condensación y rarefacción) en

el caso de un movimiento armónico simple.

Los puntos representan las moléculas de aire.

Como dijimos, en el aire el sonido se propaga esféricamente, es decir en todas

direcciones. Podemos imaginarnos al sonido propagándose como una esfera

cuyo centro es la fuente sonora y que se va haciendo cada vez más grande. O, lo

que es lo mismo, que va aumentando cada vez su radio. Por razones de

comodidad, para estudiar el sonido podremos hacerlo desde uno de esos dos

puntos de vista, a veces como una esfera creciendo, o como un radio

(eventualmente todos los radios) de la misma (rayos).

Imaginemos entonces una cadena de partículas (moléculas) entre la fuente

sonora y el receptor (un rayo). Entre el instante en que la fuente sonora pone en

movimiento a la partícula más cercana y el instante en que la primer partícula

transmite su movimiento a la segunda transcurre un tiempo determinado. Es

decir, cuando la primer partícula entra en movimiento, la tercera -por ejemplo-

aún está en su posición de reposo. Recordemos también que las partículas de aire

sólo oscilan en torno a su posición de reposo.

Podemos decir entonces que cada partícula se encontrará en una situación

distinta del movimiento oscilatorio. Es decir, cada partícula tendrá una situación

de fase (ángulo de fase) distinta. En algún lugar de la cadena encontraremos una

partícula cuya situación de fase coincide con la de la primera, aunque la primer

partícula estará comenzando su segundo ciclo oscilatorio, mientras que la otra

recién estará comenzando su primer ciclo.

La distancia que existe entre dos partículas consecutivas en igual situación de

fase se llama longitud de onda ( ). También podemos definir la longitud de

onda como la distancia que recorre una onda en un período de tiempo T. La

longitud de onda está relacionada con la frecuencia f (inversa del período T) por

medio de la velocidad de propagación del sonido (c), de manera que c = · f.

Las ondas sonoras tienen longitudes de onda de entre 2 cm y 20 m

aproximadamente.

No debemos confundir la velocidad de propagación de la onda con la velocidad

de desplazamiento de las partículas. Éstas realizan un movimiento oscilatorio

muy rápido, cuya velocidad es distinta a la velocidad de propagación de la onda.

La velocidad de propagación de la onda sonora (velocidad del sonido) depende

de las características del medio en el que se realiza dicha propagación y no de las

características de la onda o de la fuerza que la genera. En el caso de un gas

(como el aire) es directamente proporcional a su temperatura específica y a su

presión estática e inversamente proporcional a su densidad. Dado que si varía la

presión, varía también la densidad del gas, la velocidad de propagación

permanece constante ante los cambios de presión o densidad del medio.

Pero la velocidad del sonido sí varía ante los cambios de temperatura del aire

(medio). Cuanto mayor es la temperatura del aire mayor es la velocidad de

propagación. La velocidad del sonido en el aire aumenta 0,6 m/s por cada 1º C

de aumento en la temperatura.

La velocidad del sonido en el aire es de aproximadamente 344 m/s a 20º C de

temperatura, lo que equivale a unos 1.200 km/h (1.238,4 km/h, para ser

precisos). Es decir que necesita unos 3 s para recorrer 1 km. (Como posible

referencia recordemos que la velocidad de la luz es de 300.000 km/s.)

El sonido se propaga a diferentes velocidades en medios de distinta densidad. En

general, se propaga a mayor velocidad en líquidos y sólidos que en gases (como

el aire). La velocidad de propagación del sonido es, por ejemplo, de unos 1.440

m/s en el agua y de unos 5.000 m/s en el acero.

Ondas estacionarias

Hasta ahora hemos hablado de ondas propagándose en un medio, es decir ondas

viajeras.

Las ondas estacionarias son el resultado de la interferencia de dos ondas viajeras

iguales propagándose en direcciones contrarias. Por ejemplo, una onda que llega

perpendicularmente a una pared y se refleja sobre sí misma.

La característica de las ondas estacionarias es que se generan puntos

(eventualmente líneas o planos) en los cuales la amplitud de oscilación es

siempre cero (nodos) y otros en los que es siempre máxima (antinodos o

vientres). La distancia entre dos nodos será la mitad de la longitud de onda de la

onda estacionaria ( / 2).

Dada una frecuencia que genera una onda estacionaria, los múltiplos de dicha

frecuencia (es decir los armónicos) también producirán ondas estacionarias. El

orden del armónico determinará la cantidad de nodos que se producen. Por

ejemplo, el primer armónico generará un nodo, el segundo dos y así

sucesivamente.

Las ondas estacionarias son relevantes en el funcionamiento de los instrumentos

musicales (las cuerdas, las columnas de aire encerradas en un tubo), pero

también en las resonancias modales (los modos de resonancia) de las

habitaciones.