apuntes acustica
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Introducci on a los conceptosfundamentales en acustica
Jose Damian Mellado Ramırez
Indice
1 Propagacion de las ondas sonoras 31.1 Definicion. Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 La ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Ondas acusticas tridimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Amortiguacion del sonido en una y tres dimensiones . . . . . . . . . . . . 71.5 Ejercicios y cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Soluciones de la ecuacion de ondas 92.1 Ondas armonicas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Ondas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Suma de sonidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Ondas y rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Transmision y reflexion de las ondas acusticas . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 Incidencia normal en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5.2 Incidencia oblicua en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Absorcion de las ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.7 Ejercicios y cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Analisis en frecuencia 193.1 Superposicion de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Descomposicion en armonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Funciones periodicas y desarrollo de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Espectro continuo. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Teorema de Parseval y espectro de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Modelos de Fuentes sonoras 244.1 Modelo de esfera pulsante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Fuente lineal sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Piston pulsante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Factor de directividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1
5 Sumario de terminos 285.1 Velocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2 Frecuencia, perıodo, longitud de onda y tonos puros . . . . . . . . . . . . . 285.3 Presion sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Velocidad de las partıculas fluidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.5 Intensidad, potencia y densidad de energıa sonora . . . . . . . . . . . . . . 305.6 Factor de directividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.7 El decibelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.8 Adicion de niveles de ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.9 Sonoridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
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Capıtulo 1
Propagacion de las ondas sonoras
1.1 Definicion. Tipos de ondas
Una onda es una magnitud fsica que se propaga en el espacio y en el tiempo. Matemati-camente se expresa como una funcion del espacio y del tiempo, pudiendo corresponder amagnitudes tan dispares como la altura de una ola de agua, los impulsos electricos que rigenlos latidos del corazon, o incluso la probabilidad de encontrar una partıcula en mecanicacuantica. Nosotros nos centraremos en lasondas de presion correspondientes a las ondassonoras. Es decir, la funcion representa las variaciones de presion que se propagan en elespacio y el tiempo formando lo que se suele conocer comocampo acustico.
Veamos que caracterısticas ha de tener una funcion que en principio depende del espa-cio y del tiempo, y que no tendrıa por que propagar informacion, para que efectivamentepropague algo.
Empecemos por el caso mas sencillo: imaginemos una funcion tal que en lugar de de-pender del espacio y del tiempo por separado dependa de la combinacion ψ = x − at, esdecir
f(x, t) = g(x− at) = g(ψ).
Por lo demas, la funciong(ψ) puede ser todo lo general que queramos. Pues bien, para cadavalor deψ tenemos unıvocamente un valor deg, (en nuestro caso tendrıamos un valor de lapresion), sin embargo, para cada valor deψ no tenemos unıvocamente unos valores dados det y x, sino todos los que cumplanx− at = ψ. Todo esto nos lleva a que un valor definido deg(ψ) va a repetirse (propagarse) en el tiempo y el espacio.
Analicemos con un poco mas de detalle en que consiste para este caso la propagacion.Recordemos queg se mantiene constante siψ es constante, y eso ocurre sobre la rectax −at = cte. Desplazarse sobre esta recta una cantidad∆x supone esperar un tiempo∆x =a∆t, porque de no ser ası ya no seguiriıamos sobre la misma recta. Conforme pasa el tiempo,quedarse en la recta implica moverse a velocidada, y en ese casog es una constante. Es decir,que un valor dado deg se propaga a una velocidada. Este es el sentido de la propagacionde las funciones de la formaf(x− at), y a las funciones de esta forma se las llama ondas.
De manera similar se les puede llamar ondas tambien a funciones de la formaf(x, t) =A(x, t)g(x−a(x, t)t), porque el valor def se propaga. La diferencia respecto al caso anterior
3
es que la onda se deforma debido a que los coeficientesA(x, t) y a(x, t) ya no son constantes.El criterio para poder llamar onda a un proceso se hace un poco difuso a medida queA(x, t)y a(x, t) empiezan a depender fuertemente del espacio y del tiempo.
Se recomienda al alumno que dibuje una magnitud arbitraria en funcion de la distanciaque represente una onda en el sentido arriba explicado en para dos o tres instantes de tiempo.
Onda viajera que no se deforma
5
105
10
0
0.5
1
Tiempo
x
f(x-ct)
Figura 1.1: Onda viajera que no se deforma.
Onda viajera que se deforma
5
105
10
00.5
11.5
Tiempo
x
A(x,t)f(x-c(x,t)t)
Figura 1.2: Onda viajera que se deforma.
1.2 La ecuacion de ondas
La propagacion de ondas sonoras en cualquier medio es el resultado de la accion combinadade esencialmente tres factores. Vamos a ocuparnos aquı del caso de propagacion en gases,siendo en lıquidos y solidos exactamente lo mismo. Los tres fenomenos son los siguientes:
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1. El gas se mueve y varıa la densidad.
2. La variacion de densidad provoca variaciones de presion.
3. Las variaciones de presion generan movimientos en el gas y volvemos al punto uno.
Empecemos primero con el punto dos relacionando las variaciones de densidad con las depresion. Si suponemos que las variaciones de densidad (ρ′ = ρ− ρ0) que provoca una ondaque atraviesa un medio son muy pequenas frente a la propia densidad, entonces podemosaplicar el teorema de Taylor desarrollando en serie las variaciones de presion (p ′ = p−p0) enfuncion de las variaciones de densidad, y quedandonos con el primer termino del dessarrollo:
p ′ =
(∂p
∂ρ
)0
ρ′ (1.1)
Como sabemos de termodinamica que cualquier variable termodinamica depende en gen-eral de dos variables mas, la relacion anterior serıa totalmente falsa y tendrıamos que sumarla derivada de la presion respecto a esa otra variable por las variaciones de esa otra variable.Sin embargo, el tiempo en que una porcion pequena de aire se comprime, y por lo tantose eleva su presion y temperatura, es mucho mas corto que el tiempo en que tardarıa esaporcion de aire en transmitir calor por difusion a otras porciones vecinas menos comprimi-das y por tanto mas frıas. Esto quiere decir que el proceso de compresion ha sido tan rapidoque no ha tenido tiempo de ceder ni recibir calor de los alrededores, y podemos suponerque la compresion o expansion en el proceso de propagacion de las ondas sonoras sucede demaneraadiabatica. La adiabaticidad es muy importante, porque implica que se conserva laentropıa, de manera que si escribimos la presion en funcion de la densidad y la entropıa, laecuacion a la densidad se tome a entropıa constante.
Analicemos a continuacion el punto uno y relacionemos los desplazamientos del gas re-specto a su posicion inicial de equilibrio con las variaciones de densidad ocasionadas. Vamosa llamarx a la posicion de equilibrio de una partıcula fluida, es decir la posicion que tenıaesta porcion de fluido antes de que pasara porel ninguna onda que es la posicion a la queregresara despues de que pasen las ondas (hasta ahora y en adelante estamos suponiendo queno existe movimiento convectivo del gas, solamente movimiento ocasionado por las ondassonoras, evidentemente si hubiera corrientes convectivas las partıculas fluidas se moverıany el movimiento del sonido habrıa que superponerlo al movimiento convectivo del fluido.).Nos centraremos en el caso de propagacion de ondas unidimensionales y cuando escribamosalguna relacion entenderemos que estamos hablando de cosas por unidad de seccion transver-sal a la propagacion de la onda. Vamos a llamarξ al desplazamiento de esa partıcula fluida re-specto de su posicion de equilibriox, este desplazamiento va a ser muy pequeno. La cantidadde masa inicial que se encontraba antes de que hubiera ninguna onda en la porcion de fluidoque se encuentra entrex y x+∆x eraρ0∆x. Cuando la onda esta pasando la partıcula fluidaque se encontraba en el puntox inicialmente ocupa ahora la posicionx+ξ(x, t), y la partıculaque se encontraba enx+∆x ocupa ahora la posicionx·∆x+ξ(x+∆x, t), la cantidad de masaque hay ahora entre estas dos partıculas fluidas esρ(x, t)(x+∆x+ξ(x+∆x, t)−x+ξ(x, t)),
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dondeρ(x, t) es la densidad media en ese segmento ent. Si tomamos∆x muy pequeno larelacion anterior se convierte en una diferencial, e igualando ambas masas tenemos
ρ′ = −ρ0∂ξ
∂x(1.2)
En general es facil ver que si la onda no se propaga en direccion x en lugar de esta expresionhubieramos obtenido
ρ′ = −ρ0∇ξ (1.3)
Porultimo analizaremos el punto 3 y apliquemos la ley de Newton para relacionar varia-ciones espaciales de presion con aceleraciones provocadas. El sumatorio de fuerzas queexiste en un elemento∆x es igual al producto de la cantidad de masa entrex y x+∆x por laaceleracion de la partıculas fluidas que se encuentran alli. Si procedemos de manera analogaa como hemos derivado las anteriores dos ecuaciones (se deja como ejercicio al alumno)obtenemos:
∂p ′
∂x= −ρ0
∂2ξ
∂t2(1.4)
Al igual que con la expresion (1.2) es facil ver que para una onda propagandose en unadireccion distinta de la x, tendrıamos
∇p ′ = −ρ0∂2ξ
∂t2= −ρ0
∂u
∂t(1.5)
Ahora, combinando las ecuaciones (1.1), (1.2), (1.4), obtenemos la ecuacion de ondapara el desplazamientoξ(x, t).
∂2ξ
∂t2=
(∂p
∂ρ
)S
∂2ξ
∂x2(1.6)
Donde hemos anadido a la constante(
∂p∂ρ
)S
el subındiceS para remarquar que esta derivada
ha de tomarse a entropıa constante. Esta cantidad tiene dimensiones de velocidad al cuadrado,a su raiz cuadrada se le llama velocidad del sonido y se le suele designar porc0. Se com-prueba muy facilemente que las variaciones de densidad (ρ′) y las de presion (p ′), ası comola velocidad (∂ξ
∂t) satisfacen exactamente la misma ecuacion de ondas que el desplazamiento
(ξ). Como la magnitud que se puede medir mas facilmente de las tres es la presion, apartirde ahora hablaremos de ondas de presion.
Veamos porque se llama a esta ecuacion diferencial la ecuacion de ondas. El motivoes muy sencillo, si introducimos las funciones correspondientes a ondas que hemos vistop ′ = f(x ± at), comprobamos que la ecuacion (1.6) se cumple si la velocidad de la ondaacoincide con la velocidad del sonidoc0. Esto nos dice que las soluciones a la ecuacion (1.6)son efectivamente ondas que se mueven a velocidadc0, de aqui que se llame a la cantidadc0velocidad del sonido. Las soluciones a la ecuacion (1.6) son por tanto:
p ′ = f(x± c0t) (1.7)
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1.3 Ondas acusticas tridimensionales
Si hubieramos realizado el analisis de la seccion anterior suponiendo que las ondas se propa-gan radialmente de manera isotropa a partir de un punto de manera tridimensional formandoesferas hubieramos obtenido en lugar de la ecuacion (1.6) la ecuacion siguiente:
∂2p ′
∂t2− c20
(∂2p ′
∂x2+∂2p ′
∂y2+∂2p ′
∂z2
)= 0 (1.8)
Las soluciones a la equacion diferencial (1.8) que solo dependen del radio son del tipo
Variaciones de presison de una onda acustica tridimensional sin viscosidad
-15-10
-50
510
1520
-15-10
-50
510
1520-0.5
0
0.5
1
x
y
f(r-ct)/r
Figura 1.3: Onda acustica tridimensional.
p ′ = f(r ± c0t)/r (1.9)
donder es la distancia radial recorrida por la onda.(Para el alumno interesado esta solucion seobtiene introducciendo la parte radial del laplaciano en coordenadas esfericas∆ ≡ 1
r2∂∂r
(r2 ∂
∂r
)y haciendo el cambioφ = p ′r).
1.4 Amortiguacion del sonido en una y tres dimensiones
Si nos detenemos en las soluciones (1.7) y (1.9) observamos una diferencia esencial entreambas. Las ondas sonoras unidimensionales no se amortiguan (salvo por efectos debidosa viscosidad que estamos despreciando), mientras que las ondas tridimensionales si. Estasultimas avanzan, pero la amplitud de las variaciones de presion decae inversamente con ladistancia recorrida.
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1.5 Ejercicios y cuestiones
1. Explique en que consiste la linealidad de la ecuacion de ondas acustica. Comente loque pasarıa si las variaciones de presion y densidad fueran del mismo orden que lapresion y densidad atmosferica.
2. Explique porque una onda sonora tridimensional se hace cada vez mas debil mientrasque una onda plana mantiene su amplitud.
3. Sabiendo que se define la impedancia acustica comoZ = p ′/u, calcule el valor deesta impedancia para una onda plana unidimensional de la forma
U = sin(w(x/c− t)).
Calcule este mismo valor para una onda acustica tridimensional de la forma
u = sin(w(r/c− t))/r.
Nota: en el siguiente capıtulo se explicara como es masutil ver las soluciones de ondaplanas como funciones de variable compleja, definiendose a continuacion la impedan-cia compleja acustica, que en general sera una cantidad compleja.
4. Representar graficamente una onda tridimensional en el ordenador.
8
Capıtulo 2
Soluciones de la ecuacion de ondas
2.1 Ondas armonicas planas
Las ondas armonicas planas son como se vio en el capıtulo anterior soluciones de la forma
p ′ = Acos(wt− kx+ φ). (2.1)
Es comun utilizar funciones exponenciales en lugar de trigonometricas para representar estasondas, puesto que es mucho mas facil operar con exponenciales que con senos y cosenos. Sirecordamos de calculo elemental de variable compleja que
exp(iθ) = cos(θ) + i sen(θ), (2.2)
entonces nos damos cuenta que la onda plana anterior se puede escribir como la parte real deuna funcion compleja
p ′ = Re[A exp(i(wt− kx+ φ)] = Re[A′ exp(i(wt− kx)], (2.3)
dondeA′ = A exp(iφ) (2.4)
es una amplitud compleja. Normalmente esta notacion es tan utilizada que sesobreentiendeque se toma la parte real duando escribimos una onda en forma compleja y se suprime estaparte por lo que se suele escribir
p ′ = A′ exp(i(wt− kx)), (2.5)
sobreentendiendose que la presion es la parte real de esta expresion. Sin embargo frecuente-mente cuando se habla dep ′, y con esto tambien se incluye la velocidadu, la densidadρ′ ytodas las demas variables que satisfacen la ecuacion de ondas se sobreentiende la expresioncompleja, y ası por ejemplo la verdadera presion no esp ′ sino la parte real de ella.
Gracias a la linealidad de la ecuacion de ondas cualquier suma de ondas planas es tambiensolucion de la ecuacion. Esta propiedad sera analizada con mayor detalle en el capıtulo
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siguiente, en el que se expondra la teorıa de descomposicion de una onda general comosuperposicion de ondas planas (armonicos).
Debido a que, como vimos en el capıtulo anterior,
ρ0∂u
∂t= −∇p ′ (2.6)
tenemos que, para una onda plana expresada en general en su forma compleja,
u =p ′
ρ0c0. (2.7)
Se define laimpedancia acusticaZ como la cantidad, que en general sera compleja,
Z = p ′/u, (2.8)
por lo que para una onda plana la impedancia acustica es una cantidad real,
Z = ρ0c0. (2.9)
La intensidad acustica I se define como la media temporal en un punto del espacio delproducto de la presion por la velocidad (magnitudes reales). Esta cantidad representa lacantidad de energıa por unidad de tiempo (potencia) que atraviesa la unidad de superficieperpendicular la la direccion de propagacion de la onda, y por definicion siempre es unamagnitud real,
I =< Re[p ′]Re[u] >T=
1
T
∫ T
0
Re[p ′]Re[u]dt. (2.10)
Para una onda plana, tenemos que
I =1
T
∫ T
0
A2 cos2(wt− kx+ φ)
ρ0c0dt =
1
T
∫ T
0
A2
2
(1− cos(2(wt− kx+ φ)))
ρ0c0dt =
=A2
2ρ0c0(2.11)
2.2 Ondas esfericas
Las ondas esfericas son solucion de la ecuacion
∂2p ′
∂t2− c20∇2p ′ = 0, (2.12)
y como vimos en el capıtulo anterior, son de la forma
p ′ =1
rf1(c0t− r) +
1
rf2(c0t+ r), (2.13)
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lo que se puede comprobar facilmente si tenemos en cuenta que la parte radial del laplaciano∇r es,
∇r =∂2
∂r2+
2
r
∂
∂r. (2.14)
Se deja como ejercicio que el lector compruebe que efectivamente la solucion arriba prop-uesta satisface la ecuacion de ondas con simetrıa esferica.
Vemos que las ondas planas no son solucion de la ecuacion de ondas esferica, pero sinembargo sı son soluciones funciones de la forma
p ′ =A
rcos(wt− kr + φ), (2.15)
que de manera analoga al caso de las ondas planas, tambien puede representarse en formacompleja
p ′ = Re[A′
rexp(wt− kr)] (2.16)
donde como antesA′ = Aexp(iφ). Hay que notar que estas ondas tambien se pueden vercomo superposicion de ondas planas, siempre que hagamos esta superposicion para cadapunto fijo del espacio, en cuyo casor sera fijo y podra absorberse en el coeficienteA′.
Para calcular la velocidad en el caso de ondas esfericas usamos la ecuacion de conser-vacion de la cantidad de movimiento,
ρ0∂u
∂t= −∇p ′, (2.17)
de donde
ρ0∂u
∂t= −∂p
′
∂r=A′
r2exp(i(wt− kr)) + i
A′
rkexp(i(wt− kr)), (2.18)
por lo que obtenemos que
u =A′
rexp(i(wt− kr))
[1
ρ0c0− i
ρ0c0kr
], (2.19)
de donde observamos que en este caso la impedancia no es real, sino que es compleja,
Z =p ′
u=
ρ0c01− i/kr
= ρ0c0(kr)2
1 + (kr)2+ iρ0c0
kr
1 + (kr)2. (2.20)
A la parte real de la impedancia se le denominaresistencia acustica especıfica, y a la parteimaginaria se le llamareactancia acustica especıfica. Cuandor → ∞ la impedanciaacustica tiende a contener tan solo la parte real, que ademas coincide con la de las ondasplanas. Podemos calcular el modulo y la fase de la impedancia de una onda esferica,
Z = |Z|exp(iψ), (2.21)
donde
|Z| = ρ0ckr√1 + (kr)2
, (2.22)
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ψ = arcsen
(1√
1 + (kr)2
). (2.23)
La intensidad acustica para una onda esferica es (el alumno puede demostrar este resul-tado)
I =1
T
∫ T
0
Re[p ′]Re[u]dt =A′2
2ρ0c0r2, (2.24)
de modo que la intensidad decae en una onda esferica con el cuadrado de la distancia alorigen, lo cual puede ser demostrado por conservacion de la energıa total. La expresion parala intensidad coincide con la de una onda plana si definimos una amplitud de presion quedecae linealmente con la distancia al origen,P = A′/r, de modo que
I =P 2
2ρ0c0. (2.25)
2.3 Suma de sonidos
Cuando tenemos en un punto la suma de dos o mas sonidos provenientes en general defuentes distintas, por lo que tendran distinta amplitud fase y frecuencia, tenemos que debidoa la linealidad de la ecuacion de ondas la presion resultante en este punto es la suma de laspresiones individuales,
p ′total =n∑
j=1
Re[A′jexp(iwjt)] =
n∑i=1
Aicos((wit+ φ)), (2.26)
y en general no podremos decir nada sobre la amplitud de este sonido. Sin embargo, laintensidad del sonido resultante sera (en este casoT ya no representa el perıodo, sino unintervalo de tiempo suficientemente grande como para que esten incluidos muchos ciclos detodos los sonidos)
I =1
T
∫ T
0
Re[n∑
i=1
pi′]Re[
n∑i=1
ui]dt =n∑
i=1
1
T
∫ T
0
Re[p ′i]Re[ui]dt+n∑
i=1
n∑j=1j 6=i
1
T
∫ T
0
Re[p ′i]Re[uj]dt.
(2.27)El primer termino de la derecha representa la suma de las intensidades de todos los sonidos,y es un termino siempre positivo. El segundo termino representa una suma de integralesde productos de pares de funciones periodicas de frecuencias que no son iguales. Es casiimposible que estas integrales no tiendan a cero (dicho matematicamente el conjunto devalores de frecuencias que hacen que estas integrales no tiendan a cero tiene volumen ceroen el espacio de frecuencias), y esto queda representado en la siguiente figura, en la que secalculan estos valores de las integrales para suma de sonidos con diferente frecuencia. Deeste modo, la intensidad total podremos calcularla simplemente como suma de intensidades,
I 'n∑
i=1
A2i
2ρ0c0. (2.28)
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Sin embargo, hay que tener en cuenta que casi imposible no es imposible, y si los sonidos sonproducidos por fuentes identicas, la frecuencia sera la misma, con lo que si en algu punto delespacio coincide la fase o es casi igual, la intensidad del sonido resultante ya no sera igual ala suma de las intensidades de los sonidos por separado.
2.4 Ondas y rayos
A veces es masutil pensar en terminos de rayos que en lugar de ondas. Un rayo se definecomo la lınea perpendicular en todos los sitios a las superficies con igual fase. Para poderinterpretar las ondas en terminos de rayos estas han de cumplir dos condiciones
1. La amplitud de la onda no debe de cambiar apreciablemente en longitudes del ordende la longitud de onda.
2. La velocidad del sonido no debe cambiar apreciablemente en longitudes del orden dela longitud de onda.
Esto lleva a que si llamamos a∇Γ un vector perpendicular a las superficies de igual fase y an = c0/c(x, y, z) que es elındice de refraccion y es la velocidad del sonido en algun puntofijo dividida por la velocidad del sonido como funcion del espacio, obtenemos la ecuacionde la Eikonal en una de sus formas
d
ds(∇Γ) = ∇n (2.29)
Al final de la leccion se explora las consecuencias de esta ecuacion en los ejercicios.Quizas la consecuencia mas notable y digna de recordar es que si tenemos un sonido
que consiste en un haz de una determinadaarea de seccion, podemos simplificar mucho sutratamiento en el caso en que su diametro sea mucho mayor que la longinud de onda, porquepodemos aproximarlo por un haz de rayos, que en definitiva se comporta como unaondaplana.
A continuacion se da la demostracion matematica que es complicada y se deja comolectura voluntaria.
Consideremos la ecuacion de ondas
∂2p ′
∂t2− c(x, y, z)2∇2p ′ = 0 (2.30)
donde la velocidad del sonido puede depender dex, y, z. Lo que vamos vuscando es obtener unaecuacion para un vector perpendicular a las superficies de igual fase.
Consideremos una onda general de la forma
p ′(x, y, z) = A(x, y, z)exp(iw(t− Γ(x, y, z)))/c0 (2.31)
dondec0 es una constante que representa la velocidad del sonido en los puntos en los queΓ(x, y, z) =1. Las superficies de igual fase son por definicion las superficiesΓ(x, y, z) = Cte, lo que quiere decir
13
RAYO
TUBO DE SONIDO
Figura 2.1: Aproximacion de un tubo de sonido por un rayo. En el centro el tubo se comportacomo una onda plana.
que queremos buscar una ecuacion para∇Γ que representara un vector perpendicular a las superficiesde fase constante. Los rayos seran las lıneas paralelas en todo punto a∇Γ.
Introducimos esta solucion en la ecuacion de ondas y obtenemos
∇2A
A−(
w
c0
)2
∇Γ · ∇Γ +(w
c
)2− i
w
c0
(2∇A
A· ∇Γ +∇2Γ
)(2.32)
Esta ecuacion es suficientemente complicada como para que el tratamiento de ondas por rayos no
ofrezca ninguna ventaja. Sin embargo(
wc0
)2es la longitud de onda al cuadrado. Vemos que si la
longitud de onda es mucho mas pequena que las demas longitudes caracterısticas de variacion dea oΓ en el problema tenemos que los dos terminos dominantes en la ecuacion son
∇Γ · ∇Γ =(
c0
c(x, y, z)
)2
= n2 (2.33)
Esta ecuacion se conoce como ecuacion de la Eikonal y aquı si que se hace mucho mas ventajoso eltratamiento de las ondas por rayos. La ecuacion de la Eikonal implica que∇Γ ha de ser de la forma
∇Γ = n(cosθx~i + cosθy
~j + cosθz~k) (2.34)
donde claramenteθi son los cosenos directores de∇Γ que a su vez es un vector paralelo en todos lospuntos a los rayos. La derivada de∇Γ con respecto la longitud del rayo es
d
ds(∇Γ) = ∇n (2.35)
2.5 Transmision y reflexion de las ondas acusticas
Cuando una onda plana que viaja en un medio 1 se encuentra con una frontera que delimitaotro medio 2, se producen dos nuevas ondas a partir de la original, cuyas amplitudes y fases
14
son en general distintas a las de la onda primitiva, que suele conocerse comoonda inci-dente. Una de las ondas continua por el segundo medio, conocida comoonda transmitida,mientras que la otra onda es reflejada y vuelve en sentido contrario a la onda incidente, yse le llamaonda reflejada. Si p ′i es la presion compleja de la onda original, yp ′r y p ′t lasde las ondas reflejadas y transmitidas respectivamente, podemos definir loscoeficientes detransmision T y reflexionR, que en general seran complejos, como
T =p ′tp ′i, R =
p ′rp ′i. (2.36)
Tambien se suelen usar los coeficientes de transmision y reflexion de intensidad denotadosporTI y RI respectivamente, definidos como los cocientes entre las intensidades de la ondaincidente y las transmitidas y reflejadas respectivamente,
TI =ItIi, RI =
IrIi, (2.37)
que se pueden poner en funcion de los anteriores,
TI =ρ01c1ρ02c2
|T |2, RI = |R|2 (2.38)
En general no tendremos ondas planas, sino que tendremos haces de sonido, pero comohemos visto en la seccion anterior, cuando elarea de la seccion de estos haces es muchomayor que la longitud de onda,estos se comportan como una onda plana en un dominiofinito, y los coeficientes de transmision y reflexion son igualmente aplicables. Evidente-mente, cuando aun teniendo un haz que cumpla las condiciones de rayo, el objeto queprovoca la reflexion no es grande comparado con la longitud de onda, se producen inter-ferencias y dejan de ser aplicables estas relaciones.
Un parametro importante en un haz de sonido es la potencia que lleva el haz.Esta secalcula multiplicando la intensidad del haz por suarea de seccion. De manera analoga a lapresion e intensidad se pueden definir coeficientes de transmision y reflexion de potenciaTπ
y Rπ que no coincidiran en general con los de intensidad, porque aunque elarea del hazreflejado es igual alarea del incidente (Ai), cuando el haz incide oblicuamente a la entrefaseel haz transmitido tiene unarea distinta (At),
Tπ =Atρ01c1Aiρ02c2
|T |2, RI = |R|2 (2.39)
2.5.1 Incidencia normal en un fluido
Los coeficientes de transmision y reflexion para el caso de incidencia normal en la fronteraentre dos fluidos se obtienen de aplicar el hecho de que tanto la presion como la velocidadnormal a la frontera han de ser continuas en la dicha frontera, y resultan ser
Rπ =1− r1/r21 + r1/r2
, T =2
1 + r1/r2, (2.40)
15
donde se han definido las impedanciasri = ρici. Los coeficientes de transmision y reflexionde intensidad son
RI =
(1− r1/r21 + r1/r2
)2
, T = 4r1/r2
(1 + r1/r2)2, (2.41)
que son iguales a los de potencia, puesto que elarea de los tres haces es igual en este caso.El coeficiente de reflexion es positivo cuandor1 < r2, y negativo en caso contrario, lo cual
ONDA INCIDENTE ONDA TRANSMITIDA
ONDA REFLEJADA
1 2
Figura 2.2: Reflexion y refraccion por la incidencia normal de una onda en una frontera dedos fluidos.
implica que en la frontera entre los dos fluidos la onda reflejada puede o bien estar en fasecon la onda incidente o bien desfasada 180o con ella. Por el contrario,T siempre es positivo,por lo que en la frontera la onda transmitida siempre esta en fase con la onda incidente.
2.5.2 Incidencia oblicua en un fluido
Cuando una onda incide oblicuamente formando unanguloθi con la frontera de separacionentre dos fluidos como muestra la figura, resulta que de aplicar la continuidad de presionesobtenemos que elangulo de la onda reflejada,θr, debe cumplir
senθi = senθr, (2.42)
mientras que elangulo de la onda transmitida,θt, cumple
senθi
c1=
senθt
c2. (2.43)
Si combinamos la igualdad trigonometrica
cosθt =√
1− sen2θt (2.44)
con la expresion anterior, llegamos a
cosθt =√
1− (c2/c1)2sin2θi. (2.45)
16
θ
θθr
i
t
1 2
Figura 2.3: Reflexion y refraccion por la incidencia oblicua de una onda en una frontera dedos fluidos.
Se pueden sacar una importante observacion de esta ecuacion. Para que tengamos ondatransmitida se ha de cumplir que
c2senθi
c1< 1. (2.46)
Como vemos, es posible que estaultima ecuacion no tenga solucion, lo cual ocurrira paraangulos incidentesθi tales que
senθi >c1c2, (2.47)
en cuyo caso no existira onda transmitida y se producira unareflexion total. Existe unangulo de incidencia crıtico θc tal que paraangulos de incidencias mayores no existe ondatransmitida. Esteangulo es
θc = arcsen
(c1c2
). (2.48)
Aparentemente siempre existe onda reflejada, lo cual no es verdad, porque de aplicar con-tinuidad en la componente normal de la velocidad obtenemos la siguiente expresion para elcoeficiente de reflexion n, que solo es aplicable cuando existe onda transmitida, siendo iguala uno en caso contrario,
R =(ρ2c2/ρ1c1)− (cosθt/cosθi)
(ρ2c2/ρ1c1) + cosθt/cosθi
. (2.49)
Vemos que, cuandoρ2c2/ρ1c1 = cosθt/cosθi, el valor deR es igual a cero por lo que dejade existir onda reflejada y toda la onda es transmitida. Eliminandocosθt obtenemos que elvalor delangulo de incidenciaθI para el que esto ocurre, llamadoangulo de intromision, es
senθI =
√1− (ρ1c1/ρ2c2)2
1− (ρ1/ρ2)2. (2.50)
17
2.6 Absorcion de las ondas sonoras
Aunque no ha habido ninguna mencion sobre el efecto de la disipacion del sonido debido aque hemos considerado en todo momento que los fluidos eran ideales, finalmente una ondasonora va perdiendo amplitud hasta que finalmente es disipada convirtiendose en energıatermica. Las causas de esta disipacion se encuentran tanto en el seno del propio fluido comoen la frontera de este fluido con superficies solidas u otros fluidos que se hacen importantesen medios porosos, en tubos finos o en conductos pequenos. Las causas de estas perdidas sonvarias, siendo las mas importantes las perdidas por viscosidad, las perdidas por conducciontermica y las perdidas por intercambios moleculares.
Un completo estudio del efecto de estas perdidas cae fuera del objetivo de estas notas.Aquı solo queremos senalar que el efecto mas importante es en su forma mas simple provocarun decaimiento en la amplitud de tipo exponencial de manera que la solucion en lugar de serpor ejemplo una onda plana es de la forma
p ′ = exp(−x/δ)A′exp(i(wt− kx)) (2.51)
dondeδ es una distancia caracterıstica de relajacion que depende en general de la frecuen-cia. Normalmenteδ >> λ, lo cual significa que los fenomenos de disipacion de la energıaacustica ocurren a lo largo de muchas longitudes de onda.
2.7 Ejercicios y cuestiones
1. Repetir el problema 3 del capıtulo anterior, esta vez usando la impedancia compleja.
2. Calcular numericamente la suma de tres sonidos de frecuencias y fases inventadoscalculando(I1 + I2 + I3)
2 y comparando conI21 + I2
2 + I23 .
3. Demostrar que si la velocidad del sonidoc solo es funcion dex, entoncesdφ/ds =[(sinθ0/c0]dc/dx, dondeφ0 es elangulo de elevacion del rayo cuandoc = c0. Sidc/dx = Cte encontrar el radio de curvaturaR del rayo.
4. Calcular losangulos de reflexion y refraccion de una onda plana que viaja en el aire, yque incide con unangulo de incidencia de30o sobre agua.
18
Capıtulo 3
Analisis en frecuencia
3.1 Superposicion de soluciones
Debido a la linealidad de la ecuacion de ondas, si tenemos dos soluciones a dicha ecuacionde la forma
p ′1 = A ′1exp(i(w1t− k1x)), (3.1)
p ′2 = A ′2exp(i(w2t− k2x)), (3.2)
la sumap ′12 = p1 + p2 tambien es solucion de la ecuacion. Esta nueva solucion no tendrauna frecuencia definida, sino que sera la suma de dos ondas de frecuencias distintas. Se diceque la nueva ondap ′12 contiene dosarmonicosde frecuenciasw1 y w2. En general podemosobtener una onda con tantos armonicos como queramos simplemente sumando otras tantasondas elementales de frecuencias puras.
En lo que sigue supondremos que estamos en un punto fijo del espacio, y analizaremos lapresion en dicho punto del espacio como funcion del tiempo. Esto implica que analizaremosarmonicos de la forma
p ′ = A ′exp(iwt). (3.3)
3.2 Descomposicion en armonicos
Los resultados de la seccion anterior son mas o menos triviales, y se pueden resumir con losiguiente: sumando ondas de frecuencia pura (tonos puros) podemos obtener distintas ondassonoras que no son puras. Sin embargo, tambien se puede demostrar en sentido inversogracias al analisis de Fourier: cualquier onda puede descomponerse como suma de ondas defrecuencia pura (tonos puros o armonicos). En general, haran falta infinitos armonicos parareconstruir una onda genericaf(t), de modo que
f(t) = A ′1exp(iw1t) + A ′
2exp(iw2t) + A ′3exp(iw3t) + · · · (3.4)
19
3.3 Funciones periodicas y desarrollo de Fourier
En vista de los resultados de la seccion anterior, nos planteamos ahora el problema sigu-iente: dada una funcion f(t) periodicade perıodoT , y en principio compleja, calcular losarmonicos de forma que, multiplicados por ciertos coeficientes y sumados, nos den la funcionoriginalf(t). Para ello, suponemos quef(t) puede desarrollarse como suma de armonicos,
f(t) =∞∑
n=−∞
Anexp(iwnt). (3.5)
A este desarrollo se le llamadesarrollo de Fourier para funciones periodicas, y a los coefi-cientesAn, que en general son numeros complejos, se les llamacoeficientes de Fourier. De-bido a que la funcionf(t) es periodica de periodoT , se puede demostrar que los armonicostambien han de serlo. Esto implica que las frecuenciaswn solo pueden ser las siguientes,
wn = 0,2π
T,4π
T, · · · (3.6)
luego el desarrollo paraf(t) queda de la forma,
f(t) =∞∑
n=−∞
Anexp
(i2πnt
T
). (3.7)
Para calcular estos coeficientes aplicamos la condicion de ortogonalidad de las funcionesexp(iwnt): si multiplicamos la ecuacion anterior porexp(−iwmt) e integramos en un perıodode tiempo, obtenemos:∫ T
0
f(t)exp
(−i2πmt
T
)dt =
∞∑n=0
∫ T
0
Anexp
(i2π(n−m)t
T
)dt. (3.8)
La integral del termino de la derecha se anula sim 6= n, puesto que es la integral de unafuncion periodica sobre un perıodo, por lo que solo es distinto de cero cuandom = n,∫ T
0
f(t)exp
(−i2πmt
T
)dt = TAm, (3.9)
por lo que, finalmente, obtenemos una expresion cerrada para los coeficientes de Fourier,
Am =1
T
∫ T
0
f(t)exp
(−i2πmt
T
)dt (3.10)
Es interesante observar lo que sucede cuando el perıodo def(t) tiende a infinito. Loprimero que sucede es que la diferenciawn−wn+1 entre los valores de las frecuencias de dosarmonicos consecutivos tiende a cero, de forma que cabe esperar que el desarrollo de Fourierde una senal no periodica contenga unespectro de frecuencias continuo. Lo segundo es que
20
la amplitud de los armonicosAn tiende a cero, lo que significa que los armonicos individualescuentan cada vez menos a la hora de evaluar la senal. Esto es completamente logico sipensamos que en una region dada de espesorδw cada vez hay mas y mas armonicos hastaque se hacen infinitos en el lımiteT →∞. De este modo, si queremos que su suma total seafinita, la amplitud de cada uno ha de tender a cero.
En la siguiente figura se muestran los armonicos de una onda cuadrada de periodo2π,que son (compruebelo el lector)An = 4/πn paran impar yAn = 0 paran par.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-10 -5 0 5 10
4./pi*sin(x)
Figura 3.1: Primer armnico de la onda cuadrada.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-10 -5 0 5 10
4./pi*sin(x)+4./(pi*3)*sin(3.*x)
Figura 3.2: Suma de los dos primeros armonicos de la onda cuadrada.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-10 -5 0 5 10
4./pi*sin(x)+4./(pi*3)*sin(3.*x)+4./(pi*5.)*sin(5.*x)
Figura 3.3: Suma de los tres primeros armonicos de la onda cuadrada.
21
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-10 -5 0 5 10
4./pi*sin(x)+4./(pi*3)*sin(3.*x)+4./(pi*5.)*sin(5.*x)+4./(pi*7.)*sin(7.*x)
Figura 3.4: Suma de los cuatro primeros armonicos de la onda cuadrada.
3.4 Espectro continuo. Transformada de Fourier
Los resultados de la seccion anterior nos sugieren como hemos de actuar para calcular la de-scomposicion en armonicos de una funcion no periodica. A la funcion que nos da la amplitudde un armonico de frecuencia dada cuando el espectro es continuo se llamatransformadade Fourier. Vemos pues que la transformada de Fourier es una funcion distinta para cadaonda, y que asocia para cada valor de frecuencia un numero que representa la amplituddel armonico de dicha frecuencia en la onda original, como se representa en la siguienteecuacion:
f(t) =
∫ ∞
−∞f(w)exp(iwt)dw. (3.11)
La transformada inversa de Fourier consiste en despejar de manera explıcita los coeficientesf(w),
f(w) =1
2π
∫ ∞
−∞f(t)exp(−iwt)dt. (3.12)
3.5 Teorema de Parseval y espectro de frecuencias
Es facil demostrar la siguiente ecuacion:∫ ∞
−∞f(t)f ∗(t)dt =
1
2π
∫ ∞
−∞f(w)f ∗(w)dw, (3.13)
que se conoce como el teorema de Parseval, y relaciona la energıa de una senal como integralen el tiempo con la energıa en el dominio de la frecuencia. Esto permite asociar al valor def(w)f ∗(w)dw/2π como la cantidad de energıa contenida en un intervalo de frecuenciasdwen torno aw.
El conocimiento de las bandas de octava de un sonido generico es una informacion muyutil, pues el contenido en frecuencias de un sonido, como se vera mas adelante, es fundamen-tal a la hora de caracterizarlo. El espectro de frecuencias de un sonido real siempre decaepara frecuencias altas, por lo que a veces se suele dibujar el logaritmo de la densidad deenergıa como funcion de la frecuencia,log(f(w) ∗ f ∗(w)). La siguiente figura representa elespectro tıpico de un ruido.
22
w
log(|f(w)| )2
Figura 3.5: Espectro tıco de un ruido.
3.6 Ejercicios
1. Represente graficamente el primer armonico de la descomposicion de Fourier de unaonda cuadrada. Represente a continuacion tres, cinco, diez y veinte armonicos. Secomprueba como a pesar de las discontinuidades que presenta una onda cuadrada locual podrıa inducir a pensar que los armonicos de altas frecuencias son importantes, laamplitud de los armonicos va decreciendo con la frecuencia. Compruebe como en lospuntos de discontinuidad el desarrollo tiende al valor intermedio.
2. Calcule el espectro de Fourier de la anterior onda cuadrada para valores distintos delperiodo. Se observa como al crecer el periodo los distintos armonicos se van juntandoy su amplitud va decreciendo, de manera que al hacer tender el periodo a infinito, loque se corresponde con una onda no periodica el espectro de frecuencias tiende haciael continuo.
3. Pinte los armonicos de la onda cuadrada pero con una fase arbitraria. Pese a que estono se parece en nada a una onda cuadrada, curiosamente el oıdo humano no distingueentre las fases de manera que esta onda la percibimos exactamente igual que una ondacuadrada.
23
Capıtulo 4
Modelos de Fuentes sonoras
4.1 Modelo de esfera pulsante
Consideremos una esfera de radioa que esta pulsando periodicamente, es decir, aumentandoy disminuyendo de radio de manera periodica con cierta amplitud. Supondremos que laamplitud de las pulsaciones es mucho menor que el radio de la esfera, de manera que estemosdentro de la aproximacion de la acustica lineal. El objetivo es calcular el campo acusticogenerado en el exterior de la esfera pulsante.
Como hemos visto en capıtulos anteriores la solucion con simetrıa esferica a la ecuacionde ondas es de la forma
p ′(r, t) =A ′
rexp(i(wt− kr)), (4.1)
que sera la solucion al problema una vez hayamos determinado la constanteA ′. Esta con-stante se calcula imponiendo la condicion de contorno en la superficie de la esfera pulsante,donde la velocidad es conocida,
u(a, t) = U0exp(i(wt+ φ)). (4.2)
La presion en la superficie de la esfera la obtenemos sin mas que multiplicar la velocidadpor la impedancia acustica evaluada enr = a. Esta impedacia acustica es, como sabemos,la correspondiente a una onda esferica evaluada enr = a:
Z(a) = ρ0ccosθaexp(iθa), (4.3)
donde recordamos del capıtulo dos que
θa = arcsen
(1√
1 + (ka)2
), (4.4)
por lo que la presion enr = a es
p ′(a, t) = ρ0ccosθaa
rexp(i(wt− k(r − a) + θa + φ). (4.5)
24
La intensidad acustica media es
I =1
2ρ0cU
20
(ar
)2
cos2θa. (4.6)
Es interesante observar que cuandoka → 0, la intensidad tiende a cero, de modo que unaesfera cuyo radio sea muy pequeno comparado con la longitud de onda del sonido que emiteapenas radia energıa acustica.
4.2 Fuente lineal sonora
En esta seccion consideraremos el campo acustico generado por una varilla de dimensionlongitudinalL y radio nulo como muestra la figura 3.1. Aunque no es muy difıcil obteneranalıticamente el campo acustico generado por una varilla pulsante de dimension finita, eldesarrollo matematico se sale de los objetivos de este documento introductorio. Sin embargo,sı se debe mencionar que el procedimiento es realizar una serie de simplificaciones quepermiten escribir la amplitud del campo acustico a distancias grandes comparadas con lasdimensiones de la varilla como el producto de dosfunciones, una depende solo de la distanciaa la varilla, y la otra depende delangulo al eje de la varilla, como muestra la figura 3.1,
p ′(r, θ, t) = Pax(r)H(θ)exp(i(wt− kr)). (4.7)
Este procedimiento se usa frecuentemente para describir elcampo acustico lejanode fuentescomplicadas. Para la varilla se puede obtener una expresion analıtica para estas funciones,resultando
Pax(r) =1
2ρ0cU0
a
rkL, H(θ) =
∣∣∣senvv
∣∣∣ , (4.8)
dondev = 1/2kLsenθ.Es comun representar graficamente las funcionesH(θ) como funcion del angulo para
obtener una idea significativa de las direcciones en las que el sonido va a ser mas fuerte.Es mas comun representar20logH(θ). A estos graficos se les denomina patrones de rayos.En los ejercicios propuestos al final de esta leccion se invita al alumnos a que represente elpatron de rayos tanto para la varilla como para el piston pulsantes.
25
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
kL=24
abs(sin(12.*sin(t))/(12.*sin(t)))
Patron de rayos para la varilla, kL=24
=0θ
θ
varilla
Figura 4.1: Patron de rayos para la varilla vibrante con kL=24.
4.3 Piston pulsante
En esta seccion consideraremos el campo acustico generado por un piston plano pulsantede radioa, como muestra la figura 3.2. Al igual que con la varilla, se puede obtener unaexpresion analıtica para el campo acustico generado pero aquı nos limitaremos a dar la ex-presion para las funcionesPax(r) que coincide con la expresion para la varilla, y paraH(θ),
Pax(r) =1
2ρ0cU0
a
rkL, H(θ) =
∣∣∣∣2J1(v)
v
∣∣∣∣ , (4.9)
dondev = kasen(θ) y J1(v) es la funcion de Bessel de primera clase y orden 1.
0.15
0.1
0.05
0
0.05
0.1
0.15
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ka=10
abs(2.*besj1(10.*sin(t))/(10.*sin(t)))
Patron de rayos del cilindro pulsante ka=10
θ=0θ
piston
Figura 4.2: Patron de rayos para el piston pulsante con ka=10.
26
4.4 Factor de directividad
Como hemos visto, las fuentes sonoran no radıan sonido por igual en todas las direcciones.La potencia totalΠ radiada por una fuente proviene de integrar la intensidad de la energıasonora en una superficie cerrada que contenga la fuente. Si descomponemos la presion en elcampo lejano como hemos hecho para la varilla y el piston en una funcion que depende delradio por una funcion que depende de losangulos tenemos:
Π =1
2ρ0c0
∫4π
P 2(r, θ, φ)r2dΩ =1
2ρ0c0r2P 2
ax
∫4π
H2(θ, φ)dΩ, (4.10)
donde hemos escogido una esfera de radio r para integrar ydΩ es el diferencial deangulosolido. Si esta fuente radiara igual en todas las direcciones entonces la intensidadIo quehabrıa a una distanciar no dependerıa de losangulos y serıa
Io =Π
4πr2. (4.11)
Se define elfactor de directividad de una fuente en una determinada direccion como elcociente entre la intensidad de energıa sonora realmente radiada en esa direccion Ir y la queradiarıa si la fuente fuese omnidireccionalIo. El factor de directividad se designa por la letraQ y no tiene dimensiones:
Q =IrIo. (4.12)
4.5 Ejercicios
1. Representar graficamente mediante ordenador las funcionesH(θ) y 20 logH(θ), parala varilla y el piston pulsante.
2. Calcular el factor de directividad para una fuente que radia de manera isotropa perosolo en un semiespacio.
27
Capıtulo 5
Sumario de terminos
En esta seccion vamos a concretar y resumir todas las magnitudes que caracterizan el sonido.Muchos de los conceptos ya han quedado explicados anteriormente, pero los repetiremosaquı para que esta seccion sirva de referencia y contenga todas las magnitudes importantes,por lo que no seran explicados en detalle.
5.1 Velocidad del sonido
Es la velocidad a la que se propagan las perturbaciones en un medio material elastico. Lavelocidad del sonido depende de la densidad y del grado de elasticidad del medio a travesdel cual se transmite. En el caso de un gas ideal, como puede ser considerado el aire, hemosvisto que
c20 =
(∂p
∂ρ
)S
, (5.1)
pero, del primer principio de termodinamica para procesos reversibles,
du = TdS − pd(1/ρ) → cvdT = −pd(1/ρ) → cvd
(p
Rgρ
)= −pd(1/ρ), (5.2)
y usando queRg = cp − cv y γ = cp/cv, tenemos, para un gas ideal,
c0 =
√γp
ρ=√γRgT . (5.3)
En el aire y en condiciones normales de presion y temperatura (p = 1 atmT = 300K),resulta serc0 = 344 m/s.
5.2 Frecuencia, perıodo, longitud de onda y tonos puros
La frecuencia es el numero de ciclos que ocurren en la unidad de tiempo en una posiciondel espacio fija. La unidad es el ciclo o Hercio (Hz) y se representa porf . Algunas veces se
28
usa el concepto defrecuencia angular, la cual esta relacionada con la frecuencia mediantela expresion w = 2πf . Si tenemos una onda sonora de la formap′ = sin(wt + kx), lafrecuencia angular esw.
El oıdo humano solo es capaz de ser excitado por sonidos cuya frecuencia este compren-dida entre 20 y 20.000 Hz, conociendose a los sonidos de frecuencia menor de 20 Hz comoinfrasonidos y a los de frecuencia mayor a 20.000 Hz como ultrasonidos.
La frecuencia nos indica eltonode un sonido, y nos ayuda a diferenciar subjetivamentelos sonidos de baja frecuencia (tono grave) de los de alta frecuencia (tono agudo). En generalel sonido estara compuesto por una suma de sonidos de distintas frecuencias, si el sonido solocontiene una frecuencia se le llamatono puro. El perıodo (T ) es la inversa de la frecuencia,T = 1/f .
Analogamente al caso de una onda del tipop ′ = sen(wt + kx), dondew representa lafrecuencia angular,k representa elnumero de ondas angular, y la cantidadK = k/2π,el numero de ondas, que es el numero de ciclos que ocurren en la unidad de espacio paraun instante de tiempo determinado. La inversa deK es lalongitud de ondaλ = 1/K, yrepresenta la distancia espacial que hay entre dos picos consecutivos de una onda periodica.La longitud de onda se relaciona con la frecuencia y la velocidad del sonido mediante laexpresionλ = c0/f .
5.3 Presion sonora
Se define lapresion sonora como la variacion de presion producida en un punto comoconsecuencia del paso de una onda sonora que se propaga a traves del medio. Es decir, loque hemos llamandop ′ en estos apuntes. Como el valor medio en el tiempo de la presionsonora normalmente es nulo, para cuantificar la amplitud de la variacion se utilia lapresioneficaz(Prms), que es la raiz cuadrada del valor cuadratico medio de la presion sonora:
Prms =
√1
T
∫ T
0
p ′2(t)dt. (5.4)
En el caso de ondas sinusoidales, se tiene:
Prms =p ′0√
2, (5.5)
siendop ′0 el valor maximo, oamplitud , de la presion sonora.Las variaciones de presion mas pequenas que son audibles por el ser humano tienen un
valor eficaz de aproximadamente2x10−4µbar (2x10−5 Pa). Para una presion media eficazmayor de200µbar (20 Pa) aparecen efectos dolorosos en el oıdo humano.
5.4 Velocidad de las partıculas fluidas
Si observamos la ecuacion (1.4), e introducimos para la presion la expresion para la diferen-cia de presiones o presion sonora,p ′ = p ′0 sen(kx−wt), y sabiendo que la velocidad de las
29
partıculas fluidas esu = dξ/dt, tenemos:
∂p ′
∂x= −ρ0
∂u
∂t= kp ′0cos (kx− wt) → u =
k
ρ0wp ′0sen (kx− wt) =
p ′
c0ρ0
, (5.6)
luegou = p ′/c0ρ0, y tenemos relacionada la velocidad con la presion sonora para una ondasinusoidal. Esta relacion es completamente valida sea o no la onda sinusoidal, bastando conquep ′ = f(x − ct). Un valor tıpico de la impedancia acustica esρ0c0 = 413 Kg/m2s parael caso del aire a temperatura y presion ambientes.
5.5 Intensidad, potencia y densidad de energıa sonora
La energıa sonora que atraviesa por unidad da tiempo la unidad de superficie perpendiculara la direccion de propagacion se denominaintensidad sonoray viene dada por la expresion
I = p′ · u , (5.7)
donde las barras verticales indican que estamos haciendo la media temporal. Es facil ver quepara una onda plana la intensidad sonora es
I =P 2
rms
ρ0c0. (5.8)
La potencia sonora(W ) a traves de unarea muy pequena ∆A es el producto de laintensidad sonora por esearea,
∆W = I ·∆A =P 2
rms
ρ0c0·∆A. (5.9)
Si queremos calcular la potencia sonora a traves de unarea grande, la dividimos enareas losuficientemente pequenas para que la intensidad sonora sea constante en ellas, y sumamostodas las potencias que pasan por cada una de ellas:
W =∑
i
Ii ·∆Ai, (5.10)
donde el subındicei nombra a cada una de las subareas. Por ejemplo, si tenemos una inten-sidad uniforme (no depende del espacio), la potencia sonora que atraviesa unarea igual aAperpendicularmente a la direccion de propagacion es
W = A · I.La densidad de energıa sonora(D) se define como la cantidad de energıa sonora con-
tenida en la unidad de volumen del medio, se mide enJ/m3, y se expresa para una intensidadde energıa sonora uniforme como
D =P 2
rms
ρ0c20. (5.11)
30
5.6 Factor de directividad
Las fuentes sonoras, bien sea por su propia naturaleza o por su situacion en el espacio, noradian la misma cantidad de energıa en todas las direcciones. En general la radiacion sepuede concentrar en una cierta direccion o direcciones y se aparta del patron de radiacionesferico u omnidireccional.
Se define comofactor de directividad de una fuente en una determinada direccion alcociente entre la energıa (intensidad de energıa sonora) realmente radiada en esa direccion yla que radiarıa (para una misma potencia total) si la fuente fuese omnidireccional. Se designapor la letraQ y no tiene dimensiones:
Q =IrIo, (5.12)
dondeIr es la intensidad de energıa en esa direccion yIo es la intensidad que se radiarıa parael caso de radiacion isotropa.
Veamos para fijar ideas un ejemplo sencillo de como se calcularıa el factor de directividadpara una fuente sonora arbitraria. Primero elegimos una superficie esferica alrededor de lafuente sonora (A), luego dividimos esta superficie esferica en superficies pequenas donde laintensidad sonora sea uniforme (∆Ai). Medimos todas las intensidades sonoras (Ii) en cadauna de las superficies pequenas. A continuacion calulamos la potencia total radiada multipli-cando las intensidades calculadas por las superficies y sumando (W =
∑i Ii∆Ai). A con-
tinuacion calculamos la intensidad que radiarıa la fuente esferica homogenea (I0 = W/A).Finalmente calcularıamos los factores de directividad en esas direciones (Qi = Ii/I0).
5.7 El decibelio
Si se tiene en cuenta que el margen de presion sonora que el oıdo humano es capaz deinterpretar se extiende en un rango que comprende desde2 · 10−5 Pa hasta20 Pa, esevidente la imposibilidad de utilizacion de una escala lineal de medida compuesta por unmill on de unidades. Ademas, es conocido que el organismo humano tiene una respuestaaproximadamente logarıtmica a los estımulos sonoros. Por todo ello se recurre en acustica aexpresar las magnitudes endecibelios(unidad logarıtmica) al hablar de niveles de presion,intensidad y potencia.
El Belio (B) es la division fundamental de una escala logarıtmica utilizada para expresarla relacion de dos medidas depotencia. Se define el numero de Belios como el logaritmodecimal del cociente entre las dos cantidades y es por lo tanto una magnitud que no tienedimensiones.
Si W es la potencia que se considera,W0 es una potencia de referencia yN el numerode Belios que representa la relacionW/W0, entonces se tiene:
N = logW
W0
. (5.13)
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Por ejemplo, siW es diez veces mayor queW0 la relacionW/W0 sera 10 y log10 = 1,si la relacion es de 100, entonceslog100 = log102 = 2, vemos pues que el Belio crece enuna unidad cada vez que la magnitud de potencia se multiplica por diez.
Por razones practicas se usa el decibelio (dB) que es la decima parte de un Belio. Portanto el numero de decibelios (n) es igual al numero de Belios multiplicado por diez:
n = 10 logW
W0
. (5.14)
Como las intensidades acusticas son directamente proporcionales a las potencias acusticasque las producen, se dice que en un punto del espacio elnivel de intensidades den deci-belios, dados por la ecuacion
n = 10 logI
I0. (5.15)
En general estos valores de decibelios para la intensidad y para la presion no tienen porquecoincidir. Su igualdad depende de los valores de referencia que se utilicen para intensidad ypotenciaI0 y W0.
De igual manera, las potencias son proporcionales a los cuadrados de las presiones efi-caces, por lo que igual que hemos hecho para la intensidad podemos definir decibelios depresion como:
n = 10 logP 2
rms
P 20
= 20 logPrms
P0
, (5.16)
y de igual manera estos decibelios corresponderan o no con los de potencia e intensidaddependiendo del valor que se tome para la presion de referenciaP0.
Por acuerdo internacional se han tomado como valores de referencia las siguientes can-tidades:
• Potencia sonoraW0 = 10−12 watios.
• Intensidad sonoraI0 = 10−12 watios/m2
• Presion sonoraP0 = 20× 10−6 Pa (N/m2).
Cuando se utilizan estas referencias normalizadas, los sımbolos que se emplean interna-cionalmente para expresar respectivamente los niveles de presion, intensidad y potencia sonLp, Li. Lw.
En el aire, en condiciones normales, los niveles de presion (Lp) y de intensidad (Li) sonnumericamente iguales debido a queI = P 2
rms/ρ0c0 = P 2rms/413 (dondeI y P 2
rms estanmedidos en unidades S.I):
Lp = 10 logP 2
rms
P 20
= 10 logP 2
rms
20 · 10−6= 94 + 10 logP 2
rms, (5.17)
Li = 10 logI
I0= 10 log
P 2rms/413
I0= 10 log
P 2rms
413 · 10−12= 93.9 + 10 logP 2
rms, (5.18)
de manera queLp ' Li.
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5.8 Adicion de niveles de ruido
Cuando se superponen dos o mas sonidos de frecuencias distintas, estadısticamente la in-tensidad sonora resultante es la suma de las intensidades de cada uno de los sonidos, o loque es lo mismo, el cuadrado de la presion sonora eficaz es la suma de los cuadrados de laspresiones sonoras eficaces de los distintos ruidos.
Si queremos sumar tres ruidos de presiones eficacesP1, P2, P3, tendremos:
Lp = 10 log
(P 2
1 + P 22 + P 2
3
P 20
). (5.19)
Por ejemplo, si sumamos dos ruidos de igual intensidad:
Lp = 10 log
(2P 2
1
P 20
)= 10 log
(P 2
1
P 20
)+ 10 log(2) = Lp1 + 3.0103,
lo que nos indica que la suma de dos niveles sonoros iguales, sea el que fuere su valor, solose incrementa en 3 dB en el nivel sonoro global.
5.9 Sonoridad
La respuesta del oıdo, ademas de no ser lineal en intensidad, tampoco lo es en frecuencia,existiendo una sensacion diferente para tonos de igual nivel sonoro y distinta frecuencia.Esta sensacion sonora o intensidad subjetiva es conocida comosonoridad.
Mediante ensayos subjetivos se han determinado las curvas de igual sonoridad dadas porRobinson y Dadson (1956, National Phisical Laboratory, ISO 226, 1961) donde en abcisasse indican las frecuencias de los tonos puros que percibe el oıdo humano y en ordenadas elnivel de presion sonora. Las curvas unen puntos de igual sensacion sonora por ello llamadasisofonas, correspondiendo cada una a un numero de Fonios, igual al nivel de presion sonoraen decibelios a 1.000 Hz.
La percepcion de sonoridad para sonidos complejos es asimisma compleja y es objeto deestudio de lapsicoacustica.
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