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9Soluciones a las actividades de cada epígrafe

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En la Casa de la Cultura se ha montado una exposición fotográfica.

En ella se recogen modernos edificios en los que los poliedros y loscuerpos de revolución han sido elevados a la categoría de arte.

1 Indica, en la ilustración, dos edificios que sean poliedros y tengan formas di-ferentes.

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Unidad 9. Cuerpos geométricos

Prisma rectocuadrangular(ortoedro)


2 Busca, también, algunos cuerpos de revolución y dibuja las formas planasque los engendran al girar alrededor del correspondiente eje.

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Pirámide de base cuadrada


3 Señala una edificación que no sea poliédrica ni de revolución e indica por quéno lo es.

Este cuerpo no es un poliedro porque parte de su superficie no es plana.

Tampoco es un cuerpo de revolución, porque no tiene un eje de giro cuyas sec-ciones perpendiculares sean círculos.

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ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 ¿Cuáles de las siguientes figuras son poliedros?:

Di cuántas caras, vértices y aristas tiene cada uno de ellos.

Son poliedros A, B, E, F y G.

A B E F G

V 8 6 V 8 14 V 8 8 V 8 7 V 8 12

C 8 5 C 8 12 C 8 6 C 8 7 C 8 8

A 8 9 A 8 24 A 8 12 A 8 12 A 8 18

2 ¿Cuáles de las figuras del ejercicio anterior son cuerpos de revolución? En cadacaso, dibuja la figura plana que lo genera y señala su eje de giro.

C y D son cuerpos de revolución.

C D

e e

E

A

F

B C

G

D

H

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1 Di qué tipo de prisma es cada uno de los siguientes.

Indica cuáles son regulares.

Dibuja el desarrollo del primero de ellos.

a) Triangular, regular.

b) Cuadrangular, no regular.

c) Pentagonal, no regular.

d) Hexagonal, regular.

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2 Las bases de un prisma recto son trapecios rectángulos cuyos lados miden: susbases, 11 cm y 16 cm; su altura, 12 cm. La altura del prisma mide 20 cm. Hallasu área total.

8 Su área total es de 1 364 cm2

3 Halla el área total de un cubo de 10 cm de arista.

Cada cara A = 100 cm2, AT = 600 cm2.

4 Las dimensiones de un ortoedro son 4 cm, 3 cm y 12 cm. Halla el área total y lalongitud de la diagonal.

d' = 5 cm

AT = 2(4 · 3 + 4 · 12 + 3 · 12) = 192 cm2

d = 13 cm

5 cm

3 cm

4 cm 12 cm dd'

16 cm

11 cm12 cm

20 cm

d

°¢£

Al = 1 040 cm2

Ab = 162 cm2

a) b) c) d)

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5 La base de un ortoedro es un rectángulo de lados 9 cm y 12 cm. La diagonal delortoedro mide 17 cm. Calcula la medida de la altura del ortoedro y su área total.

d' = 15 cm

d = 8

La altura es 8 cm.

AT = 2(9 · 12 + 9 · 8 + 8 · 12) = 552 cm2

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1 Halla el área total de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 10 cmde lado y cuya altura es de 12 cm.

a' = 5

a = 13

AT = 100 + = 360 cm2

2 La base de una pirámide regular es un pentágono de 16 dmde lado y 11 dm de apotema. La altura de la pirámide es de26,4 dm. Halla su área total.

a = 28,6 dm

AT = + = 1 584 dm2

PÁGINA 1921 Halla el área lateral de un tronco de pirámide he-

xagonal regular cuyas dimensiones son las del di-bujo.

a = 40

ALAT

= · 40 = 6 960 cm2

938 cm

20 cm

41 cm a 6 · 20 + 6 · 382

38 cm

20 cm

41 cm

80 · 28,62

80 · 112

10 cm

12 c

m

40 · 132

9 cm15 cm

12 cm17 cm

dd'

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2 Una pirámide regular de base cuadrada de 10 cm de lado y altura 12 cm es cor-tada por un plano a mitad de su altura. Halla el área total del tronco de pirá-mide resultante.

Son triángulos semejantes.

= = 2 8 a = 2,5

= = 0,5 8 b = 6,5

Ab1= 25 cm2

Ab2= 100 cm2

ALAT

= · 61 = 180 cm2

AT = 25 + 100 + 180 = 305 cm2

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1 Considerando la suma de los ángulos que coinciden en cada vértice, justificapor qué no se puede construir un poliedro en los siguientes casos:

a) Coincidiendo 6 triángulos equiláteros en cada vértice.

b)Coincidiendo 4 cuadrados en cada vértice.

c) Coincidiendo 4 pentágonos regulares en cada vértice.

d)Con hexágonos regulares o polígonos regulares de más lados.

a) Sumarían 360° y eso es plano, no se puede torcer.

b) También suman 360° y es plano.

c) Miden 432° y eso es más que un plano. Se superpondrían.

d) Con tres hexágonos suman 360°: es un plano y con solo 2 no se puede formar.Los poliedros regulares de más lados tienen ángulos mayores de 360° y, por tan-to, no podemos, puesto que se superpondrían.

20 + 402

612

b13

126

5a

5 cm 2,5 cm

6,5 cm

6 cm

6 cm

a

b

a'

10 cm

12 c

m

6 cm

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1 Dibuja en tu cuaderno los cilindros que se generan al hacer gi-rar este rectángulo:

a) Alrededor de CD.

b)Alrededor de BD.

a) b)

2 ¿Qué cantidad de chapa se necesita para construir un depósito cilíndrico ce-rrado de 0,6 m de radio de la base y 1,8 m de altura?

2 · π · 0,6 · 1,8 + 2 · π · 0,62 = 2,16π + 0,72π = 9,0432 m2 de chapa.

3 Se han de impermeabilizar el suelo y las paredes interiores de un aljibe circu-lar abierto por arriba. El radio de su base mide 4 m, y la altura, 5 m. Si cuesta18 € impermeabilizar 1 m2, ¿cuál es el coste de toda la obra?

AALJIBE

= 2π · 4 · 5 + π · 16 = 56π = 175,84 m2

Costará 175,84 m2 · 18 €/m2 = 3 165,12 €.

4 Dibuja el desarrollo de un cilindro recto cuya base tiene 2 cm de radio y cuya al-tura es de 8 cm.

5 Toma medidas y decide cuálde los siguientes desarrolloscorresponde a un cilindro.

El primero.

12,56 cm

2 cm

8 cm

A B

C D

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1 Calcula el área lateral y el área total de este cono, sabiendoque:

ON—

= 13 cm, MN—

= 85 cm

ALAT

= π · 13 · 85 = 3 469,7 cm2

AT = 3 469,7 + 530,66 = 4 000,36 cm2

2 Dibuja los conos que se obtienen al hacer girar este triángulo rectángulo:

a) Alrededor de AC.

b)Alrededor de BC.

Halla el área total de ambos.

ALAT

= 30 · π · 34 = 3 202,8 cm2 ALAT

= 16 · π · 34 = 1 708,16 cm2

AT = 3 202,8 + 2 826 = 6 028,8 cm2 AT = 1 708,16 + 803,84 = 2 512 cm2

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1 El cono cuya base tiene un radio de 12 cm y cuya altura es de 16 cm es corta-do por un plano perpendicular a su eje que pasa a 4 cm de la base.

Halla las dimensiones, el área lateral y el área total del tronco de cono que seforma.

= 8 r' = 9

= 8 g' = 15

ALAT

= 12 · π · 20 – 9 · π · 15 = 329,7 cm2

ALAT + Binf

= 329,9 + π · 122 = 781,86 cm2

AT = 781,86 + π · 92 = 1 036,2 cm212 cm

5 cm

g = 20 cm

4 cm

12 cm

16 cm

r'

g' 2016

g'12

1216

r'12

30 cm30 cm

34 cm

34 cm

16 cm

16 cm16 cm16 cm

A

C B

16 cm

30 cm

N

M

O

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2 Halla la superficie de una flanera abierta por arriba, con las siguientes medi-das: radio de las bases, 10 cm y 15 cm; generatriz, 13 cm.

= 8 g = 26

ALAT

= 15 · π · 39 – 10 · π · 26 = 1 020,5 cm2

AT = 1 020,5 + π · 102 = 1 334,5 cm2

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3 En nuestro jardín tenemos 32 macetones con forma de tronco de cono. Los ra-dios de sus bases miden 14 cm y 20 cm, respectivamente, y su generatriz, 38 cm.Calcula cuánto cuesta pintarlos (solo la parte lateral) a razón de 40 € cada me-tro cuadrado de pintura y mano de obra.

ALAT

= π · (14 + 20) · 38 = 4 056,88 cm2

ALAT TODOS

= 4 056,88 · 32 = 129 820,16 cm2 = 12,982016 m2 › 13 m2

Costará aproximadamente 520 €.

4 Considera un tronco de cono cuyas bases tienen radios de 17 cm y 22 cm, ycuya altura es de 12 cm.

a) Halla su generatriz.

b)Halla el área lateral de la figura.

c) Halla el área total de la figura.

a) g = = 13

b) ALAT

= π(r + r' ) · g = 1 591,98 cm2

c) AT = 1 591,98 + 907,46 + 1 519,76 = 4 019,2 cm2

√122 + 52

22 cm

g = 13 cm12 cm

17 cm

5 cm

15 cm

g = 26 cm

12 cm

24 cm

13 cm

10 cm

13 + g15

g10

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1 Una esfera de 5 cm de radio es cortada por un plano que pasa a 3 cm de su cen-tro. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que determina?

= 4 cm de radio.

2 Se sabe que al cortar una esfera con un plano que dista 3 cm de su centro, se ge-nera una circunferencia plana de 4 cm de radio. ¿Cuánto mide el radio de la es-fera?

= 5 cm mide el radio de la esfera.

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3 En una esfera terrestre escolar de 20 cm de radio están señaladas las zonas cli-máticas. Sabemos que cada casquete polar tiene 2 cm de altura, y cada zonatemplada, 10 cm de altura. Halla la superficie de cada zona climática.

Zonas polares 8 20 · 2 · 2 · π · 2 = 502,4 cm2

Zonas templadas 8 2 · 2 · π · 20 · 10 = 2 512 cm2

Zona cálida 8 2 · 8 · π · 20 = 1 004,8 cm2

POLAR

TEMPLADA

CÁLIDA

TEMPLADA

POLAR

√32 + 42

√52 – 32

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