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Unidad 12. Figuras geométricas

PÁGINA 243

45 El lado de un pentágono regular mide 12 cm, y su radio, 10,2 cm. Halla su apotema con una cifra decimal.

a = √10,22 – 62 = √68,04 ≈ 8,2 cm

La apotema del pentágono mide 8,2 cm.10,2 cm

12 cm

6 cm

a

46 El radio de un pentágono regular mide 20 cm, y su apotema, 16,2 cm. Halla la longitud de su lado (con una cifra decimal).

x = √202 – 16,22 = √137,56 ≈ 11,7 cm

El lado del pentágono mide 2 · 11,7 = 23,4 cm.20 cm

16,2 cm

x

47 El lado de un octógono regular mide 8 cm, y su apotema, 9,6 cm. Halla el ra-dio de la circunferencia circunscrita al polígono.

r = √9,62 + 42 = √108,16 ≈ 10,4 cm

El radio de la circunferencia circunscrita es igual al radio del octógono, y mide 10,4 cm.

9,6

cm8 cm

4 cm

r

48 Halla, con una cifra decimal, la altura de un triángulo equilátero de 12 cm de lado. ¿Cuánto miden su apotema y su radio?

a = √122 – 62 = √108 ≈ 10,4 cm

La altura mide 10,4 cm.12 cm

6 cm

a

La apotema es 13

de la altura del triángulo, y el radio es 23

de la altura.

Por tanto: apotema = 13

(10,4) ≈ 3,5 cm

radio = 23

(10,4) ≈ 6,9 cm

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Unidad 12. Figuras geométricas

49 El lado del hexágono exterior mide 8 cm. Halla el radio, la apotema y el lado del triángulo azul. 8 cm

4 cm

x 8 cm

Al ser un hexágono, su radio mide igual que el lado. Por tanto:

x = √82 – 42 = √48 ≈ 6,9 cm

El lado del triángulo mide 2 · 6,9 = 13,8 cm.

El radio del triángulo coincide con el radio del hexágono, por lo que mide 8 cm.

La apotema del triángulo mide la mitad del radio; es decir, 4 cm.

50 Resuelto en el libro del alumno.

51 Di si los triángulos siguientes son rectángulos, acutángulos u obtusángulos:

I. a = 61 m, b = 60 m, c = 11 m

II. a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm

III. a = 30 m, b = 24 m, c = 11 m

I. a2 = 3 721, b 2 + c2 = 3 600 + 121 = 3 721

Como a2 = b 2 + c2, el triángulo es rectángulo.

II. a2 = 324, b 2 + c2 = 225 + 144 = 369

Como a2 < b 2 + c2, el triángulo es acutángulo.

III. a2 = 900, b 2 + c2 = 576 + 121 = 697

Como a2 > b 2 + c2, el triángulo es obtusángulo.

■ Problemas “+”

52 Una recta pasa a 18 cm del centro de una circunferencia de radio 19,5 cm. ¿Cor-ta la recta a la circunferencia? Halla la longitud de la cuerda que determina en ella.

La recta corta a la circunferencia, ya que la distancia de la recta al centro de la circunferencia es menor que el radio.

x = √19,52 – 182 = √56,25 = 7,5 cm

La cuerda mide 2 · 7,5 = 15 cm.18 cm

19,5 cmx

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53 Describe las figuras que se obtienen con los siguientes cortes hechos a un cubo de 6 cm de arista y represéntalas en tu cuaderno. Di qué tipo de polígono se obtiene y halla sus dimensiones:

a) El corte contiene a una arista y pasa por los puntos medios de otras dos aristas.

b) El corte contiene a dos aristas opuestas.

c) Observa que los cuatro lados son iguales. Halla su longitud y la de la diagonal menor.

d) El plano pasa por los puntos medios de dos aristas conti-guas y por dos vértices.

6

3

33

3

3

6

6

6

a)

x = √62 + 32 = √45 ≈ 6,7 cm

Es un rectángulo de 6,7 cm Ò 6 cm.

x

6 cm

b)

x = √62 + 62 = √72 ≈ 8,5 cm

Es un rectángulo de 6 cm Ò 8,5 cm.

x

6 cm

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c)

x = √62 + 32 = √45 ≈ 6,7 cm

Es un rombo de 6,7 cm de lado.

Perímetro = 4 · 6,7 = 26,8 cm.

x

x

d

D

La diagonal menor es igual a la diagonal de una cara del cubo.

Mide d = √62 + 62 = √72 ≈ 8,5 cm.

d)

x = √32 + 32 = √18 ≈ 4,2 cm

y = √62 + 62 = √72 ≈ 8,5 cm

z = √62 + 32 = √45 ≈ 6,7 cm

x

y

zz

Es un trapecio isósceles de bases 8,5 cm y 4,2 cm y lados no paralelos de 6,7 cm.

54 Queremos colgar un cuadro de 46 cm por 32 cm de un clavo que está a 2,20 m de altura. Para ello, se fijan dos alcayatas en la parte posterior del marco, a dos cen-

tímetros de los bordes, y una cuer-da como indica la figura. ¿Cuál debe ser la longitud de la cuerda, si cada extremo con su nudo necesita 5 cm, y queremos que el borde inferior del cuadro quede a 170 cm del suelo?

Observa el dibujo:

42

46

x20 20

21

30 32

50

50

170

220

Por tanto:

x = √212 + 202 = √841 = 29 cm

La cuerda debe medir 2 · 29 + 2 · 5 = 58 + 10 = 68 cm

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