solucionario aritmetica cepu verano 2015 terminado

NOBEL Academia Preuniversitaria Solucionario Aritmtica CEPU VERANO 2015-III

1

PRACTICA 01: TEORIA DE

CONJUNTOS

1) Sean los conjuntos

A { { } }

Indique (V) o falso (F) en cada

proposicin.

{{ }}

{ }

{ }

{ { }}

A) VVVV B) VVFF C) FVFF

D) FFVV E) FVFV

SOLUCIN:

{{ }} (Falso)

{ } (Verdadero)

{ } (Falso)

{ { }}

(Falso)

2) Sean A, B y C tres conjuntos

contenidos en

U=

ACA

8)( CBnAPn

23CBn Calcular: n(Ac)

A) 26 B) 28 C) 30 D) 24 E) 22

SOLUCIN:

C

8

U=30 B

3A y

x

( ) 8

3

n P A

n A

23n B C

3) Dado los siguientes conjuntos:

,, APBA ABC y CPD

DBCalcular

A) B B) C C) D D) A E) BA SOLUCIN:

A

B P A {{ } }

C B A {{ } } { } { }

D P C {{ } }

{ }

4) Dado los conjuntos:

6;5;4;3;2;1A 9;8;7;6;4;1;0B

Sea m el nmero de subconjuntos no

vacos de A que son disjuntos con B y

n es el nmero de subconjuntos no

vacos de B que son disjuntos con A.

Calcular m+n.

A) 21 B) 22 C) 25 D) 190 E) 26

SOLUCIN:

5) Sean los conjuntos:

{ }

{ }

Cuntos subconjuntos propios tiene

?

A) 3 B) 7 C) 63 D) 15 E) 31

SOLUCIN:

{ }

{ }

{ }

{ }


2

6) Dados los conjuntos iguales A y B:

{ }

{ }

Halle

A) 18 B) 21 C) 23

D) 25 E) 27

SOLUCIN:

7) Sean los conjuntos:

{ }

{ }

Determine

A) B B) C) BA

D) BAc E) A

SOLUCIN: { }

{ }

{ }

{ }

8) Sean Ay B dos conjuntos tales que:

Calcular cuntos subconjuntos

propios tiene ?

A) 7 B) 127 C) 63

D) 31 E) 15

SOLUCIN:

A

7

B

y5-y

x

9) Se dispone de 6 tipos de vidrios, los

cuales se combinan para obtener

sabores distintos a los que se tiene.

Cuntos nuevos sabores se podrn

obtener. Si al mezclar siempre se

realiza con una misma cantidad de

cada vino?

A) 57 B) 59 C) 58

D) 55 E) 54

SOLUCIN: { }

Total de combinaciones

Pide vinos distintos

Vinos conocidos

10) Cuntos de los 1600 alumnos estn

inscritos en teatro pero no en canto?

Sabiendo que: 600 estn inscritos en

teatro, 650 en canto, 250 en teatro y


3

baile, 350 en canto y baile, 200 en

teatro y canto, 950 en baile, 150

llevan los 3 cursos.

A) 390 B) 410 C) 405

D) 280 E) 400

SOLUCIN:

C(650)

B(950)

T(600)

U=1600

300 250

500

100 200

50

150

11) En el cumpleaos de Paolo Guerrero

hay 60 personas y se observa que la

cantidad de personas que tienen

reloj pero no casaca son la quinta

parte de los que tienen reloj y casaca

y la cuarta parte de los que tienen

casaca pero no reloj. Si 30 personas

no tienen reloj. Cuntas personas no

tenan reloj ni casaca?

A) 5 B) 10 C) 15

D) 20 E) 54

SOLUCIN:

R C

n 4n5n

x

U=60

12) En una academia se realiz una

encuesta y se obtuvo los siguientes

resultados: el 30% postulan a San

Marcos y el 80% a la UNI, de los que

no postulan a la UNI el 20% postulan a

San Marcos, si 800 estudiantes no

postulan a ninguna de las

universidades mencionadas.

Cuntos estudiantes postulan a

ambas universidades?

A) 1300 B) 1000 C) 1200

D) 1500 E) 1400

SOLUCIN:

SM UNI

800

U=100k

(30k) (80k)

26k4k

Solo San Marcos:

13) De un grupo de 590 alumnos se

observ, que 200 no postulan a la UNI,

300 no postulan a San Marcos y 50 no

postulan a ninguna de estas dos

universidades Cuntos postularon a

ambas universidades?

A) 100 B) 120 C) 125

D) 130 E) 140

SOLUCIN:


4

UT=510

S

50

a x b

14) Un total de 90 alumnos dio 3

exmenes para aprobar un curso y se

observ que los que aprobaron solo

un examen representan el quntuplo

de los que aprobaron solo 2

exmenes resulta el triple de los que

desaprobaron los 3 exmenes. Si el

nmero de los que desaprobaron los

3 exmenes es igual al nmero de los

que aprobaron los 3 exmenes

Cuntos aprobaron el curso?

Considere que para aprobar es

necesario que aprueben por los

menos 2 exmenes.

A) 36 B) 12 C) 16

D) 20 E) 18

SOLUCIN:

A

C

a d b

e f

c

x

B

T=90

15) A una conferencia asistieron 60

piuranos, 90 apurimeos 70 tacneos.

Se observ que entre los tacneos y

piuranos haba 100 personas que

usaban lentes 12 corbatas, pero no

tenan lentes y 48 apurimeos usaban

lentes o corbata. Halle la cantidad de

personas que no usaban lentes ni

corbatas y cuya procedencia era

piurana o apurimea, si 9 tacneos

no usaban lentes ni corbata.

A) 48 B) 51 C) 56

D) 62 E) 67

SOLUCIN:

Lentes Corbata Ni lentes Ni corbata

TOTAL

Piur a c x 60

Apur e f y 90

Tacn b d 9 70

total - - - 220

16) 80 alumnos rindieron una prueba que

contiene los cursos de mineraloga,

Geologa y Explosivos con el siguiente

resultado:

Se anul 8 pruebas y el resto aprob

por lo menos un curso

Los que aprobaron Mineraloga,

desaprobaron Geologa y Explosivos

Hay 15 alumnos que aprobaron

Geologa y Explosivos

Cuntos aprobaron un solo curso?

A) 58 B) 53 C) 51

D) 57 E) 52

SOLUCIN:


5

M

E

ab

c

G

T=80

15

17) En el momento de la hora loca en

una fiesta se observ que el nmero

de varones que no bailaban era el

doble del nmero de personas que

estaban bailando y adems el

nmero de damas que no bailaban

es al nmero de varones como 2 es a

5. Si en total asistieron 104 personas.

Cuntas personas no bailaban?

A) 82 B) 78 C) 72

D) 39 E) 26

Bailan No bailan Total

Hombres x 4x 5x

Mujeres x 2x 3x

Total 2x 6x 8x

18) En un concierto asistieron 4200

personas, se observ que de las

mujeres son solteras. De los

hombres se sabe que son los del

total de mujeres y del numero de

mujeres casadas estn embarazadas.

Cuntas mujeres casadas no estn

embarazadas?

A) 1125 B) 1225 C) 1425

D) 1135 E) 1120

SOLUCIN:

{

{

{

19) De un grupo de 70 ingresantes a la

UNI, se observa que la cantidad de

varones cinco veces ms que la de

mujeres; 53 varones no son

cachimbos de Ingeniera de Minas y

las mujeres ingresantes que no son de

Ingeniera de Minas ni de Ingeniera

electrnica, son tantas como los

cachimbos de Ingeniera de Minas.

Cuntas mujeres son de Ingeniera

de Minas o de Ingeniera electrnica?

A) 4 B) 3 C) 6

D) 7 E) 8

SOLUCIN:

H

M

M E

U=70

=6x

=xa

a

x y

p

q


6

20) Dados 3 conjuntos A, B y C con

elementos

respectivamente. Si A y B tienen

elementos comunes; A y C tienen

elementos comunes B y C tienen 2 y

adems hay un nico elemento

comn a los tres. Calcule [ ]

A)

B)

C)

D)

E)

SOLUCIN:

B=3n

C=n-1

A=n

Un/2

n/4

1

2

1

n/2-1

n/4-1

[ ]

*

(

)+ *

+

[

(

*] [

]

[

] [

]

21) En una batalla intervinieron 300

hombres de los cuales 54 fueron

heridos en la cabeza, 48 fueron

heridos en el brazo, 58 fueron heridos

en la cabeza y brazo, 20 fueron

heridos en la pierna y brazo, 12 fueron

heridos en la cabeza y pierna. Si el

42% de los que intervinieron en la

batalla fueron heridos, averige

cuantos fueron heridos en las 3 partes

del cuerpo mencionado.

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

SOLUCIN:

B(48)

P(58)

C(54)

U=300

a b

c

p r

q

x

Heridos:

( )


7

PRACTICA 02: NUMERACION

1) Sabiendo que a y b son cifras

significativas diferentes. Halle el valor

de N en el sistema decimal.

a)200 b)231 c)251 d)401 e)301

SOLUCIN:

1 2 3 4

N = 12(3) + 534(6) +230(4)

N = 5 + 202 + 44

N = 251

2) Si:

Calcular:

a)7 b)8 c)9 d)10 e)11

SOLUCIN:

Se observa que:

Luego a + b + n + d = 1 + 2 + 3 + 2=8

3) Sabiendo que:

en cuntos sistemas de numeracin

se escribe con 4 cifras?

a)2 b)3 c)4 d)5 e)12

SOLUCIN:

a = 1 8b + 8c + 5 = 48 + 10a + b

1

7b + 8c = 53

3 4

Luego 1000(n) 10 000(n)

n3 n4

43 44

53 54

Entonces el nmero de bases es 2

4) en cuntos sistemas de numeracin

se representan con tres cifras, el

siguiente numeral capica?

(

) (

*

a)6 b)7 c)9 d)8 e)12

SOLUCIN:

(

) (

*

a=2,4 b=2,3,6

para que sea capica

a=2 b=3

1221(5) = 186

Luego 100(n) 186 1000(n)

n2 186 n3

62 63

72 73

82 83

92 93

102 103

112 113

122 123

132 133

en 8 sist. De numeracin

5) Cuntos nmeros al ser expresados

en base 5 y 4 se escriben con 3 y 4

cifras respectivamente?

a)60 b)62 c)59 d)63 e)61

SOLUCIN:

N =

100(5), 101(5), .. 444(5)

25, 26, 27, .. 124

1000(4), 1001(4, .. 3333(4)


8

N = 64, 65, 66, ..255

Numero de valores de (N) es 61

6) Si:

Halle

a)12 b)13 c)14 d)15 e)16

SOLUCIN:

Luego tenemos que:

Entonces tenemos:

5 + 1 = m

m = 6

3 4

7) La cantidad de nmeros de la forma:

(

*

a)15 b)25 c)35 d)50 e)75

SOLUCIN:

Entonces 5 x 5 = 25

8) en qu sistema de numeracin

existen 294 nmeros de la forma

?

a)duodecimal b)hexadecimal

c)decimal d)undecimal

e)nonario

SOLUCIN:

n 3 n 1 n 2

(n - 3)(n 2)2 = 6 . 72

n = 294

9) Calcule a+b. Si:

a)7 b)9 c)8 d)10 e)11

SOLUCIN:

= 655

1 + 2 + 3 +.+ 9 = 45

lleva 4

4+

a + b

10) Se sabe que:

Determine

a)4 b)6 c)7 d)8 e)10

SOLUCIN:

[ ]

c =2; b = 0; a = 5 a +b +c = 7


9

11) Si: ( )

Cul es la suma de las cifras del CS

del numero escrito en la base

a)17 b)18 c)19 d)20 e)22

SOLUCIN:

( )

= 172

12) Si:

Hallar m+n

a)5 b)6 c)7 d)8 e)9

SOLUCIN:

( )

( )

13) Si:

Calcule el mximo valor de:

a)10 b)12 c)15 d)13 e)14

SOLUCIN:

12

24132

231422

16722

46062

2

55

5

75

xxxdxcbxa

abcd

abcd

abcd

xmxelpidencomo

14) Si: Adems

Calcule

a)6 b)4 c)10 d)7 e)8

SOLUCIN:

1. nnnaba

naba .57

3.57171

457.310 pq

4531 pq

31 4

7 4

1

44 5133 pq

75 qp

15) Si:

Adems:

Calcule

a)21 b)23 c)22 d)24 e)20

SOLUCIN:

se divide

a+b+x+y+m+n = 2+4+4+7+1+3=21

16) Si:

(

* (

* (

*

Determinar:

a)10 b)18 c)15 d)12 e)9


10

SOLUCIN:

(

* (

* (

*

166 =

a x n = 12

17) El mayor nmero del sistema binario

de siete cifras, se expresa en el

sistema nonario como . Hallar

a)8 b)7 c)5 d)9 e)6

SOLUCIN:

18) Un numeral de tres cifras consecutivas

crecientes de base 9 se expresa en

base 8 con tres cifras, donde su

primera cifra es la central del inicial.

Cuntos nmeros cumplen con la

condicin?

a)1 b)3 c)2 d)5 e)4

SOLUCIN:

19) Convierta el mayor numeral de tres

cifras diferentes de la base (n+1) a

base (n-1). D como respuesta el

producto de cifras en base decimal.

a)164 b)196 c)229 d)190

e)198

SOLUCIN:

n

3

/

+ 4n / 1

/ /

6

/

/

20) Al convertir un nmero a dos sistemas

de numeracin, de bases pares

consecutivas se han obtenido las

siguientes representaciones:

. si la suma de la base

menor y la cifra c es menor que 12.

Hallar el nmero.

a)320 b)189 c)37 d)307 e)309

SOLUCIN:


11

5

6

Como x es par: x=6

304 + c = 289 + 6c

15 = 5c

3 = c

= 304 + c = 307

21) Dado:

Indicar el resultado de dicha suma.

a)2530 b)2640 c)2650 d)2655

e)2660

SOLUCIN:

S = 5 (12 + 22 +32 +42 . + 102 + 112 )

S = 5 (

)

S = 2530

22) Si la siguiente suma tiene 20 trminos,

determine la suma de cifras de la

suma:

indicar el resultado de dicha suma.

a)15 b)16 c)17 d)18 e)19

SOLUCIN:

S = 3.12 2.1 + 3.22 2.2 + 3.32 2.3 + 3.42 2.4

S = 3 (12 + 22 +32 2) -

S = 8190

Suma de las cifras = 18

23) La cantidad de nmeros de cuatro

cifras que tienen por lo menos una

cifra par y por lo menos una cifra

impar es:

a)7750 b)7800 c)1850 d)7875

e)8500

SOLUCIN:

que por lo menos tenga una cifra par

y otra impar.

a b c d a b c d a b c d

1 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1 1

4 2 2 2 3 3 3 3

6 4 4 4 5 5 5 5

8 6 6 6 7 7 7 7

8 8 8 9 9 9 9

9. 10. 10. 10 4 .5 .5 .5 5. 5. 5. 5

TOTAL = 9000 - 500 - 625

TOTAL = 7875

24) Si:

Hallar:

a) b) c)

d) e)

SOLUCIN:

Entonces y = 5 ; x + z = 5

x + y + z = 10

Nos piden hallar:

En suma vertical

= (12)


12

PRACTICA 03: DIVISIBILIDAD,

NUMEROS PRIMOS Y MCM-MCD

1) La cantidad de nmeros de la forma

que son divisibles por 13

es:

a) 3 b)5 c)7 d)10 e)13

SOLUCIN:

13

13

13

hay 10 formas

2) Hallar sabiendo que el numero

es mltiplo de 126

a) 6 b)8 c)9 d)10 e)11

SOLUCIN:

126

{

2

7

9

2

7

7

7

9

9

cumple para

3) Cuntos nmeros de la forma

son mltiplos de 56?

a)22 b)23 c)24 d)25 e)26

SOLUCIN:

56

,7

8

7

7

7

8

8

Si

8

Si

8

8

8

8

8

Total de formas: 22

4) Determine la cantidad de nmeros

que hacen posible

7

a)150 b)360 c)301 d)299 e)300

SOLUCIN:

7

( 7

*

7

7

Restos potenciales:

7

7

7

}

3

Luego

Total de formas: 300


13

5) Cul es el menor valor para x para

que: 5

?

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

SOLUCIN:

5

5

5

5

5

}

( )

( ) 4

(

4

)

4

4

4

, cumple para

6) Si se cumple que: , ( ) 12

7

Halle

a)68 b)18 c)24 d)49 e)54

SOLUCIN:

( ) 12

12

12

12

.12

/

12

12

12

12

12

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7) Hallar n sabiendo que en dicho

sistema de numeracin existen 56

nmeros capicas de 4 cifras que son

mltiplos de n+1.

a)7 b)8 c)9 d)11 e)12

SOLUCIN:

1n

1n

1n

[ ] 1n

siempre es mltiplo de 1n

Luego:

8) Cules son las dos ultimas cifras del

numeral que se obtiene al convertir

al sistema ternario?

a) b) c)

d) e)

SOLUCIN:

9

9

9

9

9

9

9


14

9) Doa Peta compro cuadernos de s/3;

s/.4 y s/.11. Si en total compro 22

cuadernos y gasto s/87. La diferencia

entre las cantidades compradas de

s/3 y de s/4 es:

a)10 b)7 c)13 d)6 e)14

SOLUCIN:

Precios

s/. 3

s/. 4

s/. 11

Cantidad

x

y

z

Gasto

3x

4y

11z

22 87

8

8

8

10) Si se divide : ( )

entre 7 cul es el residuo que se

obtiene?:

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

SOLUCIN:

( )

= 7

7

= 7

= 7

7

7

7

}

7

7

7

11) Calcular el menor valor de a+b

sabiendo que tiene la

mayor cantidad de divisores primos.

a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

SOLUCIN:

es primo

Menor valor

12) Si: y se sabe que: el

nmero de divisores d M es el

cudruple del nmero de divisores de

N. Cuntos divisores compuestos

tiene ?

a)78 b)79 c)80 d)81 e)82

SOLUCIN:

Luego:

13) Si tiene divisores. Cuntos

divisores tiene ?

a)10 b)9 c)15 d)18 e)49

SOLUCIN:

( )


15

14) Calcular la cantidad de los divisores

de 9360 que sean mltiplos de 6.

a)60 b)32 c)28 d)12 e)18

SOLUCIN:

( 6

* ( 6

*

15) Si el numero ,

tiene 810 divisores

mltiplos de 68, el valor de n es:

a)5 b)6 c)7 d) 8 e)9

SOLUCIN:

16) Si el numero tiene 32

divisores que son mltiplos de 6 pero

no de 5. En cuntos ceros termina A,

cuando se escribe en base quince?

a)2 b)4 c)5 d)1 e)3

SOLUCIN:

5U 6 50

Total:

6

17) Hallar el menor de dos nmeros

enteros, sabiendo que: Ambos

nmeros son de dos cifras y la

diferencia entre su MCM y MCD vale

243.

a)28 b)36 c)40 d)42 e)43

SOLUCIN:

;

18) El MCD de y es 75

Calcular a)12 b)13 c)14 d)15 e)16

SOLUCIN:

( ) 75

19) Se tiene dos nmeros que tienen 9 y 8

divisores y su MCD tiene 6 divisores. Si

su MCM es un nmero de dos cifras.

Hallar el menor de los nmeros.

a)18 b)36 c)24 d)48 e)16

SOLUCIN:

{

menor


16

20) Sabiendo que el MCD de y es 9

y el producto de y es 2268.

Calcula el MCM de y .

a)25452 b)25524 c)25245

d)24524 e)25425

SOLUCIN:

( )

.

/

21) Si: ,

Calcular el valor de r:

a)21 b)36 c)43 d)81 e)48

SOLUCIN:

22) El MCD del mayor nmero de 80 cifras

de la base 8 y del mayor nmero de

120 cifras de la base 4, expresado en

la base dos tiene como suma de

cifras.

a)108 b)120 c)256 d)124 e)240

SOLUCIN:

{

}

{ }

{ }

{ }

23) Si: ; y son numerous primos

absolutos, tales que: .

Determine a+b+x:

a)7 b)6 c)8 d)10 e)9

SOLUCIN:

; ;

.

24) Hallar la cantidad de nmeros

naturales menores que 1200, si:

a)80 b)30 c)180 d)40 e)120

SOLUCIN:

[ ]

(

* (

*

Hay 80 nmeros que son menores

que 200 y PESI con 200.

25) Si se divide el producto de los 150

primeros nmeros primos entre 4

luego el residuo es:

a)2 b)4 c)5 d)1 e)3

SOLUCIN:

4

4

4

4

4

4

4

4

4

26) Si el Tiene n divisors.

Cuntos divisores tiene el MCM de

los mismos?


17

a)

b)

c)

d)

e)

SOLUCIN:

27) Si ; el es 720 y

es el valor . La suma de

todos los posibles valores de es:

a)1000 b)1010 c)1020

d)1030 e)1040

SOLUCIN:

{

Suma de valores de x: 1040

28) Si el producto de n primos

consecutivos, la suma de estos

nmeros primos es:

a)77 b)65 c)72 d)59 e)98

SOLUCIN:

29) Si: ,

Entonces el es:

a)90 b)120 c)150 d)180 e)210

SOLUCIN:

Ejm:

Si

Si

Entonces podemos afirmar

30) Cuantos divisores positivos

compuestos tiene el MCM de los

menores nmeros primos de 1; 2; 3; ;

n cifras respectivamente?

a) b) c)

d) e)

SOLUCIN:

31) Cuntos divisores tiene el nmero

?

a)8 b)9 c)10 d)15 e)18

SOLUCIN:

Cumple para

32) Si: tiene 15 divisores entonces

es:

a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

SOLUCIN:

( )

33) Cuntos nmeros menores que

10000 tienen 21 divisores?

a)3 b)4 c)5 d)6 e)2

SOLUCIN:


18

Hay dos formas.

34) La suma de los valores de N

menores que 100 tal que:

27

a) 127 b)81 c)135 d)150 e)162

SOLUCIN:

27

( 27

*(81

* ( 27

* 27

( 27

* ( 27

* ( 27

* 27

( 27

* ( 27

*( 27

* 27

27

27

PRACTICA 04: FRACCIONES

1) Al dividir

entre una fraccin

f irreductible se obtienen cocientes

que son enteros. La suma de los

trminos del mayor valor de f es:

A) 8 B) 11 C) 13 D) 15 E) 19

SOLUCIN:

8

3

Con

2) Calcular Si

A) 24 B) 72 C) 108 D) 126 E)

192

SOLUCIN:

9

; 9

3) Cuntas fracciones positivas propias,

de trminos consecutivos menores

que 0,95 existen?


19

A) 817 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

SOLUCIN:

4) Cuntas fracciones propias

irreductibles existen cuyo

denominador es un nmero de dos

cifras y dan origen a un decimal

peridico mixto con tres cifras en el

periodo y el 3 como cifra no

peridica?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

SOLUCIN:

son PESI

dos fracciones

5) Si f es una fraccin irreductible:

Calcular a+b+c+d

A) 6 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

SOLUCIN:

Si:

Cumple

Si:

No

cumple

6) Si:

genera un nmero decimal

peridico puro con mas de una cifra

peridica, adems c, b, a son cifras

consecutivas en orden creciente

menor que 5.

Hallar a+b+c

A) 3 B) 10 C) 12 D) 9 E) 8

SOLUCIN:

7) Halar el valor de la cifra a para que

la fraccin

origina una

fraccin decimal peridica mixta con

15 cifras en su parte no peridica.

A) 8 B) 5 C) 9 D) 3 E) 2

SOLUCIN:

20 2 20 5

10 2 4

5 2

2 2

1

= para

que tenga 15 cifras NO PESI

8

8

8


20

8) La ltima cifra del periodo del nmero

decimal que origina la fraccin

es:

A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 5

SOLUCIN:

(

(7)

9) Cuntas fracciones propias

irreductibles existen; tales que la suma

de sus trminos sea igual a 50 y que

origina una decimal peridico puro

de 3 cifras?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

SOLUCIN:

; son 2 fracciones

10) Cuantas fracciones propias

irreductibles de denominador

existen en la base 5?

A) 6 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7

SOLUCIN:

propia e irreductible

son PESI

11) Si f =

es irreductible, al expresarlo en

el sistema senario tiene x cifras no

peridicas e y cifras peridicas. Hallar

x-y

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2

SOLUCIN:

En base 6 la parte no peridica en la

origina el 2 y 3

La parte peridica la origina

cifras no peridicas

cifras peridicas

cifra peridica

cifra peridica

12) Cuando la fraccin propia e

irreductible

se convierte al sistema

de base seis, la diferencia entre el

nmero de cifras de la parte

peridica y de la parte no peridica

es:

A) 3 B) 2 C) 0 D) 4 E) 1

SOLUCIN:

propia e irreductible

son PESI

cifras no peridicas = 2

cifras peridicas = 2

13) En qu sistema de numeracin

se

expresa como 0,414141...

A) 10 B) 7 C) 9 D) 6 E) 8

SOLUCIN:


21

14) La fraccin propia e irreductible

genera m cifras no peridicas n cifras

peridicas. Hallar m+n

A) 31 B) 28 C) 18 D) 43 E) 38

SOLUCIN:

5 cifras peridicas

6 cifras peridicas

15) Si

y

Hallar

A) 5 B) 6 C) 7 D) 2 E) 9

SOLUCIN:

16) Si: 0,

Hallar

A) 9,8 B) 10,4 C) 10,2 D) 10,6 E)

10,6

SOLUCIN:

.

/

( )

17) Despus de perder los 5/8 de su

dinero, 3/7 del resto y los 5/12 del

nuevo resto, una persona gano 5400

soles y de este modo su perdida

quedo reducida a 1/5 de la cantidad

de dinero inicial que tena. Cul era

esta cantidad?

A) 8000 B) 8400 C) 8600 D)

9000 E) 1000

SOLUCIN:

Tiene Pierde Queda

(

*

(

*

(

*

(

*

Luego

Tiene:

Gana:5400

Pierde:

; Tiene:

18) El nmero de fracciones propias

menores que

cuyos trminos son

enteros consecutivo son.

A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6

SOLUCIN:

19) Halle , Si:


22

y

0,

A) 146 B) 246 C) 256 D) 300 E) 316

SOLUCIN:

0,

20) Si:

Calcular

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

SOLUCIN:

21) Cul es el valor del numerador.

Si:

A) 39 B) 37 C) 41 D) 43 E) 35

SOLUCIN:

15

{

5

3

22) Halle la suma de los trminos de una

fraccin propia e irreductible,

sabiendo que al convertirlo a los

sistemas de base 5 y 7 se obtienen

fracciones peridicas puras de dos

cifras peridicas cada una, cuyas

ltimas cifras son iguales, y la primera

de una de ellas es el doble de la otra.

A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 11

SOLUCIN:

23) Hallar las dos ltimas cifras del

peridico que genera la fraccin:

A) 99 B) 97 C) 98 D) 87 E) 78

SOLUCIN:

8

7

x

0 1


23

8 7

0

9 9 8 7

24) Calcular el valor de a+b+c, si:

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

SOLUCIN:

25) Calcular x+y+z. Si:

A) 12 B) 14 C) 25 D) 10 E) 8

SOLUCIN:

( )

( )

26) Si:

, posee una

cantidad impar de divisores. Halle

A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 13

SOLUCIN:

Si

Si

;

27) Cuntos valores puede tomar ?

y CA es de cifras

significativas.

A) 22 B) 23 C) 20 D) 25 E) 17

SOLUCIN:

[ ]


24

Si:

4

4

28) La suma de las inversas de los

nmeros , es una

fraccin cuyo duplo origina el

nmero decimal 1, donde:

. Halle

A) 1680 B) 1763 C) 1935

D) 2024 E) 2115

SOLUCIN:

(

*

Tenemos:

29) Sabiendo qu4e la inversa de la

fraccin:

es un entero.

Halle la suma de los valores enteros

positivos de n para que cumplan

con lo anterior.

A) 38 B) 67 C) 83 D) 76 E) 69

SOLUCIN:

; es divisible por 45

30) Calcule mximo, si:

A) 46 B) 90 C) 95 D) 97 E) 114

SOLUCIN:

0, (a+2) (b-2) =

es divisible por 99

Si

Si

Si

31) Dada la fraccin irreductible:

Si es el

menor numeral que tiene 12 divisores

y no es mltiplo de 5, calcule la suma

de cifras de 3N.

A) 5 B) 6 C) 9 D) 11 E) 7

0, (a+2) (b-2) =


25

SOLUCIN:

;

Piden suma de cifras de

32) 32. Se tiene un reservorio cilndrico

cuya capacidad es de 171 litros, con

dos orificios: el primer orificio en el

fondo, deja salir tres litros cada dos

horas y el segundo, a 2/3 de altura

del cilindro encima del primer orificio,

deja salir cinco litros en 3 horas. Si el

reservorio est lleno y abierto los

orificios, En qu tiempo quedara

vaco?

A) 94h B) 120h C) 52h D) 71h E)

84h

SOLUCIN:

Juntos

Luego:

Tambin:

33) Si:

genera un decimal peridico

puro

0,

y . Luego es:

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

SOLUCIN:

son exactos

para que tenga 6 cifras

, en donde p es primo


26

PRACTICA 05:RAZONES Y

PROPORCIONES, REGLA DE TRES Y

PORCENTAJES

1) El producto de los trminos diferentes

de una proporcin geomtrica

continua es 1728. Calcule la razn de

la proporcin sabiendo que la suma

de los trminos extremos es 74.

A) 8 B) 10 C) 7 D) 5 E)6

SOLUCIN:

2) En una proporcin geomtrica

continua de trminos positivos, los dos

primeros suman 36. Si los extremos

suman 60, entonces la menor tercera

proporcional es:

A) 12 B) 10 C) 14 D) 16 E) 8

SOLUCIN:

=

k ;

+ck=36 +c=60

c=

c (

= 60

3(

3

0=2

(2k-1)(k+3)

k=

k=-3

c=48

a=12 menor

3) La razn aritmtica de dos nmeros

es a su producto como 36 veces su

razn geomtrica es a 100 veces su

suma., si los nmeros donde tres cifras.

Hallar la diferencia del mximo valor

que puede tomar la suma de dichos

nmeros de tres cifras.

A) 1566 B) 1666 C) 1672 D)

1766 E) 1768

SOLUCIN:

100

64

a=5k b=4k

como son tres cifras kmin=25 a=125 b=100 a=995 b=796

4) Si

=

(a-b)(c-d)= Calcular

el valor de: N=

A) B)

C)

D)

E)

SOLUCIN:

=

=k-1

N=

N=

N= N=

a+b=225

min

a+b=1791

max


27

5)

=

ef.ab-cd=714.

Tambin =52. Calcular e+f

A) 75 B) 76 C) 73 D) 74

E) 72

SOLUCIN:

=

=52

=

=

= f=56

e=16 c+f=72

6) Los valores de m. n y p son enteros

positivos y menores, luego en la

expresin:

Hallar k+m+n+p, (k

A) 85 B) 87 C) 89 D) 90

E) 92

SOLUCIN:

m=27 n=19 p=35 k=6 m+n+p+k=87

7) Si:

Halle la razn armnica de x e y:

A)

B)

C)

D)

E)

SOLUCIN:

=

=k

x =2a ; y = 3a +3

a = 4 ; x = 8 ; y = 15

La media armnica:

8) Si

a, b, c, d, k y 8000 Calcular la suma de cifras de K

A) 8 B) 7 C) 3 D) 4 E) 5

SOLUCIN:

Luego:

9) Un canguro avanza 3km en 20

minutos dando 1800 saltos. Cuntos

saltos de doble longitud debe dar en

48 minutos para avanzar 9Km?

A) 2000 B) 2300 C) 2700 D)

4500 E) 1600

SOLUCIN:

3 y 20 1800 9 2y 48 x

10) 18 obreros pueden hacer una obra

en 42 das pero 12 de ellos


28

aumentaron su eficiencia por lo cual

la obra se termino en 36 das. En que

fraccin aumentaron su eficiencia

dichos obreros?

A)

B)

C)

D)

E)

SOLUCIN:

Obreros Das

18 42

6 + 12(x+1) 36

11) Cuando faltaban 21 das para

terminar una obra se retiran 9 obreros,

8 das despus se contratan p obreros

terminando la obra 7 das antes de lo

previsto. Hallar el valor mnimo de p

A) 7 B) 14 C) 15 D) 35 E) 25

SOLUCIN:

Ya se hizo 21 das

n obreros

Ya se hizo

8 das

(n-9)

obreros

6 das

(N - 9 p) ob.

[ ]

12) Un grupo de obreros pueden hacer

una obra en 21 das. Si despus de

haber hecho el 25% de la obra los 2/3

del grupo aumenta su rendimiento en

25%. Hallar el tiempo (en das) que se

emplea para hacer la obra.

A) 18

B) 17

C) 18

D)

E) 19

SOLUCIN:

n obreros

21 das

n obreros

das

(n/3+2n/3.125%

)obreros

(x-21/4) das

(

* (

*

(

*

13) Para fijar el precio de un artculo, se

incrementa en a% el costo; al vender

se hace un descuento del 60%, se

observa que hay una perdida del 10

%. Hallar a

A) 50 B) 75 C) 100 D)

125 E) 130

SOLUCIN:

14) Un comerciante compro 1800 litros de

vino a S/. 40 el litro, luego los envasa

en botellas de de litro. Si los

envases costaron s/. 500 el ciento, los

corchos costaron S/. 18 el ciento y el

envasado s/. 640. Si deseamos ganar

el 30% despus de pagar el IGV;

cada botella se debe vender a:

A) 54,8 B) 61,4 C) 75, 2 D) 81,5 E) 84,6

SOLUCIN:

Precio del vino =

Precio del envase:

Corchos:


29

Envasado

15) De un vaso lleno de whisky se

reemplaza sucesivamente el 25%, 20%

y 10% de su contenido por agua,

whisky y agua respectivamente.

Qu porcentaje del contenido es

alcohol, si el whisky contiene 10% de

alcohol?

A) 2,8B) 3,6C) 7,2 D) 14,4 E) 28,8

SOLUCIN:

Volumen de Wisky = V

1)quita 25%, queda 75%V

2)quita 20%, queda 80%(75%V)

Pero se agrega Wisky 20%V

Total=80%(75%V)+20%V=80%V

3)quita 10%, queda 90%(80%V)

volumen de Wisky=72%V

% alcohol=10%(72%V)=7,2%V

16) Una obra puede ser realizada por dos

grupos de obreros de igual eficiencia.

El primer grupo lo puede realizar en

20 Das y el segundo grupo en 30 das.

Si se emplea la tercera parte del

nmero de obreros del primer grupo y

la mitad del segundo grupo. En

cuantos das terminaran la obra?

A) 27 B) 30 C) 33 D) 35 E) 36

SOLUCIN:

Grupo Das

A 20

B 30

x

Luego:

(

*

17) Juan compra un artefacto y lo vende

con un beneficio de 8%. Si hubiera

ganado el 8% del precio de venta

anterior habra ganado 8 soles ms.

Determinar el precio de compra de

dicho artefacto.

a)1000 b)1250 c)1350

d)1400 e)1200

SOLUCIN:

Ganancia:

18) En un escuadrn de aviones y otro de

barcos se dirigen a una isla. Durante

el viaje, uno de los pilotos observa

que el nmero de aviones es al

nmero de barcos como 1 es a 2. Uno

de los marineros observa que el

nmero de barcos es al nmero de

aviones como 3 es a 2. Cuntas

naves son?

a)16 b)12 c)14 d)20 e)30

SOLUCIN:

El piloto:

El marinero:

19) Dos corredores van al encuentro con

velocidades que estn en la relacin

de 8 a 5. Luego de cierto tiempo, el

primero reduce su velocidad en ,

mientras que el otro lo incrementa en

4/5. Desde este instante transcurre 2/3

del tiempo anterior y ambos se

encuentran a 231m del extremo ms

cercano. Calcule la distancia que los

separa inicialmente.


30

a)483 b)500 c)640 d)520 e)550

SOLUCIN:

tV=8k

2t/3V=6k

2t/3V=9k

tV=5k

A BA B

8kt 4kt 6kt 5kt12kt 11kt=231

kt=21

20) Si:

Calcule:

a)1 b)k c)1/k d) e)1/

SOLUCIN:

21) Sea la siguiente serie:

Calcule

a)3 b)4 c)5 d)7 e)12

SOLUCIN:

Hacemos:

Luego reemplazando:

22) Al vender un artculo se descont el

40%, pero aun as se gana el 30% de

su costo. Si la utilidad neta es el 75%

de la ganancia bruta y los gastos

ascendieron a s/.90, Cul es el

precio fijado?

a)800 b)700 c)2600 d)9900 e)1250

SOLUCIN:

Pero:

ADICIONALES PARA CANAL 2

23) En una fiesta el 30% del nmero de

hombres es mayor que el 20% del

nmero de mujeres en 120, siendo el

nmero de mujeres el 30% del nmero

de hombres. Qu cantidad de

hombres no bailan si se sabe que el

50% de las mujeres que no bailan son

tantas como las mujeres que estn

bailando?

a)400 b)315 c)345 d)395 e)450

SOLUCIN:


31

Tambin:

Adems:

B NB

H a x 500

M a y 150

Por dato:

Adems:

24) En un campo de batalla,

sobrevivieron tantos soldados como

el 150% de los que no sobrevivieron,

de los sobrevivientes el 25% resultaron

ilesos. Si estos ltimos fueron

destacados a 2 campamentos en

relacin de 5 a 7. Cuntos soldados

haban, si la cantidad de no

sobrevivientes es mnimo y cuadrado

perfecto a la vez?

a)120 b)160 c)200 d)240 e)180

SOLUCIN:

{ ,

Tambin:

; k=2 para que sea un cuadrado perfecto

25) En una serie de razones geomtricas

se cumple que el producto de los

trminos de cada una de las razones

es: 12; 48; 108; ;2700. Adems la

suma de los cuadrados de los

consecuentes es 4960. Determinar el

nmero de razones.

a)13 b)14 c)15 d)5 e)8

SOLUCIN:

tiene 15 razones

26) Si:

Determine:

; si:

a)2 b)4 c)6 d)8 e)10

SOLUCIN:

De la frmula:

0 .

/1

27) Si:

y


32

Calcule sabiendo que:

a)8 b)16 c)12 d)120 e)24

SOLUCIN:

28) Se tiene una mezcla de 1375 litros de

agua y vino en un recipiente. Se

extrae la tercera parte de su

contenido y se reemplaza con vino,

se repite esta operacin hasta

obtener como volumen final de agua

media vez ms que el volumen inicial

de vino. Halle la diferencia inicial de

volmenes de vino y agua, si adems

la cantidad de extracciones es mayor

que uno y los volmenes iniciales son

enteros.

a)848 b)620 c)554 d)1055 e)1000

SOLUCIN:

Inicio Final

X: agua 3y/2

Y: vino vino

Se Disminuyendo 1/3 de agua en

cada extraccin:

1

queda:

2

(

) queda:

3

(

) queda:

n . queda:

Luego:

Cumple para n=4


33

PRACTICA 06: EXPRESIONES

ALGEBRAICAS, TEORA DE

EXPONENTES Y POLINOMIOS

1) Resolver:

A) B) C) D) E)

N.A.

SOLUCIN:

[ ] *

+

2) Si:

Es idnticamente nulo, calcular el valor

de:

(

*

A) 60 B) 61 C)62 D)63 E)64

SOLUCIN:

(

*

(

*

3) Resolver:

A) 2/3 B) 3/4 C)1/2 D)4/3 E)2/5

SOLUCIN:

4) Si el polinomio:

Es idnticamente nulo. Entonces,

determine el valor de:

a)0 b)1 c)2 d)3 e)4

SOLUCIN:

5) Reducir:

{ }

a)1 b)0 c) d)

e)

SOLUCIN:

6) Sabiendo que la siguiente expresin

algebraica se reduce a un monomio

de dos variables.


34

Donde los grados relativos de esas

variables, son iguales. Halle su

coeficiente.

A) 2 B) 4 C)6 D)8 E)16

SOLUCIN:

7) Seale la suma de los exponentes de

x e y luego de reducir:

*

+

,

-

Sabiendo que

Donde:

A) 2 B) 4 C)6 D)8 E)10

SOLUCIN:

Hacemos un cambio de variable:

*

+

,

-

[ (

)(

)]

.{ (

)(

)}

(

)(

)

8) Si el polinomio:

Es completo y ordenado. Calcule

A) 27 B) 30 C)36 D)51 E)72

SOLUCIN:

9) Si ; adems:

Entonces: es:

A) B)

C)

D)2 E)

SOLUCIN:

;

10) Determina el grado del polinomio P, si

se sabe que la suma de los

coeficientes de P sea un trmino

independiente como -43 es a 1

A) 11 B) 12 C)13 D)14 E)15

SOLUCIN:

[ ]

[ ]

11) Luego de Resolver:


35

(

*

Indicar el valor de

A) B) 8 C) D) E)

SOLUCIN:

(

*

(

*

( )

(

* (

)

(

*

(

*

(

*

(

*

Nos pide:

(

*

12) Sea P(x) un polinomio de grado

, Q(x) es un polinomio de grado

y R(x) es un polinomio de grado

. Si al grado de:

es 31.

Determine el grado de

A) 5 B) 6 C)9 D)10 E)12

SOLUCIN:

13) Hallar una relacin entre x e y en:

A) y=x B) y=3x C)y=2x

D)2x=3y E)y=4x

SOLUCIN:

(

*( )

(

*( )

(

*( )

14) Dado el polinomio homogene.

Determine: a+m+p, sabiendo que

respecto a x, es un polinomio completo y

ordenado.

A) 18 B) 19 C)20 D)21 E)22

SOLUCIN:

Es homogneo:

Es completo y ordenado

15) Reducir:

A) 9 B) C)27 D)18 E)

SOLUCIN:


36

16) Los polinomios:

y

Son polinomios idnticos, es decir

. Calcule

A) 6 B)8 C)10 D)12 E)14

SOLUCIN:

Donde:

17) Hallar el valor de x en:

A) -4 B)4 C)2 D)3 E)-1/2

SOLUCIN:

(

)

18) = 2)

19) Simplificar { }

A) 5/6 B)1/5 C)2 D)3 E)5

SOLUCIN:

20) Si el termino independiente del

polinomio P.

Es 1600. Entonces el valor de

es:

A) 4 B)7 C)12 D)15 E)19

SOLUCIN:

;

(

*

. (

*

/

(

*

Cumple para:

21) De la igualdad:

Calcular:

A) 2 B)4 C)5 D)7 E)10

SOLUCIN:


37

22) Sea es un

polinomio homogneo. Determine el

polinomio que debe

agregarse al polinomio para

que el polinomio resultante sea un

polinomio homogneo y completo,

tal que la suma de sus coeficientes

sea 7 y su valor numrico para a

sea 4.

A) B)

C) D) E)

SOLUCIN:

Para que P siga siendo homogeneso

y completo.

y=-1;

23) Si: Calcular:

(

)

A) B) C)1 D)3 E)

SOLUCIN:

( )

(

)

(

*

( )

24) Sean P y Q dos polinomios de variable

x, tales que

(

)

Entonces determine el

A) 42 B)48 C)52 D)54 E)60

SOLUCIN:

(

)

;

Nos pide:

[ ]

25) Indicar el exponente final de x en:

A)

B)

C)

D)

E)

SOLUCIN:

Por induccin:

Con 1 rad.

Con 2 rad.

Con 3 rad.

Para el exponente:


38

26) Sea el polinomio:

Si entonces

determine el valor de

A) B) C) D) E)

SOLUCIN:

27) Luego de efectuar:

[

](

*

A) B) C) D) E)4

SOLUCIN:

[

]

[

]

28) Dado el polinomio:

Halle la suma de sus coeficientes para el

mayor valor que puede tomar n:

A) B) C) D) E)

SOLUCIN:

29) Resolver:

A) 1 B) C) D) E)

SOLUCIN:

30) Si P es un polinomio definido por:

Entonces el nmero de valores

enteros que admita n es:

A) B) C) D) E)

SOLUCIN:

Adems: 2

y 7

31) Si: ; calcular:

A) B) C) D) E)

SOLUCIN:

32) La suma de los grados absolutos de

todos los trminos de un polinomio

homogneo y completo de dos

variables es 132. Cul es el grado

absoluto?

A) 10 B) C) D) E)

SOLUCIN:


39

33) Si:

Es un polinomio homogneo.

Entonces determina el valor de k.

A) -5 B) C) D) E)

SOLUCIN:

Para que el polinomio exista:

5

34) La suma de los coeficientes del

siguiente polinomio homogneo:

A) B) C) D) E)

SOLUCIN:

35) es

un polinomio completo y ordenado

en forma ascendente.

Determine el valor de:

A) B) C) D) E)

SOLUCIN:

Completo, ordenado y ascendente

36) El polinomio:

,

Es completo y ordenado.

Halle el valor de:

A) B)10 C)12 D)14 E)

SOLUCIN:

37) Si:

Para todo , determine el valor de:

A) B) C) D)

E)

SOLUCIN:

Si

Si

Si


40

PRACTICA 07: PRODUCTOS

NOTABLES, COCIENTES NOTABLES Y

DIVISION DE POLINOMIOS

1) Estando { } y siendo

compute el valor numrico de:

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

SOLUCIN:

Solo cumple si:

2) Siendo:

Calcule:

A)25 B)26 C)27 D)28 E)29

SOLUCIN:

Haciendo cambio de variable:

Reemplazando:

(

*

( )

(

*

(

)

3) Verificndose que:

(

)

(

*

Calcule el valor de:

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

SOLUCIN:

(

)

(

*

4) Luego de reducir:

Con obtenemos:

A) B) C) D) E)

SOLUCIN:


Reemplazando:


41

5) Si y con

evaluar:

A) B)

C) D) E)

SOLUCIN:

Finalmente

6) Teniendo en cuenta las condiciones:

Indique el valor numrico de:

A)3 B)2 C)-27 D)0 E)1

SOLUCIN:

7) A partir de la condicin:

Calcular:

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

SOLUCIN:

Luego:

Ident. Auxiliar:

8) Tres nmeros reales x; y;z verifican la

igualdad:

Con esto evaluar la expresin:

A)0 B)-1 C)-2 D)-3 E)-4

SOLUCIN:

Entonces:

9) Indique el valor de la fraccin:

para

(

) cuando

y es positivo

A)

B)

C)

D)

E)

SOLUCIN:

.

/


42

.

/

Luego:

10) Seale el valor numrico de:

; para

A)-190 B)-191 C)-192 D)-193 E)-194

SOLUCIN:

Hacemos cambio de variable:

De (II)-(I)

(

)

Entonces:

[ ]

Reemplazando:

[

]

11) Si: { } con y

cumplindose que:

entonces el valor de:

; es:

A)0 B)-1 C)-2 D)-3 E)-4

SOLUCIN:

12) Si:

;

Calcular:

(

*

(

)

A)12 B)13 C) D)

E)11

SOLUCIN:

(

*

(

)

Reemplazando:


43

13) Si:

.

/

Hallar:

(

*

A) B) C) D) E)No se

puede calcular

SOLUCIN:

(

*

(

*

( )

(

*

14) Si: , el valor de:

A) B) C) D) E)

SOLUCIN:

Reemplazando:

15) Al dividir el polinomio

entre

; se obtiene un residuo

mximo . Hallar la suma de los

coeficientes de .

A)-1/2 B)-1/5 C)-3/5 D)-5/2 E)-1/4

SOLUCIN:

)

2 0 3 1 -3 2 1 -1

-2 -1 1 1 -1/2 9/4

-1 4 1

1 1/2 -1/2

9/2 1/2 -3

-9/2 -9/4 9/4

-7/4 -3/4

16) Si , se divide entre , el residuo

es 8, cuando se divide entre el

residuo es -6. Hallar los coeficientes

del residuo cuando P(x) es dividido

entre siendo

A) B) C)

D) E)

SOLUCIN:

Aplicando el teorema del Resto

De la Prop:

Si

Si

17) En la divisin:


44

El residuo es 4. Hallar la suma de los

coeficientes del dividendo

A)10 B)11 C)12 D)13 E)14

SOLUCIN:

a a 0 a 1 1 1 -1

-a -a a a 0 a

0 a a

0 0 0

a a 1

-a -a a

0 a+1

18) El resto de la divisin

Es R(x). Hallar R(2)

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

SOLUCIN:

1 -3 0 0 3 -1 1 0 0 0 -1

-1 0 0 0 1 1 -3

-3 0 0 4 -1

3 0 0 0 -3

0 0 4 -4

19) Hallar el resto de R(x) en la divisin:

A) B)

C) D)

E)

SOLUCIN:

1 -2 3 0 -3 1 1 -3 2 0

-1 3 -2 0 1 1 4

1 1 0 -3

-1 3 -2 0

4 -2 -3 1

-4 12 -8 0

10 -11 1

20) El termino del lugar 4 del cociente de

contiene un x cuyo grado

relativo es 0. Hallar la suma de

coeficientes de dicho cociente.

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

SOLUCIN:

21) Cul es el residuo en la siguiente

divisin?

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

SOLUCIN:

Teorema del Resto:

22) Proporcionar el resto de dividir:

A)0 B)x+1 C)x+2 D)x-5 E)2x-5

SOLUCIN:


45

Si

Si

23) Si m es el grado absoluto del tercer

trmino del cociente notable.

Hallar el valor de :

A)12 B)16 C)22 D)24 E)28

SOLUCIN:

[ ]

Luego:

24) Si un trmino del cociente notable

generado por:

Se obtiene un trmino que contiene a

halla el valor de es:

A)16 B)9 C)10 D)11 E)17

SOLUCIN:

Luego:

25) En la divisin notable exacta

uno de los trminos del

cociente notable es .

Halle el lugar que ocupa dicho

trmino, contando a partir del final.

A)6 B)7 C)11 D)22 E)26

SOLUCIN:

Para hallar el lugar de termino

empezando del final:


46

26) Si:

Es un cociente notable, hallar el

grado absoluto del quinto trmino de

su desarrollo.

A)90 B)94 C)86 D)96 E)84

SOLUCIN:

Termino de lugar 5

PRACTICA 08: FACTORIZACIN,

MCD, MCM, FRACCIONES

1) Si P es un polinomio factorizable

definido por

entonces un factor primo es.

a) x-y+z b) x-y+z+1 c) x-y-z d) x-y-z+1

e) x+y+z

SOLUCIN:


definido por

, entonces un factor es:

a) b) c) x+c d) x-2c e) x-3c

SOLUCIN:

Cambio de variable:

3) Si P(x)= es un

polinomio factorizable, entonces un

factor primo es

a) b) c) d) e)

SOLUCIN:

[ ]

[ ]


47


definido por P(a, b, c)=

, entonces un factor

primo es:

a) a+b b) a+b+c c) a+b+2c d) a-b-c

e) a+c

SOLUCIN:

5) Al factorizar el siguiente polinomio

Halle el factor primo de menor

trmino independiente.

a) x-6 b) x-5 c) x-9 d) x-3

e) x-7

SOLUCIN:

[ ]

[ ]

6) Si el siguiente polinomio

P(x,y)=(

factorizable, entonces un factor

primo es.

a) b) c)

d) e)

SOLUCIN:

Cambio de variable:

Reemplazando:

7) Si el polinomio

es factorizable, entonces un

factor primo es:

a) m+n b) 2m-n c) 3n+2m

d) 5m+n e) n-2m

SOLUCIN:

8) Si P(x,y)= +3xy(x+y) es

polinomio factorizable, entonces halle

la suma de coeficientes de unos de

sus factores primos.

a) 5 b) 3 c) 6 d) 9 e) 10

SOLUCIN:

[ ]

[ ]

[ ]

9) Si el polinomio

P(a,b,c)= es factorizable, entonces

halle un factor primo.

a) 2a-b b) c-2a c) a-b d) 3c-b

e) 4a -3b

SOLUCIN:

Si:


48

10) Si el siguiente polinomio

P(x,y,w,z)=15

es factorizable, halle

la suma de sus factores primos.

a) 16xz-6wy+5 b) 6xz-8wy+7

c) 8xz-8wy+5 d) 15xz+5 e) 8xz-6wy

SOLUCIN:

Si:

11) Si P(x,y)=5

es un polinomio factorizable,

entonces un factor primo es.

a) x+y+7 b) 5x-2y+1 c) x-y-7

d) 15x+2y-1 e) x-y+7

SOLUCIN:

12) Si P(x)=5x-15+ es un

polinomio factorizable, entonces un

factor primo es:

a) 3x-1 b) x+5 c) 2x+4

d) e)

SOLUCIN:

13) Sabiendo que el mximo comn

divisor (MCD) de los polinomios:

P(x)=2

Q(x)=

Halle el valor de E=

a) 3/4 b) 4/3 c) 2 d) 5/2

e) 10/3

SOLUCIN:

1 2 -1 3 m

1 2 -4

-2 1 -2

2 1 0 0

1 1 1 0 n

1 1 -2

-2 2 -4

1 2 0 0

14) Si P y Q son dos polinomios

factorizables definidos por

P(x)= 2 - Q(x)= 10 - entonces si MCD(P,Q) es:

a) 3 b) c) 3 d) e)

SOLUCIN:


49

10 -9 17 -6

2/5 4 2 6

10 5 15 0

(

*

15) Si el M.C.D. de los polinomios

M(x;y)=48 N(x;y)=36 P(x;y)=72 Es 12 , entonces es a) 0 b) 2 c) 3 d) -4 e) 5

SOLUCIN:

Luego:

16) Sabiendo que el producto del M.C.M.

y M.C.D. de dos polinomios es .

Y la suma de ambos polinomios es

. Determinar la suma de los

coeficientes del M.CM.

a) -5 b) -1 c) 0 d) 4 e) 7

SOLUCIN:

Propiedad:

17) Sean Py Q dos polinomios

factorizables definidos por

P(x)= Q(x)= Si el M.C.D. (P,Q) es (x-1)(x+3),

entonces el M.CM.(P,Q) es:

a) (x-1)(x+3)(x+2)

b) (x-1)(x+2)(x-2)

c) (x-1)(x+3)(x-2)

d) (x+1)(x+3)(x+2)

e) (x-1)(x-2)(x+2)(x+3)

SOLUCIN:

1 4 a b

1 1 5 a+5

1 5 a+5 0

-3 -3 -6

1 2 0

1 0 c d

1 1 1 c+1

1 1 c+1 0

-3 -3

1 -2 0


50

18) Al reducir,

se

obtiene:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

SOLUCIN:

19) Halle:

a) 1/x b)

c) x d) x+1 e)

2/x

SOLUCIN:

20) Sumar:

a)

b)

c)

d)

e)

SOLUCIN:

21) Si la fraccin algebraica

se

descomponen en dos fracciones

parciales de numeradores Ay B, halle:

A+B

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

SOLUCIN:

22) Hallar El valor de A:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

SOLUCIN:

23) Simplificar:


51

a) x+1 b) x-1 c) x+2 d) x-2 e) 1

SOLUCIN:

24) Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

SOLUCIN:

25) Efectuar:

SOLUCIN:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

26) Efectuar:

(

) (

)

a)1+x b)1-x c) 1 d)1+x2 e)1-x2

SOLUCIN:


52

PRACTICA 09: RADICACION,

ECUACIONES E INECUACIONES

1) Al efectuar:

se obtiene

a)-1 b)4 c)3 d)2 e)1

SOLUCIN:

( )

2) Indicar uno de los radicales simples

de la expresin:

a) b) c) d) e)-

SOLUCIN:

De la frmula de radicales dobles:

3) Hallar el valor reducido de:

. /

a)125 b)100 c)96 d)80 e)576

SOLUCIN:

(

)

( )

4) Hallar uno de los radicales simples de

la expresin:

;

a) b)

c) d) e)C o D

SOLUCIN:

1 -2 3 -2

1 1 -1 2

1 -1 2 0

5) El radical doble:

equivale a

Calcular

a)200 b)225 c)215 d)23 e)25

SOLUCIN:

( )


53

( )

( ) ( )

6) Si el radical doble:

se desdobla

en simples, determina el valor de (

)

a)3 b)2 c)1 d)1/2 e)1/3

SOLUCIN:

. /

. /

7) El equivalente de la expresin

irracional

a) b) c)

d) e)

SOLUCIN:

( )( ) ( )( )

8) Proporcione el denominador racional

de la expresin

a)1 b)2 c)5 d)14 e)15

SOLUCIN:

9) Indique el denominador de la

expresin

a)1 b)2 c)-6 d)7 e)14

SOLUCIN:

Cambio de variable:

Reemplazando:

10) Halle el denominador racional de la

expresin


54

a)1 b)2 c)3 d)6 e)0

SOLUCIN:

Cambio de variable

11) Descomponer en radicales sencillos e

indicar uno de los radicales simples.

(

* (

*

a)

b)

c)

d)

e)

SOLUCIN:

(

*

12) Hallar el equivalente de:

a) b) c)

d) e)

SOLUCIN:

13) La igualdad:

Se verifica, si a toma el valor de:

a)60 b)64 c)66 d)62 e)68

SOLUCIN:

( )

( )

14) Indicar un radical simple de:


55

a)

b)

c) d) e)

SOLUCIN:

(

)

(

)

15) Racionalizar la fraccin:

a)

b)

c)

d) e)

SOLUCIN:

(

)

(

)

16) Simplificar:

a)

b) c)5 d)1/5 e)2/5

SOLUCIN:

( )

( )

17) Una raz de es

. Hallar el valor de

a) b) c)-4 d)4 e)0

SOLUCIN:

Cumple para

18) Resolver:

Indicando luego la suma de las

races:

a)37 b)-37 c)36 d)-43 e)86

SOLUCIN:

De la propiedad, para:

19) . Si la

suma de sus races es igual al doble

de su producto hallar k:

a)1 b)1/2 c)-1/2 d)2 e)-2

SOLUCIN:

De la propiedad, para:


56

Del enunciado:

(

*

20) Resolver la ecuacin en x:

a)ab+1 b)ab-1 c)ab d)1 e)0

SOLUCIN:


(

*

21) Luego de resolver la ecuacin:

Calcule la suma de sus soluciones:

a)17 b)18 c)19 d)20 e)21

SOLUCIN:

(

)(

)

22) Si { } es el conjunto solucin de la

ecuacin:

Halle el valor de :

a)98 b)99 c)100 d)101 e)102

SOLUCIN:

Hacemos cambio de variable:

Tambin:


ecuacin: , tal que

, calcule el valor de k.

a)8 b)9 c)10 d)11 e)12

SOLUCIN:

24) Determina las suma de las races

enteras de la ecuacin:

a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

SOLUCIN:

6 -41 97 -97 41 -6

1 6 -35 62 -35 6

6 -35 62 -35 6 0

2 12 -46 32 -6

6 -23 16 -3 0

3 18 -15 3


57

6 -5 1 0

25) Halle el conjunto solucin de la

inecuacin:

a)*

b) [ c) [

d) *

e)

SOLUCIN:

elevando al

cuadrado:

;

1 233

*


inecuacin:

a) ] b) ] [

c) ] *

d) ] *

e)

SOLUCIN:

1 2+ +-

1 2 73

] [


inecuacin:

|| | |

a) b) [ c)[ ]

d) ] e) ]

SOLUCIN:

| | {

Primero:

S1:

Segundo:

| |

| |

S2:

Tercero:

S=S1 S2

-1 0 S: ]


inecuacin:

a)

b)

c) d)

e)

SOLUCIN:

Puntos crticos:


58

+ +- --2 -7 1

5

29) Si [ { } , con es el

conjunto solucin de la inecuacin

, entonces el valor de

es:

a)-6 b)-5 c)4 d)5 e)6

SOLUCIN:

Puntos crticos:

+ +--2 4

[ { }

[ { }

30) Si: { }

Es el conjunto solucin de la

inecuacin

| | | |

| | | |

Halle el valor de

a)0 b)1 c)4 d)14 e)15

SOLUCIN: | | | |

| | | | 0 | | | |

| | 1 0

| | | |

| | 1

| | | |

| | | |

Puntos crticos:

+-3

+ +- - --2 -1 1 2

{ }

{ }

31) Determine el conjunto solucin de la

ecuacin:

| | || | |

a),

- b) ,

- c) ,

-

d) e) ,

-

SOLUCIN:

Propiedad:

| | | |

| | | |

| | | |

Propiedad:

| | [ ]

37

-1

{

}


ecuacin:

| | | | | |

Halle el valor de

a)24 b)35 c)39 d)40 e)44

SOLUCIN:

| | {


59

Puntos crticos:

[ [ [

2 5 2

I) Si:

II) Si: [

III) Si: [

IV) Si: [

(

*

33) Determine la suma de las races de la

ecuacin:

| | | |

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

SOLUCIN:

| | | |

| |

| |

| |

34) Resuelva la siguiente ecuacin

| | | | ; e indique la

suma de los cuadrados de las races

de la ecuacin dada.

a)61 b)74 c)85 d)89 e)97

SOLUCIN:

| | | |

| |

| |

| |

35) Determine el conjunto solucin de la

ecuacin:

| | | | ||

a){ } b) { } c) { } d) [

e) [

SOLUCIN:

| | | |

[


ecuacin cuya variable es x

a){ } b) { } c) { }

d) { } e) { }

SOLUCIN:


60

PRACTICA 10: RELACIONES Y

FUNCIONES

1) Sea la funcin afn:

tal que

Determine

a)-5 b)-1 c)0 d)5 e)10

SOLUCIN:

Como f es una funcin afn:

Luego:

Reemplazando:

2) Si f es una funcin definida por

cuyo dominio es

[ ] [ ] Halle el

a) b) { } c)

d) { } e) [ ] [ ]

SOLUCIN:

Tabulando:

x y

-4

-2

-1

1

15

3

0

0

x

15

3

(0;-1)

[ ] [ ]

3) Dadas las funciones:

Determine el

a)*

+ b) *

+ c) *

+ d)

e)*

SOLUCIN:

(

*

(

* (

*

(

*

(

*

(

*

]

(

* (

*

(

*

(

*

(

* [

*

+

4) Al determinar el dominio de la

funcin definida mediante la regla.

se obtiene ] { }.

Calcule el valor de

a)4 b)5 c)6 d)7 e)8

SOLUCIN:

] { } ] { }

5) Si es una funcin, cuya regla

de correspondencia es:

Entonces el

es:

a)[ ] b) [ ] c) [ ]


61

d) [ ] e) [ ]

SOLUCIN:

-1 1

-+ +

[ ]

Luego:

Entonces:

[ ]

6) Se f una funcin definida por:

Halle el

a)[ ] b) [ ] c) [ ]

d) [ ] e) [ ]

SOLUCIN:

[ ] [ ]

-53

5

-2

[ ]

7) Determine el rango de la funcin:

[ ]

a)[ ] b)[ ] c)

d) [ ] e) [ ]

SOLUCIN:

x y

1

2

3

2

[ ]

8) Determinar el dominio de la funcin

de:

| |

a)[ ] b) c) ]

d) [ ] e) [ ]

SOLUCIN:

| | | |

| |

]

/.(-1)

/(+1)

[ ]

-1 1

-+ +0

[ ]

9) Determina el rango de la funcin:

a){ } b){ } c)

d) e)


62

SOLUCIN:

{ }

10) Sea la funcin:

Entonces el es:

a) b) c){ } d) e)

SOLUCIN:

Reemplazando en la funcin:

{ }

{ }

11) Determine el valor de a en el

conjunto:

{

}

a)1/2 b)3/4 c)1 d)2 e)4

SOLUCIN:

Si f es inyectiva:

Por dato:

12) Sea la funcin:

*

determine el

valor de a.b; si f es suryectiva.

a)0 b)2 c)6 d)8 e)10

SOLUCIN:

[ [

Luego:

13) Si: [ ] f es

suryectiva, determine [ ] dar

como repuesta

a)2 b)4 c)6 d)8 e)10

SOLUCIN:

es suryectiva

[ ] [ ]

14) Si | | es una

funcin suryectiva, entonces el

conjunto B es:

a) [ b) [ c) [

d) e) [

SOLUCIN:

Como es suryectiva

Si:

Si:


63

{ } [

15) Sean f y g dos funciones definidas

por:

{ }

{ }

Halle la suma de los elementos del

rango de

a)12 b)14 c)16 d)18 e)20

SOLUCIN:

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

Luego:

{ }

{ }

16) Sean las funciones:

{ }

Halle la suma de los elementos del

rango de la funcin

a)12 b)13 c)17 d)26 e)48

SOLUCIN:

{ }

[

{ }

{ }

{ }

{ }

17) Si f y g son dos funciones definidas

por:

[

]

[

]

Halle el

a)*

+ b) *

+ c) *

+ d) *

+e) [ ]

SOLUCIN:

[

]

[

]

[

] [

] [

]

18) Sean f y g dos funciones definidas

por:

{ }

{ }

Determine la verdad (V) o falsedad

(F) de las siguientes afirmaciones:

I) La funcin 5f tiene como dominio

al conjunto { }

II) La suma de los elementos del

rango de es 10

III) (

) { }

a)FFV b)FFF c)FVV d)VFF e)VVV

SOLUCIN:

I) { } es FALSA

{ }

{ }

II) [ ] es

VERDADERA


64

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

IV) (

) { } es VERDADERA

Si:

(

* { }

19) Sea la funcin definida por:

,

Si halle el

Rango de g.

a){ } b) { } c) { } d) { } e) { }

SOLUCIN:

,

{

{ }

{ }

20) Si f y g son dos funciones cuyas

graficas se muestran en la figura

adjunta:

4

-2 2

-1

x

2

-2 2

-2

x

y

g

Halle

a)12 b)13 c)14 d)15 e)16

SOLUCIN:

Para el 1er grafico:

Para el 2do grafico:

14

21) Dadas las funciones:

{ }

es una funcin identidad

Halle el mayor elemento del rango de la

funcin:

a)1/2 b)3/4 c)1 d)3/2 e)7/2

SOLUCIN:

{ }

(

* { }

{ (

*

}

{

}

22) Sean las funciones:

{ }

{ }

Determine la suma de los elementos

del rango de

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

f


65

SOLUCIN:

{ }

{ }

De estos que pertenecen al dominio de f

son: 0 y 1.

{

solucionario aritmetica cepu verano 2015 terminado

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