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Matemát
Solucionario
2012 -IExamen de admisión
Matemática
1
TEMA P
PREGUNTA N.o 1Al multiplicar un número de cinco cifras por 101 se obtiene un nuevo número cuyas últimas cifras son 8513. Se sabe también que el número inicial tiene todas sus cifras distintas. Indique la cantidad de números que cumplen la condición descrita.
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8
R
Tema: Cuatro operaciones
Análisis y procedimiento
Sea abcde un numeral de 5 cifras diferentes.
Entonces por dato
abcde×101=...8513
Expresemos en forma vertical.
a b c d e ×
1 0 1
a b c d e
0 0 0 0 0
a b c d e
. . . . 8 5 1 3
Observemos que• e=3; d=1• c+e=...5 y b+d=...8
2 3 7 1
Luego tenemos que
abcde=a7213
4
5
6
8
9
existen 5 valores para la cifra a.
Por lo tanto, existen 5 números que cumplen con la condición dada.
R5
Alternativa C
PREGUNTA N.o 2
En una proporción geométrica de razón 54
, la
suma de los términos es 45 y la diferencia de los consecuentes es 4. Halle el mayor de los términos de la proporción.
A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20
inicial tiene todas sus cifras distintas. Indique la cantidad de números que cumplen la condición
Análisis y procedimiento
4
5
6
8
9
existen 5
Por lo tanto, existen 5 números que cumplen con la condición dada.
R5
2
unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO
R
Tema: Proporciones
Análisis y procedimientoSea la proporción
ab
cd
= = 54
razón
La proposición anterior se puede escribir como
54
54
54
mm
nn
= =
Por dato
• 5 4 5 4 45m m n n+ + + =
suma de términos
→ m+n=5 (I)
• 4 4 4m n− =
diferencia deconsecuentes
→ m – n=1 (II)
De (I) y (II) se obtiene que
m=3
n=2
Finalmente, el mayor de los términos es 5m=15.
R
15
Alternativa B
PREGUNTA N.o 3Determine los litros de agua que contiene un recipiente de 17 litros de leche adulterada con agua y que pesa 17,32 kg, si un litro de leche pura pesa 1,032 kg y un litro de agua pesa 1 kg.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
R
Tema: Regla de mezcla
Análisis y procedimientoPor dato tenemos
c/litro pesa 1 kg
c/litro pesa 1,032 kg
volumentotal =17 litros
agua
leche
a litrosa litros
(17 – a) litros(17 – a) litros
Luego en la mezcla tenemos a(1)+(17 – a)(1,032)=17,32 → a=7
R7
Alternativa C
PREGUNTA N.o 4Mi padre que nació en la primera mitad del siglo 20
afirma que en el año x2 cumplió x4
años. Determine
la edad que tuvo en el año 2008.
A) 83 B) 86 C) 88 D) 90 E) 92
=5 (I)
Por dato tenemos
volumentotal =17 litros
agua
leche
aaaaaa litros litros litros litros litros litros litros litros litros litros litros litros
(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17–aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros
Luego en la mezcla tenemosa(1)+(17 – a)(1,032)=17,32
→ a=7
3
unI 2012 -ISolucionario de Matemática
R
Tema: Potenciación
Tenga en cuenta que
año de nacimiento+edad=año actual
Análisis y procedimientoSea 19ab el año de nacimiento.
Por dato tenemos lo siguiente:
• El año de nacimiento se encuentra en la primera mitad del siglo 20.
→ 1900 < 19ab < 1950 (I)
• 194
2abx
x+ =
→ = −194
2ab xx
(II)
Reemplazando (II) en (I) tenemos
19004
19502< − <
∈
xx
Observe que x = 4o, entonces, el único valor de x que
verifica la desigualdad es 44.
Luego, en (II) se tiene que
19 444411
19252ab = − = (año de nacimiento)
Por lo tanto, la edad que tuvo en el 2008 es 2008 – 1925=83 años.
R83
Alternativa A
PREGUNTA N.o 5Determine cuántos de los siguientes números
racionales 157125
786625
253200
25192000
, , , pertenecen al
intervalo 503400
23; .
A) Ningún número B) Solo un número C) Solo dos números D) Solo tres números E) Todos los números
R
Tema: Números racionales
Análisis y procedimientoSe tienen los siguientes números racionales.
• 157125
=1,256 (I)
• 786625
=1,2576 (II)
• 253200
=1,265 (III)
• 25192000
=1,2595 (IV)
Además, el intervalo es
503400
3 2;
1,2575 1,2599...
Observe que (II) y (IV) pertenecen al intervalo dado.
RSolo dos números
Alternativa C
< 1950 (I)
(II)
Reemplazando (II) en (I) tenemos
, entonces, el único valor de
R
Tema: Números racionales
Análisis y procedimientoSe tienen los siguientes números racionales.
• 157125
=1,256 (I)
• 786625
=1,2576 (II)
• 253200
=1,265 (III)
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unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO
PREGUNTA N.o 06El dueño de un concesionario automotriz desea vender todos los autos que le quedan, los cuales son de diferentes modelos, pero en el salón de exhibición entran sólo 3 autos, el dueño calcula que existen 210 maneras diferentes de ordenar la exhibición. ¿Cuántos autos le quedan por vender?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
R
Tema: Análisis combinatorio
Análisis y procedimientoSupongamos que son n autos los que quedan, pero se exhiben de 3 en 3 (interesa el orden).
n (n – 1) (n – 2) =210
7 6× ×
× ×
5
maneras de ordenar la exhibición
Dato:
Luego:
∴ n =7
R7
Alternativa D
PREGUNTA N.o 07La municipalidad de Lince busca mejorar la ornamentación de sus dos avenidas principales, de 2520 m y 2000 m, colocando murales equidistantes entre sí de tal forma que haya un mural al inicio y otro al final de cada avenida. Se sabe que para la colocación de cada mural se necesitan al menos 3 trabajadores, quienes percibirán S/.50 cada uno.
Calcule la cantidad mínima de trabajadores que debe contratar la municipalidad de Lince para este trabajo.
A) 320 B) 330 C) 345 D) 365 E) 380
R
Tema: MCD - MCM
Análisis y procedimientoSea d la distancia que existe entre dos murales.Gráficamente se tendría
avenida A avenida B
d d d d d d d d
2520 m 2000 m
... ...
Para colocar un muralse necesita 3 trabajadorescomo mínimo.
Como se desea la cantidad mínima de trabajadores, entonces la distancia d entre murales debe ser máxima; además, es el divisor común de 2520 y 2000.Entonces d=MCD(2520; 2000) d=40 mLuego
cantidad demurales
cantidad detrabajadores
Avenida A: 252040
+1=64 → 64×3=192
Avenida B: 200040
+1=51 → 51×3=153
Por tanto, el total de trabajadores es 192+153=345.
R345
Alternativa C
autos los que quedan, pero se exhiben de 3 en 3 (interesa el orden).
(n–2) =210
5
maneras de ordenar la exhibición
avenida A
d d d d d
2520 m
...
Para colocar un muralse necesita 3 trabajadorescomo mínimo.
Como se desea la cantidad mínima de trabajadores, entonces la distancia d entre murales debe ser máxima; además, es el divisor común de 2520 y 2000.Entonces
d=MCD(2520; 2000)d=40 m
5
unI 2012 -ISolucionario de Matemática
PREGUNTA N.o 08Determine la cantidad de números abc=12
o tal que
a+b+c=12.
A) 12 B) 13 C) 14 D) 16 E) 17
R
Tema: Divisibilidad
Análisis y procedimientoBuscamos números que cumplan las condiciones
abc=12 o
∧ a+b+c=12
Entonces
abc = 4o
bc = 4o
∧ a+b+c=12 ↓ ↓ ↓ ↓ par: 0; 2; 4; 6; 8 8 4 0
∴ abc toma 17 valores
6 6 4 8 9 1 2 7 3 5 5 3 7 1 9 8 0 4 6 2 4 4 2 6 5 1 6 3 3 1 5 4 0 8 2 2
R17
Alternativa E
PREGUNTA N.o 09Dada la sucesión definida por
an
n
nn
n
n
=
−+
+
( ),
,
1
1
1
1
2
3
impar
par
Entonces podemos afirmar que
A) La sucesión no converge.
B) La sucesión converge a cero.
C) La sucesión tiene dos puntos límites.
D) La sucesión tiene tres puntos límites.
E) No podemos afirmar nada acerca de su
convergencia.
R
Tema: Sucesiones numéricas reales
Recuerde que una sucesión an es convergente si
límn→∞
an existe, es único y es finito.
Análisis y procedimientoComo
an
n
nn
n
n( );
;
−+
+
1
1
1
1
2
3
impar
par
Entonces
• Para n impar
lím límn
nn
na
n→∞ →∞= −
+=( )1
102
=12
a+b+c=12↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓ ↓ ↓
par: 0; 2; 4; 6; 8 8 4 0
abc
6 6 4 8
9 1 2 7 3 5 5 3 7 1 9
B) La sucesión converge a cero.
C) La sucesión tiene dos puntos límites.
D) La sucesión tiene tres puntos límites.
E) No podemos afirmar nada acerca de su
convergencia.
R
Tema: Sucesiones numéricas reales
Recuerde que una sucesión
límn→∞
an existe, es único y es finito.
Análisis y procedimiento
6
unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO
• Para n par
lím límn
nn
an→∞ →∞
=+
=1
103
Por lo tanto, límn
na→∞= 0.
RLa sucesión converge a cero.
Alternativa B
PREGUNTA N.o 10Dada la matriz
Aa b cd e fg h i
=
determine la matriz P; tal que PAPa c bg i hd f e
=
A) −
−−
ab
c
1 00 11 0
B) 1 0 00 0 10 1 0
C) −
−
1 1 01 1 00 0 1
D) 0 1 00 1 01 0 1
−
E) 1 0 00 0 11 1 0
R
Tema: Matrices
Recuerde qué son matrices elementales.
Análisis y procedimiento
Se tiene la matriz Aa b cd e fg h i
=
Para obtener la matriz PAPa c bg i hd f e
=
se han realizado dos operaciones elementales (una por filas y otra por columnas)
1.a operaciónSe ha intercambiado la fila 2 y la fila 3.
F Aa b cd e fg h i
a b cg h id e f
B1
1 0 00 0 10 1 0
=
=
=
matriz elemental
2.a operaciónSe ha intercambiado la columna 2 y la columna 3.
BCa b cg h id e f
a c bg i hd f e
1
1 0 00 0 10 1 0
=
=
matriz elemental
Es decir, PAP=F1AC1
=
1 0 00 0 10 1 0
1 0 00 0 10 1 0
P P
A
R1 0 00 0 10 1 0
Alternativa B
; tal que PAPa c bg i hd f e
=
se han realizado dos operaciones elementales (una por filas y otra por columnas)
1.a operaciónSe ha intercambiado la fila 2 y la fila 3.
F Aa bd eg h
1F A1F A1 0 00 0 10 1 0
=
matriz elemental
2.a operaciónSe ha intercambiado la columna 2 y la columna 3.
BCa b cg h id e f
1
1 0 00 0 10 1 0
=
7
unI 2012 -ISolucionario de Matemática
PREGUNTA N.o 11La solución del problema de minimizarZ=5x+6y
sujeto a
2 3 1250
x yx yx y
+ ≤+ ≤
≥
,
es el punto (xº; yº). Si se añade la nueva restricción x – y ≤ 3, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son correctas?I. La solución (xº, yº) es solución del nuevo
problema.II. El nuevo problema no tiene solución.III. La nueva región admisible contiene a la anterior.
A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) I, II y III
R
Tema: Programación lineal
En todo problema de programación lineal cuya región admisible es acotada y cerrada, su función objetivo siempre tiene máximo y mínimo valor.
Análisis y procedimientoSea el problema inicial (P1) mín Z = 5x + 6y
sujeto a 2 3 12
50
x yx yx y
+ ≤+ ≤
≥
;
cuya gráfica de su región admisible (Ω1) es
L 2: 2x – 3y=12
L 1: x+y=5
(3; 2)
(5; 0)
(0; 4)
(0; 0)X
Y
Evaluamos los vértices en la función objetivo. Z(0; 0) = 5(0)+6(0)=0 (valor mínimo) Z(0; 4) = 5(0)+6(4)=24 Z(5; 0) = 5(5)+6(0)=25 Z(3; 2) = 5(3)+6(2)=27
Luego, la solución del problema (P1) es (0; 0)
Por otro lado, sea el problema nuevo (P2)→ mín Z = 5x + 6y
sujeto a
2 3 12530
x yx yx yx y
+ ≤+ ≤− ≤
≥
;
(nueva restricción)
La gráfica de la nueva región admisible (Ω2) es
L 3: x – y=3
L 2: 2x – 3y=12
L 1: x+y=5
(3; 2)
(3; 0)
(4; 1)
(0; 4)
(0; 0)X
Y
Evaluamos los vértices en la función objetivo. Z(0; 0) = 5(0)+6(0) = 0 (valor mínimo) Z(0; 4) = 5(0)+6(4) = 24 Z(3; 0) = 5(3)+6(0) = 15 Z(3; 2) = 5(3)+6(2) = 27 Z(4; 1) = 5(4)+6(1) = 26
La solución del problema (P2) es (0; 0).
LuegoI. Verdadera La solución (x0; y0) es solución del nuevo
problema. (x0; y0) = (0; 0) es solución de (P1) y (P2).II. Falsa El nuevo problema no tiene solución. La solución del nuevo problema (P2) es (0; 0).
III. La nueva región admisible contiene a la anterior.
A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) I, II y III
En todo problema de programación lineal cuya región admisible es acotada y cerrada, su función objetivo siempre tiene máximo y mínimo valor.
Análisis y procedimiento
0x y ≥ x y;x y
La gráfica de la nueva región admisible (
(3;2)
(3;0)
(4;
(0;4)
(0;0)
Y
Evaluamos los vértices en la función objetivo.
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unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO
III. Falsa La nueva región admisible contiene a la anterior. Pues Ω2 ⊂ Ω1.
La única proposición correcta es I.
Rsolo I
Alternativa A
PREGUNTA N.o 12
Si c c cb a b
b c b d b c
25 3
5 34
+ + += −
Halle c ca bd c b
00
donde a, c, d ∈ ⟨0; ∞⟩ y b ∈ ⟨– ∞; 0⟩
A) – 4 B) – 2 C) 2 D) 4 E) 6
R
Tema: Determinantes
Propiedades de determinantes1. Si en una matriz, a una columna cualquiera se le
suma otra columna multiplicada por un escalar, el determinante de la matriz no se altera.
2. Si en una matriz se intercambian dos columnas consecutivas, el determinante cambia de signo.
Análisis y procedimiento
Nos piden: c ca bd c b
00
del dato tenemos
c c cb a b
b c b d b c
25 3
5 34
+ + += −
C C
C C
cb a b bc d b c b
1 3
2 3
1
2
0 02 6 32 6 3
+ −
+ −−
− − +
( )
( ) cc
= −4
C C cb a bc d b b c
2 132
0 03
34
+
− += −
( )·
C C cb ac d b b
3 13 0 00 2
+ −
−= −
( )
C C c cb ac d b
2 31 00 2
+= −
( )
Intercambiando C2 con C1, tenemos
− = −c ca bd c b
00 2
∴ =c ca bd c b
00 2
R2
Alternativa C
4= −
∈ ⟨– ∞; 0⟩
A) – 4 B) – 2 C) 2 D) 4 E) 6
c d b b− +b b− +b b
C C
b ac d b b
3 1C C3 1C C 0 0C C+ −C CC C3 1C C+ −C C3 1C C
−
( )C C( )C C3 1( )3 1C C3 1C C( )C C3 1C CC C3C C( )C C3C CC C3 1C C3C C3 1C C( )C C3 1C C3C C3 1C CC C+ −C C( )C C+ −C CC C3 1C C+ −C C3 1C C( )C C3 1C C+ −C C3 1C C
C C c cb ac d b
2 3C C2 3C C 00 20 2
C C+C CC C2 3C C+C C2 3C C0 2= −0 2
( )C C( )C C2 3( )2 3C C2 3C C( )C C2 3C CC C1C C( )C C1C CC C2 3C C1C C2 3C C( )C C2 3C C1C C2 3C C
Intercambiando C2 con C1
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unI 2012 -ISolucionario de Matemática
PREGUNTA N.o 13Sea la inecuación:
xx
xx
+−
≤11
2
Si S es el conjunto solución, se puede afirmar:
A) ⟨– 1; 1⟩ ⊂ S B) S \ [– 1; 4] ≠ ∅ C) S \ ⟨– 1; 1⟩=∅ D) [0; 2] ⊂ S E) ⟨– 2; 0⟩ ⊂ S
R
Tema: Inecuación con valor absoluto
Recuerde que: |f(x)| ≥ g(x) ↔ f(x) ≥ g(x) ∨ f(x) ≤ – g(x)
Análisis y procedimiento
xx
xx
+−
≤11
2
Dando sentido lógico: x>0, además x ≠ 1.Luego en la ecuación se obtiene que
xx+−
≤11
2
|2x – 2|≥ x+1
2x – 2 ≥ x+1 ∨ 2x – 2 ≤ – x –1
x ≥ 3 ∨ x ≤13
Luego
0+∞ +∞1/3 3
→ CS=S= 013
3; ; ∪ + ∞[
RS\[–1; 4] ≠ φ
Alternativa B
PREGUNTA N.o 14Sea f(x)=|5 – logx|+|1+logx|, halle el rango de f.
A) [6; ∞⟩
B) [8; ∞⟩
C) ⟨0; ∞⟩
D) [0; ∞⟩
E) ⟨0; 6⟩ ∪ ⟨6; ∞⟩
R
Tema: Valor absoluto
Desigualdad triangular
|a+b| ≤ |a|+|b|; ∀ a; b ∈ R
Análisis y procedimiento
En el problema, f(x)=|5 – logx|+|1+logx|
Calculamos
Domf=x ∈ R / x > 0=⟨0; +∞⟩.
5 1 5 1−( )+ +( ) ≤ − + +log log log logx x x x ; ∀ x ∈ R+
6 ≤ f(x)
∴ Ranf=[6; +∞⟩
R[6; ∞⟩
Alternativa A
Inecuación con valor absoluto
↔ f(f(f x) ≥ g(x) ∨ f(f(f x) ≤ – g(x)
Análisis y procedimiento
>0, además x≠ 1.Luego en la ecuación se obtiene que
B) [8; ∞⟩
C) ⟨0; ∞⟩
D) [0; ∞⟩
E) ⟨0; 6⟩ ∪ ⟨6; ∞⟩
R
Tema: Valor absoluto
Desigualdad triangular
|a+b| ≤ |a|+|b|; ∀
Análisis y procedimiento
En el problema, f =|5 – log
10
unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO
PREGUNTA N.o 15Halle la suma de todos los valores reales que puede tomar λ en la siguiente expresión:
1 22 1
1
2
1
2
=
x
x
x
xλ donde x1 ≠ 0 y x2 ≠ 0
A) – 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
R
Tema: Matrices
Para resolver este problema vamos a transformar la ecuación matricial
1 22 1
1
2
1
2
=
x
x
x
xλ
es un sistema de ecuaciones lineales homogéneas.
Análisis y procedimiento
1 22 1
1
2
1
2
=
x
x
x
xλ con x1x2 ≠0
→ x1+2x 2=λx12x1+x2=λx2
→ (1 – λ)x1+2x2=02x1+(1 – λ)x2=0
Este sistema homogéneo tiene soluciones distintas
de la solución trivial (0; 0). Luego, tiene infinitas
soluciones, para ello debe cumplirse que 1
22
1− =
−λ
λ
→ (1 – λ)2=4 → 1 – 2λ+λ2=4
→ λ2 – 2λ – 3=0 (Nótese que T=16 > 0)
Raíces reales: λ1; λ2 → λ1+λ2=2
La suma de los valores de λ es 2.
R2
Alternativa D
PREGUNTA N.o 16Si x1=2 y x2=– 1 son raíces de x4 – ax2+b=0, halle
a – b.
A) – 1 B) 0 C) 1
D) 2 E) 3
R
Tema: Ecuaciones
Para resolver el problema usaremos y aplicaremos
el concepto de solución o raíz de una ecuación
polinomial.
Análisis y procedimiento
Como x1=2 y x2=– 1 son raíces (o soluciones)
de la ecuación bicuadrada x4 – ax2+b=0,
entonces verifican la ecuación.
En particular, para x2=– 1 tenemos
(– 1)4 – a(– 1)2+b=0
→ 1 – a+b=0
→ a – b=1
R1
Alternativa C
PREGUNTA N.o 17Sea
Ei i i
i i
=+( ) − +
( )
−
+
12
262
2
22
62
22
62
Indique cuál de las siguientes proposiciones es
verdadera.
es un sistema de ecuaciones lineales homogéneas.
con x1x2 ≠0
Este sistema homogéneo tiene soluciones distintas
polinomial.
Análisis y procedimiento
Como x1=2 y x2=– 1 son raíces (o soluciones)
de la ecuación bicuadrada
entonces verifican la ecuación.
En particular, para x2=– 1 tenemos
(– 1)4 – a(– 1)2+b=0
→ 1 – a+b=0
→ a – b=1
R1
11
unI 2012 -ISolucionario de Matemática
I. Re E( ) = −1 32
II. lm E( ) = +1 32
III. E ei
=−
2712
π
A) solo I B) solo II C) solo III
D) I y III E) I, II y III
R
Tema: Números complejos
Recuerde que
θ
a
z=a+bi
Re
Im
z| |
z=a+bi
=|z|· eθi
Análisis y procedimiento
Ei i i
i i=
+ − +
( )
−
+
( )·12
262
2
22
62
22
62
diferencia de cuadrados
Ei i= +( ) − −( )1 3
2 (*)
Efectuando tenemos
E i= −( )
− +
1 32
3 12
→ Re( )E = −1 32
Im( )E = − +
3 12
Expresando (*) en su forma polar.
E
e e
ee
i i
i
i= =
+ −
2 2
22
476
24
76
2π π
π
π π π·
··
∴ E ei
=−
2712·
π
RI y III
Alternativa D
PREGUNTA N.o 18Calcule
S = + + + +7
1225
14491
1728337
20736...
A) 13
B) 12
C) 711
D) 56
E) 1112
θ
Re
Ee ee e
e i= == =2 2e e2 2e ee e2 2e e
22
6
2π·
∴ E eE ei
E e=E e−
2E e2E e712E e·E e
π
RI y III
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 1818
12
unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO
R
Tema: Series numéricas reales
Recuerde que si r ∈ ⟨– 1; 1⟩, entonces
r+r2+r3+r4+...=r
r1−
Análisis y procedimiento
S = + + + +7
1225
14491
1728337
20736...
= +
+ +
+ +
+ +
+
13
14
19
116
127
164
181
2256
...
= + + + +
+ + + + +
13
19
127
181
14
116
164
1256
... ...
=−
+−
13
113
14
114
= +1
213
= 5
6
R56
Alternativa D
PREGUNTA N.o 19Se sabe que un conjunto de n elementos tiene 2n
subconjuntos, la intersección de P y Q tiene 128 subconjuntos, la diferencia de P respecto de Q tiene 64 subconjuntos. El producto cartesiano P×Q presenta 182 pares. Luego podemos afirmar que el número de elementos de Q P es:
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
R
Tema: Conjuntos
Tenga en cuenta que
• A – B=A \ B=x / x ∈ A ∧ x ∉ B
• n(A×B)=n(A)×n(B)
Análisis y procedimiento
Por dato tenemos:
• Nº subconjuntos de (P ∩ Q)=2n(P ∩ Q)=128=27
→ n(P ∩ Q)=7
• Nº subconjuntos de (P Q)=2n(P \ Q)=64=26 →
n(P \ Q)=6
• n(P×Q)=n(P) · n(Q)=182
Gráficamente
6 7
P Q
x
Del gráfico se observa que n( )=13.
Como n P n Q n Qx
( )· ( )13 7
182 14
= → ( ) =+
→ x=7
∴ n(Q \ P)=7
R7
Alternativa C
+ ++ + + ++ + + 1
161
641
256... Análisis y procedimiento
Por dato tenemos:
• Nº subconjuntos de (P
→ n(P ∩ Q)=7
• Nº subconjuntos de (P
n(P \ P \ P Q)=6
• n(P×Q)=n(P) · n(Q)=182
Gráficamente
P
13
unI 2012 -ISolucionario de Matemática
PREGUNTA N.o 20Sea f(x)=|x – 1| y g(x)=|x+1|, halle la expresión de F(x)=f(x)+g(x).
A) F(x)= 2x, x ≥ 1 1, – 1 < x < 1–2x, x ≤ – 1
B) F(x)= – 2x, x ≥ 1 2, – 1 < x < 1 2x, x ≤ – 1
C) F(x)= 2x, x ≥ 1 2, – 1 < x < 1–2x, x ≤ – 1
D) F(x)= 2x, x ≤ – 1 1, – 1 < x < 1–2x, x ≥ 1
E) F(x)= x, x ≤ – 1 2, – 1 < x < 1–x, x ≥ 1
R
Tema: Álgebra de funciones
Recuerde que Dom(f+g)=Domf ∩ Domg.
Análisis y procedimiento
f(x)=|x – 1|=
x – 1; si x ≥ 1– x+1; si x < 1
g(x)=|x+1|=
x+1; si x ≥ – 1– x – 1; si x < – 1
Piden F(x)=f(x)+g(x)
F(x)= 2x, x ≥ 1 2, – 1 < x < 1–2x, x ≤ – 1
R
F(x)= 2x, x ≥ 1 2, – 1 < x < 1–2x, x ≤ – 1
Alternativa C
< 1≤ – 1
≤ – 1 < 1≥ 1
– 1 < 1 1
F(x) f(f(f x)+g(x)
F(x)= 2x, x ≥ 2, – 1 < x < 1x < 1x–2x, x ≤
R
F(x)= 2x, x ≥ 1 2, – 1 < x < 1x < 1x–2x, x ≤ – 1
14
unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO
PREGUNTA N.o 21En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado de lado
L y BAD es un sector circular con centro en A. Calcule
el área de la región sombreada (en u2).
A
B C
D
A) L2
44 −( )π
B) L2
44 +( )π
C) L2
82+( )π
D) L2
86 −( )π
E) L2
86 +( )π
R
Tema: Áreas de regiones triangulares y circulares
Análisis y procedimientoPiden el área de la región sombreada: A+B.
A
B C
D
O
BB
AA
45º L 22
L 22
L
L
Del cuadrado ABCD
AOB: notable 45º
A = =L L L2
22
212 4
2· ·
Se observa que
B=A ABC – a sector 45º
b = −L L2 2
2 8π
Entonces
A b+ = + −L L L2 2 2
4 2 8π
∴ + = −( )A bL2
86 π
RL2
86 −( )π
Alternativa D
PREGUNTA N.o 22Determine la diferencia en cm entre el mayor y menor valor entero que puede tomar la suma de las bases de un trapecio, si se sabe que la suma de sus diagonales es 15 cm.
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
A bA b+A b = += + −L L L2 2L L2 2L L4 2 8
π
∴ + = −= −( )= −( )= −A b∴ +A b∴ + L2L2L8( )6( )= −( )= −6= −( )= −( )π( )
RL2L2L8( )6( )6 −( )−( )π( )
15
unI 2012 -ISolucionario de Matemática
R
Tema: Trapecio
Observación
Desigualdad triangular
q – p < x < q+p
x
p q
Análisis y procedimiento
Sea
BC // AD y BC=a;
AD=b; AC=m; BD=n.
Dato
m+n=15 cm
Nos piden
(a+b)mayor entero – (a+b)menor entero
b a
a
nn
A ED
CB
m n
Se traza CE // BD
→ DE=a y CE=n
En ACE: desigualdad triangular
(a+b) < m+n
(a+b) < 15 cm
→ (a+b)mayor entero=14 cm
En un trapecio, las bases tienen que ser mayores que cero.
0 < a0 < b0 < (a+b)
sumando
→ (a+b)menor entero=1 cm
Luego
(a+b)mayor entero – (a+b)menor entero=13 cm
R
13
Alternativa B
PREGUNTA N.o 23La figura mostrada ABCD es un rectángulo. Si CP=8 m, DP=4 m, EF=6 m, entonces el valor de AD es:
4 m
8 m
QA
6 m
E
D
F
P
CB
A) 463
m B) 15 m C) 433
m
D) 14 m E) 493
m
Análisis y procedimiento
)menor entero
R
13
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 2323La figura mostrada ABCDSi CP=8 m, DP=4 m, EFde AD es:
16
unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO
R
Tema: Semejanza de triángulos
Análisis y procedimientoNos piden AD.
E
F
P
A
B C
DQ37º53º
8
12
4
6
15 2m
3m
9 163
• Se nota: ABE ∼ CEP
812
= EPBE
→ EP=2 m; BE=3 m
• Como EFP ∼ BQP, si
EF=6 → BQ=15
• Además BAQ es notable de 37º y 53º
→ AQ=9
• También QDP es notable de 37º y 53º
→ =QD
163
• Del gráfico se tiene que
AD = +9
163
∴ =AD433
R433
m
Alternativa C
PREGUNTA N.o 24En la figura mostrada O es punto medio de AB, AO=R. Calcule el valor del perímetro del trián-gulo ADE.
A O B
CE
D
A) πR3
B) πR2
C) 3
2πR
D) πR
E) 2πR
F
P
DQ37º
4
6
163
CEP
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 2424En la figura mostrada O es punto medio de AO=R. Calcule el valor del perímetro del trián-gulo ADE.
E
17
unI 2012 -ISolucionario de Matemática
R
Tema: Circunferencia
Recuerde
a b
c
Se cumple que
2P =a+b+c
Análisis y procedimiento
A R R
RR
O B
CE
D
53º/2 37º
127º/2
127º/2
53º/253º/2
2
5
Nos piden 2P ADE
• CBA: not. 53º/2
→ m CAB=53º/2
• EDA: not. 53º/2
2P ADE=2 2 5+ +
2P ADE= 3 5+( ) (I)
• ABE: not. 37º y 53º
2=2R×cos53º
→ = 35R
(II)
• De (II) en (I) tenemos
2P ADE= 35
3 5+( )R
2P ADE ≈ 3,14R
∴ 2P ADE ≈ πR
R
πR
Alternativa D
PREGUNTA N.o 25
En la figura mostrada, O1, O2 y O3 son centros de semicircunferencias con radios de longitud r1, r2 y r3 respectivamente. Si AB=3 cm y BC=4 cm, entonces el área (en cm2) de la región sombreada es:
B
A O3
O1 O2
r3
r1
r2
C
A) 4
B) 5
C) 6
D) 4π
E) 5π
R
RR
B
C
37º
127º/2
127º/2127º/2
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 2525
En la figura mostrada, Osemicircunferencias con radios de longitud respectivamente. Si AB=3 cm y el área (en cm2) de la región sombreada es:
B
18
unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO
R
Tema: Áreas de regiones circulares
Teorema
AA
SS
BB
A C
B
Se cumple
S=A+B
Análisis y procedimiento
AA
SS
BB
A C
B
O1O1r1r1
r2r2
r3r3
O2O2
O3O3
53º53º 37º37º
Datos AB=3; BC=4Piden A+BPor teorema s=A+BPero
s =
( )=3 4
26
∴ A+B=6
R6
Alternativa C
PREGUNTA N.o 26
Sean P1, P2, P3 planos paralelos. La recta L1 corta al
plano P1 en A, al plano P2 en B y al plano P3 en C,
de tal manera que AB BC= +13
1. Otra recta L2 corta
al plano P1 en F, al plano P2 en E y al plano P3 en D.
Si FE ED= 12
, halle BC.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
R
Tema: Geometría del espacio
Recordemos que tres o más planos paralelos entre sí
determinan segmentos proporcionales en dos rectas
secantes.
Análisis y procedimiento
Nos piden BC.
A
L1 L2
B
C D
E
F
2 m
m
x
+1x3
BBBBBBBBBB
C
rrrrrrr2222222222222222rr2rrrrr2rr2rr2rrrr2rrrr2rrrrr2rr2rr2rrrr2rrr2r
OOOOOO222222
37º37º37º37º37º37º37º37º37º37º37º37º
D) 6 E) 8
R
Tema: Geometría del espacio
Recordemos que tres o más planos paralelos entre sí
determinan segmentos proporcionales en dos rectas
secantes.
Análisis y procedimiento
Nos piden BC.
19
unI 2012 -ISolucionario de Matemática
Sea BC=x
Por dato tenemos
AB
BC= +3
1
→ = +AB
x3
1
FE
ED=2
Si EF=m → ED=2m
Luego se tiene que
x
xmm
31
2
+=
23
2x
x+ =
∴ x=6
R6
Alternativa D
PREGUNTA N.o 27En un triedro O-ABC, las caras, BOC , AOB y AOC
miden 90º, 60º y 60º respectivamente. Entonces la
tangente del ángulo que determina OA con el plano
OBC es:
A) 13
B) 12
C) 1
D) 2 E) 3
R
Tema: Ángulo triedro
Teorema
Recuerde que en el triedro isósceles, la proyección
de la arista OA
sobre la cara BOC es la bisectriz de
dicha cara.
θ
ββ
A
B
MC
O θθ
Por lo tanto, OM
es bisectriz de la cara BOC.
Análisis y procedimiento
Piden tanα.
α: ángulo entre OA y el plano OBC.
Datos
m AOB=m AOC=60º
m BOC=90º
45º45º
30º30º
MM
BBαα45º45º aa 22
C
S
a
O
2a
P
A
DD
ββ
Por lo tanto, OM
es bisectriz de la cara
Análisis y procedimiento
Piden tanα.
α: ángulo entre OA y el plano
Datos
AOB AOC=60º
20
unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Teorema
• OM
: bisectriz de la cara OBC.
• PS ⊥ OC
(teorema de las 3 perpendiculares)
• OSQ y OSP: notables 45º, 30º y 60º
→ OQP: not 45º
• Luego, α=45º
∴ tan45º=1
R1
Alternativa C
PREGUNTA N.o 28Si en un exaedro regular, la distancia de un vértice a
una de las diagonales que no contenga a este vértice
es 2 m, entonces la longitud de esta diagonal es:
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
R
Tema: Exaedro regular
El exaedro regular o cubo es aquel poliedro regular
limitado por 6 caras cuadradas congruentes entre sí.
Se cumple d=a 3
a
aa
d
Análisis y procedimiento
A
B C
D
E
FG
H
a
a
a
2
3a2a
D
Piden BF=d.
Se sabe que AB ⊥ de la cara ADHE
→ AB ⊥ AH
En el BAH: Por relaciones métricas
a a a2 2 3( ) = ( )( )
a = 3
Sabemos que
d a= 3
d = 3 3
∴ 9
R
9
Alternativa E
Alternativa CC
dro regular, la distancia de un vértice a
una de las diagonales que no contenga a este vértice
, entonces la longitud de esta diagonal es:
C) 7 E) 9
E
Piden BF=d.
Se sabe que AB ⊥ de la cara
→ AB ⊥ AH
En el BAH: Por relaciones métri
a a 2 2( )( )a a( )a a 2 2( )2 22 2=2 2( )( )2 2( )2 22 2( )2 2 ( )( )a( )a3( )3
a = 3
21
unI 2012 -ISolucionario de Matemática
PREGUNTA N.o 29Un prisma oblicuo de volumen 150 m3 tiene área de
superficie lateral 50 m2. Determine el área del círculo
inscrito a la sección recta en m2.
A) 9π B) 4π C) 25π D) 30π E) 36π
R
Tema: Prisma
Análisis y procedimiento
Piden Acírculo=Ax
Ax=πr2 (I)
Datos
volumen (V)=150
área de la superficie lateral (AS. L.)=50
rra
S. R.
S. R.: sección rectaAS. R.: área de la sección recta
Del primer dato
V=AS. R.(a)=150
Pero AS. R.=PS. R.(r).
Reemplazamos en V.
V=pS. R.(r)(a)=150 (II)
Del segundo dato
AS. L.=50=(2pS. R.)a
→ pS. R.(a)=25
Reemplazando en (II)
25r=150
r=6
Finalmente en (I)
Ax=π62
∴ Ax=36π
R36π
Alternativa E
PREGUNTA N.o 30
La razón entre los volúmenes de dos esferas es 827
.
Calcule el volumen de la cuña esférica del ángulo
diedro 15º de la esfera mayor.
A) 3,5π
B) 3π
C) 2,5π
D) 2π
E) 1,5π
Análisis y procedimiento
(I)
área de la superficie lateral (AS. L.AS. L.A )=50
R.
Finalmente en (I)
Ax Ax A =π62
∴ AxAxA =36π
R36π
22
unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO
R
Tema: Esfera
Cuña esférica
V
RC.E. =
π θ3
270º
R
R
θ
Análisis y procedimientoNos piden VC.E.VC.E.: Volumen de la cuña esférica
2V1
3
θ
V2
Dato
VV
1
2
827
=
Entonces los radios están en la razón de 2K y 3K, pero, para el problema, K = 1.
V
RC.E. =
π θ3
270º
R = 1 y θ = 15º
VC.E. = 1,5π
R1,5π
Alternativa E
PREGUNTA N.o 31En un cono recto de 6 cm de radio y 8 cm de altura, se traza un plano paralelo a su base de modo que el área del círculo que se determina en el plano sea igual al área lateral del tronco de cono determinado. Calcule la altura del tronco de cono (en cm).
A) 8 2 11− B) 8 2 10− C) 8 2 9− D) 8 2 8− E) 8 2 7−
R
Tema: Cono de revolución
En un tronco de cono de revolución tenemos que
AS.L.=π(R+r)g
g
rr
RR
Análisis y procedimiento
Nos piden OH.
BH
M
V
P
SS
37º
37º37º
53º
8 – 4r
4r
3r3rOO
3r
8 – 4r
37º37º
6
: Volumen de la cuña esférica
3
θ
V2V2V
En un tronco de cono de revolución tenemos que
AS.L.AS.L.A =π
RRRRRR
Análisis y procedimiento
Nos piden OH.
23
unI 2012 -ISolucionario de Matemática
Del dato se tiene que AS.L.(tronco de cono)=S
π(3r+6)=π(3r)2
→ =+
32
2rr
(I)
MPB: Notable de 37º y 53º MP=8 – 4r → =10 – 5r (II)
De (I) y (II) se tiene que
r OH r= = −
102
8 4;
∴ OH = −8 2 10
R8 2 10−
Alternativa B
PREGUNTA N.o 32Una servilleta de papel cuadrada ABCD, cuyo lado tiene 24 cm de longitud, se dobla por las líneas punteadas tal como se muestra en la figura, donde M y N son puntos medios de BC y CD, respectivamente; luego se juntan los bordes MB con MC, NC con ND y AB con AD formándose una pirámide. Calcule la altura de esta pirámide (en cm).
A
B C
D
M
N
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
R
Tema: Pirámide
Recuerde
a b
cH
Se cumple
1 1 1 12 2 2 2H a b c= + +
Análisis y procedimiento
A 24 D
N24
12 12
12
12
B CM
Piden x.
24
A
M
N
12
12x
B, D, C
Alternativa BB
Una servilleta de papel cuadrada ABCD, cuyo lado tiene 24 cm de longitud, se dobla por las líneas punteadas tal como se muestra en la figura, donde M
BC y CD, respectivamente;
Se cumple
1 1 1 12 2 2 2H a b2 2a b2 2 c= += +2 2= +2 2 +
Análisis y procedimiento
24
12B M
24
unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Se cumple
1 1
24
1
12
1
122 2 2 2x= + +
( ) ( ) ( )
1 1
2 12
2
122 2 2 2x=
×+
( ) ( )
1 9
2 122 2 2x=
× ( )
∴ x=8
R8
Alternativa C
PREGUNTA N.o 33Si 2a es el lado de un polígono regular de n lados, R y r los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita respectivamente. Determine R+r.
A) 22
an
cosπ
B) 22
an
cotπ
C) 22
an
tanπ
D) an
cotπ2
E) an
cscπ2
R
Tema: Identidades de arcos dobles
csc cot cotx xx
+ =2
Análisis y procedimiento
Or
A a a BM
R
πn
πn
m AOB
n =
2π
En el AMO
AO R a
n= = csc
π
OM r a
n= = cot
π
→ + = +
R r a
n ncsc cot
π π
= a
ncot
π2
R
an
cotπ2
Alternativa D
PREGUNTA N.o 34Determine el periodo de la función:f(x)=|cos4x – sen4x|
A) π
16 B)
π8
C) π4
D) π2
E) 38π
Alternativa CC
es el lado de un polígono regular de n lados, los radios de las circunferencias circunscrita e
inscrita respectivamente. Determine R+r.
En el AMO
AO R an
= =R a= =R acscπ
OM r an
= =r a= =r acotπ
→ + = += += += += += += += += += += += += += += += += += += += += += += += += +→ + → +R r→ +R r→ + a= +a= +
n ncs= +cs= +c c= +c c= += +c c= + ot
π πot
π πot
= a
ncot
π2
R
an
cotπ2
25
unI 2012 -ISolucionario de Matemática
R
Tema: Funciones trigonométricas directas
Identidad pitagórica: sen2x+cos2x=1Identidades del arco doble: cos2x – sen2x=cos2x
Análisis y procedimiento f(x)=|cos4x – sen4x|
f(x)=|(cos2x+sen2x)(cos2x – sen2x)|
f(x)=|cos2x|
Graficamos la función
X
Y
0 π4
π2
3π4
π2
T= π2
T= f(x)=|cos2x|
π
Del gráfico, T =π2
(T: periodo de la función)
Rπ2
Alternativa D
PREGUNTA N.o 35Si tan(x(k+y))=a y tan(x(k – y))=b, entonces tan(2kx)+tan(2yx) es igual a
A) a b
a b
2 2
2 21
−+
B) a b
a b
2 2
2 21
−−
C) a b
a b
2 2
2 21
+−
D) 2 1
1
2
2 2a b
a b
+( )+
E) 2 1
1
2
2 2a b
a b
+( )−
R
Tema: Identidades trigonométricas de arcos com-puestos
Observación
tantan tan
tan tanα θ
α θα θ
+( ) =+
−1
tantan tan
tan tanα θ
α θα θ
−( ) =−
+1
Análisis y procedimientoNos piden tan(2kx)+tan(2yx).
Dato tan(x(k+y))=a tan(x(k – y))=b
tan(2kx)+tan(2yx)=tan(x(k+y)+x(k – y))+ +tan(x(k+y) – x(k – y))
tan( ) tan( )tan( ( )) tan( ( ))
tan( ( ))tan(2 2
1kx yx
x k y x k yx k y
+ =+ + −
− + xx k y( ))−+
+
+ − −+ + −
tan( ( )) tan( ( ))tan( ( ))tan( ( ))x k y x k yx k y x k y1
tan( ) tan( )2 21 1
kx yxa bab
a bab
+ =+−
+−+
tan( ) tan( )( )( ) ( )( )
( )( )2 2
1 11 1
kx yxa b ab a b ab
ab ab+ =
+ + + − −− +
tan( ) tan( )2 22 1
1
2
2 2kx yxa b
a b+ =
+( )−
R
2 1
1
2
2 2a b
a b
+( )−
Alternativa E
X
f(f(f x)=|cos2x|
π
: periodo de la función)
Nos piden tan(2kx)+tan(2
Dato tan(x(k+y))=a tan(x(k – k – k y))=b
tan(2kx)+tan(2yx)=tan( +tan(
tan( ) tan( )tan(
2 2) t2 2) t ( )2 2( )2 21
kx2 2kx2 2yx( )yx( )+ =( )+ =( )2 2+ =2 2) t2 2) t+ =) t2 2) tan2 2an+ =an2 2an( )2 2( )+ =( )2 2( )( )yx( )+ =( )yx( )− +
++ +
ta1
a ba b+a b
26
unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO
PREGUNTA N.o 36La ecuación cuadrática
z · z – (1 + 3i)z – (1 – 3i)z = 12
representa:
A) una circunferencia B) una hipérbola C) una recta D) dos puntos E) un punto
R
Tema: Números complejos
Si z=x+iy; i = −1
entonces z=x – iy.
Luego
z · z=|z|2=x2+y2
z+z=2x
z – z=2iy
Análisis y procedimiento
Dato: z · z – (1+3i)z – (1– 3i)z=12
|z|2 – (z+z) – 3i(z – z)=12
x2+y2 – 2x – 3i(2iy)=12
x2+y2 – 2x+6y=12
Completamos cuadrados
(x –1)2+(y+3)2=22
Por lo tanto, la ecuación representa una circunferencia.
Runa circunferencia
Alternativa A
PREGUNTA N.o 37
Los números S k= −3 119
y C k= +3 119
son las
medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal respectivamente. Determine la medida del ángulo en radianes.
A) π
200 B)
π180
C) π
190
D) π
250 E)
3200
π
R
Tema: Relación numérica del sistema de medición angular
S C R9 10
20= =π
S: Número de grados sexagesimales
C: Número de grados centesimales
R: Número de radianes
Análisis y procedimientoSabemos que
SC
= 910
k
k
3
3
1191
19
910
−
+=
10
1019
99
193 3k k− = +
k = 1
=12
R
Tema: Relación numérica del sistema de medición angular
S C R9 10
20= == =π
S: Número de grados sexagesimales
C: Número de grados centesimales
R: Número de radianes
27
unI 2012 -ISolucionario de Matemática
Reemplazando en S se tiene que
S = 18
19
Sabemos que
S R180
=π
R = π
190
R
π190
Alternativa C
PREGUNTA N.o 38Una escalera se encuentra apoyada en una pared
haciendo un ángulo de 45º. Se resbala, la parte
inferior se desliza 8 – 5 2 m de su posición inicial
y el nuevo ángulo que forma con la pared es 53º.
¿Cuántos metros mide la escalera?
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
R
Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Triángulos rectángulos notables
245º
45º
K K
K 4K
53º
37º
5K3K
Análisis y procedimientoSea AB la longitud de la escalera.
28 – 5 2B'
A'
B M4K – 8+5
3K
A
53º
37º 45º
4K
Si A’M = 3K, entonces B’M = 4K y A’B’ = 5K.Se observa que AB = A’B’.
4 8 5 2 2 5K K− +( ) =
4 2 8 2 10 5K K− + =
10 8 2 5 4 2− = −K K
2 5 4 2 5 4 2−( ) = −( )K
K = 2∴ AB = 5K = 5(2) = 10
R10
Alternativa B
PREGUNTA N.o 39Determine el menor valor de k, para que se cumpla la siguiente desigualdad, para cualquier x ∈ R si sen(x) · cos(x) ≠ 0.
1 12 2sen cosx x
k+ ≤
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
Alternativa CC
Una escalera se encuentra apoyada en una pared
haciendo un ángulo de 45º. Se resbala, la parte
m de su posición inicial
y el nuevo ángulo que forma con la pared es 53º.
Si A’M = 3K, entonces B’Se observa que AB = A’B
2 5K KK K2 5K K2 5( )( )4 8( )4 8 5 2( )5 25 2( )5 25 2( )5 25 2( )5 2K K( )K K4 8K K4 8( )4 8K K4 8 5 2K K5 2( )5 2K K5 25 2K K5 2( )5 2K K5 2K K− +K K( )K K− +K K4 8K K4 8− +4 8K K4 8( )4 8K K4 8− +4 8K K4 8 2 5K K2 5=2 5K K2 5
4 24 2 8 28 28 28 2 10 5K K8 2K K8 28 2K K8 2 10K K10 5K K5K K− +K K8 2K K8 2− +8 2K K8 28 2K K8 2− +8 2K K8 2K K=K K
10 8 28 28 28 2 5 4 2− =8 2− =8 28 2− =8 2 K KK K5 4K K5 4 2K K25 4−5 4K K5 4−5 4
2 5( )( )2 5( )2 5 4 2( )4 24 2( )4 2−( )− = −( )5 4( )5 4= −( )= −5 4= −5 4( )5 4= −5 4K= −K= −
K = 2∴ AB = 5K = 5(2) = 10
R10
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unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO
R
Tema: Identidades fundamentales
Recuerde que
a
aa+ ≥ >1
2 0;
a
aa+ ≤ − <1
2 0;
Análisis y procedimiento
Sea Ex x
= +1 12 2sen cos
según dato: E ≤ k (I)
De E = csc2x + sec2x
E = cot2x + 1 + tan2x + 1
E x
x= + +tan
tan2
21
2
Pero
tantan
22
12x
x+ ≥ ; ∀x ∈ R/senx ≠ 0 ∧ cosx ≠ 0
Entonces
E ≥ 4 (II)
De (I) y (II)
4 ≤ E ≤ k
El menor valor de k = 4.
Observación
El menor valor de k es 4 y se obti ene para
x n n= + ∈( ) ;2 14π
Z
R4
Alternativa D
PREGUNTA N.o 40¿Cuál de los gráficos mostrados representa mejor a la función?
y xx
x= − −
∈ −
cos ;12 2 2
2 para
π π
A)
B)
C)
D)
E)
(I)
+ 1
∈ R/senx ≠ 0 ∧ cosx cosx cos ≠ 0
4 (II)
B)
C)
29
unI 2012 -ISolucionario de Matemática
R
Tema: Funciones trigonométricas directas
Análisis y procedimientoSea la función
y xx= − −
cos 1
2
2 para x ∈ −
π π2 2
;
y xx
gh
xx
= + −( )
( )
cos
2
21
– π2
π2
– 1
1
π2
8π2
8– 1
g(x)
h(x)Y
X
Por suma de funciones
– π2
π2– 1
π2
8π2
8– 1
Y
X
y=cosx – (1 – )x2
2
R
Alternativa D
π2
–1
1
ππππππ22222222222222222
8888–1
h(x)
X
R