Universidad de los Andes-Dpto. de FısicaMecanica Cuantica I -Sem.II/2014

Solucion Tarea 1

1. Cohen-Tannoudji et al., HII-1.- Si U(m,n) =| ϕm⟩⟨ϕn |(a) El adjunto de U(m,n) es U †(m,n) =| ϕn⟩⟨ϕm |.(b) Como H | ϕn⟩ = En | ϕn⟩ el conmutador [H, U(m,n)] es

[H, U(m,n)] = HU(m,n)− U(m,n)H

= H | ϕm⟩⟨ϕn | − | ϕm⟩⟨ϕn | H= Em | ϕm⟩⟨ϕn | −En | ϕm⟩⟨ϕn |= (Em − En)U(m,n) (1)

(c) Como los {| ϕn⟩} constituyen una base ortonormal, es decir ⟨ϕm | ϕn⟩ = δm,n se tiene

U(m,n)U †(p, q) =| ϕm⟩⟨ϕn | ϕq⟩⟨ϕp |=| ϕm⟩δn,q⟨ϕp |= δn,qU(m, p) (2)

(d)

Tr{U(m,n)} =∑p

⟨ϕp | ϕm⟩⟨ϕn | ϕp⟩

=∑p

δp,mδn,p = δn,m (3)

(e) Como Am,n = ⟨ϕm | A | ϕn⟩ y si se inserta dos veces la identidad (completez de la base,1 =

∑p | ϕp⟩⟨ϕp |) se tiene

A = 1A1 = (∑m

| ϕm⟩⟨ϕm |)A(∑n

| ϕn⟩⟨ϕn |)

=∑m,n

| ϕm⟩⟨ϕm | A | ϕn⟩⟨ϕn |

=∑m,n

| ϕm⟩Am,n⟨ϕn |=∑m,n

Am,nU(m,n) (4)

(f)

Ap,q = ⟨ϕp | A | ϕq⟩

=∑m

⟨ϕp | ϕm⟩⟨ϕm | A | ϕq⟩

=∑m

⟨ϕm | A | ϕq⟩⟨ϕp | ϕm⟩

= Tr{AU †(p, q)} (5)

2. Cohen-Tannoudji et al., HII-2.-

(a)

σ†y =

(0 −ii 0

)= σy (6)

por lo tanto σy SI ES hermıtico. Los valores propios se encuentran al exigir que sea cero el siguientedeterminante ∣∣∣∣∣ −λ −i

i −λ

∣∣∣∣∣ = 0 (7)

Resulta entonces que λ2 = 1, por lo tanto los valores propios de σy son λ = ±1. Los vectores propios(normalizados), escritos en la base {| 1⟩, | 2⟩} son

| λ = +1⟩ = 1√2(| 1⟩+ i | 2⟩)

| λ = −1⟩ = 1√2(| 1⟩ − i | 2⟩) (8)

(b) Los proyectores son

P (+1) =| λ = +1⟩⟨λ = +1 |= 1

2

(1i

)(1,−i) = 1

2

(1 −ii 1

)(9)

y

P (−1) =| λ = −1⟩⟨λ = −1 |= 1

2

(1−i

)(1, i) =

1

2

(1 i−i 1

)(10)

Estos proyectores son ortogonales porque P (+1) · P (−1) = 0. Ademas son completos porqueP (+1) + P (−1) = 1.

(c) Como M † = M y L†y = Ly SI SON hermıticas. Los valores propios vienen de∣∣∣∣∣ 2− λ i

√2

−i√2 3− λ

∣∣∣∣∣ = 0 para M (11)

2

y

−ih2

∣∣∣∣∣∣∣−λ

√2 0

−√2 −λ

√2

0 −√2 −λ

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 para Ly (12)

Para M los valores propios son λ1 = 4 y λ2 = 1, con vectores propios (normalizados)

| λ1⟩ =√1

3(| 1⟩ − i

√2 | 2⟩) (13)

y

| λ2⟩ =√2

3(| 1⟩+ i√

2| 2⟩) (14)

Los proyectores asociados son

P (λ1) =| λ1⟩⟨λ1 |=1

3

(1

−i√2

)(1, i

√2) =

1

3

(1 i

√2

−i√2 2

)(15)

y

P (λ2) =| λ2⟩⟨λ2 |=2

3

(1i√2

)(1,− i√

2) =

2

3

(1 − i√

2i√2

12

)(16)

Claramente estos proyectores son ortogonales, P (λ1) · P (λ2) = 0, y completos, P (λ1) + P (λ2) = 1.

Para Ly los valores propios son λ1 = h, λ2 = 0 y λ3 = −h. Si aceptamos que la matriz representativade Ly esta escrita con referencia a la base ortonormal {| 1⟩, | 2⟩, | 3⟩}, los vectores propios (normalizados)vienen dados por

| λ1⟩ =1

2(− | 1⟩ − i

√2 | 2⟩+ | 3⟩) = 1

2

−1

−i√2

1

(17)

| λ2⟩ =1√2(| 1⟩+ | 3⟩) = 1√

2

101

(18)

y

| λ3⟩ =1

2(− | 1⟩+ i

√2 | 2⟩+ | 3⟩) = 1

2

−1

i√2

1

(19)

con proyectores

P (λ1) =1

4

1 −i√2 −1

i√2 2 −i

√2

−1 i√2 1

(20)

3

P (λ2) =1

2

1 0 10 0 01 0 1

(21)

y

P (λ3) =1

4

1 i√2 −1

−i√2 2 i

√2

−1 −i√2 1

(22)

que como debe ser, son ortogonales dos a dos, P (λi) · P (λj) = 0 si i = j, y completos,

P (λ1) + P (λ2) + P (λ3) = 1.

3. Cohen-Tannoudji et al., HII-3.-

(a)

⟨ψ0 | ψ0⟩ =1

2+

1

4+

1

4= 1 (23)

⟨ψ1 | ψ1⟩ =1

3+

1

3=

2

3(24)

Por lo tanto | ψ0⟩ si esta normalizado pero | ψ1⟩ NO esta normalizado. Este ultimo quedarıa normalizadoal expresarlo como

| ψ1⟩ =1√2(| u1⟩+ i | u3⟩) (25)

(b)

ρ0 =| ψ0⟩⟨ψ0 |=

1√2i212

(1√2,− i

2,1

2) =

12

− i2√2

12√2

i2√2

14

i4

12√2

− i4

14

(26)

y

ρ1 =| ψ1⟩⟨ψ1 |=

1√2

0i√2

(1√2, 0,− i√

2) =

1

2

1 0 −i0 0 0i 0 1

(27)

Estos proyectores son claramente HERMITICOS.

4. Cohen-Tannoudji et al., HII-4.- (a) Si K =| ϕ⟩⟨ψ | donde | ϕ⟩ y | ψ⟩ son dos estados arbitrarios, Ksera HERMITICO solo si | ϕ⟩ =| ψ⟩.(b) K2 =| ϕ⟩⟨ψ | ϕ⟩⟨ψ |. Para ser un proyector se debe cumplir que K sea HERMITICO y K2 = K. Estosolo se da si ⟨ψ | ϕ⟩ = 1, lo que implica que | ϕ⟩ =| ψ⟩ y ademas que | ϕ⟩ este normalizado.

4

(c) Suponer que | ϕ⟩ y | ψ⟩ no son ortogonales, es decir ⟨ϕ | ψ⟩ = 0, y que cada uno de ellos estanormalizado. En la expresion de K multiplicar y dividir por la misma cantidad ⟨ϕ | ψ⟩

K =| ϕ⟩⟨ψ⟩ = | ϕ⟩⟨ϕ | ψ⟩⟨ψ⟩⟨ϕ | ψ⟩

=1

⟨ϕ | ψ⟩(| ϕ⟩⟨ϕ⟩)(| ψ⟩⟨ψ⟩) = 1

⟨ϕ | ψ⟩P (ϕ)P (ψ) (28)

5. Cohen-Tannoudji et al., HII-6.- La exponencial de un operador debe ser siempre entendida como laforma compacta de representar la serie que le corresponde, es decir

eiA = 1 + (iA) +1

2!(iA)2 +

1

3!(iA)3 + ... (29)

Por lo tanto

eiασx = 1 + (iασx) +1

2!(iασx)

2 +1

3!(iασx)

3 + ... (30)

Notar que

σx2 = 1 , σx

3 = σx , etc. (31)

Entonces

eiασx = 1 + iασx −1

2!α21− i

3!α3σx + ... (32)

que se puede reorganizar como

eiασx = 1(1− α2

2!+α4

4!+ ...) + iσx(α− α3

3!+α5

5!+ ...) (33)

Se reconoce en el primer parentesis de la derecha la serie de Taylor de la funcion cosα mientras que elsegundo parentesis de la derecha es la serie de Taylor de la funcion senα. Se obtiene finalmente

eiασx = 1cosα+ iσxsenα (34)

5