solución numérica de problemas de valores de contorno - en

Solucion numerica de problemas de valores de contornoEn ecuaciones diferenciales ordinarias

Victorio E. Sonzogni

1 / 42

Problema de Valor de Contorno

En la seccion anterior hemos visto PVI del tipoy ′′ = f (x , y , y ′) ,para a ≤ x ≤ by(a) = yay ′(a) = y ′a

Hay veces en que el problema esta planteado:y ′′ = f (x , y , y ′) ,para a ≤ x ≤ by(a) = yay(b) = yb

Se denomina Problema de Valor de Borde o Problema de Valor deFrontera o Problema de Valor de Contorno (en ingles Boundary ValueProblem )

2 / 42


Ejemplo

Considerese una viga de material elastico lineal, simplementeapoyada, de longitud L sometida a una carga transversal q y a fuerzasde traccion S en los extremos.

La ecuacion de equilibrio de un segmento diferencial, valida en toda lalongitud de la viga, se puede escribir:

d2w

dx2=

S

EIw +

q

2EIx(x − L) = f (x ,w)

donde w(x): desplazamiento transversal; EI : rigidez seccional.

3 / 42


El problema es encontrar la funcion w(x) que cumpla con esaecuacion de equilibrio en toda la longitud de la viga, y que satisfagalas condiciones de contorno. El problema se escribe:

w ′′ = f (x ,w) para 0 ≤ x ≤ Lw(0) = 0w(L) = 0

Las condiciones de contorno expresan, en este caso, que eldesplazamiento transversal sea nulo sobre los apoyos.

4 / 42

Existencia y unicidad de la solucion

No siempre un PVC tiene solucion unica.

Hay un teorema que nos garantiza que la tenga.Teorema:Sea

y ′′ = f (x , y , y ′) ,para a ≤ x ≤ by(a) = αy(b) = β

donde f es continua en el conjuntoD = (x , y , y ′) | x ∈ [a, b], y ∈ [−∞,∞], y ′ ∈ [−∞,∞], y ademas ∂f

∂y y ∂f∂y ′ son continuas en D.

Si

i) ∂f∂y > 0 ∀(x , y , y ′) ∈ D

ii) ∃ constante M tal que | ∂f∂y ′ | ≤ M ∀(x , y , y ′) ∈ D

entonces el PVC tiene una solucion unica.

5 / 42

Existencia y unicidad de la solucion

Ejemplo:

Sea y ′′ = −e−xy − sin y ′ ,para 1 ≤ x ≤ 2y(1) = 0y(2) = 0

∂f∂y = x e−xy > 0 ∀x ∈ [1, 2]

∂f∂y ′ = − cos y ′

| ∂f∂y ′ | ≤ 1 ∀x ∈ [1, 2]

Verifica las condiciones del teorema anterior, entonces este PVCtiene una solucion unica.

6 / 42

PVC lineales

Si la funcion f (x , y , y ′) puede espresarse:

f (x , y , y ′) = p(x) y ′ + q(x) y + r(x)

la ecuacion diferencial y ′′ = f se dice lineal.

Corolario:Si el PVC

y ′′ = p(x) y ′ + q(x) y + r(x), para a ≤ x ≤ by(a) = αy(b) = β

satisface:

1) p, q, r son continuas en [a, b]2) q > 0 en [a, b]

entonces tiene solucion unica.

7 / 42

Metodos numericos para resolver PVC

Hay diferentes tecnicas numericas que permite obtener solucionesaproximadas a un PVC.

A continuacıon describiremos dos de ellas:

El metodo del disparoEl metodo de las diferencias finitas

Hay otros metodos que pueden enmarcarse en lo que se mencionaracomo Metodos de Residuos Ponderados (por ejemplo el Metodo delos Elementos Finitos) que no se estudiaran en detalle, en este curso.

8 / 42

Metodo del disparo

Sea el PVC y ′′ = f (x , y , y ′) ,para a ≤ x ≤ by(a) = αy(b) = β

Se puede resolver el PVI, construido a partir de aquel:y ′′ = f (x , y , y ′) ,para a ≤ x ≤ by(a) = αy ′(a) = z

donde se ha colocado una condicion inicial y ′(a) = z , en lugar de lasegunda condicion de contorno.

A la solucion de este PVI la designamos yz(x). Para que esta seasolucion del PVC deberıa verificar que yz(b) = β.

9 / 42

Metodo del disparo

Se evalua la diferencia entre yz(b) y β,

φ(z) = yz(b)− β

Se busca el valor de z tal que φ(z) = 0. La solucion yz(x) sera lasolucion del PVC buscada.

La ecuacion φ(z) = 0 es no lineal. Se puede resolver por alguno delos metodos estudiados (biseccion, secante, etc.)

Si se usa (por ej.) el metodo de la secante, suponiendo calculadoφ(z1) y φ(z2) para dos puntos z1 y z2

Se busca z3 que haga φ = 0:

z3 = z2 −φ(z2)

φ(z1)− φ(z2)(z1 − z2)

10 / 42

Metodo del disparo

11 / 42

Algoritmo del Metodo del disparo (+ M. Secante)

Para resolver: y ′′ = f (x , y , y ′) , para a ≤ x ≤ by(a) = αy(b) = β

Entrada: a, b, α, β,N,Tol ,KmaxSalida: yi , (i = 0, 1, 2 . . . )

1) h← (b − a)/N ; k ← 2 ; z ← (β − α)/(b − a) ; y0 ← α ; y ′0 ← z

2) Para i = 1, 2, . . .N resolver el PVI (con M. Euler, M. R-Kutta, etc.) con y ′0 = 0 ⇒ yN

3) φ← (yN − β) ; za ← z ; z ← (yN − α)/(b − a) ; ∆z ← z − za

4) Mientras k < Kmax hacer:

4.1) Para i = 1, 2, . . .N resolver el PVI (Euler,R-Kutta, etc.) con y ′0 = z ⇒ yN4.2) Si |yN − β| < Tol → SALIR

4.3) z ← za − (yN−β)∆z(φ−(yN−β)

; φ← yN − β ; ∆z ← z − za; za ← z

4.4) k ← k + 1, va a (4).

5) Mensaje de error.

12 / 42

Metodo del disparo para PVC Lineales

Sea el PVC y ′′ = py ′ + qy + r ,para a ≤ x ≤ by(a) = αy(b) = β

(1)

Supongase los 2 PVI:

(a)

y ′′ = py ′ + qy + r ,para a ≤ x ≤ by(a) = αy ′(a) = z1

(b)

y ′′ = py ′ + qy + r ,para a ≤ x ≤ by(a) = αy ′(a) = z2

cuyas soluciones son, respectivamente, y1(x) e y2(x).

13 / 42


Si escribimos una combinacion lineal de ambas:

y(x) = λ y1(x) + (1− λ) y2(x) (2)

se puede verificar que y(x) satisface la ecuacion diferencial y laprimera condicion de contorno del PVC (1).

Para hacer cumplir la segunda condicion hacemos:

y(b) = β

λ y1(b) + (1− λ) y2(b) = β

de alli:

λ =β − y2(b)

y1(b)− y2(b)

Con ese lambda, la funcion y(x), ec. (2) es la solucion de (1).

14 / 42


15 / 42


Para programarlo:

(a)

y ′′ = f (x , y , y ′) ,para a ≤ x ≤ by(a) = αy ′(a) = 0

⇒ y1

(b)

y ′′ = f (x , y , y ′) , para a ≤ x ≤ by(a) = αy ′(a) = 1

⇒ y2

Si llamamos: y0 = x ; y3 = y ′1; y4 = y ′2nos queda un PVI con un sistema de EDO:

y ′0 = 1 y0(a) = ay ′1 = y3 y1(a) = αy ′2 = y4 y2(a) = αy ′3 = f (y0, y1, y3) y3(a) = 0y ′4 = f (y0, y2, y4) y4(a) = 1

Luego se calcula λ y se usa la ec. (2)16 / 42

Metodo de diferencias finitas para PVC Lineales

Sea el PVC y ′′ = py ′ + qy + r ,para a ≤ x ≤ by(a) = αy(b) = β

Este problema puede resolverse por el Metodo de las DiferenciasFinitas. Este metodo sirve tambien para problemas no lineales, perose presentara aquı para un problema lineal por sencillez.

Se divide el intervalo [a, b] en N + 1 subintervalos igualmenteespaciados, con un paso: h = b−a

N+1 .Se define x0 = a; xn+1 = b, y N puntos o nodos interioresxi = x0 + i h.

De la ecuacion diferencial, en cada uno de los nodos

y ′′(xi ) = p(xi )y ′(xi ) + q(xi )y(xi ) + r(xi ) (1)

17 / 42


El Metodo de las Diferencias Finitas se basa en sustituir las derivadaspor formulas en diferencias.

Formula en diferencias finitas centradas para la derivada primera:

y ′(xi ) =1

2h[y(xi+1)− y(xi−1)] + O(h2)

Formula en diferencias finitas centradas para la derivada segunda:

y ′′(xi ) =1

h2[y(xi+1)− 2y(xi ) + y(xi−1)] + O(h2)

Ası se eliminan las derivadas y el problema se transforma en unsistema de ecuaciones algebraicas lineales (un sistema de Necuaciones con N incognitas).

18 / 42


Obtencion de formulas en diferenciasExpandiendo en serie de Taylor:

y(xi+1) = y(xi + h) = y(xi ) + h y ′(xi ) +h2

2y ′′(xi ) +

h3

3!y ′′′(xi ) +

h4

4!y (4)(ξ)

y(xi−1) = y(xi − h) = y(xi )− h y ′(xi ) +h2

2y ′′(xi )−

h3

3!y ′′′(xi ) +

h4

4!y (4)(ξ)

Sumando:

y(xi+1) + y(xi−1) = 2y(xi ) + h2y ′′(xi ) +h4

4!y (4)(ξ)

De alli la formula en diferencias finitas para derivada segunda:

y ′′(xi ) =1

h2[y(xi+1)− 2y(xi ) + y(xi−1)] + O(h2)

Analogamente, restando las dos expansiones arriba, se obtiene la formula en diferenciasfinitas para la derivada primera:

y ′(xi ) =1

2h[y(xi+1)− y(xi−1)] + O(h2)

19 / 42


Sustituyendo las formulas en diferencias en (1) (y llamandoyi = y(xi ), etc.):

1

h2(yi+1−2yi +yi−1) =

pi

2h(yi+1−yi−1)+qiyi + ri (i = 1, 2, . . .N)

que puede escribirse:

(−1−h

2pi ) yi−1+(2+h2qi ) yi+(−1+

h

2pi ) yi+1 = −h2 ri (i = 1, . . .N)

Esto es un sistema de ecuaciones algebraicas:

Ay = f

20 / 42


Siendo la matriz tridiagonal:

A =

2 + h2 q1 −1 + h2p1 0 0 . . . 0

−1− h2p2 2 + h2 q2 −1 + h

2p2 0 . . . 0

0 −1− h2p3 2 + h2 q3 −1 + h

2p3 . . . 0

. . .

0 . . . 0 −1− h2pN−1 2 + h2 qN−1 −1 + h

2pN−1

0 . . . 0 0 −1− h2pN 2 + h2 qN

y el vector de incognitas y terminos independientes:

y =

y1

y2

y3

. . .yN

f =

−h2 r1 + (1 + h

2p1) α

−h2 r2

−h2 r3

. . .

−h2 rN + (1 + h2pN) β

Las condiciones de contorno, que aparecen en la primera y ultimaecuacion han sido pasadas al miembro izquierdo.

21 / 42


Teorema:

Sean p, q y r continuas en [a, b]. Si q ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] entonces elsistema Ay = f indicado arriba tiene solucion unica, siempre que:

h <2

L

dondeL = max

x∈[a,b]|p(x)|

El Metodo de Diferencias Finitas suele ser preferido frente al Metododel Disparo, pues es mas estable.

Requiere resolver un sistema de N ecuaciones con N incognitas.

La matriz es facil de construir y es tridiagonal.

22 / 42

Metodo de los Residuos Ponderados

Sea el PVC: y ′′ = f (x , y , y ′) ,para a ≤ x ≤ by(a) = yay(b) = yb

El mismo puede escribirse:L y = p en ΩB y = q en Γ

donde L es un operador diferencial (lineal) aplicado a y ; del mismomodo B es un operador que da forma a las condiciones de contornoen el borde Γ del dominio Ω.

23 / 42


Se construye una aproximacion a la solucion buscada:

y(x) =n∑

i=0

ai φi (x)

donde las funciones φi (x) son conocidas, y los coeficientes ai sonincognitas.

Estos metodos difieren en como hallar los ai de modo de que laaproximacion y sea lo mas parecida posible a la solucion y .

La ecuacion diferencial puede escribirse:

L y(x) − p(x) = 0

Si se reemplaza por la aproximacion:

L y(x) − p(x) = r(x)

La funcion r(x) es el residuo de la ecuacion, y nos interesarıa quer(x) = 0

24 / 42


Los metodos de residuos ponderados buscan que el promedio del errorsea cero: ∫ b

ar(x) dx = 0

O mejor, un promedio ponderado:∫ b

ar(x) wj(x) dx = 0 j = 0, . . . n

Esto ultimo conduce a un sistema de n + 1 ecuaciones de dondepueden despejarse las n + 1 incognitas aj

Hay varias posibilidades para elegir las funciones de peso w(x) y cadauna da lugar a un metodo diferente

25 / 42


1) Metodo de colocacion por puntos:

wj(x) = δ(x − xj)

donde δ(x) es la funcion de Dirac (es cero en todo el eje excepto en xjdonde toma valor infinito, pero su integral es finita).Esta eleccion de w equivale a hacer:

r(xj) = 0 j = 0, 1, . . . n

o sea se anula el residuo en los n + 1 puntos xj .2) Metodo de los Momentos:

wj(x) = x j

Las ecuaciones son: ∫ b

ar(x) dx = 0∫ b

ar(x) x dx = 0∫ b

ar(x) x2 dx = 0

etc.26 / 42


3) Metodo de mınimos cuadrados:

wj(x) =∂r(x)

∂aj

y esto equivale a:∂

∂aj

∫ b

a[r(x)]2 dx = 0

Si L es lineal, esto lleva a una matriz simetrica, pero del mismo ordende diferenciacion que L.

3) Metodo de Galerkin:wj(x) = φj(x)∫ b

a[φj(x)(

n∑i=0

ai L φi (x)) − φj(x) p(x)] dx = 0 j = 0, 1 . . . n

en este caso la matriz resulta simetrica.

27 / 42


En la aproximacion y las funciones φj(x) deben cumplir lascondiciones de contorno.

Esto puede hacer mas dificil la construccion de y .

Otra forma es la de agregar al residuo las ecuaciones sobre elcontorno. En este caso las φj(x) no precisan cumplir las condicionesde contorno, sino que estas son aproximadas, al igual que la ecuaciondiferencial.

28 / 42

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Son ecuaciones en las que la funcion depende de varias variables

Hay ecuaciones de distintos ordenes de derivacion y de distintos tipos

Veremos ecuaciones Lineales.

Una ecuacion lineal de segundo orden, donde la funcion incognitadepende de 2 variables es:

a11∂2φ

∂x2+ 2a12

∂2φ

∂x∂y+ a22

∂2φ

∂y 2= F (x , y , φ, φx , φy )

donde φ = φ(x , y), φx = ∂φ∂x , etc.

Estas ecuaciones aparecen en numerosos problemas fısicos.

29 / 42


Se suelen clasificar en:

Elıpticas, si a212 − a11a22 < 0

Parabolicas, si a212 − a11a22 = 0

Hiperbolicas, si a212 − a11a22 > 0

Ejemplo de ecuacion elıptica: Conduccion del Calor (estacionario)

∆θ = f

donde θ = θ(x , y), ∆θ = ∇2θ = θxx + θyy

Ejemplo de ecuacion parabolica: Conduccion del Calor (transitorio)

∂θ

∂t= a2 ∂2θ

∂x2+ f (x , t)

donde θ = θ(x , t), a2 = kcρ siendo k la conductividad termica del

medio, c su calor especıfico, y ρ su densidad.

30 / 42


Ejemplo de ecuacion hiperbolica: Cuerda vibrante

∂2u

∂t2− a2 ∂2u

∂x2= 0

donde u = u(x , t), a =√

Tρ siendo T la tension en la cuerda, y ρ la

densidad del material.

31 / 42


Condiciones de Contorno

Necesarias para resolver el problema

La cantidad debe ser igual al orden de derivacion

Hay de distintos tipos:

Sobre las variables primales del problema:

φ|Γ = φ → Condiciones de Dirichlet

Sobre las derivadas de las variables primales del problema:

∂φ∂n

∣∣∣Γ

= q → Condiciones de Neumann

Una combinacion de las anteriores:

(a φ+ b ∂φ∂n )∣∣∣Γ

= g → Condiciones de Robin

32 / 42

Ecuaciones Elıpticas Lineales

Ejemplo: Conduccion del calor estacionaria.

Se desea encontrar la temperatura T (x , y) en un dominio cuadrado.

El problema esta gobernado por la ecuacion de Laplace:

∇2T = 0 en Ω

T (0, y) = T0

T (1, y) = 0T (x , 0) = 0 en ΓT (x , 1) = 0

33 / 42

Metodo de Diferencias Finitas

El problema continuo se reemplaza por uno discreto.

Se traza una grilla que define puntos nodales (n ×m nodos)

34 / 42

Metodo de diferencias finitas

Para aplicar diferencias finitas en un problema en una dimension, sedivide el dominio (un intervalos [a, b] ) en N + 1 subintervalosigualmente espaciados, con un paso: h = b−a

N+1 .

Se define x0 = a; xn+1 = b, y N puntos o nodos interioresxi = x0 + i h.

Se utiliza la notacion yi para referirse a la funcion y(x) evaluada en elpunto xi .

yi = y(xi )

yi+1 = y(xi+1) = y(xi + h)

etc.

35 / 42


Las derivadas se reemplazan por formulas en diferencias.

Por ejemplo, usando una formula de tres puntos, la derivada segundapuede escribirse:

y ′′i =yi−1 − 2yi + yi+1

h2

Pueden usarse formulas con mas puntos, que aproximan con menorerror la derivada segunda.

La obtencion de esta formula de 3 puntos se muestra a continuacion.

36 / 42


Obtencion de formulas en diferencias, para derivadas ordinarias.

Expandiendo en serie de Taylor:y(xi+1) = y(xi +h) = y(xi )+h y ′(xi )+ h2

2 y ′′(xi )+ h3

3! y ′′′(xi )+ h4

4! y (4)(ξ)

y(xi−1) = y(xi−h) = y(xi )−h y ′(xi )+ h2

2 y ′′(xi )− h3

3! y ′′′(xi )+ h4

4! y (4)(ξ)

Sumando:

y(xi+1) + y(xi−1) = 2y(xi ) + h2y ′′(xi ) +h4

4!y (4)(ξ)

De alli la formula en diferencias finitas para derivada segunda:

y ′′(xi ) =1

h2[y(xi+1)− 2y(xi ) + y(xi−1)] + O(h2)

Analogamente, restando las dos expansiones arriba, se obtiene laformula en diferencias finitas para la derivada primera:

y ′(xi ) =1

2h[y(xi+1)− y(xi−1)] + O(h2)

37 / 42


En el caso de funciones de 2 variables se procede de forma analoga.

Se designara Ti , j a la temperatura del nodo de la grilla de diferenciasfinitas, donde i y j son las numeraciones segun x e y de los nodos(ver figura anterior). El tamano de paso h es el mismo para losintervalos horizontales y verticales de la malla.

Ası las derivadas parciales pueden escribirse:

∂2T

∂x2

∣∣∣∣(i ,j)

=Ti−1,j − 2Ti ,j + Ti+1,j

h2

∂2T

∂y 2

∣∣∣∣(i ,j)

=Ti ,j−1 − 2Ti ,j + Ti ,j+1

h2

38 / 42


Solucion por el metodo de diferencias finitas

La ecuacion diferencial

∆T = ∇2T =∂2T

∂x2+∂2T

∂y 2= 0

Sustituyendo las derivadas por formulas en diferencias queda:

4Ti ,j−Ti ,j−1−Ti ,j+1−Ti−1,j−Ti+1,j = 0 para (i = 1, n) (j = 1,m)

Y las condiciones de contorno:T (0, j) = T0

T (n + 1, j) = 0

para (j = 1,m)

T (i , 0) = 0T (i ,m + 1) = 0

para (i = 1, n)

39 / 42


Queda ası un sistema de n ×m ecuaciones

AT = b

donde

A =

4 −1 0 . . . −1 . . . . . . 0 0−1 4 −1 0 . . . −1 . . . 0 00 −1 4 −1 . . . 0 −1 . . . 0. . .. . .0 . . . −1 0 . . . 0 −1 4 −10 . . . 0 −1 . . . 0 0 −1 4

El vector de incognitas tiene n ×m incognitas. En el caso delejemplo, corresponde a 16 nodos numerados de 1 a 16.

Los nodos designados con letras, en el dibujo, son los que tienenimpuestas las condiciones de contorno.

La matriz, en ese ejemplo, tiene 16× 16 elementos.

40 / 42


El vector de incognitas nodales, en este ejemplo tiene la temperaturas:

T =

T1,1

T2,1

T3,1

. . .T4,4

Y el de terminos independientes:

b =

−T0,1 − T1,0

−T2,0

−T3,0

. . .−T4,5 − T5,4

41 / 42


La solucion de ese sistema proporciona el vector T con los valoresnodales de la temperatura, que es la solucion discreta del problemaplanteado.

Esta solucion es aproximada, ya que la formula para las derivadasutilizada es una aproximacion a la derivada real.

El error de aproximacion puede disminuirse achicando el tamano delpaso h, con lo cual crece el tamano del sistema a resolver.

Puede demostrarse que el sistema de ecuaciones algebraicas puederesolverse y tiene solucion unica, siempre que el tamano de paso h estepor debajo de un valor crıtico dictado por condiciones de establilidad.

42 / 42

solución numérica de problemas de valores de contorno - en

Documents