IEB 3031

ECUACIONES DIFRENCIALES

2015/02

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Introducción

En las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma dydx

=f ( x , y ), se

pueden desarrollar varios procedimientos para llegar a soluciones explícitas e

implícitas, por lo que, ecuaciones de este tiempo pueden tener solución que

analíticamente no se pueden estableces.

Por eso para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales se hace de forma

numérica, dicha ecuación se utiliza para aproximar una solución desconocida.

En el siguiente escrito se describirán tres distintos métodos que describen una

solución numérica y aproximada a dicha ecuación diferencial.

Método de Euler

Dado el problema de valor inicial

En el método de Euler de n pasos queda definido por

Donde

Ejemplo:

Dado el PVI siguiente realice aplique este método con n=5

y’= f(x, y)

y’ = x − y + 1

A partir de la forma normal, identificamos f(x, y)

f(x, y) = x − y + 1.

Para n = 5, el tamaño de paso es

h = (0.5 − 0 5)/5 = 0.1

Entonces

x0 = 0

x1 = 0.1

x2 = 0.2

x3 = 0.3

x4 = 0.4

x5 = 0.5

El metodo de Euler es

y0 = 1

y¯j+1 = y¯j + 0.1 (xj − y¯j + 1), j = 0, 1,..., 4.

Entonces comenzamos las iteraciones

Fase 0

x0 = 0, y¯0 = y(x0)=1

Fase 1

x0 = 0

y¯0 = 1

y¯1 = ¯y0 + h (x0 − y¯0 + 1) = 1 + 0.1 (0 − 1 + 1) = 1

Fase 2

x1 = 0.1

y¯1 = 1

y¯2 = ¯y1 + h (x1 − y¯1 + 1) = 1 + 0.1 (0.1 − 1 + 1) = 1.01

Fase 3

x2 = 0.2

y¯2 = 1.01

y¯3 = 1.01 + 0.1 (0.2 − 1.01 + 1) = 1. 029

Fase 4

x3 = 0.3

y¯3 = 1.029

y¯4 = 1.029 + 0.1 (0.3 − 1.029 + 1) = 1. 0561

Fase 5

x4 = 0.4

y¯4 = 1.0561

y¯5 = 1.0561 + 0.1 (0.4 − 1.0561 + 1) = 1. 09049

La tabla resumida sería

Método de Euler Mejorado

Dado el problema de valor inicial

El métdo de Euler mejorado de n pasos queda definido por

Donde

Ejemplo:

Dado el PVI siguiente realice aplique este método con n=5

Tenemos

f(x, y) = x − y + 1

h = (0.5 − 0 5)/5 = 0.1

x0 = 0

x1 = 0.1

x2 = 0.2

x3 = 0.3

x4 = 0.4

x5 = 0.5

Iteraciones:

Fase 0

x0 = 0

y¯0 = y(x0)=1

Fase 1. Parte de los valores:

x0 = 0

x1 = 0.1

y¯0 = 1

Calculamos

k(0) 1 = f(x0, y¯0) = x0 − y¯0 +1=0 − 1+1=0

k(0) 2 = f ³ x1, y¯0 + hk(0) 1 ´ = f (0.1, 1+0.1 · 0) = f(0.1, 1) = 0. 1

y¯1 = ¯y0 + h 2 ³ k(0) 1 + k(0) 2 ´ =1+0.05 (0 + 0.1) = 1. 005

Fase 2. Valores:

x1 = 0.1

x2 = 0.2

y¯1 = 1.005

Calculamos

k(1) 1 = f(x1, y¯1) = f(0.1, 1.005) = 0.1 − 1.005 + 1 = 0.0 95

k(1) 2 = f ³ x2, y¯1 + hk(1) 1 ´ = f (0.2, 1.005 + 0.1 · 0.0 95) = f (0.2, 1. 0145) = 0.

1855

y¯2 = ¯y1 + h 2 ³ k(1) 1 + k(1) 2 ´ = 1.005 + 0.05 (0.095 + 0.1855) = 1. 01902 5

Fase 3. Valores:

x2 = 0.2

x3 = 0.3

y¯2 = 1. 01902 5

Calculamos

k(2) 1 = f(x2, y¯2) = f(0.2, 1. 01902 5) = 0.2 − 1. 01902 5 + 1 = 0. 18097 5

k(2) 2 = f ³ x3, y¯2 + hk(2) 1 ´ = f (0.3, 1. 01902 5 + 0.1 · 0. 18097 5) = f (0.3, 1.

03712 3) = 0.3 − 1. 03712 3 + 1 = 0. 26287 7

y¯3 = ¯y2 + h 2 ³ k(2) 1 + k(2) 2 ´ = 1. 01902 5 + 0.05 (0. 18097 5 + 0. 26287 7) =

1. 04121 8

Fase 4. Valores:

x3 = 0.3

x4 = 0.4

y¯3 = 1. 04121 8

Calculamos

k(3) 1 = f(x3, y¯3) = f(0.3, 1. 04121 8) = 0.3 − 1. 04121 8 + 1 = 0. 25878 2

k(3) 2 = f ³ x4, y¯3 + hk(3) 1 ´ = f (0.4, 1. 04121 8 + 0.1 · 0. 25878 2) = f (0.4, 1.

06709 6) = 0.4 − 1. 06709 6 + 1 = 0. 33290 4

y¯4 = ¯y3 + h 2 ³ k(3) 1 + k(3) 2 ´ = 1. 04121 8 + 0.05 (0. 25878 2 + 0. 33290 4) =

1. 07080 2

Fase 5. Valores:

x4 = 0.4

x5 = 0.5

y¯4 = 1. 07080 2

Calculamos

k(4) 1 = f(x4, y¯4) = f(0.4, 1. 07080 2) = 0. 32919 8

k(4) 2 = f ³ x5, y¯4 + hk(4) 1 ´ = f (0.5, 1. 07080 2 + 0.1 · 0. 32919 8) = f (0.5, 1.

10372 2) = 0. 39627 8

y¯5 = ¯y4 + h 2 ³ k(4) 1 + k(4) 2 ´ = 1. 07080 2 + 0.05 (0. 32919 8 + 0. 39627 8) =

1. 10707 6

Los resultados resumidos serían:

Método de Runge Kutta

Los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euler

yi+1 = yi + h f(ti, yi) en los que el valor de la función f se reemplaza por un

promedio ponderado de valores de f en el intervalo ti ≤ t ≤ ti+1, es decir:

Para el método de cuarto orden si m=4 se obtiene la siguiente fórmula para i

desde 0 hasta N-1

Ejemplo:

Con el método RK4, obtener una aproximación del valor de y(1,5) para el siguiente

problema de valor inicial, tomando un paso h = 0,1.

Como en este caso h está dado, se tiene que N = (1,5 - 1)/0,1 = 5.

Por lo tanto, los puntos en donde se va a determinar la solución, dados por la

fórmula ti = 1 + 0,1 i, para i =1,2,3,4,5, son:

t1 = 1,1

t2 = 1,2

t3 = 1,3

t4 = 1,4

t5 = 1,5

Una vez establecidos los valores, tenemos, para i = 0:

Entonces

y aplicando sucesivamente la fórmula de RK4, para i desde 1 hasta 4, se obtienen

los datos que se resumen la tabla siguientes donde también se muestra el valor de

la solución exacta para cada punto.

Ejercicio 1

Adjunto en la imagen1.

CONCLUSIÓN:

En los métodos que acabamos de revisar aunque tiene un desglose bastante

extenso y se basa en muchos conceptos que a veces no son tan fáciles de

entender su aplicación al ser bastante aritmética todo se reduce a resolver una

operación lo cual facilita mucho la resolución de este tipo de ecuaciones

diferenciales, sin embargo, tenemos que saber de donde viene todo este análisis

para lograr una comprensión optima del método y de la resolución del PVI.