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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

ANALISIS SÍSMICO DE TANQUES RECTANGULARES ELEVADOS

Hugo Hernández Barrios2

RESUMEN Se deducen las ecuaciones de movimiento de un tanque elevado con forma rectangular, considerando la interacción de la fuerza cortante inducida por el movimiento del líquido sobre las paredes. Las ecuaciones de movimiento se integran numéricamente con los movimientos sísmicos presentados en el Valle de México durante el sismo de 1985 y en Caleta de Campos. Los resultados se comparan con los obtenidos con el modelo de masas-resorte y con los obtenidos considerando que el movimiento no produce oleaje. Los resultados se expresan en términos de altura de ola, fuerza cortante y momentos de volteo en la base.

ABSTRACT The equations of motion of an elevated rectangular tank are derived considering the interaction of shear force produced by the motion of the liquid against the tank walls. The tank response is computed numerically using ground motion records from stations in the valley of Mexico and Caleta de Campos for the September 19, 1985 earthquake. Wave height on the liquid free surface, shear forces, and overturning moments are computed. Results are compared with those obtained with mass-spring models and with single degree of freedom models which do not account for sloshing.

INTRODUCCIÓN Los tanques para almacenar líquidos o procesar su contenido, como ocurre en sistemas de almacenamiento y regulación de agua potable o en plantas industriales, pueden estar apoyados directamente sobre el terreno o apoyados sobre una plataforma en cuyo caso son conocidos como tanques elevados. Los tanques elevados pueden ser rectangulares o esféricos y según el material de que están hechos pueden ser de acero estructural o de concreto reforzado (Fig. 1). En zonas metropolitanas los tanques de almacenamiento de agua potable son vitales para el sistema de abastecimiento y dosificación y la falla de estas estructuras durante un evento sísmico produciría, en una zona determinada, un desabasto y pérdida del líquido y además pondría en riesgo la vida de un gran número de personas, posteriormente al evento.

(a) Tipo esférico industrial (b) Tanque de concreto (c) Tipo “bola” Fig. 1 Diversos tipos de tanques elevados

En la literatura se encuentran registradas algunas fallas de tanques elevados, como las que sucedieron durante el sismo de Valle Imperial, California, en 1979 (http://nisee.berkeley.edu), y la producida en un tanque cónico ubicado en Fredericton, Canadá en 1990 (El Damatty, Korol y Mirza, 1997). 1 Profesor Investigador Tiempo Completo, Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Michoacana de San

Nicolás de Hidalgo, Morelia, Michoacán. Ciudad Universitaria, cp 58000, Teléfono (443)3 22 35 00 ext. 4341, [email protected]

XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006

2

Fig.2 Fallas en tanques elevados ocurridas durante eventos sísmicos En México (Fig. 3) sólo existe referida la falla de un tanque elevado, aclarándose que se trata de un problema de pérdida de capacidad de carga del terreno (Zeevaert, 1973) debido a que ocurrió un sismo.

Fig.3 Falla en un tanque elevado debido a la pérdida de capacidad de carga del terreno En la práctica profesional los tanques elevados de almacenamiento de agua potable normalmente son de 200, 250, 300 y hasta de 1000m3 de almacenamiento. Aunque, existen recomendaciones prácticas para obtener los elementos mecánicos de diseño sísmico en tanques elevados (MDOC, 1993; NTC, 2004), en la práctica profesional, los tanques elevados son calculados utilizando algún programa de cómputo, debido principalmente a que se deben diseñar los elementos de apoyo que forman y sustentan la plataforma (Fig. 4).

3


H

2h

A

tW m g=cWVQ

=

zM

Fig.4 Modelo utilizado convencionalmente en la práctica profesional

Los programas usados con mayor frecuencia no permiten modelar la interacción del fluido con la estructura, y los que sí son capaces de resolver este problema, son poco utilizados por su relativo alto costo y porque demandan un mayor conocimiento en la modelación y teoría de Método de Elemento Finito. Por lo tanto, dicha interacción se desprecia y se supone que se obtienen resultados confiables y del lado de la seguridad al colocar una masa concentrada, en un nodo ubicado en el centro de gravedad del recipiente y fija a las paredes del mismo, con valor equivalente a la masa total del líquido. El recipiente, normalmente se diseña por carga hidrostática y no se toman en cuenta los efectos hidrodinámicos en el cálculo de los espesores del mismo. Mediante este criterio se desprecia además la altura de ola que puede generar derrames del líquido debido al movimiento sísmico. En este trabajo se deducen las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de un recipiente rectangular con paredes rígidas, que contiene un líquido no viscoso, irrotacional e incompresible, sometido a un movimiento sísmico en su base en las direcciones horizontal y vertical. Los resultados se expresan en términos de altura de ola, presiones hidrodinámicas, fuerza cortante horizontal neta, fuerza vertical neta en el fondo del tanque y momentos de volteo con respecto a un punto sobre el fondo. Además, se deducen las ecuaciones de movimiento de un tanque elevado considerando el efecto líquido-recipiente. Se resuelven las ecuaciones de movimiento y se analiza la respuesta en el dominio del tiempo utilizando registros del sismo del 19 de septiembre de 1985 obtenidos en la Ciudad de México y en Caleta de Campos. Los resultados se comparan con los obtenidos considerando el tanque elevado como un sistema de un grado de libertad (Fig. 4) y el equivalente masa-resorte propuesto por Housner (1957) y que recomiendan el Manual de Diseño de Obras Civiles (MDOC, 1993) y las Normas Técnicas Complementarias para el Diseño y Ejecución de obras e Instalaciones Hidráulicas (NTC, 2004).

ECUACIONES DE FRONTERA PARA UN RECIPIENTE RECTANGULAR Considérese un recipiente rectangular con pares rígidas y que contiene un líquido no viscoso, irrotacional e incompresible, sometido a un movimiento sísmico en su base en las direcciones horizontal y vertical (Fig. 5). El Tanque tiene dimensiones: largo, a , ancho, b , y altura del líquido, h . Las fronteras del recipiente se

encuentran en 2ax = ± , en el fondo, y h= − , y en la superficie libre del líquido, 0y = . La altura de ola se

cuantifica a partir de la superficie libre, ( )x,tη .


4

( )Y t

( )X t

-150

-100

-50

0

50

100

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

( )x,tη

h

2a

2a

Ω

y

x

z

Fig. 5 Recipiente rectangular con pares rígidas Si el movimiento del líquido se supone bidimensional la superficie libre del líquido se encuentra en:

( )y x, yη= (1) Despreciando los efectos por tensión, la velocidad de una partícula de líquido, relativa a las paredes del tanque, se puede representar por un gradiente de velocidad potencial, ( )x, y,tΦ , tal que:

U Φ= ∇ (2) La condición cinemática de continuidad, es:

D UDtρ ρ= − ∇ (3)

Si el fluido es incompresible,

0DDtρ= (4)

En (3) ρ es la densidad del líquido. Entonces la condición cinemática (2) se puede escribir: 2 0Φ∇ = en Ω (5)

La ecuación 5 es la ecuación de Laplace, válida en todo el dominio, y que se puede escribir como: 2 2

2 2 0x yΦ Φ∂ ∂

+ =∂ ∂

en Ω (6)

Las condiciones cinemáticas en las fronteras rígida del tanque son: (a) para toda partícula de líquido sobre las paredes:

( ) 0u x, yxΦ∂

= =∂

en 2ax = ± (7)

(b) para cualquier partícula de líquido en el fondo del tanque:

( ) 0v x, yyΦ∂

= =∂

en y h= − (8)

Donde ( )u x, y,t y ( )v x, y,t son las componentes en x , y y de la velocidad relativa del líquido con respecto

a las paredes en un punto ( )x, y en el instante t . Se puede demostrar (Hernández, 2003) que la ecuación cinemática en la superficie libre del líquido, despreciando los términos de orden superior, se puede escribir como:

0t yη Φ∂ ∂− =

∂ ∂ en 0y = (9)

ó bien:

5


0yy tΦ η

=

∂ ∂=

∂ ∂ (10)

Parra determinar la función potencial de velocidad, ésta se puede escribir por medio de separación de variables.

( ) ( ) ( ) ( )n n nx, y,t A t x yΦ ψ ζ= (11)

Donde ( )nA t , ( )n xψ y ( )n yζ ( )1 2 3n , , ,...= son funciones continuas que se determinarán más adelante. Sustituyendo la ecuación 11 en 6,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

22 2 0n n

n n nx y

A t y xx y

ψ ζΦ ζ ψ

∂ ∂ ∇ = + = ∂ ∂

(12)

Sustituyendo la ecuación 11 en la condición 7,

( ) ( ) ( )2 2

0nn na ax x

xA t y

x xψΦ ζ

=± =±

∂∂= =

∂ ∂ (13)

Sustituyendo la ecuación 11 en la condición 8,

( ) ( ) ( )0n

n ny h y h

yA t x

y yζΦ ψ

=− =−

∂∂= =

∂ ∂ (14)

Por tanto, en las fronteras del problema se debe cumplir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2 0n nn n n

x yA t y x

x y

ψ ζζ ψ

∂ ∂ + = ∂ ∂

(15)

( ) ( ) ( )2

0nn nax

xA t y

xψ

ζ=±

∂=

∂ (16)

( ) ( ) ( )0n

n ny h

yA t x

yζ

ψ=−

∂=

∂ (17)

SOLUCIÓN EN VIBRACIÓN LIBRE En vibración libre la ecuación 15 es:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2 0n nn n

x yy x

x y

ψ ζζ ψ

∂ ∂ + = ∂ ∂

(18)

Por el método de separación de variables: ( )

( )

( )

( )

2 2

2 2 2

n n

nn n

y xy x my x

ζ ψ

ζ ψ

∂ ∂∂ ∂= − = (19)

Donde 2m es la constante de separación. En el caso del oleaje para que exista significado físico, m , se tomará como real de manera que 2m será siempre positivo. De 22 las ecuaciones diferenciales son:

( ) ( )2

22 0n

n ny

m yy

ζζ

∂− =

∂ (20)

( ) ( )2

22 0n

n nx

m xx

ψψ

∂+ =

∂ (21)

La solución de la ecuación (20) es de la forma: ( ) 1 1n nm y m y

n y B e B eζ −= + (22) La solución de la ecuación 21 es de la forma:


6

( ) ( ) ( )1 2cos senn n nx A m x A m xψ = + (23) Sustituyendo las ecuaciones 22 y 23 en la ecuación 11,

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2cos sen n nm y m yn n nx, y,t A t A m x A m x B e B eΦ − = + + (24)

De la condición en el fondo del tanque:

( ) ( ) ( )1 2 1 2cos sen 0n nm h m hn n n n

y hA t A m x A m x m B e B e

yΦ − +

=−

∂ = + − = ∂ (25)

Que se debe cumplir para todo valor de x en el fondo del tanque y para todo valor de t , por lo que:

1 2 0n nm h m hB e B e− + − = (26)

De donde: 2

1 2nm hB B e+= (27)

Por lo que sustituyendo la ecuación 27 en 24,

( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 2cos sen n n nm h m y m h

n n nx, y,t A t A m x A m x e e e BΦ − = + + (28)

Como el término:

( )2 2 coshn n n nm h m y m h m hne e e e m y h− + = + (29)

Por lo tanto la ecuación (28) se puede expresar como: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 22 cos sen coshnm h n n n nx, y,t B e A t A m x A m x m y hΦ = + + (30)

De la condición cinemática en la frontera libre,

( ) ( ) ( ) [ ]2 1 20

2 cos sen senhnm h n n n n ny

B e A t A m x A m x m m hyΦ

=

∂ = + ∂

(31)

La altura de ola ( )x, yη se obtiene de la ecuación 10, tal que:

( )0 0

t

yx,t dt

yΦη

=

∂= ∂ ∫ (32)

Entonces:

( ) ( ) ( ) [ ] ( )2 1 20

2 cos sen senhnt

m hn n n n nx, y B e m A m x A m x m h A tη = + ∫ (33)

Llamando a nD , la constante en la que se presenta la altura de ola máxima,

[ ]22 senhnm hn n nD B e m m h= (34) Despejando,

[ ]22senh

nm h n

n n

DB e

m m h= (35)

Sustituyendo 35 en la ecuación 30,

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]1 2

coshcos sen

senhn

n n nn n

m y hx, y,t C t A m x A m x

m m hΦ

+ = + (36)

donde ( ) ( )n n nC t D A t= . Sustituyendo en la condición cinemática en las paredes del tanque:

( )( )[ ]2 1

2

coshcos sen 0

2 2 senhn

n n n na n nx

m y ha aC t m A m A mx m m hΦ

=±

+ ∂ = ± = ∂ (37)

La ecuación 37 se debe cumplir para cualquier t y para todo valor de y . Por lo que,

1 2sen cos2 2n na aA m A m = ±

(38)

7


Si 2 0A ≠ y 1 0A = , entonces:

cos 02nam =

(39)

que se satisface para: 3 5

2 2 2 2nam , , ,....π π π= (40)

ó bien, ( )2 1

nn

ma

π−

= para 1 2 3n , , ...= (41)

Así, la función de potencial de velocidad se puede escribir:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

1

2 1cosh

sen 2 12 1

senh 2 1n

n

ny h

a xx, y,t C t nan hn

a a

π

Φ ππ

π

∞

=

− +

= − − −

∑ (42)

Como en la ecuación 11 se planteó: ( ) ( ) ( ) ( )n n nx, y,t A t x yΦ ψ ζ= (43)

De la ecuación 42, se deduce:

( ) ( )n x =sen 2 1 xna

ψ π − (44)

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 1cosh

2 1 senh 2 1n

ny h

aayhn na

π

ζπ π

− + =

− −

(45)

Evaluando la ecuación cinemática en la superficie libre del líquido, ecuación 10,

( ) ( ) ( )10 0

nn n

ny y

yC t x

y y tζΦ ηψ

∞

== =

∂∂ ∂= =∑

∂ ∂ ∂ (46)

Como el término, ( )

01n

y

yy

ζ

=

∂=

∂ (47)

( ) ( )10

n nnyC t x

y tΦ ηψ

∞

==

∂ ∂= =∑

∂ ∂ (48)

Por tanto la altura de ola se obtiene integrando la ecuación (48),

( ) ( ) ( )0

t

n nx,t t C t dtη ψ= ∫ (49)

Realizando el siguiente cambio de variable:

( ) ( )0

t

n nq t C t dt= ∫ (50)

( ) ( ) ( ) ( )0

tn

n n ndq t dq t C t dt C tdt dt

= = =

∫& (51)

Según la ecuación 44 y la 51, la altura de ola se puede calcular con:

( ) ( ) ( )nn=1

= q sen 2 1 xx,t t na

η π∞ − ∑ (52)

donde ( )nq t para ( )1 2 3n , , ,...= son las coordenadas generalizadas.


8

Sustituyendo la relación 51 en la 42, la función de potencial de velocidad se puede escribir:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

1

2 1cosh

sen 2 12 1

senh 2 1n

n

ny h

a xx, y,t q t nan hn

a a

π

Φ ππ

π

∞

=

− +

= − − −

∑ & (53)

CONDICIÓN DINÁMICA EN LA SUPERFICIE LIBRE DEL LÍQUIDO La condición dinámica válida para cualquier punto ( )x, y dentro del dominio del tanque es:

( )1u u u Pu v X tt x y xρ

∂ ∂ ∂ ∂+ + = − −

∂ ∂ ∂ ∂&& (54)

( )u v v Pu v g Y tt x y y

∂ ∂ ∂ ∂+ + = − − −

∂ ∂ ∂ ∂&& (55)

Donde P es la presión, g la aceleración de la gravedad y ( )X t&& , ( )Y t&& son las componentes de la aceleración absoluta en la base del tanque, en las direcciones horizontal y vertical, respectivamente. Definiendo el operador derivada sustancial como:

D u vDt t x y

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

(56)

Las ecuaciones 54 y 55 se pueden expresar como:

( ) [ ]1ˆDU ˆ ˆP a t r gyDt ρ

= − ∇ −∇ ⋅ −∇ (57)

Donde el vector de velocidad relativa del líquido es i jU u v= + ; el vector de posición de una partícula de

líquido dentro del dominio: i jr x y= + ; el operador nabla es: x y

∂ ∂∇ = + ∂ ∂

. El vector de aceleraciones

absolutas en la base del tanque es: ( ) ( ) ( )i ja t X t Y t= +&& && (58)

Como las velocidades relativas del líquido, la dirección horizontal y vertical, respectivamente, están definidas por:

uxΦ∂

=∂

(59)

vyΦ∂

=∂

(60)

Despreciando los términos de orden superior la ecuación 57, se puede escribir como:

( ) [ ]1 ˆ ˆP a t r gytΦ

ρ∂ ∇ = − ∇ −∇ ⋅ −∇ ∂

(61)

Integrando la ecuación anterior, se obtiene la ecuación de Bernoulli, válida en todo el dominio del líquido:

( )1 ˆ ˆP a t r gytΦ

ρ∂

= − − ⋅ −∂

(62)

De la ecuación (62), se calcula la presión en cualquier punto del dominio, con:

( ) ( ) ( ) [ ]P x, y,t X t x Y t y gytΦρ ρ ρ∂ = − − + − ∂

&& && (63)

En la superficie libre del líquido, ( )y x,tη= , la presión puede considerase constante o cero, de manera que: 0P∇ = , por lo que la condición dinámica en la superficie libre del líquido es:

( ) ( ) 0g X t x Y t ytΦ η∂

+ + + =∂

&& && (64)

9


En vibración libre, la ecuación dinámica en la superficie libre es:

0gtΦ η∂

+ =∂

(65)

Y la altura de ola del líquido se obtiene despejándose de 65,

( ) 1x,tg t

Φη ∂ = − ∂ (66)

FRECUENCIAS DE VIBRAR DE LA SUPERFICIE LIBRE DEL LÍQUIDO De la condición cinemática en la superficie libre del líquido, ecuación 10,

0yy tΦ η

=

∂ ∂=

∂ ∂ (67)

Y de la condición dinámica, 66, integrándola con respecto a t , 2

20

1

yt g tη Φ

=

∂ ∂= −

∂ ∂ (68)

Igualando las ecuaciones 67 y 68, 2

20 0

1 0y y

y g tΦ Φ

= =

∂ ∂+ = ∂ ∂

(69)

Considerando una función del tipo senoidal para las coordinas generalizadas, en la función de potencial de velocidad, ecuación 53, y sustituyendo en las derivadas de la ecuación 69, se tiene:

( ) ( )2 2 1tanh 2 1n

n hg na a

πω π

− = − (70)

De donde se pueden calcular las 1 2 3n , , ,...= frecuencias de vibrar, nω , del la superficie libre del líquido. SOLUCIÓN EN VIBRACIÓN FORZADA EN DIRECCIÓN HORIZONTAL De la condición dinámica en la superficie libre del líquido, 64, despejando la altura de ola, y derivándola con respecto a t

( )2

21 1 d X t x

t g g dttη Φ ∂ ∂ = − − ∂ ∂

&& (71)

Igualándola con la condición cinemática en la superficie libre del líquido, 0y = , ecuación 68:

( )2

2dg X t x

y dttΦ Φ ∂ ∂ + = − ∂ ∂

&& (72)

Sustituyendo las ecuaciones 43, 44 y 45; y evaluado las derivadas respectivas se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1

1 sen 2 10n n n

n n

x dC t C t n X t xa dt y

ω πζ

∞

=

+ − = − = ∑ && && (73)

Que mediante el siguiente cambio de variable, 50 y 51, se puede escribir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1

1 sen 2 10n n n

n n

xq t q t n xX ta y

ω πζ

∞

=

+ − = − = ∑ &&&& (74)

Haciendo uso de las propiedades de ortogonalidad de la función seno, los coeficientes de la serie de la ecuación 74, se pueden expresar como:

( ) ( ) ( )2 n n n n n o nm q t m q t m X tω γ+ = &&&& (75) Donde la masa total del líquido contenido en el tanque de dimensiones: largo, a , ancho, b , y profundidad , h , es:

om abhρ= (76)


10

( ) ( )

2

2 2 1 tanh 2 1n

a bmhn na

ρ

π π=

− −

(77)

( )

( ) 2

2 12 sen

2

2 1n

nahn

π

γπ

− −

= − (78)

La ecuación 75 representa la ecuación de movimiento de la superficie libre del líquido; la coordenada generalizada, ( )q t , representa el desplazamiento del la superficie libre del líquido con respecto a las paredes rígidas, de tal manera que la altura de ola en cualquier punto del tanque se calcula con:

( ) ( ) ( )nn=1

= q sen 2 1 xx,t t na

η π∞ − ∑ (79)

Siendo máxima en las paredes del tanque, 2ax = ± . El término del lado derecho de la ecuación 75, indica que

un porcentaje, nγ , de la masa total del líquido, om , se mueve con aceleración absoluta, ( )X t&& . PRESIÓN SOBRE LAS PAREDES DEL TANQUE La distribución de presiones hidráulicas en las paredes del tanque se obtiene de sustituir la ecuación 53 en la

63, evaluada en 2ax = ± ,

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )1

cosh 2 1 2 1sen

2 2 2 1 2senh 2 1n

n

y hn na a a aP , y,t X t Y t y gy q thn na

π πρ ρ ρ ρ

π π

∞

=

+ − − + = − − − − − −

∑&& && &&

(80)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )1

cosh 2 1 2 1sen

2 2 2 1 2senh 2 1n

n

y hn na a a aP , y,t X t Y t y gy q thn na

π πρ ρ ρ ρ

π π

∞

=

+ − − − = + − − + − −

∑&& && &&

(81) En las ecuaciones 80 y 81 se puede ver que la existencia de la componente vertical de la aceleración absoluta en la base del tanque, ( )Y t&& , puede incrementar considerablemente las presiones hidrodinámicas. En ambas ecuaciones el término gyρ representa la presión hidrostática del líquido sobre las paredes. Las fuerzas horizontales debidas a las presiones sobre la pared derecha se calculan con:

0

2 2aH x

h

aF b P , y,t dy=+−

= +

∫ (82)

Y en la pared izquierda: 0

2 2aH x

h

aF b P , y,t dy=−−

= − −

∫ (83)

La fuerza cortante horizontal neta efectiva producida por el movimiento del líquido es:

2 2a aH H Hx xF F F=+ =−= + (84)

Al realizar operaciones tenemos:

( ) ( )1

H o o n nn

F m X t m q tγ∞

== − + ∑&& && (85)

11


El primer término de 85, representa la fuerza inercial de la masa del líquido contenida en el tanque, y el segundo la fuerza inducida por el movimiento sísmico en el líquido a un porcentaje de la masa total, nγ , y que está relacionada con la aceleración relativa del liquido, ( )nq t&& . La fuerza vertical neta efectiva en el fondo del tanque se calcula con:

( )2

2

a

Va

F b P x, h,t dx−

= −∫ (86)

ó bien: ( )V o oF m g m Y t= + && (87)

El primer término de 87 representa el peso del líquido contenido en el tanque y el segundo término la contribución de la componente vertical de la aceleración del terreno en la fuerza neta vertical. El momento de volteo con respecto al punto donde se ubica el origen del sistema coordenado de referencia (Fig. 6), se calcula con:

( ) ( )0 02

2

2 2

a

ah h

a aM t b P , y,t y dy b P x, h,t x dx b P , y,t y dy+

− −−

= + + + − − −

∫ ∫ ∫ (88)

y

( )zM tx

h−

0

2a

−2a

+0

yy

x

Fig. 6 Convención del momento de volteo del tanque Es posible determinar la posición de las fuerzas horizontales que generan el momento de volteo estáticamente equivalente, pero referido a la base del tanque, considerando las presiones en el fondo del tanque, según se observa en la Figura 7. En la Figura 7, las distancias son:

( ) ( )1

1

2 1 senh 2 1d a

hn na

π π

=

− −

(89)

2

2 12adh

=

(90)

3 2hd = (91)

( )

( )

( )4

cosh 2 1 1

2 1 senh 2 1

hnaadhn na

π

π π

− − = − −

(92)


12

y

( )zM tx

( )1

o n nnm q tγ

∞

=∑

( )om X t

1d 2d

3d4d

Fig. 7 Posición de las fuerzas que generan el momento de volteo con respecto a la base Para el caso de un tanque elevado basta aumentar a estas distancias las de los apoyos al centro de la base del tanque, según se observa en la Figura 8.

H

A1d 2d

3d4d

zM

Lc

( )1

o n nnm q tγ

∞

=∑

( )om X t

Fig. 8 Momento de Volteo con respecto a la base del tanque elevado

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE UN TANQUE ELEVADO Con respecto a la Figura 9, la ecuación de movimiento de un tanque elevado considerando la fuerza de neta horizontal es:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )o e e em m X t C Z t K Z t F t+ + + =&& & (93) Donde om es la masa del líquido contenido en el tanque, em es la masa de la plataforma más la masa del recipiente vacío, eK la rigidez lateral de la plataforma incluyendo el recipiente vacío, y

2 e s e eC mξ ω= (94)

2 ee

e

Km

ω = (95)

13


( ) ( )1

o n nn

F t m q tγ∞

== ∑ && (96)

( ) ( ) ( )gX t U t Z t= +&& && && (97)

donde ( )gU t&& es la aceleración del terreno y ( )Z t&& es la aceleración relativa del la base del recipiente con respecto al terreno. Considerando la participación de 3n = masas, la ecuación 93, se puede escribir:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )1 1 2 2 3 3o e e e o o o o e gm m Z t C Z t K Z t m q t m q t m q t m m U tγ γ γ+ + + − − − = − +&& & &&&& && && (98)

x

y

eK

eC

( )gU t ( )Z t

( )X t

Y

X

( )nq t

( ) ( )1

o n nn

F t m q tγ∞

== ∑

em

om

terreno

Fig. 9 Modelo analítico del un tanque elevado rectangular De la ecuación 75, considerando amortiguamiento viscoso,

( ) ( ) ( ) ( )22 on n n n n n n

n

mq t q t q t X t

mξ ω ω γ+ + = &&&& & (99)

Considerando que: ( ) ( ) ( )gX t U t Z t= +&& && && , se puede escribir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 Z o on n n n n n n n

n n

m mq t q t q t t U t

m mξ ω ω γ γ+ + − =&& &&&& & (100)

con 1 2 3n , y= . Matricialmente la ecuación 98 y la 76 para 1 2 3n , y= , se pueden escribir:

[ ] ( )

( )

( )

( )

1 2 3

1 11

2 22

3 33

1 0 0

0 1 0

0 0 1

o e o o o

o

o

o

Z tm m m m m

mq tm

mq tm

mq t

m

γ γ γ

γ

γ

γ

+ − − − − + − −

&&

&&

&&

&&

( )( )( )( )

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2

eC Z tq tq tq t

ξ ωξ ω

ξ ω

+

&

&&&


14

( )( )( )( )

21 1

222

2 33

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

eK Z tq tq tq t

ω

ω

ω

=

[ ]

( )

11

22

33

o e

o

go

o

m m

mm

U tmm

mm

γ

γ

γ

− +

&& (101)

Este sistema de ecuaciones se puede integrar paso a paso por cualquiera de los métodos existentes. En este trabajo se utilizó el Método de Theta de Wilson. MODELO DE MASAS CONCENTRADAS Los primeros intentos de considerar el efecto dinámico del fluido sobre un contenedor fueron propuestos por Graham y Rodríguez (Hutton, 1963) y se aplicaron principalmente a problemas de tanques de aeronaves. Graham y Rodríguez supusieron que las presiones dinámicas del líquido sobre las paredes del tanque pueden separarse en dos: una convectiva y otra impulsiva. Las presiones impulsivas están asociadas con las fuerzas de inercia producidas por movimientos impulsivos de las paredes del tanque y son directamente proporcionales a la aceleración de las paredes del mismo. Las presiones convectivas son producidas por la oscilación del fluido en la superficie libre. Retomando la propuesta de los autores anteriores, Housner (1957) propuso algunas expresiones un poco más sencillas cuyos resultados comparados con las expresiones de Graham y Rodríguez, presentan un error del 2.5% (Housner, 1957). Las expresiones propuestas por Housner y su analogía de masas-resortes para considerar el comportamiento de un líquido dentro de un contenedor fueron deducidas para tanques apoyados sobre el terreno, con paredes rígidas que contienen un líquido ideal y con condiciones cinemáticas linealizadas. Este modelo considera la existencia de dos masas: una impulsiva fija a las paredes del tanque, om , y otra convectiva que representa el movimiento del líquido dentro del recipiente y que considera únicamente el primer modo de vibrar de la superficie del líquido, 1m . Las Normas Técnicas Complementarias para el Diseño y Ejecución de obras e Instalaciones Hidráulicas (NTC, 2004) y el Manual de Diseño de Obras Civiles (MDOC, 1993) sugieren para el diseño sísmico de tanques elevados este mismo modelo. Para efecto de comparación de los resultados obtenidos con las ecuaciones de un oscilador de dos grados de libertad y los obtenidos con las ecuaciones 101, se puede agregar amortiguamiento equivalente del tipo viscoso a cada una de las masas, de manera que según la Figura 10, el sistema de ecuaciones resultante es:

1m

om

em

1K 1C

liquidoU

1H

oH

H

Fig. 10 Modelo equivalente masa-resorte propuesto por GW Housner

15


1 1 1 1

1 1 1 1 1 11 1

00

o e e e ee em m C C C K K K UU Um C C K K UU U

+ + − + − + + = − −

&& &&& &

1

00

o eg

m mU

m+

−

&& (102)

Para calcular el desplazamiento de la masa 1m que está asociado a la altura de ola del líquido, relativo a las paredes del tanque, se debe utilizar:

1liquido eU U U= − (103) Y para el tanque elevado de la Figura 10, la fuerza cortante en la base del tanque se calcula con:

( ) 1 1H e e g o e g gV t m U U m U U m U U = − + − + − + && && && && && && (104)

El Momento de volteo con respecto a la base del tanque: ( ) [ ] [ ]1 1 1H e e g o o e g gM t m H U U m H H U U m H H U U = − + − + + − + +

&& && && && && && (105)

En las expresiones anteriores (MDOC, 1993), la masa impulsiva adherida a las paredes del tanque es:

tanh 1 7

1 7o

L.Hm m

L.H

= (106)

La masa convectiva asociada al primer modo de vibrar del líquido,

1

0 83tanh 1 6

1 6

H. .Lm

H.L

= (107)

Asociada a la rigidez equivalente: 21

1 23gm

K HmL

= (108)

Las masas están ubicadas a una altura de la base del tanque:

0 38 1 1oo

mH . Hm

α

= + −

(109)

12 22

11 1

1 0 33 0 63 0 28 1m L L LmH H . . .m H H Hm

β

= − + −

(110)

Donde se debe tomar 1 33.α = y 2β = a fin de incluir el momento de volteo en la base del recipiente. EJEMPLO DE APLICACIÓN Consideremos un tanque elevado rectangular de concreto reforzado con dimensiones: 400 a cm= ,

400 b cm= y 300 h cm= . El recipiente contiene agua con densidad, 91 01937 10. xρ −= ts2/cm4. El periodo fundamental de la plataforma y recipiente vacío es de 0 36T . s= , y con rigidez lateral, 3 7248eK .= t/cm. Se considera un porcentaje de amortiguamiento con respecto al crítico de 5%ξ = , para la plataforma y recipiente vacío, y de 0 5. %ξ = para el líquido contenido en el tanque. Se incluyen en el análisis el valor de

1 2 3n , y= . El tanque se sometió a las componentes de aceleración EW y NS registradas durante el sismo del 19 de septiembre de 1985 en las estaciones de Ciudad Universitaria (CU), Viveros (VIV), Secretaría de comunicaciones y Transportes (SCT), Central de Abasto (CA), Tacubaya (TACY) y Caleta de Campos (CALE), este último en también en la componente vertical. En el análisis se utilizan las ecuaciones que consideran interacción recipiente-líquido (ILR), ecuaciones 101; las ecuaciones obtenidas con el modelo


16

masa-resorte equivalente (MRE), ecuaciones 102, y el modelo utilizado convencionalmente en la práctica profesional de un grado de libertad (SUGDL).

Tabla 1 Desplazamientos máximos obtenidos con los tres métodos descritos

Altura de ola máxima (cm) Movimiento ILR MRE %∆ SUGDL CAEW 21.53 19.08 11 ---- CANS 19.93 15.52 22 ---- CUEW 14.89 11.96 20 ---- CUNS 17.21 13.70 20 ----

SCTEW 126.80 102.16 20 ---- SCTNS 68.63 55.20 20 ---- VIVEW 17.80 15.25 14 ---- VIVNS 13.07 10.70 18 ----

TACYEW 9.89 7.70 22 ---- TACYNS 7.03 6.74 4 ---- CALEEW 35.77 27.46 22 ---- CALENS 17.48 14.72 16 ----

En la Tabla 1 se muestra el oleaje máximo cuando el tanque es sometido a los movimientos sísmicos antes descritos. El modelo SUGDL establece que no existe movimiento del líquido. El oleaje máximo obtenido con el modelo ILR para todos los movimientos sísmico es mayor que el obtenido con el modelo MRE. En particular, para los movimientos TACYEW, CANS y CALEEW la diferencia porcentual es del 22%. El incluir en el análisis, al menos los tres primeros modos superiores de vibrar del líquido ( )1 2 3n , ,= influye en la altura de ola máxima, ya que ésta es mayor que la calculada con el modelo equivalente de masas concentradas, el cual considera únicamente el primer modo de vibrar del líquido.

02468

1012141618

0 10 20 30 40 50 60

Tiempo (s)

Ole

aje

(cm

)

(a) Historia de oleaje, movimiento VIVEW, modelo MRE

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40 50 60

Tiempo (s)

Ole

aje

(cm

)

(b) Historia de oleaje, movimiento VIVEW, modelo ILR Fig. 11 Historia de oleaje, movimiento VIVEW

17


-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40 50 60

Tiempo (s)

Ole

aje

(cm

)

(c) Comparación de la altura de ola con los modelos ILR y MRE Fig. 11 Historia de oleaje, movimiento VIVEW (continuación)

En la Figura 11a se muestra la historia de la altura de ola en la pared derecha del tanque, obtenida con el modelo masa-resorte, integrando las ecuaciones 102 por el método de Tetha de Wilson y con el registro VIVEW. En la Figura 11b, se muestra la historia del oleaje en la misma pared, obtenida con el modelo que considera interacción fluido-estructura, ILR, para el mismo movimiento sísmico, y en la Figura 11c, se compara la respuesta obtenida con los dos modelos anteriores. En la Tabla 2 se muestran los desplazamientos laterales máximos obtenidos en la plataforma en su parte superior (base del recipiente), para todos los movimientos sísmicos descritos. Se observa que los resultados máximos se presentan con el modelo SUGDL, lo cual es lógico debido a que considera toda la masa del líquido como inercial. Los resultados obtenidos con el modelo MRE son mayores que los obtenidos con el ILR, para casi todos los movimientos analizados, ya que para CALENS estos son menores hasta en un 14%.

Tabla 2 Desplazamientos máximos en la plataforma obtenidos con los tres métodos descritos

Desplazamiento máximo horizontal en la plataforma (cm) Movimiento

SUGDL ILR %∆ MRE %∆ CAEW 3.23 1.53 52 1.58 51 CANS 2.61 1.21 53 1.36 48 CUEW 1.81 1.07 41 1.22 33 CUNS 1.36 0.73 46 0.84 38

SCTEW 4.34 4.26 1 4.41 2 SCTNS 2.43 1.97 19 2.01 17 VIVEW 2.47 1.54 37 1.74 30 VIVNS 2.51 0.98 61 1.08 57

TACYEW 1.31 0.79 40 0.84 36 TACYNS 1.86 0.50 73 0.56 70 CALEEW 5.58 2.51 55 2.97 47 CALENS 1.78 1.95 -8 2.07 -14

-5-4-3-2-1012345

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

plat

afor

ma(

cm)

ILR

MRE

Fig. 12 Desplazamiento lateral de la plataforma, movimiento SCTEW


18

En la Figura 12 se compara historia de desplazamientos laterales de la plataforma del tanque del ejemplo, obtenida con el movimiento SCTEW, y con los modelos ILR y MRE. En la Tabla 3 se comparan las fuerzas cortantes máximas obtenida con los tres modelos: ILR, MRE y SUGDL, para cada uno de los movimientos sísmicos anteriormente descritos. Comparando primeramente los resultados obtenidos con los modelos MRE y SUGDL, se puede observar que las fuerzas cortantes máxima obtenida con SUGDL son mayores que los obtenidos con el MRE. Por lo anterior, podría pensarse que el modelo utilizado comúnmente en la práctica profesional, SUGDL, produce fuerzas cortantes del lado de la seguridad. Sin embargo, al comparar los resultados anteriores con los obtenidos con el modelo ILR, se observa que este modelo produce fuerzas cortantes máximas, mayores que los obtenidos con los modelos MRE y SUGDL. Las diferencias entre ambos resultados en forma porcentual se observa en la cuarta y en la sexta columna para cada modelo, respectivamente. El incremento porcentual máximo del 73% se presenta para el movimiento sísmico SCTEW, para el caso de ambos modelos. Por lo anterior, se puede deducir que el modelo SUGD y el de MRE subestiman en gran manera las fuerzas cortantes obtenidas con los movimientos sísmicos utilizados. Lo anterior obedece a que los modelos MRE y SUGDL, no consideran la interacción fluido recipiente, despreciando la fuerza cortante inducida al sistema y debida al movimiento del fluido en el recipiente, como se verá más adelante.

Tabla 3 Fuerza Cortante máxima

Fuerza Cortante máxima (t) Movimiento ILR MRE %∆ SUGDL %∆

CAEW 10.40 5.90 43 12.03 -13 CANS 10.62 5.10 52 9.72 8 CUEW 11.27 4.58 59 6.74 40 CUNS 9.74 3.15 68 5.07 48

SCTEW 60.20 16.49 73 16.17 73 SCTNS 27.47 7.52 72 9.05 67 VIVEW 17.25 6.54 62 9.20 47 VIVNS 13.62 4.08 70 9.35 32

TACYEW 5.77 3.17 45 4.88 15 TACYNS 5.59 2.09 63 6.93 -19 CALEEW 27.59 11.13 60 20.78 25 CALENS 19.21 7.77 60 6.63 65

En la Tabla 4 se comparan los momentos de volteo máximos obtenido en la base de la plataforma (anclas de las columnas) y su diferencia porcentual con respecto al modelo ILR, para los movimientos sísmicos ya descritos. De nueva cuenta, comparando primeramente los resultados obtenidos con los modelos MRE y con SUGDL, se puede observar que estos últimos son mayores para casi todos los movimientos sísmicos, por lo que podría pensarse que este modelo produce resultados del lado de la seguridad. Si se comparan los resultados obtenidos con los modelos MRE y SUGDL, con los obtenidos con el modelo ILR, la diferencia porcentual es significativa. Esta diferencia porcentual es del 70% para el movimiento SCTEW. Concluyéndose, para este ejemplo, que es importante considerar los efectos de interacción entre el fluido y el recipiente, y que los modelos MRE y SUGDL subestiman los momentos de volteo en la cimentación del tanque. Las diferencias obtenidas entre los modelos ILR, MRE y SUGD, se deben a que la los dos últimos no consideran la fuerza cortante inducida al sistema y que es debida al movimiento del líquido en el recipiente. La ecuación 96 representa esta fuerza cortante inducida,

( ) ( )1

o n nn

F t m q tγ∞

== ∑ && (111)

En la Tabla 5 se muestra la fuerza cortante inducida para cada movimiento sísmico. Esta fuerza es del orden de 54 t, para el movimiento SCTEW (Fig. 13). En esta misma tabla se observa la fuerza vertical neta, calculada con la expresión 87,

( )V o oF m g m Y t= + && (112) Cuando se considera la aceración vertical del movimiento, como es el caso del movimiento CALE (Fig. 14), en ambas direcciones, se observa un aumento en la fuerza vertical del 6%. Este aumento en la fuerza axial debe ser resistido por las columnas que sostienen el recipiente, por lo que deben de ser tomada en cuenta en el diseño. Los modelos MRE y SUGD no contemplan esta posibilidad.

19


Tabla 4 Momento de Volteo máximo

Momento de Volteo máximo (t cm) Movimiento ILR MRE %∆ SUGDL %∆ CAEW 16 519 10 417 37 21 054 -21 CANS 17 537 8 941 49 17 013 3 CUEW 18 722 8 022 57 11 798 37 CUNS 15 395 5 534 64 8 865 42

SCTEW 94 629 29 546 69 28 290 70 SCTNS 42 337 13 458 68 15 840 62 VIVEW 28 271 11 444 60 16 100 43 VIVNS 22 703 7 010 69 16 361 28

TACYEW 9 609 5 586 42 8 539 11 TACYNS 9 518 3 662 62 12 124 -21 CALEEW 46 640 19 278 59 36 373 22 CALENS 32 865 13 503 59 11 606 65

Tabla 5 Fuerza horizontal inducida por el oleaje máxima, y Fuerza vertical neta

Movimiento Fuerza

inducida (t)

Fuerza vertical neta (t)

CAEW 8.95 48.11 CANS 7.69 48.11 CUEW 7.95 48.11 CUNS 8.67 48.11 SCTEW 53.96 48.11 SCTNS 26.48 48.11 VIVEW 12.96 48.11 VIVNS 9.41 48.11 TACYEW 4.72 48.11 TACYNS 4.21 48.11 CALEEW 21.35 51.41 CALENS 11.44 51.41

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Tiempo (s)

Fuer

za in

duci

da (t

)

Fig. 13 Fuerza cortante inducida por el movimiento SCTEW debido al movimiento del líquido

CONCLUSIONES Se obtuvieron las ecuaciones de movimiento de un tanque elevado con forma rectangular considerando la fuerza cortante que se induce en las paredes del mismo, debido al movimiento del líquido. Las ecuaciones se integraron paso a paso para los registros sísmicos presentados en el Valle de México durante el sismo de 1985 y en Caleta de Campos. Los resultados se comparan con los obtenidos con los modelos: (1) masa-resortes y (2) el de concentrar la masa líquido (comúnmente usado en la práctica) el cual desprecia el movimiento del fluido dentro del recipiente. Los resultados indican que despreciar el movimiento del líquido dentro del tanque, sólo es conservador para el caso de desplazamientos laterales de la plataforma de soporte, y ya que se


20

supone que el líquido no se mueve no es posible cuantificar el oleaje generado, lo cual produciría pérdida del líquido por derramamiento.

43444546474849505152

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Tiempo (s)

Fuer

za n

eta

verti

cal (

t)

Fig. 14 Fuerza neta vertical, movimiento CALENS El considerar al menos tres modos superiores de vibrar del líquido produce un mayor altura de ola, que el considerar uno sólo, tal y como lo hace el modelo de masas y resortes. Las fuerzas cortantes y momentos de volteo en la base del tanque se incrementan notablemente cuando se toma en cuenta la fuerza cortante inducida por el movimiento del fluido sobre las paredes del contenedor. De igual manera, el considerar la componente vertical del movimiento sísmico aumenta la fuerza neta vertical que se induce a las columnas de la plataforma, lo cual podría producir inestabilidad por pandeo lateral en las columnas.

AGRADECIMIENTOS El autor agradece a la Coordinación de la Investigación Científica y la Dirección de la Facultad de Ingeniería Civil de la UMSNH, el apoyo otorgado para la realización de este trabajo. Se agradecen los comentarios y sugerencias al manuscrito del Dr. Ernesto Heredia Zavoni.

CITAS, REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA Anónimo (1993), “Manual de Diseño de Obras Civiles, Diseño por Sismo”, Comisión Federal de Electricidad, Instituto de Investigaciones Eléctricas, México. Anónimo (2004), “Normas Técnicas Complementarias para el Diseño y Ejecución de Obras e Instalaciones Hidráulicas”, Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal, México. Hernández B.H. (2003), “Análisis Sísmico No Lineal de Tanques Cilíndricos de Almacenamiento”, Tesis para obtener el grado de Doctor en Ingeniería, DEPFI-UNAM, México. Housner G.W. (1957). “Dynamic Pressures on Accelerated fluid containers”, Bulletin of the Seismological Society of America, Vol. 47, 15-35. http://nisee.berkeley.edu/bertero/html/damage due to vibration.html, (1994). Hutton R.E. (1963). “An investigation of Resonant, Nonlinear Nonplanar Free Surface Oscillations of a Fluid”, NASA TN D-1870. Zeevaert L. (1973), “Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions”, Van Nostrand Reinhold Company, 523 pp.

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