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20/9/2015 Problemas que se resuelven aplicando ecuaciones fraccionarias de primer grado. Ejercicios resueltos

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PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN APLICANDO ECUACIONESFRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO

Para resolver los siguientes problemas, es recomendable realizar unrepaso de los temas:"Fracciones", "Fraccionesalgebraicas", "Ecuaciones de primer grado con una incógnita","Ecuaciones fraccionarias numéricas de primer grado","Problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado";en este mismo blog.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Hallar el número que disminuido en sus 3/8 equivale a su duplodisminuido en 11.

El número buscado: x3/8 del número: 3/8(x)Número disminuido en sus 3/8: x 3/8(x)Duplo del número: 2xDuplo del número disminuido en 11: 2x 11

El número disminuido en sus 3/8 equivale a su duplo disminuido en 11:

3x __x = 2x 11 8

Resolviendo esta ecuación:

8x 3x = 8(2x 11)5x = 16x 885x 16x = 8811x = 88

88x = ____ 11

Problemas que se resuelven aplicandoecuaciones fraccionarias de primer grado.

Ejercicios resueltos

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x = 8

Comprobando:

3x __x = 2x 11 8

38 ___(8) = 2(8) 11 8

8 3 = 16 115 = 5

Queda comprobado.

2. Hallar el número que aumentado en sus 5/6 equivale a su triplodisminuido en 14.

El número buscado: x5/6 del número: 5/6(x)Número aumentado en sus 5/6: x + 5/6(x)Triplo del número: 3xTriplo del número disminuido en 14: 3x 14

El número aumentado en sus 5/6 equivale a su triplo disminuido en 14:

5x + __x = 3x 14 6


6x + 5x = 6(3x 14)11x = 18x 8411x 18x = 847x = 84

84x = ____ 7

x = 12

Comprobando:



5x + __x = 3x 14 6

512 + ___(12) = 3(12) 14 6

12 + 5(2) = 36 1412 + 10 = 2222 = 22

Queda comprobado.

3. ¿Cuál es el número que tiene 30 de diferencia entre sus 5/4 y sus7/8?

Número que se busca: x5/4 del número: 5/4(x)7/8 del número: 7/8(x)Diferencia entre los 5/4 del número y los 7/8 del número: 5/4(x) 7/8(x)

La diferencia entre los 5/4 del número y los 7/8 del número es 30:5/4(x) 7/8(x) = 30

5 7___x ___x = 30 4 8


10x 7x_______ = 30 8

3x___ = 30 8

3x = 240

240x = ___ 3

x = 80

Comprobando:



5 7___x ___x = 30 4 8

5 7___(80) ___(80) = 30 4 8

400 560____ ____ = 30 4 8

100 70 = 3030 = 30

Queda comprobado.

4. El exceso de un número sobre 17 equivale a la diferencia entre los3/5 y 1/6 del número. ¿Cuál es el número?

El número buscado: xExceso del número sobre 17 (el número es más grande que 17): x 173/5 del número: 3/5(x)1/6 del número: 1/6(x)Diferencia entre los 3/5 y 1/6 del número: 3/5(x) 1/6(x)

El exceso de un número sobre 17 equivale a la diferencia entre los 3/5y 1/6 del número:

3 1x 17 = ___x ___x 5 6


3 1x 17 = ___x ___x 5 6

18x 5xx 17 = ________ 30

30(x 17) = 13x30x 510 = 13x30x 13x = 51017x = 510



510x = ____ 17

x = 30

Comprobando:

3 1x 17 = ___x ___x 5 6

3 130 17 = ___(30) ___(30) 5 6

13 = 18 513 = 13

Queda comprobado.

5. La suma de la quinta parte de un número con los 3/8 del númeroexcede en 49 al doble de la diferencia entre 1/6 y 1/12 del número.Hallar el número.

El número buscado: xLa quinta parte del número: 1/5(x)Los 3/8 del número: 3/8(x)1/6 del número: 1/6(x)1/12 del número: 1/12(x)La suma de la quinta parte del número con los 3/8 del número: 1/5(x) +3/8(x)La diferencia entre 1/6 del número y 1/12 del número: 1/6(x) 1/12(x)El doble de la diferencia entre 1/6 del número y 1/12 del número:2[(1/5(x) 1/12(x)]

La suma de la quinta parte de un número con los 3/8 del númeroexcede en 49 al doble de la diferencia entre 1/6 y 1/12 del número:

1 3 1 1___x + ___x = 2(___x ___x) + 49 5 8 6 12


1 3 2x x___x + ___x = 2(_______) + 49



5 8 12

1 3 x___x + ___x = ___ + 49 5 8 6

1 3 x___x + ___x ___ = 49 5 8 6

24x + 45x 20x_____________ = 49 120

49x = 49(120)

49(120)x = _______ 49

x = 120

Comprobando:

1 3 1 1___x + ___x = 2(___x ___x) + 49 5 8 6 12

1 3 1 1___(120) + ___(120) = 2[___(120) ___(120)] + 49 5 8 6 12 1(24) + 3(15) = 2[1(20) 1(10)] + 4924 + 45 = 2[20 10] + 49 69 = 2[10] + 49 69 = 20 + 49 69 = 69

Queda comprobado.

6. La edad de B es los 3/5 de la de A, y si ambas edades se suman, lasuma excede en 4 años al doble de la edad de B. Hallar ambasedades.

Edad de A: xEdad de B: 3/5(x)Suma de ambas edades: x + 3/5(x)Doble de la edad de B: 2(3/5x) = 6/5(x)



La suma excede en 4 años al doble de la edad de B:

3 6x + ___x = ___x + 4 5 5


3 6x + ___x ___x = 4 5 5

3x ___x = 4 5

5x 3x = 20

2x = 20

20x = ____ 2

x = 10 años (edad de A)

3 30Edad de B = ___(10) = ___= 6 años 5 5

Comprobando:

3 6x + ___x = ___x + 4 5 5

3 610 + ___(10) = ___(10) + 4 5 5

10 + 6 = 12 + 416 = 16

Queda comprobado.

7. B tiene los 7/8 de lo que tiene A. Si A recibe $90, entonces tiene eldoble de lo que tiene B ahora. ¿Cuánto tiene cada uno?



A tiene: xB tiene: 7/8(x)A recibe $90: x + 90Doble de lo que tiene B: 2(7/8x) = 14/8x = 7/4x

Si A recibe $90, entonces tiene el doble de lo que tiene B ahora.

7x + 90 = __x 4

Resolviendo la ecuación: 7x ___x = 90 4

4x 7x = 3603x = 360

360x = ____ 3

x = 120 (lo que tiene A) 7B tiene: ___(120) = 105 8

Comprobando:

7x + 90 = __x 4 7120 + 90 = ___(120) 4

210 = 210

Queda comprobado.

8. Después de vender los 3/5 de una pieza de tela quedan 40 m. ¿Cuálera la longitud de la pieza?

Longitud original de la pieza de tela: x



3/5 de la pieza: 3/5x

Después de vender 3/5 de la pieza de tela quedan 40 m:

3x ___x = 40 5

Resolviendo la ecuación:

5x 3x = 2002x = 200

200x = ____ 2

x = 100 m (longitud original de la pieza)

Comprobando:

3x ___x = 40 5

3100 ___(100) = 40 5

100 3(20) = 40100 60 = 4040 = 40

Queda comprobado.

9. Después de gastar 1/3 y 1/8 de lo que tenía me quedan $39.¿Cuánto tenía?

Cantidad que tenía: x1/3 de lo que tenía: 1/3(x)1/8 de lo que tenía: 1/8(x)

Después de gastar 1/3 y 1/8 de lo que tenía me quedan $39:

1 1x ___x ___x = 39 3 8



Resolviendo:

24x 8x 3x___________ = 39 24

13x = 39(24)

39(24)x = _______ 13

x = 3(24)x = $72

Comprobando:

1 1x ___x ___x = 39 3 8

1 172 ___(72) ___(72) = 39 3 8

72 24 9 = 3939 = 39

Queda comprobado.

10. El triplo de un número excede en 48 al tercio del mismo número.Hallar el número.

El número buscado: xTriplo del número: 3xEl tercio del número: 1/3(x)

El triplo del número excede (es más grande) en 48 al tercio delnúmero:

13x = __x + 48 3

13x __x = 48 3




9x x = 1448x = 144

144x = ____ 8

x = 18

Comprobando:

13x = __x + 48 3

13(18) = ___(18) + 48 3

54 = 6 + 4854 = 54

Queda comprobado.

11. Si a la mitad de un número se le agregan 30, el cuádruplo delmismo número excede en 19 a dicho resultado. Hallar el número.

Número buscado: xMitad del número: 1/2(x)Mitad del número se le agregan 30: 1/2(x) + 30Cuádruplo del número: 4x

Si a la mitad de un número se le agregan 30, el cuádruplo del mismonúmero excede en 19 a dicho resultado:

14x = ___x + 30 + 19 2

14x = ___x + 49 2

x + 984x = _______ 2



8x = x + 988x x = 987x = 98

98x = ___ 7

x = 14

Comprobando:

14x = ___x + 49 2

14(14) = ___(14) + 49 2

56 = 7 + 4956 = 56

Queda comprobado.

12. El exceso de 80 sobre la mitad de un número equivale al excesodel número sobre 10. Hallar el número.

Número buscado: xLa mitad del número: 1/2(x)Exceso de 80 sobre la mitad del número: 80 1/2(x)Exceso del número sobre 10: x 10

El exceso de 80 sobre la mitad de un número equivale al exceso delnúmero sobre 10:

180 ___x = x 10 2

1 ___x x = 10 80 2

1 ___x x = 90 2



2x x ______ = 90 2

3x = 180

180x = _____ 3

x = 60

Comprobando:

180 ___x = x 10 2

180 ___(60) = 60 10 2

80 30 = 5050 = 50

Queda comprobado.

13. Hallar el número cuyos 7/8 exceden a sus 4/5 en 2.

Número buscado: x7/8 del número: 7/8(x)4/5 del número: 4/5(x)

Número cuyos 7/8 exceden a sus 4/5 en 2:

7 4___x = ___x + 2 8 5

7 4___x ___x = 2 8 5

35x 32x_______ = 2 40



3x___ = 240

3x = 80

80x = ___ 3

Comprobando:

7 4___x ___x = 2 8 5

7 80 4 80___(____) ___(____) = 2 8 3 5 3

560 320_____ _____ = 2 24 15

70 64___ ___ = 2 3 3

6___ = 2 3

2 = 2

Queda comprobado.

14. El largo de un buque, que es 800 pies, excede en 744 pies a los8/9 del ancho. Hallar el ancho.

Largo del buque: 800Ancho del buque: x8/9 del ancho: 8/9(x)

El largo del buque, que es 800 pies, excede en 744 pies a los 8/9 delancho: 8800 = ___x + 744



9

Resolviendo:

8800 = ___x + 744 9

7200 = 8x + 66968x = 7200 66968x = 504

504x = ____ 8

x = 63 pies

Comprobando:

8800 = ___x + 744 9

8800 = ___(63) + 744 9

800 = 8(7) + 744800 = 56 + 744800 = 800

Queda comprobado.

15. Si a la mitad de 22 le aumentamos las 6/5 de un número, elresultado equivale a la diferencia de 22 menos dicho número. Hallar elnúmero.

Número buscado: xMitad de 22: 1/2(22) = 116/5 del número: 6/5(x)A la mitad de 22 le aumentamos los 6/5 del número: 11 + 6/5(x)Diferencia de 22 menos x: 22 x

Si a la mitad de 22 le restamos las 6/5 de un número, el resultadoequivale a la diferencia de 22 menos dicho número:

6



11 + ___x = 22 x 5

55 + 6x = 110 5x6x + 5x = 110 5511x = 55

55x = ___ 11

x = 5

Comprobando:

611 + ___x = 22 x 5

611 + ___(5) = 22 5 5

11 + 6 = 1717 = 17

Queda comprobado.

16. Hallar dos números consecutivos tales que los 4/5 del mayorequivalgan al menor disminuido en 4.

Número menor: xNúmero mayor: x + 14/5 del número mayor: 4/5(x + 1)Número menor disminuido en 4: x 4

Dos números consecutivos tales que los 4/5 del mayor equivalen almenor disminuido en 4:

4___(x + 1) = x 4 5

4(x + 1) = 5(x 4)4x + 4 = 5x 204x 5x = 20 4x = 24x = 24 (número menor)



x + 1 = 24 + 1 = 25 (número mayor)

Comprobando:

4___(x + 1) = x 4 5

4___(25) = 24 4 5

100_____ = 20 5

20 = 20

En los siguientes ejercicios ya no se realizará la comprobación. Elusuario la puede realizar como práctica.

17. Hallar dos números consecutivos tales que el menor exceda en 81a la diferencia entre los 3/4 del menor y los 2/5 del mayor.

Número menor: xNúmero mayor: x + 13/4 del menor: 3/4(x)2/5 del mayor: 2/5(x + 1)Diferencia entre los 3/4 del menor y los 2/5 del mayor: 3/4(x) 2/5(x +1)

El menor excede (es más grande) en 81 a la diferencia entre los 3/4del menor y los 2/5 del mayor:

3 2x = ___x ___(x + 1) + 81 4 5


3 2x = ___x ___(x + 1) + 81 4 5

3x 2x + 2x = ___ ______ + 81 4 5



5(3x) 4(2x + 2)x = ______________ + 81 20

15x 8x 8x = ___________ + 81 20

7x 8x = _______ + 81 20

20x = 7x 8 + 81(20)20x = 7x 8 + 162020x 7x = 161213x = 1612

1612x = _____ 13

x = 124 (número menor)

x + 1 = 124 + 1 = 125 ( número mayor)

18. La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivoses 324. Hallar los números.

Número menor: xNúmero mayor: x + 2

Cuadrado del número menor: x2

Cuadrado del número mayor: (x + 2)2 = x2 + 4x + 4Diferencia de los cuadrados de los dos números: x2 + 4x + 4 x2 =4x + 4

La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es324:

4x + 4 = 3244x = 324 44x = 320

320x = ____ 4



x = 80 (número menor)x + 2 = 80 + 2 = 82 (número mayor)

19. A tiene $1 más que B. Si B gastara $8, tendría $4 menos que los4/5 de lo que tiene A. ¿Cuánto tiene cada uno?

B tiene: xA tiene: x + 1Si B gastara 8: x 84/5 de lo que tiene A: 4/5(x + 1)

Si B gastara $8, tendría $4 menos que los 4/5 de lo que tiene A:

4x 8 = ___(x + 1) 4 5

5x 40 = 4(x + 1) 205x 40 = 4x + 4 205x 4x = 16 + 40

x = $24 (lo que tiene B)A tiene: 24 + 1 = $25

20. Hoy gané $1 más que ayer, y lo que he ganado en los dos días es$25 más que los 2/5 de lo que gané ayer. ¿Cuánto gané hoy y cuántoayer?

Ayer gané: xHoy gané: x + 12/5 de lo que gané ayer: 2/5(x)Lo que he ganado en los dos días: x + x + 1 = 2x + 1

Lo que he ganado en los dos días es $25 más que los 2/5 de lo quegané ayer:

22x + 1 = ___x + 25 5


5(2x + 1) = 2x + 5(25)10x + 5 = 2x + 12510x 2x = 125 58x = 120

120



x = ____ 8

x = $15 (lo que gané ayer)x + 1 = 15 + 1 = $16 (lo que gané hoy)

21. Hallar tres números consecutivos tales que si el menor se divideentre 20, el mediano entre 27 y el mayor entre 41, la suma de loscocientes es 9.

Número menor: xNúmero mediano: x + 1Número mayor: x + 2Número menor entre 20: x/20Número mediano entre 27: (x + 1)/27Número mayor entre 41: (x + 2)/41

La suma de los cocientes es 9:

x x + 1 x + 2___ + _____ + _____ = 9 20 27 41


1107x + 820(x + 1) + 540(x + 2)__________________________ = 9 22140

1107x + 820x + 820 + 540x + 1080_____________________________ = 9 22140

2467x + 1900____________ = 9 22140

2467x + 1900 = 9(22140)2467x + 1900 = 1992602467x = 199260 19002467x = 197360

197360x = _______ 2467

x = 80 (número menor)x + 1 = 80 + 1 = 81 (número mediano)



x + 2 = 80 + 2 = 82 (número mayor)

22. Hallar tres números consecutivos tales que la suma de los 3/5 delmenor con los 5/6 del mayor exceda en 31 al mediano.

Número menor: xNúmero mediano: x + 1Número mayor: x + 23/5 del menor: 3/5(x)5/6 del mayor: 5/6(x + 2)

La suma de los 3/5 del menor con los 5/6 del mayor exceda en 31 almediano:

3 5 ___x + ___(x + 2) = x + 1 + 31 5 6


3 5 ___x + ___(x + 2) = x + 32 5 6

6(3x) + 5(5)(x + 2)________________ = x + 32 30

18x + 25(x + 2)_____________ = x + 32 30

18x + 25x + 50_____________ = x + 32 30

43x + 50_______ = x + 32 30

43x + 50 = 30(x + 32)43x + 50 = 30x + 96043x 30x = 960 5013x = 910

910x = ____ 13



x = 70 (número menor)x + 1 = 70 + 1 = 71 (número mediano)x + 2 = 70 + 2 = 72 (número mayor)

23. Se tienen tres números consecutivos tales que la diferencia entrelos 3/7 del mediano y los 3/10 del menor excede en 1 a 1/11 delmayor. Hallar los números.

Número menor: xNúmero mediano: x + 1Número mayor: x + 23/7 del mediano: 3/7(x + 1)3/10 del menor: 3/10(x)1/11 del mayor: 1/11(x + 2)

La diferencia entre los 3/7 del mediano y los 3/10 del menor excede en1 a 1/11 del mayor:

3 3 1___(x + 1) ___x = ___(x + 2) + 1 7 10 11

10(3)(x + 1) 7(3)x x + 2 + 11________________ = __________ 70 11

30(x + 1) 21x x + 13____________ = ________ 70 11

30x + 30 21x x + 13____________ = ________ 70 11

9x + 30 x + 13_______ = _______ 70 11

11(9x + 30) = 70(x + 13)99x + 330 = 70x + 91099x 70x = 910 33029x = 580

580x = ____ 29



x = 20 (número menor)x + 1 = 20 + 1 = 21 (número mediano)x + 2 = 20 + 2 = 22 (número mayor)

24. A tiene 2 años más que B y éste 2 años más que C. Si las edadesde B y C se suman, esta suma excede en 12 años a los 7/8 de la edadde A. Hallar las edades respectivas.

Edad de B: xEdad de A: x + 2Edad de C: x 2Suma de las edades de B y C: x + x 2 = 2x 27/8 de la edad de A: 7/8(x + 2)

Si las edades de B y C se suman, esta suma excede en 12 años a los7/8 de la edad de A:

72x 2 = ___(x + 2) + 12 8


8(2x 2) = 7(x + 2) + 12(8)16x 16 = 7x + 14 + 9616x 16 = 7x + 11016x 7x = 110 + 169x = 126

126x = ___ 9

x = 14 años (edad de B)x + 2 = 14 + 2 = 16 años (edad de A)x 2 = 14 2 = 12 (edad de C)

25. A tiene 1 año menos que B y B 1 año menos que C. Si delcuadrado de la edad de C se resta el cuadrado de la edad de B, ladiferencia es 4 años menos que los 17/5 de la edad de A. Hallar lasedades respectivas.

Edad de B: xEdad de A: x 1Edad de C: x + 1

Cuadrado de la edad de C: (x + 1)2 = x2 + 2x +1Cuadrado de la edad de B: x2



Del cuadrado de la edad de C se resta el cuadrado de la edad de

B: x2 + 2x +1 x2 = 2x + 1

Si del cuadrado de la edad de C se resta el cuadrado de la edad de B,la diferencia es 4 años menos que los 17/5 de la edad de A: 172x + 1 = ___(x 1) 4 5


5(2x + 1) = 17(x 1) 4(5)10x + 5 = 17x 17 2010x + 5 = 17x 3710x 17x = 37 57x = 42

42x = ___ 7

x = 6 (edad de B)x 1 = 6 1 = 5 años (edad de A)x + 1 = 6 + 1 = 7 años (edad de C)

26. La suma de dos números es 59, y si el mayor se divide entre elmenor, el cociente es 2 y el residuo 5. Hallar los números.

Número menor: xNúmero mayor: 59 xEl mayor se divide entre el menor: (59 x)/xEl residuo es 5: 5/x

Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 2 y el residuo 5:

59 x 5_____ = 2 + ___ x x

59 x 5_____ ___ = 2 x x

59 x 5_________ = 2 x



54 x_____ = 2 x

54 x = 2xx 2x = 54 3x = 54

54x = ____ 3

x = 18 (número menor)59 x = 59 18 = 41 (número mayor)

27. La diferencia de dos números es 44, y si el mayor se divide entre elmenor, el cociente es 3 y el residuo 2. Hallar los números.

Número menor: xNúmero mayor: x + 44El mayor se divide entre el menor: (x + 44)/xEl residuo es 2: 2/x

Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 3 y el residuo 2:

x + 44 2______ = 3 + ___ x x


x + 44 2______ ___ = 3 x x

x + 44 2_________ = 3 x

x + 42______ = 3 x

x + 42 = 3x

x 3x = 42 2x = 42



42x = ____ 2

x = 21 (número menor)x + 44 = 21 + 44 = 65 (número mayor)

28. Dividir 260 en dos partes tales que el duplo de la mayor divididoentre el triplo de la menor nosdé 2 de cociente y 40 de residuo.

Parte menor: xParte mayor: 260 xDuplo de la mayor: 2(260 x) = 520 2xTriplo de la menor: 3xDuplo de la mayor dividida entre el duplo de la menor: (520 2x)/3xEl residuo es 40: 40/3x

El duplo de la mayor dividido entre el triplo de la menor nos dé 2 decociente y 40 de residuo:

520 2x 40________ = 2 + ___ 3x 3x


520 2x 40________ ___ = 2 3x 3x

520 2x 40___________ = 2 3x

480 2x_______ = 2 3x

480 2x = 6x480 = 6x + 2x8x = 480

480x = ____ 8



x = 60 (número menor)260 x = 260 60 = 200 (número mayor)

29. Repartir $196 entre A y B de modo que si los 3/8 de de la parte deA se dividen entre el quinto de la de B, se obtiene $1 de cociente y $16de residuo.

Parte de A: xParte de B: 196 x3/8 de la parte de A: 3/8(x)1/5 de la parte de B: 1/5(196 x)3/8 de la parte de A se dividen entre un quinto de la parte de B:

3 ___x 8___________ 1___(196 x) 5

Residuo:

16__________ 1___(196 x) 5

Si los 3/8 de de la parte de A se dividen entre el quinto de la de B, seobtiene $1 de cociente y $16 de residuo:

3 ___x 8 16__________ = 1 + __________ 1 1___(196 x) ___(196 x) 5 5

3x ____ 8 16_________ = 1 + _______ 196 x 196 x ______ ______ 5 5



15x 80_________ = 1 + _________ 8(196 x) 196 x

15x 196 x + 80_________ = ___________ 8(196 x) 196 x

15x_____ = 196 x + 80 8

15x_____ = 276 x 8

15x = 8(276 x)15x = 2208 8x15x + 8x = 220823x = 2208

2208x = _____ 23

x = $96 (la parte de A)196 x = 196 96 = $100 ( la parte de B)

30. En tres días un hombre ganó $175. Si cada día ganó la mitad de loque ganó el día anterior, ¿cuánto ganó cada día?

El primer día ganó:xEl segundo día ganó: x/2El tercer día ganó: 1/2(x/2) = x/4

En tres días un hombre ganó $175:

x xx + ___ + ___ = 175 2 4

4x + 2x + x__________ = 175 4

7x____ = 175 4



7x = 175(4)

7x = 700

700x = ____ 7

x = $100 (lo que ganó el primer día)

x 100__ = ___ = $50 (lo que ganó el segundo día) 2 2

x 100__ = ___ = $25 (lo que ganó el tercer día)4 4

31. Tengo cierta suma de dinero. Si me pagan $7 que me deben,puedo gastar los 4/5 de mi nuevo capital y me quedarán $20. ¿Cuántotengo ahora?

Tengo: xSi me pagan $7: x + 74/5 del nuevo capital: 4/5(x + 7)

Si me pagan $7 que me deben, puedo gastar los 4/5 de mi nuevocapital y me quedarán $20:

4x ___(x + 7) = 20 5


5x 4(x + 7) = 20(5)5x 4x 28 = 100x = 100 + 28x = 128 (lo que tengo)

32. Gasté los 2/5 de lo que tenía y presté los 5/6 de lo que me quedó.Si aún tengo $500, ¿cuánto tenía al principio?

Lo que tenía: xGasté 2/5 de lo que tenía: 2/5(x)Me quedó: x 2/5xPresté 5/6 de lo que me quedó:



5 2 5 5x 2x 5 3x x___(x ___x) = ___(______) = ___(____) = __ 6 5 6 5 6 5 2

Gasté los 2/5 de lo que tenía y presté los 5/6 de lo que me quedó, yme sobran $500.

2 x x ___x ___ = 500 5 2


10x 4x 5x___________ = 500 10

x____ = 500 10

x = 500(10)

x = $5000 (lo que tenía)

33. Los 4/5 de las aves de una granja son palomas; los 3/4 del resto,gallinas; y 4 aves restantes son gallos. ¿Cuántas aves hay en lagranja?

Total de aves en la granja: x4/5 son palomas: 4/5(x)Resto:

4 5x 4x xx ___(x) = ______ = ___ 5 5 5

Los 3/4 del resto son gallinas:

3 x 3x___(___) = ___ 4 5 20

La suma de palomas, gallinas y gallos, nos da el total de aves en lagranja:

x 3x



____ + ____ + 4 = x 5 20


4x + 15x + 80___________ = x 20

19x + 80 = 20x20x 19x = 80x = 80 (total de aves en la granja)

34. Gasté los 4/5 de lo que tenía; perdí los 2/3 de lo que me quedó; seme perdieron $8 y me quedé sin nada. ¿Cuánto tenía al principio?

Tenía al principio: x4/5 de lo que tenía: 4/5(x)Si gasto 4/5 de lo que tenía, me queda:

4 5x 4x xx ___x = ______ = ___ 5 5 5

2/3 de lo que me quedó:

2 x 2x___(___) = ____ 3 5 15

Gasté los 4/5 de lo que tenía; perdí los 2/3 de lo que me quedó; se meperdieron $8 y me quedé sin nada:

x 2x__ ___ 8 = 05 15

3x 2x 120__________ = 0 15

3x 2x 120 = 0x 120 = 0x = $120 (tenía al principio)

35. Tenía cierta suma. Gasté 5/12 de lo que tenía; cobré $42 que medebían y ahora tengo $2 más que al principio. ¿Cuánto tenía alprincipio?



Suma que tenía al principio: x5/12 de lo que tenía: 5/12(x)Si gasto 5/12 de lo que tenía, me queda: 5 12x 5x 7xx __x = _______ = ____ 12 12 12

Si cobro $42 tengo:

7x___ + 42 12

Tengo $2 más que al principio: x + 2

Gasté 5/12 de lo que tenía; cobré $42 que me debían y ahora tengo $2más que al principio:

7x____ + 42 = x + 2 12

7x____ x = 2 42 12

7x 12x________ = 40 12

5x = 12(40)5x = 480

480x = _____ 5

x = $96 (suma que tenía al principio)

36. Tenía cierta suma. Gasté los 3/4 en trajes y los 2/3 de lo que mequedó en libros. Si lo que tengo ahora es $38 menos que los 2/5 de loque tenía al principio, ¿cuánto tenía al principio?

Suma que tenía al principio: x3/4 de lo que tenía: 3/4(x)Si gasto 3/4 de lo que tenía en trajes, me queda:



3 4x 3x xx ___x = ______ = ___ 4 4 4

2/3 de lo que me queda lo gasto en libros:

2 x 2x x___(___) = ____ = ___ 3 4 12 6

2/5 de lo que tenía: 2/5(x)$38 menos que los 2/5 de lo que tenía al principio:

2___x 38 5

Gasté los 3/4 de lo que tenía en trajes y los 2/3 de lo que me quedó enlibros. Si lo que tengo ahora es $38 menos que los 2/5 de lo que teníaal principio:

x x 2___ ____ = ___x 38 4 6 5


x x 2___ ____ ___x = 38 4 6 5

15x 10x 24x_____________ = 38 60

19x____ = 38 60

19x = 60( 38)19x = 2280

2280x = ______ 19

x = $120 (suma que tenía al principio)



37. La edad de A es 1/3 de la de B y hace 15 años la edad de A era1/6 de la de B. Hallar las edades actuales.

Edad actual de B: xEdad actual de A: 1/3(x)Edad de B hace 15 años: x 15Edad de A hace 15 años:

1___(x 15) (1) 6

A la edad actual de A le restamos 15 años:

1__x 15 (2) 3

Ahora igualamos las expresiones (1) y (2):

1 1___(x 15) = ___x 15 6 3


1 15 1__x ___ = ___x 156 6 3

1 1 15__x ___x = 15 + ___6 3 6

x 2x 90 + 15_______ = ________ 6 6

x 75____ = ____ 6 6

x = 75

x = 75 años (edad actual de B)

x 75



___ = ___ = 25 años (edad actual de A) 3 3

38. La edad de A es el triplo de la de B y dentro de 20 años será eldoble. Hallar las edades actuales.

Edad actual de B: xEdad actual de A: 3xEdad de B dentro de 20 años: x + 20Edad de A dentro de 20 años: 3x + 20 (1)La edad de A dentro de 20 años será el doble de la de B: 2(x + 20) =2x + 40 (2)

Igualando las expresiones (1) y (2):

3x + 20 = 2x + 40


3x 2x = 40 20x = 20 años (edad actual de B)3x = 3(20) = 60 años (edad actual de A)

39. La edad de A hace 5 años era los 9/11 de la edad que tendrádentro de 5 años. Hallar su edad actual.

Edad actual de A: xEdad de A hace 5 años: x 5 (1)Edad que tendrá A dentro de 5 años: x + 59/11 de la edad que tendrá A dentro de 5 años:

9___(x + 5) (2) 11

La edad de A hace 5 años era los 9/11 de la edad que tendrá dentrode 5 años:

Igualando (1) y (2):

9x 5 = ___(x + 5) 11


11x 55 = 9x + 4511x 9x = 45 + 55



2x = 100

100x = ___ 2

x = 50 años (edad actual de A)

40. Hace 6 años la edad de A era la mitad de la edad que tendrádentro de 24 años. Hallar la edad actual de A.

Edad actual de A: xEdad de A hace 6 años: x 6 (1)Edad de A dentro de 24 años: x + 24La mitad de la edad que tendrá A dentro de 24 años:

1__(x + 24) (2) 2

Hace 6 años la edad de A era la mitad de la edad que tendrá dentro de24 años:


1x 6 = ___(x + 24) 2


2(x 6) = x + 242x 12 = x + 242x x = 24 + 12x = 36 años (edad actual de A)

41. La edad de un hijo es 1/3 de la edad de su padre y dentro de 16años, será la mitad. Hallar las edades actuales.

Edad actual del padre: xEdad actual del hijo: 1/3(x)Edad del padre dentro de 16 años: x + 16Edad del hijo dentro de 16 años:

1___x + 16 (1) 3



La mitad de la edad del padre dentro de 16 años:

x + 16_____ (2) 2

La edad del hijo dentro de 16 años, será la mitad de la del padre:


1 x + 16___x + 16 = ______ 3 2


x + 48 x + 16______ = ______ 3 2

2(x + 48) = 3(x + 16)2x + 96 = 3x + 482x 3x = 48 96x = 48

x = 48 años (edad actual del padre)

x 48__ = ___ = 16 años (edad actual del hijo) 3 3

42. La edad de un hijo es los 2/5 de la de su padre y hace 8 años, laedad del hijo era los 2/7 de la edad del padre. Hallar las edadesactuales.

Edad actual del padre: xEdad actual del hijo: 2/5 de la de su padre: 2/5(x)Edad del padre hace 8 años: x 8Edad del hijo hace 8 años:

2___x 8 (1) 5

2/7 de la edad del padre hace 8 años:

2___(x 8) (2)



7


2 2___x 8 = ___(x 8) 5 7


2x 40 2x 16______ = _______ 5 7

7(2x 40) = 5(2x 16)14x 280 = 10x 8014x 10x = 80 + 2804x = 200

200x = ____ 4

x = 50 años (edad actual del padre)

2 2__x = __(50) = 20 años (edad actual del hijo) 5 5

43. La suma de las edades actuales de A y B es 65 años y dentro de10 años la edad de B será los 5/12 de la de A. Hallar las edadesactuales.

Edad actual de A: xEdad actual de B: 65 xEdad de A dentro de 10 años: x + 10Edad de B dentro de 10 años: 65 x + 10 = 75 x (1)5/12 de la edad de A dentro de 10 años:

5___(x + 10) (2) 12


575 x = ___(x + 10) 12




12(75 x) = 5(x + 10)900 12x = 5x + 5012x 5x = 50 90017x = 850

850x = ____ 17

x = 50 años (edad actual de A)65 x = 65 50 = 15 años (edad actual de B)

44. La diferencia de las edades de un padre y su hijo es 25 años. Hace15 años la edad del hijo era los 3/8 de la del padre. Hallar las edadesactuales.

Edad actual del hijo: xEdad actual del padre: x + 25Edad del hijo hace 15 años: x 15 (1)Edad del padre hace 15 años: x + 25 15 = x + 10 3/8 de la edad del padre hace 15 años:

3__(x + 10) (2) 8

Hace 15 años la edad del hijo era los 3/8 de la del padre. Hallar lasedades actuales:


3x 15 = ___(x + 10) 8


8(x 15) = 3(x + 10)8x 120 = 3x + 308x 3x = 30 + 1205x = 150

150x = ___ 5



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Mínimo común múltiplo.…

Geometría Analítica. Ej…

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Interés, interés compuesto

Interés, interés simple

Lenguaje algebraico, n…

Fórmulas. Ejercicios res…

Sistemas de tres ecuaci…

Ecuaciones literales de …

Problemas que se resu…

x = 30 años (edad actual del hijo)x + 25 = 30 + 25 = 55 años (edad actual del padre)

45. Hace 10 años la edad de un padre era doble que la de su hijo ydentro de 10 años la edad del padre será los 3/2 de la de su hijo.Hallar las edades actuales.

Edad actual del hijo: xEdad del hijo hace 10 años: x 10Edad del padre hace 10 años: 2(x 10): 2x 20 (1)Edad del hijo dentro de 10 años: x + 10Edad del padre dentro de 10 años:

3___(x + 10) (2) 2

Si la edad del padre hace 10 años era: 2x 20, dentro de 10 años será20 años más, por lo que:

Edad del padre dentro de 10 años: 2x 20 + 20 = 2x (3)


3__(x + 10) = 2x2


3(x + 10) = 2(2x)3x + 30 = 4x3x 4x = 30 x = 30

x = 30 años (edad actual del hijo)

2x = 2(30) = 60 años (edad del padre dentro de 10 años)

Por tanto, la edad actual del padre: 60 10 = 50 años.

46. A tiene 18 años más que B. Hace 18 años la edad de A era los 5/2de la edad de B. Hallar las edades actuales.

Edad actual de B: xEdad actual de A. x + 18

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Edad de B hace 18 años: x 18Edad de A hace 18 años: x + 18 18 = x (1)5/2 de la edad de B hace 18 años:

5___(x 18) (2) 2

Hace 18 años la edad de A era los 5/2 de la edad de B:


5x = ___(x 18) 2


2x = 5(x 18)2x = 5x 902x 5x = 90 3x = 90

90x = ____ 3

x = 30 años (edad actual de B)x + 18 = 30 + 18 = 48 años (edad actual de A)

47. La edad de A es el triplo de la de B y hace 4 años la suma deambas edades era igual a la que tendrá B dentro de 16 años. Hallar lasedades actuales.

Edad actual de B: xEdad actual de A: 3xEdad de B hace 4 años: x 4Edad de A hace 4 años: 3x 4La suma de ambas edades hace 4 años: x 4 + 3x 4 = 4x 8 (1)Edad de B dentro de 16 años: x + 16 (2)


4x 8 = x + 164x x = 16 + 83x = 24

24

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Ecuaciones con logarit…

x = ___ 3

x = 8 años (edad actual de B)3x = 3(8) = 24 años (edad actual de A)

48. A tiene doble dinero que B. Si A le diera a B $20, tendría los 4/5 delo que tendría B. ¿Cuánto tiene cada uno?

B tiene: xA tiene: 2xA le da $20 a B, por lo que:A se queda con: 2x 20 (1)B tiene ahora: x + 204/5 de lo que tiene B:

4___(x + 20) (2) 5

A tendría los 4/5 de lo que tendría B:


42x 20 = ___(x + 20) 5


5(2x 20) = 4(x + 20)10x 100 = 4x + 8010x 4x = 80 + 1006x = 180

180x = ____ 6

x = $30 (lo que tiene B)2x = 2(30) = $60 (lo que tiene A)

49. B tiene los 3/5 de lo que tiene A. Si B le gana a A $30, B tendrá los9/5 de lo que le quede a A. ¿Cuánto tiene cada uno?

A tiene: xB tiene: 3/5(x)B le gana $30 a A, por tanto:

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A se queda con: x 30B ahora tiene:

3___(x) + 30 (1) 5

9/5 de lo que le quede a A:

9___(x 30) (2) 5

B tendrá los 9/5 de lo que le quede a A:


3 9___(x) + 30 = ___(x 30) 5 5


3x + 150 9x 270_______ = _______ 5 5

3x + 150 = 9x 2703x 9x = 270 150 6x = 420

420x = _____ 6

x = $70 (lo que tiene A)

3 3__x = __(70) = $42 (lo que tiene B) 5 5

50. A y B empiezan a jugar con igual suma de dinero. Cuando A haperdido $30 tiene la mitad de lo que tiene B. ¿Con cuánto empezó ajugar cada uno?

A empieza a jugar con: xB empieza a jugar con: x



A pierde $30 y B gana $30:A tiene ahora: x 30 (1)B tiene ahora: x + 30La mitad de lo que tiene B:

1___(x + 30) (2) 2

Cuando A ha perdido $30 tiene la mitad de lo que tiene B:


1x 30 = __(x + 30) 2


2(x 30) = x + 302x 60 = x + 302x x = 30 + 60x = $90 (con lo que empiezan a jugar A y B)

51. A y B empiezan a jugar teniendo B los 2/3 de lo que tiene A.Cuando B ha ganado $22 tiene los 7/5 de lo que le queda a A. ¿Concuánto empezó a jugar cada uno?

A empieza a jugar teniendo: xB empieza a jugar teniendo: 2/3(x)B gana $22 y A pierde $22:A tiene ahora: x 22B tiene ahora:

2__x + 22 (1) 3

7/5 de lo que le queda a A:

7__(x 22) (2) 5

Cuando B ha ganado $22 tiene los 7/5 de lo que le queda a A:




2 7__x + 22 = __(x 22) 3 5


2x + 66 7x 154______ = _______ 3 5

5(2x + 66) = 3(7x 154)10x + 330 = 21x 46210x 21x = 462 330 11x = 792

792x = _____ 11

x = $72 (con lo que empieza a jugar A)

2 2 144__x = __(72) = ____ = $48 (con lo que empieza a jugar B) 3 3 3

52. A tiene los 4/5 de lo que tiene B. Si A gana $13 y B pierde $5,ambos tendrán lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?

B tiene: xA tiene: 4/5(x)Si A gana $13, ahora tendrá:

4__x + 13 (1) 5

Si B pirede $5, ahora tendrá: x 5 (2)

Si A gana $13 y B pierde $5, ambos tendrán lo mismo:


4__x + 13 = x 5 5




4x + 65 = 5x 254x 5x = 25 65 x = 90

x = $90 (lo que tiene B)

4 4 360__x = __(90) = ____ = $72 (lo que tiene A) 5 5 5

53. B tiene la mitad de lo que tiene A. Si B le gana a A una suma iguala 1/3 de lo que tiene A, B tendrá $5 más que A. ¿Cuánto tiene cadauno?

A tiene: xB tiene la mitad de lo que tiene A: 1/2(x)1/3 de lo que tiene A: 1/3(x)Si B le gana a A 1/3 de lo que tiene A, entonces:A se queda con: 1 3x x 2xx __x = _____ = ___ 3 3 3

B tendrá:

1 1 3x + 2x 5x__x + __x = ______ = ____ 2 3 6 6

Si B le gana a A una suma igual a 1/3 de lo que tiene A, B tendrá $5más que A:

5x 2x___ = ___ + 5 6 3


5x 2x + 15___ = ______ 6 3

15x = 12x + 9015x 12x = 903x = 90



90x = ____ 3

x = $30 (lo que tiene A)

1 1__x = __(30) = $15 ( lo que tiene B) 2 2

54. A y B empiezan a jugar con igual suma de dinero. Cuando B haperdido los 3/5 del dinero con que empezó a jugar, A ha ganado $24.¿Con cuánto empezaron a jugar?

A empieza a jugar con: xB empieza a jugar con: xB pierde los 3/5 del dinero con que empezó a jugar. Ahora B tiene:

3 5x 3x 2xx __x = ______ = ___ 5 5 5

A gana $24, lo cual quiere decir que los 3/5 de su dinero que pierde B,es igual a 24. Entonces:

3__x = 24 5


3x = 5(24)3x = 120

120x = ___ 3

x = $40 (con lo que empezaron a jugar ambos)

55. A y B empiezan a jugar con igual suma de dinero. Cuando B haperdido los 3/4 del dinero con que empezó a jugar, lo que ha ganado Aes $24 más que la tercera parte de lo que le queda a B. ¿Con cuántoempezaron a jugar?

A empieza a jugar con: xB empieza a jugar con: xB pierde los 3/4 del dinero con que empezó a jugar. Ahora B tiene:



3 4x 3x xx __x = ______ = __ 4 4 4

Tercera parte de lo que le queda a B:

1 x x__(___) = ___ 3 4 12

A gana $24 más que la tercera parte de lo que le queda a B, lo cualquiere decir que lo que pierde B, que es:

3__x 4

es igual a la tercera parte de lo que le queda a B más $24, es decir,igual a:

x__ + 2412

Entonces:

3 x__x = __ + 24 4 12


3x x + 288___ = _______ 4 12

12(3x)_____ = x + 288 4

3(3x) = x + 2889x = x + 2889x x = 2888x = 288

288x = ___



8

x = $36 (con lo que empezaron a jugar ambos)

56. A tiene 38 años y B 28 años. ¿Dentro de cuántos años la edad deB será los 3/4 de la edad de A?

A tiene: 38B tiene: 28En x años, A tendrá: 38 + xEn x años, B tendrá: 28 + x3/4 de la edad de A dentro de x años:

3 __(38 + x) 4

¿Dentro de cuántos años la edad de B será los 3/4 de la edad de A?

328 + x = ___(38 + x) 4


4(28 + x) = 3(38 + x)112 + 4x = 114 +3x4x 3x = 114 112x = 2 (dentro de 2 años)

57. A tiene 52 años y B 48. ¿Cuántos años hace que la edad de B eralos 9/10 de la de A?

A tiene: 52B tiene: 48Hace x años A tenía: 52 xHace x años B tenía: 48 x9/10 de la edad de A hace x años:

9___(52 x) 10

¿Cuántos años hace que la edad de B era los 9/10 de la de A?

948 x = ___(52 x)



10


10(48 x) = 9(52 x)480 10x = 468 9x 10x + 9x = 468 480 x = 12

x = 12 (hace 12 años)

58. Enrique tiene $50 y Ernesto $22. Si ambos reciben una mismasuma de dinero, Ernesto tiene los 3/5 de lo de Enrique. ¿Cuál es esasuma?

Enrique tiene: 50Ernesto tiene: 22Si Enrique recibe x, ahora tiene: 50 + xSi Ernesto recibe x, ahora tiene: 22 + x3/5 de la nueva cantidad de Enrique:

3__(50 + x) 5

Si ambos reciben una misma suma de dinero, Ernesto tiene los 3/5 delo de Enrique:

322 + x = ___(50 + x) 5

5(22 + x) = 3(50 + x)110 + 5x = 150 + 3x5x 3x = 150 1102x = 40

40x = ___ 2

x = $20 (cantidad que reciben)

59. Pedro tenía $90 y su hermano $50. Ambos gastaron igual suma yahora el hermano de Pedro tiene los 3/11 de lo que tiene Pedro.¿Cuánto gastó cada uno?

Pedro tenía: 90



Su hermano tenía: 50Pedro gasta x y ahora tiene: 90 xSu hermano gasta x y ahora tiene: 50 x

Ahora, el hermano de Pedro tiene los 3/11 de lo que tiene Pedro:

350 x = ___(90 x) 11


11(50 x) = 3(90 x)550 11x = 270 3x11x + 3x = 270 5508x = 280

280x = _____ 8

x = $35 (lo que gastó cada uno) 60. Una persona tiene los 3/4 de la edad de su hermano. Dentro de unnúmero de años igual a la edad actual del hermano mayor, la suma deambas edades será 75 años. Hallar las edades actuales.

Edad del hermano mayor: xEdad del hermano menor: 3/4(x)Dentro de un número de años igual a la edad del hermano mayor, éstetendrá: x + x = 2x (1)Dentro de un número de años igual a la edad del hermano mayor, elmenor tendrá:

3 3x + 4x 7x___x + x = _______ = ____ (2) 4 4 4

Dentro de un número de años igual a la edad actual del hermanomayor, la suma de ambas edades será 75 años:

Sumando las expresiones (1) y (2) e igualando a 75:

7x2x + ___ = 75 4




8x + 7x = 30015x = 300

x = 20 años (edad del hermano mayor)

3 3 60 __x = __(20) = ___ = 15 años (edad del hermano menor) 4 4 4

61. A tenía $54 y B $32. Ambos ganaron una misma cantidad dedinero y la suma de lo que tienen ahora excede en $66 al cuádruplo delo que ganó cada uno. ¿Cuánto ganó cada uno?

A tenía: 54B tenía: 32Ambos ganaron x, por lo que:A tiene ahora: 54 + xB tiene ahora: 32 + xSuma de lo que tienen ahora: 54 + x + 32 + x = 86 + 2xCuádruplo de lo que ganó cada uno: 4xla suma de lo que tienen ahora excede en $66 al cuádruplo de lo queganó cada uno:

86 + 2x = 4x + 66


2x 4x = 66 86 2x = 20

20x = ____ 2

x = $10 (lo que ganó cada uno)

62. A tenía $153 y B, $12. A le dio a B cierta suma y ahora A tiene 1/4de lo que tiene B. ¿Cuánto le dio A a B?

A tenía: 153B tenía: 12A le dio x a B, por lo que:A tiene ahora: 153 x B tiene ahora: 12 + x1/4 de lo que tiene B ahora:

1



__(12 + x) 4

A le dio a B cierta suma y ahora A tiene 1/4 de lo que tiene B:

1153 x = ___(12 + x) 4


4(153 x) = 12 + x612 4x = 12 + x 4x x = 12 6125x = 600

600x = _____ 5

x = $120 (lo que A le dio a B)

63. La longitud de un rectángulo excede al ancho en 3 m. Si cada

dimensión se aumenta en 1 m la superficie se aumenta en 22 m2.Hallar las dimensiones del rectángulo.

Ancho: xLa longitud (largo) excede (es más grande) en 3 m al ancho: x + 3El área o superficie de un rectángulo se calcula mediante la fórmula:

A = (largo)(ancho)

Entonces:

A = (x + 3)(x) = x2 + 3x

Si cada dimensión se aumenta en 1 m, tenemos:

Nuevo ancho: x + 1Nuevo largo: x + 3 + 1 = x + 4Nueva área (NA):

NA = (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + x + 4 = x2 + 5x + 4

Si cada dimensión se aumenta en 1 m la superficie se aumenta en 22



m2:

NA = A + 22

Sustituyendo:

x2 + 5x + 4 = x2 + 3x + 22


x2 + 5x x2 3x = 22 42x = 18

18x = ___ 2

x = 9 m (ancho del rectángulo)x + 3 = 9 + 3 = 12 m (largo del rectángulo)

64. Una de las dimensiones de una sala rectangular es el doble de laotra. Si cada dimensión se aumenta en 5 m el área se aumentaría en160 m2. Hallar las dimensiones del rectángulo.

Ancho: xLargo es el doble que el ancho: 2xÁrea o superficie:

A = (x)(2x) = 2x2

Ancho se aumenta en 5 m: x + 5Largo se aumenta en 5 m : 2x + 5Nueva área (NA):

NA = (x + 5)(2x + 5) = 2x2 + 5x + 10x + 25 = 2x2 + 15x + 25

Si cada dimensión se aumenta en 5 m el área se aumentaría en 160m2:

NA = A + 160

Sustituyendo:

2x2 + 15x + 25 = 2x2 + 160




2x2 + 15x + 25 2x2 = 16015x = 160 2515x = 135

135x = ___ 15

x = 9 m (ancho)2x = 2(9) 18 m (largo)

65. Una dimensión de un rectángulo excede a la otra en 2 m. Siambas dimensiones se disminuyen en 5 m el área se disminuye en 115m2: Hallar ambas dimensiones.

Ancho: xLargo excede (es más grande) al ancho en 2 m: x + 2Área o superficie:

A = (x)(x + 2) = x2 + 2x

Ancho se disminuye en 5 m: x 5Largo se disminuye en 5 m : x + 2 5 = x 3Nueva área (NA):

NA = (x 5)(x 3) = x2 3x 5x + 15 = x2 8x + 15

Si cada dimensión se disminuye en 5 m el área se disminuye en 115m2:

NA = A 115

Sustituyendo:

x2 8x + 15 = x2 + 2x 115


x2 8x x2 2x = 115 1510x = 130

130x = ____ 10

x = 13 m (ancho)



x + 2 = 13 + 2 = 15 m (largo)

66. La longitud de un rectángulo excede en 24 m al lado del cuadradoequivalente al rectángulo y su ancho es 12 m menos que el lado dedicho cuadrado. Hallar las dimensiones del rectángulo.

Lado del cuadrado: xLongitud (largo) del rectángulo: x + 24Ancho del rectángulo: x 12

El cuadrado equivalente a un rectángulo es el cuadrado cuya área osuperficie es igual que la del rectángulo:

Recordemos que el área del cuadrado se calcula: (lado)(lado) = lado2

Y la del rectángulo: A = (largo)(ancho) = (base)(altura)

Por tanto:

Área del cuadrado: x2 (1)Área del rectángulo:

(x + 24)(x 12) = x 12x + 24x 288 = x2 + 12x 288 (2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2).

x2 = x2 + 12x 288


x2 x2 12x = 288 12x = 288

288x = _____ 12

x = 24 m (lado del cuadrado)

x + 24 = 24 + 24 = 48 m (largo del rectángulo)x 12 = 24 12 = 12 m (ancho del rectángulo)

67. La longitud de un campo rectangular excede a su ancho en 30 m.Si la longitud se disminuye en 20 m y el ancho se aumenta en 15 m, elárea se disminuye en 150 m2. Hallar las dimensiones del rectángulo.

Ancho del rectángulo: xLongitud (largo) del rectángulo excede a su ancho en 30 m: x + 30



Área del rectángulo (A): (x)(x + 30) = x2 + 30x Longitud (largo) se disminuye en 20 m: x + 30 20 = x + 10Ancho se aumenta en 15 m: x + 15.Nueva área (NA): (x + 10)(x + 15): x2 + 25x + 150

Si la longitud se disminuye en 20 m y el ancho se aumenta en 15 m, elárea se disminuye en 150 m2.

NA = A 150

Sustituyendo en esta ecuación:

x2 + 25x + 150 = x2 + 30x 150


x2 + 25x x2 30x = 150 150 5x = 300

300x = ____ 5

x = 60 m (ancho del rectángulo)x + 30 = 60 + 30 = 90 m (largo del rectángulo)

68. La longitud de una sala excede a su ancho en 10 m. Si la longitudse disminuye en 2 m y el ancho se aumenta en 1 m el área no varía.Hallar las dimensiones de la sala.

Ancho de la sala: xLongitud (largo) de la sala excede a su ancho en 10 m: x + 10Área de la sala (A): (x)(x + 10) = x2 + 10x Longitud (largo) se disminuye en 2 m: x + 10 2 = x + 8Ancho se aumenta en 1 m: x + 1.Nueva área (NA): (x + 8)(x + 1): x2 + 9x + 8

Si la longitud se disminuye en 2 m y el ancho se aumenta en 1 m, elárea no varía.

NA = A

Sustituyendo en esta ecuación:

x2 + 9x + 8 = x2 + 10x




x2 + 9x x2 10x = 8 x = 8

8x = ____ 1

x = 8 m (ancho de la sala)x + 10 = 8 + 10 = 18 m (largo de la sala)

69. El numerador de una fracción excede al denominador en 2. Si eldenominador se aumenta en 7, el valor de la fracción es 1/2. Hallar lafracción.

Denominador de la fracción: xEl numerador de la fracción excede en 2 al denominador: x + 2El denominador aumenta en 7: x + 7

Si el denominador aumenta en 7, el valor de la fracción es 1/2:

x + 2 1_____ = __x + 7 2


2(x + 2) = x + 72x + 4 = x + 72x x = 7 4x = 3 (denominador)x + 2 = 3 + 2 = 5 (numerador)

Por tanto, la fracción es:

5___ 3

70. El numerador de una fracción es 8 unidades menor que eldenominador. Si a los dos términos de la fracción se suma 1, el valorde la fracción es 3/4. Hallar la fracción.

Denominador de la fracción: xEl numerador de la fracción es 8 unidades menor que el denominador:x 8A los dos términos de la fracción se suma 1, entonces:Denominador: x + 1



Numerador: x 8 + 1 = x 7

Si a los dos términos de la fracción se suma 1, el valor de la fracción es3/4:

x 7 3_____ = __x + 1 4


4(x 7) = 3(x + 1)4x 28 = 3x + 34x 3x = 3 + 28x = 31x = 31 (denominador)x 8 = 31 8 = 23 (numerador)


23___ 31

71. El denominador de una fracción excede al duplo del numerador en1. Si al numerador se resta 4, el valor de la fracción es 1/3. Hallar lafracción.

Numerador de la fracción: xDuplo del numerador: 2xEl denominador excede (es mayor) al duplo del numerador en 1: 2x + 1Si al numerador se resta 4: x 4, entonces, el valor de la fracción es1/3:

x 4 1______ = ___ 2x + 1 3


3(x 4) = 2x + 13x 12 = 2x + 13x 2x = 1 + 12x = 13 (numerador)2x + 1 = 2(13) + 1 = 26 + 1 = 27 (denominador)

Entonces, la fracción es:



13___ 27

72. El denominador de una fracción excede al duplo del numerador en6. Si el numerador se aumenta en 15 y el denominador se disminuyeen 1, el valor de la fracción es 4/3. Hallar la fracción.

Numerador: xEl denominador excede (es más grande) al duplo del numerador en 6:2x + 6El numerador se aumenta en 15: x + 15El denominador se disminuye en 1: 2x + 6 1 = 2x + 5

Si el numerador se aumenta en 15 y el denominador se disminuye en1, el valor de la fracción es 4/3:

x + 15 4______ = ___ 2x + 5 3


3(x + 15) = 4(2x + 5)3x + 45 = 8x + 203x 8x = 20 45

5x = 25

25x = ___ 5

x = 5 (numerador)2x + 6 = 2(5) + 6 = 10 + 6 = 16 (denominador)


5___ 16

73. El numerador de una fracción excede al denominador en 22. Si alnumerador se resta 15, la diferencia entre la fracción primitiva y lanueva fracción es 3. Hallar la fracción primitiva.

Denominador: x



El numerador excede al denominador en 22, por lo que el numeradores: x + 22

Fracción primitiva:

x + 22_____ x

Al numerador se resta 15: x + 22 15 = x + 7

Nueva fracción:

x + 7____ x

Si al numerador se resta 15, la diferencia entre la fracción primitiva y lanueva fracción es 3:

x + 22 x + 7______ ______ = 3 x x


x + 22 (x + 7)_____________ = 3 x

x + 22 x 7_____________ = 3 x

15____ = 3 x

3x = 15

15x = ___ 3

x = 5 (denominador)



x + 22 = 5 + 22 = 27 (numerador)

Luego, la fracción primitiva es:

27___ 5

74. Si Juan puede fabricar un pedido en 3 días y Ricardo lo fabrica en6 días, ¿en cuánto tiempo lo realizarán si se unen para llevar a cabo eltrabajo?

Número de días que tarda Juan en fabricar el pedido: 3Juan realiza cada día la tercera parte del pedido: 1/3Número de días que tarda Ricardo en fabricar el pedido: 6Ricardo realiza cada día la sexta parte del pedido: 1/6Representamos el pedido (entero) por: x

Cada día se realiza una parte del pedido:

1__x

que es 1/3 en el caso de Juan y 1/6, en el de Ricardo. Si trabajanjuntos, realizará la suma de las dos partes:

1 1 1___ + ___ = ___ 3 6 x


2 + 1 1______ = ___ 6 x

3 1___ = ___ 6 x

3x = 6 6x = ___ 3

x = 2 días (lo que se tardan trabajando juntos)



75. Una manguera llena un tanque en 8 minutos y otra lo llena en 24minutos. ¿En cuánto tiempo lo llenan las dos juntas?

La primera manguera tarda en llenar el tanque: 8 minutosLa primera manguera llena la octava parte del tanque en 1 minuto: 1/8del tanqueLa segunda manguera tarda en llenar el tanque: 24 minutosLa segunda manguera llena la veinticuatroava parte del tanque en 1minuto: 1/24 del tanqueRepresentamos la capacidad del tanque por: x

Cada minuto se llena una parte de la capacidad total del tanque:

1__ x

que es 1/8 en el caso de la primera manguera y 1/24, en el caso de lasegunda.

Si ambas mangueras lo llenan al mismo tiempo, se llenará la suma delas partes en cada minuto:

1 1 1___ + ___ = ___ 8 24 x


3 + 1 1______ = ____ 24 x

4 1___ = ___24 x

4x = 24

24x = ___ 4

x = 6 minutos (lo que se tardan llenándolo juntas las dosmangueras).

76. Para llenar una alberca una llave requiere 15 horas; una segunda,



90 horas. Estando llena la alberca, se vacía en 30 horas. ¿En cuántotiempo se llenará con ambas llaves, estando abierto el desagüe?

La primera llave llena la alberca en: 15 horasLa primera llave llena una quinceava parte de la alberca cada hora:1/15La segunda llena la alberca en: 90 horasLa segunda llave llena una noventava parte de la alberca cada hora:1/90El desagüe vacía la alberca en: 30 horasEl desagüe vacía una treintava parte de la alberca cada hora: 1/30

La capacidad total de la alberca es: x

Cada hora se llena una parte de la capacidad total de la alberca:

1__ x

que es:

En el caso de la primera llave: 1/15En el caso de la segunda llave: 1/90En el caso del desagüe: 1/30 (nótese el signo negativo, ya que eneste caso disminuye en lugar de aumentar).

Por tanto, estando abiertas ambas llaves y el desagüe al mismotiempo, la alberca se llena en:

1 1 1 1___ + ___ ___ = ___ 15 90 30 x


6 + 1 3 1_________ = ___ 90 x

4 1___ = ___ 90 x

4x = 90

90x = ___



4

x = 22. 5 horas.

Publicado 28th December 2014 por Ab Fénix

Ubicación: Santiago de Querétaro, QRO, México

Etiquetas: ALGEBRA, ECUACIONES, ECUACIONES DE PRIMERGRADO, ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA,

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