sistemas lineales análisis de error prof.: dra. nélida beatriz brignole
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Sistemas LinealesSistemas Lineales
Análisis de error
Prof.: Dra. Nélida Beatriz Brignole
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ErroresErrores
Errores de redondeoErrores en los valores de A y b Incertidumbre en la solución
calculada x
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ResiduoResiduo
*
1
1*
*
)( demedida es )(
0)(
)(
xxxexr
bAxxr
Axbxr
bAxe
bAx
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Sistema mal condicionadoSistema mal condicionado
01868832.01868832.0det
8648.02969.1
2161.01441.00
8642.08648.02969.1
2
2
10
10
4870.0
9911.0
1440.0
8642.0
1441.02161.0
8648.02969.1
1440999923.0
*8
8
A
X
grande e pequeño r
x :es V.V. el embargo sinr
xbA
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Relación entre residuo y errorRelación entre residuo y error
)()()(
)()(
)()(
)()(
11
1
*
*
*
xrAxrAxe
xrAxe
xrxeA
xrxxA
bAxAxAx
bAx
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Relación entre residuo y errorRelación entre residuo y error
b
xrAKxrA
b
A
x
xrA
x
xe
b
A
xxAbAx
x
xrA
x
xe
xrAxe
)()()(
)()(
1
)()(
)()(
1
*
1
*
***
*
1
*
1
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Número de condiciónNúmero de condición
ini
ini
ini
ini
ini
ini
Ay A
AAAK
porque mín
AK
AAAA
AA
AA porque AAAAAK
AK
IIAAAAAK
1
1
1
11
1
1
1
11
11
11
11
min
1)(max)(
min
1max)()()(
max)(
)()(
)(
)()()()(
1)(
1)()(
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Cotas de errorCotas de error
b
bAA
x
b
A
AA
x
bA
x
bA
x
x
bAx
bAx
bxA
bbxxA
AK
)(
1
*
1
*
1
*
1
*
1
1
*
cia)(consisten
)(
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Cotas de errorCotas de error
A
AAK
xx
x
A
AAAAA
xx
x
xxAAxxAAx
xxAAx
xxAxA
xAAxxA
bxxAA
)(
)(
)(
0)(
0
))((
*
11
*
*1
*1
*1
*
*
*
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Resolución de Sistemas LinealesResolución de Sistemas Lineales
Métodos directos:
Refinamiento iterativo
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Refinamiento iterativoRefinamiento iterativo
rxA
xxAxAAxr
xAbr
)(
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Algoritmo: Refinamiento IterativoAlgoritmo: Refinamiento Iterativo
lazo fin
deseado) error el alcanzó se(no PARARiti Si
solución)la es x ( PARARb
r Si
más) refinar puede se(no PARARrr Si
iaconvergenc de d)Test
Axbr precisión doble en Calcular c)
xxx b)
rxA LU cióndescomposi por Resolver a)
:hacer iaconvergenc hasta i para 2)
Axbrprecisión doble en Calcular 1)
bAx de aproximada soluciónx :Dado
ii
ii
ii
iii
ii
max
1
1
11
11
00
0
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Resolución de Sistemas LinealesResolución de Sistemas Lineales
Métodos iterativos
)(1 kk xx
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Métodos iterativosMétodos iterativos
Ventajas?– Espacio: convenientes para matrices ralas (sparse)
– Tiempo: menor número de operaciones
Desventajas?– Velocidad: convergencia lenta
– Convergencia: no siempre se obtiene la solución en un número finito de pasos
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Diseño generalDiseño general
kk CxBbBx
CxBbBx
bCxBx
bxCB
bAx
111
11
)(
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Cuándo tiene sentido esto?Cuándo tiene sentido esto?
kk
kk
kk
kk
eCBe
xxCBxx
CxBbBx
CxBbBx
xx
11
*1
*1
111
*11
*
*
)(
lim
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Análisis de errorAnálisis de error
11
0
111
211
111
CB
:iaconvergenc de e suficientcondición
eCBeCBe
eCBCeBe
k
kk
kkk
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Condición necesaria y suficiente de convergenciaCondición necesaria y suficiente de convergencia
)(
1)(
*01
*1
1
xxMxx
M
bMxx
kk
kk
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DemostraciónDemostración
1)(
1max1
)(
)(
1
222111
0
*
222111*1*2
222111*1
2211*1
2211*1
2211*0
M
i
uuuxx
MuuMuMxxMxx
uuuxx
MuuMuMxx
uuuMxx
uuuxx
ini
i
nk
nnkk
k
nnn
nnn
nn
nn
nn
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Principales Métodos IterativosPrincipales Métodos Iterativos
JacobiGauss SeidelSOR: Sobrerelajación sucesiva
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Métodos Iterativos: JacobiMétodos Iterativos: Jacobi
nnn
knnn
kn
knnk
n
knn
kkk
knn
kkk
Pa
xaxaxabx
Pa
xaxaxabx
Pa
xaxaxabx
)(11
)(22
)(11)1(
222
)(2
)(323
)(1212)1(
2
111
)(1
)(313
)(2121)1(
1
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Métodos Iterativos: Gauss SeidelMétodos Iterativos: Gauss Seidel
nn
knnn
kn
knnk
n
knn
kkk
knn
kkk
a
xaxaxabx
axaxaxab
x
axaxaxab
x
)(11
)1(22
)1(11)1(
22
)(2
)(323
)1(1212)1(
2
11
)(1
)(313
)(2121)1(
1
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Método de JacobiMétodo de Jacobi
bDxULDx
bxULDx
bxUDL
bAx
UDLA
k
M
k
kk
J
111
1
![Page 24: Sistemas Lineales Análisis de error Prof.: Dra. Nélida Beatriz Brignole](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5665b4821a28abb57c921aa4/html5/thumbnails/24.jpg)
Método de Gauss SeidelMétodo de Gauss Seidel
bDLxUDLx
bUxxDL
bxUDL
bAx
UDLA
k
M
k
kk
GS
111
1
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Condiciones de convergenciaCondiciones de convergencia
Si A es simétrica, definida positiva, entonces Gauss-Seidel converge
Si A es estrictamente diagonal dominante por filas,
entonces Gauss-Seidel y Jacobi convergen
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Diagonal dominanciaDiagonal dominancia
ni
ni
,1aa
si columnaspor dominante diagonal
es A que dice se :Def
,1aa
si filaspor dominante diagonal
es A que dice se :Def
n
ji1i
ijjj
nxn
n
ji1j
ijii
nxn
![Page 27: Sistemas Lineales Análisis de error Prof.: Dra. Nélida Beatriz Brignole](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062323/5665b4821a28abb57c921aa4/html5/thumbnails/27.jpg)
Diagonal dominancia estrictaDiagonal dominancia estricta
ni
ni
,1aa
si columnaspor dominante diagonal nteestrictame
es A que dice se :Def
,1aa
si filaspor dominante diagonal nteestrictame
es A que dice se :Def
n
ji1i
ijjj
nxn
n
ji1j
ijii
nxn
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TeoremaTeorema
Si A es estrictamente diagonal dominante por filas , entonces A puede ser factorizada usando EG sin pivoteo por columnas
Si A es estrictamente diagonal dominante por columnas , entonces A puede ser factorizada usando EG sin pivoteo por filas
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Método SORMétodo SOR
bwLDwxwDwUwLDx
wLxDxxwDwUxwb
xwDDxUxLxbw
xwDDxwDx
wxxwwxwxxx
wwpxx
UxLxbDx
xxp
k
M
k
kkkk
kkkk
kkGSk
GSkkk
GSkkk
SORpaso
GSkk
kkGSk
kGSkGS
SOR
111
11
11
11
111
1
11
1
1
1
1
1
)1(
ión)amplificac -ón (aceleraci 1
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Condición necesaria de convergenciaCondición necesaria de convergencia
20 w
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ObservacionesObservaciones
w=1 Método de Gauss-Seidelw<1 Subrelajación
(paso más corto que el de GS)w>1 Sobrerelajación
(paso más largo que el de GS)
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Lectura obligatoriaLectura obligatoria
Rao “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists”, Prentice Hall, 2002
Págs 152-188