sistemas de unidades, mediciones, error e incerteza

INT

UES, FACULTAD DE QUIMICA Y FARMACIA. SECCION FISICA. ING.RIGOBERTO VARGAS SAAVEDRA.

FISICA. INTRODUCCION, SISTEMAS DE UNIDADES, MEDICIONES, ERROR E INCERTEZA.

2014

INTRODUCCION

La física, la más fundamental de las ciencias físicas, se ocupa de la

naturaleza y busca descifrar sus leyes. Más exactamente, la física es

una ciencia natural que estudia las propiedades del espacio, el tiempo,

la materia y la energía, así como sus interacciones. Ciencias físicas es un

término que comprende las ramas de la ciencia que estudian la estructura del

mundo físico, las leyes que lo gobiernan y, en general, la materia inorgánica.

Se suele poner en contraposición a las ciencias biológicas o ciencias de la

vida (fundamentalmente biología y medicina) que se ocupan, por el contrario,

del estudio de la materia orgánica y de la preservación de la vida.

Algunos ejemplos de ciencias físicas son:

Astronomía - Estudio de los cuerpos celestes y su análisis.

Electrónica - Estudia el comportamiento de los electrones en el vacío, en

gases y en semiconductores.

Física - Estudio del comportamiento de la materia y la energía.

Ingeniería - Aplicación industrial de los principios científicos.

Mecánica - Invención y construcción de máquinas; funcionamiento de

éstas, y cálculo de su rendimiento.

Metalurgia - Comportamiento de los metales.

Química - La ciencia que estudia la composición de las sustancias y su

interacción con la energía y con otras sustancias.

Los científicos de todas las disciplinas aplican las ideas de la física, desde los

químicos quienes estudian la estructura de las moléculas hasta los

paleontólogos quienes tratan de reconstruir la forma de andar de los

dinosaurios. También, la física es la base de toda la ingeniería y la

tecnología. Ningún ingeniero podría diseñar un dispositivo práctico, sin antes

entender sus principios básicos. No sería posible diseñar un reproductor de

DVD o blu-ray, un televisor plasma, LCD o Led, un teléfono inalámbrico o

celular, una nave interplanetaria ni tan siquiera una mejor ratonera, sin antes

haber entendido las leyes básicas de la física.

INT



2014

La física puede dividirse en cinco áreas principales:

Mecánica clásica: Movimiento de objetos grandes y con velocidades

menores que la de la luz.

Relatividad: Movimiento de objetos a cualquier velocidad, incluso cercanas a

la de la luz.

FISICA

MECANICA CLASICA RELATIVIDAD TERMODINAMICA ELECTROMAGNETISMO MECANICA CUANTICA

INT



2014

Termodinámica: Calor, trabajo, temperatura y comportamiento estadístico de

partículas.

Electromagnetismo: Electricidad, magnetismo y campos electromagnéticos.

Mecánica cuántica: Teorías relacionadas con el comportamiento de la

materia a niveles tanto micro como macroscópico.

INT



2014

Como todas las ciencias, la física parte de las observaciones experimentales

y mediciones cuantitativas. El principal objetivo de la física es encontrar

el limitado número de leyes que gobiernan los fenómenos naturales

para desarrollar teorías que puedan predecir los resultados de futuros

experimentos. Las leyes fundamentales empleadas en el desarrollo de

teorías se expresan en el lenguaje de las matemáticas, herramienta que

proporciona un puente entre la teoría y el experimento.

MAGNITUDES FISICAS

Se entiende por magnitud física toda aquella propiedad de los sistemas

físicos susceptible de ser medida o estimada por un observador o aparato

de medida y, por tanto, expresada mediante un número (o conjunto de ellos)

y una unidad de medida, y con la cual se pueden establecer relaciones

cuantitativas.

MAGNITUDES FISICAS FUNDAMENTALES

Son aquellas que se consideran por convención independientes unas de

otras. El número de magnitudes fundamentales es reducido y entre éstas se

pueden considerar la longitud, la masa y el tiempo.

MAGNITUDES FISICAS DERIVADAS

Son aquellas que se definen en función de las magnitudes fundamentales, es

decir, resultan de la combinación matemática de las fundamentales. Algunos

ejemplos son:

Combinación matemática de magnitudes fundamentales.

Resultado (Magnitud derivada)

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

Velocidad

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑

(𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜)2

Aceleración

(𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑)2 Área (𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑)3 Volumen

𝑚𝑎𝑠𝑎

(𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑)3 Densidad

(𝑚𝑎𝑠𝑎)(𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑)

(𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜)2

Fuerza

INT



2014

PATRONES DE MEDIDA

Un patrón de medidas es el hecho o fenómeno aislado y conocido que sirve

como fundamento para crear una unidad de medida.

Muchas unidades tienen patrones, pero en el sistema métrico sólo

las unidades fundamentales tienen patrones de medidas.

Los patrones deben ser accesibles e invariables: una vez que hemos

escogido un patrón fundamental, digamos, para la longitud, debemos

desarrollar procedimientos que nos permitan medir la longitud de cualquier

objeto, comparándolo con el patrón (accesible).

Se necesita que dentro de límites razonables, se obtenga la misma respuesta

siempre que comparemos el patrón con el objeto dado (invariable).

SISTEMAS DE UNIDADES

Un sistema de unidades es un conjunto coherente de unidades de medida.

La coherencia implica un respeto por las constantes que aparecen en las

ecuaciones físicas. Algunos de los sistemas de unidades que podemos

mencionar son:

Sistemas absolutos (MKS, cgs e inglés).

Sistemas gravitacionales o técnicos (MKS, cgs e inglés).

Sistema Internacional (SI).

Los sistemas absolutos y técnicos se presentan en la tabla 1.

TABLA 1. SISTEMAS DE UNIDADES ABSOLUTOS Y TECNICOS

SISTEMAS ABSOLUTOS

SISTEMA FUNDAMENTALES DERIVADAS

LONGITUD MASA TIEMPO VELOCIDAD ACELERACION FUERZA TRABAJO POTENCIA DENSIDAD PRESION AREA

MKS m kg s m/s m/s2 Newton Joule Watt kg/m3 N/m2 m2

cgs cm g s cm/s cm/s2 dina ergio erg/s g/cm3 dina/cm2 cm2

Inglés pie lb s pie/s pie/s2 poundal pdl-pie pdl-pie/s lb/pie3 pdl/pie2 pie2

SISTEMAS GRAVITACIONALES

SISTEMA FUNDAMENTALES DERIVADAS

LONGITUD FUERZA TIEMPO VELOCIDAD ACELERACION MASA TRABAJO POTENCIA DENSIDAD PRESION AREA

MKS m kgf s m/s m/s2 utm kgf-m kgf-m/s utm/m3 kgf/m2 m2

cgs cm gf s cm/s cm/s2 slug cgs gf-cm gf-cm/s slug/cm3 gf/cm2 cm2

Inglés pie lbf s pie/s pie/s2 slug lbf-pie lbf-pie/s slug/pie3 lbf/pie2 pie2

INT



2014

SISTEMA INTERNACIONAL (SI)

El sistema SI fue establecido en 1960 por la XI Conferencia General de

Pesas y Medidas (CGPM): “El Sistema Internacional de Unidades SI, es el

sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la CGPM”.

Desde el punto de vista científico, la división de las unidades SI en dos clases

es arbitraria puesto que no es impuesta por la física. A pesar de ello, la

Conferencia General tomó en consideración las ventajas que presenta la

adopción de un sistema de unidades, único y práctico, para las relaciones

internacionales, la enseñanza y la investigación científica y decidió fundar el

Sistema Internacional sobre la elección de siete unidades bien definidas que

conviene considerar como independientes desde el punto de vista

dimensional: el metro, el kilogramo, el segundo, el amperio, el kelvin, el mol y

la candela. Estas unidades SI son llamadas unidades básicas o

fundamentales.

TABLA 2. UNIDADES BASICAS SI.

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eléctrica ampere A

temperatura kelvin K

cantidad de materia mol mol

intensidad luminosa candela Cd

Longitud

Un metro se define como la distancia que viaja la luz en el vacío en

1/299792458 segundos. Esta norma fue adoptada en 1983 cuando la

velocidad de la luz en el vacío fue definida exactamente como

299 792 458 m/s.

INT



2014

Masa

Un kilogramo se define como la masa del kilogramo patrón, un cilindro

compuesto de una aleación de platino-iridio, que se guarda en la Oficina

Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres, cerca de París. Actualmente es

la única que se define por un objeto patrón.

Tiempo

Un segundo (s) es el tiempo recorrido por 9 192 631 770 ciclos de la

radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del

estado fundamental del átomo de cesio 133. Esta definición fue adoptada

en 1967.

Intensidad de corriente eléctrica

El amperio, también llamado ampere, (A) es la intensidad de una corriente

eléctrica constante que, mantenida en dos conductores paralelos

de longitud infinita, de sección circular despreciable y ubicados a una

distancia de 1 metro en el vacío, produce una fuerza entre ellos igual a

2×10-7 Newton por cada metro.

Temperatura

El kelvin (K) se define como la fracción 1/273,16 de la temperatura

termodinámica del punto triple del agua.

Cantidad de sustancia

Un mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas

entidades elementales como átomos hay en 0,012 kg de carbono 12,

aproximadamente 6,022 141 79 (30) × 1023.

Cuando se usa el mol, las entidades elementales deben ser especificadas y

pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos

específicos de tales partículas.

Intensidad luminosa

Una candela (cd) es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una

fuente que emite radiación monocromática con frecuencia de

540 × 1012 Hz de forma que la intensidad de radiación emitida, en la dirección

indicada, es de 1/683 W por estereorradián. 57 por hora.

INT



2014

La tabla 3 da algunos ejemplos de unidades derivadas expresadas a partir de

unidades básicas.

TABLA 3. ALGUNAS UNIDADES DERIVADAS DEL SI.

Magnitud derivada Nombre Símbolo

Área, Superficie metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

Velocidad metro por segundo m/s

Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2

Densidad kilogramo por metro cúbico kg/m3

Volumen másico metro cúbico por kilogramo m3/kg

Número de onda metro a la potencia menos uno m 1

Densidad de corriente amperio por metro cuadrado A/m2

Campo magnético amperio por metro A/m

Concentración (de cantidad de sustancia) mol por metro cúbico mol/m3

Índice de refracción uno (el número) 1

INT



2014

En la tabla 4 se muestran algunas unidades con nombres especiales y

símbolos particulares.

TABLA 4.

Magnitud

derivada

Nombre Símbolo Expresión

utilizando otras

unidades SI

Expresión en

unidades SI

básicas

Ángulo plano radián Rad ----- m . m 1= 1

Frecuencia hertz Hz ----- s 1

Fuerza newton N ----- m . kg . s 2

Presión pascal Pa N/m2 m 1. kg . s2

Energía, Trabajo Joule J N - m m2 . kg . s 2

Potencia Watt W J/s m2 . kg . s 3

Carga eléctrica Coulomb C ----- A . s

Potencial

eléctrico

Volt V W/A m2 . kg . s 3. A 1

Resistencia

eléctrica

Ohm V/A m2 . kg . s 3. A 2

INT



2014

La tabla 5 nos muestra los múltiplos y submúltiplos decimales de las

unidades SI.

TABLA 5.

Factor Prefijo Símbolo

101 deca da

102 hecto h

103 kilo k

106 mega M

109 giga G

1012 tera T

1015 peta P

1018 exa E

1021 zetta Z

1024 yotta Y

10 1 deci d

10 2 centi c

10 3 mili m

10 6 micro

10 9 nano n

10 12 pico p

10 15 femto f

10 18 atto a

10 21 zepto z

10 24 yocto y

INT



2014

REGLAS PARA ESCRIBIR LOS SIMBOLOS DE UNIDADES DEL SI

Además de saberse las unidades en que se miden las magnitudes que usan

los científicos, también tienen que aprender a escribirlas correctamente. Por

ejemplo, si quieres expresar por escrito tu estatura, la manera correcta de

hacerlo es 1,65 m, y no 1 m 65, ni 1 metro 60, ni 1,60 M. Para podernos

entender fácilmente y para que no haya confusión se han formulado estas

reglas para escribir los símbolos de unidades:

Los símbolos de unidades, con excepción del ohm (), se escriben con

letras minúsculas, por ejemplo: segundo s, metro m

Los símbolos que se derivan de nombres propios se escriben con

letra mayúscula, por ejemplo: newton N, coulomb C, joule J

Los símbolos de unidades nunca llevan punto y no tienen plural, por

ejemplo: 20 gramos se escribe 20 g, 35 metros se escribe 35 m

Cuando se usan prefijos el símbolo de la unidad se escribe después del

prefijo y sin espacio entre ambos, por ejemplo: kilometro se escribe km,

milisegundo se escribe ms

El producto de los símbolos de dos o más unidades se indica con

preferencia por medio de un punto, como símbolo de multiplicación.

Dicho punto puede ser suprimido en caso de que no sea posible la

confusión con otro símbolo de unidad. Por ejemplo: newton-metro se

puede escribir N.m, N·m o Nm, nunca mN, que significa mili newton.

Cuando una unidad secundaria, o derivada, se forma dividiendo una

unidad por otra, se puede escribir, por ejemplo: m/s o equivalentemente

m.s 1

La unidad va siempre después del número, por ejemplo: 1,60 m y no

1 m 60

FACTORES DE CONVERSION

Los factores de conversión permiten trasladar el valor de una magnitud física de un sistema de unidades a otro, u obtener el valor equivalente de la magnitud en relación a múltiplos o submúltiplos de la misma unidad.

INT



2014

CONVERSION ENTRE UNIDADES DE LONGITUD

Los factores de conversión se obtienen a partir de las equivalencias que se encuentran en las TABLAS DE FACTORES DE CONVERSION.

Ejemplo: Convertir 85.3 cm en (a) metros, y (b) pies

(a) 85.3 𝑐𝑚 . 1 𝑚

100 𝑐𝑚= 0.853 𝑚

(b) 85.3 𝑐𝑚 . 1 𝑝𝑖𝑒

30.48 𝑐𝑚= 2.80 𝑝𝑖𝑒

CONVERSION ENTRE UNIDADES DE VOLUMEN

Ejemplo: Convertir 250 cm3 en (a) m3, y (b) litros

(a) 250 𝑐𝑚3 . 1𝑚3

106𝑐𝑚3= 2.5𝑥10 4𝑚3

(b) 250 𝑐𝑚3 . 1 𝐿

1000𝑐𝑚3= 0.25 𝐿

Otra forma de resolver el literal (a), utilizando los factores de conversión de longitud:

250 𝑐𝑚3 . (1 𝑚)3

(100 𝑐𝑚)3= 2.5𝑥10 4 𝑚3

CONVERSION ENTRE UNIDADES DE MASA

Ejemplo: Convertir 25 lb a (a) kg, y (b) oz

(a) 25 𝑙𝑏 . 1 𝑘𝑔

2.205 𝑙𝑏= 11.34 𝑘𝑔

(b) 25 𝑙𝑏 . 16 𝑜𝑧

1 𝑙𝑏= 400 𝑜𝑧

INT



2014

CONVERSION CON UNIDADES COMBINADAS

Ejemplo de conversión de unidades de velocidad y aceleración.

Convertir 140 km/h en m/s

140 𝑘𝑚

ℎ .

1000 𝑚

1 𝑘𝑚 .

1 ℎ

3600 𝑠= 38.9 𝑚/𝑠

Convertir 59000 pie/min2 en m/s2

59000 𝑝𝑖𝑒

𝑚𝑖𝑛2 .

0.3048 𝑚

1 𝑝𝑖𝑒 .

(1 𝑚𝑖𝑛)2

(60 𝑠)2= 4.995 𝑚/𝑠2

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Recibe el nombre de Análisis dimensional aquella disciplina que se ocupa del estudio de diversas propiedades de las ecuaciones físicas utilizando el concepto de dimensión. La dimensión es una propiedad inherente a toda magnitud física, que permite establecer una relación entre la magnitud dada y un número reducido de otras magnitudes que se denominan fundamentales.

Las dimensiones de una cantidad física (mecánica) son su expresión en términos de las cantidades elementales de longitud, masa y tiempo, abreviadas como L, M y T. Podemos ver ejemplos en la tabla 6.

TABLA 6. DIMENSIONES DE ALGUNAS MAGNITUDES EN EL SI.

MAGNITUD UNIDADES SI DIMENSIONES

Longitud m L

Masa kg M

Tiempo s T

Área, Superficie m2 L2

Volumen m3 L3

Velocidad, Rapidez m/s L T 1

Aceleración m/s2 L T 2

Fuerza N M L T 2

Trabajo, Energía J M L2 T 2

Potencia W M L2 T 3

Presión Pa M L 1 T 2

Densidad kg/m3 M L 3

INT



2014

Desde el punto de vista práctico, el análisis dimensional es muy útil ya que permite comprobar dimensionalmente las ecuaciones de una teoría y detectar posibles errores en su formulación. El principio empleado en el análisis dimensional se basa en el requisito de que las dimensiones finales en los dos lados de una ecuación deben de corresponder.

Ejemplo: De las siguientes ecuaciones, determine cuál es dimensionalmente correcta, donde Vf y Vo representan velocidades, a representa aceleración, d representa distancia y t representa tiempo.

𝑉𝑓 = 𝑉𝑜 + 2𝑎 𝑡2 𝑉𝑓 = 𝑉𝑜 + 2𝑑 𝑡2 𝑉𝑓 = 𝑉𝑜 + 1

2𝑎 𝑡

Adviértase que el proceso no puede dar información sobre constantes

adimensionales (números puros como , e, etc.), y por eso siempre debemos incluir la posibilidad de su presencia en las ecuaciones obtenidas por análisis dimensional.

MEDICIONES. LIMITACIONES EN LAS MEDIDAS

Se denomina medición a la técnica por medio de la cual se asigna un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad.

“La operación de medir es fundamental en física, química y en cualquier ciencia porque la observación o la experimentación quedan incompletas si no van acompañadas de la medida de las magnitudes que intervienen en los fenómenos”.

Medición directa es aquella que nos permite conocer el valor de una magnitud mediante la comparación del objeto que se usa como patrón y la magnitud a medir.

Medición indirecta es aquella que nos permite determinar el valor de una magnitud por medio de mediciones directas y la aplicación de expresiones matemáticas.

INT



2014

ERROR. CLASIFICACIÓN Y SUS CAUSAS

En un procedimiento experimental que nos proporciona el valor de una magnitud X, el resultado no coincide exactamente con el valor real de dicha magnitud. La diferencia entre el valor real y el valor medido se llama error de la medida:

𝜀 = 𝑋𝑚𝑒𝑑 − 𝑋𝑟𝑒𝑎𝑙

Los errores pueden clasificarse, según su origen, en sistemáticos y casuales o accidentales.

Los errores sistemáticos son debidos a defectos del método o del instrumento que dan lugar a una desviación de los resultados de las medidas siempre en el mismo sentido.

Ejemplos:

(1) Si empleamos para medir la distancia entre dos puntos una regla métrica uno de cuyos extremos se ha gastado por el uso, cada vez que colocamos la regla introducimos un error por exceso que resulta multiplicado por el número de veces que tengamos que poner la regla para medir la longitud.

(2) El error del cero como el que tiene una balanza cuyo cero no está bien ajustado por defecto de los brazos.

(3) Si para medir el volumen de un líquido se usa una probeta graduada a 20oC introducimos un error a menos que tengamos en cuenta la dilatación del recipiente.

Estos errores se deben detectar e intentar eliminar, ya que no admiten tratamiento estadístico.

Los errores casuales o accidentales son debidos a causas imposibles de controlar, que alteran el resultado a veces por defecto y otras por exceso. Habitualmente se hace la hipótesis de que estos errores se distribuyen al azar, siguiendo leyes estadísticas que permiten determinar el valor más probable, así como el margen de incertidumbre. Por lo general los errores casuales son pequeños, son inevitables y en ocasiones se detectan al ser repetida la medida por diversas personas.

Ejemplos:

(1) Al medir el volumen de un líquido utilizando una probeta puede ser que el menisco no sea leído en la posición correcta y por tanto se esté cometiendo el error de paralaje, que es un ejemplo de error casual.

INT



2014

(2) Al medir una longitud con una regla milimétrica, puede ser que la lectura no se tome viendo la escala en posición perpendicular a la misma y por lo tanto cometiendo el error casual.

(3) Al medir magnitudes eléctricas como voltaje o corriente utilizando un voltímetro o un amperímetro, puede que existan malas conexiones en el circuito eléctrico y por lo tanto se presenten fluctuaciones en el aparato de medición ocasionando que se cometa el error casual.

No deben confundirse los errores con las equivocaciones cuyo origen está en el descuido o la impericia del observador en el manejo del instrumento.

CAUSAS DE ERROR

Instrumentales. El instrumento mismo con que se realiza la medición puede ser causa de error cuando, por ejemplo, presenta defectos de escala, posee algún mecanismo defectuoso debido a la oxidación o desgaste de alguna de sus partes, la pérdida de elasticidad o la deformación de uno o más de sus elementos, etc.

Ambientales. Los cambios de presión, temperatura o humedad pueden afectar tanto las condiciones en que se efectúa una medición como el funcionamiento de los instrumentos de medición. Se comete error por ejemplo, cuando una regla metálica cuya escala fue construida a una cierta temperatura se utiliza para medir una longitud a una temperatura diferente.

Metodológicas. Los errores atribuidos a causas metodológicas pueden ser por: (1) el camino seguido para obtener la medición, (2) los aparatos seleccionados para efectuarla, (3) las técnicas de medición utilizadas, o (4) la combinación de éstas.

Personales. Dadas las limitaciones en los diferentes órganos sensoriales de una persona, ésta resulta ser una causa de error. Entre estas causas se cuentan los criterios del experimentador, sus apreciaciones en las divisiones menores de la escala de un instrumento, la inadecuada dirección visual sobre la escala (error de paralaje), las tendencias personales en contra de ciertos números o colores. Las causas personales se ponen de manifiesto cuando dos o más personas al realizar la misma medida de una magnitud física, obtienen valores con alguna diferencia.

INT



2014

PRECISION Y EXACTITUD DE UNA MEDIDA

La precisión expresa la capacidad del instrumento para dar mediciones muy próximas al valor promedio en una serie de mediciones.

Exactitud es la cercanía de la medida al verdadero valor de la magnitud que se está midiendo y depende de las habilidades de la persona que efectúa la medida.

En general, una medida es más exacta cuanto menor sea el error sistemático que la afecta, y una medida es más precisa cuanto menor sea el error casual que la afecta.

Ejemplos: (1) Un reloj que se adelanta puede ser preciso y no exacto, (2) Una balanza no calibrada puede dar valores de masa precisos pero no exactos.

FORMAS DE EXPRESAR UNA MEDIDA

COMO EXPRESAR

UNA MEDICION

NOTACION CIENTIFICA

ORDEN DE MAGNITUD

LIMITANDO CIFRAS

SIGNIFICATIVAS

CON INCERTEZA O

INCERTIDUMBRE

INT



2014

NOTACION CIENTIFICA

Esta forma de expresar una medición es aquella que se da mediante un número comprendido entre 1 y 10 acompañado de una potencia de 10. Se usa para valores extremadamente grandes o pequeños. Ejemplos:

Distancia de la Tierra a la galaxia normal conocida más remota: 9x1025 m

Distancia promedio de la Tierra a la luna: 3.84x108 m

Masa de la Tierra: 5.98x1024 kg

Edad del Universo: 5x1017 s

Periodo de las ondas de luz visible: 1x10 15 s

Masa del electrón: 9.11x10 31 kg

Diámetro de un protón: 1x10 15 m

ORDEN DE MAGNITUD

Esta forma de expresar una medición es la más tosca y se expresa mediante una potencia de 10; para ello se ha tomado la siguiente convención:

Los pasos para escribir el orden de magnitud son los siguientes:

Se expresa la cantidad en notación científica.

Se observa el número que acompaña la potencia de 10. Si tiene un valor menor que 3.16 se le multiplica por 100 a la potencia de 10; si por el contrario es mayor que 3.16, la potencia de 10 se multiplica por 101.

100 101/2 101

1 3.16 10

INT



2014

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Son aquellas que contienen información sobre el valor y la precisión de la medida efectuada.

Comenzamos a limitar el número de C.S., en la expresión de una medida, al tomar en cuenta la mínima graduación que tiene la escala del instrumento usado. Cuanto más precisa es la medida efectuada, más cifras significativas debemos usar, siendo la última de la derecha una cifra dudosa.

Ejemplos:

CANTIDAD NÚMERO DE C.S.

9.655 4

0.045 2

43.2 3

7.23x10 3 3

5.000 4

La cifra dudosa en una medición es siempre estimada por la persona que está midiendo. Ejemplo:

REGLAS PARA EL REDONDEO DE VALORES

Cuando una cantidad va a redondearse a un número menor de dígitos, se deben de seguir las siguientes recomendaciones:

Primer dígito eliminado menor que cinco.

Cuando el primer dígito eliminado es “menor que cinco”, el último dígito retenido no cambia. Ej.: 5.23415, cuando se redondea a cuatro c.s. es 5.234, y cuando se redondea a tres c.s. es 5.23

7.57

7 8

INT



2014

Primer dígito eliminado mayor que cinco.

Cuando el primer dígito eliminado es “mayor que cinco”, o es “cinco seguido de por lo menos un dígito que no sea cero”, el último dígito retenido aumenta a una unidad. Ej.: 4.57853, cuando se redondea a cuatro c.s. es 4.579, y cuando se redondea a tres c.s. es 4.58

Primer dígito eliminado exactamente igual a cinco.

Cuando el primer dígito eliminado es “exactamente cinco seguido solo por ceros” y el último dígito a retener es “un número impar”, éste se aumenta en una unidad. Ej.: 2.615, cuando se redondea a tres c.s. es 2.62

Cuando el primer dígito eliminado es “exactamente cinco seguido solo por ceros” y el último dígito a retener es “un número par”, éste no sufre ningún cambio. Ej.: 2.625, cuando se redondea a tres c.s. es 2.62

INCERTEZA O INCERTIDUMBRE

La incerteza de una medida es la expresión de cuanto puede estar alejada en un sentido o en otro del verdadero valor de la magnitud respecto al valor obtenido en la medición. La incerteza nos da la probabilidad de que en el rango establecido se encuentre el verdadero valor de la magnitud medida.

Ejemplo: Se expresa la medición de un tiempo con su respectiva incerteza, así, t = (42.5 ± 0.2) s, donde 42.5 s es el valor medido y 0.2 s es la incerteza de la medida.

DETERMINACION DE LA INCERTEZA PARA UNA SOLA MEDIDA

En este caso el valor de la incerteza depende de la precisión del instrumento de medida. Una medida es de mayor calidad cuanto menor sea la incerteza de la medida. No existen reglas para determinar el tamaño de la incerteza, porque dependerá de muchos factores del proceso de medición. El tipo de medición, la figura de la escala, nuestra agudeza visual, las condiciones de iluminación, todas tomarán parte en determinar la anchura del intervalo de medición.

42.3 42.5 42.7

INT



2014

Ejemplos:

1) Medición hecha con un metro de madera (mínima escala 1 cm).

(46.3 ± 0.1) cm

2) Medición hecha con una cinta métrica (mínima escala 1 mm).

(46.27 ± 0.01) cm

3) Medición hecha con un pie de rey (mínima escala 0.1 mm).

(46.275 ± 0.001) cm

DETERMINACION DE LA INCERTEZA PARA MÁS DE UNA MEDIDA

Si repetimos n veces la medida de una magnitud X y denotamos por X1, X2, X3,…, Xn los resultados de las n medidas, entonces el mejor valor o valor más probable de la medida es la media aritmética, es decir:

�̅� = ∑𝑋𝑖

𝑛

𝑛

𝑖=1

Y la incerteza absoluta de la medida se representa por la desviación media, es decir:

∆𝑋 = ∑ |𝑋𝑖 − �̅�|𝑛

𝑖=1

𝑛

Y la medida se expresa así:

𝑋 = (�̅� ± ∆𝑋)

CARACTERISTICAS DE LA INCERTEZA ABSOLUTA

1. Debe tener una sola cifra significativa.

2. Debe tener el mismo número de decimales que el valor promedio.

3. Debe de estar acompañada de la misma potencia de diez que el valor promedio.

Si no se cumple cualquiera de estas características el valor estará mal expresado, por lo tanto hay que efectuar las correcciones necesarias.

INT



2014

Ejemplo: El resultado de la medición de una fuerza es el siguiente

(74.27x102 ± 25) N

Como no cumple con las características anteriores, hacemos las correcciones. Primero expresamos el valor medido y la incerteza absoluta con la misma potencia de diez, así

(7.427x103 ± 0.025x103) N

Luego, dejamos la incerteza absoluta con una cifra significativa, así

(7.427x103 ± 0.02x103) N

Como la incerteza absoluta queda con dos decimales, debemos dejar el valor medido con dos decimales también, así

(7.43x103 ± 0.02x103) N

Por último, sacamos como factor común la potencia de 103, y ya queda correctamente expresada nuestra medición, así

(7.43 ± 0.02)x103 N

INCERTEZA RELATIVA UNITARIA (IRU) Y PORCENTUAL (IRP)

IRU es aquella que nos proporciona el valor del error cometido por cada unidad de medida y representa la calidad de la medición.

𝐼𝑅𝑈 = ∆𝑋

�̅�

IRP es el error cometido por cada 100 unidades medidas.

𝐼𝑅𝑃 = ∆𝑋

�̅� . 100

Ejemplo: Se realiza varias veces la medición de volumen de una muestra de acido sulfúrico (H2SO4) y los resultados son los siguientes: 25.4 mL, 25.6 mL, 25.3 mL, 25.4 mL, 25.5 mL, y 25.7 mL. Determine el valor más probable de la medición y exprésela con su respectiva incerteza. Exprese además el error porcentual de la medición.

INT



2014

CONCEPTO DE NÚMERO PURO. LIMITACIONES

Número puro es todo número que es exacto ya sea porque así se ha definido o porque es el resultado de contar cierta cantidad de elementos de un conjunto.

Un número puro se puede escribir con un número ilimitado de cifras significativas.

Ejemplos:

Números exactos por definición

= 3.1415926535897932384626433832795…

e = 2.71828182845904523536028747135266…

C = 2.99792458x108 m/s

Números en expresiones usadas en geometría

𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 4

3𝜋𝑅3 𝐴𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 1

2 𝑏 𝑥 ℎ

Los números 4, 3, y 2 son exactos por definición.

Limitaciones.

Algunos números puros presentan la limitación de que no se pueden expresar en forma exacta, por más cifras que se escriban, por lo que tenemos que delimitar las cifras al utilizarlos, por ejemplo:

= 3.14 = 3.142 = 3.1416 = 3.14159…

e = 2.72 = 2.718 = 2.7183 = 2.71828…

1/7 = 0.14 = 0.143 = 0.1429 = 0.14286…

PROPAGACION DE LA INCERTEZA

PROPAGACION EN LA SUMA

Cuando dos magnitudes se suman, las incertezas absolutas también se suman.

L1 = (46.10 ± 0.01) cm

+ L2 = (28.09 ± 0.01) cm

L1 + L2 = (74.19 ± 0.02) cm

INT



2014

PROPAGACION EN LA RESTA

Cuando dos magnitudes se restan, las incertezas absolutas se suman.

L1 = (46.10 ± 0.01) cm

L2 = (28.09 ± 0.01) cm

L1 L2 = (18.01 ± 0.02) cm

PROPAGACION EN LA MULTIPLICACION

Cuando dos magnitudes se multiplican, la incerteza relativa del producto es igual a la suma de las incertezas relativas de las cantidades que se multiplican.

∆𝑀

�̅�=

∆𝐿1

�̅�1

+ ∆𝐿2

�̅�2

L1 = (6.10 ± 0.01) cm

x L2 = (8.93 ± 0.01) cm

M = L1xL2 = (54.5 ± 0.2) cm2

PROPAGACION EN LA DIVISION

Cuando dos magnitudes se dividen, la incerteza relativa del cociente es igual a la suma de las incertezas relativas de las cantidades que se dividen.

∆𝐷

�̅�=

∆𝑚

�̅�+

∆𝑉

�̅�

m = (15.2 ± 0.2) g

V = (2.6 ± 0.1) cm3

D = m V = (5.8 ± 0.3) g/cm3

INT



2014

PROPAGACION EN LA POTENCIACION

Cuando se eleva a una potencia n una magnitud, la incerteza relativa de la potencia es igual al producto del exponente n por la incerteza relativa de la cantidad.

∆𝑃

�̅�= 𝑛

∆𝑋

�̅�

𝑋 = (4.12 ± 0.03) 𝑐𝑚

𝑋2 = (17.0 ± 0.2) 𝑐𝑚2

sistemas de unidades, mediciones, error e incerteza

Education