SISTEMAS DE ECUACIONES

MÉTODOS: SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN, REDUCCIÓN (Y

DETERMINANTES)

Ya sabemos:- lo que son ecuaciones (igualdad entre dos expresiones algebraicas; en estas hay algún/as cantidades desconocidas, que

se representan con letras),

RECUERDA

- que existen distintas clases según el número de incógnitas a descubrir y el grado (así tenemos ecuaciones de una incógnita y de primer grado, de una incógnita y de

2º grado, de dos incógnitas y de primer grado… ), y

- resolver las que son de una incógnita de primer grado.

Ana y Víctor necesitan un material para hacer un trabajo que les dejaron en el ITAF. Han quedado en ir juntos a comprar a la misma tienda.

IMAGÍNATE

Ana compró 5 cartulinas y 2 barras de pegamento por $5.800 . Víctor se llevó 8 cartulinas y una barra de pegamento por un total de $6.200. Pero no preguntaron por el precio unitario de cada artículo.Al verlos por la calle, Luisa recordó que también tenía que comprar material. Necesitaba 6 cartulinas y 2 barras de pegamento, pero sólo tenía $6.000 en ese momento.¿Tenía Luisa suficiente dinero para hacer la compra o bien tendría que ir a su casa a por más o pedirle prestado a sus amigos?

Para saber si Luisa tiene suficiente necesitamos saber el precio de una cartulina y de una barra de pegamento.

IMAGÍNATE

O sea, tenemos que buscar el valor de…

¡¡dos incógnitas!!

¿Qué hacer para no tener que ir probando diferentes precios para cada artículo?

Pues lo que tienes que hacer es leer con atención las diapositivas que vienen a continuación.

Lo que vamos aprender en esta presentación es:

LO QUE APRENDEREMOS

Lo que es un Sistema de Ecuaciones

Métodos de resolver un Sistema de dos ecuaciones de primer grado con una sola incógnita: Sustitución Igualación Reducción(Determinantes)

SISTEMAS DE ECUACIONES

En el caso de Ana y Víctor, ambos han comprado las cosas en la misma tienda y el mismo día.Lo más normal es que el precio de cada cartulina sea el mismo para las tres personas (X). Del mismo modo, la barra de pegamento vale igual (Y) para cada una de ellas.La situación de Ana la podemos escribir: 5x + 2y = 5.800La situación de Víctor sería: 8x + y = 6.200

Nos encontramos ante dos ecuaciones con las mismas dos incógnitas. Esto es un Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones con varias incógnitas comunes entre sí

Resumiendo:

Resolver un sistema de ecuaciones es buscar el valor de cada una de las incógnitas.

Sistemas de Ecuaciones

cybxa

cbyax ECUACIÓN 1

ECUACIÓN 2

INCÓGNITA X

INCÓGNITA Y

DOS ECUACIONES DOS INCÓGNITAS

Sistemas de Ecuaciones: RESOLUCIÓN

• SUSTITUCIÓN

• IGUALACIÓN

• REDUCCIÓN

• (DETERMINANTES)

SUSTITUCIÓN

534

52

yx

yx

1º Se despeja una incógnita ¿CUÁL?

PISTA: Busca la que esté sola Y

xy 25

SUSTITUCIÓN

534

52

yx

yx xy 25

534 yx

2º.- Sustituímos el valor de Y en la otra ecuación

1º.- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones

SUSTITUCIÓN

534

52

yx

yx xy 25

5)25(34 xx

15564 xx

2x10

20x2010 x

56154 xx

Ya tenemos el valor de X, ahora calcularemos Y

3º.- Obtendremos una ecuación con UNA incógnita, que resolveremos

SUSTITUCIÓN

534

52

yx

yx

2x

52 yx 522 y

54 y 45 y 1y

4º.- Sustituímos el valor obtenido en la otra ecuación

Hemos obtenido el valor de la otra incógnita

SUSTITUCIÓN

534

52

yx

yx

1ySOLUCIÓN: ;2x

5º.- Ahora debemos comprobar los resultados, sustituyendo ambos valores en las dos ecuaciones.

52 yx 5122 514 534 yx 51324 538

Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta

IGUALACIÓN

5

82

yx

yx

1º Se despeja una incógnita en ambas ecuaciones

¿CUÁL?

X

yx 28 yx 5

PISTA: Busca la que esté sola

IGUALACIÓN

5

82

yx

yx yx 28 yx 5

Se igualan los segundos miembros

y28 y5 852 yy

3 y1

3

y 3y

Una vez encontrado un valor, buscaremos el otro

IGUALACIÓN

5

82

yx

yx yx 28 yx 5

3yCojemos cualquiera de las ecuaciones

yx 28

Sustituimos en ella el valor que obtuvimos

328 x 2xHemos obtenido el valor de la otra incógnita

IGUALACIÓN

5

82

yx

yx

3ySOLUCIÓN: 2x

Ahora debemos comprobar los resultados, igual que en el método anterior

82 yx 8322 862

5 yx 532 Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta

REDUCCIÓN

1053

642

yx

yx

Se intenta que sumando ambas ecuaciones eliminemos una de las incógnitas.

1053

642

yx

yx

¿Eliminamos alguna incógnita? NO

16x5 y9

Pues tendremos que hacer algunos cambios

REDUCCIÓN

1053

642

yx

yx

1E

20106

18126

yx

yx

Y ahora cambiamos de signo una ecuación, por ejemplo la primera

20106

18126

yx

yx

Multiplicaremos cada ecuación por el coeficiente de unade las incógnitas de la otra ecuación.

32E 2

REDUCCIÓN

1053

642

yx

yx

Ahora sumamos

20106

18126

yx

yx

y2 2

2

2

y 1y

Eliminamos asíuna incógnita

X

Y ahora calculamos x

Resolvemos la ecuación obtenida

REDUCCIÓN

1053

642

yx

yx 1y

Tomamos una de las ecuaciones 1053 yxSustituimos en ella el valorencontrado

10153 x

1053 x 153 x3

15x 5x

Comprobamos los resultados

Para ello sustituimos los valores encontrados en las dos ecuaciones

1053

642

yx

yx

1y5x

61452

10)1(553 6410 10515

REDUCCIÓN

Ahora… ¡¡A practicar!!

Por cierto... ¿habrá podido comprar Luisa su material con lo que tenía?