sistemas de coordenadas y conceptos...

Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Sistemas de coordenadas y conceptos básicos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

SISTEMAS DE COORDENADAS Y CONCEPTOS BÁSICOS

UNIDAD IV IV. 1 SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL Existe una correspondencia biyectiva o biunívoca entre el conjunto de los números reales y el de los puntos de una recta. A esta recta que tiene un origen, un sentido y en donde se pueden ubicar todos los números reales se le conoce como sistema coordenado unidimensional. Gráficamente esto es:

La notación habitual para localizar un punto es: ( )xP . Por ejemplo, para ubicar los puntos

( ) ( ) ( ) ( )5745062 4321 −− P,.P,.P,.P , simplemente se localiza su respectivo valor en la numeración y se le marca. Se define como abscisa de un punto a la distancia del origen al punto en magnitud y signo.

La distancia dirigida ( )dd que existe de un punto 1P a un 2P viene dada por el valor final menos el

inicial: 12 PPdd −= .

La distancia ( )d entre dos puntos 1P y 2P está dada por el valor final menos el inicial pero en valor

absoluto, esto es: 12 PPd −= .

Es decir, la diferencia que existe entre distancia dirigida y distancia entre dos puntos es que en la primera se toma en cuenta el signo y su magnitud, y en la segunda sólo se toma su magnitud. Se mide en unidades ( ).u Ejemplo. Encontrar la distancia dirigida y la distancia entre los siguientes pares de puntos:

1) ( )31P y ( )62 −P Solución:

.udd 936 −=−−= y .ud 9936 =−=−−=

P1

x0 1 432 5-1-2-3-4-5

P4 P2 P3


2

2) ( )π−1P y

−6

352P

Solución:

141593.−≈π− y 833356

35.≈−

( ) .u...dd 69214159383335 −=−−−=

( ) .u....d 69269214159383335 =−=−−−=

IV. 2 SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL Es un sistema formado por dos ejes numéricos perpendiculares donde su origen es el punto en que se cruzan. Se genera estableciendo una correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano y los elementos de todas las parejas ordenadas de números reales. Esto quiere decir que se genera un plano a partir de una infinidad de puntos.

Se forman cuatro regiones llamadas cuadrantes.

El eje horizontal ( )x recibe el nombre de eje de las abscisas.

El eje vertical ( )y recibe el nombre de eje de las ordenadas.

Para ubicar un punto en el plano se utiliza la siguiente notación: ( )y,xP Ejemplo. Ubicar los siguientes parejas ordenadas en el plano:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )05420π5431123

842 7654321 ,.P,,P,,P,,P,,P,,P,,P −−−

−−

Solución:

x 1 432 5-1-2-3-4-5

Cuadrante I

(+, +)

1

2

3

4

5

y

-1

-2

-3

-4

-5

Cuadrante IV

(+, -)

Cuadrante III

(-, -)

Cuadrante II

(-, +)


3

Ejemplos. Dados los siguientes conjuntos, obtener el producto cartesiano correspondiente:

1) { } { }210321 ,,B,,,A == Solución. El conjunto solución a este producto cartesiano son nueve puntos discretos formado por las parejas

ordenadas. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }231303221202211101 ,,,,,,,,,,,,,,,,,BA =× Gráficamente esto es:

x1 432 5-1-2-3-4-5

1

2

4

5

y

-1

-2

-3

-4

-5

3

2) { }R∈≤≤= x,xxA 31 , { }R∈≤≤== y,xyB 20

Solución. El conjunto solución a este producto cartesiano es una superficie plana de forma rectangular limitada tanto en x como en y . Gráficamente esto es:

x1 432 5-1-2-3-4-5

P2 (-2.66,-2)

1

2

4

5

y

-1

-2

-3

-4

-5

3

P3 (-1,1)

P1 (2,4)

P4 (3,-4)

P5 (-5, ππππ)

P6 (0,2)

P7 (4.5,0)


4

3) { }R∈= xxA , { }R∈== yyB

Solución. El conjunto solución a este producto cartesiano es una superficie plana ilimitada tanto en x como en y . Gráficamente esto es:

Como puede deducirse, el sistema coordenado bidimensional está constituido por el producto cartesiano de los números reales (en x ) por los números reales (en y ), es decir, R2= R××××R.

IV. 3 SISTEMA COORDENADO TRIDIMENSIONAL Es un sistema formado por tres ejes numéricos perpendiculares donde su origen es el punto en que se cruzan. Se forma estableciendo una correspondencia biunívoca entre los puntos de un espacio y los elementos de todas las ternas ordenadas de números reales. Esto quiere decir que se genera un volumen a partir de una infinidad de puntos.

x1 432 5-1-2-3-4-5

1

2

4

5

y

-1

-2

-3

-4

-5

3

x1 432 5-1-2-3-4-5

1

2

4

5

y

-1

-2

-3

-4

-5

3


5

Se forman ocho regiones llamadas octantes. El eje x recibe el nombre de eje de las abscisas. El eje y recibe el nombre de eje de las ordenadas. El eje z recibe el nombre de eje de las cotas.

Para ubicar un punto en el espacio se utiliza la siguiente notación: ( )z,y,xP , es decir de forma similar que en un plano.

IV. 4 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Sean ( )111 y,xP y ( )222 y,xP dos puntos cualesquiera en el plano:

Al formarse un triángulo, se observa que los catetos son las diferencias de ordenadas y de abscisas.

Ahora, recordando el teorema de Pitágoras expuesto en la unidad II: 222 bac += y aplicándolo se tiene:

( ) ( )212

212

2 yyxxd −+−=

despejando d se obtiene la fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos:

y

z

xx1

z1

y1

P(x1, y1, z1)

y

xx2

y2

y1

d

x1

P(x2, y2)

P(x1, y1)

x2-x1

y2-y1


6

( ) ( )212

212 yyxxd −+−=

Ejemplos. Obtener la distancia entre los siguientes pares de puntos:

1) ( )541 −,P y ( )172 −,P Solución.

( ) ( )( ) .ud 525169435147 2222 ==+=+=−−−+−=

2) ( )1161 −− ,P y ( )1312 ,P Solución.

( )( ) ( )( ) .ud 2562557649247111361 2222 ==+=+=−−+−−=

3)

−4

7

4

11 ,P y

−−8

15

8

32 ,P

Solución.

.ud8

26

64

26

64

1

64

25

8

1

8

5

4

7

8

15

4

1

8

32222

==+=

−+

−=

−−−+

−−=

4) ( )π,P 21 y ( )170052 .,P −− Solución. Utilizando tres cifras decimales:

( ) ( ) ( ) ( ) 9621051213311367631413170041412362 2222 ........d +=−+−=−−+−−=

.u.. 947447424 ≈= Ejemplo.

Si los puntos ( )221 −− ,P , ( )312 ,P y ( )353 −,P son los vértices de un triángulo, obtener su perímetro.

x1 432 5-1-2-3-4-5

1

2

4

5

y

-1

-2

-3

-4

-5

3P1 (1,3)

P2 (-2,-2)

P3 (5,-3)


7

la distancia entre 1P y 2P es: ( )( ) ( )( ) 34259532321 22221 =+=+=−−+−−=d

la distancia entre 1P y 3P es: ( ) ( ) ( ) 523616643315 22222 =+=−+=−−+−=d

la distancia entre 2P y 3P es: ( )( ) ( )( ) ( ) 50149172325 22223 =+=−+=−−−+−−=d

Por tanto, el perímetro viene dado por la suma de sus tres lados:

.u....dddP 1120077217835505234321 ≈++≈++=++=

Ejemplo.

Sea el punto ( )341 −,P y el punto ( )102 ,xP , obtener la abscisa de 2P de tal manera que la distancia

que los separe sea 15 unidades. Solución. Sustituyendo los datos en la fórmula se tiene:

( ) ( )( ) ( ) ( ) 1694134310415 22222 +−=+−=−−+−= xxx

despejando x se tendrán dos soluciones de 2x :

( ) ( ) 564564169225169415 222 ±=−⇒=−=−⇒+−= xxx

48.111 ≈x y 48.32 −≈x , por lo que los puntos buscados son aproximadamente:

( )1048111 ,.P y el punto ( )104831 ,.P − En el espacio, la fórmula de distancia entre dos puntos se deduce de forma similar que en dos dimensiones, considerando que la distancia es un segmento de recta que pertenece a un plano. Esto es,

si se tienen los puntos ( )1111 z,y,xP y ( )2222 z,y,xP , la distancia que los separa es:

( ) ( ) ( )212

212

212 zzyyxxd −+−+−=

Gráficamente, es:

y

z

xx1

z1

y1

P1 (x1, y1, z1)

P2 (x2, y2, z2)

d

z2

x2

y2


8

Ejemplo.

Obtener la distancia entre los puntos: ( )5721 ,,P − y ( )21182 ,,P −− Solución.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ud 12591610034105271128 222222 =++=−+−+−=−+−−−+−−=

IV. 5 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Dividir un segmento dirigido en una razón dada significa segmentarlo en partes de forma tal que se

encuentren las coordenadas de un punto ( )y,xP que satisface la comparación entre dos magnitudes.

En general, si la razón es de la forma b

ar = , implica que el segmento se divide en ba + partes. Por

ejemplo, si 4

7=r , el segmento se divide en 11 partes iguales.

Sean los puntos ( )111 y,xP y ( )222 y,xP , así como el segmento de recta que los une:

Sea un punto ( )y,xP que pertenezca al segmento. Si se forman los triángulos mostrados, se observa que son semejantes. Esto es:

rxx

xx=

−−

2

1 y r

yy

yy =−

−

2

1

donde r es la razón de proporcionalidad de semejanza. Si se despeja x de la primera ecuación se tiene:

( )xxrxx −=− 21

xrxrxx −=− 21

21 rxxrxx +=+

( ) 211 xrxrx +=+ , que implica:

y

x

P(x,y)

P2(x2, y2)

P1(x1, y1)x-x1

y2-y

y-y1

x2-x


9

r

xrxx

++=

121

análogamente se puede encontrar que:

r

yryy

++=

121

expresiones que sirven para obtener las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada.

En el caso particular en que se trate del punto medio, r vale 11

1 ==r , y las ecuaciones se convierten en:

221 xx

x+= y

221 yy

y+=

Ejemplos.

Obtener las coordenadas de un punto ( )y,xP que divida al segmento de recta que se forma al unir los siguientes pares de puntos en la razón dada:

1) ( ) ( )2

35934 21 =− r,,P,,P

Solución.

( )7

5

35

2

52

35

2

31

2

274

2

31

92

34

===+

+=

+

+=x ;

Por lo tanto, el punto buscado es:

5

97,P

2) ( ) ( )5

44782 21 =−− r,,P,,P

Solución.

;

( )3

8

9

24

5

95

24

5

41

5

168

5

41

45

48

===+

−=

+

−+=y


3

82,P

Ejemplo.

Encontrar el punto medio del segmento de recta unido por los puntos ( )58,A − y ( )63 −,B Solución.

Aplicando las fórmulas del punto medio: 2

5

2

38 −=+−=x ; ( )

2

1

2

65 −=−+=y . El punto es:

−−2

1

2

5,P .

( )5

9

2

52

9

2

31

2

153

2

31

52

33

==+

+−=

+

+−=y

( )2

9

18

5

95

18

5

41

5

282

5

41

75

42

===+

+−=

+

+−=x


10

Ejemplo.

Hallar las coordenadas de dos puntos ( )111 y,xP y ( )222 y,xP , que dividan al segmento que une a los

puntos ( )13 −,k y ( )79,B en tres partes iguales. Solución:

El primer punto está al final del primer tercio, es decir a razón uno a dos: 21=r :

( )5

3

15

2

32

15

2

11

2

93

2

11

92

13

===+

+=

+

+=x ;

( )3

5

2

32

5

2

11

2

71

2

11

72

11

==+

+−=

+

+−=y

el primer punto buscado es:

3

551 ,P

El segundo punto está al final del segundo tercio, es decir a razón dos a uno: 1

2=r :

( )7

3

21

1

31

21

1

21

1

183

1

21

91

23

===+

+=

+

+=x ;

( )3

13

1

31

13

1

21

1

141

1

21

71

21

==+

+−=

+

+−=y

el segundo punto buscado es:

3

1372 ,P

Ejemplo.

Sabiendo que el punto ( )29,P divide al segmento que determina la unión de los puntos ( )861 ,P y

( )222 y,xP en la razón 7

3=r , hallar las coordenadas de 2P .

Solución.

r

xrxx

++=

121

, despejando 2x :

( ) ( ) ( )r

xrxxxrxrxrxxrx 1

212211

11−+=⇒−+=⇒+=+

procediendo de forma similar se obtiene: ( )

r

yryy 1

21 −+=

sustituyendo en ambas expresiones:

163

48

7

37

48

7

3

67

90

7

3

67

109

7

3

67

319

2 ===−

=−

=−

+=x

123

36

7

37

36

7

3

87

20

7

3

87

102

7

3

873

12

2 −=−=

−

=−

=−

=−

+=y


11

Por lo tanto, el punto buscado es: ( )12162 −,P Ejemplo.

Hallar las coordenadas de un punto ( )y,xP que divida al segmento unido por los puntos ( )1041 −− ,P y

( )6122 ,P en las siguientes razones:

a) 71=r b)

9

8=r c) 1=r d) 10

11=r e) 2

500=r f) 0=r

g) 6

1−=r h) 24

23−=r i) 1−=r j) 1516−=r k)

2

600−=r

y establecer una conclusión del comportamiento de los puntos con respecto a las relaciones. Solución:

Al ser fijos 1P y 2P , las fórmulas r

xrxx

++=

121

y r

yryy

++=

121

se aplican fácilmente a todas las

relaciones dadas puesto que las coordenadas no cambian. Procediendo repetidamente se obtienen los siguientes puntos de división:

( )8,2 −−aP

( )47.2,52.3 −bP

( )2,4 −cP

( )61.1,38.4 −dP

( )93.5,93.11eP

( )10,4 −fP

( )14.11,14.5 −−gP

( )378,372 −−hP

iP (No existe)

( )246,252jP

( )05.6,05.12kP A partir de los resultados, se puede concluir que:

• Con 0=r , el punto ( )y,xP se ubica en 1P

• A medida que r va creciendo ( )y,xP se desplaza hacia 2P

• En su punto medio r vale 1 • Cuando r es negativa, el punto se ubica en su prolongación hacia abajo alejándose hasta que llega

a 1−=r donde es infinito y cambia de sentido. Al seguir decreciendo, tiende a 2P . Geométricamente, lo anterior se puede representar como:


12

En el espacio, las fórmulas división de un segmento en una razón dada se deduce de forma similar que en dos dimensiones ya que el segmento puede ser parte de un plano que une dichos puntos. Esto es, si

se tienen los puntos ( )1111 z,y,xP , ( )2222 z,y,xP como extremos de un segmento y una razón r , el punto que lo divide se puede encontrar por medio de:

r

xrxx

++=

121

; r

yryy

++=

121

; r

xzzz

++=

121

Gráficamente, es:

x

y

P1 (4,-10)

4 8-4-8

4

8

12

-4

-8

-12

P2 (12,6)

Pa

Pb Pc Pd

Pe

Pf

Pg

Ph

Pi no existe, pero geometricamente implica ∞

Pk

Pj

0<r<1

r >1

-1<r<0

r < -1

16


13

Ejemplo.

Obtener las coordenadas de un punto ( )z,y,xP que divida al segmento de recta que se forma al unir los

puntos ( )11651 ,,P −− y ( )4182 −− ,,P con la razón 5

14=r .

Solución.

( )19

87

5

195

87

5

141

5

1125

5

141

85

145

==+

+−=

+

+−=x

( )19

44

5

195

44

5

141

5

146

5

141

15

146

−=

−

=+

−−=

+

−+−=y

( )19

1

5

195

1

5

141

5

5611

5

141

45

1411

−=

−

=+

−=

+

−+=z


−−191

1944

1987

,,P

IV. 6 CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS La geometría plana se relaciona con el estudio de todas las formas que se presentan en el plano: puntos, segmentos de rectas y ángulos. Dentro de esta larga lista se encuentran los polígonos y la circunferencia. Un polígono es la figura geométrica formada por segmentos de rectas unidos entre sí, de manera que encierran una región del plano. Sus elementos fundamentales los lados, los vértices, los ángulos interiores y los ángulos exteriores. Gráficamente es:

y

z

xx1

z1

y1

P1 (x1, y1, z1)

P2 (x2, y2, z2)z2

x2

y2

P (x, y, z)


14

A B

C

D

ββββαααα

Lado

Vértice

Ángulo exteriorÁngulo

interior

F

E

Apotema

• Lados: son los segmentos de recta que forman la frontera o polígono. • Vértices: Son los puntos de intersección de dos lados de un polígono. Dichos puntos permiten

nombrar al polígono. • Ángulos interiores: son aquellos formados por dos lados del polígono y su región angular queda en la

región interior. • Ángulos exteriores: se forman a partir de un lado del polígono y la prolongación del otro adyacente a

él. • Apotema: es el segmento que va desde el centro del polígono regular a la mitad de un lado. Los polígonos tienen el mismo número de lados, apotemas, vértices y ángulos. Los polígonos se pueden clasificar de acuerdo a sus lados y a su región interior. Hay polígonos que reciben nombres especiales de acuerdo a su número de lados1. Estos nombres de polígonos se agrupan en la siguiente tabla:

LADOS NOMBRE 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono 9 Eneágono

10 Decágono 11 Endecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Isodecágono

Según la medida de sus lados, los polígonos pueden ser regulares e irregulares. Son polígonos regulares los que tienen todos sus lados y ángulos congruentes, es decir, tienen la misma medida.

1 Los que no tienen un nombre especial, se designan por el número de lados, por ejemplo, polígono de 27 lados.


15

Los polígonos irregulares tienen, a lo menos, un lado con distinta medida o sus ángulos son diferentes.

Los polígonos y la circunferencia se relacionan de acuerdo a la posición que ocupan los primeros con respecto a la circunferencia. Es así como se tienen las siguientes situaciones. • Polígono inscrito a la circunferencia. En este caso los vértices del polígono son puntos de la

circunferencia y ésta queda circunscrita al polígono. Los lados del polígono son cuerdas de la circunferencia.

A B

CD

AB=BC=CD=DA=90°

Todos sus ángulos miden 90°

AB

C

AB ≠≠≠≠BC≠≠≠≠CA

A B

C


16

• Polígono circunscrito a la circunferencia. Todos los lados del polígono son tangentes de la circunferencia. La circunferencia queda inscrita al polígono.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS Los triángulos son los polígonos que poseen tres lados y cuya suma de sus ángulos es de 180°. La clasificación de los triángulos según sus lados es:

• Escaleno: No tiene lados iguales • Isósceles: Tiene dos lados iguales • Equilátero: Tiene los tres lados iguales

La clasificación de los triángulos según sus ángulos es: • Rectángulo: Tiene un ángulo recto • Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso • Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos

D

A

C

B

A

C

B

Triángulo escalenoC

C

A

A B

B

Triángulo equilátero

Triángulo isósceles


17

Semejanza2. La semejanza de triángulos puede establecerse a través de dos criterios básicos: 1. Dos triángulos con ángulos respectivos iguales. 2. Dos triángulos con lados homólogos proporcionales.

Congruencia3. La congruencia de triángulos está determinada en cualquiera de los siguientes casos: 1. Tienen los tres lados iguales 2. Tienen dos ángulos y un lado igual 3. Tienen dos lados iguales e igual el ángulo comprendido.

2 En general, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma. 3 En general, dos figuras son congruentes si coinciden cuando se coloca una sobre otra. Por ejemplo, dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud, dos circunferencias son congruentes si tienen el mismo radio, dos cuadrados son congruentes si tienen el mismo lado.

Triángulo rectángulo

A B

C

C

C

A

A

B

B

Triángulo acutángulo

Triángulo obtusángulo

αααα1 ββββ1

δδδδ1

δδδδ2

ββββ2

αααα1= αααα2

ββββ1= ββββ2

δδδδ1= δδδδ2

αααα2


18

En un triángulo cualquiera, existen puntos notables que a continuación se describen: • Una altura es un segmento rectilíneo que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto o su

prolongación. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto común denominado ortocentro.

A B

C

Alturas

Ortocentro

• Una mediana es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres

medianas se cortan en un punto llamado baricentro. El baricentro también es conocido como el centro de gravedad y divide a las medianas en dos segmentos, siendo el que corta al vértice de longitud doble que el otro.

a1

b1

c1

a1

b1

c1

a1= a2

b1= b2

c1= c2


19

A

C

B

Medianas

Baricentro

• Una bisectriz interior es la recta que pasa por un vértice y divide al ángulo interior en dicho vértice en

dos partes iguales. Las tres bisectrices internas se cortan en un punto denominado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo.

A

C

Bisectricesinteriores

Incentro

B

Una bisectriz exterior divide en dos partes iguales al ángulo exterior en dicho vértice. Las tres bisectrices externas se cortan en tres puntos llamados excentros. El incentro y los tres excentros son los centros de circunferencias tangentes a los lados de un triángulo o sus prolongaciones.


20

BA

C

Bisectricesexteriores

Excentros

• Una mediatriz es una recta perpendicular a un lado en su punto medio (los términos bisectriz y

mediatriz también se usan para designar a los segmentos rectilíneos correspondientes contenidos dentro del triángulo). Las tres mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

A

C

B

Mediatrices

Circuncentro

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS Los cuadriláteros son los polígonos que poseen cuatro lados y cuya suma de sus ángulos es de 360°. Todos los polígonos regulares pueden estar inscritos o circunscritos a una circunferencia. Los más relevantes son:


21

• Cuadrado. Es un cuadrilátero que tiene lados iguales y ángulos iguales (90°). Los cuadrados tienen dos diagonales iguales y su ángulo formado es también de 90°.

• Rectángulo: Es un cuadrilátero que posee dos pares de lados iguales y tienen los ángulos iguales. • Rombo. El rombo es un polígono que tiene los cuatro lados iguales y los ángulos son iguales en

pares (dos ángulos son agudos y los otros dos obtusos). • Trapecio. El trapecio es un polígono que tiene 4 lados, de ellos, dos son paralelos. Los cuatro

ángulos son distintos de 90º. La suma de los 4 ángulos es 360 grados. • Trapecio isósceles. Es un trapecio que tiene dos pares de lados iguales. Esto es, los ángulos son iguales en pares.

PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS Dadas las siguientes figuras:

Cuadrado Rectángulo

Rombo

Trapecio

Trapecioisósceles

b

h

aaaa

aaaa h

b

h

b

r

b

aaaa

h1 h2

h1 h2

aaaa


22

El cálculo del área y el perímetro se calculan mediante las fórmulas condensadas en la siguiente tabla:

Figura Área Perímetro

Triángulo 2

bhA = 21 hhbP ++=

Cuadrado 2aA = aP ⋅= 4

Rectángulo bhA = ( )hbP += 2

Trapezoide ( )

2

hbaA

+= ( ) 212 hhbaP +++=

Circunferencia 2rA π= rP π= 2

Polígono regular de n caras 2

PaA = nbP =

IV.7 APLICACIONES La utilidad de los sistemas coordenados es especial en la Geografía, la Topografía y en la Aeronáutica, principalmente a través de la utilización de mapas y en radares. Por ejemplo, se puede determinar la posición de algún objeto, utilizando un sistema coordenado teniendo el eje y , hacia el Norte y el eje x ,

hacia el Este. Esto define las coordenadas de un punto, que puede ser una casa, una ciudad, un avión, una montaña, etc. Los sistemas coordenados también sirven para conocer el punto en que se encuentran dos móviles que se desplazan en direcciones distintas a una misma velocidad. O bien conocer la distancia de dos objetos si están inmóviles. Los sistemas coordenados son esenciales para realizar mapas precisos, pero hay algunas sutilezas. Por ejemplo, la superficie esférica aproximada de la Tierra no se puede representar sobre un mapa plano sin que haya distorsión. A unas cuantas decenas de kilómetros, el problema es muy poco notorio, pero a una escala de cientos o miles de kilómetros, la distorsión aparece necesariamente. Se puede hacer una variedad de representaciones aproximadas y cada una implica un tipo algo diferente en la distorsión de forma, área o distancia4. Tanto la figura como la escala pueden tener consecuencias importantes en procesos de Ingeniería. Por ejemplo, las conexiones triangulares maximizan la rigidez, las superficies lisas disminuyen la turbulencia y los recipientes esféricos minimizan el área de la superficie para cualquier volumen o masa dada. Cambiar el tamaño de objetos manteniendo la misma forma puede tener efectos profundos debido a la geometría de la escala: el área varía como el cuadrado de las dimensiones lineales, y el volumen lo hace como el cubo.

4 Un tipo común de mapa exagera las áreas aparentes de las regiones cercanas a los polos (por ejemplo, Groenlandia y Alaska), mientras que otros tipos específicos representan de manera engañosa la distancia más corta entre dos lugares, o aun qué punto es adyacente a qué otro.

sistemas de coordenadas y conceptos...

Documents