vii.1 concepto de ecuaciÓn - unamenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/pdf/m4unidad...unidad...

Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Ecuaciones y desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

ECUACIONES Y DESIGUALDADES

UNIDAD VII VII.1 CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos expresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores y se representa por el signo = . Cada una de las expresiones recibe el nombre de miembro. Se llama primer miembro a lo que está a la izquierda del signo igual y segundo miembro a lo que está a su derecha.

bexpresiónaexpresión = Las igualdades pueden ser numéricas (establecen relaciones entre números) o algebraicas (si contienen literales). Pueden ser ciertas (si se cumplen) o falsas (si no siempre se cumplen). Ejemplos 1) La igualdad 2810 += es numérica y cierta

2) La igualdad ( ) 222 2 bababa ++=+ es algebraica y cierta para cualesquiera valores de a y b .

3) La igualdad xx =−143 es algebraica y cierta para 7=x , pero es falsa para cualquier otro valor de x . Por lo tanto, las igualdades pueden ser de dos tipos: • Identidades. Son igualdades que se verifican siempre, ya sean numéricas o algebraicas. • Ecuaciones. Son igualdades que se verifican para algunos valores determinados de las literales

desconocidas llamadas incógnitas. Ejemplos.

1) 2

1

6

3 = es una identidad numérica

2) ( )( )bababa −+=− 22 es una identidad algebraica

3) 1024 =−x es una ecuación que se verifica sólo para 3=x

4) 42 =x es una ecuación que se verifica sólo para 2=x y 2−=x . En una ecuación, las cantidades desconocidas o incógnitas generalmente se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto. Por su parte, las cantidades conocidas o coeficientes normalmente se denotan por las letras minúsculas iniciales del alfabeto1. Las ecuaciones de una sola variable son aquellas que tienen una sola incógnita, normalmente la x . Por

ejemplo: 412 +=+ xx . Las ecuaciones en dos o más variables poseen más de una cantidad desconocida. Por ejemplo, en la ecuación 0852 =−+ yx , las incógnitas son x y y . Las ecuaciones se clasifican de acuerdo con el exponente mayor que posea la incógnita.

1 Esta nomenclatura la introdujo el matemático René Descartes en 1637.


2

Ejemplos.

7356 =−x es una ecuación de primer grado.

751863 2 +−=−+ xxx es una ecuación de segundo grado. 2323 682527 xxxyxx −=−+− es una ecuación de tercer grado.

Una ecuación es entera, si todos sus términos son enteros o es racional si alguno de sus términos está expresado como fracción. Ejemplos. 1) xyx 6524 −=− es una ecuación en dos variables, de primer grado y entera

2) 2

15

4

3 2 =− xx es una ecuación en una variable, de segundo grado y racional

3) 64416

22

=− yx es una ecuación en dos variables, de segundo grado y racional

4) 11827 =−− zyx es una ecuación en tres variables, de primer grado y entera

Resolver una ecuación es hallar el conjunto solución. Se conocen como raíces o soluciones de la ecuación a los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad2. Ejemplos. 1) En la ecuación 174 +=+ xx El resultado es 2−=x , porque si se sustituye el valor en ambos miembros, cumple la igualdad:

( ) 12724 +−=+−

178 −=+− 11 −≡−

2) En la ecuación 0122 =−+ xx

Los resultados son 41 −=x y 32 =x , porque si se sustituyen los valores, cumplen la igualdad:

Sustituyendo 41 −=x :

( ) ( ) 01244 2 =−−+−

012416 =−− 00 ≡

Sustituyendo 32 =x :

012332 =−+ 01239 =−+

00 ≡ Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Ejemplo. Las ecuaciones 532 =−x y 82 =x son equivalentes porque su solución es 4=x

2 En situaciones reales la solución de la ecuación debe tener sentido en el contexto en que se trabaja. Esto significa que no basta con resolver una ecuación sino que también hay que analizar la pertinencia de la solución, esto es si el resultado pertenece al conjunto definido por la situación particular a la que se refiere la ecuación. En este tema se abordarán soluciones de ecuaciones que sólo existan en los números reales.


3

Para resolver una ecuación, se transforma ésta en una ecuación equivalente con la variable despejada. Esta transformación se logra aplicando las siguientes propiedades: • Si se suma una misma cantidad a cada lado de la ecuación dada, la igualdad no se altera. • Si se resta una misma cantidad a cada miembro de la ecuación dada, la igualdad no se altera. • Si se multiplica o se divide a ambos lados de la ecuación por cualquier cantidad diferente de cero, la

igualdad no se altera. Ejemplos. 1) Sumando la misma cantidad, 7 a cada lado de la ecuación 8673 =+−x se tiene:

787673 +=++−x , que reducida es: 1563 =+x . Nótese como 7 es el simétrico de 7− 2) Restando la misma cantidad, 6 a cada lado de la ecuación 1563 =+x se tiene:

615663 −=−+x , que reducida es: 93 =x . Nótese como 6− es el simétrico de 6

3) Multiplicando la misma cantidad, 3

1 a cada lado de la ecuación 93 =x se tiene:

( ) ( )93

13

3

1 =x , que reducida es: 3=x . Nótese como 3

1 es el inverso multiplicativo o recíproco de 3

VII.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE Una ecuación de primer grado es una ecuación en la cual, después de simplificarla o reducir sus términos semejantes, el máximo exponente de la incógnita es uno. En términos generales, una ecuación de primer grado con una variable es de la forma:

0=+ bax donde a y b son coeficientes numéricos, 0≠a y x es la incógnita. Si se suma b− en ambos miembros de la ecuación, se tiene: baxbbbax −=⇒−=−+ 0 , y si se

multiplica por el recíproco de a en ambos lados se tiene: ( ) ( )ba

axa

−= 11, entonces la solución de una

ecuación de primer grado en su forma general está dada por a

bx −= .

VII.2.1 ECUACIONES ENTERAS Para resolver una ecuación de este tipo se debe aplicar la metodología antes citada. En este caso, se deben transponer los términos, esto es traspasarlos de un lado a otro de la ecuación de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden en el primer miembro y los términos independientes en el otro. Para fines prácticos, cada vez que se transpone un término de un miembro a otro, éste cambia de signo, se reducen términos semejantes y finalmente, para despejar la incógnita se divide por su coeficiente. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones enteras: 1) xxxxx 81932132476 +++−=−+− Se transponen términos:


4

47192831326 −++−=−−−− xxxxx se reducen los términos semejantes:

2020 =− x dividiendo por 20− :

120

20 −=−

=x

Comprobación: ( ) ( ) 72476124716 −=++−−=−−+−−

( ) ( ) ( ) 781932131819132113 −=−+−−−=−++−+−−

77 −≡− 2) xxxxx 11123968274 −−+−=+−− Transponiendo términos:

87129113624 −+−−=+−−− xxxxx se reducen los términos semejantes:

224 −=x dividiendo por 4 :

2

11

4

22 −=−=x

Comprobación:

−−−

−+−

−=+

−−−

−2

111112

2

1139

2

1168

2

1127

2

114 10811722 −=++−−=

102

12112

2

33933 −=+−−−−

1010 −≡− 3) ( ) ( ) ( )1431532 −−=−−+ xxxx Se eliminan los paréntesis:

4435562 +−=+−+ xxxx después, se transponen términos:

5644352 −−=+−− xxxx Se reducen los términos semejantes:

72 −=− x dividiendo por 2− :

2

7

2

7 =−−=x

Comprobación:

2

1

2

2513

2

55

2

1321

2

753

2

72 =−=

−

=

−−

+

2

110

2

21

2

54

2

211

2

74

2

73 =−=

−=

−−

2

1

2

1 ≡

4) ( ) ( ) ( ) 0126161089563 =−−+−−−− xxx Se eliminan los paréntesis:


5

026261690721518 =+−++−+− xxx después, se transponen términos:

26167215269018 +−+−=++− xxx Se reducen los términos semejantes:

6798 =x dividiendo por 98 :

98

67=x

Comprobación:

049

40316

49

513

49

132

98

6712616

98

6710895

98

6763 =−+−=

−−+

−−

−

−

Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene otras expresiones literales aparte de la incógnita, las cuales deben considerarse como valores constantes. Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en los ejemplos anteriores. La variante es que cuando se tengan todos los términos que contengan a la incógnita en el primer miembro de la ecuación, se factoriza para poder despejarla. 5) ( ) ( )axxbax +=−− 31 Se eliminan los paréntesis:

axbbxax 33 +=+− transponiendo términos:

baxbxax −=−− 33 Se factoriza: ( ) baxba −=−− 33 dividiendo por ( )3−− ba :

3

3

−−−=ba

bax

Comprobación:

( ) ( ) ( )3

333

3

3331

3

3

3

3 222

−−−−++−−=

−−−−+−−−=

−−−

−−

−−−

ba

bbabbababa

ba

babbabbaa

ba

bab

ba

baa

3

333 2

−−−−=

ba

baba

( )3

333

3

93339

3

3339

3

33

22

+−−−=

+−−−+−=

+−−−+−=

+−−

−ba

baba

ba

aababa

ba

baabaa

ba

ba

3

333

3

333 22

+−−−≡

+−−−

ba

baba

ba

baba

VII.2.2 ECUACIONES FRACCIONARIAS Para resolver una ecuación fraccionaria de primer grado, se multiplican los dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores con el objeto de eliminarlos y se reduce para convertirla en una ecuación entera. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias:


6

1) 3

7

4

3

3

5

4

1

3

2 +−=+ xxx

Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 12 :

+−=

+3

7

4

3

3

512

4

1

3

212 xxx

se efectúan las operaciones para cada término: 2892038 +−=+ xxx

se transponen términos: 8289203 −=+− xxx

Se reducen los términos semejantes: 208 =− x

dividiendo por 8− :

2

5

8

20 −=−=x

Comprobación:

24

1

24

15

24

16

8

5

3

2

2

5

4

1

3

2 =−=−=

−+

24

1

24

56

24

45

24

100

3

7

8

15

6

25

3

7

2

5

4

3

2

5

3

5 =++−=++−=+

−−

−

24

1

24

1 ≡

2) xxxx 23

118

5

67

3

2

5

4 −−−=−+


−−−=

−+ xxxx 23

118

5

6157

3

2

5

415

se efectúan las operaciones para cada término: xxxx 3055120181051012 −−−=−+

se transponen términos: 1051212030551810 +−−=++− xxxx

Se reducen los términos semejantes: 2777 −=x

dividiendo por 77 :

77

27−=x

Comprobación:

385

2477

385

2695

385

90

385

3087

77

18

5

47

77

27

3

2

5

4 −=−−=−−=−

−+

385

2477

385

270

385

495

385

3080

385

162

77

54

7

98

385

162

77

272

77

27

3

118

77

27

5

6 −=++−−=++−−=

−−

−−−

−

385

2477

385

2477 −≡−


7

3) 010

53

6

42 =−−− xx


( )03010

53

6

4230 =

−−− xx

se efectúan las operaciones para cada término: ( ) ( ) 0533425 =−−− xx

se eliminan los paréntesis: 01592010 =+−− xx

se transponen términos: 1520910 −=− xx

Se reducen los términos semejantes: 5=x

Comprobación: ( ) ( )

01110

10

6

6

10

515

6

410

10

553

6

452 =−=−=−−−=−−−

VII.2.3 ECUACIONES QUE CONTIENEN FRACCIONES ALGEBRA ICAS Para resolver este tipo de ecuaciones se multiplica por el MCM de los denominadores que pueden ser un polinomio. En algunos casos, la ecuación resultante puede no ser equivalente a la original y la expresión dada no tiene solución, en este caso la igualdad es un enunciado falso. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones que contienen fraccionarias algebraicas:

1) 3

28

15

6

5

8

3

59

5

4 −−−=+−xxx

Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x15 :

−−−=

+−3

28

15

6

5

815

3

59

5

415

xx

xxx

se efectúan las operaciones para cada término: xxxx 101206242513512 −−−=+−

se transponen términos: 251224101206135 −−=+++− xxxx

Se reducen los términos semejantes: 13−=x

Comprobación:

( ) ( ) 195

1792

195

25

195

1755

195

12

39

59

65

4

133

59

135

4 −=−−−=−−−=−

+−−

( ) 195

1792

195

130

195

1560

195

78

195

24

3

28

195

6

65

8

3

28

15

6

135

8 −=−−−−=−−+−=−−−−

195

1792

195

1792 −≡−


8

2) 3

1

6

1

5

7

3

1

5

2

2

1 −+=−+xxx


−+=

−+3

1

6

1

5

730

3

1

5

2

2

130

xx

xxx

se efectúan las operaciones para cada término: xxx 10542101215 −+=−+

se transponen términos: 10124210515 +−=+− xxx

Se reducen los términos semejantes: 4020 =x

dividiendo por 20 :

220

40 ==x

Comprobación:

( ) ( ) 15

8

30

16

30

5

30

6

30

15

6

1

10

2

2

1

23

1

25

2

2

1 ==−+=−+=−+

( ) 15

8

30

16

30

10

30

5

30

21

3

1

6

1

10

7

3

1

6

1

25

7 ==−+=−+=−+

15

8

15

8 ≡

3) 10435

6 =+− x

Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x35 − :

( ) ( ) ( )103543535

635 xx

xx −=−+

−−

se efectúan las operaciones para cada término: xx 305012206 −=−+

se transponen términos: 206503012 −−=+− xx

Se reducen los términos semejantes: 2418 =x

dividiendo por 18 :

3

4

18

24 ==x

Comprobación:

1046445

64

3

435

6 =+=+−

=+

−

1010 ≡

4) xxxx 10

4

2

3

4

328

4

6

5

2 −−−=−−



9

−−−=

−−xx

xxx

x10

4

2

3

4

32208

4

6

5

220

se efectúan las operaciones para cada término: 830160160308 −−−=−− xx

se transponen términos: 308830160160 +−−−=+− xx

Se reducen los términos semejantes: 160 −=− x

Como la división por cero no está definida, entonces el ejemplo planteado no es ecuación sino un enunciado falso.

5) 562

82

3

4 +−

=−− xx

Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 62 −x :

( ) ( )

+−

−=

−−

− 562

8622

3

462

xx

xx

se efectúan las operaciones para cada término: ( ) ( ) ( )562826242 −+=−− xx

301081248 −+=+− xx se transponen términos:

128308104 −−−=−− xx Se reducen los términos semejantes:

4214 −=− x dividiendo por 14− :

14

42

−−=x

3=x Comprobación:

20

42

33

4 −=−−

( ) 50

85

66

85

632

8 +=−−

=+−

Como la división por cero no está definida, entonces el ejemplo planteado no es ecuación sino un enunciado falso. Para ambas fracciones, el valor 3=x no es aceptable. Por lo tanto, la solución es el conjunto vacío. VII.2.4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Para plantear ecuaciones es conveniente saber traducir un enunciado a una expresión algebraica. Una útil lista de interpretaciones de enunciado a expresión algebraica es la siguiente:


10

Enunciado Expresión Algebraica

El doble de x x2 El triple de x x3 El cuádruplo de x x4

El cuadrado de x 2x

El cubo de x 3x El antecesor del número entero x 1−x El sucesor del número entero x 1+x

El cuadrado del doble de x ( )22x

El doble del cuadrado de x 22x Un número par x2 Un número impar 12 +x Dos números consecutivos x y 1+x Dos números pares consecutivos x2 y 22 +x Dos números impares consecutivos 12 −x y 12 +x

La mitad de x x2

1

La tercera parte de x x3

1

Ejemplos. 1) ¿Qué número es aquel que si se duplica, y luego se le resta 12 , da por resultado el número aumentado en 3 ? Solución. Si x es el número buscado.

3122 +=− xx 1232 +=− xx

15=x Por lo tanto, el número es el 15 . 2) Erick tiene un año más que el doble de la edad de Jorge y sus edades suman 97 . ¿Qué edad tienen ambos? Solución. Si x es la edad de Jorge, entonces la edad de Erick es 12 +x Planteando que la suma de las edades es 97 , se obtiene la ecuación:

9712 =++ xx 1972 −=+ xx

963 =x

323

96 ==x

reemplazando este valor de x en la expresión 12 +x se tiene: ( ) 651621322 =+=+

Por lo tanto, la edad de Jorge es 32 años y la de Erick es 65 años.


11

3) Blanca tiene 300 pesos más que Ana. Si entre ambas tienen 2001, , ¿cuál es el capital de Blanca? Solución. Si Ana tiene x , entonces Blanca tiene 300+x

1200300 =++ xx 3001200 −=+ xx

9002 =x

4502

900 ==x

Por lo tanto, el capital de Blanca es 750300 =+x pesos. 4) El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín? Solución. Sea x el lado menor del rectángulo, entonces el lado mayor es 11+x Al sumar todos los lados del rectángulo e igualar al perímetro dado se obtiene:

581111 =+++++ xxxx 111158 −−=+++ xxxx

364 =x

94

36 ==x

El lado mayor mide: 2011911 =+=+x m Por lo tanto, los lados del jardín miden 9 m. y 20 m. 5) El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y éste 3 más que el menor. Si entre los tres suman la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano? Solución. Sea x la edad del hermano menor

3+x es la edad del hermano mediano 7+x es la edad del hermano mayor

4073 =++++ xxx 7340 −−=++ xxx

303 =x

103

30 ==x , entonces el hermano mediano tiene 133 =+x años y el mayor 177 =+x años.

Por lo tanto, las edades de los tres hermanos son: 1310, y 17 años. 6) Un examen consta de 20 reactivos. Cada respuesta correcta se valora con 3 puntos y cada respuesta incorrecta se resta 2 puntos. Si al final del examen, un alumno consiguió 30 puntos. ¿Cuántos reactivos contestó correctamente y cuántos incorrectamente? Solución. Sea x el número de reactivos correctos

x−20 es el número de reactivos incorrectos x3 es el número de puntos conseguidos por los reactivos correctos

( )x−202 es el número de puntos perdidos por los reactivos incorrectos

( ) 302023 =−− xx

302403 =+− xx 403023 +=+ xx


12

705 =x

145

70 ==x

6142020 =−=− x Por lo tanto, el alumno tuvo 14 respuestas correctas y 6 incorrectas. 7) Hallar un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. Solución. Sea x el número buscado

xxx =++ 14

1

2

1

( )xxx 414

1

2

14 =

++

xxx 442 =++ 442 −=−+ xxx

4−=− x

41

4 =−−=x

El número buscado es 4 . 8) Una llave llena un depósito en 3 horas y otra lo hace en 6 horas. Si el depósito está vacío y se abren las dos llaves a la vez, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse? Solución.

La primera llave llena 3

1 del depósito en una hora

La segunda llave llena 6

1 del depósito en una hora

Si x el tiempo en horas que las llaves llenan juntas el depósito, entonces x

1 es la fracción de depósito

que llenan juntas en una hora, Así que:

x

1

6

1

3

1 =+

=

+x

xx1

66

1

3

16

62 =+ xx 63 =x

23

6 ==x

Por lo tanto, el depósito se llenaría en dos horas. VII.2.5 GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta. Para ello se debe dejar sola a la variable x de un lado de la ecuación. A esto se le llama despejar a la variable.


13

x21-1-2

1

2

y

-1

-21=x

x7531

1

3

y

-1

-5 10=x

9 11-1

5

-3

x42-2-4

2

4

y

-2

-4

925−=x

Gráficamente, la solución de la ecuación está representada por una línea recta vertical en el plano cartesiano. La solución es el valor de la abscisa del punto en el que esa recta corta al eje x . Ejemplos. Representar gráficamente la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado: 1) ( ) ( )12413 +−=− xx Solución.

22433 −−=− xx 32423 +−=+ xx

55 =x

15

5 ==x

2) 536

=+ xx

( )5636

6 =

+ xx

302 =+ xx 303 =x

103

30 ==x

3) 5

17

6

1

2

78

3

1 +−=−−xxx

+−=

−−5

17

6

130

2

78

3

130

xx

xxx

xxx 6210510524010 +−=−− 1051056210240 +−=−+− xxx

10036 =− x

7729

25

36

100.x −≈−=

−=


14

VII.3 DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La expresión ba ≠ significa que " a " no es igual a " b ". Según los valores particulares de a y de b , puede tenerse ba > , que se lee “ a mayor que b ”, cuando la diferencia ba − es positiva y ba < que se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia ba − es negativa. La notación ba ≥ , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que ba > o que ba = pero no ambos. Por su parte, la notación ba ≤ que se lee “ a es menor o igual que b ”, significa que ba < o que

ba = pero no ambos. Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos ≥<> ,, o ≤ . Ejemplos de desigualdades: 1) 34 > 2) 10<a 3) 5≥b

4) 12 ≤x Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, se deduce que: • Todo número positivo es mayor que cero • Todo número negativo es menor que cero • Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto • Si ba > entonces ab < . Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa. Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales. • Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales

que figuran en ella. Por ejemplo: xx >+12 • Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por

ejemplo: 0153 >−x que solamente satisface para 5>x . En este caso se dice que 5 es el límite de x .

Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

Sean ∈b,a R y 0≠a , una desigualdad de primer grado en una variable x se define como:

≤+<+≥+>+

0

0

0

0

bax

bax

bax

bax


15

Propiedades de las desigualdades: Sean c,b,a tres números reales.

I. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro Esto es, si ba > , entonces se cumple que cbca +>+ . Ejemplos. 1) Si a la desigualdad 37 > se le suma 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 2327 +>+ , ya que: 59 > 2) Si a la desigualdad 816 > se le resta 5 a ambos miembros, entonces, se cumple que 58516 −>− , ya que: 311 > Consecuencia de esta propiedad, puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido. Es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros. Ejemplo.

9348 −>− xx 4938 +−>− xx

II. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo.

Esto es, dado un número 0>c , si ba > entonces se cumple que cbca ⋅>⋅ y que c

b

c

a >

Ejemplos. 1) Si a la desigualdad 25 > se multiplica por 3 a ambos miembros, entonces, se cumple que 3235 ⋅>⋅, ya que 615 >

2) Si a la desigualdad 2836 > se divide por 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que 4

28

4

36 > ,

ya que 79 > III. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo.

Esto es, dado un número 0<c , si ba > entonces se cumple que cbca ⋅<⋅ y que c

b

c

a <

Ejemplos. 1) Si a la desigualdad 36 > se multiplica por 4− a ambos miembros, entonces, se cumple que

( ) ( )4346 −<− , ya que 1224 −<− 2) Si a la desigualdad 1016 > se divide por 2− a ambos miembros, entonces, se cumple que

2

10

2

16

−<

−, ya que 58 −<−


16

Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1. Ejemplo.

xx 42186 −<+− xx 42186 +−>−

VII.3.1 INECUACIONES ENTERAS Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de las ecuaciones, que sólo se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones tienen infinitas soluciones. El procedimiento para resolverlas es similar al de las ecuaciones, sólo que deben tenerse en cuenta las propiedades de las desigualdades. Para resolver una inecuación de primer grado se transponen los términos (pasar los términos de un miembro a otro cambiando el signo equivale a aplicar la propiedad I) para que aquellos que contienen a la incógnita queden en el primer miembro y los términos independientes en el otro. Finalmente, para despejar la incógnita se divide por el valor del coeficiente, teniendo en cuenta la segunda o tercera propiedad de las desigualdades, según el signo del coeficiente. Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones enteras: 1) 8264 −>+ xx Solución. Se transponen términos:

6824 −−>− xx se reducen los términos semejantes:

142 −>x dividiendo por 2 :

72

14 −>⇒−> xx

2) 621052313 ++−≥−+− xxxx Solución. Se transponen términos:

261025313 −+−≥−−− xxxx se reducen los términos semejantes:

63 −≥x dividiendo por 3 :

23

6 −≥⇒−≥ xx

3) 10834365 −+>−+ xxx Solución. Se transponen términos:

61034835 −−>−− xxx se reducen los términos semejantes:

186 >− x dividiendo por 6− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:


17

36

18 −<⇒−

< xx

4) xxxxx 4234813610523 +++−>−−−− Solución. Se transponen términos:

6223413481053 ++++>−+−− xxxxx se reducen los términos semejantes:

488 >− x dividiendo por 8− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:

68

48 −<⇒−

< xx

5) ( ) ( ) ( ) ( ) xxxxx ++++≤−++− 8241035341325 Solución. Eliminando paréntesis:

xxxxx ++++≤−++− 328303201211510 Se transponen términos:

201153230831210 +−++≤−−−+ xxxxx se reducen los términos semejantes:

9610 ≤x dividiendo por 10 :

5

48

10

96 ≤⇒≤ xx

Una inecuación de primer grado literal es aquella que contiene otras expresiones literales aparte de la incógnita, las cuales deben considerarse como valores constantes. Para resolver inecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en los ejemplos anteriores. La variante es que cuando se tengan todos los términos que contengan a la incógnita en el primer miembro de la inecuación, se factoriza para poder despejarla. 6) ( ) ( ) abaxabxxbax −+>−−− 56432 Eliminando paréntesis:

abaxabxbbxax −+>−+− 5561232 Se transponen términos:

babaxabxbxax 1255632 −−>−−− factorizando x :

( ) babaabbax 1255632 −−>−−−

si ( ) 05632 >−−− abba , entonces la solución es 5632

125

−−−−−>abba

babax

si ( ) 05632 <−−− abba , entonces la solución es 5632

125

−−−−−<abba

babax

VII.3.2 INECUACIONES FRACCIONARIAS Para resolver una inecuación fraccionaria de primer grado, se multiplican sus dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores con el objeto de eliminarlos y se reduce para convertirla en


18

una inecuación entera. Cuando el denominador contiene la incógnita, tiene que analizarse cuando es tanto positiva como negativa. Para ambos casos debe obtenerse la respectiva intersección de las restricciones. La solución de la inecuación, es la unión de los dos intervalos obtenidos. Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones fraccionarias:

1) 3

7

5

4

3

1

5

2 −>+ xx


−>

+3

7

5

415

3

1

5

215 xx

se efectúan las operaciones para cada término: 351256 −>+ xx

se transponen términos: 635125 −−>− xx

Se reducen los términos semejantes: 417 −>− x

dividiendo por 7− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:

7

41

7

41 <⇒−−< xx

2) xxx 32

1

5

28

3

2

4

5 −−≥−+


−−≥

−+ xxx 32

1

5

2608

3

2

4

560

se efectúan las operaciones para cada término: xxx 18030244804075 −−≥−+

se transponen términos: 48075301802440 +−−≥+− xxx

Se reducen los términos semejantes: 375196 ≥x

dividiendo por 196 :

196

375≥x

3) xxx6

8

4

10

6

24

3

5

4

9 ++>−+


++>

−+ xxx6

8

4

10

6

2124

3

5

4

912

se efectúan las operaciones para cada término: xxx 16304482027 ++>−+

se transponen términos: 48273016420 +−>−− xxx

Se reducen los términos semejantes:


19

510 >x como la división por cero no está definida, entonces la expresión presenta un enunciado falso. Nótese

que simplificando la inecuación se llega a 2

5

3

5

4

7

3

5 +>− xx , expresión que es imposible que se cumpla.

4) xx 4

1

6

8

3

5

6

7 −>+

Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x12 : Si 0>x se tiene:

−>

+x

xx

x4

1

6

812

3

5

6

712

se efectúan las operaciones para cada término: 3162014 −>+ xx

se transponen términos: 1431620 −−>− xx

Se reducen los términos semejantes: 174 −>x

dividiendo por 4 :

4

17−>x

dadas las restricciones 0>x y 4

17−>x , su intersección es 0>x

Si 0<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido4

17−<x

dadas las restricciones 0<x y 4

17−<x , su intersección es 4

17−<x

la solución está dada por: ( )∞

−∞− ,, 04

17U

5) xxxx 2

7

3

12

2

1

3

2

5

4 −−≤−−

Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x30 : Si 0>x se tiene:

−−≤

−−xx

xxx

x2

7

3

1230

2

1

3

2

5

430

se efectúan las operaciones para cada término: 1051060152024 −−≤−− xx

se transponen términos: 1524105106020 +−−−≤−− xx

Se reducen los términos semejantes: 12480 −≤− x

dividiendo por 80− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:

20

31

80

124 ≥⇒−−≥ xx


20


31≥x , su intersección es 20

31>x

Si 0<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido: 20

31≤x


31<x , su intersección es 0<x

Por lo tanto, la solución está dada por: ( )

∞∞− ,,20

310 U

6) 035

2 >+− x

Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x−5 :

( ) ( )0535

25 x

xx −>

+−

−

Si 05 >− x , que implica 5<x se tiene:

( ) 0352 >−+ x se efectúan las operaciones para cada término:

03152 >−+ x se transponen términos:

1523 −−>− x Se reducen los términos semejantes:

173 −>− x dividiendo por 3− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:

3

17

3

17 <⇒−−< xx


17<x , su intersección es 5<x

Si 05 <− x , que implica 5>x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido 3

17>x


17>x , su intersección es 3

17>x

Por lo tanto, la solución está dada por: ( )

∞∞− ,,3

175 U

7) 121862

5 −<+−x

Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 62 −x :

( ) ( )( )12621862

562 −−<

+−

− xx

x

Si 062 >−x , que implica 3>x se tiene:

( ) ( )( )126218625 −−<−+ xx se efectúan las operaciones para cada término:

7224108365 +−<−+ xx se transponen términos:


21

x21-1-2

2−>x

x21-1-2

2−>x

x0-2-6-8

21125−≤x

-4-10 x0-2-6-8

21125−≤x

-4-10

1085722436 +−<+ xx Se reducen los términos semejantes:

17560 <x dividiendo por 60 :

12

35

60

175 <⇒< xx


35<x , su intersección es 312

35 << x

Si 062 <−x , que implica 3<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido 12

35>x


35>x , no existe intersección

Por lo tanto, la solución está dada por: 312

35 << x .

VII.3.3 GRÁFICA DE UNA INECUACIÓN DE PRIMER GRADO Resolver una inecuación es encontrar el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad. Gráficamente, la solución de una inecuación de primer grado está representada por un intervalo del eje de las abscisas a partir de un valor límite a . Si la solución es de la forma ax > , entonces la región será todos los números que estén a la derecha de a sin incluirlo. Si la solución es de la forma ax ≥ , la región incluye al valor a . De la misma forma, si la solución es de la forma ax < , entonces la región será todos los números que estén a la izquierda de a sin incluirlo. Si la solución es de la forma ax ≤ , la región incluye al valor a . Dependiendo del tipo de desigualdad el conjunto solución puede ser uno o dos intervalos, la totalidad de los números reales o el conjunto vacío. Ejemplos. Representar gráficamente la solución de las siguientes inecuaciones de primer grado: 1) ( ) ( )623214 +−>+ xx Solución.

186244 −−>+ xx 418264 −−>+ xx

2010 −>x

10

20−>x

2−>x

2) 54

118

3

5

2

97

4

3 ++−≥−− xxx

++−≥

−− 54

118

3

512

2

97

4

312 xxx

6033962054849 ++−≥−− xxx 5496020339684 +−+≥−+− xxx

12521 ≥− x

21

125−≤x


22

3) xx 8

5

4

13

2

73 −<+−

si 0>x

−<

+−x

xx

x8

5

4

138

2

738

5262824 −<+− xx 2452628 +−<− xx

192 <x

2

19<x


19<x , su intersección es 2

190 << x

Si 0<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido 2

19>x


19>x , no hay intersección.

Por lo tanto, la solución está dada por: 2

190 << x

VII.4 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE Una ecuación de segundo grado en una variable es aquella que, una vez realizadas todas las reducciones posibles, el máximo exponente es dos. Una ecuación de este tipo también es llamada ecuación cuadrática y tiene la forma general:

02 =++ cbxax

donde 0≠a , b y c son números reales; y x es la incógnita. El monomio 2ax recibe el nombre de término cuadrático, bx se conoce como término lineal y c es el término independiente. Ejemplos de ecuaciones de segundo grado en una variable:

1) 0425 2 =−+ xx

2) 9

4

11

6

8

3 2 =− xx

3) 0578463 2 =− x.x.

4) 0287 2 =−x

x7531 9

219

0 << x

11-1 x7531 9

219

0 << x

11-1


23

Una ecuación de segundo grado tiene siempre dos respuestas (algunas veces repetidas). El objetivo de resolverla es obtener las raíces 1x y 2x , si existen, para los que la igualdad de la ecuación es cierta. Una ecuación cuadrática puede ser de dos tipos: Ecuación completa si 0≠b y 0≠c Ecuación incompleta si 0=b ó 0=c . En la vida práctica, cuando se tiene que resolver una ecuación cuadrática que surge de un problema concreto, la mayoría de las veces ésta no tiene un formato sencillo, sin embargo, puede reducirse a alguna de estas formas para decidir el método que se usará para resolverla. Ejemplos.

1) 0183 2 =+− xx es una ecuación completa

2) 0124 2 =− xx es una ecuación incompleta ya que no tiene el término independiente

3) 0287 2 =−x es una ecuación incompleta porque carece del término lineal. VII.4.1 ECUACIONES INCOMPLETAS

• Sea una ecuación incompleta de la forma

trasponiendo el término independiente: cax −=2

dividiendo la ecuación por a : a

cx −=2

Para despejar x de esta ecuación, se busca un número que elevado al cuadrado sea igual a a

c− .

Como 2

2c

a

c −=

− si 0>−

a

c y también

2

2c

a

c −=

−− si 0>−

a

c, entonces estos dos números

se encuentran en la recta numérica a un lado y al otro del cero y su distancia al origen es a

c− .

Lo anterior significa que: a

cx −= , lo cual implica que

a

cx −= o

a

cx −−= .

Por lo tanto, las raíces de la ecuación están dadas por:

a

cx −=1

a

cx −−=2

Nótese como las raíces de la ecuación existirán siempre y cuando los coeficientes a y c tengan signos opuestos. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

1)

02 =+ cax

02 =+ cax

0123 2 =−x


24

Solución.

22443

12123 21

22 −==⇒±=⇒==⇒= x,xxxx

Comprobación:

( ) ( ) 0121212431223 2 =−=−=−

( ) ( ) 0121212431223 2 =−=−=−−

2) 0546 2 =−x Solución.

33996

54546 21

22 −==⇒±=⇒==⇒= x,xxxx

Comprobación:

( ) ( ) 0545454965436 2 =−=−=−

( ) ( ) 0545454965436 2 =−=−=−−

3) 055

1 2 =+− x

Solución. Multiplicando por 5 :

( )0555

15 2 =

+− x

25251

2525025 222 ±=⇒=

−−=⇒−=−⇒=+− xxxx

55 21 −==⇒ x,x Comprobación:

( ) 05555

2555

5

1 2 =+−=+−=+−

( ) 05555

2555

5

1 2 =+−=+−=+−−

4) 47836214106 22222 −+−=−+++− xxxxx Solución.

Reduciendo términos semejantes se tiene: 0142 2 =−x

77772

14142 21

22 −==⇒±=⇒==⇒= x,xxxx

Comprobación:

( ) ( ) ( ) =−+++− 222236727141076 ( ) ( ) ( ) 44361498104236727141076 =−+++−=−+++−

( ) ( ) ( ) 4444849877787778722

=−=+−=+−=+−

4444 ≡

( ) ( ) ( ) =−−+−++−− 222236727141076 ( ) ( ) ( ) 44361498104236727141076 =−+++−=−+++−

( ) ( ) ( ) 4444849877787778722

=−=+−=+−=−+−−

4444 ≡


25

5) 0328 2 =+x Solución.

448

32328 22 −±=⇒−=−=⇒−= xxx , por lo tanto no existen soluciones reales.

• Sea una ecuación incompleta de la forma 02 =+ bxax factorizando el primer miembro: ( ) 0=+ baxx

aplicando la propiedad cero de los números reales3: 0=x y 0=+ bax

despejando x de la segunda ecuación se obtiene: a

bx −=

Por lo tanto, las raíces de esta ecuación están dadas por: 01 =x

a

bx −=2

Nótese como una raíz siempre será cero y la otra siempre existe. Es común que en muchos ejercicios el factor común es de la forma kx , donde k es el máximo común

divisor de a y b , entonces si 02 =+ bxax , se tiene que 0=

+k

bx

k

akx

Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

1) 082 2 =− xx Solución.

( )

=⇒=−=⇒=

⇒=−⇒=−404

002042082

2

12

xx

xxxxxx

Comprobación:

( ) ( ) 00802 2 =−

( ) ( ) ( ) 03232321624842 2 =−=−=−

2) 0105 2 =+ xx Solución.

( )

−=⇒=+=⇒=

⇒=+⇒=+202

0050250105

2

12

xx

xxxxxx

Comprobación:

( ) ( ) 001005 2 =+

( ) ( ) ( ) 02020204521025 2 =−=−=−+−

3) 0286 2 =+− xx Solución.

3 Esta propiedad establece que si el producto de dos números es cero, entonces uno de ellos o ambos es cero.


26

( )

=⇒=⇒=−

=⇒=−⇒=−−⇒=+−

3

141430143

002014320286

2

12

xxx

xxxxxx

4) xxxxxxxxx 3912248375 2222 −−+=−+−− Solución.

Reduciendo términos semejantes se tiene: 0129 2 =− xx

( )

=⇒=⇒=−

=⇒=⇒=−⇒=−

3

443043

00304330129

2

12

xxx

xxxxxx

Comprobación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00408030705 22 =−+−−

( ) ( ) ( ) ( ) 0030901202 22 =−−+

00 ≡ Comprobación:

9

4

9

48

9

96

9

48

3

84

9

80

3

16

3

32

9

48

3

28

9

80

3

44

3

48

3

43

3

47

3

45

22

−=−+−−=−+−−=

−

+

−

−

9

4

9

36

9

144

9

144

9

3241616

9

32

3

43

3

49

3

412

3

42

22

−=−−+=−−+=

−

−

+

9

4

9

4 −≡−

5) 02

7

5

3 2 =−− xx

Solución. Multiplicando por 10 :

( )0102

7

5

310 2 =

−− xx 0356 2 =−−⇒ xx

( )

−=⇒−=⇒=+

=⇒=−⇒=+−⇒=−−

6

353560356

0003560356

2

12

xxx

xxxxxx

Comprobación:

012

245

12

245

12

245

36

1225

5

3

6

35

2

7

6

35

5

32

=+−=+

−=

−−

−−

VII.4.2 ECUACIONES COMPLETAS UTILIZANDO FÓRMULA GEN ERAL Existe una fórmula general que puede aplicarse a cualquier ecuación de segundo grado en una variable y que permite conocer la naturaleza de las raíces. Para resolver la ecuación de segundo grado en el caso general, se necesita que el primer miembro sea un cuadrado perfecto:


27

Sea la ecuación: 02 =++ cbxax

se traspone el término independiente al segundo miembro: cbxax −=+2

dividiendo por a : a

cx

a

bx −=+2

sumando 2

2

a

bpara que el primer miembro sea un trinomio cuadrado perfecto:

222

22

+−=

++a

b

a

c

a

bx

a

bx

expresión que equivale a: 2

222

42 a

b

a

c

a

bx

a

bx +−=

++

acomodando el segundo miembro: a

c

a

b

a

bx

a

bx −=

++2

222

42

expresión que equivale a: 2

222

4

4

2 a

acb

a

bx

a

bx

−=

++

factorizando el trinomio cuadrado perfecto: 2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

−=

+

extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: 2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

−±=+

aplicando propiedades de los radicales: a

acb

a

bx

2

4

2

2 −±=+

se traspone el término a

b

2 al segundo miembro:

a

b

a

acbx

22

42

−−±=

acomodando convenientemente se llega a:

a

acbbx

2

42 −±−=

expresión conocida como fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado.

En la fórmula general, la cantidad: acb 42 − es llamada discriminante de la ecuación y determina la naturaleza de las raíces, de acuerdo a lo siguiente:

• Si 042 >− acb , las raíces son reales y diferentes.

• Si 042 =− acb , las raíces son reales e iguales.

• Si 042 <− acb , las raíces son complejas conjugadas. Ejemplos. Aplicando la fórmula general, resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:

1) 030213 2 =++ xx

Simplificando la ecuación para que la sustitución sea más sencilla: 01072 =++ xx


28

1071 === c,b,a Sustituyendo en la fórmula general se tiene:

( ) ( )( )( ) 2

37

2

97

2

40497

12

101477 2 ±−=±−=−±−=−±−

=x

22

4

2

371 −=−=+−=x

52

10

2

372 −=−=−−=x

Comprobación:

( ) ( ) ( ) 03042123042433022123 2 =+−=+−=+−+−

( ) ( ) ( ) 03010575301052533052153 2 =+−=+−=+−+−

2) 024142 2 =+− xx

Simplificando la ecuación para que la sustitución sea más sencilla: 01272 =+− xx 1271 =−== c,b,a

Sustituyendo en la fórmula general se tiene:

( ) ( ) ( )( )( ) 2

17

2

17

2

48497

12

121477 2 ±=±=−±=−−±−−

=x

42

8

2

171 ==+=x

32

6

2

172 ==−=x

Comprobación:

( ) ( ) ( ) 024563224561622441442 2 =+−=+−=+−

( ) ( ) ( ) 02442182442922431432 2 =+−=+−=+−

3) 485319711 22 ++−=++ xxxx

Reduciendo términos semejantes se tiene: Simplificando la ecuación para que la sustitución sea más sencilla: 0442 =++ xx

441 === c,b,a


( ) ( )( )( ) 2

04

2

04

2

16164

12

41444 2 ±−=±−=−±−=−±−

=x

22

4

2

041 −=−=+−=x

22

4

2

042 −=−=−−=x

Comprobación:

( ) ( ) ( ) 4919144419144111927211 2 =+−=+−=+−+−

( ) ( ) ( ) 49432103448103428253 2 =+++=+++=+−+−−

4949 ≡

012123 2 =++ xx


29

4) 04

10

3

4

6

1 2 =+− xx

Multiplicando por 12 :

( )0124

10

3

4

6

112 2 =

+− xx

030162 2 =+− xx

Simplificando la ecuación para que la sustitución sea más sencilla: 01582 =+− xx 1581 =−== c,b,a


( ) ( ) ( )( )( ) 2

28

2

48

2

60648

12

151488 2 ±=±=−±=−−±−−

=x

52

20

2

281 ==+=x

32

6

2

282 ==−=x

Comprobación:

( ) ( ) 012

30

12

80

12

50

4

10

3

20

6

25

4

105

3

45

6

1 2 =+−=+−=+−

( ) ( ) 012

30

12

48

12

18

4

104

6

9

4

103

3

43

6

1 2 =+−=+−=+−

5) 0785 2 =++ xx 785 === c,b,a


( )( )( ) 10

768

10

140648

52

75488 2 −±−=−±−=−±−

=x , por lo tanto no existen soluciones reales.

VII.4.3 ECUACIONES COMPLETAS UTILIZANDO FACTORIZACI ÓN

Toda ecuación cuadrática 02 =++ cbxax es una ecuación en la cual uno de sus miembros es un trinomio de segundo grado y el otro es cero. Muchos trinomios de segundo grado, pueden factorizarse como el producto de dos binomios que tienen un término en común4. El término común de los binomios es de grado uno ya que es raíz del término cuadrático. Para encontrar las raíces se resuelven las dos ecuaciones de primer grado. Este método aplica única y exclusivamente si el miembro de la derecha es cero y si el primer miembro es factorizable de acuerdo a la forma que se expuso en los subtemas V.2.6 y V.2.7.

4 De acuerdo a lo expuesto en la sección V.2.7, el último paso de la factorización de un trinomio de la forma cbxax ++2 consiste en dividir por a y el resultado final puede no ser el producto de dos binomios por un término común. Para resolver ecuaciones del

tipo 02 =++ cbxax no es necesario dividir por a , así que el resultado será el producto de dos binomios por un término común porque estrictamente no se completa la factorización.


30

Ejemplos. Obtener las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado por factorización:

1) 0862 =++ xx

( )( ) 024 =++ xx

404 1 −=⇒=+ xx

202 2 −=⇒=+ xx Comprobación:

( ) ( ) 0824168464 2 =+−=+−+−

( ) ( ) 081248262 2 =+−=+−+−

2) 0652 =+− xx

( )( ) 032 =−− xx

202 1 =⇒=− xx

303 2 =⇒=− xx Comprobación:

( ) ( ) 061046252 2 =+−=+−

( ) ( ) 061596353 2 =+−=+−

3) 03522 =−+ xx

( )( ) 057 =−+ xx

707 1 −=⇒=+ xx

505 2 =⇒=− xx Comprobación:

( ) ( ) 035144935727 2 =−−=−−+−

( ) ( ) 035102535525 2 =−+=−+

4) 0122 =−− xx

( )( ) 034 =+− xx

404 1 =⇒=− xx


( ) ( ) 0124161244 2 =−−=−−

( ) ( ) 012391233 2 =−+=−−−−

5) 05292 =−− xx

( )( ) 0413 =+− xx

13013 1 =⇒=− xx


( ) ( ) 0521171695213913 2 =−−=−−

( ) ( ) 052361652494 2 =−+=−−−−


31

6) 0232 2 =−+ xx

( ) ( ) ( ) ( )02223222 2 =−+ xx

( ) ( ) 04232 2 =−+ xx

( )( ) 01242 =−+ xx

2

112012 2 =⇒=⇒=− xxx

Comprobación:

( ) ( ) ( ) 0268264222322 2 =−−=−−=−−+−

02

4

2

3

2

1

4

4

2

3

4

122

2

13

2

12

2

=−+=−+

=−

+

7) 010173 2 =+− xx

( ) ( ) ( ) ( )0310317333 2 =+− xx

( ) ( ) 0303173 2 =+− xx

( )( ) 023153 =−− xx

53

151530153 1 ==⇒=⇒=− xxx

3

223023 2 =⇒=⇒=− xxx

Comprobación:

( ) ( ) ( ) 010857510852531051753 2 =+−=+−=+−

03

30

3

34

3

410

3

34

9

4310

3

217

3

23

2

=+−=+−

=+

−

8) 0844 2 =−− xx

( ) ( ) ( ) ( )04844444 2 =−− xx

( ) ( ) 032444 2 =−− xx

( )( ) 04484 =+− xx

24

884084 1 ==⇒=⇒=− xxx

14

444044 2 −=−=⇒−=⇒=+ xxx

Comprobación:

( ) ( ) ( ) 08816884482424 2 =−−=−−=−−

( ) ( ) ( ) 0844841481414 2 =−+=−+=−−−−

9) 015105 2 =−+ xx

( ) ( ) ( ) ( )0515510555 2 =−+ xx

22

442042 1 −=−=⇒−=⇒=+ xxx


32

( ) ( ) 0755105 2 =−+ xx

( )( ) 055155 =−+ xx

35

151550155 1 −=−=⇒−=⇒=+ xxx

15

555055 2 ==⇒=⇒=− xxx

Comprobación:

( ) ( ) ( ) 01530451530951531035 2 =−−=−−=−−+−

( ) ( ) ( ) 0151051510151511015 2 =−+=−+=−+

10) 036156 2 =−+ xx

( ) ( ) ( ) ( )0636615666 2 =−+ xx

( ) ( ) 02166156 2 =−+ xx

( )( ) 096246 =−+ xx

46

242460246 1 −=−=⇒−=⇒=+ xxx

2

3

6

996096 2 ==⇒=⇒=− xxx

Comprobación:

( ) ( ) ( ) 036609636601663641546 2 =−−=−−=−−+−

02

72

2

45

2

2736

2

45

4

9636

2

315

2

36

2

=−+=−+

=−

+

VII.4.4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN Al momento de plantear un problema que se modele como una ecuación de segundo grado, al resolverla se deben aceptar sólo los valores de la incógnita que cumplan las condiciones del problema y rechazar los que no los cumplan. 1) La suma de dos números es y su producto 204 , ¿cuáles son los números? Solución. El primer número es: x El segundo número es: x−29

( ) 20429 =− xx

02042920429 22 =+−⇒=− xxxx

( )( ) 01712 =−− xx

12012 1 =⇒=− xx

17017 2 =⇒=− xx 2) Hallar tres números impares consecutivos positivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7 . Solución.

29


33

x

2+x

224 cmÁrea=

El primer número impar es: x El segundo número impar es: 2+x El tercer número impar es: 4+x

( ) ( ) 724 222 =−+−+ xxx

( ) 744168 222 =−++−++ xxxxx

744168 222 =−−−−++ xxxxx

054054 22 =−−⇒=++− xxxx

( )( ) 015 =+− xx

101 2 −=⇒=+ xx Se rechaza la segunda raíz por ser negativa. Los números son: 45255 ++ ,, , es decir: 3) La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno? Solución. La edad del hijo es:

La edad del padre es: 2x

( )242242 +=+ xx

482242 +=+ xx

02422 =−− xx

( )( ) 046 =+− xx

606 1 =⇒=− xx

404 2 −=⇒=+ xx Se rechaza la segunda raíz por ser negativa.

362 =x , por lo tanto, la edad del hijo es seis años y la del padre . 4) Un triángulo tiene un área de 24 cm2 y la altura mide 2 cm. más que la base correspondiente. ¿Cuánto miden la base y la altura? Solución. La longitud de la base: x La longitud de la altura: 2+x

El área del triángulo es: ( )

242

2 =+xx

( ) 482 =+xx

4822 =+ xx

04822 =−+ xx

( )( ) 068 =−+ xx

808 1 −=⇒=+ xx

606 2 =⇒=− xx Se rechaza la primera raíz por ser negativa. La longitud de la altura es: 8262 =+=+x Por lo tanto, la base mide 6 cm. y la altura mide 8 cm.

505 1 =⇒=− xx

975 ,,

x

36


34

5) Una persona tiene 52 años de edad y su nieto 2 . ¿Después de cuántos años la razón entre la edad del abuelo y del nieto será igual a los tres cuartos del tiempo transcurrido para que eso suceda? Solución. El tiempo transcurrido es: x La edad del nieto después de x años es: x+2 La edad del abuelo después de x años es: x+52

xx

x

4

3

2

52 =++

( )xxx +=+ 24

352

( ) ( )

+=+ xxx 24

34524

2364208 xxx +=+

020823 2 =−+ xx 20823 −=== c,b,a


( )( )( ) 6

502

6

25002

6

249642

32

2083422 2 ±−=±−=+±−=−−±−

=x

86

48

6

5021 ==+−=x

3

26

6

52

6

5022 −=−=−−=x

Se rechaza la segunda raíz por ser negativa. Por lo tanto, el tiempo que deberá transcurrir serán 8 años. 6) Un conjunto de personas alquiló un microbús en 2001, pesos. Como tres personas no fueron, las

demás debieron pagar 20 pesos más de lo acordado. ¿Cuántas viajaban originalmente? Solución. El número de personas es: x

Cada persona debió pagar originalmente: x

,2001 pesos.

( ) 2001202001

3 ,x

,x =

+−

( ) ( ) ⇒=

+− 2001202001

3 ,xx

,xx ( )( ) x,x,x 20012020013 =+−

⇒=−−+ x,x,xx, 2001606003202001 2 060036020 2 =−− ,xx

018032 =−− xx

( )( ) 01215 =+− xx

15015 1 =⇒=− xx

12012 2 −=⇒=+ xx

Se rechaza la segunda raíz por ser negativa, se tiene que originalmente viajaban 15 personas.


35

x

2+x

1+x

7) Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos. Las medidas están en cm. Solución. El cateto menor es: x El cateto mayor es: 1+x La hipotenusa es: 2+x Aplicando el teorema de Pitágoras:

( ) ( )222 21 +=++ xxx

4412 222 ++=+++ xxxxx

0322 =−− xx

( )( ) 013 =+− xx

303 1 =⇒=− xx

101 2 −=⇒=+ xx Se rechaza la segunda raíz por ser negativa.

4131 =+=+x , 5232 =+=+x Las longitudes de los catetos son: 3 cm. y 4 cm., la longitud de la hipotenusa es 5 cm. 8) La diferencia de dos números naturales es 7 y su suma multiplicada por el número menor es 184 . Hallar los números. Solución. El número menor es x El número mayor es x+7

( ) 1847 =++ xxx

1847 22 =++ xxx

018472 2 =−+ xx 18472 −=== c,b,a


( )( )( ) 4

397

4

52117

4

4721497

22

1842477 2 ±−=±−=+±−=−−±−

= ,,x

84

32

4

3971 ==+−=x

2

23

4

46

4

3972 −=−=−−=x

Se rechaza la segunda raíz por ser negativa. 15877 =+=+ x

Por lo tanto, los números son 8 y 15 . 9) Los tiempos empleados por dos pintores para pintar cada uno un metro cuadrado difieren entre sí en un minuto. Trabajando conjuntamente emplean una hora en pintar 27 metros cuadrados. ¿En cuánto tiempo pinta cada uno un metro cuadrado? Solución. El número de minutos que necesita el pintor más rápido para pintar un metro cuadrado es: x El número de minutos empleados por el otro pintor es: 1+x

La fracción de metro cuadrado que pinta el más rápido en un minuto es: x

1


36

La fracción de metro cuadrado que pinta el otro en un minuto es: 1

1

+x

La fracción de metro cuadrado que pintan entre los dos en un minuto es: 1

11

++

xx

Trabajando juntos pintan 27 metros cuadrados en una hora, así que en un minuto pintan: 2

60

27m

Por tanto: 60

27

1

11 =+

+xx

( ) ( )60

27160

1

11160 +=

+++ xx

xxxx

( ) ( )12760160 +=++ xxxx

xxxx 2727606060 2 +=++

0609327 2 =−− xx 609327 −=−== c,b,a


( ) ( ) ( )( )( ) 54

12393

54

1291593

54

4806649893

272

602749393 2 ±=±=+±=−−−±−−

= ,,,x

454

216

54

123931 ==+=x

9

5

54

30

54

123932 −=−=−=x

Se rechaza la segunda raíz por ser negativa. 5141 =+=+x , así que los pintores emplean 4 y 5 minutos, respectivamente para pintar un metro cuadrado.

VII.4.5 GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Para graficar una ecuación de segundo grado, se establece la ecuación cbxaxy ++= 2 . La solución de

02 =++ cbxax son los valores x que hacen 0=y , es decir los puntos

−+−0

2

42

,a

acbb y

−−−0

2

42

,a

acbb donde la curva cbxaxy ++= 2 cruza el eje x .

El resultado gráfico siempre es una curva que recibe el nombre de parábola, cuyas características son: 1) Si 0>a , la parábola se abre hacia arriba: 2) Si 0<a , la parábola se abre hacia abajo:

3) La intersección con el eje y es el punto ( )c,0

4) Como las soluciones dependen del signo del discriminante acb 42 −=∆ , se tiene que: • Si 0>∆ , la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parábola corta en dos

puntos al eje x . • Si 0=∆ , la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parábola es tangente al eje x . • Si 0<∆ , la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola no corta el eje x .


37

x1 432 5-1-2-3-4-5

5

25

35

40

y

20

15

10

30

6 7-6-7

45

-10

x1 432 5-1-2-3-4-5

5

25

35

-15

y

20

15

10

6-6-7

-10

-8

La ecuación cbxaxy ++= 2 puede evaluarse para todo ∈x R y por ello se unen los puntos obtenidos para obtener sus gráficas. Para fines prácticos, tabulando valores diferentes de x se pueden obtener los valores de y , generando

puntos de coordenadas ( )y,x que se localizan en el plano coordenado y que al unirse conforman la parábola. Si las coordenadas de los puntos son grandes puede ser necesario modificar la escala en los ejes x y y, lo que provoca que las gráficas se deformen. Esto significa que su aspecto es diferente al que realmente tienen. Ejemplos. Graficar las siguientes ecuaciones de segundo grado:

1) 642 2 −−= xxy Solución.

x y

-4 42 -3 24 -2 10 -1 0 0 -6 1 -8 2 -6 3 0 4 10 5 24 6 42

La parábola se abre hacia arriba y las raíces de la ecuación son diferentes:

31 =x

12 −=x

2) 2832 +−−= xxy Solución.

x y

-8 -12 -7 0 -6 10 -5 18 -4 24 -3 28 -2 30 -1 30 0 28 1 24 2 18 3 10 4 0 5 -12


38

x1 432 5-1-2-3-4

20

40

50

10

y

35

30

25

6

15

5

45

x1 432 5-1-2-3-4

20

40

50

10

y

35

30

25

6

15

45

-5-6-7-8

La parábola se abre hacia abajo y las raíces de la ecuación son diferentes: 71 −=x

42 =x

3) 12123 2 +−= xxy Solución.

x y

-2 48 -1 27 0 12 1 3 2 0 3 3 4 12 5 27 6 48

La parábola se abre hacia arriba y las raíces de la ecuación son iguales:

21 =x

22 =x

4) 622 ++= xxy Solución.

x y

-7 41 -6 30 -5 21 -4 14 -3 9 -2 6 -1 5 0 6 1 9 2 14 3 21 4 30 5 41

La parábola se abre hacia arriba y las raíces de la ecuación no son reales.


39

VII.5 DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABL E Una desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadrática, tiene la forma:

02 >++ cbxax o 02 ≥++ cbxax o 02 <++ cbxax o 02 ≤++ cbxax donde b,a y c son números reales y 0≠a . Su solución generalmente representa un intervalo o la

unión de dos intervalos de números reales. Para resolver una desigualdad cuadrática se usan los conceptos de número crítico y número de prueba. Un número crítico de la desigualdad mencionada es una raíz real de la ecuación cuadrática

02 =++ cbxax .

Si 1r y 2r son números críticos y 21 rr < , entonces el polinomio cbxax ++2 sólo puede cambiar de

signo algebraico en 1r y 2r por la tanto el signo más o menos de cbxax ++2 será constante en cada

uno de los intervalos ( )1r,∞− , ( )21 r,r , ( )∞,r2 . Para determinar si estos intervalos son o no solución de la inecuación, se evalúa con un número x de

prueba arbitrario en cbxax ++2 para cada intervalo. Los resultados obtenidos sirven para ubicar el

conjunto de soluciones de la desigualdad. Un procedimiento sistemático para la resolución de inecuaciones cuadráticas es el siguiente: 1. Se trasladan todos los términos de la inecuación al miembro de la izquierda. 2. Se hallan los números críticos 1r y 2r de la ecuación cuadrática y se forman los intervalos ( )1r,∞− ,

( )21 r,r , ( )∞,r2 . 3. Se prueban con valores de fácil sustitución localizados en dichos intervalos para determinar cuáles

son los que satisfacen la desigualdad. Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones:

1) 092 >−x Solución.

92 =x

9±=x

3±=x Los números críticos son:

31 =r y 32 −=r

los intervalos solución pueden ser ( )3−∞− , , ( )33,− y ( )∞,3

probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad :

para 4−=x del intervalo ( )3−∞− , se tiene: ( ) 0791694 2 >=−=−−

para 0=x del intervalo ( )33,− se tiene: 0990902 <−=−=−

para 4=x del intervalo ( )∞,3 se tiene: ( ) 0791694 2 >=−=−

Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solución es: ( ) ( )∞−∞− ,, 33 U .

092 >−x


40

La gráfica de la parábola se ubica por arriba del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque sus ordenadas son mayores que cero:

x1 432 5-1-2-3-4-5

5

25

35

y

20

15

10

30

6 7-6-7

-10

( ] [ )∞∞− ,, 33 U

2) 042 <−x Solución.

42 =x

2±=x 2±=x

Los números críticos son: 21 =r y 22 −=r

los intervalos solución pueden ser ( )2−∞− , , ( )22,− y ( )∞,2

probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 042 <−x :

para 5−=x del intervalo ( )2−∞− , se tiene: ( ) 02142545 2 >=−=−−

para 0=x del intervalo ( )22,− se tiene: 0440402 <−=−=−

para 5=x del intervalo ( )∞,2 se tiene: 021425452 >=−=−

El valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: ( )22,− .

La gráfica de la parábola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque sus ordenadas son menores que cero:

x1 432 5-1-2-3-4-5

5

25

35

40

y

20

15

10

30

6 7-6-7

( )22,−


41

3) xx 102 2 ≥ Solución.

0102 2 ≥− xx

0102 2 =− xx

( ) 0102 =−xx Los números críticos son:

01 =r

52

101020102 2 ==⇒=⇒=− rxx

los intervalos solución pueden ser: ( ]0,∞− , [ ]50, y [ )∞,5

probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 0102 2 >− xx :

para 1−=x del intervalo ( ]0,∞− se tiene: ( ) ( ) 01210211012 2 >=+=−−−

para 3=x del intervalo [ ]50, se tiene: ( ) ( ) 012301831032 2 <−=−=−

para 6=x del intervalo [ )∞,5 se tiene: ( ) ( ) 012607261062 2 >=−=− Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solución es: ( ] [ )∞∞− ,, 50 U .

La gráfica de la parábola se ubica por arriba del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque sus ordenadas son mayores o iguales que cero:

x1 432 5-1-2-3-4-5

5

25

35

y

20

15

10

30

6 7-6-7

-15

( ) ( )∞∞− ,, 50 U

4) xx 123 2 −≤ Solución.

0123 2 ≤+ xx

0123 2 =+ xx

( ) 0123 =+xx Los números críticos son:

01 =r

43

121230123 2 −=−=⇒−=⇒=+ rxx


42

los intervalos solución pueden ser: ( ]4−∞− , , [ ]04,− y [ )∞,0

probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad :

para 5−=x del intervalo ( ]4−∞− , se tiene: ( ) ( ) 015607551253 2 >=−=−+−

para 2−=x del intervalo [ ]04,− se tiene: ( ) ( ) 012241221223 2 <−=−=−+−

para 1=x del intervalo [ )∞,0 se tiene: ( ) ( ) 01512311213 2 >=+=+

El valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: [ ]04,− .


x1 432 5-1-2-3-4-5

5

25

y

20

15

10

30

6 7-6-7

-15

[ ]04,−

5) xx 282 <− Solución.

Trasponiendo términos: 0822 <−− xx

0822 =−− xx 821 −=−== c,b,a


( ) ( ) ( )( )( ) 2

62

2

362

2

3242

12

81422 2 ±=±=+±=−−−±−−

=x

Los números críticos son:

42

8

2

621 ==+=r

22

4

2

622 −=−=−=r

Nótese que la ecuación también puede factorizarse y los números críticos pueden obtenerse más rápidamente: ( )( ) 024 =+− xx

404 1 =⇒=− rx

202 2 −=⇒=+ rx

los intervalos solución pueden ser: ( )2−∞− , , ( )42,− y ( )∞,4

0123 2 <+ xx


43

probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 0822 <−− xx :

para 3−=x del intervalo ( )2−∞− , se tiene: ( ) ( ) 078698323 2 >=−+=−−−−

para 0=x del intervalo ( )42,− se tiene: ( ) 0880080202 <−=−+=−−

para 5=x del intervalo ( )∞,4 se tiene: ( ) 078102585252 >=−−=−−

Por lo tanto, el valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: ( )42,− .


x1 432 5-1-2-3-4-5

5

25

35

y

20

15

10

30

6 7-6-7

( )42,−

6) 3042 2 ≥+ xx Solución.

Trasponiendo términos: 03042 2 ≥−+ xx

Simplificando: 01522 ≥−+ xx

01522 =−+ xx

( )( ) 035 =−+ xx

505 1 −=⇒=+ rx

303 2 =⇒=− rx

los intervalos solución pueden ser ( ]5−∞− , , [ ]35,− y [ )∞,3 probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad

03042 2 ≥−+ xx :

para 6−=x del intervalo ( ]5−∞− , se tiene: ( ) ( ) 018302472306462 2 >=−−=−−+−

para 0=x del intervalo [ ]35,− se tiene: ( ) ( ) 0303000300402 2 <−=−−=−+

para 4=x del intervalo [ )∞,3 se tiene: ( ) ( ) 018301632304442 2 >=−+=−+ Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solución es: ( ] [ )∞−∞− ,, 35 U .

La gráfica de la parábola se ubica por ariba del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque sus ordenadas son mayores que cero:


44

x1 432 5-1-2-3-4-5

-10

y

5

10

15

6 7-6-7

-30

-25

-15

-20

( ] [ )∞−∞− ,, 35 U

7) 43

1

6

1 2 <+ xx

Solución.

( )463

1

6

16 2 <

+ xx

2422 <+ xx Trasponiendo términos:

02422 <−+ xx 2421 −=== c,b,a


( ) ( )( )( )12

241422 2 −−±−=x

2

9642 +±−=

2

1002 ±−=

2

102 ±−=


42

8

2

1021 ==+−=r

62

12

2

1022 −=−=−−=r

los intervalos solución pueden ser ( )6−∞− , , ( )46,− y ( )∞,4 probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad

02422 <−+ xx :

para 7−=x del intervalo ( )6−∞− , se tiene: ( ) ( ) 01124144924727 2 >=−−=−−+−

para 0=x del intervalo ( )46,− se tiene: ( ) 0242400240202 <−=−−=−+

para 5=x del intervalo ( )∞,4 se tiene: ( ) ( ) 01124102524525 2 >=−+=−+


45

Por lo tanto, el valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: ( )46,− .


x1 432 5-1-2-3-4-5

-10

20

y

5

10

15

6 7-6-7

-15

-20

( )46,−

8) xxxx 2125 22 +<+− Solución.

Trasponiendo términos: 0144 2 <+− xx

0144 2 =+− xx 144 =−== c,b,a


( ) ( ) ( )( )( ) 8

04

8

04

8

16164

42

14444 2 ±=±=−±=−−±−−

=x


2

1

8

4

8

041 ==+=r

2

1

8

4

8

042 ==−=r

los intervalos solución pueden ser

∞−2

1, y

∞,2

1

probando con dos números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 0144 2 <+− xx :

para 0=x del intervalo

∞−2

1, se tiene: ( ) ( ) 010010404 2 >+−=+−

para 1=x del intervalo

∞,2

1se tiene: ( ) ( ) 0114411414 2 >=+−=+−

Ninguno de los valores que cumplen la desigualdad, por lo que no tiene solución.

Nótese como la desigualdad 0144 2 <+− xx se puede expresar como:

( ) ( ) 01222 2 <+− xx


46

Factorizando:

( ) 012 2 <−x Puesto que el cuadrado de cualquier número real siempre es mayor o igual a cero, entonces se comprueba que esta inecuación no tiene solución. Toda la parábola se localiza por arriba del eje x , por eso no hay solución:

x21-1-2

4

8

2

y

7

6

5

3

3

9

-3

1

9) 543186 22 ++−<++− xxxx Solución.

Trasponiendo términos: 0443 2 <−+− xx Convirtiendo esta desigualdad a un trinomio cuadrado perfecto, se tiene:

43

4344304430443 2222 −>

−⇒−>+⇒>−+⇒<−+− xxxxxxxx

9

8

3

2

3

8

3

23

3

44

9

4

3

43

222 −>

−⇒−>

−⇒+−>

+−⇒ xxxx

Puesto que el cuadrado de cualquier número real siempre es mayor o igual a cero, entonces se trata de una desigualdad absoluta. Toda la parábola se localiza por abajo del eje x y su solución es cualquier número real:

-30

-10

y

-15

-20

-25

-45

x1 432 5-1-2-3-4-5 6-6-7

-35

-40

vii.1 concepto de ecuaciÓn - unamenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/pdf/m4unidad...unidad...

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