vii.1 concepto de ecuaciÓn - unam -...

Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAM Ecuaciones y desigualdades Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa

1

ECUACIONES Y DESIGUALDADES

UNIDAD VII VII.1 CONCEPTO DE ECUACIN Una igualdad es una relacin de equivalencia entre dos expresiones, numricas o literales, que se cumple para algn, algunos o todos los valores y se representa por el signo = . Cada una de las expresiones recibe el nombre de miembro. Se llama primer miembro a lo que est a la izquierda del signo igual y segundo miembro a lo que est a su derecha.

bexpresinaexpresin = Las igualdades pueden ser numricas (establecen relaciones entre nmeros) o algebraicas (si contienen literales). Pueden ser ciertas (si se cumplen) o falsas (si no siempre se cumplen). Ejemplos 1) La igualdad 2810 += es numrica y cierta 2) La igualdad ( ) 222 2 bababa ++=+ es algebraica y cierta para cualesquiera valores de a y b . 3) La igualdad xx =143 es algebraica y cierta para 7=x , pero es falsa para cualquier otro valor de x . Por lo tanto, las igualdades pueden ser de dos tipos: Identidades. Son igualdades que se verifican siempre, ya sean numricas o algebraicas. Ecuaciones. Son igualdades que se verifican para algunos valores determinados de las literales

desconocidas llamadas incgnitas. Ejemplos.

1) 2

1

6

3 = es una identidad numrica

2) ( )( )bababa += 22 es una identidad algebraica 3) 1024 =x es una ecuacin que se verifica slo para 3=x 4) 42 =x es una ecuacin que se verifica slo para 2=x y 2=x . En una ecuacin, las cantidades desconocidas o incgnitas generalmente se designan por letras minsculas de la parte final del alfabeto. Por su parte, las cantidades conocidas o coeficientes normalmente se denotan por las letras minsculas iniciales del alfabeto1. Las ecuaciones de una sola variable son aquellas que tienen una sola incgnita, normalmente la x . Por ejemplo: 412 +=+ xx . Las ecuaciones en dos o ms variables poseen ms de una cantidad desconocida. Por ejemplo, en la ecuacin 0852 =+ yx , las incgnitas son x y y . Las ecuaciones se clasifican de acuerdo con el exponente mayor que posea la incgnita.

1 Esta nomenclatura la introdujo el matemtico Ren Descartes en 1637.


2

Ejemplos.

7356 =x es una ecuacin de primer grado. 751863 2 +=+ xxx es una ecuacin de segundo grado.

2323 682527 xxxyxx =+ es una ecuacin de tercer grado. Una ecuacin es entera, si todos sus trminos son enteros o es racional si alguno de sus trminos est expresado como fraccin. Ejemplos. 1) xyx 6524 = es una ecuacin en dos variables, de primer grado y entera

2) 2

15

4

3 2 = xx es una ecuacin en una variable, de segundo grado y racional

3) 64416

22

= yx es una ecuacin en dos variables, de segundo grado y racional

4) 11827 = zyx es una ecuacin en tres variables, de primer grado y entera Resolver una ecuacin es hallar el conjunto solucin. Se conocen como races o soluciones de la ecuacin a los valores de las incgnitas que satisfacen la igualdad2. Ejemplos. 1) En la ecuacin 174 +=+ xx El resultado es 2=x , porque si se sustituye el valor en ambos miembros, cumple la igualdad:

( ) 12724 +=+ 178 =+

11

2) En la ecuacin 0122 =+ xx Los resultados son 41 =x y 32 =x , porque si se sustituyen los valores, cumplen la igualdad: Sustituyendo 41 =x : ( ) ( ) 01244 2 =+

012416 = 00

Sustituyendo 32 =x : 012332 =+

01239 =+ 00

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucin. Ejemplo. Las ecuaciones 532 =x y 82 =x son equivalentes porque su solucin es 4=x

2 En situaciones reales la solucin de la ecuacin debe tener sentido en el contexto en que se trabaja. Esto significa que no basta con resolver una ecuacin sino que tambin hay que analizar la pertinencia de la solucin, esto es si el resultado pertenece al conjunto definido por la situacin particular a la que se refiere la ecuacin. En este tema se abordarn soluciones de ecuaciones que slo existan en los nmeros reales.


3

Para resolver una ecuacin, se transforma sta en una ecuacin equivalente con la variable despejada. Esta transformacin se logra aplicando las siguientes propiedades: Si se suma una misma cantidad a cada lado de la ecuacin dada, la igualdad no se altera. Si se resta una misma cantidad a cada miembro de la ecuacin dada, la igualdad no se altera. Si se multiplica o se divide a ambos lados de la ecuacin por cualquier cantidad diferente de cero, la

igualdad no se altera. Ejemplos. 1) Sumando la misma cantidad, 7 a cada lado de la ecuacin 8673 =+x se tiene:

787673 +=++x , que reducida es: 1563 =+x . Ntese como 7 es el simtrico de 7 2) Restando la misma cantidad, 6 a cada lado de la ecuacin 1563 =+x se tiene:

615663 =+x , que reducida es: 93 =x . Ntese como 6 es el simtrico de 6

3) Multiplicando la misma cantidad, 3

1 a cada lado de la ecuacin 93 =x se tiene:

( ) ( )93

13

3

1 =x , que reducida es: 3=x . Ntese como 3

1 es el inverso multiplicativo o recproco de 3

VII.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE Una ecuacin de primer grado es una ecuacin en la cual, despus de simplificarla o reducir sus trminos semejantes, el mximo exponente de la incgnita es uno. En trminos generales, una ecuacin de primer grado con una variable es de la forma:

0=+ bax donde a y b son coeficientes numricos, 0a y x es la incgnita. Si se suma b en ambos miembros de la ecuacin, se tiene: baxbbbax ==+ 0 , y si se

multiplica por el recproco de a en ambos lados se tiene: ( ) ( )ba

axa

= 11 , entonces la solucin de una

ecuacin de primer grado en su forma general est dada por a

bx = .

VII.2.1 ECUACIONES ENTERAS Para resolver una ecuacin de este tipo se debe aplicar la metodologa antes citada. En este caso, se deben transponer los trminos, esto es traspasarlos de un lado a otro de la ecuacin de manera que todos los trminos que tengan la incgnita queden en el primer miembro y los trminos independientes en el otro. Para fines prcticos, cada vez que se transpone un trmino de un miembro a otro, ste cambia de signo, se reducen trminos semejantes y finalmente, para despejar la incgnita se divide por su coeficiente. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones enteras: 1) xxxxx 81932132476 +++=+ Se transponen trminos:


4

47192831326 ++= xxxxx se reducen los trminos semejantes:

2020 = x dividiendo por 20 :

120

20 =

=x

Comprobacin: ( ) ( ) 72476124716 =++=+ ( ) ( ) ( ) 781932131819132113 =+=+++

77 2) xxxxx 11123968274 +=+ Transponiendo trminos:

87129113624 +=+ xxxxx se reducen los trminos semejantes:

224 =x dividiendo por 4 :

2

11

4

22 ==x

Comprobacin:

+

=+

2

111112

2

1139

2

1168

2

1127

2

114 10811722 =++=

102

12112

2

33933 =+

1010 3) ( ) ( ) ( )1431532 =+ xxxx Se eliminan los parntesis:

4435562 +=++ xxxx despus, se transponen trminos:

5644352 =+ xxxx Se reducen los trminos semejantes:


2

7

2

7 ==x

Comprobacin:

2

1

2

2513

2

55

2

1321

2

753

2

72 ==

=

+

2

110

2

21

2

54

2

211

2

74

2

73 ==

=

2

1

2

1

4) ( ) ( ) ( ) 0126161089563 =+ xxx Se eliminan los parntesis:


5

026261690721518 =++++ xxx despus, se transponen trminos:

26167215269018 ++=++ xxx Se reducen los trminos semejantes:

6798 =x dividiendo por 98 :

98

67=x

Comprobacin:

049

40316

49

513

49

132

98

6712616

98

6710895

98

6763 =+=

+

Una ecuacin de primer grado literal es aquella que contiene otras expresiones literales aparte de la incgnita, las cuales deben considerarse como valores constantes. Para resolver ecuaciones literales se efecta el mismo procedimiento aplicado en los ejemplos anteriores. La variante es que cuando se tengan todos los trminos que contengan a la incgnita en el primer miembro de la ecuacin, se factoriza para poder despejarla. 5) ( ) ( )axxbax += 31 Se eliminan los parntesis:

axbbxax 33 +=+ transponiendo trminos:

baxbxax = 33 Se factoriza: ( ) baxba = 33 dividiendo por ( )3 ba :

3

3

=ba

bax

Comprobacin:

( ) ( ) ( )3

333

3

3331

3

3

3

3 222

++=

+=

ba

bbabbababa

ba

babbabbaa

ba

bab

ba

baa

3

333 2

=

ba

baba

( )3

333

3

93339

3

3339

3

33

22

+=

++=

++=

+

ba

baba

ba

aababa

ba

baabaa

ba

ba

3

333

3

333 22

+

+

ba

baba

ba

baba

VII.2.2 ECUACIONES FRACCIONARIAS Para resolver una ecuacin fraccionaria de primer grado, se multiplican los dos miembros por el mnimo comn mltiplo de los denominadores con el objeto de eliminarlos y se reduce para convertirla en una ecuacin entera. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias:


6

1) 3

7

4

3

3

5

4

1

3

2 +=+ xxx

Se multiplican ambos miembros por el mnimo comn mltiplo de los denominadores, que es 12 :

+=

+3

7

4

3

3

512

4

1

3

212 xxx

se efectan las operaciones para cada trmino: 2892038 +=+ xxx

se transponen trminos: 8289203 =+ xxx

Se reducen los trminos semejantes: 208 = x

dividiendo por 8 :

2

5

8

20 ==x

Comprobacin:

24

1

24

15

24

16

8

5

3

2

2

5

4

1

3

2 ===

+

24

1

24

56

24

45

24

100

3

7

8

15

6

25

3

7

2

5

4

3

2

5

3

5 =++=++=+

24

1

24

1

2) xxxx 23

118

5

67

3

2

5

4 =+


=

+ xxxx 23

118

5

6157

3

2

5

415

se efectan las operaciones para cada trmino: xxxx 3055120181051012 =+

se transponen trminos: 1051212030551810 +=++ xxxx

Se reducen los trminos semejantes: 2777 =x

dividiendo por 77 :

77

27=x

Comprobacin:

385

2477

385

2695

385

90

385

3087

77

18

5

47

77

27

3

2

5

4 ===

+

385

2477

385

270

385

495

385

3080

385

162

77

54

7

98

385

162

77

272

77

27

3

118

77

27

5

6 =++=++=

385

2477

385

2477


7

3) 010

53

6

42 = xx


( )03010

53

6

4230 =

xx

se efectan las operaciones para cada trmino: ( ) ( ) 0533425 = xx

se eliminan los parntesis: 01592010 =+ xx

se transponen trminos: 1520910 = xx

Se reducen los trminos semejantes: 5=x

Comprobacin: ( ) ( )

01110

10

6

6

10

515

6

410

10

553

6

452 ====

VII.2.3 ECUACIONES QUE CONTIENEN FRACCIONES ALGEBRA ICAS Para resolver este tipo de ecuaciones se multiplica por el MCM de los denominadores que pueden ser un polinomio. En algunos casos, la ecuacin resultante puede no ser equivalente a la original y la expresin dada no tiene solucin, en este caso la igualdad es un enunciado falso. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones que contienen fraccionarias algebraicas:

1) 3

28

15

6

5

8

3

59

5

4 =+xxx

Se multiplican ambos miembros por el mnimo comn mltiplo de los denominadores, que es x15 :

=

+3

28

15

6

5

815

3

59

5

415

xx

xxx

se efectan las operaciones para cada trmino: xxxx 101206242513512 =+

se transponen trminos: 251224101206135 =+++ xxxx

Se reducen los trminos semejantes: 13=x

Comprobacin:

( ) ( ) 1951792

195

25

195

1755

195

12

39

59

65

4

133

59

135

4 ===

+

( ) 1951792

195

130

195

1560

195

78

195

24

3

28

195

6

65

8

3

28

15

6

135

8 ==+=

195

1792

195

1792


8

2) 3

1

6

1

5

7

3

1

5

2

2

1 +=+xxx


+=

+3

1

6

1

5

730

3

1

5

2

2

130

xx

xxx

se efectan las operaciones para cada trmino: xxx 10542101215 +=+

se transponen trminos: 10124210515 +=+ xxx


dividiendo por 20 :

220

40 ==x

Comprobacin:

( ) ( ) 158

30

16

30

5

30

6

30

15

6

1

10

2

2

1

23

1

25

2

2

1 ==+=+=+

( ) 158

30

16

30

10

30

5

30

21

3

1

6

1

10

7

3

1

6

1

25

7 ==+=+=+

15

8

15

8

3) 10435

6 =+ x


( ) ( ) ( )103543535

635 xx

xx =+

se efectan las operaciones para cada trmino: xx 305012206 =+

se transponen trminos: 206503012 =+ xx


dividiendo por 18 :

3

4

18

24 ==x

Comprobacin:

1046445

64

3

435

6 =+=+

=+

1010

4) xxxx 10

4

2

3

4

328

4

6

5

2 =



9

=

xx

xxx

x10

4

2

3

4

32208

4

6

5

220

se efectan las operaciones para cada trmino: 830160160308 = xx

se transponen trminos: 308830160160 +=+ xx

Se reducen los trminos semejantes: 160 = x

Como la divisin por cero no est definida, entonces el ejemplo planteado no es ecuacin sino un enunciado falso.

5) 562

82

3

4 +

= xx

Se multiplican ambos miembros por el mnimo comn mltiplo de los denominadores, que es 62 x :

( ) ( )

+

=

562

8622

3

462

xx

xx

se efectan las operaciones para cada trmino: ( ) ( ) ( )562826242 += xx

301081248 +=+ xx se transponen trminos:

128308104 = xx Se reducen los trminos semejantes:


14

42

=x

3=x Comprobacin:

20

42

33

4 =

( ) 508

566

85

632

8 +=

=+

Como la divisin por cero no est definida, entonces el ejemplo planteado no es ecuacin sino un enunciado falso. Para ambas fracciones, el valor 3=x no es aceptable. Por lo tanto, la solucin es el conjunto vaco. VII.2.4 PROBLEMAS DE APLICACIN Una de las aplicaciones ms importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Para plantear ecuaciones es conveniente saber traducir un enunciado a una expresin algebraica. Una til lista de interpretaciones de enunciado a expresin algebraica es la siguiente:


10

Enunciado Expresin Algebraica

El doble de x x2 El triple de x x3 El cudruplo de x x4 El cuadrado de x 2x El cubo de x 3x El antecesor del nmero entero x 1x El sucesor del nmero entero x 1+x El cuadrado del doble de x ( )22x El doble del cuadrado de x 22x Un nmero par x2 Un nmero impar 12 +x Dos nmeros consecutivos x y 1+x Dos nmeros pares consecutivos x2 y 22 +x Dos nmeros impares consecutivos 12 x y 12 +x

La mitad de x x2

1

La tercera parte de x x3

1

Ejemplos. 1) Qu nmero es aquel que si se duplica, y luego se le resta 12 , da por resultado el nmero aumentado en 3 ? Solucin. Si x es el nmero buscado.

3122 += xx 1232 += xx

15=x Por lo tanto, el nmero es el 15 . 2) Erick tiene un ao ms que el doble de la edad de Jorge y sus edades suman 97 . Qu edad tienen ambos? Solucin. Si x es la edad de Jorge, entonces la edad de Erick es 12 +x Planteando que la suma de las edades es 97 , se obtiene la ecuacin:

9712 =++ xx 1972 =+ xx

963 =x

323

96 ==x

reemplazando este valor de x en la expresin 12 +x se tiene: ( ) 651621322 =+=+ Por lo tanto, la edad de Jorge es 32 aos y la de Erick es 65 aos.


11

3) Blanca tiene 300 pesos ms que Ana. Si entre ambas tienen 2001, , cul es el capital de Blanca? Solucin. Si Ana tiene x , entonces Blanca tiene 300+x

1200300 =++ xx 3001200 =+ xx

9002 =x

4502

900 ==x

Por lo tanto, el capital de Blanca es 750300 =+x pesos. 4) El permetro de un jardn rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11m. ms que el lado menor. Cunto miden los lados del jardn? Solucin. Sea x el lado menor del rectngulo, entonces el lado mayor es 11+x Al sumar todos los lados del rectngulo e igualar al permetro dado se obtiene:

581111 =+++++ xxxx 111158 =+++ xxxx

364 =x

94

36 ==x

El lado mayor mide: 2011911 =+=+x m Por lo tanto, los lados del jardn miden 9 m. y 20 m. 5) El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 aos ms que el segundo y ste 3 ms que el menor. Si entre los tres suman la edad del padre que tiene 40 aos qu edad tiene cada hermano? Solucin. Sea x la edad del hermano menor

3+x es la edad del hermano mediano 7+x es la edad del hermano mayor

4073 =++++ xxx 7340 =++ xxx

303 =x

103

30 ==x , entonces el hermano mediano tiene 133 =+x aos y el mayor 177 =+x aos.

Por lo tanto, las edades de los tres hermanos son: 1310, y 17 aos. 6) Un examen consta de 20 reactivos. Cada respuesta correcta se valora con 3 puntos y cada respuesta incorrecta se resta 2 puntos. Si al final del examen, un alumno consigui 30 puntos. Cuntos reactivos contest correctamente y cuntos incorrectamente? Solucin. Sea x el nmero de reactivos correctos

x20 es el nmero de reactivos incorrectos x3 es el nmero de puntos conseguidos por los reactivos correctos ( )x202 es el nmero de puntos perdidos por los reactivos incorrectos

( ) 302023 = xx 302403 =+ xx 403023 +=+ xx


12

705 =x

145

70 ==x

6142020 == x Por lo tanto, el alumno tuvo 14 respuestas correctas y 6 incorrectas. 7) Hallar un nmero tal que su mitad ms su cuarta parte ms 1, sea igual al nmero pedido. Solucin. Sea x el nmero buscado

xxx =++ 14

1

2

1

( )xxx 414

1

2

14 =

++

xxx 442 =++ 442 =+ xxx

4= x

41

4 ==x

El nmero buscado es 4 . 8) Una llave llena un depsito en 3 horas y otra lo hace en 6 horas. Si el depsito est vaco y se abren las dos llaves a la vez, cunto tiempo tardar en llenarse? Solucin.

La primera llave llena 3

1 del depsito en una hora

La segunda llave llena 6

1 del depsito en una hora

Si x el tiempo en horas que las llaves llenan juntas el depsito, entonces x

1 es la fraccin de depsito

que llenan juntas en una hora, As que:

x

1

6

1

3

1 =+

=

+x

xx1

66

1

3

16

62 =+ xx 63 =x

23

6 ==x

Por lo tanto, el depsito se llenara en dos horas. VII.2.5 GRFICA DE UNA ECUACIN DE PRIMER GRADO Resolver una ecuacin es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuacin y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta. Para ello se debe dejar sola a la variable x de un lado de la ecuacin. A esto se le llama despejar a la variable.


13

x21-1-2

1

2

y

-1

-21=x

x7531

1

3

y

-1

-5 10=x

9 11-1

5

-3

x42-2-4

2

4

y

-2

-4

925=x

Grficamente, la solucin de la ecuacin est representada por una lnea recta vertical en el plano cartesiano. La solucin es el valor de la abscisa del punto en el que esa recta corta al eje x . Ejemplos. Representar grficamente la solucin de las siguientes ecuaciones de primer grado: 1) ( ) ( )12413 += xx Solucin.

22433 = xx 32423 +=+ xx

55 =x

15

5 ==x

2) 536

=+ xx

( )5636

6 =

+ xx

302 =+ xx 303 =x

103

30 ==x

3) 5

17

6

1

2

78

3

1 +=xxx

+=

5

17

6

130

2

78

3

130

xx

xxx

xxx 6210510524010 += 1051056210240 +=+ xxx

10036 = x

7729

25

36

100.x =

=


14

VII.3 DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La expresin ba significa que " a " no es igual a " b ". Segn los valores particulares de a y de b , puede tenerse ba > , que se lee a mayor que b , cuando la diferencia ba es positiva y ba < que se lee a menor que b , cuando la diferencia ba es negativa. La notacin ba , que se lee a es mayor o igual que b , significa que ba > o que ba = pero no ambos. Por su parte, la notacin ba que se lee a es menor o igual que b , significa que ba < o que

ba = pero no ambos. Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numricas o algebraicas relacionadas con alguno de los smbolos ,, o . Ejemplos de desigualdades: 1) 34 > 2) 10 entonces ab < . Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa. Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales. Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales

que figuran en ella. Por ejemplo: xx >+12 Desigualdad condicional es aquella que slo se verifica para ciertos valores de las literales. Por

ejemplo: 0153 >x que solamente satisface para 5>x . En este caso se dice que 5 es el lmite de x .

Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

Sean b,a R y 0a , una desigualdad de primer grado en una variable x se define como:

++

0

0

0

0

bax

bax

bax

bax


15

Propiedades de las desigualdades: Sean c,b,a tres nmeros reales. I. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se aade o se resta un mismo nmero a cada miembro Esto es, si ba > , entonces se cumple que cbca +>+ . Ejemplos. 1) Si a la desigualdad 37 > se le suma 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 2327 +>+ , ya que: 59 > 2) Si a la desigualdad 816 > se le resta 5 a ambos miembros, entonces, se cumple que 58516 > , ya que: 311 > Consecuencia de esta propiedad, puede suprimirse un trmino en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el trmino simtrico del suprimido. Es decir, se puede pasar un trmino de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros. Ejemplo.

9348 > xx 4938 +> xx

II. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, tambin positivo.

Esto es, dado un nmero 0>c , si ba > entonces se cumple que cbca > y que c

b

c

a >

Ejemplos. 1) Si a la desigualdad 25 > se multiplica por 3 a ambos miembros, entonces, se cumple que 3235 >, ya que 615 >

2) Si a la desigualdad 2836 > se divide por 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que 4

28

4

36 > ,

ya que 79 > III. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, tambin negativo.

Esto es, dado un nmero 0 entonces se cumple que cbca se multiplica por 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que

( ) ( )4346


16

Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1. Ejemplo.

xx 42186

VII.3.1 INECUACIONES ENTERAS Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de las ecuaciones, que slo se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones tienen infinitas soluciones. El procedimiento para resolverlas es similar al de las ecuaciones, slo que deben tenerse en cuenta las propiedades de las desigualdades. Para resolver una inecuacin de primer grado se transponen los trminos (pasar los trminos de un miembro a otro cambiando el signo equivale a aplicar la propiedad I) para que aquellos que contienen a la incgnita queden en el primer miembro y los trminos independientes en el otro. Finalmente, para despejar la incgnita se divide por el valor del coeficiente, teniendo en cuenta la segunda o tercera propiedad de las desigualdades, segn el signo del coeficiente. Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones enteras: 1) 8264 >+ xx Solucin. Se transponen trminos:

6824 > xx se reducen los trminos semejantes:

142 >x dividiendo por 2 :

72

14 >> xx

2) 621052313 +++ xxxx Solucin. Se transponen trminos:

261025313 + xxxx se reducen los trminos semejantes:

63 x dividiendo por 3 :

23

6 xx

3) 10834365 +>+ xxx Solucin. Se transponen trminos:

61034835 > xxx se reducen los trminos semejantes:

186 > x dividiendo por 6 y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:


17

36

18 Solucin. Se transponen trminos:

6223413481053 ++++>+ xxxxx se reducen los trminos semejantes:

488 > x dividiendo por 8 y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:

68

48 56432 Eliminando parntesis:

abaxabxbbxax +>+ 5561232 Se transponen trminos:

babaxabxbxax 1255632 > factorizando x :

( ) babaabbax 1255632 > si ( ) 05632 > abba , entonces la solucin es

5632

125

>abba

babax

si ( ) 05632


18

una inecuacin entera. Cuando el denominador contiene la incgnita, tiene que analizarse cuando es tanto positiva como negativa. Para ambos casos debe obtenerse la respectiva interseccin de las restricciones. La solucin de la inecuacin, es la unin de los dos intervalos obtenidos. Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones fraccionarias:

1) 3

7

5

4

3

1

5

2 >+ xx


>

+3

7

5

415

3

1

5

215 xx

se efectan las operaciones para cada trmino: 351256 >+ xx

se transponen trminos: 635125 > xx

Se reducen los trminos semejantes: 417 > x

dividiendo por 7 y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:

7

41

7

41 +


++>

+ xxx6

8

4

10

6

2124

3

5

4

912

se efectan las operaciones para cada trmino: xxx 16304482027 ++>+

se transponen trminos: 48273016420 +> xxx

Se reducen los trminos semejantes:


19

510 >x como la divisin por cero no est definida, entonces la expresin presenta un enunciado falso. Ntese

que simplificando la inecuacin se llega a 2

5

3

5

4

7

3

5 +> xx , expresin que es imposible que se cumpla.

4) xx 4

1

6

8

3

5

6

7 >+

Se multiplican ambos miembros por el mnimo comn mltiplo de los denominadores, que es x12 : Si 0>x se tiene:

>

+x

xx

x4

1

6

812

3

5

6

712

se efectan las operaciones para cada trmino: 3162014 >+ xx

se transponen trminos: 1431620 > xx

Se reducen los trminos semejantes: 174 >x

dividiendo por 4 :

4

17>x

dadas las restricciones 0>x y 4

17>x , su interseccin es 0>x

Si 0


20

dadas las restricciones 0>x y 20

31x , su interseccin es 20

31>x

Si 0+ x

se transponen trminos: 1523 > x

Se reducen los trminos semejantes: 173 > x

dividiendo por 3 y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:

3

17

3

17 x

Por lo tanto, la solucin est dada por: ( )

,,3

175 U

7) 121862

5 x se tiene: ( ) ( )( )126218625


21

x21-1-2

2>x

x21-1-2

2>x

x0-2-6-8

21125x

-4-10 x0-2-6-8

21125x

-4-10

1085722436 +x

2>x

2) 54

118

3

5

2

97

4

3 ++ xxx

++

54

118

3

512

2

97

4

312 xxx

6033962054849 ++ xxx 5496020339684 +++ xxx

12521 x

21

125x


22

3) xx 8

5

4

13

2

73 x


23

Una ecuacin de segundo grado tiene siempre dos respuestas (algunas veces repetidas). El objetivo de resolverla es obtener las races 1x y 2x , si existen, para los que la igualdad de la ecuacin es cierta. Una ecuacin cuadrtica puede ser de dos tipos: Ecuacin completa si 0b y 0c Ecuacin incompleta si 0=b 0=c . En la vida prctica, cuando se tiene que resolver una ecuacin cuadrtica que surge de un problema concreto, la mayora de las veces sta no tiene un formato sencillo, sin embargo, puede reducirse a alguna de estas formas para decidir el mtodo que se usar para resolverla. Ejemplos.

1) 0183 2 =+ xx es una ecuacin completa 2) 0124 2 = xx es una ecuacin incompleta ya que no tiene el trmino independiente 3) 0287 2 =x es una ecuacin incompleta porque carece del trmino lineal. VII.4.1 ECUACIONES INCOMPLETAS

Sea una ecuacin incompleta de la forma

trasponiendo el trmino independiente: cax =2

dividiendo la ecuacin por a : a

cx =2

Para despejar x de esta ecuacin, se busca un nmero que elevado al cuadrado sea igual a a

c .

Como 2

2c

a

c =

si 0>

a

c y tambin

2

2c

a

c =

si 0>

a

c, entonces estos dos nmeros

se encuentran en la recta numrica a un lado y al otro del cero y su distancia al origen es a

c .

Lo anterior significa que: a

cx = , lo cual implica que

a

cx = o

a

cx = .

Por lo tanto, las races de la ecuacin estn dadas por:

a

cx =1

a

cx =2

Ntese como las races de la ecuacin existirn siempre y cuando los coeficientes a y c tengan signos opuestos. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

1)

02 =+ cax

02 =+ cax

0123 2 =x


24

Solucin.

22443

12123 21

22 ====== x,xxxx

Comprobacin:

( ) ( ) 0121212431223 2 === ( ) ( ) 0121212431223 2 ===

2) 0546 2 =x Solucin.

33996

54546 21

22 ====== x,xxxx

Comprobacin:

( ) ( ) 0545454965436 2 === ( ) ( ) 0545454965436 2 ===

3) 055

1 2 =+ x

Solucin. Multiplicando por 5 :

( )0555

15 2 =

+ x

25251

2525025 222 ==

===+ xxxx

55 21 == x,x Comprobacin:

( ) 05555

2555

5

1 2 =+=+=+

( ) 05555

2555

5

1 2 =+=+=+

4) 47836214106 22222 +=+++ xxxxx Solucin.

Reduciendo trminos semejantes se tiene: 0142 2 =x

77772

14142 21

22 ====== x,xxxx

Comprobacin:

( ) ( ) ( ) =+++ 2222 36727141076 ( ) ( ) ( ) 44361498104236727141076 =+++=+++ ( ) ( ) ( ) 44448498777877787 22 ==+=+=+

4444 ( ) ( ) ( ) =+++ 2222 36727141076 ( ) ( ) ( ) 44361498104236727141076 =+++=+++

( ) ( ) ( ) 44448498777877787 22 ==+=+=+ 4444


25

5) 0328 2 =+x Solucin.

448

32328 22 ==== xxx , por lo tanto no existen soluciones reales.

Sea una ecuacin incompleta de la forma 02 =+ bxax factorizando el primer miembro: ( ) 0=+ baxx aplicando la propiedad cero de los nmeros reales3: 0=x y 0=+ bax

despejando x de la segunda ecuacin se obtiene: a

bx =

Por lo tanto, las races de esta ecuacin estn dadas por: 01 =x

a

bx =2

Ntese como una raz siempre ser cero y la otra siempre existe. Es comn que en muchos ejercicios el factor comn es de la forma kx , donde k es el mximo comn

divisor de a y b , entonces si 02 =+ bxax , se tiene que 0=

+k

bx

k

akx

Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

1) 082 2 = xx Solucin.

( )

====

==404

002042082

2

12

xx

xxxxxx

Comprobacin:

( ) ( ) 00802 2 = ( ) ( ) ( ) 03232321624842 2 ===

2) 0105 2 =+ xx Solucin.

( )

==+==

=+=+202

0050250105

2

12

xx

xxxxxx

Comprobacin:

( ) ( ) 001005 2 =+ ( ) ( ) ( ) 02020204521025 2 ===+

3) 0286 2 =+ xx Solucin.

3 Esta propiedad establece que si el producto de dos nmeros es cero, entonces uno de ellos o ambos es cero.


26

( )

===

====+

3

141430143

002014320286

2

12

xxx

xxxxxx

4) xxxxxxxxx 3912248375 2222 +=+ Solucin.

Reduciendo trminos semejantes se tiene: 0129 2 = xx

( )

===

====

3

443043

00304330129

2

12

xxx

xxxxxx

Comprobacin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00408030705 22 =+ ( ) ( ) ( ) ( ) 0030901202 22 =+

00 Comprobacin:

9

4

9

48

9

96

9

48

3

84

9

80

3

16

3

32

9

48

3

28

9

80

3

44

3

48

3

43

3

47

3

45

22

=+=+=

+

9

4

9

36

9

144

9

144

9

3241616

9

32

3

43

3

49

3

412

3

42

22

=+=+=

+

9

4

9

4

5) 02

7

5

3 2 = xx

Solucin. Multiplicando por 10 :

( )0102

7

5

310 2 =

xx 0356 2 = xx

( )

===+

===+=

6

353560356

0003560356

2

12

xxx

xxxxxx

Comprobacin:

012

245

12

245

12

245

36

1225

5

3

6

35

2

7

6

35

5

32

=+=+

=

VII.4.2 ECUACIONES COMPLETAS UTILIZANDO FRMULA GEN ERAL Existe una frmula general que puede aplicarse a cualquier ecuacin de segundo grado en una variable y que permite conocer la naturaleza de las races. Para resolver la ecuacin de segundo grado en el caso general, se necesita que el primer miembro sea un cuadrado perfecto:


27

Sea la ecuacin: 02 =++ cbxax se traspone el trmino independiente al segundo miembro: cbxax =+2

dividiendo por a : a

cx

a

bx =+2

sumando 2

2

a

bpara que el primer miembro sea un trinomio cuadrado perfecto:

222

22

+=

++a

b

a

c

a

bx

a

bx

expresin que equivale a: 2

222

42 a

b

a

c

a

bx

a

bx +=

++

acomodando el segundo miembro: a

c

a

b

a

bx

a

bx =

++2

222

42

expresin que equivale a: 2

222

4

4

2 a

acb

a

bx

a

bx

=

++

factorizando el trinomio cuadrado perfecto: 2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

=

+

extrayendo raz cuadrada en ambos miembros: 2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

=+

aplicando propiedades de los radicales: a

acb

a

bx

2

4

2

2 =+

se traspone el trmino a

b

2 al segundo miembro:

a

b

a

acbx

22

42 =

acomodando convenientemente se llega a:

a

acbbx

2

42 =

expresin conocida como frmula general para resolver una ecuacin de segundo grado.

En la frmula general, la cantidad: acb 42 es llamada discriminante de la ecuacin y determina la naturaleza de las races, de acuerdo a lo siguiente:

Si 042 > acb , las races son reales y diferentes. Si 042 = acb , las races son reales e iguales. Si 042


28

1071 === c,b,a Sustituyendo en la frmula general se tiene:

( ) ( )( )( ) 2

37

2

97

2

40497

12

101477 2 ===

=x

22

4

2

371 =

=+=x

52

10

2

372 =

==x

Comprobacin:

( ) ( ) ( ) 03042123042433022123 2 =+=+=++ ( ) ( ) ( ) 03010575301052533052153 2 =+=+=++

2) 024142 2 =+ xx Simplificando la ecuacin para que la sustitucin sea ms sencilla: 01272 =+ xx


( ) ( ) ( )( )( ) 2

17

2

17

2

48497

12

121477 2 ===

=x

42

8

2

171 ==

+=x

32

6

2

172 ==

=x

Comprobacin:

( ) ( ) ( ) 024563224561622441442 2 =+=+=+ ( ) ( ) ( ) 02442182442922431432 2 =+=+=+

3) 485319711 22 ++=++ xxxx Reduciendo trminos semejantes se tiene: Simplificando la ecuacin para que la sustitucin sea ms sencilla: 0442 =++ xx


( ) ( )( )( ) 2

04

2

04

2

16164

12

41444 2 ===

=x

22

4

2

041 =

=+=x

22

4

2

042 =

==x

Comprobacin:

( ) ( ) ( ) 4919144419144111927211 2 =+=+=++ ( ) ( ) ( ) 49432103448103428253 2 =+++=+++=++ 4949

012123 2 =++ xx


29

4) 04

10

3

4

6

1 2 =+ xx

Multiplicando por 12 :

( )0124

10

3

4

6

112 2 =

+ xx

030162 2 =+ xx Simplificando la ecuacin para que la sustitucin sea ms sencilla: 01582 =+ xx


( ) ( ) ( )( )( ) 2

28

2

48

2

60648

12

151488 2 ===

=x

52

20

2

281 ==

+=x

32

6

2

282 ==

=x

Comprobacin:

( ) ( ) 012

30

12

80

12

50

4

10

3

20

6

25

4

105

3

45

6

1 2 =+=+=+

( ) ( ) 012

30

12

48

12

18

4

104

6

9

4

103

3

43

6

1 2 =+=+=+

5) 0785 2 =++ xx 785 === c,b,a

Sustituyendo en la frmula general se tiene:

( )( )( ) 10

768

10

140648

52

75488 2 ==

=x , por lo tanto no existen soluciones reales.

VII.4.3 ECUACIONES COMPLETAS UTILIZANDO FACTORIZACI N

Toda ecuacin cuadrtica 02 =++ cbxax es una ecuacin en la cual uno de sus miembros es un trinomio de segundo grado y el otro es cero. Muchos trinomios de segundo grado, pueden factorizarse como el producto de dos binomios que tienen un trmino en comn4. El trmino comn de los binomios es de grado uno ya que es raz del trmino cuadrtico. Para encontrar las races se resuelven las dos ecuaciones de primer grado. Este mtodo aplica nica y exclusivamente si el miembro de la derecha es cero y si el primer miembro es factorizable de acuerdo a la forma que se expuso en los subtemas V.2.6 y V.2.7.

4 De acuerdo a lo expuesto en la seccin V.2.7, el ltimo paso de la factorizacin de un trinomio de la forma cbxax ++2 consiste en dividir por a y el resultado final puede no ser el producto de dos binomios por un trmino comn. Para resolver ecuaciones del

tipo 02 =++ cbxax no es necesario dividir por a , as que el resultado ser el producto de dos binomios por un trmino comn porque estrictamente no se completa la factorizacin.


30

Ejemplos. Obtener las races de las siguientes ecuaciones de segundo grado por factorizacin:

1) 0862 =++ xx ( )( ) 024 =++ xx

404 1 ==+ xx 202 2 ==+ xx

Comprobacin:

( ) ( ) 0824168464 2 =+=++ ( ) ( ) 081248262 2 =+=++

2) 0652 =+ xx ( )( ) 032 = xx

202 1 == xx 303 2 == xx

Comprobacin:

( ) ( ) 061046252 2 =+=+ ( ) ( ) 061596353 2 =+=+

3) 03522 =+ xx ( )( ) 057 =+ xx

707 1 ==+ xx 505 2 == xx

Comprobacin:

( ) ( ) 035144935727 2 ==+ ( ) ( ) 035102535525 2 =+=+

4) 0122 = xx ( )( ) 034 =+ xx

404 1 == xx 303 2 ==+ xx

Comprobacin:

( ) ( ) 0124161244 2 == ( ) ( ) 012391233 2 =+=

5) 05292 = xx ( )( ) 0413 =+ xx

13013 1 == xx 404 2 ==+ xx

Comprobacin:

( ) ( ) 0521171695213913 2 == ( ) ( ) 052361652494 2 =+=


31

6) 0232 2 =+ xx ( ) ( ) ( ) ( )02223222 2 =+ xx

( ) ( ) 04232 2 =+ xx ( )( ) 01242 =+ xx

2

112012 2 === xxx

Comprobacin:

( ) ( ) ( ) 0268264222322 2 ===+

02

4

2

3

2

1

4

4

2

3

4

122

2

13

2

12

2

=+=+

=

+

7) 010173 2 =+ xx ( ) ( ) ( ) ( )0310317333 2 =+ xx

( ) ( ) 0303173 2 =+ xx ( )( ) 023153 = xx

53

151530153 1 ==== xxx

3

223023 2 === xxx

Comprobacin:

( ) ( ) ( ) 010857510852531051753 2 =+=+=+

03

30

3

34

3

410

3

34

9

4310

3

217

3

23

2

=+=+

=+

8) 0844 2 = xx ( ) ( ) ( ) ( )04844444 2 = xx

( ) ( ) 032444 2 = xx ( )( ) 04484 =+ xx

24

884084 1 ==== xxx

14

444044 2 ====+ xxx

Comprobacin:

( ) ( ) ( ) 08816884482424 2 === ( ) ( ) ( ) 0844841481414 2 =+=+=

9) 015105 2 =+ xx ( ) ( ) ( ) ( )0515510555 2 =+ xx

22

442042 1 ====+ xxx


32

( ) ( ) 0755105 2 =+ xx ( )( ) 055155 =+ xx

35

151550155 1 ====+ xxx

15

555055 2 ==== xxx

Comprobacin:

( ) ( ) ( ) 01530451530951531035 2 ===+ ( ) ( ) ( ) 0151051510151511015 2 =+=+=+

10) 036156 2 =+ xx ( ) ( ) ( ) ( )0636615666 2 =+ xx

( ) ( ) 02166156 2 =+ xx ( )( ) 096246 =+ xx

46

242460246 1 ====+ xxx

2

3

6

996096 2 ==== xxx

Comprobacin:

( ) ( ) ( ) 036609636601663641546 2 ===+

02

72

2

45

2

2736

2

45

4

9636

2

315

2

36

2

=+=+

=

+

VII.4.4 PROBLEMAS DE APLICACIN Al momento de plantear un problema que se modele como una ecuacin de segundo grado, al resolverla se deben aceptar slo los valores de la incgnita que cumplan las condiciones del problema y rechazar los que no los cumplan. 1) La suma de dos nmeros es y su producto 204 , cules son los nmeros? Solucin. El primer nmero es: x El segundo nmero es: x29

( ) 20429 = xx 02042920429 22 =+= xxxx

( )( ) 01712 = xx 12012 1 == xx 17017 2 == xx

2) Hallar tres nmeros impares consecutivos positivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7 . Solucin.

29


33

x

2+x

224 cmrea=

El primer nmero impar es: x El segundo nmero impar es: 2+x El tercer nmero impar es: 4+x ( ) ( ) 724 222 =++ xxx

( ) 744168 222 =++++ xxxxx 744168 222 =++ xxxxx

054054 22 ==++ xxxx ( )( ) 015 =+ xx

101 2 ==+ xx Se rechaza la segunda raz por ser negativa. Los nmeros son: 45255 ++ ,, , es decir: 3) La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 aos la edad del padre ser el doble de la del hijo. Cuntos aos tiene ahora cada uno? Solucin. La edad del hijo es:

La edad del padre es: 2x ( )242242 +=+ xx

482242 +=+ xx 02422 = xx

( )( ) 046 =+ xx 606 1 == xx

404 2 ==+ xx Se rechaza la segunda raz por ser negativa.

362 =x , por lo tanto, la edad del hijo es seis aos y la del padre . 4) Un tringulo tiene un rea de 24 cm2 y la altura mide 2 cm. ms que la base correspondiente. Cunto miden la base y la altura? Solucin. La longitud de la base: x La longitud de la altura: 2+x

El rea del tringulo es: ( )

242

2 =+xx

( ) 482 =+xx 4822 =+ xx

04822 =+ xx ( )( ) 068 =+ xx

808 1 ==+ xx 606 2 == xx

Se rechaza la primera raz por ser negativa. La longitud de la altura es: 8262 =+=+x Por lo tanto, la base mide 6 cm. y la altura mide 8 cm.

505 1 == xx

975 ,,

x

36


34

5) Una persona tiene 52 aos de edad y su nieto 2 . Despus de cuntos aos la razn entre la edad del abuelo y del nieto ser igual a los tres cuartos del tiempo transcurrido para que eso suceda? Solucin. El tiempo transcurrido es: x La edad del nieto despus de x aos es: x+2 La edad del abuelo despus de x aos es: x+52

xx

x

4

3

2

52 =++

( )xxx +=+ 24

352

( ) ( )

+=+ xxx 24

34524

2364208 xxx +=+ 020823 2 =+ xx


( )( )( ) 6

502

6

25002

6

249642

32

2083422 2 ==+=

=x

86

48

6

5021 ==

+=x

3

26

6

52

6

5022 =

==x

Se rechaza la segunda raz por ser negativa. Por lo tanto, el tiempo que deber transcurrir sern 8 aos. 6) Un conjunto de personas alquil un microbs en 2001, pesos. Como tres personas no fueron, las dems debieron pagar 20 pesos ms de lo acordado. Cuntas viajaban originalmente? Solucin. El nmero de personas es: x

Cada persona debi pagar originalmente: x

,2001 pesos.

( ) 20012020013 ,x

,x =

+

( ) ( ) =

+ 20012020013 ,xx

,xx ( )( ) x,x,x 20012020013 =+

=+ x,x,xx, 2001606003202001 2 060036020 2 = ,xx 018032 = xx

( )( ) 01215 =+ xx 15015 1 == xx

12012 2 ==+ xx Se rechaza la segunda raz por ser negativa, se tiene que originalmente viajaban 15 personas.


35

x

2+x

1+x

7) Calcular la hipotenusa de un tringulo rectngulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres nmeros consecutivos. Las medidas estn en cm. Solucin. El cateto menor es: x El cateto mayor es: 1+x La hipotenusa es: 2+x Aplicando el teorema de Pitgoras:

( ) ( )222 21 +=++ xxx 4412 222 ++=+++ xxxxx

0322 = xx ( )( ) 013 =+ xx

303 1 == xx 101 2 ==+ xx

Se rechaza la segunda raz por ser negativa. 4131 =+=+x , 5232 =+=+x

Las longitudes de los catetos son: 3 cm. y 4 cm., la longitud de la hipotenusa es 5 cm. 8) La diferencia de dos nmeros naturales es 7 y su suma multiplicada por el nmero menor es 184 . Hallar los nmeros. Solucin. El nmero menor es x El nmero mayor es x+7 ( ) 1847 =++ xxx

1847 22 =++ xxx 018472 2 =+ xx


( )( )( ) 4

397

4

52117

4

4721497

22

1842477 2 ==+=

= ,,x

84

32

4

3971 ==

+=x

2

23

4

46

4

3972 =

==x

Se rechaza la segunda raz por ser negativa. 15877 =+=+ x

Por lo tanto, los nmeros son 8 y 15 . 9) Los tiempos empleados por dos pintores para pintar cada uno un metro cuadrado difieren entre s en un minuto. Trabajando conjuntamente emplean una hora en pintar 27 metros cuadrados. En cunto tiempo pinta cada uno un metro cuadrado? Solucin. El nmero de minutos que necesita el pintor ms rpido para pintar un metro cuadrado es: x El nmero de minutos empleados por el otro pintor es: 1+x

La fraccin de metro cuadrado que pinta el ms rpido en un minuto es: x

1


36

La fraccin de metro cuadrado que pinta el otro en un minuto es: 1

1

+x

La fraccin de metro cuadrado que pintan entre los dos en un minuto es: 1

11

++

xx

Trabajando juntos pintan 27 metros cuadrados en una hora, as que en un minuto pintan: 260

27m

Por tanto: 60

27

1

11 =+

+xx

( ) ( )60

27160

1

11160 +=

+++ xx

xxxx

( ) ( )12760160 +=++ xxxx xxxx 2727606060 2 +=++

0609327 2 = xx 609327 === c,b,a

Sustituyendo en la frmula general se tiene:

( ) ( ) ( )( )( ) 54

12393

54

1291593

54

4806649893

272

602749393 2 ==+=

= ,,,x

454

216

54

123931 ==

+=x

9

5

54

30

54

123932 =

==x

Se rechaza la segunda raz por ser negativa. 5141 =+=+x , as que los pintores emplean 4 y 5 minutos, respectivamente para pintar un metro cuadrado.

VII.4.5 GRFICA DE UNA ECUACIN DE SEGUNDO GRADO

Para graficar una ecuacin de segundo grado, se establece la ecuacin cbxaxy ++= 2 . La solucin de

02 =++ cbxax son los valores x que hacen 0=y , es decir los puntos

+0

2

42,

a

acbb y

0

2

42,

a

acbb donde la curva cbxaxy ++= 2 cruza el eje x .

El resultado grfico siempre es una curva que recibe el nombre de parbola, cuyas caractersticas son: 1) Si 0>a , la parbola se abre hacia arriba: 2) Si 0 , la ecuacin tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parbola corta en dos puntos al eje x .

Si 0= , la ecuacin tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parbola es tangente al eje x . Si 0


37

x1 432 5-1-2-3-4-5

5

25

35

40

y

20

15

10

30

6 7-6-7

45

-10

x1 432 5-1-2-3-4-5

5

25

35

-15

y

20

15

10

6-6-7

-10

-8

La ecuacin cbxaxy ++= 2 puede evaluarse para todo x R y por ello se unen los puntos obtenidos para obtener sus grficas. Para fines prcticos, tabulando valores diferentes de x se pueden obtener los valores de y , generando puntos de coordenadas ( )y,x que se localizan en el plano coordenado y que al unirse conforman la parbola. Si las coordenadas de los puntos son grandes puede ser necesario modificar la escala en los ejes x y y, lo que provoca que las grficas se deformen. Esto significa que su aspecto es diferente al que realmente tienen. Ejemplos. Graficar las siguientes ecuaciones de segundo grado:

1) 642 2 = xxy Solucin.

x y -4 42 -3 24 -2 10 -1 0 0 -6 1 -8 2 -6 3 0 4 10 5 24 6 42

La parbola se abre hacia arriba y las races de la ecuacin son diferentes:

31 =x 12 =x

2) 2832 += xxy Solucin.

x y -8 -12 -7 0 -6 10 -5 18 -4 24 -3 28 -2 30 -1 30 0 28 1 24 2 18 3 10 4 0 5 -12


38

x1 432 5-1-2-3-4

20

40

50

10

y

35

30

25

6

15

5

45

x1 432 5-1-2-3-4

20

40

50

10

y

35

30

25

6

15

45

-5-6-7-8

La parbola se abre hacia abajo y las races de la ecuacin son diferentes: 71 =x

42 =x

3) 12123 2 += xxy Solucin.

x y -2 48 -1 27 0 12 1 3 2 0 3 3 4 12 5 27 6 48

La parbola se abre hacia arriba y las races de la ecuacin son iguales:

21 =x 22 =x

4) 622 ++= xxy Solucin.

x y -7 41 -6 30 -5 21 -4 14 -3 9 -2 6 -1 5 0 6 1 9 2 14 3 21 4 30 5 41

La parbola se abre hacia arriba y las races de la ecuacin no son reales.


39

VII.5 DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABL E Una desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadrtica, tiene la forma:

02 >++ cbxax o 02 ++ cbxax o 02 x Solucin.

92 =x 9=x

3=x Los nmeros crticos son:

31 =r y 32 =r los intervalos solucin pueden ser ( )3 , , ( )33, y ( ),3 probando con tres nmeros ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad :

para 4=x del intervalo ( )3 , se tiene: ( ) 0791694 2 >== para 0=x del intervalo ( )33, se tiene: 0990902 == Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solucin es: ( ) ( ) ,, 33 U .

092 >x


40

La grfica de la parbola se ubica por arriba del eje x en los intervalos solucin de la desigualdad porque sus ordenadas son mayores que cero:

x1 432 5-1-2-3-4-5

5

25

35

y

20

15

10

30

6 7-6-7

-10

( ] [ ) ,, 33 U

2) 042


41

3) xx 102 2 Solucin.

0102 2 xx 0102 2 = xx

( ) 0102 =xx Los nmeros crticos son:

01 =r

52

101020102 2 ==== rxx

los intervalos solucin pueden ser: ( ]0, , [ ]50, y [ ),5 probando con tres nmeros ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 0102 2 > xx : para 1=x del intervalo ( ]0, se tiene: ( ) ( ) 01210211012 2 >=+= para 3=x del intervalo [ ]50, se tiene: ( ) ( ) 012301831032 2 == Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solucin es: ( ] [ ) ,, 50 U . La grfica de la parbola se ubica por arriba del eje x en los intervalos solucin de la desigualdad porque sus ordenadas son mayores o iguales que cero:

x1 432 5-1-2-3-4-5

5

25

35

y

20

15

10

30

6 7-6-7

-15

( ) ( ) ,, 50 U

4) xx 123 2 Solucin.

0123 2 + xx 0123 2 =+ xx

( ) 0123 =+xx Los nmeros crticos son:

01 =r

43

121230123 2 =

===+ rxx


42

los intervalos solucin pueden ser: ( ]4 , , [ ]04, y [ ),0 probando con tres nmeros ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad :

para 5=x del intervalo ( ]4 , se tiene: ( ) ( ) 015607551253 2 >==+ para 2=x del intervalo [ ]04, se tiene: ( ) ( ) 012241221223 2 =+=+ El valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solucin es: [ ]04, . La grfica de la parbola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solucin de la desigualdad porque sus ordenadas son menores que cero:

x1 432 5-1-2-3-4-5

5

25

y

20

15

10

30

6 7-6-7

-15

[ ]04,

5) xx 282


43

probando con tres nmeros ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 0822 =+= para 0=x del intervalo ( )42, se tiene: ( ) 0880080202 == Por lo tanto, el valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solucin es: ( )42, . La grfica de la parbola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solucin de la desigualdad porque sus ordenadas son menores que cero:

x1 432 5-1-2-3-4-5

5

25

35

y

20

15

10

30

6 7-6-7

( )42,

6) 3042 2 + xx Solucin.

Trasponiendo trminos: 03042 2 + xx Simplificando: 0152

2 + xx 01522 =+ xx

( )( ) 035 =+ xx 505 1 ==+ rx

303 2 == rx los intervalos solucin pueden ser ( ]5 , , [ ]35, y [ ),3 probando con tres nmeros ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad

03042 2 + xx : para 6=x del intervalo ( ]5 , se tiene: ( ) ( ) 018302472306462 2 >==+ para 0=x del intervalo [ ]35, se tiene: ( ) ( ) 0303000300402 2 =+=+ Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solucin es: ( ] [ ) ,, 35 U . La grfica de la parbola se ubica por ariba del eje x en los intervalos solucin de la desigualdad porque sus ordenadas son mayores que cero:


44

x1 432 5-1-2-3-4-5

-10

y

5

10

15

6 7-6-7

-30

-25

-15

-20

( ] [ ) ,, 35 U

7) 43

1

6

1 2


45

Por lo tanto, el valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solucin es: ( )46, . La grfica de la parbola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solucin de la desigualdad porque sus ordenadas son menores que cero:

x1 432 5-1-2-3-4-5

-10

20

y

5

10

15

6 7-6-7

-15

-20

( )46,

8) xxxx 2125 22 +


46

Factorizando:

( ) 012 2 +

>

+>

+ xxxx

Puesto que el cuadrado de cualquier nmero real siempre es mayor o igual a cero, entonces se trata de una desigualdad absoluta. Toda la parbola se localiza por abajo del eje x y su solucin es cualquier nmero real:

-30

-10

y

-15

-20

-25

-45

x1 432 5-1-2-3-4-5 6-6-7

-35

-40

vii.1 concepto de ecuaciÓn - unam -...

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