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$: (x)= (1)=(1) - UNAM - DGENPdgenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/pdf/m4unidad06.pdf · Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con fracciones algebraicas$
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con fracciones algebraicas y radicales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

OPERACIONES CON FRACCIONES

ALGEBRAICAS Y RADICALES

UNIDAD VI VI.1 TEOREMAS DEL RESIDUO Y DEL FACTOR Sea un polinomio en x de la forma:

( ) 013

32

21

1 axaxaxaxaxaxP nn

nn

nn

nn ++⋅⋅⋅++++= −

−−

−−

−

donde 021 ,,,, aaaa nnn L−− son coeficientes numéricos y ∈n N,

se dice que ∈c R es un cero o raíz, de ( )xP si y sólo si ( ) 0=cP . Es decir, la raíz de un polinomio es

el número que toma la variable para que el valor numérico de ( )xP sea cero. Ejemplos.

1) En el polinomio ( ) 12 −= xxP , sus raíces son:

1=x ya que ( ) ( ) 011111 2 =−=−=P

1−=x ya que ( ) ( ) 011111 2 =−=−−=−P

2) En el polinomio ( ) xxxP −= 24 , sus ceros son:

0=x ya que ( ) ( ) 0000040 2 =−=−=P

4

1=x ya que 04

1

16

4

4

1

4

14

4

12

=−=−

=

P

3) En el polinomio ( ) xxxxP 65 23 +−= , sus raíces son:

0=x ya que ( ) ( ) ( ) 0000060500 23 =+−=+−=P

2=x ya que ( ) ( ) ( ) 012208262522 23 =+−=+−=P

3=x ya que ( ) ( ) ( ) 0184527363533 23 =+−=+−=P Algoritmo de la división para polinomios

Dados dos polinomios ( )xP (llamado dividendo) y ( )xQ (llamado divisor) de modo que el grado del

dividendo sea mayor que el grado del divisor y ( ) 0≠xQ .

Entonces, para ( )( )xQ

xP existen dos polinomios únicos ( )xc y ( )xr tales que cumplen con:

( ) ( ) ( ) ( )xrxcxQxP +⋅=

El polinomio ( )xc se llama cociente y ( )xr es el residuo de la división cuyo grado es menor que el de ( )xP .


2

Sean un polinomio ( )xP de grado 1≥n y ∈a R. Teorema del residuo Si el polinomio ( )xP se divide por ax − , entonces el residuo es ( )aP .

Demostración:

Si se divide ( )xP entre ax − se tiene:

( ) ( )( ) RaxxQxP +−=

donde ( )xQ es el cociente y R es el residuo.

Si ahora se evalúa ax = se obtiene:

( ) ( )( ) RRRaaaQaP =+=+−= 0

De donde ( )aP es el residuo. Ejemplo.

Sea el polinomio: ( ) 11594 23 −+−= xxxxP , comprobar el teorema de residuo si se divide por 2−x . Solución. Dividiendo el polinomio por 2−x :

34

5

63

113

2

115

84

115942

2

2

2

23

23

+−

−+−−

−−+−

+−

−+−−xx

x

x

xx

xx

xx

xxxx

ahora, evaluando para 2=x :

( ) ( ) ( ) ( ) 511103632112529242 23 −=−+−=−+−=P

Los resultados son iguales, lo que comprueba el teorema del residuo. Teorema del factor Si a es una raíz del polinomio ( )xP , entonces ax − es un factor del polinomio. O bien, si ax − es un

factor de ( )xP , entonces a es una raíz del polinomio. Esto es:

( ) axaP −⇔= 0 es un factor de ( )xP . Demostración:

Si ax − es factor de ( )xP entonces se cumple que: ( ) ( )( )axxQxP −= porque ( ) ( )( ) 0=−= aaaQaP

por lo tanto, a es raíz de la ecuación ( ) 0=xP .


3

Pero si a es raíz de la ecuación ( ) 0=xP , esto implica que ( ) 0=aP Si se aplica el teorema del residuo se tiene que:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )axxQaxxQaPaxxQxP −=+−=+−= 0

por lo tanto ax − es factor de ( )xP . Ejemplo

Determinar si 2+x es factor del polinomio ( ) 104 23 −−+= xxxxP Solución: Si 2+x es factor, 2−=x es raíz, entonces debe cumplir que el residuo sea cero:

( ) ( ) ( ) ( ) 01021681022422 23 =−++−=−−−−+−=−P

Por lo tanto, 2+x es factor del polinomio Comprobando:

52

0

105

105

42

102

2

1042

2

2

2

23

23

−+

+−−

−−

−−

−−

−−++xx

x

x

xx

xx

xx

xxxx

Por lo tanto se cumple que: ( )( )252104 223 +−+=−−+ xxxxxx . División sintética

Por el teorema del residuo, si a es una raíz del polinomio ( )xP , entonces ( )xP es divisible por ax − ,

pues el residuo de dividir ( )xP entre ax − es cero. A cada uno de las raíces se les designa por

nx,,x,x,x L321 .

Esto es, dado el polinomio ( ) 013

32

21

1 axaxaxaxaxaxP nn

nn

nn

nn ++⋅⋅⋅++++= −

−−

−−

− , entonces se

puede factorizar como: ( ) ( )( )( ) ( )nxxxxxxxxxP −−−−= L321 , es decir, un polinomio de grado n

tiene exactamente n raíces. La principal razón de factorizar un polinomio es encontrar sus raíces. Generalmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas son divisores del término

independiente. Así, las raíces enteras del polinomio ( ) 12496 234 −++−= xxxxxP están entre los

divisores de 12 . Por lo tanto, pueden ser raíces de ( )xP los números 126644332211 ,,,,,,,,,, −−−−−

y 12− . En el polinomio anterior, si se prueba para 1=x :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 41249611214191611 234 −=−++−=−++−=P , puesto que el residuo es distinto de

cero, se concluye que ( )xP no es divisible por 1−x .


4

Ahora, si se prueba para 1−=x :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01249611214191611 234 =−−++=−−+−+−−−=−P , puesto que el residuo es cero,

se concluye que ( )xP es divisible por 1+x . Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando un algoritmo llamado Regla de Ruffini que aplica el teorema del residuo verificando cual de estos valores da como residuo cero. Este es un procedimiento que permite hallar el cociente y el residuo sin efectuar la secuencia descrita anteriormente. Esta regla aplica sólo si el divisor es un polinomio de la forma ax − . En general, la división sintética es un procedimiento abreviado para realizar la división de un polinomio de

la forma ( ) 013

32

21

1 axaxaxaxaxaxP nn

nn

nn

nn ++⋅⋅⋅++++= −

−−

−−

− entre un polinomio lineal

expresado como ax − y sólo sirve para obtener las raíces enteras. La metodología para encontrar las raíces enteras de un polinomio mediante la división sintética es la siguiente: • La disposición práctica requiere que en un primer renglón se escriban los coeficientes del dividendo

ordenado de forma descendente y completo hasta el término independiente. A la izquierda de una línea

vertical se escribe un valor de prueba como probable raíz, que como ya se mencionó es un divisor de 0a .

• El primer coeficiente del dividendo se copia abajo en una tercera fila en la misma columna. Se multiplica el valor de prueba por el primer coeficiente de la tercera fila y el resultado se escribe debajo del siguiente coeficiente del dividendo.

• Se suman los coeficientes de la segunda columna y el resultado se escribe en la tercera fila. • El resultado obtenido en el paso anterior reinicia el ciclo: se multiplica por el valor de prueba y el

resultado se escribe debajo del siguiente coeficiente del dividendo. Nuevamente se suman los coeficientes de la tercera columna y el resultado se escribe en la tercera fila

• El proceso continúa hasta que se obtenga el resultado de la última columna. Este valor es el residuo. Si es cero entonces el valor de prueba es una raíz del polinomio

• De no ser una raíz, se repite la metodología con otro valor de prueba hasta encontrar un valor cuyo residuo sea cero.

• Cuando el residuo es cero, los valores de la tercera fila representan los coeficientes del polinomio reducido y se efectúa el mismo procedimiento con estos coeficientes hasta que se llegue a un polinomio de grado uno, a fin de que se pueda despejar x para obtener la última raíz.

Ejemplo. Encontrar las raíces enteras de los siguientes polinomios:

1) 062 =−− xx Solución. Las posibles raíces son: 6332211 ,,,,,, −−− y 6−

Probando con 1=x :

601

01

611

1

−

−−

Por lo tanto, no es raíz. Probando con 3−=x :

641

123

611

3

−−

−−−


5

Por lo tanto, no es raíz. Probando con 3=x :

021

63

611

3

−−

La primera raíz es 31 =x

El polinomio reducido que queda es: 02 =+x

despejando se tiene la segunda raíz: 22 −=x

2) 0242242 23 =+−− xxx Solución. Las posibles raíces son: 241212886644332211 ,,,,,,,,,,,,,, −−−−−−− y 24− .

Probando con 4−=x :

8026122

104488

242242

4

−−−−

−−−


02422

2422

242242

1

−−−−

−−

La primera raíz es 11 =x Trabajando ahora con el polinomio reducido: Probando con 2=x :

2022

44

2422

2

−

−−


062

248

2422

4

−−

La segunda raíz es 42 =x


despejando se tiene la tercera raíz: 33 −=x

3) 015133 23 =+−− xxx Solución. Las posibles raíces son: 15553311 ,,,,,, −−− y 15− .

Probando con 1−=x :


6

24941

941

151331

1

−−−

−−−


241301

3903

151331

3

−−−

−−


0321

15105

151331

5

−−

−−

La primera raíz es 51 =x Por lo tanto, no es raíz. Probando con 1=x :

031

31

321

1

−

La segunda raíz es 12 =x


despejando se tiene la tercera raíz: 33 −=x

4) 048282642 234 =+−−+ xxxx Solución. Las posibles raíces son: 48242416161212886644332211 ,,,,,,,,,,,,,,,,,, −−−−−−−−− y 48− .

Probando con 1=x :

0482062

482062

48282642

1

−−−−

−−

La primera raíz es 11 =x Trabajando ahora con el polinomio reducido: Probando con 2=x :

480102

0204

482062

2

−

−−



7

016122

48366

482062

3

−−

La segunda raíz es 32 =x Trabajando ahora con el polinomio reducido: Probando con 1−=x :

6102

102

16122

1 −−−

Por lo tanto, no es raíz. Probando con 4−=x :

042

168

16122

4 −−−

La tercera raíz es 43 −=x


despejando se tiene la cuarta raíz: 24 −=x

VI.2 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica racional es el cociente de dos polinomios:

( )( )xQ

xP

Las expresiones racionales tienen las mismas propiedades que los números racionales. Como no se puede dividir por cero, las sustituciones de variables que hacen que el denominador sea cero no son aceptables. Ejemplos.

1) En la expresión racional x

xx 753 2 −+, x no puede ser 0

2) En la expresión racional 2+x

x, x no puede ser 2−

3) En la expresión racional yx −

4, x no puede ser igual a y .

Una expresión racional está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes diferentes de 1 y 1− Ejemplos.

1) La fracción x

x

5

6+ es su mínima expresión ya que ni 5 ni x son factores de 6+x


8

2) La fracción ( )( )2

27

−−

xx

x no es su mínima expresión ya que 2−x es un factor común del numerador y del

denominador. Para simplificar expresiones racionales, se procede de forma similar a cuando se simplifican números racionales, es decir, se factoriza el numerador y el denominador. Los factores se simplifican hasta 1. La expresión simplificada es igual a la no simplificada excepto para aquellos valores en los que el factor que se cancele sea igual a cero. Ejemplos. Simplificar las siguientes expresiones racionales:

1) x

x

4

84 −

( )x

x

x

x

x

x 2

4

24

4

84 −=−=−

2) 23

12

2

++−xx

x

( )( )( )( ) 2

1

21

11

23

12

2

+−=

++−+=

++−

x

x

xx

xx

xx

x

3) 156

25

−−

x

x

( )( )

( ) 3

1

523

521

523

25

156

25 −=−−−=

−−=

−−

x

x

x

x

x

x

4) 484

141222

2

++−−

xx

xx

( )( )

( )( )( )( ) ( )12

7

114

712

124

762

484

141222

2

2

2

+−=

++−+=

++−−=

++−−

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

5) ( )( )

( ) ( )yxyx

yxyxyx

126

21232

2222

+−+−−

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( )

( )6

23

26

223

26

43

126

21232

222

2

2222 yx

yx

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

yxyxyx −=+

−+=+−−−=

+−+−−

2

2yx −=

6) x

xx 22 −

En esta expresión racional x no puede ser 0 , y como es el factor que se cancela entonces se cumple que:

( )2

222

−=−=−x

x

xx

x

xx porque 0≠x .


9

Para sumar fracciones se efectúa el mismo procedimiento que se emplea cuando se suman números racionales. En general: • Se reducen las fracciones lo más posible. • Se descomponen los denominadores • Se halla el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores, obteniendo así el denominador

común. • Para hallar el numerador resultante, se divide el MCM por el denominador y se multiplica el cociente

obtenido por el numerador correspondiente, esto convierte al numerador en un polinomio que debe descomponerse en factores para finalmente simplificar.

Ejemplos. Efectuar las operaciones algebraicas siguientes:

1) 6

23

4

2 ++− xx

Solución. Se obtiene el MCM de los denominadores: 12 :

( ) ( )12

29

12

4663

12

23223 −=++−=++−= xxxxx

12

29

6

23

4

2 −=++−∴ xxx

2) 30

4

15

2

12

xyyxyx −+++−

Solución. Se obtiene el MCM de los denominadores: 60 :

( ) ( ) ( )60

42245 xyyxyx −+++−

reduciendo:

60

5

60

824855 yxxyyxyx +=−+++−

60

5

30

4

15

2

12

yxxyyxyx +=−+++−∴

3) 9

12

3

5

3

22 −

+−

++ a

a

a

a

a

a

Solución. Se descompone el tercer denominador en sus factores:

( )( )33

12

3

5

3

2

−++

−+

+=

aa

a

a

a

a

a

se obtiene el MCM de los denominadores: ( )( )33 −+ aa :

( ) ( )( )( )33

125323

−++++−=

aa

aaaaa

eliminando paréntesis:

( )( ) ( )( )33

217

33

1215562 222

−++=

−++++−=

aa

aa

aa

aaaaa


10

factorizando: ( )

( )( ) 3

7

33

37

−=

−++=

a

a

aa

aa

3

7

9

12

3

5

3

22 −

=−

+−

++

∴a

a

a

a

a

a

a

a

4) 96

3

9

3

4

2222 ++

++−−+

−+

xx

x

x

x

x

x

Solución. Se descomponen los denominadores en sus factores:

( )( ) ( )( ) ( )23

3

33

3

22

2

+++

−+−+

−++=

x

x

xx

x

xx

x

reduciendo:

3

1

3

1

2

1

++

++

−=

xxx

se obtiene el MCM de los denominadores: ( )( )32 +− xx :

( ) ( ) ( )( )( )32

223

+−−+−++

xx

xxx

eliminando paréntesis:

( )( )32

13

+−−xx

x

( )( )32

13

96

3

9

3

4

2222 +−

−=++

++−−+

−+∴

xx

x

xx

x

x

x

x

x

5) 23

1

6

3

107

5222 ++

++−−

−+++

+aa

a

aa

a

aa

a


( )( ) ( )( ) ( )( )21

1

23

3

25

5

++++

+−−+

+++=

aa

a

aa

a

aa

a

reduciendo:

2

1

2

1

2

1

++

++

+=

aaa 2

3

+=

a

2

3

23

1

6

3

107

5222 +

=++

++−−

−+++

+∴aaa

a

aa

a

aa

a

6) 1

12

2

2 −−−

+ x

x

xx

x


( ) ( )( )11

1

1

2

−+−−

+=

xx

x

xx

x

se obtiene el MCM de los denominadores: ( )( )11 −+ xxx :


11

( ) ( )( )( )11

11 2

−+−−−=

xxx

xxxx

eliminando los paréntesis y ordenando:

( )( ) ( )( ) ( )( )11

2

11

2

11

233232

−+−+=

−++−=

−++−−=

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxx

factorizando el numerador y simplificando:

( )( )( )

( )( )( )( ) 1

2

11

12

11

22

++=

−+−+=

−+−+=

x

x

xxx

xxx

xxx

xxx

1

2

1

12

2

2 ++=

−−−

+∴

x

x

x

x

xx

x

7) yx

yx

yx

yx

6622

22

−−+

−+


( ) ( )yx

yx

yx

yx

−−+

−−=

62

22

se obtiene el MCM de los denominadores: ( )yx −6 :

( ) ( )( )yx

yxyx

−−+−=

6

3 22

factorizando el numerador y simplificando: ( ) ( )( )

( )( )( )

( ) 6

3

6

3

6

3 yx

yx

yxyx

yx

yxyxyx ++=−

++−=−

−++−=

6

3

6622

22 yx

yx

yx

yx

yx ++=−−+

−+∴

Para multiplicar expresiones racionales se procede de forma similar que con los números racionales. Ejemplos. Multiplicar las siguientes expresiones algebraicas:

1)

−−

+−−−

5

2

44

1032

2

x

x

xx

xx

Solución. Se descompone la fracción en sus factores:

( )( )( )( ) 5

2

22

25

5

2

44

1032

2

−−⋅

−−+−=

−−

+−−−

x

x

xx

xx

x

x

xx

xx

simplificando:

2

2

−+=

x

x

2

2

5

2

44

1032

2

−+=

−−⋅

+−−−∴

x

x

x

x

xx

xx


12

2) ( )446

12102 22

2

++−−+−

yyyy

yy

Solución. Se descompone la fracción en sus factores:

( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )4423

23244

23

652 222

+++−−−=++

+−+−= yy

yy

yyyy

yy

yy

factorizando el trinomio: ( )( )

( )( ) ( )( )2223

232 +++−−−

yyyy

yy

simplificando: ( )( )222 +−= yy

( ) ( )( )222446

12102 22

2

+−=++−−+−∴ yyyy

yy

yy

3) ( )

+−

+++

yx

yx

yx

yxyx

22

6126 22

2

22

Solución. Tomando como factor común al 6 en el numerador de la primera fracción y al 2 en el denominador de la segunda:

( )( ) ( )

+−

+++=

yx

yx

yx

yxyx

2

26 22

2

22

factorizando:

( )( )

( )( )( )

+−+

++=

yx

yxyx

yx

yx

2

62

2

simplificando:

( )yx −= 3

( ) ( )yxyx

yx

yx

yxyx −=

+−

+++∴ 3

22

6126 22

2

22

4)

++−

+−++

−+−

5

149

56222

2510

103

832 2

2

2

2 a

aa

aa

aa

aa

a

Solución. Tomando como factor común al 8− en el numerador de la primera fracción y al 2 en el denominador de la segunda:

( )( )

++−

+−++

−+−−=

5

149

28112

2510

103

48 2

2

2

2 a

aa

aa

aa

aa

a

factorizando:

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )

+−−

−−++

−+−−=

5

72

472

55

25

48

a

aa

aa

aa

aa

a

simplificando:


13

42

8 −=−=

45

149

56222

2510

103

832 2

2

2

2−=

++−

+−++

−+−∴

a

aa

aa

aa

aa

a

Para dividir expresiones racionales se procede de la misma forma que se efectúa con los números racionales. Para dividir expresiones racionales, se multiplica la primera expresión por el recíproco del divisor. Ejemplos. Dividir las siguientes expresiones algebraicas:

1)

6

53

15

2

4

x

x

Solución. Simplificando:

( )( )

22

4

2

4

615

90

53

615x

x

x

x

x ==

22

4

6

6

53

15

xx

x

=∴

2)

12

11

33

2

2

+−+−+

xx

xx

x

Solución. Factorizando las fracciones al máximo:

( )( )( )

( )( )11

111

13

−−+

−++

xx

xxx

x

simplificando: ( )( )( )( )( )( )

( )1

13

111

1113

+−=

+−+−−+=

x

x

xxx

xxx

( )1

13

12

11

33

2

2

+−=

+−+−+

∴x

x

xx

xx

x


14

3)

1

641515

302023

2

+−

+−

x

xxx

xx

Solución. Factorizando las fracciones al máximo:

( )( )

( )1

322115

32102

+−+−

=

x

xxx

xx

simplificando: ( )( )( ) ( ) xx

x

xxx

xxx

3

1

30

10

322115

1321022

==−+

+−=

4)

xa

a

xa

axa

a

xa

a

++

−

+−

+ 22

Solución.

El MCM de xa + y de xa 22 + es: xa 22 + , por su parte, el MCM de xa − y xa + es: ( )( )xaxa +− , por lo que escribiendo la expresión como el cociente de dos fracciones se tiene:

( ) ( )( )( )xaxa

xaaaxaxa

aa

+−−++

+−

= 22

2

reduciendo:

( )( ) ( )( )xaxa

axa

a

xaxa

axaaxaxa

a

+−

+=

+−−++

+=222 22222

factorizando:

( )

( )( )

( )( )( ) 22 222

2axa

xaxaa

xaxa

a

xa

a

++−=

+−

+=

simplificando: ( )

a

xa

4

−=

a

xa

xa

a

xa

axa

a

xa

a

422 −=

++

−

+−

+∴


15

VI.3 OPERACIONES CON RADICALES Un radical es cualquier raíz indicada de una expresión. La radicación es la operación inversa de la

potenciación y se representa por el símbolo n , donde n es el índice del radical y dentro se ubica una

expresión denominada subradical. Para resolver una raíz, se busca una cantidad que elevada a un exponente igual al índice del radical sea igual al subradical. El radical puede ser racional si la raíz indicada es exacta o irracional si no lo es. Ejemplos.

1) El subradical de la expresión 35 +x es 35 +x

2) 216x es un radical racional porque su resultado, x4 , es exacto.

3) 3 417x es un radical irracional porque su resultado no es exacto.

5) 4 46 dc − es un radical de cuarto grado

En los radicales de segundo grado se omite su índice, esto es: 2 aa = .

Si ba n = , a es una raíz enésima de b . Ejemplos

1) Si 932 = entonces 3 es una raíz cuadrada de 9

2) Si 62554 = entonces 5 es una raíz cuarta de 625

Si n es par, 0≥na , por lo que un número negativo no puede tener raíz enésima . Ejemplos

1) Si 16− no tiene raíz cuadrada en R.

2) Si 6 64− no tiene raíz sexta en R.

Si n es par y nab = , también ( )nab −= , así que b tiene dos raíces enésimas, a y a− . Ejemplos

1) Como 2552 = y ( ) 255 2 =− , 5 y 5− son raíces cuadradas de 25 .

2) Como 8134 = y ( ) 813 4 =− , 3 y 3− son raíces cuartas de 25 . Si n es impar, todo número real tiene exactamente una raíz enésima. Ejemplos

1) 62163 = .

2) 2325 −=−


16

Si 0≥b , hay una única raíz enésima no negativa de b representada por n b Ejemplo.

Si 2749 = , entonces 7 es una raíz cuadrada de 49 y como ( )2749 −= , 7− es otra raíz cuadrada de

49 . Pero 49 denota exclusivamente a la raíz no negativa de 49 . Si ∈≥ n,m,x 0 N, a ley de exponentes fraccionarios establece que:

n mn

m

xx = Esto es, cualquier expresión elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador y el subradical es la misma expresión elevada a la potencia que tiene el numerador.

En el caso particular, si nm = , se tiene que: n nxx = Los radicales cumplen con las siguientes propiedades: 1) El producto de dos radicales de un mismo índice es igual a la raíz del producto de los subradicales.

Esto es: nnn baba ⋅=⋅ si ∈>> n,b,a 00 N. 2) El cociente de dos radicales de un mismo índice es igual a la raíz del cociente de los subradicales.

Esto es: nn

n

b

a

b

a = si ∈>> n,b,a 00 N.

3) Un radical de índice n elevado a una potencia m equivale a una raíz de índice n y de subradical

elevado a la potencia m . Esto es: ( ) n mmn aa = si ∈> n,m,a 0 N.

4) La raíz de índice m de un radical de índice n es equivalente a una raíz de índice n de un radical de

índice m y es igual a una raíz de índice nm ⋅ . Esto es: nmn mm n aaa ⋅== si ∈> n,m,a 0 N. Es importante notar que la suma algebraica de dos radicales de cualquier índice no es igual a la raíz de la

suma algebraica de los subradicales. Es decir: nnn baba ±≠± De acuerdo con la ley de exponentes fraccionarios y de las propiedades de los radicales, el objetivo de simplificar un radical es expresarlo en su forma más simple. Es decir, un radical está simplificado cuando: • No se puede extraer ningún factor del radicando (es el menor posible). • No puede reducirse su índice (es el menor posible). • El radicando no es una fracción. • No hay radicales en el denominador de una fracción. VI.3.1 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES A TRAVÉS DE LA E XTRACCIÓN DE FACTORES DEL SUBRADICAL Un radical se puede simplificar cuando contiene factores cuyos exponentes son divisibles por el índice y se procede de la siguiente manera: • La parte numérica del subradical se descompone en factores de tal forma que sean potencias con

exponentes múltiplos del índice de la raíz, a fin de poder extraer del radical. • La parte literal del subradical se descompone de tal manera que se exprese la mayor parte posible

con exponentes múltiplos del índice de la raíz.


17

Ejemplos.

1) aaaaaaa 23232918 24245 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

2) 4 34 3444 344 7 3333381243 kkkkkkk =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

3) 3 223 62333 6233 75 45454125500 yxxyyyxxyyxxyx =⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=

4) 5 435 4553555 9685 968 222223264 wzvvwzzzwwvvzwvzwv =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

5) ( ) ( ) abaaabaaabaabaa 22222484 22222234 −=−=−=−

6) ( ) ( ) ( )nmanmanmnmaanamnam +=+=++=++ 2222242 22222

7) 32

32

2

3233

36

323

3

35

4

22

9

22

3

22

3

28

729

16

729

b

a

b

a

b

a

b

a

bb

aa

bb

aa

b

a ==⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=

8) abccabccbbaaccbbaacba 11211211444 438622862973 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= VI.3.2 INCLUSIÓN DE UN FACTOR EN UN SUBRADICAL En este caso se eleva la expresión por introducir a la potencia que indique el índice del radical, se efectúa el producto de subradicales y el resultado se expresa con el mismo índice. Ejemplos.

1) 805165454 2 ===

2) ( ) 322 12343232 aaaaaaa ===

3) ( ) βαβαβαβα 222 252555 ===

4) 2189

118

3

118

3

12

==

=

5) ( ) ( ) ( ) ( ) xyxxyxyx

xyx

yx

xyx

yx

xyx +=+=

++=

++=

++ 2

22

6) ( ) 3 53 23 33 23 33 2 1282642424 wwwwwww ===

7) ( ) 4 354 34 44 34 44 3 966166262 baabaabaaba ===

8) ( ) 5 1354

35 5105

4

35 525

4

32 9

27243

273

273 mk

m

kmk

m

kmk

m

kmk ===

VI.3.3 EXPRESAR UN RADICAL COMO UNO DE ÍNDICE MENOR Otra forma de simplificación de un radical consiste en transformarlo a uno equivalente que posea un índice menor. Para ello, se expresa cada uno de los factores del subradical en su forma de exponente fraccionario, se simplifican las fracciones y se vuelve a transformar a radical. Ejemplos.

1) xxxx === 2

1

4

24 2


18

2) ( ) 4 34

3

8

6

8

168 6 kkkkk ====

3) ( ) 44

1

12

3

12

1312 6666216 ====

4) ( ) 33

1

3

1

6

1226 22 mnnmnmnm ==⋅=

5) 22

22232

2

1

2

1

2

1

10

5

10

5

10

1

5

5

10

5 aaaaaa =

===

=

6) ( ) ehhehehehe 555525 2

1

2

1

2

1

4

2

4

2

4

2

4

12224 22 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=

7) ( ) 3 223

2

3

2

3

2

9

6

9

6

9

6

9

16669 66 422264 βαβαβαβαβα ===⋅⋅=

8) ( ) 4 24

2

4

1

4

2

8

4

8

2

8

4

8

14248 42 422216 xyyxyxyxyx ===⋅⋅=

VI.3.4 OPERACIONES CON RADICALES DEL MÍSMO ÍNDICE. Radicales semejantes son aquellos que tienen igual radicando y el mismo índice, es decir, sólo difieren por el coeficiente. Ejemplos.

1) x4 y x9 son radicales semejantes

2) 3 26 ab− y 3 2

4

5ab son radicales semejantes

3) x8 y 37 x no son radicales semejantes

Para sumar o restar radicales se simplifican a su forma más elemental y se reducen los radicales semejantes. Ejemplos.

1) 5652545254545162080 22 =+=⋅+⋅=⋅+⋅=+

2) 523353523353543959202745 222 −−=⋅−⋅−⋅=⋅−⋅−⋅=−−

335 −=

3) 32527938172575263243175 ⋅−⋅−⋅+⋅=−−+

310733975352733975352733975 2222 −−+=⋅−−+=⋅−⋅−⋅+⋅=

372 −=

4) 0373235373235349343251471275 222 =−+=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+

5) 21625551634516429257800580332044507 ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=−+−

245554352442357245554325442357 2222222 ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=

5202521005125322105 −=−+−=

6) 262524236225216725032 222 ⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+ 262524 −+=

23=


19

7) 2102529210022528120050162 222 ⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+

242102529 =−+=

8) 3232353493433953169123275489 222 ⋅+⋅−⋅=⋅+⋅−⋅=+−

32736315336323335349 =+−=⋅+⋅−⋅=

Para efectuar la multiplicación de radicales se multiplican respectivamente los coeficientes y los subradicales, ubicando este último producto bajo el signo de radical y se simplifica. Ejemplos.

1) 23231863 2 =⋅==⋅

2) 73073107310631032215 2 =⋅=⋅==⋅

3) 333 333 2 1836274

24389

4

3bababaaba =⋅==⋅

4) 333 333333 43043524352500132204156

1453 =⋅⋅=⋅⋅==⋅⋅ ,

Para dividir dos radicales, se dividen respectivamente los coeficientes y los subradicales, ubicando este último cociente bajo el signo de radical y se simplifica. Ejemplos.

1) 2232

64 =

2) 35

1

10

32 =a

a

3) kkkkkk

k

2

3

4

62

4

32

4

38

4

3

24

163 3 333 3

3 2

3 5

==⋅⋅===

4) yyyyyyyxy

xy23

6

43

6

49

6

4

44

3

362

1223

5

8

=⋅=⋅==

VI.3.5 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES DE ÍNDICE DIFERE NTE Los radicales no semejantes no se pueden reducir, por lo que la suma y la resta no son posibles. Para multiplicar dos radicales de diferente índice: • Se halla el MCM de los índices. • El MCM se divide entre cada índice de la raíz y cada radicando se eleva a este resultado. • Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir multiplicando los exponentes. • Se multiplican los radicandos como potencias de la misma base, es decir sumando los exponentes. • El radicando se descompone en factores procurando que sean potencias con exponentes múltiplos

del índice de la raíz, a fin de poder extraer del radical aquella parte que lo permita.


20

Ejemplos.

1) 3 22xx ⋅

el índice común es 6 , por lo tanto:

( ) 66 66 76 436 226 33 2 444422 xxxxxxxxxxx =⋅==⋅=⋅=⋅

2) 4 38423 aab ⋅


( ) ( ) ( ) 8 664448 6234448 238 44 3 2212221284238423 abaabaaabaab ⋅=⋅=⋅=⋅

8 428288 41010 2212212 baaba == 4 28 422 2242212 ababaa =⋅=

3) 4 33 22 32 baba ⋅


( ) ( ) 12 11512312 1117312 3938812 3312 4224 33 22 3232323232 baabababababababa ==⋅=⋅=⋅

12 115272 baa=

4) 5 43 2 164

34

3

2nmm ⋅


( ) ( ) ( ) ( )15 31234105215 312310515 3415 525 43 2 222

1164

2

1164

12

616

4

34

3

2nmmnmmnmmnmm ⋅=⋅=⋅=⋅

15 312121010 222

1nmm ⋅= 15 3715 37715 371571515 32222 12822

2

122

2

12

2

1nmmnmmnmmnm =⋅===

Para dividir dos radicales de diferente índice: • Se halla el MCM de los índices. • El MCM se divide entre cada índice de la raíz y cada radicando se eleva a este resultado. • Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir multiplicando los exponentes. • Se dividen los radicandos como potencias de la misma base, es decir restando los exponentes. • El radicando se descompone en factores procurando que sean potencias con exponentes múltiplos

del índice de la raíz, a fin de poder extraer del radical aquella parte que lo permita. Ejemplos.

1) 3

2

3

3

x

x


( )( )

6 462

6

6 2

6 32

3

2

39

27

3

3

3

3x

x

x

x

x

x

x ===

2) 4 2

3 3

4

8

a

ba



21

( )( )

6 2312 46212 46126

412

1263

4124

12 32

12 43

4 2

3 3

886464

0964

4

8

4

8

4

8bababa

a

ba,

a

ba

a

ba

a

ba ======

3) 5 2

3 345

mn

nm


( )( )

15 9215 921515 9171563

1520

15 32

15 534

5 2

3 34

125312531253125355

nm,mnmm,nm,nm

nm,

mn

nm

mn

nm =====

4) 4 322

6 543

3

18

zyx

zyx


( )( )

12 212

966

1086

12 3322

12 2543

4 322

6 543

1227

324

3

18

3

18zy

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx===

para extraer la raíz de un radical, se multiplican los índices y se simplifica. Ejemplos.

1) 36 23 2 aaa ==

2) 2288 6 363 ===

3) ( ) 48 28 24 2 552525 aaaa ===

4) ( ) 3 215 5215 105 3 10 xxxx ===

VI.3.6 RACIONALIZACIÓN DE RADICALES Racionalizar consiste en eliminar los radicales del denominador de una fracción. Para lograr esto, se multiplican las dos componentes del cociente por una expresión que contenga el radical por eliminar y que cumpla que al multiplicarse, el denominador resulte una expresión racional. Ejemplos. Racionalizar las siguientes fracciones:

1) 3

1

multiplicando el numerador y el denominador por 3 :

3

3

3

3

3

1 =⋅

2) 54

3

multiplicando el numerador y el denominador por 5 :


22

( ) 20

53

54

53

5

5

54

3 ==⋅

3) 4 9

3

a

multiplicando el numerador y el denominador por ( )4 39a :

( )( )

( )a

a

a

a

a

a

a

a

a 3

729

9

7293

9

93

9

9

9

3 4 34 34 3

4 3

4 3

4===⋅

4) 3 35

6

x

multiplicando el numerador y el denominador por ( )3 23x :

( )( )

( )( ) x

x

x

x

x

x

x

x

x 5

92

15

96

35

36

3

3

35

6 3 23 23 2

3 2

3 2

3===⋅

Ejemplo.

Efectuar la operación 4

3

2

1

3

1 +− y racionalizar el resultado.

Solución.

32

3

2

2

3

1

3

3

2

3

2

2

2

1

3

1

2

3

2

1

3

1

4

3

2

1

3

1

4

3

2

1

3

1 +−=⋅+⋅−=+−=+−=+−

2

2

6

35

2

2

3

3

32

5

2

2

32

5 −=−⋅=−=

Cuando se quiere racionalizar una fracción cuyo denominador sea un binomio que posea radicales de segundo grado, se multiplican las dos componentes del cociente por el binomio conjugado del denominador y se simplifica. Ejemplos. Racionalizar las siguientes fracciones:

1) 21

23

+−

multiplicando el numerador y el denominador por 21− , que es el binomio conjugado del denominador:

5241

245

21

22233

21

21

21

23 −=−

−=−

+−−=−−⋅

+−

2) 34

325

−+

multiplicando el numerador y el denominador por 34 + , que es el binomio conjugado del denominador:

3213

31326

316

6383520

34

34

34

325 +=+=−

+++=++⋅

−+


23

3) 3425

19

−

multiplicando el numerador y el denominador por 3425 + , que es el binomio conjugado del denominador:

2

376295

4850

376295

316225

376295

3425

3425

3425

19 +=−+=

⋅−⋅+=

++⋅

−

4) 7332

7334

+−

multiplicando el numerador y el denominador por 7332 − , que es el binomio conjugado del denominador:

51

211887

6312

63211824

7934

79216211238

7332

7332

7332

7334

−−=

−+−=

⋅−⋅⋅+−−⋅=

−−⋅

+−

17

29216

51

872118 −=−=

VI.4 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Existen números llamados complejos que forman un sistema numérico que comparte muchas propiedades

con los números reales. En este sistema es posible encontrar soluciones a ecuaciones como rx −=2 con ∈r R+ para los cuales el conjunto de los números reales resulta insuficiente.

Se define como unidad imaginaria i al número que elevado al cuadrado es 1− . Formalmente, el conjunto de los números imaginarios I, se define como:

I { ∈== bbix R, }1−=i

Ejemplos de números imaginarios:

ix 81 =

ix4

52 −=

i.x 769833 =

ix 74 =

Dado que xx 1−=− , entonces la solución de una raíz cuadrada de un número real negativo

x− siempre está dado por la raíz no negativa xi .

Ejemplos.

1) i416 =−

2) i749 =−

3) i228 =−


24

Las potencias de la i cumplen lo siguiente:

1−=i

12 −=i

( ) iiiii −=−== 123

( ) 1234 =−=−== iiiiii

( ) iiiii === 145

( ) 1256 −==== iiiiii

De acuerdo con lo anterior, en los números imaginarios no se cumple que ( ) n nnn aa ≠ si 0<a . Ejemplos. Efectuar los siguientes productos de números imaginarios:

1) ( ) 151151553 2 −=−==⋅ iii

2) ( ) iiiiii 565656742 3 −=−==⋅⋅

3) ( ) 91993

15

5

62

4

3 4 ===⋅⋅⋅ iiiii

4) ( ) iii,iiiii 421042102004107526 5 ===⋅⋅⋅⋅

5) ( ) ( ) ( ) 0252102520252258153 62424 ,,i,iiii −=−==⋅=⋅ Se denomina número complejo a toda expresión de la forma biaz += donde ba, son números reales

e i es la unidad imaginaria. El primer término del binomio es la parte real del número complejo y la segunda es su parte imaginaria (que es un número real multiplicado por la unidad imaginaria). En términos generales, el conjunto de los números complejos, denotado por C, en forma binómica puede expresarse de la siguiente forma:

C { ∈+== b,a,biaz R, }1−=i

Ejemplos de números complejos:

iz 521 +=

iz 342 −−=

iz4

7

3

13 +=

i..z 3792984 −=

115 −+−= πz

Si 0=a , el número complejo es un imaginario puro. Si 0=b el número complejo es un número real. De esto, se deduce que los números reales y los números imaginarios son subconjuntos de los números complejos:


25

Un número complejo es igual a cero sólo si sus dos partes son iguales a cero. Dos números complejos son iguales si son iguales sus respectivas partes reales e imaginarias. Suma de números complejos

Sean biaz +=1 y dicz +=2 dos números complejos, entonces 21 zz + se define como:

( ) ( )idbcazz +++=+ 21 Ejemplos. Sumar los siguientes números complejos:

1) iz 431 += y iz 522 += Solución:

( ) ( ) iizz 95542321 +=+++=+

2) iz 62

91 += y iz 8

2

32 −=

Solución:

( )( ) iizz 26862

3

2

921 −=−++

+=+

3) i..z 61941 −= y i..z 22352 −−= Solución:

( )( ) ( )( ) i..i....zz 83402261359421 −−=−+−+−+=+ Resta de números complejos

Sean biaz +=1 y dicz +=2 dos números complejos, entonces 21 zz − se define como:

( ) ( )idbcazz −+−=− 21 Ejemplos. Restar los siguientes números complejos:

1) iz 1131 += y iz 722 += Solución:

Números reales

Números imaginarios

a bi

Números Complejos = bia +

Números reales

Números imaginarios

a bi

Números Complejos = bia +Números Complejos = bia +


26

( ) ( ) iizz 417112321 +=−+−=−

2) iz3

2

4

51 +−= y iz

5

7

3

12 −=

Solución:

izz

−−+

−−=−5

7

3

2

3

1

4

521

ii15

31

12

19

15

2110

12

415 +−=++−−=

3) i..z 73251 −= y i..z 33812 −−= Solución:

( )( ) ( )( ) i.i....zz 4073373812521 −=−−−+−−=− Producto de números complejos

Sean biaz +=1 y dicz +=2 dos números complejos, entonces 21 zz ⋅ viene dado por:

( ) ( ) 221 bdibciadiacdicbiazz +++=+⋅+=⋅ , pero considerando que 12 −=i y agrupando las

respectivas partes reales y las imaginarias, se tiene que:

( ) ( )ibcadbdaczz ++−=⋅ 21 Ejemplos. Multiplicar los siguientes números complejos:

1) iz 541 += y iz 322 += Solución:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) iiizz 22710121582534352421 +−=++−=++−=⋅

2) iz 911 −= y iz4

382 −=

Solución:

( ) ( ) ( )( ) izz

−+

−+

−−−=⋅ 894

31

4

398121 i

−−+

−= 724

3

4

278

ii4

291

4

5

4

2883

4

2732 −=

−−+

−=

3) i.z 5521 −= y i.z 54102 −−= Solución:

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )i....zz 1055452545105221 −−+−+−−−−=⋅

( ) ( ) i..i.. 753854750251152225 +−=+−+−−= Complejos conjugados Dos números complejos se llaman conjugados si tienen iguales sus componentes reales y opuestas sus componentes imaginarias.

Esto es, dado un número complejo biaz += , su conjugado denotado como z es:

biaz −= .


27

Ejemplos.

1) iz 461 −=

iz 461 +=

2) i..z 38512 +=

i..z 38512 −=

3) iz2

1

3

73 +−=

iz2

1

3

73 −−=

Cociente de números complejos

Sean biaz +=1 y dicz +=2 dos números complejos. Para obtener 2

1

z

z basta con multiplicar el

numerador y el denominador por el complejo conjugado del 2z a fin de que el denominador resultante

sea real: 222

2

2

1

idc

bdibciadiac

dic

dic

dic

bia

z

z

−−+−=

−−⋅

++=

ordenando se tiene:

( ) ( )22

2

1

dc

iadbcbdac

z

z

+−++=

Ejemplos.

Dados los siguientes números complejos, obtener el cociente 2

1

z

z:

1) iz 3141 += y iz 452 += Solución:

( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )i

iii

z

z −=−=+

−++=+

−++= 241

4182

1625

56151270

45

414534351422

2

1

2) iz 26181 +−= y iz 262 −= Solución:

( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ]( )

( ) ( )i

iii

z

z34

40

120160

436

3615652108

26

21862622661822

2

1 +−=+−=+

−+−−=−+

−−−+−+−=

3) iz 961 −= y iz −−= 22 Solución:

( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( )

( ) ( )i

iii

z

z

5

24

5

3

5

243

14

618912

12

1629192622

2

1 +−=+−=+

+++−=−+−

−−−−+−−+−=

(x)= (1)=(1) - unam - dgenpdgenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/pdf/m4unidad06.pdf ·...

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