sistema general de coordenadas rectangulares

7/25/2019 Sistema General de Coordenadas Rectangulares

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Cátedra: Topografía II Pág. 1

Documento de Cátedra preparado por el Ing. Guillermo N. Bustos

SISTEMA GENERAL DE COORDENADAS RECTANGULARES

LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO

Localizar puntos de la superficie terrestre en el plano, significa dar la referencia de ellos respecto a un

espacio de dos dimensiones llamado plano topográfico, utilizando el sistema de proyección ortogonal.

Los sistemas de referencia usados en topografía son los conocidos como:

• Sistema Cartesiano Ortogonal Monométrico (cartesiano por Descartes, ortogonal por la condición

de perpendicularidad y monométrico por utilizar la misma unidad de medida en los ejes)

• Sistema Polar

Para localizar puntos en cualquiera de estos sistemas, necesitamos conocer las posiciones de los ejes X e

Y en el plano.

DISPOSICIÓN DE EJES Y CUADRANTES

Supondremos siempre, según el uso universalmente establecido, un sistema tal que la rama positiva del

eje de las ordenadas Y quede a 90° de la rama positiva del eje de las abscisas X , contando esta magnitud

angular en el sentido del movimiento de las agujas del reloj. Es entonces arbitraria todavía la dirección dela rama positiva del eje de la X .En la práctica topográfica, geodésica y catastral, es costumbre general hacer coincidir el eje de las X con

el meridiano de origen del sistema de coordenadas, estando entonces dirigido el eje de las X positivas

hacia el Norte, el eje de las Y positivas hacia el Este, las X negativas, en consecuencia, hacia el Sur y las

Y negativas hacia el Oeste. Se llama Sistema Cartesiano Ortogonal Indirecto o Retrógrado, es aquel en

que los 90° que tiene que girar el eje X para superponerse con el eje Y lo hace en sentido de las agujas del

reloj.

Mediante los dos ejes de coordenadas el plano se divide en 4 partes llamadas cuadrantes. Los signos que

corresponden a las abscisas X y ordenadas Y se muestran en la figura, también se indica la distribución de

los cuadrantes y el signo de las funciones.

SISTEMAS LOCALES DE COORDENADAS

Aparte de los sistemas generales de coordenadas se emplean a menudo con fines especiales sistemas

locales que pueden ser orientados de cualquier modo conveniente, por ejemplo, el eje de las X o de las Y coincidente con el primer lado más largo de un polígono, con la dirección principal de un camino, canal,

tangente a una curva, etc. Pero también en estos casos es conveniente orientar los ejes de tal modo que se

pase del de las X positivas al de las Y positivas por un movimiento giratorio de 90° en el sentido de la

marcha de las agujas del reloj.

I

IIIII

IV

+X

+Y

-X

-Y

X+

Y+

X-

Y+

X-

Y-

X+

Y-





SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

Se apoya en los ejes ortogonales ya descriptos, y para localizar un punto en este sistema necesitamos

conocer el valor del rumbo (R) y la distancia (d). Definimos la distancia (d), como la medida de la

longitud OP, o como el módulo del vector |OP|. En estos sistemas un punto P queda localizado en el

plano como P (d, R).

RUMBO

Se define como rumbo de una dirección, en el sistema de coordenadas planas, al ángulo que dicha recta

forma con una paralela al eje de las X , o en otros términos más precisos: Siendo A y B dos puntos del

plano, el rumbo R de la línea AB, que designaremos también como (AB), es el ángulo por el cual la paralela a la rama positiva del eje de las X trazada por el punto de arranque A, debe ser girada en el

sentido del movimiento de las agujas del reloj, hasta llegar a la coincidencia con el lado AB.

Este ángulo puede tomar cualquier valor entre 0º y 360º. De la definición se desprende lo siguiente:

A las dos direcciones que pueda tener una recta corresponden dos rumbos, el rumbo directo y el inverso,

también llamado recíproco o contrarumbo, los que se diferencian en 180°.

(BA) = (AB) ±180º

Si se gira la recta AB 360º alrededor de A, cambiará sólo el número de grados ( R+ 360°), pero no

el significado del rumbo, volviendo el rayo móvil a ocupar exactamente la misma posición que tuvo

antes de su giro. Un rumbo mayor de 360° se transforma, por lo tanto, en otro equivalente, restándole

360°.

Al ser el rumbo un ángulo orientado, nunca podrá ser negativo, por lo tanto si al calcularlo por algún

método diera un valor negativo, se le sumará 360º

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS RECTANGULARES

Dados A y B, dos puntos que tienen por coordenadas BB A A Y,X,Y,X referidos a un sistema de ejes

coordenados ortogonales retrógrados OX, OY.

Se define como:

AB AB

AB AB

Y-Y Y

X-XX

=∆

=∆

De la figura obtenemos lo siguiente:

X

Y

A

B

(BA)(AB)





Si por A se traza la paralela al eje Y y por B la paralela al eje X se obtiene el triángulo ABC rectángulo

en C por lo que:

AB

X

(AB)cos AB∆

= ; de lo que se obtiene:

cos(AB) ABXXX AB AB =−=∆ (1)

AB

Y (AB)sen AB∆

= ; de donde:

sen(AB) ABYYY AB AB =−=∆ (2)

Conocidas las coordenadas del punto A se obtienen las de B:

sen(AB) ABY YYY

cos(AB) ABXXXX

A AB AB

A AB AB

+=∆+=

+=∆+= (3)

Las (1), (2) y (3) son las fórmulas fundamentales no solamente del cálculo de coordenadas sino de laTopografía práctica, en las que están basadas la mayor parte de las determinaciones de nuevos puntos en

el sistema de coordenadas.

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CARTESIANAS RECTANGULARES A POLARES

Dados A y B, dos puntos que tienen por coordenadas BB A A y,X,Y,X referidos a un sistema de ejes

coordenados ortogonales retrógrados OX, OY, encontrar el rumbo (AB) y l (longitud del lado AB).

Dividiendo (2) en (1):

AB

AB

AB

AB

X-X

Y-Y

X

Y (AB) tg =

∆

∆= (4)

Elevando al cuadrado (1) y (2), sumando y sacando raíz cuadrada:2

AB2

AB )Y()X( ABl ∆+∆== (5)

De las fórmulas (4) y (5) se deduce que:

(AB)sendeSignoYde Signo

(AB)cosdeSignoXde Signo

=∆

=∆

pues AB es siempre (+) por ser una distancia. Con esto último se elimina la ambigüedad que presenta la

(4) respecto del cuadrante correspondiente al rumbo (AB).

Llamando rumbo de cálculo Rc (el valor que nos da la máquina de calcular, que varía de –90º a +90º), al

rumbo verdadero Rv reducido al primer cuadrante, las relaciones entre ellos son las siguientes.

A

B

C

X

YO

Y A YB

X A

XB

∆X AB(AB)

A B

∆Y AB





Rv=Rc

X

YRv

Rc

Rv

Rc

Rv

Rc

X

XX

Y

YY

Primer cuadrante Segundo cuadrante

Tercer cuadrante Cuarto cuadrante

Rv=Rc+180º

Rv=Rc+180º

Rv=Rc+360º

EJEMPLOS NUMÉRICOS

1) Dadas las coordenadas rectangulares de dos puntos A y B, expresar la especificación polar del vector

AB

Punto X Y

A -17.4231 -1.2132

B -18.2191 116.4130

117.6262(-1.2132)-116.4130Y-Y -0.7960(-17.4231)-18.2191-X-X

ABAB

ABAB

===∆===∆

Y X

771608.1477960.0

6262.117

X-X

Y-Y (AB)

AB

AB

AB

AB −=−

==∆

∆=

X

Y tg ( segundo cuadrante )

Luego: (AB) = 90º 23´ 16”

(La máquina de calcular arrojó un resultado –89º 36’ 44”, pero como el rumbo pertenece al 2º cuadrante

debe sumársele 180º)

55654.13836)6262.117()7960.0()()(AB 2222 =+−=∆+∆= AB AB Y X

63.117= AB m





2) Conocido el rumbo de la dirección 12 y la distancia, dadas las coordenadas del punto 1 determinar las

del punto 2.

X Y

1 -17.4231 -1.2132

(12) 90º 23’ 16”

12 117.63

116.4141msen(12)117.63-1.2132sen(12) 12YYYY

m-18.2192cos(12)117.63-17.4231cos(12) 12XXXX

11212

11212

=+=+=∆+=

=+=+=∆+=

3) Determinar los rumbos de los lados BC, CD y DE, dado el rumbo del lado AB y los ángulos medidos

260º

100º

230º

A

X

Y

65º B

C

D

E

º115º360º475)(º475º230º180º65ˆº180)()(

º65º360º425)(º425º100º180º145ˆº180)()(

º145º360º505)(º505º260º180º65ˆº180)()(

=−=⇒=++=++=

=−=⇒=++=++=

=−=⇒=++=++=

CD D DC DE

CDC BC CD

BC B AB BC

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Dado el rumbo (AB) = 20º, determinar los rumbos (BC), (BD), (DE), (EF), (FG).

C

A

BD

EF

G

85º

130º

230º

100º





2) Conocidas las coordenadas de los puntos, determine los siguientes rumbos y distancias: (12), (23),

(34), (45), (56), (61), d 1-5 y d 3-6.

PUNTO X Y

1 20 14

2 20 503 42 74

4 68 68

5 76 37

6 45 14

3) Se tienen dos puntos cuyas coordenadas se conocen:

PUNTO X Y

1 453.628 1248.600

2 -55.106 2700.911

Calcular la distancia BD y el rumbo (BD)

B A

1 2

C

D

Datos:

DISTANCIAS

BA 629.09 m

1A 158.61 m

2C 91.56 m

CD 203.12 m

ANGULOS

A 95º 20’ 48”1 300º 50’ 00”

2 144º 10’ 35”

C 210º 10’ 40”

sistema general de coordenadas rectangulares

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