Sistema de numeracin decimal

Elsistema de numeracin decimal, tambin llamadosistema decimal, es unsistema de numeracinposicionalen el que lascantidadesse representan utilizando comobase aritmticalaspotenciasdel nmerodiez. El conjunto de smbolos utilizado (sistema de numeracin arbiga)se compone de diezcifras:cero(0) -uno(1) -dos(2) -tres(3) -cuatro(4) -cinco(5) -seis(6) -siete(7) -ocho(8) ynueve(9).

Notacin decimal

Al serposicional, el sistema decimal es un sistema de numeracin en el cual el valor de cada dgito depende de su posicin dentro del nmero. Al primero corresponde el lugar de las unidades, el dgito se multiplica por(es decir 1); el siguiente lasdecenas(se multiplica por 10);centenas(se multiplica por 100); etc.

Ejemplo:

otro ejemplo:

o tambin:

Se puede extender este mtodo para losdecimales, utilizando las potencias negativas de diez, y unseparador decimalentre la parte entera y la parte fraccionaria.

Ejemplo:

o tambin:

El sistema de numeracin romano es decimal, perono-posicional:

.

Numeracin romana

El sistema denumeracin romanaes unsistema de numeracinnoposicionalque se desarroll en laAntigua Romay se utiliz en todo el Imperio romano.Este sistema emplea algunas letras maysculas como smbolos para representar ciertos nmeros, la mayor parte de nmeros se escriben como combinaciones de letras. Por ejemplo, el ao2015se escribe comoMMXV, donde cadaMrepresenta 1000, laXrepresenta 10 ms yVrepresenta cinco unidades ms.

SmbolosLa siguiente tabla muestra los smbolos vlidos en el sistema de los nmeros romanos, y sus equivalencias en el sistema decimal:RomanoDecimalNota

I1Unus

V5Quinque.Ves la mitad superior deX; en etrusco.

X10Decem

L50Quinquaginta

C100Letra inicial de Centum.

D500Quingenti.D, es la mitad de laPhi.

M1000Mille. Originalmente era la letraPhi.

Notacin modernaLos romanos desconocan elcero, introducido posteriormente por losrabes, as que no existe ningn smbolo en el sistema de numeracin romano que represente el valor cero.Los mltiples smbolos pueden ser combinados para producir cantidades entre estos valores, siguiendo ciertas reglas en la repeticin. En los casos en que sea ms pequeo, se permite a veces colocar un valor menor (sustrayendo), el smbolo con un valor menor colocado antes que un valor ms alto, de manera que, por ejemplo, se puede escribirIVoivpara cuatro, en lugar deIIII. As, tenemos que los nmeros no asignados a un smbolo se crean haciendo combinaciones como las siguientes:

Romano maysculasRomano minsculasNominacin

IIiidos

IIIiiitres

IVivcuatro

VIviseis

VIIviisiete

VIIIviiiocho

IXixnueve

XXXIIxxxiitreinta y dos

XLVxlvcuarenta y cinco

Para nmeros con valores igual o superiores a 4000, se coloca una lnea horizontal por encima del nmero, para indicar que la base de la multiplicacin es por 1000:Romano (miles)DecimalNominacin

V5000cinco mil

X10000diez mil

L50000cincuenta mil

C100000cien mil

D500000quinientos mil

M1000000un milln

No existe formato para nmeros con un valor de mayor envergadura, por lo que a veces se utiliza una doble barra o una barra de subrayado para indicar que la multiplicacin se realiza por un milln. Como ejemplo, para mostrar un valor de diez millones se hara lo siguiente: (X)Comosistema de numeracin, el inventario de signos esy el conjunto dereglaspodra especificarse como: Como regla general, los smbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor. El valor de un nmero se obtiene sumando los valores de los smbolos que lo componen, salvo en la siguiente excepcin. Si un smbolo de tipo 1 est a la izquierda inmediata de otro de mayor valor, se resta al valor del segundo el valor del primero. Ej.IV=4,IX=9. Los smbolos de tipo 5 siempre suman y no pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor. Se permiten a lo sumo tres repeticiones consecutivas del mismo smbolo de tipo 1. No se permite la repeticin de una misma letra de tipo 5, su duplicado es una letra de tipo 10. Si un smbolo de tipo 1 aparece restando, slo puede aparecer a su derecha un slo smbolo de mayor valor. Si un smbolo de tipo 1 que aparece restando se repite, slo se permite que su repeticin est colocada a su derecha y que no sea adyacente al smbolo que resta. Slo se admite la resta de un smbolo de tipo 1 sobre el inmediato mayor de tipo 1 o de tipo 5. Ejemplos: el smboloIslo puede restar aVy aX. el smboloXslo resta aLy aC. el smboloCslo resta aDy aM. Se permite que dos smbolos distintos aparezcan restando si no son adyacentes.No siempre se respetan estas reglas. En algunas inscripciones, o en relojes, apareceIIIIen lugar deIVpara indicar el valor 4.A continuacin aparecen algunos ejemplos de nmeros no-vlidos en el sistema de numeracin romano, y la regla que incumplen.ErrneaCorrectaValorMotivo

VLXLV45Letra de tipo 5 restando

LDCDL450Letra de tipo 5 restando

IIIIIV4Ms de tres repeticiones de letra tipo 1

VIVIX9Repeticin de letra de tipo 5

XXXXXL40Ms de tres repeticiones de letra tipo 1

LXLXC90Repeticin de letra de tipo 5

CCCCCD400Ms de tres repeticiones de letra tipo 1

DCDCM900Repeticin de letra de tipo 5

IXXXIX19Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor

XCCCXC190Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor

CMMMCM1900Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor

IXVIXV15Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor

XCLXCL150Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor

CMDCMD1500Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor

IVIV5Letra restando y su repeticin adyacente al smbolo que resta

XLXL50Letra restando y su repeticin adyacente al smbolo que resta

CDCD500Letra restando y su repeticin adyacente al smbolo que resta

IIVIII3Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda

XXLXXX30Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda

CCDCCC300Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda

ICXCIX99LetraIrestando aC

IMCMXCIX999LetraIrestando aM

XMCMXC990LetraXrestando aM

XILXLI41LetrasIyXadyacentes y restando

IXLXXXIX39LetrasIyXadyacentes y restando

CXDCDX410LetrasXyCadyacentes y restando

XCDCCCXC390LetrasXyCadyacentes y restando

Fracciones

Una monedatriens(1/3 o 4/12 de unas). Los cuatro puntos indican su valor.

Una monedasemis(1/2 o 6/12 de unas). La letraSindica su valor.Aunque los romanos empleaban unsistema decimalde numeracin para losnmeros enterosque reflejaba la forma de contar enlatn, para lasfraccionesempleaban unsistema duodecimal. Un sistema basado en doceavos(12 = 3 2 2)permite manejar fracciones comunes como 1/3 y 1/4 con mayor facilidad que un sistema basado en dcimos(10 = 2 5). Muchas monedas romanas, cuyo valor era una fraccin duodecimal de la unidad, mostraban una notacin basada en mitades y doceavos. Un punto indicaba unauncia"doceavo", el origen etimolgico de la palabraonza; y los puntos se concatenaban para representar fracciones de hasta cinco doceavos. Seis doceavos (un medio) se abreviaban con la letraSporsemis"mitad". Para fracciones entre siete y once doceavos se aadan puntosunciade la misma forma que se aaden trazos verticales a la V para indicar nmeros enteros entre seis y nueve.Cada una de estas fracciones tena un nombre que era el mismo que el de la moneda correspondiente por ejemplo:FraccinNumeral RomanoNombre (nominativo y genitivo)Significado

1/12uncia, unciae"onza"

2/12 = 1/6 o:sextans, sextantis"sexto"

3/12 = 1/4 oquadrans, quadrantis"cuarto"

4/12 = 1/3 o::triens, trientis"tercio"

5/12 o::quincunx, quincuncis"cinco onzas" (quinque unciaequincunx)

6/12 = 1/2Ssemis, semissis"mitad"

7/12Sseptunx, septuncis"siete onzas" (septem unciaeseptunx)

8/12 = 2/3S o S:bes, bessis"doble" (se entiende "el doble de un tercio")

9/12 = 3/4S o S:dodrans, dodrantisononuncium, nonuncii"menos un cuarto" (de-quadransdodrans)o"novena onza" (nona uncianonuncium)

10/12 = 5/6S o S::dextans, dextantisodecunx, decuncis"menos un sexto" (de-sextansdextans)o"diez onzas" (decem unciaedecunx)

11/12S o S::deunx, deuncis"menos una onza" (de-unciadeunx)

12/12 = 1Ias, assis"unidad"

La disposicin de los puntos era variable y no necesariamente lineal. La figura formada por cinco puntos dispuestos como en la cara de undado(::) se denominaquincuncepor el nombre de la fraccin y moneda romana. Las palabras latinassextansyquadransson el origen de las palabrassextanteycuadrante.Estas son otras fracciones romanas 1/8sescuncia, sescunciae(porsesqui-+uncia, es decir, 1 uncias), representada por la secuencia del smbolo de la semuncia y el de la uncia. 1/24semuncia, semunciae(porsemi-+uncia, es decir, uncia), representada por una variedad de glifos derivados de la letra griegasigma. Hay una variante que se parece al smbolo de la librapero sin la barra horizontal, y otra que se parece a la letra cirlica. 1/36binae sextulae, binarum sextularum("dos sextulas") oduella, duellae, representada por , es decir, dos letras S invertidas. 1/48sicilicus, sicilici, representado por, una C invertida. 1/72sextula, sextulae(1/6 de uncia), representada por, una S invertida. 1/144dimidia sextula, dimidiae sextulae("media sextula"), representada por, una S invertida y tachada por una lnea horizontal. 1/288scripulum, scripuli(unescrpulo), representado por el smbolo. 1/1728siliqua, siliquae, representada por un smbolo similar a unas comillas latinas de cierre,.EjemplosA continuacin se muestran varios ejemplos de numerales romanos, y sus equivalencias decimales:RomanaDecimal

I1

II2

III3

IV4

V5

VI6

VII7

VIII8

IX9

X10

XI11

XII12

XX20

XXX30

XL40

L50

LX60

LXX70

LXXX80

XC90

LXIX69

CDL450

DCLXVI666

CMXCIX999

MCDXLIV1444

MMVIII2008

MMIX2009

MMXI2011

MMXII2012

MMXIII2013

MMXIV2014

MMXV2015

MMXVI2016

XVDX15510

Aritmtica con numeracin romana

Todas las operaciones aritmticas realizadas con numeracin romana, al tratarse de un caso particular de numeracin entera, pueden ser descompuestas en sumas y restas.

Suma

CXVI+XXIV= 140PasoDescripcinEjemplo

1Eliminar la notacin substractivaIVIIII

2Concatenar los trminosCXVI+XXIIIICXVIXXIIII

3Ordenar los numerales de mayor a menorCXVIXXIIIICXXXVIIIII

4Simplificar el resultado reduciendo smbolosIIIIIV;VVX;CXXXVIIIIICXXXX

5Aadir notacin substractivaXXXXXL

6SolucinCXL

Solucin:CXVI+XXIV=CXLEl primer paso decodifica los datos posicionales en una notacin nica, lo que facilita la tarea aritmtica. Con ello, el segundo paso, al tener una notacin nicamente aditiva puede entrar en funcionamiento. Tras eso, es necesaria una reordenacin, pues los dos sumandos mantienen sus ordenaciones respectivas, lo que no es problema al no estar presente anotacin substractiva. Una vez reordenados los smbolos, se agrupan y se introduce de nuevo la notacin substractiva, aplicando las reglas de numeracin romana.

RestaCXVIXXIV= 92PasoDescripcinEjemplo

1Eliminar la notacin substractivaIVIIII

2Eliminar los numerales comunes entre los trminosCXVIXXIIIICVXIII

3Expandir los numerales del primer trmino hasta que aparezcan elementos del segundo.CVXIIILLIIIIIXIIILXXXXXIIIIIXIII

4Repetir los pasos 2 y 3 hasta que el segundo trmino quede vacoLXXXXXIIIIIXIIILXXXXII

5Aadir notacin substractivaLXXXXIIXCII

6SolucinXCII

Solucin:CXVIXXIV=XCII

Numeracin egipciaElsistema de numeracin egipciopermita representarnmeros, desde el uno hasta millones, desde el inicio del uso de la escritura jeroglificos. A principios del tercer milenio a.C. los egipcios disponan del primer sistema desarrolladodecimal(numeracin de base 10). Aunque no era un sistemaposicional, permita el uso de grandes nmeros y tambin describir pequeas cantidades en forma de fracciones unitarias: las fracciones delOjo de Horus. Las cantidades se representaban de una forma muy larga. ste es uno de los sistemas de numeracin ms antiguos.Escritura de los nmerosEn elAntiguo Egiptose podan representar las cifras con nmeros o palabras (fonticamente): como "30" o "treinta".La representacin fontica del nmero "treinta" sera:

mb(maab)mientras que la expresin numrica de "30" era:

Sin embargo, no era muy comn representarlos mediante sus nombres, con la excepcin de los nmerosunoydos.Los siguientes signos jeroglficos eran usados para representar las diferentes potencias de diez en la escritura de izquierda a derecha.Valor1101001.00010.000100.0001milln, oinfinito

Jeroglfico

o

DescripcinBaston.Asa o herradura invertida.Cuerda enrollada en espiral.Flor de loto.Dedo.Renacuajoorana.Heh: hombre arrodillado con las manos levantadas.

Los dems valores se expresaban con la repeticin del smbolo, el nmero de veces que fuera necesario. Por ejemplo, elbajorrelievedeKarnak, que habla del botn deThutmose III(siglo XVa.C.) (Museo del Louvre, Pars), muestra el nmero 4622 como:

Est escrito de izquierda a derecha y de arriba a abajo pero en el grabado original en piedra estn de derecha a izquierda y los signos estn invertidos (los signos jeroglficos podan ser escritos en ambas direcciones, de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, incluso verticalmente).

Nombres de las cifrasLas cifras egipcias tienen los siguientes nombres.Nombres de las cifras enjeroglficosTransliteracinTranscripcinValor

wua1

snwsenu2

mtjemet3

()

()fdwfedu4

d()wdiu5

sw,sswosrswsisu6

sfwsefeju7

mnwjemenu8

pspesedyu9

El ceroEn elPapiro Boulaq 18, datado en ladinasta XIII, hay un smbolo para elcero: el trminonfr, segn Lumpkin.1El escriba utiliza el signohierticonfrque en escriturajeroglficaes

.Nmeros ordinalesPara escribir unnmero ordinal, los egipcios utilizaron tres formas diferentes:Indicaban el nmero ordinal:primero, mediante el jeroglficotpy

Para escribir los nmeros ordinales:segundoanoveno, usaban los nmeros cardinales, aadiendo el sufijonu:

Los nmeros ordinalesdcimoen adelante, se indicaban mediante el participio del verbo llenar:mt