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PROBLEMAS DE ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD HIDRAULICA


01.- Establecer dimensionalmente la expresión

Solución:

Tº Fº L-2 = K(F. T. L-2) a. (L. T -1) b. L c

Remplazando:

HIDRAULICA RH-441 Página 1


02.- Establecer la ecuación del numero de froude al ser este función de la velocidad V, la aceleración de la gravedad g, y de la longitud L.

De donde:

0 = a + b + c

0 = -a – 2b

a = -2c

b = c

03.- Establecer la ecuación del numero de weber si es función de la velocidad V, la densidad ρ, de la longitud L y de la tensión superficial σ.

De donde:

0 = a – 3b + c



0 = -a – 2d

0 = b + d

Reemplazando:

04.- Obtener una expresión que de el coeficiente de fricción f si se sabe que depende del diámetro de la tubería d, de la velocidad media V, de la densisdad del fluido ρ, de la viscosidad del fluido µ, y de la rugosidad absoluta del fluido ε. Utilizar el teorema de pi de buckngham..

Solución:

ƒ( d, v, ρ,µ,k) = 0

d= L

V= LT-1

ρ= FT2 L-4

µ= FTL-2

K= є/d

π1 : (La ) (Lb T -b) (F cT2c L-4c )(F T L-2 )

a+b-4c = 0 ; -b+2c+1 = 0 ; c+1 = 0

a = -1 b =-1 c =-1

π1 =L-1 *V-1 *ρ-1 *µ = = = RE

π2 : (La ) (Lb T -b) (F cT2c L-4c ) (ƒ)

a+b-4c = 0 ; -b+2c = 0 ; c = 0

a = 0 b = 0

π2 = ƒ



π3 : L 1/L2 = k = є/d

ƒ =φ (RE, є/d)

05.- Determine la escala de la velocidad, gasto y fuerza, para un modelo construido a escala l =100 de una obra de excedencias que descargara un gasto de 10000 m3/s

Hallando velocidad de relación:

Hallando relación de fuerzas:



Reemplazando:

06.- Un barco cuyo casco tiene una longitud de 140m, ha de moverse a 7.77m/seg. ¿A qué velocidad debe remolcarse en agua un modelo construido a una escala de 1:30?

1) Solución:

Datos: Prototipo Modelo E=1:30

L= 140m V=?

V=7.77m/s

Como Intervienen fuerzas viscosas, entonces por número de reynolds:

Vm= ; r =1

Vm=7.77

07.- Se ha construido un modelo de torpedo a escala 1:4, se espera que el prototipo se mueva a una velocidad de 7 m/seg., en agua a 15º. Se pide:a) Cual debe ser la velocidad en el modelo, si el ensayo se hace en un canal de corriente a 15ºC?.Solución:



Escala=Lr=1:4

Vp=7m/s

T0=150C

Vm=?

Solución

Aplicando Nº de froude

Elevando al cuadrado

=

Elevando al cuadrado

Remplazando valores

PROBLEMAS DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO



01.- Una tubería de diámetro interior de 0.76m, presenta una bifurcación en dos ramas 2 y 3 que tienen una llave. La carga es de 130m de agua. La tubería está anclada en una masa de concreto. Calcular en magnitud y posición de las

fuerzas sobre la masa de anclaje.

a) Si las llaves 2 y 3 están cerradas.b) Si la llave 3 está cerrada y si fluye un caudal de 4.8m3/s, por la llave2.c) Si las llaves están abiertas con un caudal de 4.8 m3/s en el tramo 2 y de

0.62 m3/s en el 3.

Solución:

Considerando que la carga este inmediato detrás del punto 1 se tiene:

a) Si las llaves 2 y 3 están cerradas entonces en estos puntos (1, 2 y 3) la presión será igual a la carga (H=130m) por estar al mismo nivel debido a que se encuentran en un plano horizontal, como también las velocidades son nulos ya que no hay movimiento; entonces en estas condiciones no hay ninguna fuerza que actúa sobre la masa de anclaje.

b) Si la llave 3 está cerrada y si fluye un caudal de 4.8m3/s, por la llave2.

,

Bernoulli entre 1 y 2:



Aplicando impulso y cantidad de movimiento:

c) Si las llaves están abiertas con un caudal de 4.8 m3/s en el tramo 2 y de 0.62 m3/s en el 3. Por continuidad:

,

Bernoulli entre 1y 2:

Bernoulli entre 1y 3:



Aplicando impulso y cantidad de movimiento al sistema:

02.-empleando la ecuación la ecuación de la energía especifica y la ecuación de impulso momento.

Demostrar que en un canal rectangular la perdida de energicen un tiempo corto es igual a: E = ( V1 - V2 )2 - ( h1

2 - h2

2 ) 2

2g 2 h2

Bernoulli entre 1 y 2

Z1 + P1 + V12 = Z2 + P2 + V2

2 + hf 1-2

2 ال g 2 ال g

h1 + P1 + V12 = h2 + P2 + V2

2 + E



2 ال g 2 ال g

E = V12 - V2

2 + h1 – h2

2g 2g

E = V12 - V2

2 + 2h1h2 – 2h22 ------------- 1

2g 2g 2h2 2h2

La presión que actúa en el área A es el promedio de todas las presiones que ejerce en esa sección, entonces:

P = ال h

2

Por impulso y cantidad de movimiento

F1 – F2 = ال Q (V2 – V1)

2

h2 B = (V2 h2 B) (V2 – V1) ال - h1 B ال

2 2 g

h12 - h2

2 = (V2 h2) (V2 – V1)

2 2 g

h12 - h2

2 = 2 V2 h2 (V2 – V1)

g

Dividiendo entre (2h2)

h12 - h2

2 = 2 V2 h2 (V2 – V1)

2h2 2h2 (2h2)g

h12 - h2

2 = 2 V2 (V2 – V1)

2h2 2h2 2 g

h12 - h2

2 =2 V22

– V1 V 2



2h2 2h2 2 g 2 g

Sumando ecuación I y II

E + ( h12 - h2

2 ) = V12 - V2

2 + 2h1h2 – 2h22 (2 V2

2 – V1 V 2)

2h2 2h2 2g 2g 2h2 2h2 0.0705 oz 2 g

E = V12 - V2

2 + 2h1h2 - 2h22 + 2V2

2 - V22 – V1 V 2) - h1

2 + h2

2g 2g 2h2 2 h2 2g 2h2 2 g 2 h2 2 h2

E = V12 - V2

2 + - 2h22 – 2 V1 V 2 – h1

2

2g 2g 2h2 2 h2 2g 2 h2

Ordenando en producto notable

E = ( V12 - 2 V1 V 2 + V2

2 ) - ( h12

+ 2h1h2 + h22 )

2g 2g 2g 2 h2 2 h2 2 h2

E = ( V1 - V2 )2 - ( h12 -

h22 ) 2

2g 2 h2 l.q.q.d

03.- un chorro de agua de 50 mm de diámetro y 20 m/seg, de velocidad choca con un alabe en forma de cuchara que es de una semiesfera de radio de 180 mm, fija a una rueda. El eje del chorro coincide con el eje de la cuchara.

a) La fuerza ejercida por el chorro sobre la cuchara cuando esta está fija.

b) Cuando la cuchara se mueve en la misma dirección del chorro con velocidad de 7 m/seg.

c) Cuando hay una serie de cucharas en vez de una.

d) Potencia desarrollada por el chorro en los dos últimos casos.

e) Rendimiento en los dos últimos casos.

Solución:

a) La fuerza ejercida por el chorro sobre la cuchara cuando esta está fija.

Radio del alabe = 180 mm = 0.18 m = R



Por continuidad

Q = V * A

Q = 20 π (0.05)2

4

Q = 0.039 m3/seg

Por cantidad de movimiento

= Q (v2 – v1 )

g

- Fx = 1000(0.039)(0 - 20)

9.81

b) Cuando la cuchara se mueve en la misma dirección del chorro con velocidad de 7 m/seg.

Vreal = Vchorro – Vplc

= 20 – 7

= 13 m/seg

Q = V * A

Q = 13 π (0.05)2

4

Por cantidad de movimiento


Fx = 80 kg

Q = 0.0255 m3/seg


= Q (v2 – v1 )

g

- Fx = 1000(0.0255)(0 - 20)

9.81

d) Potencia desarrollada por el chorro en los dos últimos casos.

H = 0.18m

Q = V * A

Q = 20 π (0.05)2

4

Caso I

Pot HP = 1000 * 0.39 * 0.18 = 0.092 HP

76

Caso II

Q = 0.055

H = 0.18

Pot HP = 1000*(0.0855) = 0.0605 HP

76


Fx = 52.04 kg

Pot HP = Q H

76 n

Q = 0.039 m3/seg


05.-En la figura suponer que Ө=120º que el chorro es de agua con una velocidad de 30m/s y que el diámetro del chorro es de 50mm. Si se desdeña la perdida por fricción Determinar.

a) La componente de la fuerza en la dirección del chorro

b) La componente de la fuerza normal

c) La magnitud y la dirección de la fuerza resultante sobre el cuerpo

Solución:

a)

b)

c)

06.-del problema anterior suponiendo que la fricción es tal que V2 se reduce en 24m/s:



07.- Suponer que el chorro del problema 4 choca perpendicularmente contra una gran placa plana. ¿Cuál será la fuerza dinámica sobre la placa?

08.-Un chorro de agua de 100 mm de diámetro y 10m/seg, de velocidad choca con una placa que se mantiene normal al eje del chorro.

Calcular:

a. La fuerza normal a la placa ejercida por el chorro, si la placa se mueve con una velocidad de 7m/seg.

b. La fuerza normal de la placa ejercida por el chorro si en vez de una placa hubiera una serie de placas dispuestas de manera que cada una pasase sucesivamente en frente del chorro, en la misma posición, moviéndose siempre con la velocidad de 7m/seg.

Solución

a)



1).- Hallando la velocidad real

Vr = Vchorro – Vplaca

= 10 – 7

Vr = 3 m/s

2).- hallando el caudal

Q = Vr . A

Q = 0.0000589 m3/s

- Por impulso y cantidad de movimiento

Fx = 0.019 Kg

Fx = 0.19 N

b)



La fuerza normal calculada para una sola placa que fue de F = 0.19 N será la misma para las placas sucesivas.

09.- Una tubería de 200 mm, termina en una tobera que produce un chorro de agua

de 70mm de diámetro. El chorro descarga en el aire. Un manómetro conectado en la

tubería marca una presión de 7 atmósferas y la velocidad del agua en la tubería es

de 3m/seg. ¿Calcular la fuerza axial que se ejerce sobre la tobera?

P1 = 7 atm.

V1=3m/seg

Fp1 Fp2 P2=0

D1 = 200 mm = 0.2 m D2 = 70mm = 0.07m

P1 = 7 amt = 22

/231.71

/033.1cmjg

atm

cmKg

Por la ecuación de Bernuolli entre 1 y 2

2

22

2

2

3

2

22

2

2

22

21

81.9281.92

)/3(

1000

1

100231.7

02

2

2

1

seg

mx

V

seg

mx

segm

cm

kgm

cmx

cm

kg

Pg

VP

g

VP

72.31 m + 0.458716m = 2

22

62.19seg

mV

segmVVseg

m

Vmxseg

m

/7352.3772223.1427

768716.7262.19

222

2

222



segmQm

xsefmQ

AxVQ

/0942.04

)2.0(/3 3

2

2

FP1 = P x A

00

.6856.22714

)2.0(/2310.7

22

1

22

1

PF

kgFm

xmkgF

P

PP

Por la ecuación de Impulso y cantidad de movimiento:

.66.1937

6856.227102302.334

/)37852.37(/0942.0/81.90

/1000

)(

32

3

1

12

kgFx

kgkgFx

segmxsegmxsegm

mKgFxF

VVQg

Fx

P

10.- Una tubería de 0.30m de diámetro contiene agua, que se mueve a una velocidad

de 3m/seg. ¿Qué cantidad de energía pasa por el segundo por una sección donde la

presión es de 1.4 kg/cm2?

Q 1 2

D = 0.30 m

Vi=3 m/seg

22

222

1 /140001

100/4.1 mkg

m

cmxcmkgP

m

mm

segm

segm

mkg

mkg

Zg

VP

46.14

4587156.014

/)81.9(2

)/3(

/1000

/14000

2

1E

1

1

2

2

3

2

1

1

21

1



11.- Una tubería de 20 cm de diámetro contiene una corta sección en el cual el

diámetro se reduce gradualmente a 0.075 m, volviéndose a ensanchar gradualmente

a su diámetro normal, si la presión de agua es de 5.7 kg/cm2 en el punto entre que

se inicie la reducción ¿Cuál será la presión en el zona estrecha, si pasan 35l/seg. Se

supone que no hay pérdida de carga?

Q (1)

P1 (2)

D2=20 cm = 0.20 m D2 = 0.075 m

P1 = 3.7 k,/cm2 = 57000 kg/m2 P2 = ?

segmseg

ltsQ /035.035 3

segmVm

segm

A

QV

segmVm

segm

A

QV

xAVQ

/92238.7

4

)075.0(

/035.0

/11408.1

4

)2.0(

/035.0

22

3

22

12

3

11

1

Por el principio de Bernoulli entre 1 y 2.



22

2

2

32

2

3

2

2

22

1

21

/2746.53864

81.92

)/92238.7(

1000

2

81.92

)/11408.1(

1000

57000

2

2

2

1

mkgP

seg

mx

segm

m

kgP

seg

mx

segm

m

kgm

kg

Zg

VPZ

g

VP

12.- Una tubería de 0.30m de diámetro tiene un gasto de 0.157 m3/seg en una

sección A de la tubería la presión es de 2.7 kg/cm2 mientras que en la sección B,

situada en un punto de la tubería 2.40m, más bajo que A, la presión es de 3kg/cm 2

¿Calcular perdida de carga entre A y B?

Q

A

2.4m

B

DA = 0.10 m

Q = 0.157 m3/seg

_ EMBED Equation.3 ___


Hallando perdida de carga por el principio de Bernoulli:


13.- Una tubería de 0.48m de diámetro se reduce mediante una transmisión a una

tubería de 0.30m de diámetro. El flujo que circula es aceite, la densidad =800 kg/m3 y

una presión de entrada de 3 x 105 kg/m2. Despreciando las pérdidas de carga. Hallar



la fuerza que ejerce el fluido contra la reducción para un gasto e 1m 3/seg. El

mecanismo es coplanar.

P1 = 7 atm.

V1=3m/seg

Fp1 Fp2 P2=0

Q=1m3/seg

Fx

Fp1 FP1

P1

Fx

D1 = 0.48m D2 = 0.30 m

0

/800 3

hf

mkgaceite

P1 ₧ 30612.2449 kg!m‘

Hallando velocidades:

segmVm

segm

A

QV

segmVm

segm

A

QV

xAVQ

/1471.14

4

)3.0(

/1

/526213.5

4

)48.0(

/1

22

3

2

12

3

1

1

Hallando P2 por el principio de Bernoulli



22

3

2

2

2

3

2

2

2

3

2

222

211

784.23696

20084.10800

55652.12653.38

81.92

)/1471.14(

80081.92

)/5262.5(

800

2449.30612

22

m

kgP

m

m

kgP

mm

seg

mx

segm

m

kgP

seg

mx

segm

m

kgm

kg

g

VP

g

VP

.0269.16754

)35.0(789.23696

.4613.55394

)48.0(2449.30612

2

222

2

111

kgxAxPF

kgxAxPF

P

P

.40.3161

0269.16754613.55390295.703

/)5262.51471.14(/1/81.90

/800

)(

32

3

21

12

kgFx

kgkgkgFx

segmxsegmxsegm

mKgFxFF

VVQg

Fx

PP

14.- Un reductor tiene aguas arriba un diámetro de 0.42m y aguas abajo un

diámetro de 0.30m. El líquido que circula es agua con gasto de 0.5m3/seg. La

presión de entrada es de 1.6 x 105 N/m2. Despreciando las pérdidas de carga.

Calcular la fuerza ejercida por el fluido.

Solución:

D1 0.42m

D2 0.30m

Q 0.5m3/seg

P1 1.6x105N/m2 x 1kg/9.81N 16309.888



Bernoulli en 1 y 2

15.- Un chorro de agua de 0.05m de diámetro que sale con una velocidad de

5m/seg, choca contra una placa plana inclinada de 30 grados con la horizontal. Si la

placa se desplaza con una velocidad de 5m/seg con la direcciçon normal a su



superficie Calcular la fuerza normal que se ejerce contra la placa. El sistema esta al

aire libre.

Solución:

16. Determinar el caudal en una tubería de 30 cm de diámetro si la ecuación de la distribución de velocidades v2 = 70(y – y2), con el origen de distancias en la pared de la tubería.



Solución

dQ = v * dA ……….. (1)

dA = dy {2π(R - y)}

dA 2π(R – Y)dy ...... (2)

(2) en (1)

dQ = v {2π(R – Y) dy}

Dq =

Q = 2π√70 (2.247*10-3)

Q = 0.1184 m3/s

Q = 118.14 lt/seg

DEFINIR:

- Coeficiente de bussinesq

El cálculo de la cantidad de movimiento de una corriente también se ve afectada por la

distribución de velocidades. El valor de la cantidad de movimiento obtenido para toda la

sección transversal a partir de la velocidad media, debe corregirse por medio de un

coeficiente que generalmente se designa con la letra y que recibe el nombre de

coeficiente de bussinesq o coeficiente de la cantidad de movimiento.


= V 2 hdA

V2A


2) En un mismo conducto se tiene dos tipos de flujo, uno laminar y el otro

turbulento; en cuál de ellos será mayor el coeficiente (alfa) y por qué?

- A medida que el grado de turbulencia es mayor, o sea para el numero de

Reinoldg altas, la distribución de velocidades se hace más uniforme y es más

cierto la suposición de que = 1 = .

- En el flujo laminar, dado el fuerte gradiente de velocidades el valor de es

grande.

En flujo laminar es mayor que en un flujo turbulento.

3). En un flujo en canales. Podría ser la velocidad media, ser mayor que la

velocidad máxima en una vertical. Por qué?

- Como podemos observar, en un canal se da que la velocidad máxima siempre

será mayor que la velocidad media, esto debido a que la velocidad máxima se da

en la superficie y a medida que se profundiza dicha velocidad se reduce como

podemos ver en la figura.

4) En un flujo en tubería, podría la velocidad media, ser mayor que la velocidad

máxima en una sección por qué?

La velocidad máxima es mayor que la velocidad media y se da dicha Vmáx. En el eje y la

velocidad mínima se da en el contorno de la tubería, esto se debe a que existe en dichos

paredes de la tubería rugosidad, la dirección del movimiento (tubo).


rugosidad

superficie

Canal

Vh

h

Tubería

h = D/2


05.-Defina el coeficiente de Coriolis , de la carga de velocidad. ¿Qué significado

tiene al decir , vale 1.5 en determinado flujo?, ¿Cuáles son los valores límites de

y porqué?

Coeficiente de Coriolis ( )

Sabemos que Bernoulli es constante a lo largo de una línea de corriente, el cual en

cada línea tiene un valor de velocidad que es Vh y la energía cinética

correspondiente = Vh2/2g, del que habría que tomarse el promedio de los valores.

Como esto es difícil de hacer en la práctica, se busca una equivalencia, o una

aproximación, mediante el cálculo de la energía que corresponde a la velocidad

media.

Evidentemente que esto no es exacto, por cuanto no es lo mismo el promedio

de los cuadrado, que el cuadrado promedio. De acá que el valor de la energía para

toda la sección transversal, obtenida con la velocidad media, debe corregirse por

medio de un coeficiente que generalmente se designa con la letra (coeficiente de

coriolis o coeficiente de energía).

Para calcular el valor de pensemos en un tubo de encierre cuya velocidad es Vh,

que tiene una sección transversal dA por el que pasa un fluido cuyos pesos

específicos es x, la energía en general se expresa por:

y aplicando la ecuación de continuidad en el tubo de corriente:

Para el tubo de corriente la energía resulta:

Y la energía de toda la sección transversal se detiene entregando la expresión

anterior:



Si hiciéramos el cálculo aproximado de la energía de toda la sección,

considerando la velocidad media se tiene:

06 Se tiene una distribución triangular y una distribución parabólica de la velocidad en un flujo coplanar. En cuál de ellos será mayor el coeficiente y porque?

Sea la distribución vertical dada por la siguiente ecuación:

El gasto específico para un ancho unitario será:

Reemplazando la velocidad:

El gasto unitario es:

La velocidad media se obtiene dividiendo el gato entre el área.

Si se sabe que:



a. si la distribución es lineal n=1 entonces el coeficiente de Coriolis es

b. si la distribución es parabólica n=2,3,4… entonces el coeficiente de coriolis es:

07. En un conducto vertical cerrado de diámetro uniforme circula agua de arriba hacia abajo; de las tres formas de energía que puede tener un liquido en movimiento. ¿Cual aumenta? ¿Cual disminuye? Y ¿Cuál permanece inalterada, a medida que el líquido desciende?

Solución

La energía gravitatoria disminuye debido a la diferencia de cota y se tiene en el primer caso que la presión es baja a comparación al caso 2, debido a la diferencia de altura.

La energía que permanece inalterado es la altura de velocidad (energía cinética), el cual es constante en un conducto cerrado.



09.- Calcular el coeficiente de coriolis y Bussinesq para un canal rectangular muy ancho cuando la distribución en una vertical de las velocidades es :

a) linealb) parabólica

Solución:

Sea la distribución vertical dada por la siguiente ecuación:

El gasto específico para un ancho unitario será:

Reemplazando la velocidad:

El gato unitario es:

La velocidad media se obtiene dividiendo el gato entre el área.



Si se sabe que:

Si:

c. si la distribución es lineal n=1 entonces el coeficiente de Coriolis y Bussinesq es:

d. si la distribución es parabólica n=2,3,4… entonces el coeficiente de coriolis es:



10.- En una vertical la velocidad se distribuye según se indica en la figura:

Solución:

La vertical se ha dividido en 7 partes no necesariamente iguales para el cual suponemos que la velocidad es constante en cada parte.



Si:

a) determinando el coeficiente de Coriolis:

0.600.800.951.000.950.800.70

2.81.2

1.000.800.600.460.147.00

0.6050.6140.8570.8000.5140.2360.0483.674

Velocidad media:

b) determinando el coeficiente de Bussinesq:

0.600.800.951.000.950.800.70

2.81.2

1.000.800.600.460.147.00

1.0080.7680.9030.8000.5420.2940.0694.384


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