Sesin N 8:

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO T-19-11-2007

Escuela de Ingeniera Civil

Sesin N 9:DERIVADAS DIRECCIONALES, GRADIENTES DE UNA FUNCION

Sea , ya hemos estudiado y definido y como:

Estas derivadas representan las pendientes de las rectas tangentes a la superficie en las direcciones de los ejes e respectivamente, pero ahora surge el problema de determinar la pendiente de la recta tangente en una direccin arbitraria, es por ello que surgen las llamadas Derivadas Direccionales.Definicin: (Derivada Direccional en IR2).- La derivada direccional de en el punto en la direccin del vector unitario , esta dado por:

si el lmite existeNota: Si , y , , entonces se define la derivada direccional:

Ejemplos Explicativos:

1.- Hallar la derivada de en en la direccin que va desde el punto hasta (4,6)2.- Sea , hallar la derivada direccional en el punto en la direccin del vector

3.- Sea , hallar la derivada direccional en el punto en la direccin del vector

NOTA:

1) La derivada direccional mide la razn de cambio de los valores de la funcin con respecto a la distancia en el plano , medida en la direccin del vector unitario .2) La derivada direccional es una generalizacin de las derivadas parciales, ya que:

i) Si , tenemos:

ii) Si , tenemos:

Definicin: Sea y vector unitario, la derivada direccional de en la direccin de , est definida como:

Teorema: Si es una funcin diferenciable de e , entonces la derivada direccional de en el punto y en la direccin del vector unitario , est dada por:

Donde es el ngulo formado por y el eje

Teorema: Si es una funcin diferenciable de e , la derivada direccional de en el punto y en la direccin del vector unitario , est dada por:

Donde son los vectores directores de .Ejemplos:

1.- Calcular la derivada de la funcin en el punto en la direccin del vector que forma un ngulo de 60 con el eje X.2.- Hallar la derivada de la funcin en el punto en la direccin que forma con el eje X un ngulo de 30.

3.- Hallar la derivada de la funcin en el punto en la direccin que forma ngulos de 60, 45 y 60 respectivamente..

PROPIEDADES DE LA DERIVADA DIRECCIONALSean , funciones diferenciables en el conjunto abierto , entonces:1)

2)

3)

GRADIENTE DE UNA FUNCIONDefinicin.- Sea definida en , adems existen , definimos el gradiente de la funcin , como:

Nota:

Si , adems existen , entonces:

PROPIEDADES DEL GRADIENTE DE UNA FUNCIONSean , funciones diferenciables en , entonces:

1)

2)

3)

Observacin:Si es una funcin diferenciable de e , la derivada direccional en la direccin del vector unitario es:

Ejemplos:

1.- Sea , hallar en , donde

2.- Hallar la derivada direccional de en , en la direccin hacia (-1,3)3.- Hallar la derivada direccional de en , y en la direccin al vector (2,1,-1)

ObservacinSi es el ngulo entre y , entonces:

Adems, como: :

Luego:

-) es el valor mximo de la derivada direccional.

-) - es el valor mnimo de la derivada direccional.

-) El coeficiente de variacin es

Ejemplos 1.- La distribucin de temperatura de una placa metlica est dado por la funcin:

a) En qu direccin aumenta la temperatura ms rpidamente en el punto (2,0) Cul es el coeficiente de variacin?

b) En qu direccin decrece la temperatura ms rpidamente.2.- La ecuacin de la superficie del Cerro San Cristbal es , donde la distancia se mide en metros, el eje X apunta al Este y el eje Y apunta al Norte. Un hombree est en el punto correspondiente a

a) Cul es la direccin de la ladera mas pronunciada?

b) Si el hombre se mueve en la direccin NOR ESTE Est ascendiendo o descendiendo? Cul es la rapidez?

c) Si el hombre se mueve en la direccin SUR OESTE Est ascendiendo o descendiendo? Cul es la rapidez?

PLANOS TANGENTES Y NORMALES A LAS SUPERFICIESDefinicin:Si la ecuacin de una superficie est dado por donde son continuas y no todos ceros en de , entonces un vector normal a la superficie en el punto es:

Definicin:

Si la ecuacin de una superficie est dado por : , donde es diferenciable en con . Entonces el plano que pasas por y que tiene como normal se conoce como plano tangente a en , cuya ecuacin es:

Donde

Es decir, la ecuacin puede ser expresada como:

Definicin:

La recta normal a la superficie : , en el punto es la recta que pasa a travs del punto y sigue la direccin del vector normal al plano tangente de la superficie en el punto y su ecuacin simtrica de la recta normal a en es:

Ejemplos 1.- Hallar la ecuacin del plano tangente y de la recta normal a la superficie en el punto (4,4,1)2.- Hallar la ecuacin del plano tangente y de la recta normal a la superficie en el punto (1,2,-1)

3.- Hallar la ecuacin del plano tangente y de la recta normal a la superficie en el punto (1,1,1)HOJA DE PRCTICA 9I.- Hallar el gradiente de la funcin en los puntos indicados: 1.- , en

2.- , en

3.- , en

4.- , en

5.- , en

II.- Resolver: 1.- El potencial elctrico es voltios en cualquier punto en el plano XY y . La distancia se mide en pies.a) Encontrar la rapidez de cambio del potencial en el punto en la direccin del vector unitario

2.- Supongamos que la temperatura en un punto est dado por la frmula . Hallar la proporcin de variacin de la temperatura en el punto (1,2,3) y en la direccin desde el punto al origen. 3.- Hallar la derivada direccional de en direccin de

4.- La ecuacin de una colina es , el eje y seala hacia el norte y el eje x hacia el este; un hombre est en el punto (-1,5,8) sobre la colina y se mueve hacia el Nor-Oeste Est subiendo o bajando? En qu direccin descender ms rpidamente?5.- Calcular la derivada direccional de en el punto en la direccin que va desde el vector hasta el pinto

6.- Calcular la derivada direccional de en el punto en la direccin que va desde el vector hasta el punto

7.- Hallar la derivada direccional de en el punto (1,2) siguiendo la direccin que forma con el eje x un ngulo de 60 8.- La temperatura en el punto en un trozo de metal viene dada por la frmula grados. En qu direccin, en el pinto (0,0,0), crece ms rpidamente la temperatura?9.- La temperatura distribuida en el espacio est dad por la funcin en el punto . Encontrar la direccin de mayor crecimiento de la temperatura y la de mayor decrecimiento.

10.- Un avin se mueve segn su plano de equilibrio con la funcin , si hay un viento cuya direccin es

a. Cul es la velocidad mxima del avin con direccin al viento?

b. Si el viento cambia de direccin en 45 en sentido horario Cul es ahora su nueva velocidad con respecto al viento?

III.- Hallar la ecuacin de los planos tangentes y rectas normales , para las superficies dadas:

1.- en

2.- en

3.- en

4.- en

5.- en

Docente: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz

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