sesión de aprendizaje y didáctica de la geometria - huancayo

COMPONENTE PEDAGOGÍA Y DIDÁCTICADEL ÁREA DE MATEMÁTICA CONORIENTACIÓN INTERCULTURAL

BLOQUE TEMÁTICO: SESIÓN DE APRENDIZAJE YDIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN ENMATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DEL NIVELSECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR

MÓDULO FORMATIVO

III CICLO

Componente:PEDAGOGÍA Y DIDÁCTICA DEL ÁREA DE MATEMÁTICA CON ORIENTACIÓN

INTERCULTURAL

Bloque Temático:SESIONES DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

Jefe de Proyecto:Dr. Amador Vilcatoma Sánchez

Coordinador Académico:Lic. Alex ESPINOZA ESPINOZA

Diagramación y corrección de estilo:EQUIPO DE ESPECIALISTAS

Equipo de Especialistas:

Fabio Abraham CONTRERAS ORÉ Pablo José CARDENAS PERALTA Miguel Ángel VILA YUPANQUI Arturo Donato ESPINOZA CASAS Melitón CHIPANA VELIZ

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMATICA DIRIGIDO A DOCENTES DEINSTITUCIONES EDUCATIVAS PÚBLICAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE

EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR 2012 – 2014

III CICLO

Universidad Nacional del Centro del PerúFacultad de Educación

Dirección: Av. Mariscal Castilla Nº 3909 – El Tambo – Huancayo.Teléfono: 064 – 481081

Fax: 064 – 248595Página Web: www.uncp.edu.pe

© Reproducción: Derechos reservados conforme a ley. Se prohíbe la reproducción parcial o totaldel texto sin autorización del MED.

MAYO 2013

INDICEPag.

Presentación

I UNIDAD:Estrategias para enseñar geometría en relación al contexto socio-cultural

Esquema de contenidos 9

1.1Etnomatemática rural, urbano marginal.1.1.1 Etnomatemática1.1.2 Etnomatemática, matemática, educación1.1.3 Antecedentes

1.2 Modelos y procesos pedagógicos y cognitivos en la secuencia didáctica dela sesión de aprendizaje.1.2.1 Los procesos pedagógicos en la sesión de aprendizaje1.2.2 Elementos de una sesión de aprendizaje1.2.3 Procesos cognitivos1.2.4 Proceso del desarrollo del pensamiento.1.2.5 Sesión de aprendizaje. Operacionalización de capacidades

1.3 APRENDIZAJE: ¿ELEMENTOS DE UNA SESIÓN DE APRENDIZAJE?1.3.1 Aprendizajes esperados (capacidades, conocimientos y actitudes)1.3.2 Secuencia didáctica1.3.3 Evaluación

1.4 MOMENTOS Y PROCESOS1.4.1 Inicio del aprendizaje

1.5 La resolución de problemas como práctica pedagógica en la escuela.

1.6El enfoque centrado en la resolución de problemas1.6.1 Rasgos principales del enfoque centrado en la resolución de

problemas.1.6.2 Objetivos del enfoque centrado en la resolución de problemas

1.7 COMPETENCIA MATEMÁTICA1.8 Capacidades matemáticas1.9 Escenarios de aprendizaje:1.10 Estrategias metodológicas para abordar el buen clima en el aula, la

interculturalidad, la inclusión y la convivencia democrática.1.10.1 Estrategias y técnicas docentes para el control de la clase, ejercer

un buen gobierno y tener un buen clima en el aula.1.10.2 Objetivos de la estrategia.1.10.3 Estrategias para la atención a la diversidad.

II UNIDAD:Geometría desde el saber sabio hasta el saber aprendido

12121314

161618191920

21212122232325

262729

303235

40

40

4458

68

2.1 Reseña biográfica de Yves Chevallard2.2 La teoría de la transposición didáctica2.3 La perspectiva antropológica2.4 Modelo de enseñanza y fases de Van Hiele.2.5 Herramientas para el aprendizaje de geometría con el modelo Van Hiele

Rectas horizontales y verticales. ¿Cómo construir un juego de tangrama? Construcciones geométricas elementales doblando papel Construcción del triángulo equilátero doblando papel a partir de una hoja

a 4 Construcción directa del hexágono regular a partir de un rectángulo Triángulos isósceles inscritos en una hoja rectangular compartiendo dos

vértices contiguos del rectángulo. El tamaño a4. Comprobación doblando papel de la suma de los ángulos de un

triángulo. Área del triángulo. Trazado del incentro doblando papel. Igualdad de la distancia del

incentro a los lados. Trazado del circuncentro doblando papel. Igualdad de la distancia a los

vértices. Octógono regular Otra forma de obtener un hexágono regular Construcción del pentágono regular como nudo. Construcción de un pentágono regular a partir de un cuadrado La regla y el compás de la geometría clásica Algunas construcciones básicas:

Ubicación del punto medio de un segmento de recta con el uso delcompás.Trazar la bisectriz de un ángulo haciendo uso del compásConstrucción de ángulos rectosConstrucción de rectas paralelasDivisión de un segmento en n partesPolígono regular de 3 lados: Triángulo equiláteroPolígono regular de 4 lados: CuadradoPolígono regular de 5 lados: Pentágono regularPolígono regular de 6 lados: Hexágono regular

III UNIDAD:

Modelando fenómenos geométricos y trigonométricos del entorno, utilizando el

softwuare cabri geometre.

3.1 El uso de programas computacionales.

Software Cabri Geometry IILa ventana de Cabri Geometry IIElementos de la ventana Cabri Geometry II

3.2 Situaciones problemáticas de Geometría3.3 La trigonometría en la vida cotidiana

Trigonometría y ArquitecturaNavegación, Geografía y Astronomía

3.4 Tarea matemática y situaciones problemáticas en geometría

69707581

89909093

9495

96

97

98

99100101101102103104

104105106106106107107108109

111

112

113114115117122126126

128

TareaSituación problemática

3.5 Niveles de demanda cognitiva en situaciones problemáticas de geometría¿Qué significa demanda cognitiva?Las tareas de demanda cognitiva bajaLas tareas de demanda cognitiva alta

3.6Resolución de situaciones problemáticas según Polya – Guzman3.7El material manipulativo para la enseñanza y aprendizaje de la geometría

Materiales manipulativos para geometría plana

GLOSARIOBIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS ELECTRÓNICAS

131133140142142143147155161

171173

Estimado(a) docente participante:

El Módulo Formativo Sesión de aprendizaje y didáctica de la geometría, quese desarrolla en este Tercer Ciclo es parte del componente Pedagogía y Didácticadel área de Matemática con Orientación Intercultural, ha sido elaboradoconsiderando los lineamientos generales del Programa Nacional de EspecializaciónDocente 2012 – 2014, que tiene por finalidad promover y apoyar el desarrollopersonal, pedagógico y social de los profesores de educación secundaria de laespecialidad de Matemática. Poniendo énfasis en el desarrollo de su autonomíaprofesional y la capacidad para investigar, innovar y reflexionar críticamente sobre supráctica pedagógica para autoregularla, resignificarla y producir el saber pedagógico,orientando la afirmación de una docencia mediadora del diálogo intercultural, conactitud crítica frente a las inequidades que imposibilitan el diálogo y con capacidadpara indagar y proponer alternativas educativas pertinentes a cada contextosociocultural del país.

El presente material nos aproxima a unificar principios y criterios básicosfortaleciendo el diseño de sesiones de aprendizaje y el tratamiento de la Didáctica dela Geometría, su didáctica y el pensamiento variacional, valorando las diferenciasindividuales de sus estudiantes y fortaleciendo el trabajo cooperativo en su entornosociocultural.

El módulo formativo de Sesión de aprendizaje y didáctica de la geometríaconsidera tres unidades: En la I Unidad se presenta la Etnomatemática, las sesionesde aprendizaje y estrategias para abordar un buen clima en el aula, utilizando comoherramienta para la resolución de problemas el software Cabri geometre; la II Unidadpresenta la transposición didáctica de Ives Chevallard, los modelos de enseñanza ylas fases de Van Hile, en la que se trata de fortalecer los enfoques teóricos referentesa las transformaciones didácticas que debe sufrir el saber sabio, pasando por el saberenseñado para terminar en el saber aprendido, utilizando como herramienta para laresolución de problemas los software Cabri Geometre; la III Unidad comprende losfenómenos y situaciones geométricas y trigonométricas, donde se trata de esbozar elfundamento teórico, elaborar situaciones problemáticas de geometría y trigonometríaque ocurren en el entorno del estudiante, utilizando como herramienta para laresolución de problemas el software Cabri Geometre.

El valor de este módulo radica en proporcionar, durante el desarrollo de lasclases presenciales, los marcos explicativos partiendo de las situacionesproblemáticas de los cuales los docentes pueden derivar modelos didácticos queorienten su actuación en el aula y, de otro lado, comprender la gradualidad ycomplejidad de los temas a tratar en Geometría, incidiendo en la formación de undocente crítico reflexivo que permita el manejo efectivo de procesos pedagógicosinterculturales que incidan en el logro de los aprendizaje de los estudiantes.

Los autores.

PRESENTACIÓN

RUTA FORMATIVA

El módulo de Sesión de aprendizaje y didáctica de la geometría se desarrolla en el III ciclo del

Programa de Especialización de matemática, en el marco del convenio establecido con la IFD facultad de educación de

la UNCP-Huancayo y el Ministerio de Educación.

Está dirigido a profesores en ejercicio de la especialidad de matemática del nivel de educación secundaria de la Región

Junín y Huancavelica

El modulo está estructurado en tres unidades teniendo en cuenta los temas afines para el cual, se tendrá en cuenta tres

aspectos:

Desde la práctica:

Que a partir de casos prácticos, es decir de actividades cotidianas y teniendo en cuenta el aspecto crítico-reflexivo e

intercultural, se propicia la reflexión de sus prácticas pedagógicas, se correlaciona con el bloque temático de la

Geometría e investigación Acción.

La reflexión teórica:

En esta parte se propone una serie de contenidos temáticos con la finalidad de reforzar el conocimiento relacionado a

las sesiones de aprendizaje y didáctica de la Geometría aplicando diversos ejemplos simulados, desarrollando modelos

didácticos y reforzando el marco teórico.

Herramientas para la nueva práctica:

Incorpora procesos didácticos, interculturales, desarrollando sus capacidades crítico reflexivo así como analizar,

razonar aplicar, comunicar y construir modelos didácticos para el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría

afianzando las técnicas de planificación del proceso de aprendizaje a través de las sesiones, que permiten afianzar los

nuevos conocimientos, y por último con actividades de metacognición.

Anexado a este material se desarrollará sesiones de aprendizaje donde se incluirá talleres de trabajo analítico y gráfico

participativo, medios y materiales como los diseñadores gráficos, y se indicará el logro de las competencias

específicas, contenidos e indicadores.

Competencia general

Ejecuta su plan de acción, organizando, sistematizando y evaluandopermanentemente los resultados de su propuesta pedagógica alternativa, paravalidarla, construyendo saber pedagógico desde la acción.

Competencia específica/Bloque temático

Desarrolla de forma creativa estrategias metodológicas de enseñanza yaprendizaje de la geometría y el diseño de sesiones de aprendizajespertinentes mediante la producción y uso de diversos recursos educativosorientados al desarrollo de las competencias en el área, así mismo, desarrollaespacios de reflexión de labor docente.

Indicadores de logro

Fundamenta su propuesta pedagógica innovadora tomando encuenta los principios de la pedagogía y la didáctica.

Incorpora en su propuesta pedagógica innovadora recursosdidácticos, actividades y estrategias de enseñanza aprendizajeque contribuyen al logro de aprendizajes significativos.

Selecciona los contenidos relevantes del área y los adecuateniendo en cuenta el enfoque del área, el contexto, lasdemandas y necesidades de los estudiantes.

Diseña la programación curricular teniendo como base lapropuesta pedagógica innovadora.

Registra los saberes locales y regionales y los incorpora en laplanificación curricular de corto y mediano plazo.

PRODUCTO ESPERADO

Informe preliminar de la ejecución de la propuesta pedagógica alternativa.

9

SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

I UNIDAD:Estrategias para enseñar geometría en relación al

contexto socio-cultural

Presentación

Estimado(a) docente participante, en este texto podrá encontrar unacercamiento general sobre la pedagogía y didáctica de lageometría, su relación con la Etnomatemática, asimismo, laoperativización de los escenarios de aprendizaje propuestos enlas rutas del aprendizaje, para promover el aprendizaje de calidaden los estudiantes. Asumiendo una actitud crítica y reflexiva frentea las propuestas de Ives Chevallar y de los esposos Van Hilereferente a la enseñanza y aprendizaje de la geometría.Promoviendo en el docente una actitud reflexiva y deinvestigación.

10


UNIDAD I

Estrategias para enseñar geometría en relación al contextosocio-cultural

Estrategias

metodológicas

para abordar el

buen clima en el

aula

Diseños de sesión

de aprendizajeEtnomatemática

en geometría

ESQUEMA DE CONTENIDOS

11


“Tratar de conocer la realidad en la que vivennuestros alumnos es un deber que la prácticaeducativa nos impone: sin esto, no tenemosacceso a su modo de pensar y difícilmentepodremos, entonces, percibir lo que se saben ycómo lo saben”

Freire (2002, p. 86)

El cotidiano y la escuela

Los estudiantes que protagonizaron este estudio manejaban dinero, es decir, los

estudiantes hacían mandados a la tienda y

debían dar cuenta del dinero que les era

entregado para realizar ciertas compras, otros

estudiantes trabajaban como vendedores

informales en la plaza de mercado o en otros

lugares y debían desarrollar las habilidades

matemáticas que su trabajo les exigía.

Sin embargo, en sus prácticas escolares

parecía que los estudiantes no tuvieran las

habilidades matemáticas que por fuera de

ella sí habían desarrollado. Por ejemplo, los

estudiantes no realizaban, de forma

correcta, los algoritmos de la suma y de la

resta; además, no tenían claro aspectos

relativos al sistema decimal, utilizado por la

sociedad, y que la escuela enseña.

En este sentido, traemos a colación un interrogante propuesto por Freire (2002, p.32):

“¿Por qué no establecer una ‘intimidad’ necesaria entre los saberes curriculares

fundamentales para los estudiantes y la experiencia social que ellos tienen como

APRENDIZAJE ESPERADO:Diseña sesiones de aprendizaje de geometría con etnomatematica e

interculturalidad

PARTE 1: DESDE LA PRÁCTICA

12


personas?”. Aquí Freire cuestiona el porqué de la poca interrelación entre el currículo de

la escuela y la experiencia de vida de los estudiantes, si es precisamente en esa

experiencia de vida donde está presente un sin número de vivencias y conocimientos que

pueden ser retomados e integrados en el currículo de la escuela. Si esta relación

existiese, la escuela no sería vista como un espacio ajeno a la propia vida del estudiante;

como un sitio en el cual se recibe una gran cantidad de conocimientos sin saber qué

utilidad tienen para su vida.

Después de leer el texto anterior, contesta las siguientes preguntas:

1. ¿Qué habilidades matemáticas desarrollan tus estudiantes fuera de la escuela,

en la comunidad donde laboras?

2. ¿Utilizan las habilidades matemáticas de su entorno en el aprendizaje en el

aula?

3. ¿Utilizas la etnomatemática para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje

en el aula?

1.1 Etnomatemática rural, urbano marginal.1.1.1 Etnomatemática

En la última década, la Etnomatemática se ha convertido en una nueva

vertiente del conocimiento

matemático y en una herramienta

imprescindible en la investigación

de la enseñanza de las

Matemáticas.

El término “etnomatemática”, que

todavía no figura en los

diccionarios, fue acuñado en los

años setenta por el profesor

brasileño Ubiratan D’Ambrosio para describir las prácticas matemáticas de

grupos que fueran culturalmente identificables. No debe asimilarse, aunque

también lo incluye, a estudios centrados en el desarrollo de las Matemáticas

de pequeños grupos indígenas.

PARTE 2: REFLEXION TEORICA

13


La Etnomatemática puede referirse tanto a un grupo religioso, lingüístico e

incluso a una comunidad obrera concreta; en general, a todo grupo étnico

que en sus prácticas utilice sistemas simbólicos, métodos de cálculo,

mediciones o cualquier otra actividad del conocimiento que pueda

formalizarse matemáticamente. Sus actividades están coordinadas por el

ISGEm (International Study Group on Ethnomathematics), Grupo

Internacional de Etnomatemática, que fue fundado en EEUU en 1985, y

cuya finalidad es la de aumentar nuestra comprensión de la diversidad

cultural de las prácticas matemáticas, para aplicar este conocimiento a la

educación y el desarrollo.

El Primer Congreso Internacional de Etnomatemática se hizo en España,

concretamente en Granada, la primera semana de septiembre de 1998.

1.1.2 Etnomatemática, matemática, educaciónDonde, dentro de la Educación, "la Matemática se constituiría en una parte

de la Etnomatemática", por tanto para aprender Matemática invariablemente

se debe pasar por Etnomatemática.

a) Etnomatemática no es un estudio matemático; es más como la

antropología o historia.

b) La definición en sí misma depende de quién lo afirma, y culturalmente

es específico.

c) La práctica que describe es también culturalmente específica.

d) Etnomatemática implica alguna forma de relativismo para la

Matemática".

Desde nuestra visión. "Etnomatemática es el conjunto de conocimientos

matemáticos, prácticos y teóricos, producidos o asimilados y vigentes en su

respectivo contexto sociocultural, que supone los procesos de: contar,

clasificar, ordenar, calcular, medir, organizar el espacio y el tiempo, estimar

e inferir".

"El conjunto de los conocimientos matemáticos de la comunidad del

aprendiz, relacionados con su cosmovisión e historia, fundamentalmente

comprende:

14


El sistema de numeración propio.

Las formas geométricas que se usan en la comunidad.

Unidades o sistemas de medida utilizadas local o regionalmente

(tiempo, capacidad, longitud, superficie, volumen).

Instrumentos y técnicas de cálculo, medición y estimación;

procedimientos de inferencia; otros conceptos, técnicas e instrumentos

matemáticos usuales.

Las expresiones lingüísticas y simbólicas correspondientes a los

conceptos, técnicas, e instrumentos matemáticos."

1.1.3 AntecedentesPerú es un país cuya realidad compleja se caracteriza por su diversidad.

Expresiones de esta diversidad son su diversidad geográfica y su

biodiversidad, y en relación con estas su multilingüismo y pluriculturalidad.

Según la información de los últimos censos nacionales realizados en el año

2007 y documentos de la Dirección de Educación Intercultural Bilingüe del

Ministerio de Educación, actualmente coexisten en Perú hablantes de 54

lenguas que pertenecen a 16 familias lingüísticas, siendo la lengua originaria

mayoritaria el quechua en sus variedades Cusco-Collao y Ayacucho-

Chanka.

Teniendo como premisa el reconocimiento de la compleja diversidad de la

realidad peruana, sobre todo desde inicios de los 70‟ y en el marco de

proyectos experimentales de educación bilingüe, se empezó a buscar

respuestas de tipo pedagógico que permitieran tener en cuenta no

solamente la diversidad lingüística sino también la diversidad sociocultural

en Perú, con la perspectiva de brindar una educación pertinente a los

estudiantes cuya lengua y cultura son originarias. En el siglo XXI, se ha

reforzado la línea de atención a la diversidad en las políticas educativas

oficiales, en concordancia con la Declaración Universal de la UNESCO

sobre la diversidad cultural, adoptada el 2 de noviembre de 2001. En efecto,

en el primer artículo de esta Declaración se manifiesta que la diversidad

cultural es patrimonio común de la humanidad: “La cultura adquiere formas

diversas a través del tiempo y del espacio. Esta diversidad se manifiesta en

la originalidad y la pluralidad de las identidades que caracterizan a los

15


grupos y las sociedades que componen la humanidad. Fuente de

intercambios, de innovación y de creatividad, la diversidad cultural es tan

necesaria para el género humano como la diversidad biológica para los

organismos vivos. En este sentido, constituye el patrimonio común de la

humanidad y debe ser reconocida y consolidada en beneficio de las

generaciones presentes y futuras”. El concepto de diversidad cultural, así

como el de biodiversidad, va más lejos en el sentido de que considera la

multiplicidad de las culturas en una perspectiva sistémica donde cada

cultura se desarrolla y evoluciona en contacto con las otras culturas.

Los antecedentes de la inclusión sistemática de las prácticas y saberes

matemáticos de la propia cultura como base para el desarrollo de

actividades conducentes a logros de aprendizaje de estudiantes hablantes

de una lengua originaria, en el área Matemática, en Perú datan de 1981-89.

En efecto, es en el marco del Proyecto Experimental de Educación Bilingüe,

cuando se realiza un estudio sobre el sistema matemático subyacente en

diversas manifestaciones socioculturales de comunidades quechuas y

aimaras (Villavicencio et al., 1983), y se reconoce la importancia de

considerar en la educación formal los conocimientos matemáticos del grupo

cultural al cual pertenece el educando como base para mejorar el nivel de

sus aprendizajes en el área Matemática (Villavicencio, 1990). Luego de la

institucionalización de la Educación Bilingüe en Perú expresada, entre otros,

en la incorporación de la Educación Bilingüe en la estructura orgánica del

Ministerio de Educación mediante la creación de la DIGEBIL (Dirección

General de Educación Bilingüe) en diciembre de 1987, en la primera

Estructura Curricular de Educación Bilingüe, publicada en el periodo 1988-

junio-1990 por la DIGEBIL, se hace referencia explícita a la importancia de

la etnomatemática propia como contenido a desarrollar en el proceso de

aprendizaje de los estudiantes en el área Matemática.

1.2 Modelos y procesos pedagógicos y cognitivos en la secuencia didáctica de lasesión de aprendizaje.1.2.1 Los procesos pedagógicos en la sesión de aprendizaje.

La sesión de aprendizaje es el conjunto de situaciones que cada docente

diseña, organiza con secuencia lógica para desarrollar un conjunto de

16


aprendizajes propuestos en la unidad didáctica, la sesión de aprendizaje

desarrolla dos tipos de estrategias de acuerdo a los actores educativos:

Del Docente: Estrategias de enseñanza o procesos pedagógicos

Del Estudiante: Estrategias de aprendizaje o procesos cognitivos /

afectivos / motores.

Estrategias de

Aprendizaje

Estrategias de Enseñanza

En este artículo me referiré a las estrategias de enseñanza o también llamados

Procesos Pedagógicos que se tienen presente al desarrollar la sesión de

aprendizaje.

Se define a los Procesos Pedagógicos como “actividades que desarrolla el

docente de manera intencional con el objeto de mediar en el aprendizaje del

estudiante” estas prácticas docentes son un conjunto de acciones intersubjetivas y

saberes que acontecen entre los que participan en el proceso educativo con la

finalidad de construir conocimientos, clarificar valores y desarrollar competencias

para la vida en común. Cabe señalar que los procesos pedagógicos no son

momentos, son recurrentes y se acuden a ellos en cualquier momento que sea

necesario.

PROCESOS COGNITIVOS

PROCESOS PEDAGÓGICOS

SESI

ÓN

DE

APR

END

IZA

JE

17


Los procesos pedagógicos son:

1. MOTIVACIÓN: Es el proceso permanente mediante el cual eldocente crea las condiciones, despierta y mantiene el interés delestudiante por su aprendizaje.

2. RECUPERACIÓN DE LOS SABERES PREVIOS: Los saberesprevios son aquellos conocimientos que el estudiante ya traeconsigo, que se activan al comprender o aplicar un nuevoconocimiento con la finalidad de organizarlo y darle sentido, algunasveces suelen ser erróneos o parciales, pero es lo que el estudianteutiliza para interpretar la realidad.

INIC

IO D

EL A

PREN

DIZ

AJE

3. CONFLICTO COGNITIVO: Es el desequilibrio de las estructurasmentales, se produce cuando la persona se enfrenta con algo que nopuede comprender o explicar con sus propios saberes.

4. PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN: Es el proceso centraldel desarrollo del aprendizaje en el que se desarrollan los procesoscognitivos u operaciones mentales; estas se ejecutan mediante tresfases: Entrada – Elaboración – Salida.

CO

NST

RU

CC

IÓN

DEL

APR

END

IZAJ

E

5. APLICACIÓN: Es la ejecución de la capacidad en situacionesnuevas para el estudiante, donde pone en práctica la teoría yconceptuación adquirida.

APLI

CAC

IÓN

OTR

ANSF

EREN

CIA

DEL

APR

END

IZAJ

E

6. REFLEXIÓN: Es el proceso mediante el cual reconoce elestudiante sobre lo que aprendió, los pasos que realizó ycómo puede mejorar su aprendizaje.

7. EVALUACIÓN: Es el proceso que permite reconocer losaciertos y errores para mejorar el aprendizaje.M

ETAC

OG

NIC

IÓN

YEV

ALU

ACIÓ

N

18


Lo anterior significa que sea cual fuera el esquema que se utiliza en una

sesión, deben diseñarse estrategias que comprendan los procesos

pedagógicos señalados, que viene a ser lo más importante de una sesión.

1.2.2 Elementos de una sesión de aprendizaje

M

O

T

I

V

A

C

I

Ó

N

RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS

APLICACIÓN DE LO APRENDIDO /

TRANSFERENCIA A SITUACIONES NUEVAS

CONFLICTO COGNITIVO

PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN

E

V

A

L

U

A

C

I

Ó

N

REFLEXIÓN SOBRE EL APRENDIZAJE

Sonprocesos

recurrentes yno tiene

categoría demomentos

fijos.

1. ¿Qué van aprender?

2. ¿Cómo van aprender?

3. ¿Con qué se va aaprender?

4. ¿Cómo y con quécompruebo que están

aprendiendo?

Aprendizajes esperados: Capacidades Actitudes Conocimientos

Secuencia Didáctica

Estrategias de aprendizaje Actividades de aprendizaje.

Recursos educativos

Medios Materiales Educativos

Criterios e indicadores

Técnicas Instrumentos de evaluación

19


1.2.3 Procesos cognitivos“Conjunto de acciones interiorizadas, organizadas y coordinadas, por las

cuales se elabora la información procedente de las fuentes internas y

externas de estimulación”.

La cantidad de procesos cognitivos que involucra la manifestación de una

capacidad depende de su complejidad.

1.2.4 Proceso del desarrollo del pensamiento

En el diseño de una sesión de aprendizaje se debe tomar en cuenta este proceso,

partiendo del pensamiento sensorial hacia el nivel del pensamiento lógico.

COGNICIÓNMETA-

COGNICIÓN

DESARROLLO DELPENSAMIENTO

LÓGICO


RACIONAL


SENSORIAL

ETAPACONCEPTUAL

SIMBÓLICA

ETAPA INTUITIVOCONCRETA

ETAPA GRÁFICOREPRESENTATIVA

Capacidades de:

1. Aprender a aprender2. Aprender a emprender3. Aprender a vivir juntos4. Aprender a ser5. Aprender a pensar6. Aprender a hacer

Aprender la realidad quenos rodea a través denociones, conceptos,teorías, leyes, principios,símbolos, etc.

Aprender la realidad através de sus diversasformas y maneras derepresentarla y graficarlacomo un medio elementalde razonamiento.

Aprender la realidad através de diversassensaciones, es decir,mediante la informaciónque nos proporcionan lossentidos.

20


1.2.5 Sesión de aprendizaje. Operacionalización de capacidadesLas capacidades se desarrollan mediante estrategias/actividades de

aprendizaje que permitan activar en los estudiantes los procesos cognitivos

o motores que involucra la capacidad específica.

Ejemplo:

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE

PROCESOS COGNITIVOS DE LA CAPACIDAD ANALIZA

BÚSQUEDA YRECEPCIÓN DE

LAINFORMACIÓN

OBSERVACIÓNSELECTIVA DE

LAINFORMACIÓN

DESCOMPOSICIÓNDEL TODO EN

PARTES

INTERRELACIONARLAS PARTES

PARA EXPLICARO JUSTIFICAR

ACTIVIDAD DEAPRENDIZAJE




LECTURAINDIVIDUAL

SUBRAYADO DELAS IDEAS

PRINCIPALES

ELABORACIÓN DELORGANIZADOR

GRÁFICO

EXPOSICIÓN

C A P A C I D A D

manejo dePROCESOS ESTRATEGIAS PROCEDIMIENTOS

PASOSSECUENCIADOS

FORMAS DEOPERAR

ALGORITMOSY/O

HEURÍSTICO

MÉTODOS

TÉCNICAS

21


Función mediadora del docente en relación con los ejes curriculares

nacionales (aprender a ser, aprender a vivir juntos, aprender a aprender y

aprender a hacer).

Estrategias cognitivas y meta cognitivas para el aprendizaje.

Procesos pedagógicos y cognitivos en la secuencia didáctica de la sesión

de aprendizaje.

1.3 APRENDIZAJE: ¿ELEMENTOS DE UNA SESIÓN DE APRENDIZAJE?1.3.1 Aprendizajes esperados (capacidades, conocimientos y actitudes)

Los aprendizajes esperados están constituidos por las capacidades,

conocimientos y actitudes que se espera que el estudiante alcance al

término de la sesión, estos surgen de las capacidades, conocimientos y

actitudes previstas en la unidad didáctica.

No hay necesidad de que el profesor formule “aprendizajesesperados”, como se hacía con el DCN en proceso de articulación.Ahora estos aprendizajes están expresados en las capacidades decada área curricular.

Cuando las capacidades están expresadas en forma global pueden ser

desagregadas teniendo en cuenta los procesos o los conocimientos que

involucran.

1.3.2 Secuencia didácticaLa secuencia didáctica comprende el conjunto de actividades de aprendizaje

previstas para desarrollar los aprendizajes de la sesión. En cada secuencia

se van incluyendo los materiales que se utilizarán y el tiempo destinado para

cada actividad.

La columna vertebral de la sesión de aprendizajes son las estrategias

previstas para desarrollar los procesos cognitivos, motores o socio afectivos

que están involucrados en las capacidades.

Las estrategias para desarrollar los procesos pedagógicos (motivación,

recuperación de saberes previos, generación de conflictos cognitivos,

construcción del aprendizaje, aplicación del aprendizaje, etc.) se van

22


incorporando en los momentos que el docente considere oportunos y

pertinentes, de acuerdo con las situaciones de aprendizaje que se generen.

1.3.3 EvaluaciónPara la evaluación se deben formular los indicadores en función de los

criterios establecidos, de manera que permitan evaluar los aprendizajes

logrados en la sesión.

Es preciso indicar además que en cada sesión se debe evaluar, pero no es

necesario otorgar calificaciones en cada una de ellas.

MOMENTOS PEDAGÓGICOSSECUENCIA DE ACTIVIDADES

DIDÁCTICAS

1. Inicio del aprendizajeMotivaciónExploraciónProblematización

2. Construcción del aprendizaje

Integración de los saberes previos conel nuevo saber.Elaboración de su nuevo esquemaconceptual.

3. Aplicación o transferencia delaprendizaje

Práctica o aplicación

La evaluación está presente a lo largo de todo el proceso, tanto como actividaddel estudiante que está aprendiendo, como actividad didáctica del profesor queva controlando y retroalimentando el proceso de aprendizaje.

1.4 MOMENTOS Y PROCESOS1.4.1 Inicio del aprendizaje

La motivación consiste en:

Atraer la atención sobre el conocimiento.

Despertar el interés sobre el conocimiento.

Se trata de crear un clima favorable para el aprendizaje.

SESIÓN DE APRENDIZAJE

23


Podemos motivar con diversos recursos:

Alguna noticia impactante actual

Juegos

Visitas

Gráficos y pistas para encontrar caminos

Imágenes

Dinámica grupal

Actividades vivenciales

Dramatizaciones

Una historia, etc.

Queda a criterio del docente el que más se adecue a su clase.

La exploración consiste en indagar sobre cuánto saben los estudiantes sobre

el conocimiento a tratar, ¿qué es lo que mis alumnos ya saben sobre esto?, es

decir sus saberes previos traídos desde la educación inicial, primaria,

vivencias; más sus saberes cotidianos obtenidos en el hogar o en su entorno

familiar y social.

La exploración puede darse a través de diversas actividades como:

Interrogantes

Prueba de entrada

Fichas

Mapas conceptuales para completar

Problematización:

El docente crea un conflicto cognitivo, enfrentando al estudiante a un nuevo

desempeño que debe tratar de resolver haciendo uso de todos sus recursos

disponibles. Cada cual aportará sus conocimientos y sus especulaciones,

analizando un aspecto que tiene relación con el tema a tratar en la que han

vertido opiniones contradictorias. Por ejemplo: Si estamos trabajando el tema

de valores podemos crear textos narrativos, instructivos, etc.

24


La práctica autónoma: Es la transferencia, es decir, la capacidad desarrollada

en el estudiante para aplicar los conocimientos adquiridos cada vez que lo

necesite en su vida. Se estimula propiciando una práctica a una experiencia

concreta de la vida diaria.

Se les puede pedir que resuelvan dos o más problemas en clase, de esta

manera se les retroalimenta y el estudiante tiene la oportunidad de ejercitarse

y aplicar lo que ha aprendido en clase. A los que tienen dificultad el docente

les puede dar ejemplos y darles retroalimentación adicional, hasta que

demuestren que han tenido éxito en sus habilidades recién adquiridas, éxito

en lo que hacen y aprenden. Así los mantendremos motivados para seguir

aprendiendo.

Los estudiantes pueden trabajar en grupos cooperativos para compartir sus

respuestas, analizar cómo solucionaron el problema y cómo aplicaron la

información.

El momento de aplicación proporciona una multitud de oportunidades para el

desarrollo y utilización del pensamiento crítico porque aprovechan al máximo

lo que están aprendiendo, empiezan a comprender su significado y la manera

en que pueden tener cabida en sus bancos de información, conocimiento y

memoria.

Ampliar las ideas

Revisar las predicciones

Pensar acerca del punto en cuestión

Hablar acerca de él

Leer más acerca del mismo

Escribir acerca de este conocimiento

Transferir, utilizando o desecharlo

Relacionarlo con otras áreas

Apreciar y opinar

Juzgar y evaluar.

25


1.5 La resolución de problemas como práctica pedagógica en la escuela

Asumimos el enfoque centrado en resolución de problemas o enfoque problémico

como marco pedagógico para el desarrollo de las competencias y capacidades

matemáticas, por dos razones:

La resolución de situaciones problemáticas es la actividad central de la

matemática.

Es el medio principal para establecer relaciones de funcionalidad matemática

con la realidad cotidiana.

Este enfoque supone cambios pedagógicos y metodológicos muy significativos,

pero sobre todo rompe con la tradicional manera de entender cómo es que se

aprende la matemática.

Este enfoque surge de constatar que todo lo que aprendemos no se integra del

mismo modo en nuestro conocimiento matemático.

EJEMPLO:

Una fórmula matemática o la enunciación de una propiedad matemática, pueden

adquirirse de forma superficial mediante un proceso de memorización simple. Esto

posibilitará su reproducción de forma más o menos literal, pero no su utilización

para la resolución de situaciones problemáticas.

Es posible disponer de muchos aprendizajes matemáticos que no sólo seamos

capaces de reproducir, sino de utilizar para dar respuesta a situaciones

problemáticas reales.

1.6 El enfoque centrado en la resolución de problemas ¿Cuál es la importanciadel enfoque centrado en la resolución de problemas?

Este enfoque consiste en promover formas de enseñanza-aprendizaje que den

respuesta a situaciones problemáticas cercanas a la vida real. Para eso recurre a

tareas y actividades matemáticas de progresiva dificultad, que plantean demandas

cognitivas crecientes a los estudiantes, con pertinencia a sus diferencias socio

culturales. El enfoque pone énfasis en un saber actuar pertinente ante una situación

problemática, presentada en un contexto particular preciso, que moviliza una serie

de recursos o saberes, a través de actividades que satisfagan determinados

criterios de calidad. Permite distinguir:

26


a) Las características superficiales y profundas de una situaciónproblemática.

Está demostrado que el estudiante novato responde a las características

superficiales del problema (como es el caso de las palabras clave dentro de su

enunciado), mientras que el experto se guía por las características profundas

del problema (fundamentalmente la estructura de sus elementos y relaciones,

lo que implica la construcción de una representación interna, de interpretación,

comprensión, matematización, correspondientes, etc.).

b) Relaciona la resolución de situaciones problemáticas con el desarrollo decapacidades matemáticas.

Aprender a resolver problemas no solo supone dominar una técnica

matemática, sino también procedimientos estratégicos y de control poderoso

para desarrollar capacidades, como: la matematización, representación,

comunicación, elaboración de estrategias, utilización de expresiones

simbólicas, argumentación, entre otras. La resolución de situaciones

problemáticas implica entonces una acción que, para ser eficaz, moviliza una

serie de recursos, diversos esquemas de actuación que integran al mismo

tiempo conocimientos, procedimientos matemáticos y actitudes.

c) Busca que los estudiantes valoren y aprecien el conocimientomatemático.

Por eso propicia que descubran cuán significativo y funcional puede ser ante

una situación problemática precisa de la realidad. Así pueden descubrir que la

matemática es un instrumento necesario para la vida, que aporta herramientas

para resolver problemas con mayor eficacia y que permite, por lo tanto,

encontrar respuestas a sus preguntas, acceder al conocimiento científico,

interpretar y transformar el entorno. También aporta al ejercicio de una

ciudadanía plena, pues refuerza su capacidad de argumentar, deliberar y

participar en la institución educativa y la comunidad.

1.6.1 Rasgos principales del enfoque centrado en la resolución deproblemas

Los rasgos más importantes de este enfoque son los siguientes

27


a) La resolución de problemas debe impregnar íntegramente el currículo de

matemática.

La resolución de problemas no es un tema específico, ni tampoco una

parte diferenciada del currículo de matemática. La resolución de

problemas es el eje vertebrador alrededor del cual se organiza la

enseñanza, aprendizaje y evaluación de la matemática.

b) La matemática se enseña y se aprende resolviendo problemas

La resolución de problemas sirve de contexto para que los estudiantes

construyan nuevos conceptos matemáticos, descubran relaciones entre

entidades matemáticas y elaboren procedimientos matemáticos.

c) Las situaciones problemáticas deben plantearse en contextos de la vida

real o en contextos científicos

Los estudiantes se interesan en el conocimiento matemático, le

encuentran significado, lo valoran más y mejor, cuando pueden

establecer relaciones de funcionalidad matemática con situaciones de la

vida real o de un contexto científico. En el futuro ellos necesitarán aplicar

cada vez más matemática durante el transcurso de su vida.

d) Los problemas deben responder a los intereses y necesidades de los

estudiantes

Los problemas deben ser interesantes para los estudiantes,

planteándoles desafíos que impliquen el desarrollo de capacidades y que

los involucren realmente en la búsqueda de soluciones.

e) La resolución de problemas sirve de contexto para desarrollar

capacidades matemáticas

Es a través de la resolución de problemas que los estudiantes desarrollan

sus capacidades matemáticas tales como: la matematización,

representación, comunicación, utilización de expresiones simbólicas, la

argumentación, etc.

El enfoque centrado en la resolución de problemas surge como una alternativa de

solución para enfrentar en nuestro quehacer docente:

Las dificultades para el razonamiento matemático.

28


Las dificultades para promover la significatividad y funcionalidad de los

conocimientos matemáticos.

El aburrimiento, desvaloración y falta de interés por la matemática.

Las dificultades para el desarrollo del pensamiento crítico en el aprendizaje de la

matemática.

El desarrollo de un pensamiento matemático descontextualizado.

1.6.2 Objetivos del enfoque centrado en la resolución de problemas

Lograr que el estudiante:

Se involucre en un problema (tarea o actividad matemática) para

resolverlo con iniciativa y entusiasmo.

Comunique y explique el proceso de resolución del problema.

Razone de manera efectiva, adecuada y creativa durante todo el

proceso de resolución del problema, partiendo de un conocimiento

integrado, flexible y utilizable.

Busque información y utilice los recursos que promuevan un aprendizaje

significativo.

Sea capaz de evaluar su propia capacidad de resolver la situación

problemática presentada.

Reconozca sus fallas en el proceso de construcción de sus

conocimientos matemáticos y resolución del problema.

Colabore de manera efectiva como parte de un equipo que trabaja de

manera conjunta para lograr una meta común.

¿Qué es una situación problemática?

Una situación problemática es una situación de dificultad ante la cual hay que

buscar y dar reflexivamente una respuesta coherente, encontrar una solución.

Estamos, por ejemplo, frente a una situación problemática cuando no disponemos

de estrategias o medios conocidos de solución.

29


¿Qué es resolver una situación problemática?

Resolver una situación problemática es:

Encontrarle una solución a un problema determinado.

Hallar la manera de superar un obstáculo.

Encontrar una estrategia allí donde no se disponía de estrategia alguna.

Idear la forma de salir de una dificultad.

Lograr lo que uno se propone utilizando los medios adecuados.

1.7 COMPETENCIA MATEMÁTICA

Como una alter nativa a los modelos formativos tradicionales de aprendizaje

memorístico de matemáticas, los cuales difícilmente pueden ser aplicados a la vida

real, surge la competencia matemática.

a) Saber actuar: Alude a la intervención de una persona sobre una situación

problemática determinada para resolverla, pudiendo tratarse de una acción que

implique sólo actividad matemática.

b) Tener un contexto particular: Alude a una situación problemática real o

simulada, pero plausible, que establezca ciertas condiciones y parámetros a la

acción humana y que deben tomarse en cuenta necesariamente.

c) Actuar pertinentemente: Alude a la indispensable correspondencia de la acción

con la naturaleza del contexto en el que se interviene para resolver la situación

problemática. Una acción estereotipada que se reitera en toda situación

problemática no es una acción pertinente.

d) Seleccionar y movilizar saberes: Alude a una acción que echa mano de los

conocimientos matemáticos, habilidades y de cualquier otra capacidad

matemática que le sea más necesaria para realizar la acción y resolver la

situación problemática que enfrenta.

e) Utilizar recursos del entorno: Alude a una acción que puede hacer uso

pertinente y hábil de toda clase de medios o herramientas externas, en la

medida que el contexto y la finalidad de resolver la situación problemática lo

justifiquen.

30


f) Utilizar procedimientos basados en criterios: Alude a formas de proceder que

necesitan exhibir determinadas características, no todas las deseables o

posibles sino aquellas consideradas más esenciales o suficientes para que

logren validez y efectividad.

31


1.8 Capacidades matemáticas

La resolución de situaciones problemáticas es entonces una competencia

matemática importante que nos permite desarrollar capacidades matemáticas.

Todas ellas existen de manera integrada y única en cada persona y se desarrollan

en el aula, la escuela, la comunidad, en la medida que dispongamos de

oportunidades y medios para hacerlo.

En otras palabras, las capacidades matemáticas se despliegan a partir de las

experiencias y expectativas de nuestros estudiantes, en situaciones problemáticas

reales. Si ellos encuentran útil en su vida diaria los aprendizajes logrados, sentirán

que la matemática tiene sentido y pertinencia.

La propuesta pedagógica para el aprendizaje de la matemática toma en cuenta el

desarrollo de seis capacidades matemáticas, consideradas esenciales para el uso

de la matemática en la vida cotidiana. Éstas sustentan la competencia matemática

de resolución de problemas y deben abordarse en todos los niveles y modalidades

de la Educación Básica Regular. Estas seis capacidades son las siguientes:

Matematizar

Representar

Comunicar

Elaborar estrategias

Utilizar expresiones

simbólicas

Argumentar

Todas ellas están implicadas

en cualquier situación

problemática real, o

matemática. Pueden ser

utilizadas por nuestros

estudiantes cada vez que las

enfrentan para resolverlas.

32


Matematizar: La matematización es un proceso que dota de una estructura

matemática a una parte de la realidad o a una situación problemática real. Este

proceso es eficaz en tanto pueda establecer igualdad en términos de la estructura

matemática y la realidad. Cuando esto ocurre las propiedades de la estructura

matemática corresponden a la realidad y viceversa. Matematizar implica también

interpretar una solución matemática o un modelo matemático a la luz del contexto

de una situación problemática.

Representar: Existen diversas formas de representar las cosas y, por tanto,

diversas maneras de organizar el aprendizaje de la matemática.

El aprendizaje de la matemática es un proceso que va de lo concreto a lo abstracto.

Entonces, las personas, los niños en particular, aprendemos matemática con más

facilidad si construimos conceptos y descubrimos procedimientos matemáticos

desde nuestra experiencia real y particular. Esto supone manipular materiales

concretos (estructurados o no), para pasar luego a manipulaciones simbólicas. Este

tránsito de la manipulación de objetos concretos a objetos abstractos está apoyado

en nuestra capacidad de representar matemáticamente los objetos.

Comunicar: El lenguaje matemático es también una herramienta que nos permite

comunicarnos con los demás. Incluye distintas formas de expresión y comunicación

oral, escrita, simbólica, gráfica.

Todas ellas existen de manera única en cada persona y se pueden desarrollar en

las escuelas si éstas ofrecen oportunidades y medios para hacerlo.

Elaborar diversas estrategias: Al enfrentar una situación problemática de la vida

real, lo primero que hacemos es dotarla de una estructura matemática. Luego,

seleccionamos una alternativa de solución entre otras opciones.

Si no disponemos de ninguna alternativa intentamos crearla. Entonces, cuando ya

disponemos de una alternativa razonable de solución, elaboramos una estrategia.

De esta manera, la resolución de una situación problemática supone la selección o

elaboración de una estrategia para guiar el trabajo, interpretar, evaluar y validar su

procedimiento y solución matemáticos. La construcción de conocimientos

matemáticos requiere también seleccionar o crear y diseñar estrategias de

construcción de conocimientos.

33


Expresar expresiones simbólicas: construir sistemas simbólicos con

características sintácticas, semánticas y funcionales peculiares.

El uso de las expresiones y símbolos matemáticos ayudan a la comprensión de las

ideas matemáticas, sin embargo éstas no son fáciles de generar debido a la

complejidad de los procesos de simbolización.

Argumentar: Esta capacidad es fundamental no solo para el desarrollo del

pensamiento matemático, sino para organizar y plantear secuencias, formular

conjeturas y corroborarlas, así como establecer conceptos, juicios y razonamientos

que den sustento lógico y coherente al procedimiento o solución encontrada.

Así, se dice que la argumentación puede tener tres diferentes usos:

Explicar procesos de resolución de situaciones problemáticas.

Justificar, es decir, hacer una exposición de las conclusiones o resultados a los

que se haya llegado.

Verificar conjeturas, tomando como base elementos del pensamiento

matemático.

1.9 Escenarios de aprendizaje:El Proyecto Educativo Nacional establece, en su segundo objetivo estratégico, la

necesidad de transformar las instituciones de Educación Básica de manera tal que

asegure una educación pertinente y de calidad, en la que todos los niños, niñas y

34


adolescentes puedan realizar sus potencialidades como persona y aportar al

desarrollo social. Es en este marco que el Ministerio de Educación, como una de

sus políticas priorizadas, busca asegurar que: Todos y todas logran aprendizajes de

calidad con énfasis en comunicación, matemática, ciudadanía, ciencia, tecnología y

productividad.

En el ámbito de la matemática, nos enfrentamos al reto de desarrollar las

competencias y capacidades matemáticas en su relación con la vida cotidiana. Es

decir, como un medio para comprender, analizar, describir, interpretar, explicar,

tomar decisiones y dar respuesta a situaciones concretas, haciendo uso de

conceptos, procedimientos y herramientas matemáticas.

Reconociendo este desafío se ha trabajado el presente fascículo, que llega hoy a

tus manos, como parte de las rutas de aprendizaje, y busca ser una herramienta

para que nuestros estudiantes puedan aprender. En él se formulan seis

capacidades matemáticas que permiten hacer más visible el desarrollo de la

competencia matemática y trabajarla de forma integral.

Se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual, a

partir de una situación problemática, se desarrollan las seis capacidades

matemáticas, en forma simultánea, configurando el desarrollo de la competencia.

¿Cómo podemos facilitar los aprendizajes?

En esta sección desarrollaremos algunos puntos que nos ayudarán a mejorar

nuestro trabajo como docentes para que nuestros estudiantes logren los

aprendizajes matemáticos.

Desarrollando escenarios de aprendizaje

El desarrollo progresivo de las competencias en el área de Matemática se

manifiesta por medio de las capacidades de manera dinámica, lo que permite

generar condiciones adecuadas para los espacios de aprendizaje. La matemática

basada en la resolución de problemas requiere de contextos de aprendizaje donde

tengan lugar diversas experiencias, acciones y situaciones.

Por ello, es importante reconocer estos escenarios que actúan de forma

complementaria:

35


a) Sesión laboratorio matemático

El estudiante, a partir de actividades vivenciales y lúdicas, logra construir

conceptos y propiedades matemáticas. La experimentación le permite el

reconocimiento de regularidades para generalizar el conocimiento matemático.

b) Sesión taller matemático

El estudiante pone en práctica aquellos aprendizajes que ya ha desarrollado.

Despliega diversos recursos (técnicos, procedimentales y cognitivos) en la

intención de resolver situaciones problemáticas.

c) Proyecto matemático

Se pone en práctica el acercamiento de los conocimientos matemáticos a

aspectos de la realidad en diversos contextos. Esto comprende un conjunto de

actividades para indagar y resolver una situación problemática real con

implicancias sociales, económicas, productivas y científicas.

36


SESION DE APRENDIZAJEESCENARIO: LABORATORIO

Nombre: Identificamos las rectas y puntos notables en el triángulo.

I. PARTE INFORMATIVA:AREA: Matemática Ciclo: VI Grado(s) y

Sección(es):Dominio: Tiempo

Docente: Fecha: 4° Geometría 3 horaspedagógicas

II. PARTE INTENCIONAL: Propósito de la sesiónAprendizajeFundamental

Estándares de Aprendizaje Competencia

Hace uso desaberescientíficos ymatemáticos paraafrontar desafíosdiversos, encontextos reales oplausibles, desdeuna perspectivaintercultural.

Resuelve problemasgeométricos estableciendorelaciones entre conceptos,técnicas y procedimientos dedistintas áreas de lamatemática. Selecciona entrevarios procedimientos pararesolver problemas endiferentes contextosgeométricos, acorde a lascaracterísticas del problema.Conjetura sobre la base deexploraciones realizadas conherramientas tecnológicas yverifica proposicionesgeométricas mediante axiomasy demostraciones directas eindirectas.

Resuelve situaciones problemáticasde contexto real y matemático queimplican el uso de propiedades yrelaciones geométricas, suconstrucción y movimiento en elplano y el espacio, utilizandodiversas estrategias de solución yjustificando sus procedimientos yresultados.

Tema Transversal: Promoviendo práctica de valores con el ejemplo

SITUACION PROBLEMÁTICAUn agricultor tiene un terreno de formatriangular, quiere construir dentro unjardín de forma circular que cubra lamayor área posible para sembrarflores ornamentales. ¿Cómo leayudaría usted a diseñarlo?

ContextoSituación contextovivencial

Áreas afines- Ciencia tecnología y

ambiente.- Educación para el trabajo.- Persona, familia y

relaciones humanas.

Conocimiento:

Líneas y puntos notables en untriángulo.

PropósitosUtilizarconocimientosgeométricos pararesolver problemasen variadoscontextos.

Conocimientos previos

Segmentos, ángulos, puntomedio, perpendicularidad.

37


III. PARTE OPERATIVA: Secuencia didácticaCAPACIDADES E

INDICADORESACTIVIDADES RECURSOS

Capacidades.

Matematiza, representa,comunica, elaboraestrategias, utiliza

expresiones simbólicas,argumenta

El especialista muestra el material didácticocon el que se va a trabajar el día de hoy.

Se va a solucionar situaciones problemáticasdesde el contexto de la vivencia del pobladorandino.

Se presenta la situación problemática.

ProyectormultimediaLaptopMaterialdidáctico.

Armar el materialdidáctico que utiliza en lasolución de la situaciónproblemática.

Representar de maneraenactiva el terreno de lacomunidad utilizando elmaterial didáctico.

Determinar el área delterreno desde el lugardonde se encuentrancada uno de sus hijos delpresidente de lacomunidad.

Elaborar un gráfico de laforma de determinar elárea del terreno de lacomunidad.

Argumentar la formacomo calculó el área delterreno en cada uno delos casos.

Comunicar a suscompañeros la forma desolución de la situaciónproblemática.

Simbolizar matemáticamente la forma dedeterminar el área delterreno de la comunidad.

Se les presenta el material didáctico, con elcual trabajará cada grupo.

Se les pide que la situación problemáticasea resuelto con la ayuda del material quetienen en su mesa.

Armen el triángulo, que represente alterreno del jardinero.

Construya una circunferencia con lacartulina y ubícala dentro del triángulo.

Une el punto centro de la circunferenciainscrita en el terreno triangular con cadauno de sus vértices.

Mide cada ángulo del interior del terrenotriangular cortado por las líneas que unenel vértice y el centro de la circunferencia.

Elabore el gráfico de la situaciónproblemática.

Argumenta los pasos que realizas en elproceso solución de la situaciónproblemática.

Comunique a sus compañeros la forma desolución de la situación problemática.

En términos matemáticos ¿Cómo llamaríausted al punto centro de la circunferenciainscrita en el triángulo?

Reflexionen:

Argumenta en forma coherente losprocesos que ha empleado para resolverel problema.

Resuelvan situaciones problemáticas:

¿Qué pasaría si el triángulo fueseacutángulo?

¿Qué pasaría si el triángulo fueserectángulo?

PapelesReglasTransportadorCompasLapicerosPlumonesMaterialdidácticomanipulable.

Metacognición¿Qué dificultades he vencido para resolver elproblema?¿Qué conocimientos nuevos he descubiertopara mejorar los que ya tenía?

38


IV. PARTE EVALUATIVA

TÉCNICAS: Trabajo grupal. Diálogo. Observación INSTRUMENTO: Lista de cotejo.

V. BIBLIOGRAFÍA: GARRIGA R. FranciscoMatemática Moderna II, editorial Norma, Cali Colombia. RAMOS P. Rafael y otros Matemática 1, editorial Norma, lima Perú

1.10 Estrategias metodológicas para abordar el buen clima en el aula, lainterculturalidad, la inclusión y la convivencia democrática.1.10.1 Estrategias y técnicas docentes para el control de la clase, ejercer un

buen gobierno y tener un buen clima en el aula.Justificación para su utilización en la mejora de la convivencia.El profesorado de secundaria se enfrenta en su práctica docente al reto

de proporcionar una respuesta educativa adecuada a una gran

diversidad de alumnado, siendo un reto permanente, resulta muy

complicado atender a las necesidades de algunos alumnos que muestran

conductas desadaptadas por desequilibrios emocionales y conductuales,

junto a un conjunto de estudiantes que se suman al fenómeno de

“disfunción en el aula” por diferentes razones.

“La disrupción en el aula” supone la alteración de la adecuada marcha

de la dinámica del aula y se traduce en un conglomerado de conductas

inapropiadas dentro del contexto específico de la clase que retarda y en

algunos casos impide el proceso de enseñanza y aprendizaje, se nutre

de malas relaciones interpersonales y de falta de comunicación entre los

miembros (Fernández, 2000).Por tanto, su repercusión excede a los

individuos sobre los que se centra la acción (estudiante-profesor) ya que

produce mayor fracaso escolar en el grupo clase y propicia un clima del

aula tenso donde se crean malas relaciones interpersonales tanto entre

profesores y estudiantes como entre los propios estudiantes.

La presencia de diferentes profesores en el aula de educación

secundaria, genera desorganización y supone una fuerte exigencia de

coordinación entre profesores para el control de la clase y de algunos

estudiantes, supone a su vez sumar esfuerzos para lograr pautas

concretas y claras de funcionamiento. La insuficiente clarificación y

39


asunción de las líneas, pautas disciplinarias y de funcionamiento del aula

por parte del profesorado desemboca en el abandono del control

ejercido sobre algunos estudiantes, insuficiente control diario de las

actividades de clase, etc. Estilos de intervención educativa del

profesorado no coincidentes pueden facilitar la presencia de grupo de

estudiantes incontrolados, ya que la incapacidad de control de la clase

por parte de un profesor puede actuar como un poderoso refuerzo de

posteriores conductas desordenadas, y no solo porque los estudiantes

puedan salirse con la suya sino porque justamente se divierten

comprobando el fracaso del profesor.

Cuando en el ámbito educativo se manifiesta un comportamiento del

adaptado, disruptivo, hemos de entender que se produce en un contexto.

Por tanto, la respuesta educativa para modificar o mejorar esa conducta

deberá afectar a ambos, ya que tienen un origen interactivo, es decir

estas manifestaciones dependen tanto de la situación personal del

alumno (de sus necesidades personales y sociofamiliares) como los

estímulos que interactúan.

Este documento se ofrece al personal docente de los centros de

educación secundaria como un instrumento de apoyo y orientación

sobre la respuesta educativa que pueden adoptar ante estos

comportamientos disruptivos.

Enfoques para su tratamiento

Resulta difícil determinar un único modelo teórico que permita abordar el

tratamiento de los problemas de conducta, puesto que las causas que

desencadenan estas conductas son complejas y variables, se sitúan en

factores personales (baja autoestima por su ineficacia ante las tareas

escolares, reacciones inadecuadas ante la frustración por ausencia de

éxito , déficit en habilidades sociales que afecta a las relaciones

interpersonales, ausencia de valores prosociales compatibles con el

contexto escolar y aprendidos en el ámbito familiar o sociocultural) del

individuo que interactúa en un contexto educativo diverso y diferente en

cada situación, momento.

40


El enfoque conductista de los problemas exige del profesor tener en

cuenta la conducta los estudiantes, sus consecuencias y el contexto en el

que se desarrolla.

La reacción (respuesta) del profesor y del contexto interpersonal,

situacional ante una conducta problemática determinará su aparición o

mantenimiento.

El estudiantes aprende, a través del condicionamiento operante, que

ciertas formas de comportamiento (conducta) parecen lograr la atención

que está buscando, por ello, ciertas formas de interactuar del profesor y

compañeros, que actúan como estímulos desencadenantes, refuerzan

su aparición y frecuencia.

Esta perspectiva no especula sobre los motivos, no tiene en cuenta lo

que pasa por la mente del estudiante, no considera que el alumno tome

conciencia de su conducta inadecuada.

Al contrario, el enfoque cognitivo, considera la actividad mental del

alumno, su mundo interior de pensamientos, motivos, intereses,

motivaciones y emociones. Intenta determinar el modo en como el

alumno interpreta y juzga su entorno, así como sus propias relaciones.

Pretende que el alumno realice una reestructuración cognitiva, es decir

se produzca una modificación y mejora de su forma de pensar sobre el

ambiente y sobre el mismo, así como a saber interpretarlo para favorecer

un cambio de actitudes que modifique su conducta.

La disminución de los problemas de conducta radicaría en hacer

relevante los aprendizajes, las tareas escolares, mejorando la motivación,

el interés del alumno, el cambio de actitudes y desarrollo de estrategias

de autocontrol.

Un rasgo fundamental del tratamiento cognitivo sobre el control de la

clase, es la posibilidad de prevenir muchos problemas antes de su

manifestación, el profesor debe analizar a los alumnos y hacer una

valoración profunda de las variables que influyen en su modo de

conceptuar los sucesos de clase adaptando la respuesta educativa a las

necesidades que el alumno presenta: mejorar la autoestima, su

41


autoeficacia y oportunidades de éxito en el ámbito académico, cambiar

actitudes y desarrollar estrategias de autocontrol.

Estos dos enfoques no son excluyentes sino complementarios en una

serie de puntos y coinciden parcialmente en una variedad de aspectos.

Además, hemos de contar con las aportaciones que ofrece el aprendizaje

social, el cual considera la importancia que tienen los condicionamientos

sociales en el surgimiento y mantenimiento de la conducta

desadaptadas.

Así pues, el estudio de una conducta en relación con el contexto en que

se aparece debe tener en cuenta:

• Que la influencia del medio sobre el sujeto está afectado por los

procesos cognitivos que determinan su percepción e interpretación.

• Que precisamente esos procesos inciden en la autoeficacia de la

persona, ya que influyen en la valoración que puede hacer de su

capacidad para realizar la conducta requerida y obtener un

resultado exitoso.

• Que unido a esos procesos, debe acompañarse el esfuerzo por

desarrollar estrategias de autocontrol y autorregulación.

• Que junto a este tipo de estrategias de autogobierno debemos

integrar otras basadas en el condicionamiento y en el aprendizaje

vicario (por observación o por modelado).

Con todo ello, nos resultará más fácil analizar la respuesta en interacción

con el ambiente en el que se manifiesta, lo que implica que

consideraremos la conducta como algo aprendido para hacer frente a

demandas autoimpuestas y/o impuestas por el entorno, convirtiendo el

desajuste en un problema de aprendizaje social susceptible de

readaptación a través de adecuados procesos de modificación tanto

internos como externos.

Entendemos, por tanto como alteración conductual en el contexto

educativo, como un proceso de inadaptación del individuo, incapaz de

ajustarse adecuadamente a su medio físico, académico o social,

generalmente con repercusión en su vida emocional, en su

comportamiento y en el propio medio en que se realiza.

42


1.10.2 Objetivos de la estrategia.Nos planteamos como objetivos la prevención para minimizar en lo posible

la aparición de conductas no deseadas, ya que entendemos que el centro

educativo, con su estructura y organización, puede constituirse en sí mismo

en causa de problemas de adaptación. La prevención hace necesario

prestar la mayor importancia posible al logro de comportamientos que

permitan el aprendizaje y convivencia, ya que se presentan íntimamente

unidos. El control y el manejo del proceso de enseñanza y aprendizaje, al

clima del aula, al complejo mundo de relaciones interpersonales en el aula-

clase, así como a la motivación de los alumnos se hacen imprescindibles

en la mejora de la convivencia que permita el aprendizaje. La planificación

preventiva, que si bien, no va evitar que situaciones problemáticas surjan, al

menos conseguirá que disminuyan y se vivan con un talante más proclive a

las soluciones. Por ello, hemos determinado un primer apartado de

prevención a través de reglas básicas que orientan la gestión de la clase y

mejora del clima social de la clase.

La intervención ha de ser lo más coherente que sea posible, mediante

pautas de actuación a establecer por el profesorado con criterios comunes.

Estos recursos y estrategias docentes han de ser asumidas por todo el

equipo educativo en su totalidad, para que los alumnos perciban que existe

una coherencia en la actuación del profesorado ante las conductas no

deseadas o disruptivas. Cabe señalar, que somos conscientes de que

existen otras variables influyentes, los estímulos son diferente en cada

contexto, tanto personales (personalidades, formas de relación, estilos de

enseñanza, aprendizaje) como ambientales. Las técnicas de intervención

que más adelante expondremos, se derivan de enfoques conductuales,

cognitivos de la conducta y del aprendizaje social.

Descripción de la medida. Breve repaso de la mismaa) "Reglas" básicas de una buena gestión de la clase:

Necesarias para una adecuada prevención de conductas disruptivas

o no deseadas en clase, pretenden controlar el contexto en el que se

suelen producir estas conductas inadecuadas. Aquellos profesores que

43


no determinan su actuación en función de una serie de reglas que

facilitan el control y gestión, se muestran ambivalentes, actuando de

forma desordenada, impulsiva, desestructuran el proceso de la clase y

tienen más probabilidades de disrupción que aquellos que no las

establecen. Si el profesor resulta sensible a estas variables, podrá

manipularlas en cierta medida con objeto de eliminar las

circunstancias que aparentemente dan lugar al problema.

Se constituyen en alguna medida en modos de proceder que regulan

la actividad, permiten predecir la marcha de la clase, estructura la

actividad y le da seguridad. Muchas de ellas forman parte del estilo

docente de cada profesor y de su visión de cómo enseña, muy

influyente en el clima social del aula.

Pasan a formar parte de las estrategias de resolución de conflictos, de

los procesos de instrucción y de las maneras en que un profesor

determinado controla y gestiona su aula.

Las englobamos en los siguientes criterios: adaptación de Fontana La

Disciplina en el aula; Isabel Fernández Guía Para Convivencia en el

Aula:

Criterios organizativos: Organización eficaz de la clase; puntualidad;

ponerse rápidamente a la tarea y tratar de conseguir la atención;

colaboración de toda la clase.

Criterios metodológicos y curriculares: buena preparación; adaptación

de la programación a la diversidad del alumnado; brindar

oportunidades de éxito; garantizar oportunidades adecuadas de

actividades prácticas; mantener las notas al día; distribución justa y

equitativa de la atención del profesor.

Criterios socioemocionales: Utilizar una comunicación efectiva;

mantenerse alerta ante las incidencias de la clase; evitar

comparaciones; mantenimiento de las promesas; delegación en la

medida de lo posible de las tareas rutinarias de la clase a los alumnos;

crear expectativas positivas; establecimiento claro de límites dentro del

aula; cuidar el clima social y cohesión grupal.

44


Cada uno de ellos se desarrolla en los documentos prácticos,

materiales sobre “reglas básicas de una buena gestión de la clase”

inserto en el bloque prevención de problemas de conducta.

b) Eestrategias y técnicas docentes para el control de la clase:Constituyen recursos específicos que orientan al profesor sobre cómo

actuar ante un problema de conducta. Adaptación de Emilio Cidad

Maestro(1987) Modificación de Conducta en el Aula e Integración

Escolar; Equipos de Orientación Educativa y Psicopedagógica del

Principado de Asturias “Técnicas Básicas de la Disciplina ” y otros

autores Fontana , Vallés ...:

COMO IGNORAR:

Retirar la atención, no se debe reaccionar. La ignorancia sistemática es

el arte de ignorar los comportamientos que desagradan y prestar

atención positiva a los que agradan. Nunca debe hacerse una cosa sin

la otra.

Ejemplo: ante los chillidos de un alumno se debe ignorar y reforzar

cuando hable en un tono adecuado “que bien has hablado sin levantar

la voz” no se recomienda “que bien has hablado sin chillar” , porque

con esta última opción se pone atención en la conducta negativa que

queremos suprimir “chillar”.

COMO ELOGIAR:

Alabar el comportamiento, la conducta y no la personalidad. El

propósito de elogiar es aumentar conductas deseables, de modo que

es necesario hacer hincapié en qué conducta concreta se persigue.

El modo más eficaz de formar una buena conducta es moldearla con

elogios.

Ejemplo: has recogido muy bien la mesa, en vez de a todo lo que

obedezca se le diga que obediente eres, pues el alumno no pondrá la

atención en las conductas concretas a instaurar.

CÓMO ATENDER A LA CONDUCTA DESEADA:

Incidir sobre la conducta positiva y dar mensajes sobre los que se ha

de hacer, no sobre lo que se quiere corregir. Se puede activar la

45


extinción de las conductas indeseables reforzando las buenas

conductas con elogios y recompensas. Por ejemplo: se debe decir “me

parece muy adecuado que hayas permanecido sentado en tu lugar

durante la explicación” en vez de “ me parece muy adecuado que NO

te levantes” para ello se debe evitar decir NO y convertirlo en una

conducta positiva , calla en vez de decir no hables...

COMO USAR LA SOBRECORRECCION:

Es una alternativa para acabar con los comportamientos indeseables

persistentes. Utiliza consecuencias naturales para romper con los

malos hábitos y para enseñar comportamientos apropiados al mismo

tiempo.

Si un estudiante ha tirado papeles o a rayado la mesa debe limpiar el

lugar y la mesa en vez de que se quede sin recreo.

COMO PREMIAR:

Las recompensas de conductas deseables actúan como refuerzos que

hacen que el alumno se sienta bien por lo que ha hecho y quiera hacer

lo mismo más a menudo. Proporcionan motivación e inciden en la

autoestima.

COMO USAR EL "TIEMPO FUERA":

Supone apartar al alumno de una actividad o situación para que no

pueda tomar parte en esa actividad o recibir elogios y atención.

Un estudiante que insistentemente está interrumpiendo la clase sin

parar y los demás lo refuerzan con sus miradas y risas constantes,

debe salir de clase por un momento.

ASPECTOS A TENER EN CUENTA ANTE EL CASTIGO:

No se recomienda en castigo porque existen varios inconvenientes:

deteriora las relaciones, puede generar sentimientos negativos, baja

autoestima, puede actuar como reforzador. Es más aconsejable usar

técnicas positivas.

En sí mismo, el castigo no enseña al alumno a portarse bien. Para

animar al estudiante a actuar de la forma deseada, se deben definir,

46


enseñar y recompensar las conductas positivas que se quieren

establecer.

Cada uno de ellos se desarrolla en los documentos prácticos,

materiales “técnicas conductuales para el control de la clase”.

c) Estrategias del profesorado para enfrentarse a amenazasconcretas al control de la clase.Adaptación de diferentes autores Fontana Disciplina en el Aula, Vaello

Orts Las habilidades Sociales en el aula, Rodríguez y Luca de Tena

(2001): Programa de Disciplina en la Enseñanza Secundaria

Obligatoria.

GROSERÍAS

Definición: una aparente insolencia a alguna observación del profesor,

sea de tipo verbal o como una conducta desdeñosa de carácter

actitudinal, no verbal (marcharse y dejarlo hablando, suspiros mirando

al cielo, etc.). Objetivo del alumno es medir las fuerzas del profesor e

intentar desacreditarle frente al grupo para demostrar así su poder.

Busca ofender o desautorizar al profesor para ganar prestigio o

expresar su resentimiento. Cuando el profesor reacciona con un gesto

de enfado manifiesto, que muestra su ira, el alumno puede sentirse

satisfecho: él ha ganado.

Ante esto, el profesor debe no actuar impulsivamente, esperar unos

segundos. Evitar responder de la misma forma, no mostrar signos de

enfado. Conversación privada, intentando interrumpir el menor tiempo

posible.

Manifestar atención positiva a la conducta a instaurar, borrado de una

queja anterior por cada tiempo sin groserías. Entrenamiento en

reciprocidad, exigencia de respeto.

Compromiso público y contrato de conducta, junto con reflexión

individual mediante una registro por escrito “Analizo mi

comportamiento”.

47


DESAFÍOS

Definición: Enfrentamiento al profesor negándose a seguir sus

órdenes: “no pienso hacerlo…”, “no me da la gana…”. Se opone a todo

lo que dice el profesor. Igual que arriba

Objetivo del estudiante: provocar al profesor con una negativa rotunda

para llamar su atención, para demostrar su poder, cuestionando la

autoridad del profesor, al cual procura enfurecerle reaccionando en

contra, puede que muestre rechazo por fracaso escolar continuado, su

conducta empeora si le miran o hacen caso, por ello se ha de hacer un

pacto con los satélites los que le siguen, le refuerzan. No suele

importarle las opiniones y valores de los demás. Suele burlarse y

criticar a los que no son como él.

Ante esto, el profesor debe mantener el control y permanecer callado.

Demorar la respuesta, posponer las explicaciones al final de clase.

Petición y entrenamiento en el respeto mutuo. Advertencia en privado,

pidiendo explicaciones sobre los motivos de su provocación. Evitar las

ironías. Centrarse en la conducta y no en el alumno.

Contrato de compromiso estudiante-profesor-padres. Reflexión sobre

su conducta con un registro por escrito “analizo mi comportamiento”.

Toma de conciencia del sentido y la necesidad de las normas, razone

por qué existe la norma que se ha violado y que de otra.

Triangulación de otro profesor o cargo directivo.

AGRESIÓN FÍSICA AL PROFESOR:

Definición: actuación violenta de un alumno hacia un profesor,

enfrentamiento físico. El agresor suele tener escaso autocontrol,

autoestima.

Ante esto, el profesor no debe responder con otra agresión. Pararle las

manos diciéndole tranquilízate, cálmate. Buscar la causa de esa

reacción e intentar llegar a una solución pacífica.

48


AGRESIONES FÍSICAS ENTRE ESTUDIANTES:

Definición: violencia física y verbal entre iguales, diferentes

manifestaciones de maltrato entre iguales, una entre ellas bullying,

acoso escolar continuado.

Ante esto, el profesor debe intervenir de forma rápida y decisiva. Suele

bastar una orden firme para que paren. Debe ser una acción tranquila:

los llamará por sus nombres y dirá “¡basta ya!”. Mediar a través de un

experto para que los estudiantes lleguen una solución negociada del

conflicto.

En el caso de bullying existen métodos específicos para intervenir

Método Pikas, círculo de amigos, entrenamiento en el autocontrol, ...

INCIDENTES VIOLENTOS:

Diferentes manifestaciones agresivas...

Ante esto, el profesor debe proporcionar una respuesta calmada y

decisiva, intentando que no se convierta en un espectáculo disolviendo

rápidamente y aislando a los implicados para buscar la descripción del

detonante del conflicto, qué ocurrió y posibles soluciones a través de

un compromiso mutuo y negociado con o sin sanción.

Contrato conductual con el agresor en el que intervengan los padres-

estudiante–profesor.

Adiestrar al violento en el control de la ira y la impulsividad.

HIPERACTIVIDAD:

Definición: alumno con déficit de atención, impulsividad y gran

actividad motriz que ocasiona con frecuencia disrupción en el grupo-

clase.

Conductas típicas: se muestra muy movido, no para, se levanta

constantemente, habla demasiado, no se concentra en las tareas, baja

o escasa atención. Es impulsivo, irreflexivo, suele buscar excusas para

todo, no suele ser consciente de que está haciendo algo malo. Puede

llegar a salirse de la clase sin ningún motivo.

49


Ante esto, el profesor debe ubicarlo cerca y mantener una fijación

visual constante. Autorizar movimientos cada cierto tiempo; dar

responsabilidades que impliquen movilidad. Instrucciones constantes.

Alabar los logros y pequeños progresos, trazar actividades variadas y

cortas. Reforzar conductas más adaptativas (atender al profesor, estar

sentado...)

EL ESTUDIANTE INADAPTADO

Definición: alumno que presenta grandes dificultades para relacionarse

en todos los contextos que se desenvuelve: escolar, familiar, social,

manifestando una conducta desviada de la normalidad con alta

frecuencia.

Ante esto, el profesor debe conocer las características peculiares del

alumno para intentar responder de forma más adecuada. Para su

valoración y tratamiento se requiere el concurso de varios

especialistas. Se debe hacer consciente de su problema, a su vez

debe percibir que se le ayuda.

CLASE DESCONTROLADA

Definición Alto grado de disrupción en el aula que impide el proceso de

enseñanza y aprendizaje

Ante esto, el profesorado debe mostrarse unido y coherente con las

pautas a llevar a cabo. Deben valorarse las relaciones y los

comportamientos, las conductas disruptivas y establecer las conductas

a instaurar, reforzando las conductas adaptativas. Analizar las

relaciones en el grupo a través de un tets sociométrico, potenciar los

roles positivos o prosociales; reconducción de los roles obstructivos de

la convivencia o antisociales, sustituyéndolos por otros constructivos

(contratos de conducta, compromiso público, implicación de los

padres); inhibición de los roles incompatibles.

Para más información consultar materiales sobre “estrategias

concretas ante amenazas”.

Otros documentos prácticos sobre reflexión conductual “Cuestionario

de autoanálisis conductual” y “contrato conductual”.

50


Procedimiento para implementarla en el centro. Secuencia de acciones yresponsables.Las medidas indicadas para prevenir o aminorar la aparición y frecuencia de

conductas disruptivas, así como para su intervención más directa, exigen la

actuación coherente del profesorado. Debe existir una cierta coherencia del

profesor en su actuación diaria ante un grupo aula, pero también debería

haber una cierta coherencia del equipo de profesores que imparte a un mismo

grupo-clase, por ello, se hace imprescindible establecer reuniones del equipo

docente para determinar:

Las reglas básicas mínimas de gestión del aula, que consideran

prioritarias en función de las características del grupo.

Determinar las actuaciones para mejorar el clima y cohesión grupal

de los alumnos de una clase.

Identificar las conductas disruptivas o desadaptadas de alumno/nos o

clase y establecer aquellas que se quieren instaurar para reforzarlas

positivamente y atender a las conductas deseadas.

Es necesaria la aceptación y puesta en marcha de las estrategias y

técnicas docentes para el control de la clase por parte de equipo

educativo que atiende al grupo para que sean más efectivas.

Se han de aprovechar situaciones conflictivas para que los profesores que

las conocen las expliquen a los profesores nuevos o a los que

desconozcan la técnica o se sientan inseguros ante su aplicación.

Resulta fácil olvidar la secuencia de pasos a realizar ante conductas

disruptivas si el profesor no está familiarizado con ellas, por ello, se hace

recomendable practicarlas incluso entre los mismos profesores que

presentan interés por aplicarlas. Se debe tener en cuenta que no siempre

obtendremos el efecto deseado, ya que las variables personales a veces

son impredecibles, hay que contar con un margen de fracaso en su

aplicación.

Valoración del proceso: el proceso de aplicación debe ser registrado

semanalmente, en un primer momento, por cada profesor para después

poder realizar un análisis comparativo (triangulación de datos) y establecer

actuaciones más efectivas durante el desarrollo.

51


Los resultados positivos de la aplicación de éstas, animaran a la puesta en

práctica de la parte restante del equipo educativo.

Es imprescindible combinar las técnicas y estrategias con las reglas

básicas del control de la clase, ya que la gestión del aula, planificación,

metodología de trabajo, expectativas de logros, clima de la clase... todas

ellas están más o menos presentes en los incidentes disruptivos y confieren

claves interpretativas más allá del sujeto o sujetos protagonistas en los

incidentes, ya que se encuentran en el contexto, en las variables que

interactúan.

Sugerencias de aplicación, dificultades más comunes, buenasprácticas, combinación con otras medidas

a) Sugerencias de aplicación.

Sería necesario que se establecieran “protocolos de actuación de buenas

práctica” en el tratamiento de las conductas inadecuadas dentro del aula,

en las que se especificarán estrategias alternativas a las punitivas para el

tratamiento de las mismas. Estas estrategias deberían ser bien conocidas,

ejercidas dentro del aula y revisadas por un grupo amplio de profesores

para proporcionar consistencia y coherencia de actuación ante el

alumnado.

El contraste de estilos docentes que confluyen en un mismo grupo y en un

mismo centro, se constituyen en un banco de estrategias docentes que

amplíe las perspectivas individuales de cada profesor en su isla-aula. Ello

exige un cambio de perspectiva del profesor en la que impere la confianza,

el apoyo mutuo y la ayuda como elemento clave de mejora del clima del

aula y de intervención en la disrupción, lo cual repercute en el conjunto del

centro y no sólo sobre el profesor concreto que necesita ayuda.

Estimamos que la mayor dificultad del desarrollo de esta medida es la

actuación coherente del profesorado necesario para que el alumnado

perciba que todo el equipo educativo responde por igual ante una conducta

disruptiva o no deseada, puesto que existen otras variables contextuales y

personales que pueden incidir en un momento dado en la respuesta o

reacción del profesorado.

52


La diferente perspectiva que cada profesor tenga sobre el conflicto derivado

de una disrupción, ya que cada profesor interpreta el escenario del aula

desde su propia visión y la forma peculiar en que afronta dichas situaciones

es un componente básico para su resultado final. Además, existen

diferentes estilos personales para afrontar los conflictos que se pueden

categorizar como agresivo, pasivo y asertivo que dan lugar a climas

sociales diferentes en el aula (agresividad, falta de responsabilidad y

respeto, beneficio mutuo). Por ello, la forma de actuar del profesor puede

convertirse en una variable condicionante en la prevención y en la

intervención.

b) Dificultades más comunes.

Destacamos como dificultad que puede existir para llegar acuerdos sobre

la gestión unificada del aula, los diferentes estilos de enseñanza y

personalidades de los profesores que interactúan en un mismo grupo-

clase diverso.

Tal vez la principal dificultad estriba en que las propias circunstancias

personales de cada profesor que nos puedan pillar fuera de juego y no

estemos preparados para reaccionar como sabemos, o que no nos

acordemos de cómo se aplica en ese momento. Hay que asumir un

porcentaje de errores, pero que van a disminuir rápidamente a medida que

utilicemos estas estrategias cotidianamente.

c) Combinación con otras medidas.

Con relación a la combinación con otras medidas y estrategias, existen

numerosas interacciones con todas aquellas que están directamente

relacionadas con la prevención de conductas disruptivas o desadaptadas.

Las estrategias que van destinadas a la mejora de la convivencia que

inciden en el clima social y cohesión grupal de la clase, programas

específicos de mejora de la convivencia:

P-1.Dinámicas de prevención y resolución de conflictos.

Habilidades sociales, asertividad, autocontrol, autoestima.

P-2.Los Proyectos de Educación Emocional

53


P-3.Programa de Asunción de Normas por el grupo

P-4.Mediación educativa

P-5.Acoso Escolar. (Método Pikas y otras cosas)

La tutoría como recurso para mejorar la convivencia, el tutor ejerce un

papel imprescindible en la implementación:

T-1.Tutoría en grupo.

T-2.Tutoría personal

T-3.Tutoría con familias.

T-4.Tutoría y coordinación de equipos educativos

En la adaptación de la respuesta educativa a la diversidad del alumnado de

un aula para la prevención de las conductas disruptivas, ya que se hace

necesaria recurrir a las estrategias de:

A-1.Aprendizaje COOPERATIVO

A-2.Interacción entre iguales

A-3.Otras metodologías y técnicas docentes

A-4.Adaptación de Unidades Didácticas al aula.

1.10.3 Estrategias para la atención a la diversidad.Medidas de atención a la diversidad

Todas las estrategias que se relacionan a continuación y que tienen que ver

con el modelo de Atención a la Diversidad derivado de la Orden de 4 de

junio de 2010, de la Consejería de Educación, Formación y Empleo, por la

que se regula el Plan de Atención a la Diversidad de los Centros Públicos y

Centros Privados Concertados de la Región de Murcia, tienen componentes

organizativos, curriculares y didácticos.

Todas estas medidas no son excluyentes. Se pueden utilizar de manera

complementaria.

La mayoría de estas estrategias se pueden aplicar de manera individual o

combinándolas con una o varias medidas de las aquí relacionadas.

Sin la pretensión de ser exhaustivo, este documento puede constituir una

primera toma de contacto con alguna de ellas.

a) Los métodos de aprendizaje cooperativo.

54


Son estrategias de carácter organizativo y didáctico. De una parte

organizan al alumnado por medio de pequeños grupos de trabajo a la hora

de trabajar. Por otra el modelo de aprendizaje se realiza desde una

perspectiva cooperativa. Consiste, fundamentalmente, en que los alumnos

se ayuden para aprender trabajando en equipos reducidos. El grupo

cooperativo permite que la adquisición de conocimientos sea compartida,

fruto de la interacción y cooperación entre los miembros del grupo, por lo

que resulta muy positivo para que el alumnado con necesidades

específicas de apoyo educativo pueda aprender y autorregular sus

procesos de aprendizaje.

b) Aprendizaje por tareas.

Partimos de la idea de que una tarea es una actividad o conjunto de

actividades debidamente organizadas y enlazadas entre sí con el fin de

conseguir un fin o una meta determinada. Una tarea es un modelo de

secuencia didáctica organizada de tal forma que ayuda a los

estudiantes a lograr la realización de una actividad compleja

relacionada con distintas áreas de conocimiento y con la experiencia

vital de los propios estudiantes. Se trata de una estrategia que todos

los expertos la señalan como idónea para el desarrollo de las

competencias básicas.

c) El aprendizaje basado en proyectos.

El trabajo basado en proyectos se articula en base de los interrogantes

que formula el alumnado. Cada nuevo interrogante puede constituir un

nuevo proyecto y éste a su vez un nuevo aprendizaje. Esta forma de

organizar la enseñanza-aprendizaje implica asumir que los

conocimientos escolares no se articulan para su comprensión de una

forma rígida, en función de unas referencias disciplinares

preestablecidas y de una homogeneización de los individuos y de la

didáctica de las disciplinas.

d) El auto aprendizaje o aprendizaje autónomo.

Proceso mediante el cual los estudiantes asumen la iniciativa, con o sin

ayuda del profesorado, en el diagnóstico de sus necesidades de

aprendizaje, la formulación de sus objetivos, la identificación de los

55


recursos necesarios para aprender, la elección de las estrategias

adecuadas y la evaluación de los resultados de su aprendizaje. El auto

aprendizaje es algo que el ser humano posee en sí mismo y tiene la

función principal de aprender nuevas habilidades o mejorar las que ya

se poseen.

e) El aprendizaje por descubrimiento.

El sujeto no recibe los contenidos de forma pasiva, sino todo lo

contrario, de forma activa. Descubre los conceptos y sus relaciones, y

los reordena para adaptarlos a su esquema cognitivo. Los alumnos

deben ser estimulados a descubrir, a formular conjeturas y a exponer

sus propios puntos de vista. La utilización del descubrimiento y de la

intuición es propuesta por Bruner (1988) en razón de una serie de

ventajas didácticas como son: un mayor potencial intelectual,

motivación intrínseca, procesamiento de memoria y aprendizaje de la

heurística del descubrimiento.

f) El contrato didáctico o pedagógico.

Un contrato es un acuerdo negociado (oral o por escrito), precedido de

un diálogo entre profesor y alumno con la finalidad de conseguir unos

aprendizajes a través de una propuesta de trabajo autónomo, que

puede ser de carácter cognitivo, metodológico o actitudinal.

g) La enseñanza multinivel.

El diseño de actividades multinivel constituye otra forma de atender la

diversidad en el aula porque posibilita que cada estudiante encuentre,

respecto al desarrollo de un contenido, actividades acordes a su nivel

de competencia curricular. La enseñanza multinivel trata de dar

respuesta a la diversidad de niveles. Las claves de este procedimiento

está en la multiplicidad en la formas de aprender (estilos de

aprendizaje), el desglose de actividades en distintos niveles (de más

simple a más complejo) y en las formas de evaluar (utilizando variedad

de técnicas e instrumentos).

h) Los talleres de aprendizaje.

Los talleres son espacios donde se realizan actividades dirigidas y

sistematizadas, con una progresión de dificultad ascendente para

56


conseguir que el alumnado haga uso de diversos recursos y conozca

diferentes técnicas y procedimientos que posteriormente utilizará de

forma individual en el aula. En enfoque del taller debe contener

componentes experienciales y manipulativos.

i) La organización de contenidos por centros de interés.

Esta estrategia curricular obedece a la organización creativa del

currículum (objetivos, contenidos, competencias básicas y criterios de

evaluación) en torno a centros de interés. Estos intereses parten del

alumno y pueden ser propios del currículum, de relevancia social y de

interés personal de los estudiantes. Una vez organizados el currículum

a través de estos centros de interés pueden utilizarse en el desarrollo

de otra estrategia didáctica (tarea, proyecto, secuencia...). Ovide

Decroly (1871-1932), desde un enfoque globalizador, introduce los

centros de interés como propuesta pedagógica intentando dar

respuesta a las necesidades e intereses naturales de los alumnos.

j) El trabajo por rincones.

Los rincones son un modelo organizativo y de gestión del aula que

nos permite distribuir el espacio físico del que disponemos en una

estructura de diferentes microespacios que, relacionados con el

modelo curricular o didáctico que se desarrolle en el aula, coadyuvan a

conseguir los objetivos propuestos en el currículum. Así se puede

distribuir por rincones de contenidos (el rincón de lengua, rincón de los

problemas, rincón de los experimentos..); por rincones de habilidades (

el rincón de las construcciones, el rincón del teatro, el rincón de los

inventos, ..); por rincones de materiales (el rincón de las pinturas,

rincón de la biblioteca...). En cada uno de estos pequeños espacios se

realiza un tipo de actividad determinada y diferente.

k) Los grupos interactivos.

Los Grupos interactivos es una estrategia didáctica activa que usa el

diálogo como base del aprendizaje. Los grupos interactivos son una

forma de concretar el aprendizaje dialógico dentro del aula. Para ello

requieren una organización flexible del aula. El grupo clase se divide

en varios grupos heterogéneos, tanto en género como en nivel de

57


aprendizaje u origen cultural, donde más de un adulto dinamiza el

trabajo del alumnado. Cada grupo está tutelado por una persona

adulta. Estos adultos pueden ser profesores del mismo centro (tutores

o de apoyo), familiares, voluntariado, estudiantes etc...). Así se crea un

nuevo espacio de trabajo orientado a la aceleración del aprendizaje

comunicativo y cooperativo. La atención de los adultos permite un

seguimiento individualizado y grupal.

l) La gradación de las actividades.

Con esta estrategia didáctica, los maestros trabajan adecuaciones en

los elementos del currículo para atender a las necesidades de todos

sus alumnos haciendo énfasis en los contenidos procedimentales, por

medio de una graduación de las actividades en cuanto a su

complejidad.

m) La elección de materiales y actividades.

Visto desde la perspectiva de la elección de materiales y actividades

por parte del alumno, esta estrategia se basa en metodologías para el

aprendizaje activo y se apoya en un modelo de aprendizaje en el que

el papel principal corresponde al estudiante, quien construye el

conocimiento. El papel del profesor o maestro es proporcionar y

diseñar pautas, actividades, materiales o escenarios variados donde

los alumnos eligen aquellos que mejor se adaptan a su estilo de

aprendizaje a sus características y necesidades, tanto de forma

individual como colectiva de cada grupo.

n) El refuerzo y apoyo curricular de contenidos trabajados en clase,

especialmente en las materias de carácter instrumental.

Esta medida es básica. El diseño de actividades para todos de refuerzo

y de apoyo a currículo satisface la idea de inclusión, en el sentido de

que cada alumno pueda desarrollar sus capacidades y competencias al

máximo de sus posibilidades personales. Estas actuaciones de

refuerzo y apoyo curricular de los contenidos de las materias básicas

deberán contemplar las diferentes formas de acceso a la información,

de integración de los esquemas de aprendizaje y de las diferentes

58


formas de expresión de lo aprendido de cada alumno de forma

individual y del grupo, de manera colectiva.

o) El apoyo en el grupo ordinario.

(Apoyo Curricular). Los Grupos de Apoyo al profesor son un sistema

de apoyo interno formado por un grupo de profesores que colaboran

con sus compañeros en el análisis y búsqueda de soluciones a los

problemas que estos planteen al grupo. Apoyo al alumnado: La

atención a las necesidades de cada uno de los alumnos visto de

manera individual es uno de los ejes de la acción tutorial. Una vez

detectadas esas necesidades es imprescindible promover medidas de

apoyo individualizado que les proporcione orientación y respuestas

concretas a sus necesidades. Desde el modelo curricular de apoyo, no

se trata que se les proporcionen a este alumno medidas de

recuperación diferentes y aisladas, sino que desde una perspectiva

curricular, éstas estarán contempladas e insertas en las propias

decisiones y estrategias del centro y a partir de la propia programación

de aula con las consiguientes adaptaciones curriculares más o menos

significativas según las necesidades y potencialidades del alumnado.

Apoyo al grupo –Aula. No podemos confundirlo con la idea de apoyo

“dentro del aula”, el cual sólo se produce de forma física puesto que la

actuación continúa recayendo en el alumno/a determinado, en sus

necesidades, teniendo que ver o no las actividades allí realizadas con

lo que desarrolla el resto de la clase. Desde esta medida el foco de la

actuación es el aula como un todo global, en la que existen diversas

realidades. Tutor y Profesor de Apoyo aúnan esfuerzos para dar

respuesta a la realidad de su aula, partiendo desde la colaboración

como medio de atención para dar una respuesta adecuada y coherente

a todos y cada uno de los alumnos, sabiendo que un apoyo dirigido a

las necesidades del grupo –aula no repercutirá sólo sobre el grupo en

su totalidad, sino en cada alumno individualmente.

p) La tutoría entre iguales.

La tutoría entre iguales es un sistema de instrucción constituido por

una díada, en la que uno de los miembros enseña al otro, dentro de un

marco planificado externamente. Es una estrategia que trata de

59


adaptarse a las diferencias individuales en base a una relación que se

establece entre los participantes. Suelen ser dos compañeros de la

misma clase y edad, uno de los cuales hace el papel de tutor y el otro

de alumno. El tutor enseña y el alumno aprende. También puede darse

la tutoría entre compañeros de distinta edad o la tutoría con inversión

de roles.

q) La enseñanza compartida o co-enseñanza de dos profesores en el

aula ordinaria.

(Apoyo dentro del aula). Dos profesores enseñan juntos y comparten la

responsabilidad docente. Esta alternativa supone el aprovechamiento

de los recursos personales del centro (profesores de apoyo, profesores

de pedagogía terapéutica, profesores de compensatoria...) en el aula

ordinaria. En la Co-enseñanza, los profesionales participan en la

enseñanza en condiciones de paridad o igualdad. Se establece

durante un periodo de tiempo concreto todos los días, o ciertos días

semana. Los profesores son corresponsables de la actividad docente:

programan, realizan y evalúan conjuntamente. Reconocimiento de sus

fortalezas y debilidades de manera complementaria. Los profesores en

parejas se observan entre sí como medio para mejorar desarrollo

profesional.

r) Los agrupamientos flexibles de grupo. Son una respuesta organizativa

de los centros para atender las necesidades originadas por la

diversidad de los alumnos presentes en las aulas y sus diferentes

formas de aprender. Los agrupamientos flexibles consisten en la

organización de varios grupos a partir de uno o varios establecidos,

que serán atendidos cada uno de ellos por uno o varios profesores a la

vez. Son grupos que varían de tamaño y que se reúnen durante

periodos de distinta duración, e implica una utilización más eficaz del

personal docente disponible (Yates, 1990). A través de los grupos

flexibles se organizan a los estudiante en nuevas estructuras grupales

en función de su nivel académico y en determinadas áreas del

currículo, especialmente las áreas instrumentales (Rué, 1991). Los

agrupamientos flexibles se realizan en función de la progresión del

alumno y de su nivel de rendimiento. No hay cursos ni trimestres, ni

60


junio ni septiembre, ni promoción o no. La edad no importa. Lo

importante es adecuar el aprendizaje al nivel del alumno (Barrueco,

1984). Condiciones o requisitos (Darder y Gairín, 1994): Existencia de

grupos diferentes al grupo clase de referencia durante, al menos 2

horas Semanales, y para trabajar alguna área curricular. Los alumnos

pueden pasar de un grupo a otro en cualquier momento. Están

pensados para favorecer el trabajo con la diversidad de los alumnos,

nunca para facilitar el trabajo uniforme con grupos supuestamente

homogéneos.

s) Los desdoblamientos del grupo.

Esta estrategia organizativa que significa la separación de un grupo en

dos nuevos grupos, para desarrollar algunas actividades en otro

agrupamiento. Debe llevar aparejada el cambio de estrategia

metodológica en los momentos del desdoble. Esta estrategia es

utilizada habitualmente en idiomas, para realizar interacción oral entre

todos los alumnos o en laboratorio, donde la actividad práctica y los

espacios impiden la participación de toda la clase a la vez.

Esta medida, además, ofrece varias posibilidades:

o Enseñanza paralela:

Mismo contenido a la vez en los 2 grupos.

Diferente contenido en cada grupo y luego se cambia un grupo

por otro.

o Enseñanza alternativa:

1 profesor atiende a 1 grupo reducido que necesita refuerzo o

ampliación y el otro atiende a los demás.

t) La utilización flexible de espacios y tiempos en la labor docente.

Distribuir adecuadamente el espacio para compensar las dificultades

de determinados alumnos es una de las medidas ordinarias de

atención a la diversidad.

Esta estrategia metodológica pone de relieve la utilización de todos los

elementos que intervienen en los procesos de enseñanza y

aprendizaje al servicio del mismo. Así, los espacios y los tiempos se

61


deben distribuir en función del tipo de tarea a realizar y de las

necesidades que planteen los alumnos.

Una concepción flexible del tiempo implicaría no el mismo horario todo

el curso para determinadas materias, grupos o alumnos.

Los desdobles, desde la perspectiva de la atención a la diversidad para

todos, se deben realizar con profesores que previamente se hayan

coordinado en la actividad a desarrollar, desarrollando un mismo

currículum y sin que obedezca a criterios de homogeneidad en

habilidades, conocimientos o destrezas, la separación del grupo. La

reducción evidente del número de alumnos por grupo desdoblado debe

repercutir en una atención individualizada más acorde a las

necesidades de cada uno de los alumnos y del grupo desdoblado en

su conjunto.

u) La inclusión de las tecnologías de la información y la comunicación en

el trabajo diario de aula.

Consiste en aprovechar las Tecnologías de la Información y la

Comunicación, utilizando el ordenador como un instrumento más al

alcance del docente, que facilite el poder dar una respuesta ajustada a

las necesidades de su alumnado, y que ayuda en la eficacia de

algunas tareas del proceso de enseñanza y aprendizaje inherentes a la

labor del profesor

v) Las redes de colaboración y coordinación del profesorado para el

diseño de proyectos, programaciones y para el seguimiento y

evaluación del alumnado.

Las herramientas tecnológicas ofrecen la organización de redes en la

educación y posibilitan la colaboración entre expertos y profesionales

que trabajan en un mismo proyecto o en temas de interés común. En

este sentido, existen multitud de herramientas de Internet que ofrecen

diversas utilidades (espacios compartidos, toma de decisiones,

asignación de tareas, votaciones, gestión de grupos, etc.) que facilitan

este trabajo colaborativo.

62


II UNIDAD:

Geometría desde el saber sabio hasta el saber aprendido

Geometría desde el saber sabio hasta el saber aprendido

Herramientaspara el

aprendizaje conel modelo Van

Hiele(papiroflexia,

mapasmentales, usode software,

regla ycompas).

Transposicióndidáctica” de

YvesChevallard.


Modelo deenseñanzay fases deVan Hiele.

63


2.1 Reseña biográfica de Yves Chevallard

Yves Chevallard nació el 1 de mayo de 1946 en

Francia. Es Licenciado en Matemáticas e investigador

de la Université d'Aix-Marseille II. Ha sido Director de

l'IREM de Aix-Marseille II; desde esa fecha se

desempeña como Catedrático Universidad IUFM d'Aix-

Marseille.

Es responsable de la formación inicial y continua de

profesores de matemáticas en el IUFM d’Aix-Marseille.

Miembro de la Association pour la Recherche en

didactique des mathématiques. Miembro del comité

científico de la colección Raisons éducatives publicada

por la Faculté de Psychologie et des Sciences de l’Éducation de l’Université de

Genève.

Ha sido conferencista invitado en diferentes congresos y reuniones científicas.

También ha dirigido tesis doctorales. Desde el año 1971, publica artículos y textos

en diferentes revistas científicas. Es autor junto con Marinna Bosch y Josep Gascón

del libro “Estudiar Matemática; el eslabón perdido entre la enseñanza y el

aprendizaje” (Barcelona/ICE Horsori) y de una de las obras más difundidas en el

ámbito educativo de los países de habla hispana como es “La Transposición

Didáctica: del saber sabio al saber enseñado” (Bs. As./Aique grupo Editor).


LecturaHemos caracterizado el hacer matemáticas como un trabajo de modelización.Este trabajo convierte el estudio de un sistema no matemático o un sistemapreviamente matematizado en el estudio de problemas matemáticos que seresuelven utilizando adecuadamente ciertos modelos. Se puede destacar tresaspectos en este trabajo: La utilización rutinaria de modelos matemáticos yaconocidos; el aprendizaje (y la eventual enseñanza) de modelos y de la manerade utilizarlos; y la creación de conocimientos matemáticos, es decir de nuevasmaneras de modelizar los sistemas estudiados.Yves Chevallard et al. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entreenseñanza y aprendizaje. pp 57.

64


Después de leer el párrafo anterior, contesta las siguientes preguntas:

4. ¿El problema central de la didáctica de las matemáticas es la enseñanza o en

aprendizaje?

5. ¿Hacer matemáticas es repetir adecuando los contenidos que ya fueron

estudiados por los creadores de la matemática?

6. ¿El trabajo del profesor de matemática consiste en vulgarizar los

conocimientos?

7. ¿Si la Trigonometría fue creada para resolver problemas de navegación, es en

ese mismo contexto que debe ser enseñada?

8. Si la respuesta es negativa, ¿Qué debe hacerse entonces?

2.2 LA TEORÍA DE LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA

Yves Chevallard (1991) ha creado una teoría de la “transposición didáctica”.

La importancia de este concepto, reside en el quiebre de la ilusión de

correspondencia entre el saber que se enseña y el conocimiento específico de la

disciplina en el ámbito académico pues, el saber que forma parte del sistema

didáctico no es idéntico al saber científico, y su legitimidad depende de la relación

que éste establezca desde el punto intermedio en el que se encuentra respecto de

los académicos y del saber banalizado de los padres.

La “transposición didáctica”, intenta proporcionar un esquema teórico de estudio

del proceso mediante el cual cierto conocimiento matemático, reconocido por la

El saber que forma parte del sistema didáctico no es idéntico alsaber científico. Una asignatura denominada “matemática” no esidéntica a la ciencia “matemática”

La transposición didáctica es la transformación del saber científicoen un saber posible de ser enseñado, se interesa por establecer unarelación entre el saber sabio de los matemáticos y el saber aenseñar y de ésta al saber enseñado.

PARTE 2: REFLEXIÓN TEÓRICA

65


OBJETO DE SABER

OBJETO DE ENSEÑANZA

OBJETO A ENSEÑAR

sociedad de matemáticos; se transpone con el fin de llegar a ser enseñado, en un

ambiente totalmente distinto: el ámbito escolar (generalmente); esto es, representa

una conversión de un objeto del saber que se va a enseñar en un objeto de

enseñanza. Para que un niño de los primeros grados de educación primaria

desarrolle el pensamiento probabilístico, no se le debe enseñar el “cálculo de

probabilidades” que conoce un matemático. Hay necesidad de hacer una

transposición didáctica

Es decir se adecuan al contexto de la clase. Se produce una distancia entre el

saber a enseñar y el saber científico. La transformación de los conocimientos en su

proceso de adaptación supone la delimitación de conocimientos parciales, la

descontextualización y finalmente una despersonalización.

El saber científico, tiene su historia, posee una epistemología. Para su

transformación en un saber a enseñar, es necesario que el Profesor conozca el o

los problemas que le dieron origen, el conjunto de conocimientos que se tenía en la

época de su creación, el conjunto de dificultades que se tuvieron que vencer, los

caminos que se evitaron, etc.

Para hacer la enseñanza más fácil se tamizan ciertas nociones ypropiedades, sacándolas de la red de actividades que le dieron,significado, motivación y uso

66


Cuando Isaac Newton (1643-1727) comenzó sus trabajos, de lo que sería después

el cálculo infinitesimal, él estaba interesado en resolver la “velocidad de cambio” o

“fluxión” de magnitudes que varían de manera contínua o fluentes, tales como

longitudes, áreas, volúmenes, distancias, temperaturas, y logró resolver situaciones

contextualizadas; sin embargo, cualquiera que estudia hoy un curso de Análisis

Matemático, puede estudiarla sin hacer referencia a los problemas que le dieron

origen.

Compartir ese saber, aún en el interior de la comunidad académica, supone cierto

grado de despersonalización, que constituye un requisito para la publicidad del

saber.

Se hace necesario, el análisis de la epistemología del conocimiento matemático de

la matemática como saber sabio que pertenece a los investigadores a la

matemática y su relación con la matemática que debe ser enseñada, ya que,

evidentemente, son distintas.

El conocimiento Matemático, puede presentarse de diferentes formas, pero para los

matemáticos una de las formas clásicas es la presentación axiomática. Esta hace

posible definir este objeto de estudio en términos de nociones introducidas

previamente, permitiendo la organización de nuevos conocimientos en relación con

los ya adquiridos.

El conocimiento matemático provee al profesor y al alumno una manera de ordenar

y acumular en un mínimo de tiempo, un máximo de conocimientos, próximos al

conocimiento optimado, sin importar la sucesión de dificultades y preguntas que

provocaron la aparición de otros conceptos fundamentales, se usa en el

planteamiento de nuevos problemas, la inclusión de técnicas y preguntas que

permitieron buenos resultados en otros sectores, el rechazo de puntos de vista que

resultaron ser falsos y las discusiones en relación con ellos.

La construcción de un conocimiento, frecuentemente se encuentracontextualizada a la o las situaciones que le dieron origen, perofinalmente, el conocimiento científico que es aceptado por lacomunidad de científicos, se encuentra descontextualizada,despersonalizada

67


El saber, como objeto del conocimiento de la comunidad de científicos que es

descontextualizada, ahora se vuelve a contextualizar con situaciones o problemas

acorde al momento de enseñanza y tomando como base los conocimientos que

tiene el alumno, algunas de la cuales no existían en la época en la que se elaboró

el conocimiento sabio.

Profesor

Saber

Estudianteo

Epistemología deldocente

Relación didáctica

(Asimétrica)

Concepciones dela cultura, de la

escuela, del saber

El saber a enseñar, es distinto, no se trata de una adaptación, sinode una reinvención.

Las situaciones de aprendizaje pueden tener característicasmuy originales. Se produce una epistemología del queaprende. El que aprende posee un conjunto de conocimientosdistinto de los conocimientos que se tenía en la época de sucreación, las dificultades que tienen que vencer, los caminosque se deben evitar, etc… son diferentes a las de loscientíficos.

68


Uno de los temas que interesa a la transposición didáctica, es la cronología del

saber a enseñar, evidentemente, que esta cronología tiene dos direcciones. El

tiempo dedicado a la enseñanza, frecuentemente determinado por los documentos

oficiales, tales como el DCN o el DCR, pero el tiempo de aprendizaje, casi nunca o

nunca es considerado; pues, para el sistema didáctico clásico los alumnos se

encuentran en grupos homogéneos (pese al psicologismo).

Inicialmente, y porque el profesor es el que sabe más o porque ya sabe el saber a

enseñar, determina el tiempo dedicado a la enseñanza a través del conjunto de

actividades de aprendizajes, pero frecuentemente, esta cronología se destruye por

el propio aprendizaje (los alumnos tienen dificultades y requieren más tiempo de lo

previsto), en el mejor de los casos se reconstruye el tiempo, pero frecuentemente

no se considera y se pasa al siguiente saber a enseñar (lo que sucede, es problema

de los alumnos).

Los cronogramas de exámenes, casi nunca consideran el tiempo de enseñanza ni

de aprendizaje. Los profesores deben determinar el tiempo de enseñanza para

hacer coincidir con el cronograma de exámenes, pero no se toma en cuenta la

cronología de aprendizaje de los estudiante.

Se tiene la ficción de isomorfismo entre el tiempo de enseñanza con el tiempo de

aprendizaje. La relación tiempo de enseñanza con el tiempo de aprendizaje se

denomina la cronogénesis del saber.

Pero hay algo más: ¿se debe enseñar, por ejemplo, la sustracción de números

naturales, de la misma manera a los estudiantes trabajadores que ya tienen

experiencia con el manipulación del dinero y a los estudiantes citadinos sin tal

experiencia?. La respuesta parece obvia, existe pues, también una topogénesis del

saber. El aprendizaje es diferente según los lugares donde hay experiencia previa

del saber.

Frecuentemente el tiempo de aprendizaje no coincide con eltiempo de enseñanza

69


Este y otros temas, son objetos de investigación para edificar sólidamente la

Didáctica de la Matemática, pues toda ciencia se edifica con la investigación,

aunque lo recíproco no es cierto, pues se puede hacer investigación científica, pero

el resultado no ser ciencia. Por esta razón, hay necesidad de que las Facultades de

Educación peruanas, reorienten sus programas de investigación.

Chevallard parte del análisis del sistema didáctico, que lo representa como una

relación ternaria entre los docentes, los estudiantes y el saber (que se enseña)

Así, alrededor del sistema didáctico aparece lo que el autor denomina noosfera y

que representa una suerte de tamiz en el cual interactúa dicho sistema con el

entorno social. La noosfera se encuentra representada por instituciones que

representan a los distintos integrantes, y todas ellas tienen sus propias

expectativas, cuando no sus propios caprichos. Las agrupaciones de docentes,

algunos opinan desde el punto de vista profesional, otros lo hacen desde la

perspectiva ideológica.

Por otra parte:

Además, las autoridades educacionales y sus instancias de supervisión y control,

están más interesados en el cumplimiento de las normas emitidas por el Ministerio

de Educación y elaboración de los diseños de aprendizaje, que realmente en los

Las instituciones de Padres de Familia, generalmente, tienen expectativasdistintas al sistema, por ejemplo, ingreso a las universidades (lo queprovoca, que muchas veces la acción educativa se desvíe hacia laalgoritmización, en lugar de la construcción del pensamiento matemático

Los productores del saber (Matemáticos asesores en el Ministerio deEducación), evidentemente, piensan desde el punto de vista de laestructura de la ciencia

Por otra parte el saber enseñado dentro del sistema didáctico,requiere la aprobación de la comunidad científica, pero también el delos padres que delegan en las instituciones la instrucción de sushijos

70


procesos mismos del aprendizaje, no se toma en cuenta ni la cronogénesis ni la

topogénesis.

2.3 La perspectiva antropológica

Una profundización de la teoría de la transposición didáctica, al mismo Y.

Chevallard le ha conducido a proponer una perspectiva antropológica.

Como se afirmó anteriormente, la actividad matemática escolar no está aislada,

sino que se integra dentro de las actividades matemáticas institucionales, los que

ahora pasan a constituirse en el objeto primario de las investigaciones didácticas.

Esta es la perspectiva antropológica, desde esta perspectiva la didáctica de la

matemática sería el estudio de hombre -las sociedades humanas- aprendiendo y

enseñando matemática.

El problema central de la didáctica es para Chevallard el estudio de la relación

institucional con el saber, de sus condiciones y de sus efectos, considerando el

conjunto de condicionantes cognitivos, culturales, sociales, inconscientes,

fisiológicos del alumno, que juegan o pueden jugar un papel en la formación de su

relación personal con el objeto de saber en cuestión.

Así pues, los enfoques clásicos se fundamentan científicamente en los aportes de

la psicología, y con énfasis en dos actores del proceso enseñanza-aprendizaje, que

responden al siguiente esquema:

Plantea que el objeto principal de estudio de la didáctica de lamatemática está constituido por los diferentes tipos de sistemasdidácticos -formados por los subsistemas: docentes, alumnos ysaber enseñado- que existan actualmente o que puedan ser creados,por ejemplo, mediante la organización de un tipo especial deenseñanza. (Yves Chevallard, 1989)

ENSEÑANZA APRENDIZAJE

71


En este esquema está ausente el ¿qué se aprende? y el ¿cómo se aprende? Sin

embargo todo profesor, sabe que el “aprendizaje” de los alumnos no es un

resultado mecánico de la “enseñanza” del profesor, sino del conjunto de acciones

que realizan tanto profesores como estudiantes cuando resuelven situaciones

específicas que son parte de un conocimiento matemático determinado.

No se aprende ni se enseña en el vacío, se aprende y se enseña un determinado

saber. Se aprende y se enseña matemática que existe en la sociedad. Se aprende

y se enseña a grupos sociales y mediante múltiples acciones. Este conjunto de

acciones que realizan los estudiantes y el profesor, Yves Chevallard, la ha

denominado “el eslabón perdido” o estudio. En este enfoque, la enseñanza, ocupa

el lugar de un subproceso del proceso de estudio, es decir:

El estudio es hoy el eslabón perdido entre una enseñanza que parece querer

controlar todo el proceso didáctico y un aprendizaje cada vez más debilitado por la

exigencia de que se produzca como una consecuencia inmediata, casi instantánea,

de la enseñanza.

ENSEÑANZA

APRENDIZAJE

ESTUDIO

No se puede hablar del proceso enseñanza y aprendizaje de lasmatemáticas, sin preguntarnos, ¿qué es la matemática?, en quéconsiste y para qué sirve hacer matemáticas. Sin embargo, estaspreguntas no sólo deben referirse a las matemáticas escolares, sinoen general, a toda la matemática que existe en la sociedad.

“ La Didáctica de la Matemática como ciencia trata de restituir alestudio en el lugar que le corresponde: el corazón del proyectoeducativo de nuestra sociedad. (…) Se propone considerar a laeducación de manera más amplia como un proyecto de estudiocuyos principales protagonistas son los alumnos. El profesordirige el estudio, el alumno estudia.”

72


Así, el estudio como conjunto de actividades que se realiza con la intención de

apropiarse de un conocimiento ya establecido o en vías de constitución, se

convierte en el eje central de la nueva Didáctica de la Matemática. El proceso del

estudio está constituido por subprocesos, tales como:

La tarea escolar

Toma de apuntes y su sistematización

Resolución de problemas, individual o grupalmente

Resolución de problemas reales del entorno

Ejercitación, individual o grupalmente,

Lectura, comentario y exposición de temas específicos,

Aplicación y transferencia de determinados conocimientos,

Investigación bibliográfica o investigación científica,

Enseñanza sistematizada,

Clase magistral por parte del profesor u otro especialista,

Participación en conferencias, etc.

Es en este marco, el que la tarea del estudiante toma sentido: Hay necesidad que el

estudiante realice tareas de alta demanda cognitiva. Pues, las tareas de baja

demanda cognitiva, tales como la ejercitación y los ejercicios y problemas tipo, que

sólo reducen el tiempo de su ejecución sirven para reducir tiempos en la

realización mecánica, pero que pueden obstaculizar la comprensión.

Actualmente, la Didáctica de la Matemática se ocupa del proceso del estudio,

pasando los procesos de enseñanza y aprendizaje a un segundo plano, pero no por

ello de menor importancia.

Además, cuando se habla de un saber matemático ya constituido o en vías de

constitución, no sólo nos referimos a LAS MATEMÁTICAS ESCOLARES o

matemáticas que se encuentra en el DCN o en DCR, sino al PENSAMIENTO

MATEMÁTICO que el estudiante necesita para el desenvolvimiento en el mundo

social, del que es parte; por tanto, incluye la resolución de problemas reales que el

entorno social plantea al que aprende.

73


El alumno se comporta como un matemático, aprender matemática se convierte en

hacer matemática, y la didáctica toma como objeto de estudio la epistemología del

aprendizaje, hay que explicar la evolución del pensamiento matemático, sus

dificultades y obstáculos, las simplificaciones, el paso del saber hacer a la

reconstrucción lógica, la conversión de las acciones físicas en conocimiento

matemático.

Entonces, ¿Qué significa hacer matemática? Justamente es hacerlas, en el

sentido propio del término, construirlas, fabricarlas, producirlas. Por supuesto no se

trata de hacer reinventar a los alumnos la matemática que ya existe, sino de

involucrarlos en un proceso de producción matemática donde su actividad tenga el

mismo sentido que tiene para los matemáticos que crean conceptos matemáticos

nuevos.

Hacer matemática no debería ser una actividad que permitiera a un pequeño

número de elegidos por la naturaleza o por la cultura acceder a un mundo muy

particular signado por la abstracción.

Hacer matemática es un trabajo del pensamiento, que construye conceptos para

resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de los conceptos así

construidos, que rectifica los conceptos para resolver esos nuevos problemas, que

generaliza y unifica poco a poco esos conceptos en universos matemáticos que se

articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin cesar.

No se trata de dar respuestas definitivas a estas cuestiones; por el contrario, cada

uno de los argumentos o de las cuestiones que se abordaron abre una gran

cantidad de nuevas preguntas, pero hay algo que es indiscutible y es que más allá

de qué matemática se enseñe o se aprenda en la escuela, debe ser una

matemática con sentido, que permita al alumno ingresar al universo matemático, no

sólo conocer y aprender los conceptos fundamentales de este edificio, sino también

conocer y practicar las actividades propias de esta ciencia, su forma de actuar, de

obtener nuevos resultados, de validarlos..., y que fundamentalmente le permita

involucrarse en el aprendizaje.

Es probable, que muchas personas opinen que todos o casi todos los subprocesos

descritos anteriormente ya se utilizan en la actualidad; sin embargo, conviene

74


resaltar, que en efecto, muchos de los denominados subproceso del proceso

didáctico del estudio ya son parte de la práctica de los docentes; pero no con la

importancia que considera la Didáctica Moderna.

No se trata de trabajos complementarios que formalmente preparan los estudiantes.

Se trata de considerarlas como las actividades centrales del aprendizaje, por tanto,

hay que analizarlos, corregirlos, respetar y discutir las respuestas, orientar o

reorientar hacia logros, etc., pues, en estos trabajo es donde se encuentran

plasmados los errores y dificultades que los seres humanos comenten cuando se

trata de aprender, y cuando ellos se superan se encuentra el sentido y significado

de los aprendizajes. Las limitaciones de los enfoques anteriores se centran en el

sentido y significado de lo que se aprende.

En los enfoques tradicionales, el sentido y significado de unaprendizaje se hace por sobredosis de ejercitación o aplicación de lateoría que se aprende o por la resolución de situaciones nuevas portransferencia.

En el enfoque de la Didáctica Moderna, el sentido y significado de un aprendizaje

se adquiere cuando se pone en juego lo que se está aprendiendo para resolver

situaciones problemáticas específicas, analizando los errores y las dificultades que

cometemos cuando estamos aprendiendo, lo que conducen a los modelos teóricos

que la sintetizan.

En el enfoque moderno: aprender, es otorgar sentido y significado alas construcciones cognitivas que realizamos y que se inician con lasacciones de todo tipo cuando se resuelven situacionesproblemáticas.

Estudiar significa mucho más que resolver ejercicios del texto o similares, aunque

esta actividad está incluida en el estudio. Sabemos que estudiar un concepto

involucra, entre otras cosas, relacionarlo con otros conceptos, identificar qué tipos

de problemas se pueden resolver y cuáles no con esta herramienta, saber cuáles

son los errores más comunes que se han cometido en la clase como parte de la

producción y por qué.

75


Como es sabido, cada disciplina tiene una especificidad en su quehacer, tiene

formas particulares de producir, de comunicar y validar conocimientos. No se

estudia de la misma manera conceptos de las Ciencias Sociales y de las Ciencias

Naturales, y menos aún los conceptos de la Matemática.

Estas formas específicas deben estar incluidas en el momento del estudio; es decir,

el estudiante no puede estudiar desconociendo, por ejemplo, las maneras de

establecer la verdad en matemática. Estas formas específicas de producir el

conocimiento, de validarlo y de comunicarlo deben estar incluidas en el estudio del

estudiante.

Estudiar matemáticas, supone, pues, resolver problemas, construirestrategias de validación, comunicar y confrontar con otros eltrabajo producido y reflexionar sobre el propio aprendizaje.

En la actualidad los alumnos estudian de manera independiente y en muy escasos

momentos –en general antes de un examen–. Las actividades de los estudiantes se

restringen al trabajo que se realiza en clase produciendo una fuerte dependencia

hacia el profesor. Esta dependencia se ve fortalecida por otras cuestiones. En las

clases de matemática no es común el uso de libros de referencia, con lo cual –en el

momento de estudiar– los alumnos sólo disponen de los apuntes que tomaron en

clase y de lo que el profesor explicó.

El aprendizaje no es la consecuencia inmediata de la enseñanza; nohay aprendizaje sin un trabajo personal del alumno, es decir sinestudio; contribuir a la organización del estudio del alumno deberíaser parte del proyecto del profesor.

Chevallard, manifiesta que cuando se trata de resolver problemas como actividad

matemática de aprendizaje, hay que distinguir por lo menos tres tipos de

actividades distintas:

Utilizar matemáticas conocidas: Consiste en resolver problemas a partir de las

herramientas matemáticas que ya se posee.

76


Aprender y enseñar matemáticas: Cuando se presenta un problema y nos faltan

herramientas, la solución consiste en hacerse de esas herramientas, ya sea por

nosotros mismos o recurriendo a alguien que conoce los instrumentos que nos

falta.

Crear matemáticas nuevas: Se trata de resolver situaciones matemáticas o extra

matemáticas para lo que es necesario crear nuevos modelos o imaginar nuevas

utilizaciones para modelos antiguos.

En el 2013, el Profesor Alberto Aguilar de una cierta I.E. hace la siguiente reflexión:

“Durante el año 2012, respecto a mi labor como docente no logré que los estudiantes

logren resultados apropiados en el desarrollo de los conocimientos que propuse”, ante

esta situación, el profesor debe decidir: retiro esos temas en los que no tuvimos éxitos

deseados el año anterior.

Sin embargo, algunos profesores que asistieron al Curso de Especializazión, le sugieren

hacer una buena transposición didáctica de dichos temas. Si estarías en esta situación

¿Qué alternativa de solución darías?. ¿Por qué?

El Lic. Mario Carillo de la I.E. “27 de Mayo” - Quilcas reflexiona:

“En el aula del segundo grado que tiene mayor cantidad de estudiantes, existen

estudiantes con bajo nivel de conocimientos y deficiente logro de aprendizajes en

resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, a quienes no los he

atendido adecuadamente el año 2012. ¿Qué debo hacer para ayudarlos?. ¿Qué tareas

HERRAMIENTAS PARA LA NUEVAPRÁCTICA

PARTE 3:

ACTIVIDADES DE METACOGNICIÓN

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

77


deben efectuar los estudiantes?. ¿Qué situaciones didácticas debo plantear como

docente?

Ayuda a Mario a solucionar el problema que se le ha presentado.

¿Qué situaciones didácticas me permiten aproximarme a la visión antropológica de la

didáctica?

¿Qué transposición didáctica debo hacer para que mi silabo refleje mejor “el saber a

enseñar”?

¿Qué relación existe entre una transposición didáctica y el pensamiento variacional?

¿Qué relación existe entre la transposición didáctica y las tareas de alta demanda

cognitiva?

2.4 Modelo de enseñanza y fases de Van Hiele.

ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN


Lectura

Al efectuar los cálculos obtenemos: =Si hallamos el área del mismo trapecio sumando las áreas de los tres triángulos,

obtenemos = + + =Finalmente igualando A y simplificando se obtiene: = + qie no es sino elconocido teorema de Pitágoras.

r

r

n

n

m

m

78


Después de leer el párrafo anterior, contesta las siguientes preguntas:

1. ¿Qué tipos conocimientos de base debe tener un estudiante para seguir la

demostración del teorema de Pitágoras, siguiendo los pasos seguidos por J.A.

Garfield?

2. ¿La demostración dada por J.A. Garfield, pertenece al álgebra o a la Geometría?

3. ¿Si este tipo de demostración. Consideras que es simple, entonces se puede

concluir que existen niveles de comprensión en la geometría?

4. ¿Qué entiendes por deducción formal?

5. ¿Toda demostración tiene que ser formal?

6. ¿Qué entiendes por rigor en una demostración?

La Teoría de van Hiele o Modelo de van Hiele o Niveles de van Hiele es una teoría de

enseñanza y aprendizaje de la geometría, diseñado por el matrimonio holandés van

Hiele.

El modelo tiene su origen en 1957, en las disertaciones doctorales de Dina van Hiele-

Geldof y Pierre van Hiele en la Universidad de Utrecht, Holanda. El libro original donde se

desarrolla la teoría se conoce como Structure and Insight : A theory of mathematics

education.

La teoría propuesta por los esposos Van Hiele se ubica dentro de la concepción de

currículo de la matemática y específicamente en la elaboración de un currículo abierto de

la Geometría.

El modelo está conformado por Niveles y por Fases


Currículo abiertode Geometría

NIVELES: Ayudan a secuenciar los contenidos

FASES: Organizan las actividades del aprendizaje

79


La idea básica del modelo, expresado en forma sencilla se resume en lo siguiente:

Estas características o propiedades del modelo de Van Hiele, se relacionan con los

Niveles.

Los niveles van Hiele son cinco, se suelen nombrar con números del 1 a 5, siendo esta

notación la más utilizada; aunque también existe la notación del 0 al 4, que es la que

utilizaremos en el presente texto.

El aprendizaje de la geometría se construye pasando por niveles depensamiento. Según, este modelo, se requiere una adecuadainstrucción para que los alumnos puedan pasar a través de los distintosniveles

Al contrario de lo que piensa J. Piaget, considera que estos niveles noestán asociados con la edad, y concordando con J. Bruner, consideranque van asociados con cada aprendizaje, además cumplen con lassiguientes características:

No se puede alcanzar el nivel nsin haber pasado por el nivelanterior n-1, o sea, el progresode los alumnos a través de losniveles es secuencial.

Lo que es implícito en un nivelde pensamiento, en el nivelsiguiente se vuelve explícito

Cada nivel tiene su lenguajeutilizado (símbolos lingüísticos)y su significatividad de loscontenidos (conexión de estossímbolos dotándolas designificado.

Dos estudiantes con distintonivel no pueden entenderse.

80


Ellos, en su serie de conferencias, manifestaban que al desarrollar la instrucción de

acuerdo a esta secuencia, permite promover al estudiante al nivel siguiente del que se

encuentra.

Los niveles, en notación que va del 0 al 4, se expresa de la manera siguiente:

A continuación, intentaremos hacer una descripción de cada nivel:

Nivel 0 : Visualización o reconocimiento

En este nivel se perciben los componentes y propiedades; los objetos se perciben en su

totalidad como un todo, no diferenciando sus características y propiedades.

Las descripciones son visuales y tendientes a asemejarlas con elementos familiares.

Experimentando con las figuras u objetos pueden establecer nuevas propiedades.

A pesar de la experimentación no se llegas todavía a clasificaciones. No se realizan

definiciones

Ejemplo: identifica paralelogramos en un conjunto de figuras. Identifica ángulos y

triángulos en diferentes posiciones en imágenes. (Si se trata del teorema de Pitágoras, en

este nivel, se juegan con triángulos rectángulos y no rectángulos y con varios tipos de

cuadriláteros)

Nivel 1: Análisis

Nivel 0 :Visualización oReconocimiento

Nivel 1 : AnálisisNivel 2 :

Ordenación oclasificación

Nivel 3 : DeducciónFormalNivel 4 : Rigor

81


De una manera informal pueden describir figuras por sus propiedades, pero no relacionar

unas propiedades con otras figuras o unas figuras con otras. No pueden elaborar

definiciones

Experimentan con figuras u objetos y establecen nuevas propiedades, pero no pueden

realizar clasificaciones de objetos y figuras a partir de sus propiedades.

Nivel 2: Ordenación y clasificación

Se perciben propiedades de los objetos geométricos. Pueden describir objetos a través

de sus propiedades (ya no solo visualmente). Señalan las condiciones necesarias y

suficientes que deben reunir. Pero no puede relacionar las propiedades unas con otras.

Realizan clasificaciones lógicas, se inicia el razonamiento matemático; se reconoce que

algunas propiedades se derivan de otras, estableces consecuencias de esas relaciones.

Pueden seguir demostraciones en presencia de los objetos, pero no asimilarlo en su

integridad.

Ejemplo: un cuadrado tiene lados iguales. Un cuadrado tiene ángulos iguales, porque

tiene lados iguales. (En el caso del teorema de Pitágoras: Experimentando pueden

construir cuadrados sobre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo, y pueden

experimentar con figuras recortadas o recortándolas, que el cuadrado grande sobre la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos)

Nivel 3: Deducción formal

En este nivel ya pueden efectuar deducciones y demostraciones lógicas y formales,

estableciendo la necesidad de justificar las proposiciones planteadas.

82


Se puede reestructurar una demostración experimental mediante la deducción a partir de

proposiciones o premisas distintas, lo que permite entender que se pueden realizar

distintas formas de demostraciones para obtener un mismo resultado.

Se puede comprender un sistema axiomático

Ejemplo: en un paralelogramo, lados opuestos iguales implican lados opuestos paralelos.

Lados opuestos paralelos implican lados opuestos iguales. (En el caso del Teorema de

Pitágoras, se puede efectuar otra demostración, por ejemplo siguiendo el razonamiento

de nuestra lectura inicial: Demostración del Presidente J.A. Garfield.)

En este nivel se realizan deducciones y demostraciones. Se entiende la naturaleza

axiomática y se comprende las propiedades y se formalizan en sistemas axiomáticos.

Van Hiele llama a este nivel la esencia de la matemática

Ejemplo: demuestra de forma sintética o analítica que las diagonales de un

paralelogramo se cortan en su punto medio. En este nivel se ubicaría también, la

demostración del teorema de Pitágoras, tal y como fue descrita en nuestra lectura inicial.

Nivel 4: Rigor

Se trabaja la geometría sin necesidad de objetos geométricos concretos. Se conoce la

existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se puede analizar y comparar.

Se aceptará una demostración contraria a la intuición y al sentido común si el argumento

es válido.

(En el caso del teorema de Pitágoras, se pueden efectuar la demostración mediante la

propiedad de la media proporcional geométrica, o la demostración clásica atribuida a

Pitágoras, y establecer equivalencias, clasificación de demostraciones, etc.)

Frecuentemente se considera que el nivel 4 es inalcanzable para los estudiantes y

muchas veces se prescinde de él, además, trabajos realizados señalan que los

estudiantes no universitarios, como mucho, alcanzan los tres primeros niveles. Es

importante señalar que, un o una estudiante puede estar, según el contenido trabajado,

en un nivel u otro distinto.

Algo importante que señalar: Los niveles se encuentran “secuancializados”, es decir

“jerarquizados; en otras palabras, los van Hiele considera que existe un orden inalterable

83


en los niveles. Y llegan a expresar que “lo que es inmplícito en un nivel se convierte en

explícito en el siguiente nivel”

Cambios de nivel. Fases del paso entre niveles

Las fases pueden dar pistas de cómo se puede secuenciar los contenidos curriculares de

la Geometría. Se trata, entonces, de la organización de las actividades dentro de una

unidad didáctica

Además de los niveles, que se refieren a la estructura de los contenidos geométricos de

la instrucción, los Van Hiele propones una secuenciación en fases de la instrucción o

proceso del desarrollo didáctico de los contenidos geométricos, y son los siguientes:

FASE 1: Preguntas/Información

Se trata de determinar, o acercarse lo más posible, a la situación real de los estudiantes.

Esta fase tiene por objetivo conocer lo que los estudiantes ya conocen y qué desconocen

para efectuar una adecuad secuenciación de aprendizaje. Esta fase, podría decirse que

se encuentra íntimamente vinculado con la propuesta ausubeliana: “Si tuviera que reducir

toda la Psicología Educativa a un solo principio diría lo siguiente: el factor más importante

que influye en el aprendizaje es lo que el estudiante sabe. Averígüese esto y enséñese

en consecuencia”.

Esta fase es oral, y mediante preguntas adecuadas se trata de establecer el punto de

partida de los estudiantes. Hay que esperar que las respuestas pueden estar en un nivel

concreto.

FASE 2: Orientación guiada o dirigida

FASE 1 :Información

FASE 2 :Orientqación

guiada o dirigidaFASE 3 :

Explicitación

FASE 4 :Orientación libre

FASE 5 :Integración

84


Esta es la fase en la que el tacto docente es de suma importancia. Se trata de organizar

una serie de actividades concretas, secuenciados adecuadamente, para que los

estudiantes experimenten, descubran, comprendan, asimilen, expliquen, etc., las ideas,

conceptos, propiedades, relaciones, etc. Que se convertirán en el motivo y eje de la

siguiente fase..

No se trata de divertirse con el uso de materiales o situaciones concretas, se trata de

actividades que poseen una intencionalidad hacia la determinación de ideas y acciones

fundamentales de base para la siguiente fase

FASE 3: Explicación (Explicitación)

Esta fase se puede favorecer mediante situaciones de comunicación, se trata de una fase

de interacción, de intercambio de ideas y experiencias, entre estudiantes, en la que el rol

del profesor se debe limitar a una intervención sólo cuando se trata de contenidos nuevos

o no previstos.

El buen profesor participa sólo para permitir el uso adecuado y correcto del lenguaje

pertinente. Las representaciones semióticas diferenciales de los estudiantes deben

homogenizarse conforme a lo requerido por la situación y en el nivel correspondiente.

La interacción entre pares es importante, porque obliga a los propios estudiantes a

ordenar sus ideas, y argumentar de modo comprensible para los demás.

FASE 4: Orientación libre

Es la fase direccionada a adquirir lo previsto, por tanto aparecen actividades más

complejas orientadas a aplicar los esquemas mentales ganadas en las fases anteriores,

tanto de los contenidos como del lenguaje necesario.

Lo ideal son los problemas abiertos o las situaciones problemáticas igualmente abiertas,

que, sin embargo, deben ser abordables de diferentes maneras o que puedan de varias

respuestas igualmente valederas, de conformidad con la interpretación del enunciado.

Estas tareas deben ser de alta demanda cognitiva con la finalidad de que se produzca

una mayor necesidad de justificar sus respuestas utilizando un razonamiento y lenguaje

cada vez de mayor potencia.

FASE 5: Integración

Se trata de una fase, no en la que aparecen nuevos conceptos, sino que se sintetizan los

que ya se han trabajado con anterioridad.

85


Se trata de establecer una red interna de contenidos y procedimientos. Si hay necesidad

de una acomodación o simplificación para mejorar lo ya aprendido, hay necesidad de una

reorganización, que inclusive sustituya lo que ya se posee.

Es en esta fase, que si hay necesidad de efectuar una recuperación con determinados

estudiantes por algunos retrasos en la adquisición de los conocimientos, se organiza el

aula para tal efecto. Por ejemplo, responsabilizando a los más destacados de otros

grupos a efectuar las recuperaciones pertinentes.

El Profesor ABC de una cierta I.E. hace la siguiente reflexión: “Durante el año

2012, respecto a mi labor como docente no logré que los estudiantes logren

resultados apropiados en el desarrollo de los conocimientos geométricos que

propuse”, ante esta situación, si yo fuera tal docente, ¿qué debería hacer para

mejorar mis sesiones de clases en el presente año?

¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi desempeño en el aula?

¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi plan de investigación acción?

Siguiendo la teoría de los esposos van Hiele, describa Ud., una secuencia de niveles y

fases para desarrollar una unidad de geometría escolar.

Siguiendo la teoría de los esposos van Hiele, describa Ud., una secuencia de niveles y

fases para desarrollar una unidad de trigonometría escolar

Investigue si el modelo de van Hiele ¿puede considerarse una propuesta constructivista?

¿Por qué?

HERRAMIENTAS PARA LA NUEVA PRÁCTICAPARTE 3:




86


¿Qué relación existe entre el modelo de van Hiele y la transposición didáctica?

¿Qué relación existe entre el modelo de van Hiele y las tareas de alta demanda

cognitiva?

2.5. Herramientas para el aprendizaje de geometría con el modelo Van Hiele

Una hoja de papel A4 tiene la forma de un rectángulo de dimensiones 21 cm x 29,7cm. ¿Sabías que esas medidas tienen algunas propiedades importantes?. Por ejemplo,si recortas un cuadrado de 21 cm x 21 cm, la diagonal de dicho cuadrado mideexactamente el otro lado del papel A4, es decir 29,7 cm. Si ahora divides el papel A4en dos partes iguales por el lado más grande, la propiedad anterior se conserva.

Si ahora recortas un nuevo cuadrado de lado 29,7 cm – 21 cm = 8,7 cm. El pedazo depapel restante forma otro rectángulo que tiene la misma proporción del A4. El procesopude seguirse indefinidamente.

Uniendo los cuadrados resultantes como en la figura y dibujando arcos en lugar de lasdiagonales, se obtiene la Espiral de Arquímedes.

Existen muchaspropiedades geométricasque se pueden hacerdoblando y cortandopapeles.


PARTE 3o Herramientas para el aprendizaje con el modelo Van

Hiele (papiroflexia, mapas mentales, uso desoftware, regla y compas).

87


1. Rectas horizontales y verticales.

Para construir dos rectas perpendiculares, consecuentemente ángulos rectos,

usaremos la técnica del “doblado de papel”. (Algunos lo denominan papiroflexia).

Podemos utilizar cualquier papel, por ejemplo un A4.

Doblamos tal como indica la figura, y en segundo lugar volvemos a doblar el papel

haciendo coincidir el lado doblado anteriormente. Si desdoblamos el papel, las

huellas nos dan dos rectas perpendiculares. Si mantenemos si desdoblar, tenemos

una escuadra, que se puede utilizar como medidor de ángulos rectos.

1. Explique, por qué, al doblar una hoja de papel usado, tal y cómo se sugiere en los

gráficos, las líneas dibujadas en rojo, son líneas perpendiculares?

2. ¿Es verdad que dicho ángulo mide 90°?

2. ¿CÓMO CONSTRUIR UN JUEGO DE TANGRAMA?

El Tangramao simplemente Tangram es un juego chino muy antiguo. El libro más

antiguo conocido es el Ch’iCh’iaot’uho-pi que reúne 323 figuras, sin embargo el

juego tiene una antigüedad mayor, se cree que data aproximadamente de unos 800

años antes de nuestra era. Se die que fue conocido con el nombre de Chi ChiaoPan, que significa “juego de los siete elementos” o “tabla de la sabiduría”

Desde su aparición como rompecabezas o juego, el Tangrama ha sido objeto de

numerosos estudios muy serios, así en 1942, Fu Traing Wang y ChuanChihHsiung,

de la Universidad Nacional Chekiang, demostraron que sólo existen trece polígonos

convexos que se puede construir con el Tangrama.


88


El Tangram, el milenario juego chino, no es un juego competitivo, sino un juego

individual o en grupo que estimula la imaginación y la fantasía creadora.

Hoy el tangram no sólo se utiliza como entretenimiento, se utiliza también en la

psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía. En el área de la

enseñanza de la matemática, se utiliza para la introducción de conceptos de la

geometría plana, y para desarrollar capacidades psicomotrices e intelectuales en los

jóvenes estudiantes, pues, permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta

con la formación de ideas abstractas.

1. Desde la construcción de nuestro tangram, ya hacemos uso de propiedades

geométricas. Iniciamos haciendo un cuadrado de cartulina, lo doblamos por una

de sus diagonales y recortamos por la línea del doblez para obtener dos

triángulos. ¿Qué fracción del cuadrado es cada triángulo?, ¿Qué clases de

triángulos se han formado, por qué?

2. Tomamos uno de los dos triángulos obtenidos en el paso anterior y lo doblamos

por el vértice del ángulo recto, de tal manera que éste quede dividido en dos

ángulos iguales, y que los lados de igual tamaño del triángulo queden uno

sobrepuesto al otro, consecuentemente en dos partes iguales. Recortamos por el

doblez y así obtenemos las primeras piezas de nuestro tangram: dos triángulos.

¿Qué fracción del cuadrado es cada nuevo triángulo?, ¿Qué clases de triángulos

se han formado, por qué?

89


3. Con el otro triángulo que quedó del cuadrado de cartulina hacemos lo siguiente:

doblamos el vértice del ángulo recto de tal manera que mire hacia el lado opuesto

del triángulo, y que la línea que resulte del doblado sea paralela a ese lado.

Recortamos por el doblez para obtener un triángulo –tercera pieza de nuestro

tangram – y un trapecio. ¿Qué fracción del cuadrado es este triángulo?

4. Tomamos el trapecio y lo doblamos por uno de los vértices del lado menor, de tal

manera que el doblez sea perpendicular tanto al lado menor como al lado mayor.

Recortamos por el doblez para obtener otro triángulo –cuarta pieza de nuestro

tangram– y un trapecio rectangular. ¿Qué fracción del cuadrado es el nuevo

triángulo?

5. Doblamos el trapecio rectangular por el lado que tiene los ángulos rectos, de tal

manera que el doblez sea perpendicular tanto al lado menor como al lado mayor,

y dividimos en dos partes iguales el lado menor. Recortamos por el doblez y

obtenemos un cuadrado – quinta pieza de nuestro tangram – y de nuevo un

trapecio rectangular. ¿Qué fracción del cuadrado grande es el cuadrado cortado?,

¿Qué fracción del cuadrado grande es el trapecio rectangular que queda?

6. Tomamos el nuevo trapecio rectangular y doblamos de tal forma que el vértice del

ángulo recto del lado mayor coincida con el vértice del ángulo obtuso del lado

menor. Recortamos por el doblez y obtenemos un triángulo y un paralelogramo –

sexta y séptima piezas de nuestro tangram. ¿Qué fracción del cuadrado grande

90


es el paralelogramo cortado? ¿Qué fracción del cuadrado grande es el triángulo

cortado?, ¿Es cierto que el paralelogramo tiene el doble de área que el triángulo?

Ahora ya tienes las siete piezas de un tangram clásico. Debes mezclarlos y

comienza a construir figuras.

3. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS ELEMENTALES DOBLANDO PAPEL

1. Línea que pasa por dos puntos: Se trata de conseguir que el doblez pase

simultáneamente por dos puntos previamente marcados. No es un ejercicio fácil si

la línea no tiene otra condición y no importa cuando sea necesario hacer trampa.

Con un lápiz unir los dos puntos, repasar la línea con objeto agudo no cortante, y

doblar por el segmento marcado.

2. Línea perpendicular a una dada: Doblamos el papel por la línea dada y hacemos

un nuevo doblez que lleve dicha línea sobre ella misma. La superposición de

cuatro ángulos que al desdoblar conforman un ángulo de 360º confirma el hecho

de la perpendicularidad.

3. Línea paralela a una dada: Perpendicular a una perpendicular.

4. Línea paralela a una dada que pasa por un punto: La segunda perpendicular se

hace pasar por el punto.

5. Mediatriz y punto medio de un segmento: Se hacen coincidir en el doblez los

extremos del segmento, con lo que éste se dobla sobre sí mismo teniéndose una

perpendicular.

6. Figura simétrica (punto simétrico, línea simétrica) respecto de otra respecto de

una línea: Se dobla el papel por la línea dada y la figura descansa sobre su

simétrica.

7. Bisectriz de un ángulo: Se dobla el papel de forma que coincidan las líneas que

forman el ángulo. (Tanto bisectrices como mediatrices son de fácil construcción).

91


4. CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO DOBLANDO PAPEL APARTIR DE UNA HOJA A 4

1. Doblando el papel A4 haciendo coincidir los

lados mayores del rectángulo, traza la paralela

media en el sentido largo del rectángulo.

2. Doblar el papel que lleva A sobre la paralela

media, se obtiene el punto A’ sobre la paralela

media y el punto C sobre uno de los lados del papel. El punto B se mantiene fijo

¿Es cierto, que el triángulo BCF es isósceles y de base CF?

¿Cómo son los ángulos: BFC y BCF? ¿Por qué?

¿Cómo es el ángulo CBF? ¿Por qué?

Hemos obtenido un triángulo equilátero partiendo de una hoja de papel A4. ¿Hay

algún problema si se intenta hacer sobre un papel rectangular cualquiera?

3. Doblar el papel hacia atrásprolongando el lado CA’. Tienes eltriángulo equilátero BCF.

4. ¿Puedes justificar por qué?

¿Qué ángulo forma el segmento BA´ con elsegmento CF ? ¿Por qué?.¿Qué es BA´ en el triángulo CBF?.¿Qué es A’ en el segmento CF. ¿Por qué?¿Qué es el segmento BA’ en el triánguloCBF?

C

D

92


5. CONSTRUCCIÓN DIRECTA DEL HEXÁGONO REGULAR A PARTIR DE UNRECTÁNGULO

Para la construcción de un hexágono regular, partimos de una situación análoga a la

anterior. Trazamos la paralela media en el sentido largo, como en el caso anterior;

sin embargo, ahora necesitamos además dos nuevas paralelas medias intermedias,

como en la figura.

Seguidamente se hacen los dobleces que se indican a continuación: Se doblan las

esquinas como en el caso anterior, pero sólo hasta las paralelas intermedias. Con un

lápiz se dibujan las prolongaciones de los segmentos resultantes de las dobleces,

que deben intersecarse en la paralela media del papel.

De ésta manera, se obtiene cinco de los vértices del hexágono regular. El sexto

vértice, se obtiene de varias maneras: a) Doblando hacia adentro, para obtener una

simetría por el punto de intersección en la paralela media. b) Doblando toda la figura

por alguna de las diagonales (prolongaciones del paso anterior)

Desdoblando el papel, puede identificar el

hexágono regular.

¿Puede justificar, por qué se dice que es un hexágono regular?

93


.

6. TRIÁNGULOS ISÓSCELES INSCRITOS EN UNA HOJA RECTANGULARCOMPARTIENDO DOS VÉRTICES CONTIGUOS DEL RECTÁNGULO. ELTAMAÑO A4.

1. Hay dos soluciones y ambas son fáciles. Justifica, ¿por qué, son triángulos

isósceles?

7. COMPROBACIÓN DOBLANDO PAPEL DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UNTRIÁNGULO. ÁREA DEL TRIÁNGULO.

1. Recorta un triángulo cualquiera. Apóyalo sobre el lado más largo. Doblando

traza una altura sobre ese lado.

bT C

B

A

D C

BA

De nuevo, para que la figura esté

completa hace falta que haya una relación

de medidas entre los lados del rectángulo.

¿Cuánto miden cada uno de los ángulos

internos? ¿Por qué? Sí se sabe que se ha

utilizado una hoja A4. ¿Cuánto mide cada

lado del hexágono?

hc

a

94


2. Doblando lleva B sobre T.

3.

A T-B C

4. Llevar tanto A como C sobre T.

8. TRAZADO DEL INCENTRO DOBLANDO PAPEL. IGUALDAD DE LA DISTANCIADEL INCENTRO A LOS LADOS.

1. Recorta un triángulo cualquiera.

2. Traza doblando sus bisectrices (une de

dos en dos los lados que forman los

distintos ángulos). Observa que las tres

líneas se cortan en un punto (tiene que

salir bastante bien ya que el trazado de

bisectrices doblando es fácil). Marca por

las dos caras del papel ese punto y

nómbralo con la letra I. I recibe el

nombre de incentro del triángulo.

T-B-A-C

95


3. Ahora vamos a trazar segmentos

perpendiculares desde I a los lados. Hacemos

resbalar un lado sobre él mismo doblando el papel,

aplastando sin marcar hasta que vemos aparecer en

el doblez el punto I. Sin perder la guía del lado

marcamos el doblez desde I hasta el lado.

Repetimos la operación en los otros lados.

Prueba que la distancia de I a los lados AB, AC y BC, son congruentes.

¿Cómo harías doblando papel?

9. TRAZADO DEL CIRCUNCENTRO DOBLANDO PAPEL. IGUALDAD DE LADISTANCIA A LOS VÉRTICES.

1. Recorta un triángulo acutángulo escaleno y traza sus mediatrices doblando

papel (haz coincidir de dos en dos

sus vértices). Comprueba que las

tres se cortan en un punto que

notaremos con la letra F y que

llamamos circuncentro.

96


2. Con un lápiz traza los segmentos AF, BF y CF.

Prueba que la distancia de F a los vértices A, C y B, son congruentes.

¿Cómo harías doblando papel?

De mayor ángulo en F debe ser el que se cierre abarcando a los otros dos.

3. La figura plegada nos muestra los ángulos M, N y P que son ………. Por

tanto miran al lado común bajo un ángulo de …….. y así M, N y P en esa

figura plegada están en una circunferencia de centro …………………… y radio

………………….

10. OCTÓGONO REGULAR

Vamos a construir un octógono regular por duplicación del número de lados de un

cuadrado o cuadrilátero regular. Este procedimiento puede generalizarse a algunos

otros polígonos regulares, por duplicación del número de lados. Primero construimos

un cuadrado, a partir de una hoja de papel A4. Llevamos un vértice hasta el lado

largo del rectángulo, se obtiene la diagonal del cuadrado. Unimos los dos puntos y

cortamos. Se tiene un cuadrado.

Doblando trazamos los

cuatro ejes de simetría del

cuadrado.

Una vez hecho esto,

doblamos haciendo coincidir dos ejes consecutivos:

97


Sin desdoblar la figura, doblamos las

cuatro puntas no solapadas y

desdoblamos habiendo obtenido un

octógono regular:

La duplicación de lados es siempre posible tanto con compás como con plegado.

11. OTRA FORMA DE OBTENER UN HEXÁGONO REGULAR

Construyamos un triángulo equilátero, como ya fue descrito antes.

Ahora vamos a construir un hexágono regular a partir de un triángulo equilátero,

siguiendo el método anterior de duplicación, o más rápidamente localizando su

centro (se puede hacer, siguiendo las pautas para hallar el incentro) y después

doblando las puntas hacia él:

La figura resultante está formada por un

hexágono regular y tres triángulos

equiláteros de igual lado que el

hexágono.

98


12. CONSTRUCCIÓN DEL PENTÁGONO REGULAR COMO NUDO.

La forma más simple de hacer un pentágono regular es haciendo un nudo a partir de

una tira o rectángulo bastante alargado.

Busca el o los argumentos para demostrar que el pentágono que se acaba de

justificar que ajustando se obtiene realmente un pentágono regular veamos las dos

de hallar, realmente es un pentágono regular.

13. CONSTRUCCIÓN DE UN PENTÁGONO REGULAR A PARTIR DE UN CUADRADO

Sea E el punto medio de BC. Tracemos la bisectriz de BEA.

Sea G en EA tal que EB = EG.

99


Tracemos la bisectriz de EAB y sea X en BA tal que AG = AX. Sea M el punto medio

de BX y N su simétrico respecto a la mediatriz de BA. MN es el lado del pentágono

regular que buscamos. Transportemos esa medida.

14. LA REGLA Y EL COMPÁS DE LA GEOMETRÍA CLÁSICA

La regla y el compás de las construcciones geométricas elaborada por los griegos

son idealizaciones de la regla y compas del mundo real. Son conceptos matemáticos

abstractos, como pueda serlo la raíz cuadrada, y no instrumentos físicos. Por tanto,

lo que se puede hacer con ellos son operaciones matemáticas, es decir:

idealizaciones de las acciones físicas que se pueden

hacer con un compás y una regla del mundo físico.

En ese sentido, el compás puede trazar circunferencias

de cualquier radio dado. Sólo puede abrirse entre puntos

que hayan sido previamente construidos, así que en

realidad su única función es trazar una circunferencia, o

parte de ella, con un centro predeterminado y un radio

también determinado por un punto prefijado. Además, se

trata de un compás "idealizado", que en cuanto deja de tocar el papel se cierra,

perdiendo todo recuerdo del radio de la circunferencia que acaba de trazar.

Así mismo, la regla es "infinitamente larga" (es decir, puede prolongar una recta

tanto como se quiera), carece de marcas que permitan medir con ella, y sólo tiene un

borde, cosa insólita en las reglas mundanas (si tuviera, por ejemplo, dos bordes,

permitiría trazar rectas paralelas). Puede usarse sólo con un fin modesto: trazar una

recta entre dos puntos que ya existan en el papel, o bien prolongar (tanto como se

desee) una de esas rectas.

Por supuesto, la regla y compás ideales deben usarse para hacer construcciones

ideales. Los dibujos del mundo real tienen imperfecciones: los puntos son en realidad

manchas tridimensionales, los segmentos de recta son en realidad cuasi-

paralelepípedos o "franjas" algo irregulares de cierta anchura y altura, etc. Estas

100


A BA B

A BM

manchas proyectan sombras cuando son iluminadas por lámparas especiales de luz

rasante, que se utilizan profesionalmente para el estudio de las falsificaciones, pues

permiten distinguir si un trazo está por encima de otro observando las sombras. Pero

las construcciones con regla y compás de la geometría clásica se hacen en la mente,

más que en el papel, y son tan idealmente precisas como el álgebra.

Puestas así las cosas, parecería que las construcciones con regla y compás son un

simple "juego", más que una disciplina científica seria. Buscar la solución a cualquier

construcción particular es un pasatiempo interesante, pero el verdadero interés

científico, que estuvo abierto durante más de dos mil años hasta ser resuelto en el

siglo XIX, coincidiendo con la demostración de los teoremas fundamentales sobre

ecuaciones polinómicas, con la comprensión profunda de los números irracionales y

trascendentes y con la aparición del álgebra abstracta, está en los problemas que

desbordan los límites de lo factible con regla y compás. Para estudiar la Geometría

Clásica, los griegos, fieles a su tradición, sólo se limitaron al uso de la regla y del

compás.

15. ALGUNAS CONSTRUCCIONES BÁSICAS:

15.1. Ubicación del punto medio de un segmento de recta con el uso delcompás

Paso 1: Se toma el

compás y se traza desde

los extremos con una

misma abertura,

obteniéndose dos puntos

de corte como en la figura:

Paso 2: Se marcan los puntos de corte y se unen.

Luego la intersección entre el segmento inicial y

la línea de unión de los puntos de corte será el

punto medio buscado.

101


VérticeW

15.2. Trazar la bisectriz de un ángulo haciendo uso del compás

Paso 1: Con una abertura arbitraria y a

partir del vértice del ángulo, se traza un

arco con el compás y se marcan los puntos

de corte.

Paso 2: Luego, a partir de los puntos

marcados y con la misma o con otra

abertura trazar con el compás y marcar el

punto de corte.

Paso 3: Finalmente al unir el

vértice y el punto de corte

“W”, se obtiene la bisectriz

del ángulo inicial.

15.3. Construcción de ángulos rectos

El procedimiento es similar para encontrar el punto medio. Al unir los puntos

C con D, se obtiene, CD perpendicular a AB, y como consecuencia, cuatro

ángulos rectos

Vértice

Vértice W

Bisectriz del ángulo

102


15.4. Construcción de rectas paralelas: Explique el procedimiento utilizado

describiendo lo señalado en la figura adjunta.

15.5. División de un segmento en n partes: Se trata de dividir el segmento WT

en 5 partes iguales, por ejemplo. Se dibuja una recta que pasa por W, con el

compás, se toma como unidad una longitud cualesquiera, por ejemplo WE1.

Se mide 5 veces y se obtiene el punto F. Se construye la recta que pasa por F

y T. Por cada punto del segmento WF medido con WE1 se traza una paralela

a FT. De esta manera el segmento WT queda dividido en 5 partes.

15.6. Polígono regular de 3 lados: Triángulo equiláteroEs el polígono regular con menor

número de lados que podemos

tener. Su construcción es muy

sencilla:

Trazamos una circunferencia con

centro en y radio y otra con

centro en y mismo radio. Esas

dos circunferencias se cortan en dos

F

103


puntos. Tomamos uno de ellos, digamos . Trazando los segmentos y

obtenemos el triángulo equilátero .

15.7. Polígono regular de 4 lados: CuadradoLa construcción del cuadrado también es

sencilla:

Trazamos una circunferencia con centro en

y radio . Esa circunferencia corta al eje

en dos puntos. Tomamos uno de ellos,

digamos . Trazamos la recta paralela al eje

que pasa por y la recta paralela al eje

que pasa por . El punto de corte de las

mismas, digamos , es el vértice que nos faltaba. Trazando los segmentos

, y obtenemos nuestro cuadrado.

15.8. Polígono regular de 5 lados: Pentágono regularLa construcción del pentágono es algo más

complicada que las anteriores, pero sigue

siendo ciertamente asequible:

Trazamos la paralela al eje que pasa por

, digamos . Se traza la mediatriz del

segmento obteniendo el punto como

corte con el eje . Trazamos la

circunferencia de centro y radio ,

digamos . Obtenemos el punto como

corte de con la recta .

Con centro en trazamos la

circunferencia de radio , ,

obteniendo el punto de corte con el eje

. Trazamos ahora la circunferencia de

centro y radio , . Obtenemos el

punto al cortar con y el punto

como corte con la mediatriz del segmento

104


. Para obtener el vértice que nos falta, , simplemente construimos el

punto simétrico a respecto de la mediatriz del segmento . Uniendo los

vértices obtenemos el pentágono regular buscado.

15.9. Polígono regular de 6 lados: Hexágono regularLa construcción del hexágono regular es bastante sencilla. La vemos:

Con radio trazamos circunferencias con centro y . Tomamos uno de

los puntos de corte, digamos . Ese es el centro del hexágono. Trazamos

ahora la circunferencia de centro y radio . Obtenemos los puntos y

como cortes con las circunferencias anteriores y como corte con el eje .

Trazando la paralela al eje que pasa por obtenemos el último vértice S,

como corte de esta recta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo los

vértices obtenemos el hexágono regular buscado.

¿Las actividades geométricas más importantes que deben realizar los estudiantes

se refieren a las actividades de familiarización con el uso de instrumentos, o la

resolución de problemas de familiarización de las fórmulas? ¿Por qué?

¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi desempeño en el aula?

¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi plan de investigación acción?

¿Siguiendo la teoría de los esposos van Hiele, qué rol juega la papiroflexia?.

¿Siguiendo la teoría de los esposos van Hiele, qué rol desempeña las construcciones

con regla y compás?.

PARTE 3 HERRAMIENTAS PARA LA NUEVA PRÁCTICA



105


¿Qué relación existe entre el modelo de van Hiele y la papiroflexia?

¿Qué relación existe entre el modelo de van Hiele y las construcciones con regla y

compás?

¿La papiroflexia se puede considerar una tarea de alta o baja demanda cognitiva?.

¿Por qué?

¿Las construcciones con regla y compás se puede considerar una tarea de alta o

baja demanda cognitiva?. ¿Por qué?

Averiguar, en qué consistía los denominados tres problemas clásicos de la geometría

de los griegos.


106


PresentaciónEstimado (a) docente participante en esta parte deltexto podrá encontrar estrategias y /o métodos depresentar los fenómenos geométricos ytrigonométricos, así, como también las situacionesgeométrica y trigonométricas, análisis einterpretación de la información proporcionada, demanera creativa y reflexiva haciendo el análisis dela realidad y empleando la tecnología como unsoftware, aplicando los recursos metodológicoselaborando estrategias didácticas, para laenseñanza.

III UNIDAD:MODELANDO FENÓMENOS GEOMÉTRICOS Y

TRIGONOMÉTRICOS DEL ENTORNO, UTILIZANDO

EL SOFTWUARE CABRI GEOMETRE

Niveles de demandacognitiva ensituaciones

problemáticas degeometría

Fenómenos ysituaciones

Trigonométricas

Tarea matemáticay situaciones

problemáticas engeometría

Fenómenos ysituaciones

Geométricas

MODELANDO FENÓMENOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS

DEL ENTORNO, UTILIZANDO EL SOFTWARE CABRI GEOMETRE


Resolución desituaciones

problemáticas segúnPolya - Guzmán.

107


3.1 El uso de programas computacionalesEs el empleo de programas computacionales como el software, que pueden estar o

no estar en el computador o en diversas tecnologías vinculadas a internet.

Permiten reforzar, completar o servir de material pedagógico, en el desarrollo de

actividades educativas que potencien el aprender de modo entretenido y la

estimulación del pensamiento en los niños El uso de un software en geometría como

herramienta pedagógica facilita el ambiente de enseñanza y el aprendizaje, pues

producen imágenes fantásticas, estáticas o animadas. En matemática el factor

imagen otorga un valor muy importante pues permite acercar el niño a los conceptos,

los saca del plano abstracto para llevarlo a un plano natural, por medio de la

animación de acuerdo a reglas o valores numéricos preestablecidos.

En estos programas los conceptos geométricos se pueden examinar y analizar

propiedades del espacio bi y tridimensional, así como las formas geométricas que se

encuentran en ellos. De la misma manera, se pueden realizar transformaciones,

traslaciones y reflexiones para analizar situaciones matemáticas, para presentar

argumentos matemáticos acerca de las relaciones geométricas, además de utilizar la

visualización, el razonamiento espacial y la modelación geométrica para resolver

problemas.

Es el empleo del programa computacional: Software Cabri Geomètre desarrollado

por Yves Baulac, Franck Bellemain y Jean Marie Laborde del laboratorio de

estructuras discretas y de didáctica LSD2 del instituto de Informática y Matemáticas

aplicadas de Grenoble (Imag) Francia.

El Cabri es un programa para geometría interactiva más utilizado en el mundo.

Incluye geometría analítica, transformacional y euclidiana. Sus funciones abarcan la

construcción de puntos, líneas, triángulos, polígonos, círculos y otros objetos

geométricos básicos.

El software seleccionado se consideró como un medio para desarrollar algunas

actividades sobre cuadriláteros, para profundizar el estudio de las propiedades de

estas figuras, a través de la construcción, medición y animación.

108


Software Cabri Geometry II

Cabri Geometry es un

software de geometría

interactiva producida

por los franceses

Cabrilog empresa para

la enseñanza y el

aprendizaje de la

geometría y la

trigonometría. Fue

diseñado con la

facilidad de uso en

mente. El programa permite al usuario animar figuras geométricas, lo que demuestra

una ventaja significativa sobre los dibujados en una pizarra. Las relaciones entre los

puntos de un objeto geométrico se pueden demostrar fácilmente, que puede ser útil

en el proceso de aprendizaje. También hay gráficas y funciones de visualización que

permiten la exploración de las conexiones entre la geometría y el álgebra. El

programa se puede ejecutar en virtud de Windows.

Construye figuras geométricas

tan fácilmente (o más) que si lo

hicieras con un lápiz, regla y

compás sobre una hoja de papel.

Cabri II es un programa que

permite "hacer geometría" tanto

al estilo sintético como al estilo

euclídeo.

Permite experimentar, analizar

situaciones geométricas de muy

diverso tipo, permite comprobar resultados, inferir, refutar y también, aunque parezca

mentira, demostrar.

Este programa brinda una nueva dimensión a las construcciones ya que:

Permite manipular libremente las figuras.

109


Permite actualizar las construcciones en tiempo real.

Se pueden dibujar lugares geométricos y envolventes a familias de curvas. Permite

realizar animaciones y construir gráficas de funciones asociadas a problemas

geométricos lo que es muy interesante para familiarizar a los alumnos con el concepto de

función y con el de gráfica de una función.

La ventana de Cabri Geometry II

En la siguiente ilustración se muestra la ventana de Cabri Geometry II, que contiene los

elementos esenciales del software Cabri Geometry II, Depues de la ilustración se ofrece

la descripción de cada elemento.

Nota: En la pantalla se ilustra la versión Macintosh. Las pantallas en los sistemas

Windows y DOS son similares, pero no idénticas.

Elementos de la ventana Cabri Geometry II Ventana de diseño: En esta región se generan las construcciones geométricas.

Barra de menús: La barra de menús contiene los menús comunes del

interface gráfico de usuarios para la gestión y edición de archivos, así como las

opciones de Cabri Geometry II.

Barra de herramientas: La barra de herramientas contiene las herramientas

que permiten generar construcciones. En esta barra hay once cuadros de

110


herramientas (ver en la siguiente ilustración). Para acceder a un cuadro de

herramientas, mantenga pulsado el botón del ratón sobre el icono. Se mostraran

los elementos del cuadro de herramientas.

Iconos distribuidos: Los iconos distribuidos sólo aparecen cuando se elige la

orden Mostrar atributos del menú. Estos iconos permiten modificar el aspecto de

los objetos. Puede crear una paleta de atributos (menú desplegable) arrastrando

un icono desde los iconos de atributos a la ventana de diseño.

Icono ayuda A: Haga clic en el icono de ayuda A para crear una ventana de

ayuda en la parte inferior de la pantalla, donde podrá ver útiles mensajes de ayuda

para cada orden. Haga clic de nuevo en A para suprimir la ventana ayuda.

Opción de menús ayuda: Puede hacer clic

en la opción menú Ayuda y seleccionar

Ayuda o bien pulsar la tecla F1 para activar y

desactivar la ventana ayuda.

Puntero de selección: El puntero de

selección es la herramienta principal para

seleccionar menús y generar construcciones.

La forma del puntero cambia según la

operación y el lugar actuales.

Cuadro de cierre: El cuadro de cierre la

ventana y crea un cuadro de dialogo que le

permite guardar el trabajo si no lo ha hecho

ya.

111


Cuadro de zoom: El cuadro de zoom alterna el tamaño de la ventana entre el

tamaño actual y la pantalla completa.

Cuadro de tamaño: Arrastre el cuadro de tamaño a una nueva posición

redimensionar la ventana de diseño.

Barras de desplazamiento: Haga clic en las barras de desplazamiento o en las

flechas de desplazamiento mover el contenido de la ventana de diseño vertical u

horizontalmente.

3.2 Situaciones problemáticas de GeometríaCuando un área como la geometría tiene un prestigio de miles de años, cabe hacer

un recorrido a través del tiempo, para reconocer su importancia en el desarrollo de la

humanidad.

Para los egipcios, fue práctica y utilitaria, pues medían los terrenos después que eran

inundados por las crecidas del río Nilo y, para ello, utilizaban el método de la

triangulación. Podemos encontrar, en esta cultura, la culminación de una geometría

aplicada, tanto ligada a la resolución de problemas cotidianos como también a la

creación artística.

Según Proclo, Thales fue el primero que después de haber estado en Egipto lleva

esta disciplina a Grecia. Junto a las escuelas de aquella época (Alejandría, Pitagórica

y otras), como también nombres célebres como Apolonio, Eudoxio, Euclídes

transforman la geometría en una ciencia que se estructura con un razonamiento

lógico deductivo, la que emplea nociones comunes, postulados, axiomas, teoremas

que otorgan una categoría de rango universal; por lo tanto, surge como la primera

ciencia que construye el hombre en la antigua Grecia. Los griegos la consideraban

como una ciencia formativa que le ayudaba al hombre a razonar; no la estudiaban

112


con fines prácticos, sino como desarrollo de la mente humana. Platón decía “Dios

mismo geometriza” Seguramente, esta afirmación significaba que el universo estaba

regido por formas y números.

La proporción que se obtiene del rectángulo dorado, llamado también el número de

oro, se utilizó como símbolo de belleza desde los griegos hasta el renacimiento. La

aplicación de la proporción dorada o de la estrella pitagórica, plantea en las grandes

obras un nuevo significado de perfección de belleza.

En el siglo XVI, es el gran desarrollo de las nuevas geometrías: la proyectiva y la

descriptiva son términos con un nombre de origen común en las técnicas

perspectivas que la gran obra de Euclídes los “Elementos” había obviado. La

descriptiva puso el énfasis en la resolución gráfica, la Proyectiva en los modelos en

perspectiva. La nueva geometría que surgirá al servicio de las construcciones y de

las fortificaciones, necesitará de cálculos exactos y encontrará su respuesta en la

Geometría Analítica de Descartes (Alsina y otros 1989).

Las culturas orientales y precolombinas desarrollaron hermosos tallados o pinturas

en piedras, metales, telas basados en las transformaciones que realizaban de figuras

geométricas a través de traslaciones, rotaciones o simetría (Perero, 1994)

La idea de que la geometría es una ciencia que enseña a medir este conocimiento,

también, se encontraba presente en la península de Yucatán, territorio de la cultura

Maya. La serpiente emplumada y las fases de la luna son el punto de partida de esta

ciencia pues surgen el círculo, el cuadrado, el pentágono y las relaciones del número

de oro pitagórico. Este animal posee las formas geométricas antes descritas y

también un patrón perfecto que en la geometría todo lo rige (base 20). La geometría

se desarrolló y floreció de acuerdo a estas formas, y cayó para nunca levantarse,

cuando desapareció el modelo crotálico por la conquista española que erradicó sus

usos y sus costumbres (Díaz Bolio, 1995)

Con el nacimiento de la matemática moderna, la geometría deja de ser importante

frente a la Teoría de Conjuntos. A partir de 1960, comienza a verse un importante

avance en esta, teoría, en toda Latinoamérica y, finalmente, se encuentra que a

mediados de los 70; la Teoría de Conjuntos, como base de toda la matemática no

estaba permitiendo a los niños desarrollar competencias intelectuales, comenzando

con ello las primeras críticas. Los niños habían perdido capacidades concretas de,

113


modelización, de interpretación, de visualización. Por lo tanto, a principios de los 80,

en Europa se comienza a dar lugar, al estudio del Espacio y de la Geometría.

La geometría no ha logrado aún recuperar el lugar que le corresponde. Es un

proceso de transformación lento, de formación y capacitación para los nuevos

docentes, que son productos de un modelo diferente de enseñar (Gil Pérez, 1998).

En Chile, al igual que en

otros países, se

comienzan a efectuar

cambios importantes en

la educación pues las

demandas al sistema

escolar son el desarrollo

de nuevas

competencias,

necesarias para una

sociedad de la

comunicación e información globalizada.

Es así que, en el año 1999, se forma la Comisión de Nuevas Tecnologías de

Información y Comunicación que se propone doce iniciativas y entre ellas está la de:

Consolidar el Proyecto Enlaces y proyectarlo a una Segunda Fase que incluya todos

los establecimientos educacionales del país, robusteciendo la formación de

profesores y el desarrollo de contenidos.

El uso de tecnologías de la información y la comunicación en la Educación se

sustenta en la afirmación de que los recursos informáticos constituyen un apoyo

significativo en el proceso enseñanza-aprendizaje, comparados con otros medios,

debido a que presentan, además de texto y dibujos, animaciones, video y sonido,

permitiendo la interacción, la reorganización y búsqueda de un extenso contenido de

información, la descentralización de la información y la retroalimentación del usuario;

lo que hace que el estudiante responda de manera más efectiva y desarrolle

diferentes habilidades, destrezas y aprendizajes por la variedad de estímulos que se

le presentan.

Junto con las Políticas Educacionales que promueven el uso y la implementación de

recursos informáticos, es necesario que, hoy, el docente sea una persona que esté

114


preparado para promover el cambio educativo que responda a los requerimientos de

la sociedad.

Además durante el año 2000 el Ministerio de Educación llama a propuestas a

diversas instituciones para mejorar los rendimientos en Matemáticas y Lenguaje.

Ejemplos de problemas de la vida cotidiana yen Geometría

Ambrosio va a pintar un muro del que conoce la dimensión de su base pero le falta la

altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla.

¿Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área

que va a pintar?

Martín necesita medir el

ancho del río que pasa cerca

de su propiedad, pero no

puede llegar al otro lado.

¿Cómo podría medir el ancho

del río?

Para resolver su problema, Martín hace lo siguiente:

1. Identifica un punto determinado al otro lado del río, en donde quiere medir el ancho

del río, por ejemplo el árbol (Punto A).

115


2. Del punto identificado (el árbol), traza una línea imaginaria sobre la longitud que

quiere medir. Ésta debe ser perpendicular al cauce del río para que la medida que

obtenga sea la adecuada (Punto B).

3. Se desplaza a uno de los lados del punto de observación, también de manera

perpendicular, a una distancia considerable (Punto C).

4. De ahí camina de manera perpendicular al cauce, alejándose del río para establecer

un segundo punto de observación (Punto D), a una distancia de 3 m.

5. Martín, desde el punto de observación 2, ve hacia el punto de referencia al otro lado

del río y pide ayuda para que por donde pasa la línea imaginaria que resulta al mirar el

punto de referencia desde el punto D, se ponga una marca (Punto E).

Ahora Martín tiene dos

triángulos semejantes, como

se muestra en el siguiente

croquis:

Si observa el croquis, se dará

cuenta que los triángulos ABE

y ECD son semejantes por lo

que se puede plantear que:

116


3.3 LA TRIGONOMETRÍA EN LA VIDA COTIDIANA

El puente del alamillo

Es una de las construcciones realizadas en Sevilla con motivo de la exposición

universal de 1992. Diseñado y construido entre 1989 y 1992 por el arquitecto

Santiago Calatrava.

El puente tiene figura de arpa y un solo brazo soporta todo su peso. Tiene 140 m

de altura con una inclinación de 58°, del que parte una pareja de tirantes que lo

sujetan (de 300 m de longitud, los mas largos del mundo) y salva una luz de 200

m. Para su construcción se empleó una de las mayores grúas de tierra del mundo,

capaz de elevar 200 Tm a 150 m de altura.

El proyecto inicial fue realizar un puente igual que mirase en sentido contrario, en

el otro margen del rio; pero por motivos de presupuesto solo alcanzo para uno. El

ojo de la cabeza de caballo sirve como mirador.

¿Qué distancia hay entre el pie de la altura y el otro extremo del puente?

¿Qué longitud tiene el puente (la base)?


117


Las matemáticas no solo se usan para sumar, restar, multiplicar, dividir, etc. Si no

también su aplicación y el uso es en diversas actividades de la vida diaria ya sea directa

o indirectamente.

En este caso se tratará el uso de la trigonometría en la vida diaria pero primero;

¿Qué es la trigonometría?

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es

"la medición de los triángulos". En términos generales, la trigonometría es el estudio de

las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante.

Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en

todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se

aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en

la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas

en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias

entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

La trigonometría a aportado mucho en nuestra sociedad como por ejemplo la

construcción de casas o edificaciones las diferentes medidas que se deben hacer. la

trigonometría es de mucha utilidad en la ingeniería civil, para el cálculo preciso de

REFLEXIÓN TEÓRICAPARTE 2:

118


distancias, ángulos de inclinación o de peralte en una carretera. Esto sería una aplicación

en el desarrollo tecnológico. Una aplicación o un aporte de la trigonometría en el

desarrollo científico serían en la elaboración de métodos numéricos por parte de

matemáticos para realizar una ecuación diferencial o resolver una integral que no se

pueda trabajar con los métodos convencionales. Otro aporte en el plano científico podría

ser en la biogenética o en la biología para evaluar funciones que dependan de ciertos

parámetros trigonométricos.

¿Es la trigonometría una ciencia con pasado y futuro?

Si ya que la trigonometría la hemos utilizado y la vamos a utilizar cada vez más porque es

una herramienta que nos sirve para la diferentes carreras de ingeniera o simplemente

para la vida diaria.

En conclusión, la trigonometría es una de las muchas ramas de la matemática en la cual

no solo se utiliza para la construcción de edificios, como mucha gente en el mundo

piensa, sino también para la medición de distancias entre algunos puntos geográficos y

en sistemas de navegación por satélites, también para hallar ángulos de inclinación o de

peralte en una carretera; la trigonometría tiene muchas aplicaciones y puedes resolver

problemas de la vida diaria y como ya saben también se utiliza mucho en la ingeniería; ve

a tu alrededor y veras siempre una figura geométrica, un ángulo, un triángulo, sistema de

fuerzas, etc. Y en general la trigonometría es quizá la parte de mayor uso en la vida diaria

y en algún momento de tu vida vas a poder ver esta materia en tu vida cotidiana ya sea

directa o indirectamente.

Las matemáticas mejoran el pensamiento crítico y las habilidades de resolución de

problemas. Proporciona una perspectiva de los acontecimientos de la vida real. La

trigonometría es un área de las matemáticas que prueba la propiedad de los triángulos.

Se utiliza en los sistemas de satélites y la astronomía, aviación, ingeniería, topografía, la

geografía y muchos otros campos. Precisamente, la trigonometría es una rama de

las matemáticas que se ocupa de triángulos, círculos, ondas y oscilaciones.

Trigonometría y Arquitectura

No se puede separar la arquitectura de la trigonometría, que es fundamental para curvar

las superficies de los materiales de construcción, como el acero y el vidrio. La ciencia se

utiliza para encontrar las alturas de los edificios, o crear objetos tridimensionales a utilizar

en los edificios. La trigonometría se utiliza para hacer las demarcaciones de cubículos en

119


un edificio de oficinas. Es útil en el diseño de un edificio para predeterminar los patrones

geométricos y la cantidad de material y mano de obra necesaria para erigir una

estructura. Cuando el edificio se erige, no sólo será fuerte, tendrá mediciones precisas.

Imagen Digital

La misma ciencia se utiliza en la industria de la música. El sonido viaja en ondas que se

utilizan en el desarrollo de la música generada por el ordenador. Un equipo no va a

entender la música como un ser humano, sino que la representa matemáticamente por

las ondas sonoras que la constituyen. Precisamente, los ingenieros de sonido que

trabajan en la promoción de música computarizada y de alta tecnología, tienen que

aplicar la ley fundamental de la trigonometría: la función del seno y coseno. Los patrones

de las ondas musicales no son tan regulares como la función del seno y coseno, pero aún

es útil para el desarrollo de música computarizada.

Navegación, Geografía y Astronomía

La triangulación, que es una aplicación de la trigonometría, es utilizada por los

astrónomos para calcular la distancia a las estrellas cercanas. En geografía, se utiliza

para medir la distancia entre puntos de referencia. También se utiliza en los sistemas de

navegación por satélite. Por ejemplo, un piloto que despega del aeropuerto JFK de Nueva

York, tiene que saber en qué ángulo despegar y cuándo dar vuelta a un cierto ángulo en

el cielo con el fin de alcanzar el aeropuerto de Heathrow en Londres.

Ejemplos en la vida diaria de trigonometría

1) Aplicar las leyes de senos y cósenos para la resolución de problemas.

Ejemplo: Quieres encontrar la ubicación de una montaña tomando medidas desde

dos puntos que se encuentran a 3 millas uno de otro. Desde el primer punto, el

ángulo formado entre la montaña y el segundo punto es 78º. Desde el segundo

punto, el ángulo formado entre la montaña y el primer punto es 53º.

2) Convertir medidas de grados a radianes.

Ejemplo: Convertir 90º, 45º, y 30º a radianes

3) Resolver problemas que involucren aplicaciones de funciones trigonométricas.

Ejemplo: En Indiana, la duración del día varía a lo largo del año en una curva

senoidal. El día más largo dura 14 horas y es el día 175 y el día más corto dura 10

horas y es el día 355.

120


4) El puente de la Barqueta

El puente de la barqueta cuyo verdadero nombre es puente Mapfre, al ser la

entidad que lo financió, fue construido entre 1989 y 1992, como acceso al recinto

de la exposición universal. Fue diseñado por los ingenieros, Juan J. Arenas y

Marcos J. Pantaleón como un puente colgante, cuenta con un solo ojo apoyado

de orilla a orilla, su único arco es de acero atirantado por el propio tablero, mide

214 m, salvando una

luz libre de 168 m sin

apoyos intermedios y

con un ancho de 21,40

m. Fue construido en

tierra y girado hasta su

emplazamiento. En su

montaje definitivo uno

de los extremos se

desenganchó y volvió

al rio.

Si el diámetro de la circunferencia a la que pertenece el arco fuera de 270 m,

¿Cuánto medirá dicho arco?

121


3.4 Tarea matemática y situaciones problemáticas en geometría


“En la mayor parte de las ciencias una generación derriba lo que otra había construido,

y lo que uno parecía haber demostrado firmemente otro lo deshace. Sólo en las

matemáticas cada generación construye un nuevo piso sobre la vieja estructura"

(Hermann Hankel).

A partir del texto,

¿Qué opinión le merece?

¿Conoce usted la evolución histórica de la Geometría?

¿A qué se debe según usted la evolución de la Geometría?

¿Sabe usted de qué trata la Geometría Afín?

122


Situación problemática

1. En un viaje a Egipto no podemos perdernos la visita a sus pirámides.

Observa cómo puede medirse la altura de una pirámide. Si colocamos un

palo y medimos su sombra, como podemos medir la sombra de la pirámide,

basta con relacionar los triángulos rectángulos por semejanza.

¿Con cuál de los siguientes desarrollos planos se puede construir una

pirámide?

En la situación problemática identifique el contenido, el contexto y el nivel

según PISA.

123


2. Un aserrador estima la altura de un árbol alto midiendo primero un árbol

pequeño alejado 125 pies del árbol alto; luego se desplaza de tal

manera que sus ojos estén en la visual de las copas de los árboles y

mide después que tan lejos está en árbol pequeño (véase la figura).

Suponga que el árbol pequeño mide 20 pies de altura, el hombre está a

25 pies del árbol pequeño y sus ojos están a 5 pies por arriba del suelo.

¿Cuánto mide el árbol más alto?

Esta parte del módulo se ha elaborado con la finalidad de manejar un lenguaje

matemático-gráfico que permita al participante identificar las leyes y principios

necesarios para resolver un problema de su entorno relacionado con la

geometría.

Aprendizaje esperado:

Diseñar estrategias didácticas para:

Enseñar el manejo de elementos geométricos unidimensionales,

bidimensionales y tridimensionales básicos de acuerdo con sus

propiedades.

124


3.4.1 Tarea

La praxeología encuentra en

la Teoría Antropológica de lo

Didáctico la noción solidaria de

esquemas de conductas que

singularizas modos propios de

actuar conforme a

las instituciones sociales que se

dedican a la actividad

escolar matemática. Por lo tanto,

La tarea es una solicitud

institucional de acción puntual y particular en la dimensión del verbo y

adverbio frente una secuencia de eventos; concretamente, el género de la

tarea no existe más que bajo la forma de diferentes tipos de tareas cuyo

contenido está estrechamente especificado. Por ejemplo, demandar a los

estudiante de un curso geometría a calcular, la acción tendría un significado

incompleto y estaría carente de sentido, ¿Qué se calcula?¿El cálculo está

referido a cuál objeto? Muy distinto sería, Calcular el valor asociado de la

siguiente función ( ) = (50 − ) si el largo de la base es 10 m, este hecho

es una acción puntual y particular asociada al verbo calcular, lo cual supone

un objeto relativamente preciso. Se trata de una puesta en práctica

especialmente simple del principio antropológico basado en

un comportamiento social evocado por la acción cultural compartida en un

mismo nivel de frecuencia interpretativa por las partes involucradas (profesor-

estudiante). Las tareas no son datos de la naturaleza ni tampoco maniobras

divinas, son ajustes adaptativos de construcciones institucionales que diseña

el profesor con el objeto de provocar en sus estudiantes el dinamismo de

haciendo y aprendiendo el saber matemático.


125


La puesta en práctica de la tarea representa la forma estática de la

praxeología, la cuestión dinámica y la razón de su génesis requiere una

manera de realizar las tareas, determinada por una manera de hacer.

Chevallard (1989) denomina el saber hacer una tarea en técnica, el autor

sospecha, que la técnica define la competencia matemática cuya

caracterización se ubica en:

1) Tener el compromiso por solucionar la tarea, esto es, estar sensibilizado

por el problema y asumir la responsabilidad por resolverlo.

2) Contar con los medios y recursos tanto cognitivo como instrumentales en

matemática para llevar a cabo la terea.

El componente que contiene a la Tarea (T) y su técnica (t), dibuja una forma

de praxeología relativa (T, t) denominada bloque práctico-técnico con el

objeto de dar significado a la práctica de la actividad escolar matemática y

que identificará genéricamente con lo que se llama un saber hacer tareas. El

saber hacer tarea debe estar precedido de los medios y recursos para

encarar dicha situación de reto, el saber. Serán las combinaciones inteligibles

de los dispositivos cognitivos de origen antropológico e instrumentales de

origen cultural, quienes estructuran el bloque de tecnologías (?) y teorías

matemáticas (T). El bloque de tecnologías y teorías (?,T) es el saber en

la Estructura Matemática, una ciencia de formalizaciones de un conjuntos de

leyes descubierta en el seno de su misma estructura mediante

un carácter deductivo de implicación lógica finita y sin contradicción,

subordinados a los sistemas de transformación que desembocan dentro de

su frontera, Angulo (2002). Pues bien, la tecnología es un discurso formal

interpretativo y justificativo que nace en la Estructura Matemática en su

naturaleza clasificatoria como algoritmo o como elemento de una clase; al

respecto Negel (1979) afirma:

Los sistemas formales que constituyen los matemáticos pertenecen

al grupo denominado matemática; la descripción, discusión y teorización que

se realiza en torno a los sistemas pertenecen a un grupo que lleva el epígrafe

de metamatemática.

126


En palabras de Chevallard (1989) tenemos "El bloque tecnológico-teórico no

es más que la conclusión de un discurso más amplio, que lo justifica o, como

se dice en matemática, que lo demuestra". Gascón (1998) sostiene que

"Llamaremos teoría asociadas a una técnica a la tecnología de sus

tecnología, esto es un discurso suficientemente amplio como para justificar e

interpretar la tecnología de dicha técnica". Entonces, el bloque de tecnología-

teorías (?,T) lo constituye la matemática y la metamatemática manipuladas

por las instituciones, con ello se consuma, según la metáfora de esta

posición, la praxeología completa (T,t,?,T) la cual surge como respuesta a la

matemática institucionalizada que organiza la actividad escolar en: prácticas

matemáticas que consta en tareas-técnicas (T,t,) utilizadas para llevar a

cabo el trabajo escolar, y el discurso razonado sobre dichas prácticas que

está constituido en dos niveles el de las tecnologías y el de la teoría (?,T).

3.4.2 Situación problemática

Definiremos una situación problemática como un espacio de interrogantes

que posibilite, tanto la conceptualización como la simbolización y aplicación

significativa de los conceptos para plantear y resolver problemas de tipo

matemático.

Consideraciones para el diseño de la situación problemática

Estar frente a una situación problemática significa encontrarse en estado de

desequilibrio. Cada problema, teórico o práctico, pone de manifiesto la

existencia de una laguna o de

una perturbación. Resolver la

situación problemática es lograr

un nuevo estado de equilibrio

"...La solución de problemas de

modo organizado; resolución

que se apoya en un programa

lógico de operaciones

relacionadas entre si" (Luria,

A.R. y L. S. Tsvetkova la

127


resolución de problemas y sus trastornos pág. 9), es una de las formas como

definen Luria y Tsvetkova (1981) la actividad intelectual.

Dentro de la actividad intelectual se dan una serie de fases o procesos,

empezando por una pregunta específica sin respuesta inmediata, esta

pregunta orientada será luego el problema a resolver. La producción del

hombre, partiendo de los datos suministrados en el problema, confronta la

información y selecciona las operaciones que conducen a las respuestas

frente a los espacios de interrogación.

Criterios para diseñar una situación problema

La definición anterior pretende

acogerse a los siguientes

criterios:

La enseñanza y el aprendizaje

de las ciencias y las

matemáticas deben ocurrir

dentro de una concepción

constructivista del conocimiento,

esto es, el sujeto posee una

competencia cognoscitiva para asimilar los problemas y situaciones que se le

presentan. Si aparecen obstáculos para la asimilación, el sujeto deberá

modificar sus esquemas, reconstruyéndolos o acomodándolos, de modo qu e

el desequilibrio creado desaparezca y se constituya un nuevo equilibrio.

Los constructos científicos exigen, para ser interiorizados significativamente,

de las capacidades de generalización y abstracción, a su vez vinculadas con

la capacidad de reconocer semejanzas "olvidando" diferencias, y de

reconocer diferencias en presencia de semejanzas.

Las interacciones entre el estudiante, el objeto a conocer y el docente deben

ser fuertemente participativas. El estudiante, deseando conocer por él mismo,

anticipando respuestas, aplicando esquemas de solución, verificando

procesos, confrontando resultados, buscando alternativas, planteando otros

interrogantes. El docente, integrando significativamente el objeto de estudio

según los significados posibles para los estudiantes; respetando estados

128


cognoscitivos, lingüísticos y culturales; acompañando oportunamente las

respuestas y las inquietudes y; sobre todo, planteando nuevas preguntas que

le permitan al estudiante descubrir contradicciones en sus respuestas

equivocadas, o "abrirse" a otros interrogantes. En cuanto al objeto de

conocimiento, este no debe asumirse como un producto terminado, siempre

debería ofrecer posibilidades de profundización y ampliación. En diferentes

momentos del aprendizaje, el objeto poseerá diferentes significados, de

acuerdo a los logros de los estudiantes para comprenderlo en variados

sistemas teóricos, los que a su vez permitirán reconocerlo en distintos

sistemas de aplicación.

Los contenidos temáticos deben organizarse coherentemente alrededor de

objetos de conocimiento que potencialicen y faciliten variabilidad y riqueza de

preguntas y problemas.

La situación problema debe fomentar la movilización de habilidades básicas,

tanto del pensamiento científico como matemático. En cuanto al primero, son

generalmente reconocidas las habilidades para observar e interrogar los

fenómenos, además de sistematizarlos, estructurarlos y explicarlos. En

cuanto al segundo, la comprensión significativa de los conceptos, la

ejercitación de algoritmos y la resolución de problemas parecen dar cuenta de

lo esencial en cuanto a la habilidad matemática.

Referentes para el diseño de las situaciones problema

De acuerdo con nuestra

interpretación de la orientación

constructivista, abordaremos el

diseño de las estrategias de

intervención pedagógica hacia el

acompañamiento para el

aprendizaje de las cienc ias y la

matemática, de acuerdo al

siguiente orden:

La selección de un motivo o

problema inicial.

129


La organización básica de los contenidos temáticos que el motivo permite

trabajar.

La estructuración previa de niveles de conceptualización.

La selección de actividades y preguntas fundamentales.

La escogencia de los medios y los mediadores.

Las posibilidades de motivación hacia otros aprendizajes.

La evaluación de los procesos de aprendizaje detectables en la situación

problema.

La selección de los contenidos temáticos

Los contenidos temáticos, que se tratan en un currículo, poseen tres espacios

posibles de referencia: El saber universal o saber formal aceptado por cada

sector de la cultura, el saber particular requerido para una situación específica

y el saber por intereses individuales.

El referente universal.

En él se encuentran las respuestas a los objetos de estudio, sus orígenes, los

métodos para sustituir o crear conceptos, sus aplicaciones y las relaciones

con otros objetos. Puesto que es imposible dar cuenta de todo lo que es

importante en una área del conocimiento, es necesario recurrir a la opinión de

las comunidades académicas para seleccionar, a través de ellas, los

contenidos básicos de la enseñanza; afortunadamente existen suficientes y

variadas propuestas para elegir con gran probabilidad de acierto. El problema

aparece, generalmente, cuando se trata de precisar el significado, la

profundidad y el sentido de los conceptos que se van a trabajar en la escuela.

No es adecuado presentar los conceptos, tal y como están dados en los

saberes formales, ellos requieren ser reconceptualizados para que se ajusten

a las condiciones cognitivas y socio-culturales de los estudiantes. Se

constituye, entonces, en una tarea ineludible del educador, el trabajo de

reconceptualización en los contextos particulares y específicos.

Las categorías epistemológicas son de gran ayuda para efectuar este

proceso. Así, por ejemplo, si pensamos que en cualquier área de acción

130


pedagógica se pueden señalar cinco espacios de reflexión: el sistémico, el de

validación, el estructural, el de aplicación y el de explicación, el currículo

deberá orientar los contenidos temáticos hacia la comprensión de estos

espacios. En el espacio sistémico se dará cuenta de los objetos, las

operaciones y las relaciones; en el espacio de validación se tratarán los

métodos para aceptar o rechazar proposiciones y teorías; en el espacio

estructural se analizarán las propiedades generales comunes a varios

sistemas; en el espacio de aplicación se recurrirá a las prácticas y solución de

problemas, y en el espacio explicativo se analizarán los significados que

tienen las estructuras desde una o varias teorías más generales.

El referente particular.

Para que la educación tenga sentido social es necesario abordar temáticas de

interés nacional y regional; de este modo los estudiantes adquieren

elementos básicos para la participación ciudadana y para hacer uso de los

medios que les ofrece su entorno político y sociocultural. Una estrategia que

ha tenido gran éxito para incorporar estos elementos en el currículo, consiste

en diseñar situaciones problemáticas que motiven el estudio de los temas

requeridos. Situaciones que se refieran a la economía, el medio ambiente, la

política, la vida ciudadana y, en general, a una mejor calidad de vida.

El referente individual.

Las actitudes y aptitudes de los estudiantes deben ser reconocidas y

promovidas por el currículo. Por lo tanto, los educadores deberán disponer de

una variada y buena oferta de orientaciones, guías y talleres para que los

estudiantes puedan, no sólo ajustarse a sus limitaciones y posibilidades, sino

también ampliar y profundizar en sus conocimientos y habilidades.

131


ACTIVIDADES DE METACOGNICIÓN:

En el año 2013, el Profesor Hugo de una cierta I.E. hace la siguiente reflexión:

“Durante el año 2012, respecto a mi labor como docente no se abordaron los

temas desde situaciones problemicas por lo que los estudiantes no estaban

motivados en clase y no se lograron aprendizajes de calidad.

Sin embargo, algunos profesores que asistieron al Curso de Especialización,

le sugieren hacer sus clases desde situaciones problemicas. Si estarías en

esta situación ¿Qué decisión tomarias?. ¿Por qué?

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN:

El Lic. Miguel Rojas de la I.E. “9 de julio” reflexiona:

“En el aula del segundo grado que tiene mayor cantidad de estudiantes,

existen estudiantes con bajo nivel de conocimientos y deficiente logro de

aprendizajes en el tema de ángulos, a quienes no los he atendido

adecuadamente el año 2012. ¿Qué debo hacer para ayudarlos?. ¿Qué tareas

deben efectuar los estudiantes?. ¿Qué situaciones didácticas debo plantear

como docente?

Ayuda a Miguel a solucionar el problema que se le ha presentado

ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN:

¿Identifique y mencione situaciones problemicas para la enseñanza de

volumen de sólidos geométricos?

Diseñe una sesión de aprendizaje en geometría para el tema de área de un

trapecio partiendo de una situación problemica en los tres escenarios de

aprendizaje.

PARTE 3: HERRAMIENTAS PARA LA NUEVAPRÁCTICA

132


¿Qué relación existe entre la resolución de situaciones problemicas en

geometría y el pensamiento variacional?

3.5 Niveles de demanda cognitiva en situaciones problemáticas de geometría


En el contexto mundial, los educadores de matemáticas han sostenido de

forma convincente, que el desarrollo pleno del entendimiento matemático se

despliega en aulas que más que entregar conocimientos de conceptos, sus

principios o su estructura, se preocupan de situar a los estudiantes como

agentes activos de su aprendizaje (Schoenfeld, 2004).

Así, la literatura existente parece estar de acuerdo que los estudiantes

desarrollan de mejor manera sus habilidades matemáticas resolviendo

problemas que les planteen situaciones desafiantes, donde tengan que

imponer sentido a lo que hacen, tomar decisiones sobre qué hacer y cómo

hacerlo e interpretar las soluciones y acciones de su proceso de aprendizaje

(Stigler & Hiebert, 2004; Schoenfeld, 2004; Stein, Grover & Henningsen, 1996).

A partir del texto,

¿Cómo cree Ud. que la geometría se aprende con mayor facilidad?

¿La manipulación de objetos por parte de los estudiantes beneficia a la

comprensión de conceptos en geometría?

¿Cuál sería el orden, si es que se puede ordenar los escenarios de

aprendizaje?

Problema 1

Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles, recto en B, y P un punto de lahipotenusa AC tal que AP + BP = PC. Si definimosα = <PBA y β = <PBC, calcule el valor de 6

133


Problema 2

En la figura se muestran dos rectas paralelas L1 y L2, y un triánguloequilátero ABC. Si la distancia de A a la recta L2 es la mitad de ladistancia de A a la recta L1, calcule el valor de 3 .

Problema 3

Tres circunferencias pasan por los puntos P y Q. Una recta corta a esascircunferencias en los puntos A, B, C, D, E y F, como muestra la figura.Si AB = 5, EF = 4 y AF = 20, determina cuántos valores enteros puedetomar CD.

134


3.5.1 ¿Qué significa demanda cognitiva?

Es el nivel de complejidad que demanda una

tarea a partir del tipo de habilidad cognitiva

que se exige al estudiante. En este sentido los

ejercicios que realizan los estudiantes pueden

requerir mayor o menor esfuerzo cognitivo. La

demanda cognitiva es independiente de los

contenidos involucrados en los ejercicios o

tareas.

Los niveles de demanda cognitiva en las

tareas de matemática en la taxonomía de Stein

La taxonomía de Stein (2000) es la que permite analizar los niveles de

demanda cognitiva en el dominio de matemática.

La demanda cognitiva tiene dos niveles:

3.5.2 Las tareas de demanda cognitiva baja

Consisten en la memorización y la

aplicación rutinaria de algoritmos.

Las tareas de baja demanda

cognitiva se clasifican en categorías

de memoria y de procedimientos sin

conexiones. Los procedimientos sin

conexiones, no están conectados

con una comprensión más profunda

de los contenidos matemáticos

involucrados en la tarea. Cuando las

tareas son de estos dos tipos, los alumnos generalmente resuelven de 10 a

30 problemas o ejercicios en un periodo de clase.


135


Características

• Constituidas tanto por la memorización de información, como por la

ejecución de los llamados procedimientos sin conexiones.

• Son las tareas rutinarias que se aprenden por repetición.

• Para su ejecución no es necesaria la comprensión de las nociones

involucradas, ni las razones, contextos o límites de su uso.

• Solo es necesario “aprender el procedimiento” para ejecutarlas.

3.5.3 Las tareas de demanda cognitiva alta

Refieren a otras maneras a través de las cuales

los alumnos pueden “pensar” acerca de las

relaciones existentes entre fracciones,

decimales y porcentajes. Estas formas de

demanda cognitiva alta, también exigen el uso

de procedimientos o algoritmos; sin embargo,

éstos están asociados con conceptos y

significados importantes de los contenidos

matemáticos involucrados en la tarea. Estas tareas, se clasifican como

procedimientos con conexiones o hacer

matemáticas, donde los algoritmos que se

aplican están asociados con una mayor

comprensión de significados y conceptos

matemáticos involucrados en la tarea. Los

estudiantes desarrollan mucho menos problemas

o actividades (a veces dos o tres) en un solo

periodo de clase.

Enfocan la atención en el uso de procedimientos destinados a desarrollar

niveles más profundos de comprensión de conceptos e ideas matemáticas.

Sugieren vías que constituyen una extensión de procedimientos generales

con conexiones cercanas a ideas conceptuales subyacentes.

136


Características

• Se representan de múltiples formas (por ejemplo: diagramas visuales,manipulativos, símbolos, situaciones problemáticas).

• Se necesita conectar las ideas conceptuales que subyacen a los

procedimientos, a fin de completar exitosamente la tarea y desarrollar su

compresión.

• Requieren un pensamiento complejo y no algorítmico (no existe una víapredecible, una aproximación bien realizada, una vía dada por latarea, la instrucción o un ejemplo trabajado).

• Llevan a explorar y entender la naturaleza de los conceptos,

procedimientos o relaciones matemáticas.

• Demandan monitoreo y autorregulación de los procesos cognitivos.

• Llevan a conocimientos y experiencias relevantes, y a hacer un uso

adecuado de ellos a través de la tarea.

• Requieren que se analice la tarea y examine para delimitar las posibles

estrategias de solución.

• Pueden involucrar cierto nivel de ansiedad para el estudiante, debido a la

naturaleza impredecible del proceso de solución que se necesita.

Ejemplos de situaciones problemáticas

Ejemplo 1:

A Susana le gusta construir bloques con cubos pequeños como el que se

muestra en el gráfico de la derecha Susana tiene muchos cubos pequeños

como este. Utiliza pegamento para unir los cubos y construir otros bloques.

Primero Susana pega ocho cubos para hacer el bloque que se muestra en el

gráfico A.

137


Luego Susana hace los bloques macizos que se muestran en los gráficos B y

C.

PISA (2012)

Pregunta 1

¿Cuántos cubos pequeños necesitará Susana para hacer el bloque que se

muestra en el gráfico B?

Rpta. cubos.

Análisis de la pregunta:

Clasificación de la pregunta

Descripción: hallar la cantidad de cubos de un tamaño determinado para

formar un bloque.

Proceso: interpretar.

Contenido matemático: espacio y forma.

Contexto: personal.

Calificación de la respuesta

Respuesta correcta: 12 cubos.

Pregunta 2

¿Cuántos cubos pequeños necesitará Susana para hacer el bloque macizo

que se muestra en el gráfico C?

Rpta. cubos.



Descripción: hallar la cantidad de cubos de un tamaño determinado para

formar un bloque.

138


Proceso: interpretar.


Contexto: personal.



Pregunta 3

Susana se da cuenta de que ha utilizado más cubos pequeños de los que

realmente necesitaba para hacer un bloque como el que se muestra en el

gráfico C. Podría haber construido un bloque como el del gráfico C

pegando los cubos pequeños, pero dejándolo hueco por dentro.

¿Cuál es el mínimo número de cubos que necesita para hacer un bloque

como el que se muestra en el gráfico C, pero hueco?

Rpta. cubos.



Descripción: analizar posibilidades de adecuación de la solución de un

problema a una solución alternativa en una situación geométrica.

Proceso: formular.


Contexto: personal.



Ejemplo 2:

Saúl ha recibido como herencia un terreno

como el que se muestra a continuación, en él

se cumple que dos lados consecutivos son

siempre perpendiculares. Determine cuántos

m2 (metros cuadrados) mide el área de dicho

139


terreno, si las longitudes mostradas en la figura están expresadas todas en

metros.

(ONEM 2012) Segunda Fase - Nivel 2

Realice el análisis de esta pregunta e indique el resultado

3.6 Resolución de situaciones problemáticas según Polya – Guzmán

Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por

ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y

"problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento

rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace

una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que

no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar

una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño

sea, es lo que distingue

un problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta

distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la

persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño

puede ser un problema encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de

los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes

96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma

cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta

pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ".

A partir del texto,

¿Cuál es la diferencia entre problema y ejercicio geométrico?

¿En su práctica pedagógica, toma en cuenta e método de los cuatro pasos

de Polya?

¿Aplica Ud. El método heurístico en la resolución de problemas?

¿Qué otro método aplica en la resolución de problemas?


140


GEORGE POLYA: ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DEPROBLEMAS

George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la

Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó

temas de probabilidad. Fué maestro en el Instituto Tecnológico Federalen

Zurich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en EE.UU. y pasó

a la Universidad de Stanford en 1942.

En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o

cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para

entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su

enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que

simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus

estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los

siguientes cuatro pasos:

1. Entender el problema.

2. Configurar un plan

3. Ejecutar el plan

4. Mirar hacia atrás

Paso 1: Entender el Problema.

¿Entiendes todo lo que dice?

¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?

¿Distingues cuáles son los datos?

¿Sabes a qué quieres llegar?

¿Hay suficiente información?

¿Hay información extraña?

¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?


141


Paso 2: Configurar un Plan.

¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se

define como un artificio ingenioso que conduce a un final).

1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).

2. Usar una variable.

3. Buscar un Patrón

4. Hacer una lista.

5. Resolver un problema similar más simple.

6. Hacer una figura.

7. Hacer un diagrama

8. Usar razonamiento directo.

9. Usar razonamiento indirecto.

10. Usar las propiedades de los Números.

11. Resolver un problema equivalente.

12. Trabajar hacia atrás.

13. Usar casos

14. Resolver una ecuación

15. Buscar una fórmula.

16. Usar un modelo.

17. Usar análisis dimensional.

18. Identificar sub-metas.

19. Usar coordenadas.

20. Usar simetría.

Paso 3: Ejecutar el Plan.

Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar

completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar

un nuevo curso.

142


Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes

éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento

(¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).

No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo

fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

Paso 4: Mirar hacia atrás.

¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en

el problema?

¿Adviertes una solución más sencilla?

¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

EJEMPLO DE LA RESOLUCION DE UN PROBLEMA EMPLEANDO LOS4 PASOS DE POLYA

Problema 1:

¿Cuál es el número de diagonales de un polígono de 10 lados?

Resolución:

Paso 1. Comprende el problema.

El problema pide que se determine el número de diagonales que tiene un

polígono de 10 lados.

Paso 2. Elabora un plan.

Podríamos dibujar este polígono de 10 lados y contar sus diagonales, pero

dibujar un polígono de 10 lados con sus diagonales es bien difícil.

Estrategia:

Un modo de resolver este problema es utilizando la estrategia resolver un

problema más sencillo antes; es decir, estudiar el número de diagonales de

polígonos con menor número de lados.

Paso 3. Ejecuta el plan.

Observa las figuras:

143


Colocamos en una tabla los valores que observamos en las figuras

anteriores y analizamos la tabla para buscar algún patrón que nos ayude a

completarla:

Respuesta: Un polígono de 10 lados debe tener 35 diagonales.

Paso 4. Generalizando.

Algunas veces un patrón nos puede llevar a encontrar una regla general

que puede ser escrita como una expresión algebraica. Este es un ejemplo

de razonamiento inductivo.

El polígono de 3 lados tiene 0 diagonales.

El polígono de 4 lados tiene 2 diagonales.

El polígono de 5 lados tiene 2 + 3 = 5 diagonales.

…………………………..

El polígono de 10 lados tiene 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 diagonales.

Extendiendo este patrón:

Para el polígono de 11 lados: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44

Para el polígono de 12 lados: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54

………………………………………………………………………….

Para el polígono de n lados: 2 + 3 + 4 + 5 + … + (n ¬- 2) diagonales.

La expresión algebraica 2 + 3 + 4 + 5 + … + (n - 2) representa el número

de diagonales de un polígono de n lados.

144


• Verifica si esta expresión es correcta para calcular el número de

diagonales que tiene los de polígonos de 3 a 10 lados. Compara tus

resultados con la tabla anterior.

• Aplicando esta expresión calcula el número de diagonales que debe

tener un polígono de 15 lados.

• Veamos otro razonamiento, inductivo también, para determinar el

número de diagonales de un polígono de n lados.

Piensa en un polígono de n lados. Ese polígono tendrá n vértices.

Como de cada vértice salen n - 3 diagonales porque de él mismo y los 2

lados contiguos no salen diagonales, para calcular el número de

diagonales que salen de cada vértice tenemos que hacer el producto:

n vértices • (n - 3)

Tenemos que dividir entre 2 ese resultado porque al hacer el producto

estamos contando 2 veces cada diagonal, pues la diagonal que va de un

vértice al otro y la que viene de ese vértice a sí mismo es la misma y se

está contando 2 veces.

Por tanto la expresión algebraica [n • (n - 3)] / 2 representa el número de

diagonales que tiene un polígono de n lados.

Si d representa el número de diagonales de un polígono podemos escribir:

d = [n • (n - 3)] / 2

Esta última igualdad es la fórmula que permite calcular el número de

diagonales que debe tener un polígono conociendo el número de lados que

tiene.

Utilizando la fórmula anterior calcula el número de diagonales que debe

tener un polígono de 10 lados y de uno de 15 lados. ¿Estos polígonos

tienen algún nombre especial?

145



El Profesor ABC de una cierta I.E. hace la siguiente reflexión: “Durante el

año 2012, respecto a mi labor como docente no logré que los estudiantes

logren resultados apropiados en el desarrollo de los conocimientos

geométricos que propuse”, ante esta situación, si yo fuera tal docente,

¿qué debería hacer para mejorar mis sesiones de clases en el presente

año?

¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi desempeño en el

aula?

¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi plan de investigación

acción?


Siguiendo la teoría de Polya, resuelva el siguiente los siguientes

problemas:

Problema 1: ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de área 529u2?

Problema 2: Un cilindro de revolución de 8cm de radio de la base contiene

agua hasta su mitad, se introduce un pedazo metálico de forma cubica y el

nivel de agua sube 8cm. Hallar la arista del pedazo metálico.


Investigue si existe otra propuesta aparte de la de polya para resolver

problemas

¿Qué relación existe entre el modelo de polya y las tareas de alta

demanda cognitiva?

3.7 El material manipulativo para la enseñanza y aprendizaje de la geometría

El material manipulativo facilita los procesos de enseñanza y aprendizaje de los

alumnos, pues los alumnos experimentan situaciones de aprendizaje de forma

manipulativa, que les permite conocer, comprender e interiorizar las nociones

estudiadas, por medio de sensaciones (Área, 2010).

PARTE 3: HERRAMIENTAS PARA LA NUEVA PRÁCTICA

146


Los sentidos son el medio natural por el cual adquirimos conocimiento. La vista, el

oído y el tacto permiten conocer el mundo e interpretarlo de manera personal y

única. El profesor pasa a ser el mediador del aprendizaje. En este sentido, Área

(2010) afirma:

En un proceso educativo, el educando o educanda construye su aprendizaje paso

a paso, avanzando pero también con retrocesos. En la tarea de aprender nadie le

puede sustituir: tiene que implicarse y esforzarse y tiene que aprender a

autorregular su propio proceso de aprendizaje (aprender a aprender). La función

del docente es ayudarle en este proceso de aprendizaje, acompañándole y

tomando las decisiones necesarias y poniendo todos los recursos posibles, entre

ellos los materiales didácticos. (Área, 2010, 16)

El conocimiento humano se adquiere por medio de los sentidos, el conocimiento

matemático específicamente utiliza el sentido del tacto, complementándolo con la

audición y la visión. Según Castro y otros (1997) los modelos como esquemas o

materiales estructurados, tales como materiales manipulativos, permiten la

formación de conceptos y el desarrollo de procedimientos matemáticos.

En nuestra experiencia, hemos observado que los docentes le han dado más

importancia a otros aspectos de las matemáticas y han relegado los contenidos

geométricos a un segundo plano, dejándolos para ser tratados en las últimas

unidades o simplemente no contemplarlos durante el curso, como manifiestan

Pérez y Guillén (2009). Sin embargo, hay que hacer un esfuerzo por recuperar la

enseñanza de la geometría en la educación obligatoria, para permitir al alumnado

desarrollar las competencias necesarias para la vida, de acuerdo con el currículo

obligatorio correspondiente a cada país. Otros autores, (Figuereas y otros, 2001;

Guillén y Figuereas, 2004 y 2005; Guillén et. Al., 2006; en Pérez S. y Guillén G.,

2007) han realizado investigación sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje

de la geometría y sobre las posibles causas que explican la situación actual de la

enseñanza de la geometría en primaria.

Para superar las dificultades que presenta la enseñanza de la geometría de

manera estática y con el exclusivo uso del cuaderno y libro del texto, Chamorro

(2003) fundamenta una “didáctica específica para la geometría”. En dichos

fundamentos se justifica el uso de material didáctico en la enseñanza y

aprendizaje de la geometría.

147


Cascallana (1970) proporciona otra perspectiva sobre la enseñanza de la

geometría al considerar que existe una heterogeneidad dentro de la sociedad y

específicamente dentro de un mismo grupo curso, por lo tanto el uso de una única

estrategia no considera las diferencias que existen entre ellos, y por tanto es

necesario recurrir a otros medios como el uso de materiales. Además, sostiene

que las explicaciones verbales a toda la clase y la realización individual de

ejercicios, como único recurso, limita el aprendizaje a la mayoría de los alumnos.

Aún así, en la educación tradicional, las explicaciones verbales, los escritos en la

pizarra y la ejercitación individual, son los elementos básicos y casi exclusivos de

todos los días. Esto produce una gran brecha de aprendizaje entre el alumnado de

un mismo curso, ya que aquellos alumnos y alumnas que tienen un bajo nivel, no

alcanzan a comprender las explicaciones, mientras que aquellos con un alto nivel

se aburren y sólo reciben la información los de nivel medio.

De acuerdo a lo anterior asumimos que el protagonista del proceso de enseñanza

y aprendizaje es el alumnado, y por lo tanto su trabajo en las clases debe ser

activo, partiendo de un pensamiento concreto en donde debe manipular objetos

concretos y operar sobre ellos.

En este sentido estamos de acuerdo con Serrano (en Castro, 2007) cuando afirma

que:

En la enseñanza de la geometría los materiales didácticos proporcionan al alumno

la oportunidad de manipular, experimentar e investigar, ayudándole a desarrollar

gradualmente la visualización espacial”

Alsina, Burgués y Fortuny (en Castro, 2007), sostienen que el material didáctico

en geometría es muy importante en la adquisición de conceptos, relaciones y

métodos geométricos, ya que posibilitan una enseñanza activa de acuerdo con la

evolución intelectual del alumno.

Basados en los resultados de las referencias anteriores, hemos procedido a la

selección de los materiales que forman parte de nuestro cuestionario, que

básicamente responde a dos aspectos, recogidos en la clasificación de Flores

(2010): contenido y nivel educativo, como recoge el esquema de la figura 3.

148


Figura 3: Esquema de clasificación de materiales manipulativos según Flores y otros

(2010)

En primer lugar determinamos el contenido que sería objeto de nuestro estudio,

en este caso Geometría, en la cual se observan dos elementos: geometría plana,

en que sólo se cuestiona el uso de materiales para polígonos e isometría plana. El

segundo elemento es geometría espacial, estudiando sólo el material manipulativo

para poliedros. En segundo lugar determinamos el contexto según el nivel

educativo, en nuestro caso el uso de materiales manipulativos en Educación

primaria, en algunos colegios de la Región Metropolitana en Chile.

También se hace uso de otros aspectos de la clasificación dada por Flores y otros

(2010), incluyendo una tabla (Tabla Nº 2) en el cuestionario aplicado en este

estudio, que permite obtener información sobre el uso de materiales manipulativos

en diversos contextos de aula.

Dificultades y errores en el uso del material

Coriat, Cañizares y Alsina (en Castro, 2007), incluyen una lista de errores y

dificultades que aparecen a la hora de utilizar materiales manipulativos en la

enseñanza de la geometría, entre los que destacamos los siguientes: sofisticación

del material (complejidad del objeto), utilización del material por el docente y no

por el alumno, poca cantidad de materiales, la no adecuación del concepto

presentado por el material, creer que el material ya asegura la adquisición de un

concepto, falta de recursos para obtener materiales. Estas dificultades dependen

en gran medida del uso que el docente haga del material en cuestión.

149


Materiales didácticos manipulativos en los siglos XX y XXI

A continuación señalamos solo algunos autores que justifican el uso de materiales

manipulativos en la enseñanza y aprendizaje de la geometría, en nuestros

tiempos.

Szendrei (1996) hace un recorrido por la historia, del uso de materiales concretos

en el aula. Comienza indicando la importancia en el uso de materiales concretos

para resolver situaciones matemáticas en el diario vivir, en épocas antiguas,

hecho que desaparece con el aprendizaje por algoritmos. Luego, hay un proceso

de reintroducción del material, influido por Comenius y Pestalozzi. A partir de

estos filósofos, Decroly y Montessori se inician en el uso de materiales concretos

para la enseñanza de las matemáticas. Así muchos otros autores del siglo XX

proponen nuevas razones y cientos de materiales manipulativos disponibles para

la enseñanza de las matemáticas.

A continuación apuntamos algunas ideas propuestas por algunos autores que

justifican el uso de materiales y recursos para la enseñanza de la matemática.

Castelnuovo (1970) propone una manera de enseñar las matemáticas,

destacando el paso de lo concreto a lo abstracto, de la percepción a la

representación abstracta, proponiendo un curso de geometría intuitiva, sustentada

por las ideas antes expuestas. La autora justifica la necesidad de lo concreto,

dando un ejemplo en geometría, demostrando que el dibujo es insuficiente para

desarrollar las competencias de una geometría intuitiva. Se necesita de un

material manipulable y movible, con el cual el alumno construya. Ella distingue

entre materiales individuales y colectivos.

Coriat (1997) propone los materiales como campo de problemas en Educación

Matemática y como tema de investigación. Plantea además, las dificultades que

se pueden dar tanto a nivel de aula como a nivel de colegio. Indica a su vez las

razones por las cuales es necesario utilizar estos materiales y recursos en el aula,

y sostiene que el uso de materiales constituye un problema metodológico y

cultural del centro, ya que “los materiales didácticos y recursos plantean

dificultades curriculares tales como: nivel de diseño curricular e infraestructura,

nivel de currículo planificado y nivel de currículo implementado.

150


Finalmente, Coriat destaca la idea de que los materiales aportan a la enseñanza y

aprendizaje una variada ayuda potencial a los alumnos y profesores durante su

interacción.

Cascallana (1988), justifica el uso de materiales y recursos en el aprendizaje

matemático, resaltando la idea de que es necesario comenzar la enseñanza de

conceptos matemáticos a través de materiales manipulativos, pero no es el único

medio, pues se debe complementar con otros modos de enseñanza. El autor

propone crear situaciones educativas que permitan enfrentar al alumno a

problemas y a cómo resolverlos

Casacallana (1988) ante la pregunta ¿Cuál es el papel que desarrollan los

materiales en la enseñanza de las matemáticas?, sostiene que debido a que el

aprendizaje es una actividad interna del niño, el conocimiento no se puede

obtener por transmisión verbal; la libre manipulación de objetos no es un medio

para llegar al conocimiento. Este autor hace una diferencia entre el material

estructurado y no estructurado.

Alsina (2005), estudia el uso de materiales educativos para la enseñanza y

aprendizaje de la geometría y propone estrategias para su implementación.

También describe algunas clasificaciones sobre el material de acuerdo a

diferentes criterios. El grupo PI (2005 y 2007), trabaja en el desarrollo de

actividades para el aula utilizando el papel y la papiroflexia. Su objetivo es

proporcionar al profesor un material didáctico (el papel), como un recurso que

permite al alumno aproximarse a la geometría plana y espacial.

Los materiales didácticos cumplen una función mediadora, entre el profesor y el

alumno, entre los contenidos y el aprendizaje, por lo tanto es importante escoger

el material idóneo para los objetivos propuestos, según Área y otros (2010).

Según Área y otros (2010), ubicar los materiales en una secuencia educativa, trae

consigo el uso en determinados momentos de la clase: inicio, desarrollo y cierre.

Cumpliendo dentro de ellas varias funciones distintas como motivar, reflexionar,

proporcionar información, sintetizar o evaluar, entre otras. Momentos de la clase

que utilizaremos en el análisis de los datos de nuestro estudio.

Según Montero (citado por Jipoulou y Loyola, 1997), las guías de aprendizaje son

un material educativo, que puede potencialmente contribuir a modificar y

151


materializar un conjunto de principios educacionales que sustentan las

características de los roles del que aprende, del que enseña y del ambiente de

trabajo. Las guías de aprendizaje son un instrumento que pueden producir efectos

como: interés del que aprende, aprendizajes significativos, respuestas originales,

detección de fallas en los conocimientos previos y una dinámica apropiada para

seguir aprendiendo.

Para diseñar este tipo de material didáctico, se debe considerar:

Selección de los aprendizajes.

Secuencia de los aprendizajes.

Formas de interacción entre las personas con el conocimiento y entre actores del

proceso educativo.

La secuencia y ritmo.

Experiencias previas del estudiante.

Instancias evaluativas.

Vincular apropiadamente los recursos didácticos entre ellos los informáticos.

3.7.1 Materiales manipulativos para geometría plana

a) Bloques lógicos.

El objetivo de este juego es

introducir en los primeros conceptos

matemáticos y dar conocimiento de

semejanzas, diferencias y

asociación por colores, tamaños,

formas y espesores.

Propiedades de los bloques:

Color: azul, rojo y amarillo.

Forma: cuadrada, triangular, rectangular y circular.

Tamaño: grande y pequeño.

Grosor grueso, delgado.

152


El juego consta de 48 piezas en caja de madera con tapa corrediza.

Medidas 26 x 18,50 x 6 cm.

Estimulación:

Concepto de conjunto, pertenencia y no pertenencia.

Desarrollar la capacidad espacial, que se relaciona con la que se tiene frente

a aspectos como color, línea, forma, figura, espacio, y la relación que existe

entre ellos.

Percibir la realidad, apreciando tamaños, direcciones y relaciones espaciales.

Reproducir mentalmente objetos que se han observado.

Reconocer el mismo objeto en diferentes circunstancias.

Describir coincidencias o similitudes entre objetos que lucen distintos.

En niños pequeños ayuda en el conocimiento y aprendizaje de formas

regulares.

En niños mayores es una herramienta concreta para la medición de las

propiedades de figuras.

b) Geoplano orto-isométrico

El Geoplano , inventado por el matemático italiano Caleb Gattegno , es una

plancha de madera o de caucho, en la que se disponen regularmente una

serie de clavos o puntillas.

En el Geoplano se pueden formar

figuras utilizando gomas elásticas, al

mismo tiempo éste es empleado para

que el alumnado construya figuras

geométricas, establezca semejanzas,

diferencias entre paralelismo-

perpendicularidad y emplee un

lenguaje gráfico-algebraico.

Además, el Geoplano ofrece la

oportunidad para que el alumno y la

153


alumna estudie y descubra la relación

entre superficie-volumen, profundice y

comprenda los conceptos de áreas y

planos geométricos , y asocie

contenidos de la Geometría con el

Álgebra y el Cálculo .

Esta construcción cognitiva se produce

de una forma creativa mediante

actividades grupales, en las cuales se

presentan preguntas dirigidas por el

docente, con la finalidad de ayudarles a construir sus respuestas.

Y al mismo tiempo lograr que el estudiante formule sus propios interrogantes ,

permitiéndole así crear sus propias conjeturas acerca de algún concepto

matemático, favoreciendo con ello la optimización de los procesos de

aprendizajes significativo y el desarrollo de capacidades cognitivas complejas.

Existen distintos tipos de Geoplanos dependiendo de la posición de los clavos

o puntillas. Los más utilizados son los Geoplanos cuadrado, triangular

(isométrico) y circular.

c) Cuadrado, Cuadrado Isométrico Circular

Los Geoplanos pueden encontrarse en el mercado, pero su construcción no

es difícil: se necesita un tablero de 30x30 cm y clavos o puntillas de 2 cm.

¿Cómo se construye el Geoplano?

Geoplano cuadrado: Se marcan en el tablero cuadrículas de 1 cm de lado.

Una vez cuadriculado, se clavan las puntillas en cada vértice.

Geoplano triangular (isométrico): En un tablero de las mismas dimensiones,

se marcan triángulos equiláteros de 1 cm de lado. En cada vértice se clava

una puntilla.

Geoplano circular: Resulta más fácil elaborar una plantilla en A3 con una

circunferencia de dos cm menos de diámetro que el lado del tablero. La

circunferencia puede dividirse en 12, 24, 36…. partes. En cada uno de los

puntos marcados, así como en el centro se clavan las puntillas.

154


Para construir figuras en los Geoplanos de puntillas se utilizan gomillas

elásticas. En vez de Geoplanos podemos utilizar tramas de puntos , que son

Geoplanos en papel sobre el que se marcan las cuadrículas o los triángulos

según corresponda. ¿Cómo utilizar el Geoplano?

Con el Geoplano circular se pueden trabajar actividades de construcción de

polígonos regulares, polígonos estrellados, polígonos inscritos, circunscritos;

elementos geométricos como el radio, diámetro, cuerda, tangente, secante,

etc., y demostraciones como que en una circunferencia, un ángulo inscrito

mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco, etc...

a) El alumnado que va consiguiendo los objetivos, no tiene que repetir

actividades de un nivel ya superado.

b) El alumnado que necesita más tiempo para afianzar los conocimientos

puede realizar actividades adaptadas a su nivel de competencia.

Ventajas de utilizar el Geoplano

c) Al alumnado se le brindan las ayudas individualizadas, o en pequeño

grupo, que necesita para seguir avanzando.

d) Potencia la autonomía del alumnado.

e) Desarrolla la evaluación formativa.

f) Permite tanto al estudiante como al docente experimentar con patrones

numéricos, dar paso al pensamiento intuitivo y aperturar el pensamiento

hacia la innovación, lo cual es la base de la creatividad.

Este material, sencillo y eficaz, le permite a los estudiantes experimentar con

modelos matemáticos y construir conceptos numéricos en diversos contextos.

Él puede ser usado con la finalidad de establecer patrones ideales, para

combinar y realizar medidas directas o indirectas.

También, es útil para reproducir en forma creativa nuevas colecciones de

figuras complejas, innovar conceptos, descubrir propiedades-relaciones

exactas y comprobar conjeturas e hipótesis. Además, el Geoplano es

potencialmente beneficioso para estimular y despertar la creatividad,

buscando integrar lo pedagógico con el desarrollo de estrategias y

habilidades cognitivas.

155


Incorporar el Geoplano en las clases de matemáticas, puede ser considerado

simplemente una novedad, o puede significar una oportunidad para que los

docentes aborden los contenidos matemáticos de una forma creativa,

valiéndose de esta única herramienta para inducir al alumnado a pensar en

forma divergente.

Es por ello que el docente tiene que profundizar, apoyado en la epistemología

de la educación matemática, en el conocimiento de las aplicaciones prácticas

y teóricas del Geoplano e internalizar las posibilidades que le brinda esta

herramienta.

Si el docente conoce el Geoplano , podrá conducir a sus alumnos y alumnas

a construir conceptos matemáticos propios y favorecerá el desarrollo de

procesos de aprendizaje significativo y con ello estimulará algunas

capacidades cognitivas más complejas.

La experiencia con el Geoplano en el aula, se asocia a la organización de

contenidos, a la posibilidad de que por ejemplo, los conceptos de

proporcionalidad, cuadriláteros, triángulos, segmentos, paralelismo,

perpendicularidad, congruencia, medida, relaciones y proporciones, el

lenguaje gráfico y algebraico "se encuentren todos“ integrados en una

actividad y en una sola discusión participativa dentro del ambiente educativo

ideal propiciado por el docente.

El Geoplano , es un excelente recurso didáctico para dirigir el proceso de

aprendizaje-enseñanza matemática, ya que le da la oportunidad al docente de

mejorar su labor pedagógica, y transformarse en personas originales junto

con los educandos: constructores del conocimiento, imaginativos, dinámicos,

y creadores de ideas. Conclusión

Por otro lado, le permitirá incluir interrogantes a través de actividades por

niveles, y trabajar tanto con las necesidades como con las potencialidades de

una manera personalizada.

Sin embargo, actualmente existen otras herramientas instructivas que

contribuyen en el desarrollo cognitivo del educando, a diferencia de éstas

mediante el uso del Geoplano se busca despertar el potencial creativo de los

156


alumnos y alumnas y obtener resultados transcendentes, que no sólo tendrán

implicaciones en la matemáticas sino en otras áreas de estudio.

En relación a lo anterior, esto no se logrará si los docentes no unen

esfuerzos, por romper los esquemas tradicionales y asumir el desarrollo de la

creatividad del educando de acuerdo con su edad y capacidad mental. Para

que esto se alcance se debe dejar a un lado, en lo posible, la impertinencia, la

improvisación y la carencia de ideas.

La innovación educativa no se conseguirá si se encierran en sus propias

apreciaciones y conceptos. Deben asociarse, compartir experiencias,

interactuar, enriquecerse de ideas con grupos de profesores y profesoras que

vayan en la misma vía.

Si desean ser innovadores en su labor pedagógica, es necesario socializar el

conocimiento, pues en la época en que se encuentran es muy difícil ser un

creador solitario.

d) Un tangram especial

Es un material didáctico que consta de cinco piezas; es muy adecuado para

realizar actividades relacionadas a longitudes, ángulos, áreas,

proporcionalidad, etc., mediante el uso de herramientas conceptuales muy

simples.

El tamaño ideal es el de un cuadrado de 10 cm x10 cm así:

e) Rompecabezas geométricos

Los rompecabezas son juegos muy valorados, desde el punto de vista

educativo, porque a la vez que fomentan la creatividad, el desarrollo de las

capacidades de análisis y síntesis, la visión espacial, las estructuras

1

5

4

32

157


y los movimientos geométricos.

f) Los policubos

La teoría de policubos es una rama de las matemáticas que se ocupa de

estudiar el comportamiento de unidades modulares cúbicas, tal que unidas

por sus caras configuran formas en el espacio tridimensional.

El módulo básico es un cubo, la combinación de varios cubos permite obtener

una gran variedad de módulos que conservan ortogonalidad entre sus caras

y, dentro de la sencillez de sus formas, aportan riqueza volumétrica y

modularidad, estableciendo correspondencias con formas de uso

arquitectónico.

158


g) El cubosoma

El Cubo Soma es un puzzle de tres dimensiones que fue inventado en 1936

por el matemático danés Piet Hein. El Cubo Soma, está formado por seis

tetracubos y un tricubo no lineal, con él, se pueden construir una gran

variedad de formas geométricas; figuras de animales, muebles, etc.

h) Elaboración del hexagrama

Se hacen los trazos y la cuadrícula en el papel o cartulina y luego se procede

a cortar con una tijera por las líneas que forman los seis triángulos

rectángulos isósceles.

159


Para la mejor presentación y conservación del hexagrama se elabora un

estuche que sirve de marco a fin de encajar en ella las seis piezas, como si

fuera un rompecabezas, y se forme un rectángulo. Así:

i) Utilización del hexagrama

Formación de siluetas

Flecha Gato Pez

j) Formación de Figuras Geométricas

Triángulos

El triángulo es aquella figura geométrica formada por tres rectas que se

cortan dos a dos. Es un polígono plano constituido por tres lados y tres

ángulos.

Con el hexagrama se forman los siguientes triángulos:

160


GLOSARIO

Competencia.- Son las capacidades de poner en operación los diferentes conocimientos,

habilidades, pensamiento, carácter y valores de manera integral en las diferentes

interacciones que tienen los seres humanos para la vida en el ámbito personal, social y

laboral.

Etnomatemática.- Es la forma de explicar, enseñar, diseñar, comprender, manejar, lidiar

y construir a partir de su propia cultura, es decir, es una matemática de la vida y para la

vida, que se aprende por la interacción social.

Procesos pedagógicos.- Es el conjunto de prácticas, relaciones intersubjetivas y

saberes que acontecen entre los que participan en procesos educativos, escolarizados y

no escolarizados, con la finalidad de construir conocimientos, clarificar valores y

desarrollar competencias para la vida en común. Cambiar estas prácticas, relaciones y

saberes implica por tanto influir sobre la cultura de los diversos agentes que intervienen

en los procesos de enseñar y aprender. Los cambios culturales como sabemos requieren,

entre otros factores importantes, de sostenibilidad en el tiempo para concretarse. No son

de corto plazo.

Procesos cognitivos.- Son todos aquellos procesos a través de los cuales, la

información es captada por los sentidos, transformada de acuerdo a la propia experiencia

en material significativo para la persona y finalmente almacenada en la memoria para su

posterior utilización.

Estrategia.- Es una acción humana orientada a lograr un propósito de manera

intencional, consciente movilizando sus capacidades.

Estrategias de enseñanza.- Son experiencias o condiciones que el maestro crea para

favorecer el aprendizaje del alumno.

Estrategias de enseñanza.- Son procedimientos que un estudiante adquiere y emplea

de forma intencional para aprender significativamente y solucionar problemas de su

entorno.

Capacidad.- Potencialidad inherente a toda persona capaz de ser desarrollado durante

toda su vida.

Competencia.- Son un conjunto de conocimientos, habilidades y valores que convergen

y permiten llevar a cabo un desempeño de manera eficaz, es decir que el estudiante logre

161


los objetivos de manera eficiente y que obtengan el efecto deseado en el tiempo

estipulado y utilizando los mejores métodos y recurso para su realización.

Aprendizaje Cooperativo.- Es una forma de trabajo en grupo basado en la construcción

colectiva del conocimiento y el desarrollo de habilidades mixtas (aprendizaje y desarrollo

personal y social), donde cada miembro del grupo es responsable tanto de su aprendizaje

como del de los restantes miembros del grupo. Las dinámicas internas que hacen que el

aprendizaje cooperativo funcione se basan en características que posibiliten a los

docentes estructurar las actividades de manera tal que los estudiantes se vuelvan

positivamente interdependientes, individualmente responsables para hacer su parte del

trabajo, trabajen cara a cara para promover el éxito de cada cual, usen apropiadamente

habilidades sociales y periódicamente procesan cómo pueden mejorar la efectividad de

sus esfuerzos.

Papiroflexia.- Técnica de plisado de papel con fines recreativos.

Transposición Didáctica.- Es la transformación del saber científico en un saber posible

de ser enseñado, se interesa por establecer una relación entre el saber sabio de los

matemáticos y el saber a enseñar y de ésta al saber enseñado.

Contrato didáctico.- En todo proceso de enseñanza-aprendizaje siempre existe un

discurso o “contrato” entre profesor y alumno resultado del conjunto de códigos y pactos

implícitos y explícitos que regulan los comportamientos, interacciones y relaciones de los

docentes y el alumnado (normas, programas de asignatura, etc.)

162


BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS ELECTRÓNICAS

Callejón, M (2000) “El clima del aula cómo influyen las habilidades sociales de los

alumnos y profesores “ en FERNÁNDEZ Guía Para la Convivencia en el Aula. Escuela

Española. Madrid.

Casamayor (1998) Cómo Dar Respuesta a los Conflictos. Grao, Barcelona.

Equipo de Psíquicos y Conductuales (2000) Comportamiento Desadaptado y

Respuesta Educativa en Secundaria. Propuestas para la Reflexión y Acción. Gobierno de

Navarra. Departamento de Educación y Cultura.

Emilio Cidad Maestro(1987) Modificación de Conducta en el Aula e Integración Escolar

,UNED.

Isabel Fernández (coord.) (2001) Guía Para Convivencia en el Aula. Escuela Española.

Madrid.

Rodríguez, R y Luca de Tena, C (2001): Programa de Disciplina en la Enseñanza

Secundaria Obligatoria: ¿Cómo Puedo Mejorar la Gestión y el control de mi aula?Aljibe.

Torrego Seijo, J.C. (2003) Resolución de Conflictos Desde la Acción Tutorial.

Comunidad de Madrid, Consejeria de Educación.

VaelloOrts,J. (2005) Las Habilidades Sociales en el Aula, Santillana, Madrid.

Brousseau Guy. (1972), Processus de mathématisation. En La mathématique a l’école

élémentaire. Paris. Francia: Association des professeurs de mathématiques de

l’enseignement public.

Brousseau Guy. (2007), Iniciación al estudio de la teoría de situaciones didácticas.

Buenos Aires. Argentina: Libros del Zorzal.

Chevallard Yves. (2009). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado.

Buenos Aires. Argentina: Editorial Aique.

Chevallard Yves, Bosch Marianna y Gascón Josep. (1997). Barcelona. España :

Editorial Horsori. Cuadernos de Educación.

D´AMORE Bruno. (2006). Didáctica de la matemática. Bogotá. Colombia : Cooperativa

editorial Magisterio.

163


D´AMORE Bruno, DIAZ GODINO Juan y FANDIÑO PINILLA, Martha I. (2008).

Competencias y matemática. Bogotá. Colombia: Cooperativa editorial Magisterio.

D´amore Bruno, Fandiño Pinilla, Martha I, Marazzani Inés y Sbaragli Silvia. (2010).

La Didáctica y la dificultad en matemática. Bogotá. Colombia. : Cooperativa editorial

Magisterio.

Fandiño Pinilla, Martha I. (2005). Las fracciones. Aspectos conceptuales y didácticos.

Bogotá. Colombia: Cooperativa editorial Magisterio.

Fandiño Pinilla, Martha I. (2010). Múltiples aspectos del aprendizaje de la matemática.

Bogotá. Colombia: Cooperativa editorial Magisterio.

GARCÍA ROA María Agustina, ALBA FRANCO Flor y GARZÓN Doris. (2006).

Didáctica de la geometría euclideana. Conceptos básicos para el desarrollo del

pensamiento espacial. Bogotá – Colombia: Cooperativa editorial Magisterio.

POLYA, G. (1969) Cómo plantear y resolver problemas. México: Serie de matemáticas.

Editorial Trillas.

Marco Antonio Moreira. La teoría de los campos conceptuales de Vergnaud, la

enseñanza de las ciencias y la investigación en el área. Instituto de Física de Porto

Alegre. Brasil. [email protected]

Fernando Fouz. Modelo de Van Hiele para la didáctica de la Geometría.

divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php

Teoría de van Hiele. Es.wikipedia.org/wiki/teoría-de-van-hiele

ANGULO, P (2002). Efecto de la Estrategia Metodológica Condicionamiento Piter

(EMCOPI) en el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales de primer orden en el cuarto

semestre de Ingeniería Mecánica. Trabajo Final de Grado en el nivel de Maestría, UC,

Valencia.

CHEVALLARD, Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes en la Teoría

Antropológica de lo Didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol 19, nº

2, pp. 221-266.

Van Hiele, P.M. (1957). El problema de la comprensión en conexión con la comprensión

de los escolares en el aprendizaje de la geometría.Disertación doctoral. Traducción al

español de Ángel Gutiérrez et al. Universidad Real de Utrecht. Holanda.

164


Flores, P., Lupiáñez, J. y Marín, A. (2010). Materiales y recursos en el aula de

matemáticas de secundaria y bachillerato. Universidad de Granada. Thales-Cica 2007.

Sin editar.

Corbalán, (1994). Juegos matemáticos para secundaria y bachillerato. Madrid, Síntesis.

Guillén, g. y Figuereas, O. (2005). Estudio exploratorio sobre la enseñanza de la

geometría en primaria. Curso taller como técnica para la obtención de datos, en Maz, A.,

Gómez, B., Torralbo, M. (eds) (2004). Investigación en Educación Matemática. Noveno

Simposio de la Sociedad Española de la Investigación en Educación Matemática

(S.E.I.E.M), (pp. 227-234) Córdoba, España.

Coriat, M. (1997) Materiales, Recursos y Actividades: Un panorama. En Luis Rico (Ed.),

La educación matemática en la enseñanza secundaria. Barcelona, Horsori. pp. 155-178.

Cascallana, M. T. (1988). Iniciación de la Matemática. Materiales y recursos didácticos.

Madrid, Santillana.

Alsina, C., Burgués, C. y Fortuny, J. Mª. (1988). Materiales para construir la geometría.

Editorial Síntesis S.A.

Área, M., Parcerisa, A. y Rodriguez, J. (Coords) (2010). Materiales y recursos

didácticos en contextos comunitarios. Ed: Grao.

Montero, I. y León, O. (2007) International journal of clinical and health psychology, ISSN

1697-2600, Vol. 7, Nº. 3, 2007, págs. 847-862.

Macarena Valenzuela Molina (2012) Uso de materiales didácticos manipulativos para la

enseñanza y aprendizaje de la geometría, Granada, Junio 2012

sesión de aprendizaje y didáctica de la geometria - huancayo

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