sesión 6_cal 3
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multiplicadores de lagrangeTRANSCRIPT
¿Que tanta resistencia debe soportar el armazón del avión para poder estar estable frete a las ráfagas de viento ?
Las matemáticas del diseño de aviones
¿Cuántas restricciones se necesita imponer para formular el modelo ?
El proceso de optimización del diseño tiene como objetivo fundamental mejorar el rendimiento esto se lleva a cabo mediante la resolución de ecuaciones que permite simular el comportamiento del avión en interacción con el aire hasta dar con el diseño
más eficiente, en este caso, el que oponga menos resistencia al avance.
Generalmente , las técnicas de optimización para el diseño de aeronaves hacen uso de los denominados, Métodos basados en los gradientes .La forma más inmediata de calcular los gradientes (que se conoce como método de derivación directa o de diferencias finitas) consiste en producir pequeñas perturbaciones en todas y cada una de las variables de diseño y calcular el valor de la función objetivo antes y después de cada perturbación.
http://intermat.fciencias.unam.mx/ArticuloLag/lagAnim.html
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el
estudiante resuelve
problemas vinculados a
gestión e ingeniería a partir
de la optimización de
funciones en varias
variables, con restricciones,
de forma coherente.
TEMARIO
• Extremos con restricción: Multiplicadores de Lagrange.
• Método de los Multiplicadores de Lagrange para funciones
de dos variables con una restricción.
• Método de los Multiplicadores de Lagrange para funciones
de tres variables.
• Método de los Multiplicadores de Lagrange con dos
restricciones.
Extremos con restricción: Multiplicadores de Lagrange
Supóngase que queremos hallar los máximos y los mínimos relativos de z = f (x , y)
sujeto a la restricción g(x, y) = 0. Esto significa que la función f (x , y) solo podrá ser
evaluada en los puntos (x,y) que estén en la curva de nivel g(x,y) = 0, es decir f (x,y)
está restringida (o sujeta) a g(x,y) = 0.
Teorema de Lagrange
Suponga que la función z=f (x,y) tiene un extremo en el punto (x0 , y0)
sobre la gráfica de la ecuación restricción g(x, y) = 0. Si f y g tienen
primeras derivadas parciales continuas en un conjunto abierto que
contiene la gráfica de la ecuación de restricción y g(x0, y0) ≠ 0, entonces
existe un número real λ tal que f (x0, y0) = λg(x0, y0) .
El número real λ para el cual f (x0, y0) = λg(x0, y0) recibe el nombre de
multiplicador de Lagrange.
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
( Con una restricción)
Sean f y g funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de
Lagrange, y sea f una función que tiene un mínimo o un máximo
sujeto a la restricción g(x, y)= c. Para hallar el mínimo o el máximo de
f , seguir los pasos descritos a continuación.
1). Resolver simultáneamente las ecuaciones f (x, y) = λg(x, y) y
g(x, y)= c resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente.
f x (x, y) = λg x (x, y)
f y (x, y) = λg y (x, y)
g (x, y) = c
2). Evaluar f en cada punto solución obtenido en el primer paso. El
valor mayor da el máximo de f sujeto a la restricción g(x, y)= c y el
valor menor da el mínimo de f sujeto a la restricción g(x, y)= c.
SIMULACIÓN DEL MULTIPLICADOR DE LAGARNGE
Optimizar la función sujeta a la condición que los puntos
satisfagan la ecuación de la elipse Así la condición
esta dada por la ecuación:
Este problema esta representado en la figura, la condición
esta presentada por la elipse color violeta en el plano xy.
Ejemplo 1
Es importante observar (ver
figura) que los puntos en el plano
xy donde se producen los valores
extremos es precisamente donde
las curvas de nivel son tangentes a
la curva dada por la condición
g(x,y) = 0 , curva color violeta.
Si observamos los planos horizontales que
generan las curvas de nivel podemos ver la
relación de tangencia entre las curvas de
nivel, los puntos extremos y la elipse. Esta
observación esta graficada en la figura.
Así podemos ver en nuestro ejemplo que es precisamente en aquellos puntos
tangenciales donde se puede visualizar el resultado de Lagrange, es decir donde
los vectores gradientes de la función
son paralelos a los vectores gradientes de la función
donde los vectores gradientes de f están fijos y los
vectores gradientes de g recorren la elipse g(x,y)=0
Finalmente la animación presenta ambos
vectores gradientes evaluados el los puntos de elipse
g(x,y)=0 mostrando claramente el resultado del
Método de Lagrange "el vector es múltiplo de
el vector en los puntos de tangencia, es decir
los puntos extremos.
Obtenga los valores mayores y menores que toma la función: f (x,y)=xy
Ejemplo 02
sobre la elipse
solución
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
( Para Funciones de tres variables)
Para encontrar los extremos de una función de tres variables w = f (x, y, z)
sujeta a la restricción g(x, y, z) = c resolvemos un sistema de cuatro
ecuaciones:
f x (x, y, z) = λg x (x, y, z)
f y (x, y, z) = λg y (x, y, z)
f z (x, y, z) = λg z (x, y, z)
g (x, y, z) = c
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
( Con dos restricciones)
En problemas de optimización que involucran dos funciones de restricción g y
h se puede introducir un segundo multiplicador de Lagrange, m (letra
minúscula mu del alfabeto griego), y resolver las ecuaciones:
f (x, y) = λg(x, y) + m h(x, y) ; g(x, y) =c1, h(x, y) =c2
donde los vectores gradiente no son paralelos.
El plano x + y +z =1 corta al cilindro en una elipse . Encuentre los
puntos sobre la elipse que se encuentran más cercanos y más lejanos del origen.
Ejemplo 03
solución
Reflexión sobre lo Aprendido
¿Qué tipo de problemas cotidianos se podrían
resolver mediante los valores extremos de una
función de varias variables, con restricciones?
¿Qué dificultades se presentaron en la resolución de ejercicios?
¿De qué manera resolvieron las dificultades
encontradas?
BIBLIOGRAFÍA
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1 515.33 PURC
PURCELL, EDWIN J.
Cálculo Diferencial E Integral
Pearson Educación
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