Sesin 05

Mtodo Grfico

Anlisis de sensibilidad de coeficientes

Anlisis de sensibilidad de las restricciones del modelo

Clculo del precio dual

Repaso

Ejercicio

INVESTIGACIN DE OPERACIONES

Sesion 05 Mtodo Grfico

El Mtodo Grfico

El mtodo grafico es relativamente sencillo y se aplica cuando los problemas de programacin lineal tienen solamente dos variables pero sin importar la cantidad de restricciones.

ZMax : 15X1 + 25X2

El Mtodo Grfico

Las restricciones,

Delimitar el rea factible

Encontrar los puntos de interseccin alrededor del rea factible

Evaluar la funcin objetivo en los puntos alrededor del rea factible

Escoger la funcin de valor objetivo mas grande si el problema es de maximizar o

La funcin objetivo de menor valor si la funcin es de minimizar

El mtodo consiste graficar:

El Mtodo Grfico

Graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultnea.

Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confan todos los valores posibles.

El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer trmino

El Mtodo Grfico

Trazar cada lnea recta en el plano y la regin en cual se encuentra cada restriccin cuando se considera la desigualdad lo indica la direccin de la flecha situada sobre la lnea recta asociada.

Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.

Aunque hay un nmero infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solucin ptima puede determinarse al observar la direccin en la cual aumenta la funcin objetivo.

Las lneas paralelas que representan la funcin objetivo se trazan mediante la asignacin de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la direccin en la cual crece o decrece el valor de la funcin objetivo

Caso prctico Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos bsicos del problema

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada ms que la de pintura para exteriores. Tambin, que la demanda mxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. Se le pide determinar la mezcla ptima que maximice la utilidad diaria total utilizando el mtodo grfico.

Formulacin

Variables de Decisin

x1 = Toneladas producidas diariamente de pintura para exteriores x2 = Toneladas producidas diariamente de pintura para interiores

Funcin Objetivo:

Max Z = 5 000x1 + 4 000x2

Restricciones:

6x1 + 4x2

Resolucin grfica

x2

x1

(2,2)

Z=21 000

X2

Ejercicio

La compaa WorldLight produce dos dispositivos para lmparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes elctricos. La administracin desea determinar cuntas unidades de cada producto debe fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes elctricos. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes elctricos. La compaa dispone de 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes elctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $10 y cada unidad del producto 2, da una ganancia de $2. Se pueden producir hasta 60 unidades del producto 2.

Analisis de Sensibilidad Una Cia. manufacturera elabora 2 tipos de bates para baseball: uno

de peso ligero usado en las ligas menores y otro de peso mediano que se vende a los equipos de las ligas mayores. La produccin de un bate requiere una operacin de torno para darle forma, un proceso de pulido para suavizar la madera, y para los medianos, solamente, una mano de laqueado como tratamiento final.

Un bate para liga menor requiere 1 minuto en un torno de alta velocidad en tanto que el bate para la liga mayor toma 2 minutos de tiempo torneado, puesto que se le debe dar forma con tolerancias muy estrechas. El bate de peso ligero requiere 3 minutos en la mquina pulidora, en tanto que el mediano necesita solo 2 minutos para ser pulido.

El laqueado es hecho a mano y como resultado de esto solo pueden producirse 400 medianos durante una semana.

Para una semana promedio de trabajo debe utilizarse 1,000 minutos de tiempo de torno y 1,800 de tiempo de pulido.

Asuma que la compaa puede vender tantos bates de cada tipo como los que pueden producir, adems se conoce que la utilidad es de US$ 3 por cada peso ligero y US$ 4 por cada mediano producido.

Modelo de PL

Variables de decisin X : Unidades bates peso ligero y : Unidades bates peso mediano

Funcin objetivo ZMax : 3x +4y

Restricciones

3x + 2y

Mtodo Grfico

600 1000

400

500

900

y

x

Y

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Determino los coeficientes mximos de mi funcin objetivo. Reemplazndo por otras variables e igualo a 0

Max Z = 3x + 4y

Ax + 4y = 0 A = -4y / x a / 4 = y / x

3x + By = 0 B = -3x/y y / x = - 3/B

A y --- = ---- 4 x

3 y --- = ---- B x

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Determino la pendiente de la restriccion 1:

X + 2y

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Resuelvo las ecuaciones para A:

y 1 , A 1 A = 2

x 2 4 2

y 3 , A 3 A = 6

x 2 4 2

Entonces si A tiene un valor de 3 en la funcin objetivo, los rangos de analisis De sensibilidad sern: Incremento = 3 Decremento = 1

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Resuelvo las ecuaciones para B

y 1 , 3 1 B = 6

x 2 B 2

y 3 , 3 3 B = 2

x 2 B 2

Entonces si B tiene un valor de 4 en la funcin objetivo, los rangos de anlisis de sensibilidad sern: Incremento = 2 Decremento = 2

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

600 1000

400

500

900

y

x

Y

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Para las restricciones es la siguiente:

3x + 2y = 1800

3x + 2y = r1

3(200) + 2(400) = r1

r1 = 1400

r1 = 3x + 2y

r1 = 3(1000) + 2(0)

r1 = 3000

Es decir que esta restriccion esta en el rango: Incremento = 1200 Decremento = 400

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

600 1000

400

500

900

y

x

Y

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Para la 2da restriccion es la siguiente:

x + 2y