series numericas

I.T.Telecomunicaciones Curso 99/00

DPTO. MATEMÁTICA APLICADA

Javier Martínez del Castillo Tema 6 Pág. 1 de 15

Tema 6: Series numéricas

Con anterioridad vimos el concepto de sucesiones de números reales. En este capítulo, vamos a ver unconcepto más general, ya que una importante aplicación de las sucesiones infinitas radica en larepresentación de sumas infinitas.

1. Series

Definición: Si { }an es una sucesión infinita de números reales, entonces:

a a a a an nn

= + + + + +=

∞

∑ 1 2 31

��

se llama una serie infinita (o simplemente una serie ). Los números a a1 2, ,� se llaman los términos de laserie. ✍

Observación: Para algunas series conviene empezar el índice en n=0. ✌

Para hallar la suma de una serie infinita, consideremos la siguiente sucesión de sumas parciales:

S a

S a a

S a a a

S a a a an n

1 1

2 1 2

3 1 2 3

1 2 3

== += + +

= + + + +�

�

Si esta sucesión converge, diremos que la serie converge y que su suma es la que se indica en la siguientedefinición.

Definición: Para la serie infinita ann=

∞

∑1

, la n-ésima suma parcial viene dada por:

S a a an n= + + +1 2 �

a) Si la sucesión de sumas parciales { }Sn converge a un número real S, diremos que la serie ann=

∞

∑1

converge a S. Además, llamaremos a S suma de la serie y escribiremos:

ann=

∞

∑1

= Lim Sn

n→∞= S

b) Si la sucesión { }Sn diverge, diremos que la serie ann=

∞

∑1

es divergente . ✍




Ejemplo 1: Determinar la convergencia o divergencia de la serie ( )− +

=

∞

∑ 1 1

1

n

n

Esta definición implica que una serie puede ser identificada con su sucesión de sumas parciales, de maneraque las siguientes propiedades son consecuencia directa de sus análogos en sucesiones:

Teorema: Si ann=

∞

∑1

= A , bnn=

∞

∑1

= B , y c es un número real, entonces:

a) c ann

⋅=

∞

∑1

= cA b) ( )a bn nn

+=

∞

∑1

= A+B c) ( )a bn nn

−=

∞

∑1

= A-B

■

Además, si se suprimen los N primeros términos de una serie, ello no destruye su convergencia ( o sudivergencia). Este es el contenido del siguiente teorema:

Teorema: Para cualquier entero positivo N, las series:

ann=

∞

∑1

y ann N= +

∞

∑1

tienen el mismo carácter (las dos convergen, o ambas divergen). ■

Observación: Si ambas convergen, sus sumas difieren por la suma parcial SN . ✌

Al ir estudiando este tema, veremos que hay dos cuestiones básicas acerca de las series: ¿converge?, y siconverge, ¿cuál es su suma?. No siempre son fáciles de contestar, sobre todo la segunda. Comenzaremosnuestra búsqueda de respuestas, por un sencillo teorema conocido como el criterio de condición necesaria:

Teorema (Condición necesaria): Sea ann=

∞

∑1

una serie. Entonces:

Si la serie es convergente ⇒ =→∞

Lim an

n 0 ■

Observación: El teorema no afirma que la serie ann=

∞

∑1

converge si { }an tiende a 0, sino que la serie diverge

si { }an no converge a 0 (negación lógica). En otras palabras, el queLim an

n→∞= 0 , es condición necesaria para

la convergencia de la serie, pero no suficiente. ✌

Ejemplo 2: Determinar cuales de las siguientes series son convergentes

a) 20

n

n=

∞

∑ b) 120

nn=

∞

∑ c) n

nn

!!2 11 +=

∞

∑ d) 10

1 nn=

∞

∑ e) n

n nn

2

21

3

4 5+

−=

∞

∑




En general, no son muchas las series que pueden ser estudiadas usando directamente la definición; unaexcepción la forman las series geométricas, cuya convergencia es fácil de estudiar, y en caso de serconvergentes, hasta se pueden sumar.

Definición: La serie dada por

a r a ar ar ar ar con an

n

n⋅ = + + + + + + ≠=

∞

∑0

2 3 0� �

se llama serie geométrica de razón r y término inicial a. ✍

Teorema: Sea a rn

n

⋅=

∞

∑0

una serie geométrica. Entonces:

a) Si r ≥ ⇒1 la serie diverge.

b) Si r < ⇒1 la serie converge, y además lo hace a: a rn

n

⋅=

∞

∑0

=a

r1−. ■

Observación: En el caso de tener una serie geométrica que no comienza en n=0, si es convergente,entonces su suma vendrá dada por la expresión:

a rn

n k

⋅=

∞

∑ = a r

r

k⋅−1

✌

Ejemplo 3: Estudiar el carácter de las siguientes series, y en su caso, obtener su suma:

a) 320

nn=

∞

∑ b) 320

=

∞

∑n

n

c) 2

7

3

0

n

nn=

∞

∑ d) ( )−

=

∞

∑ 1

42

n

nn

Teorema: La serie 1

1 nn=

∞

∑ llamada serie armónica, diverge a∞ . ■

Teorema: Sean ann=

∞

∑1

y bnn=

∞

∑1

dos series, y sea c≠ 0 un número real. Entonces:

a) Si ann=

∞

∑1

diverge ⇒ c ann

⋅=

∞

∑1

también diverge.

b) Si ann=

∞

∑1

diverge y bnn=

∞

∑1

converge ⇒ ( )a bn nn

+=

∞

∑1

diverge.

Ejemplo 4: Estudiar el carácter de la serie 1 1

21 n nn

−

=

∞

∑ .




2. Series de términos no negativos

En este apartado, vamos a ver algunos resultados que nos van a permitir determinar el carácter de seriesdonde sus términos (casi todos) sean no negativos, ya que al depender la convergencia de una serie de laconvergencia del límite de las sumas parciales, parece evidente que los primeros términos (cualquiercantidad finita, por grande que ésta sea) de una serie no deben afectar al carácter de una serie, aunque susuma se vea, evidentemente afectada.

Ejemplo 5: Hallar la suma de la serie: 4 6 11

2

1

4

1

2− + + + + + + +π � �

n

Teorema: Sea { }an una sucesión cualquiera de números reales, y sea { }bn una sucesión obtenida a partir de

{ }an , eliminando, añadiendo o modificando términos. Entonces:

ann=

∞

∑0

y bnn=

∞

∑0

tienen el mismo carácter ■

Teorema ( Criterio de condensación de Cauchy ) : Sea { }an una sucesión decreciente de términos no

negativos. Entonces:

ann=

∞

∑1

es convergente ⇔ 22

0

k

k

a k

=

∞

∑ es convergente ■

Ejemplo 6: Estudiar la convergencia de las siguientes series:

a) ∑∞

=2

1

n Lnnb) ∑

∞

=2 )(

1

ncLnn

Definición:

a) Llamamos p-serie , con p>0, a la serie de la forma

1 11

12

131 np p p p

n

= + + +=

∞

∑ �

b) En el caso de que p=1, la serie recibe el nombre de serie armónica. ✍

Teorema: Consideremos la p-serie 1

1 npn=

∞

∑ . Entonces:

a) Si 0 1< ≤ ⇒p la serie diverge. b) Si p > ⇒1 la serie converge. ■

Ejemplo 7: Estudiar la convergencia de las siguientes series:

a) 1

31 nn=

∞

∑ b) 1

51 nn=

∞

∑ c) 14 3

1 nn=

∞

∑




Teorema (Criterio de comparación directa): Sean ann=

∞

∑0

y bnn=

∞

∑0

dos series tales que 0< ≤a bn n

∀ ∈n � . Entonces:

a) Si bnn=

∞

∑0

converge ⇒ ann=

∞

∑0

converge.

b) Si ann=

∞

∑0

diverge ⇒ bnn=

∞

∑0

diverge. ■

Observaciones:

a) Aunque en el enunciado hemos exigido que 0< ≤ ∀a b nn n , como la convergencia de una serie

no queda afectada por sus primeros términos, lo podríamos exigir para los n mayores que cierto N.

b) El criterio deja de ser válido para series de términos cualesquiera. ✌

Ejemplo 8: Estudiar el carácter de las siguientes series:

a) 1

2 31 +=

∞

∑ nn

b) 1

21 +=

∞

∑nn

c) 1

2 111

nn

−=

∞

+∑

d) sen( / )1

121

n

nn +=

∞

∑ e) 1

121 n nn + +=

∞

∑ f) n

n nn

+− −=

∞

∑ 212

1

Son pocas las veces en las que este criterio es aplicable directamente aunque su gran importancia reside enque todos los restantes criterios para series de términos no negativos se deducen como consecuencias delcriterio de comparación.

Teorema ( Criterio de la raíz ): Sea ann=

∞

∑0

una serie tal que an > 0 para n suficientemente grande, y sea

Lim an

nn

→∞= � . Entonces:

a) Si � < ⇒1 la serie converge.

b) Si � > ⇒1 la serie diverge.

c) Si � = ⇒1 no se obtiene información. ■


a) 5000

1 nn

n

=

∞

∑ b) e

n

n

nn

2

1=

∞

∑ c) n

nn

3

1 3=

∞

∑

Con frecuencia, una serie dada se parece a una p-serie o a una serie geométrica, pero no resulta fácilestablecer comparaciones término a término. Entonces es útil recurrir a un segundo criterio de comparación:




Teorema ( Criterio de comparación en el límite ):Sean ann=

∞

∑0

y bnn=

∞

∑0

dos series de términos no negativos

tales que b nn ≠ ∀0 suficientemente grande, y supongamos que Lima

bn

n

n→∞

= >� 0 . Entonces:

ann=

∞

∑0

y bnn=

∞

∑0

tienen el mismo carácter. ■


a) 1

01 an b

an +

>=

∞

∑ b) 1

3 4 521 n nn − +=

∞

∑ c) 1

3 21 nn −=

∞

∑

d) n

n nn

2

5 31

10

4−+=

∞

∑ e) n

nn3

1 1+=

∞

∑ f) 4 1

221

n

n nn

−+=

∞

∑

g) 1

121 n nn − −=

∞

∑ h) n

n nn

++ +=

∞

∑ 212

1

i) ( ) sen( / )4 5 1

3

3

21

n n

n nn

+ ⋅⋅=

∞

∑

Teorema (Criterio de Pringsheim): Sea ann=

∞

∑0

una serie de términos positivos y supongamos que

Lim n an

cn→∞

⋅ ≠ 0 . Entonces:

a) Si c > ⇒1 ann=

∞

∑0

converge.

b) Si c ≤ ⇒1 ann=

∞

∑0

diverge. ■

Teorema (Criterio del cociente): Sea ann=

∞

∑0

una serie de términos positivos, y supongamos que

Lima

an

n

n→∞

+ =1� . Entonces:

a) Si � < ⇒1 la serie converge.b) Si � > ⇒1 la serie diverge.c) Si � = ⇒1 no se obtiene información. ■


a) 2

0

n

n n!=

∞

∑ b) n

nn +=

∞

∑ 11

c) n n

nn

2 1

0

2

3⋅ +

=

∞

∑ d) n

n

n

n !=

∞

∑0

Tanto el criterio de la raíz como el del cociente fallan cuando el límite es igual a 1. En dichos casos se aplicael siguiente criterio




Teorema (Criterio de Raabe): Sea ann=

∞

∑0

una serie de términos positivos, y supongamos que

Lim na

an

n

n→∞

+⋅ −

=1 1

� . Entonces:

a) Si � > ⇒1 la serie converge.b) Si � < ⇒1 la serie diverge.c) Si � = ⇒1 no se obtiene información. ■

Ejemplo 12: Estudiar el carácter de la siguiente serie: 1

21 nn=

∞

∑ .

Teorema (Criterio integral): Sea ann=

∞

∑1

una serie de términos no negativos. Supongamos que f es una

función continua para x ≥ 1 tal que:

1. f n a nn( ) = ∀ ≥ 12. f es decreciente para x ≥ 1

Entonces:

a converge f x dx convergenn=

∞ ∞∑ ∫⇔1

1( ) ■


a) n

nn 1 21 +=

∞

∑ b) 1

1 21 +=

∞

∑ nn

Corolario: Sea ann=

∞

∑1

una serie de términos no negativos y decrecientes, y sea f una función que verifica

las hipótesis del criterio de la integral. Entonces:

f x dx a f x dx ak n

n kk k( ) ( )

∞

=

∞ ∞

∫ ∑ ∫≤ ≤ +

para cualquier natural k . ■

Observación: Este corolario permite dar una estimación con cualquier grado de aproximación de la suma deuna serie ya que

a a f x dxnn

nn

k

k=

∞

=

∞∑ ∑ ∫≈ +1 1

( )

y la integral tiene un error menor que ak . ✌

Ejemplo 14: Estimar la suma de la serie 1

21 nn=

∞

∑ con un error menor que 0 001. .




3. Series alternadas

En el apartado anterior, hemos visto varios criterios de convergencia para series de términos no negativos,aunque también son aplicables a aquellas series ∑ an que tienen a lo sumo un número finito de términosnegativos, pues ya hemos visto que se pueden eliminar sin afectar la convergencia o divergencia de la serie.También son aplicables a las series que tienen todos los términos negativos (salvo quizás un número finito),ya que entonces estudiamos la serie∑ −an , que tiene el mismo carácter. Sin embargo, cuando en una serieaparecen infinitos términos negativos y positivos, los criterios anteriores no son aplicables. En esta secciónveremos nuevos criterios que podemos aplicar, cuando las series con las que nos encontremos sean de estetipo.

Definición: Una serie ∑ an decimos que es alternada si ∀ ∈n � el signo de an es distinto del de an+1. Por

ejemplo, 12 1

1 ( )− −=

∞

∑ nn

. ✍

Teorema (de Leibniz): Sea ( )−=

∞

∑ 11

nn

n

a una serie tal que:

{ }a a es decreciente y de terminos positivos

b Lim aes convergente

n

nn

)

)→∞

=

⇒

0 ■

Observación: Además, también es válido si la sucesión es decreciente a partir de un cierto natural N. ✌

Ejemplo 15: Determinar la convergencia de las siguientes series:

a) n

nn ( )− −

=

∞

∑ 2 11

b) ( )ln−

=

∞

∑ 11

n

n

n

n

c) ( )− +−

+

=

∞

∑ 13 24 3

12

1

n

n

n

nd) ( )

ln−

=

∞

∑ 121

n

n

n

n

Teorema: Si una serie ∑ an satisface las condiciones del teorema de Leibniz, y su suma es � , entonces elresto Rn implicado al aproximar la suma por la suma parcial Sn es menor en valor absoluto que el primertérmino despreciado:

S R an n n− = ≤ +� 1

Es decir, el error cometido al usar la n-ésima suma parcial de la serie como aproximación de � es, a lo sumo,la magnitud del primer término no sumado. ■

Ejemplo 16: Probar que la serie ( )− +

=

∞

∑ 111

1

n

n n es convergente y dar una estimación de su suma con un error

menor que 0.1.




Una serie puede tener infinitos términos positivos y negativos, sin ser alternada, como ocurre con

sen sen sen senn

nn2

1

11

24

39=

∞

∑ = + + +�

Una forma de obtener información sobre su convergencia es investigar la de la serie

senn

nn2

1=

∞

∑

que por comparación directa con la serie 1

21 nn=

∞

∑ , resulta que es convergente.

Pero la cuestión es: ¿converge la serie original o no?. El próximo teorema responde a esta pregunta.

Teorema (Convergencia absoluta): Sea ∑ an una serie. Entonces:

Si la serie ∑ an converge ⇒ la serie ∑ an converge ■

Observación: El inverso no es cierto, ya que por ejemplo la serie ( )− +

=

∞

∑ 111

1

n

n n es convergente (por

Leibniz), y sin embargo la serie armónica 1

1 nn=

∞

∑ es divergente. Llamaremos convergencia condicional a este

tipo de series. ✌

Definiciones:

a) Diremos que ∑ an es absolutamente convergente, si ∑ an converge.

b) Diremos que ∑ an es condicionalmente convergente, si ∑ an converge pero ∑ an diverge. ✍

Ejemplo 17: Determinar si convergen las siguientes series, y en caso afirmativo si lo hacen absoluta ocondicionalmente:

a) ( ) ( )− +

=

∞

∑ 1

3

1 2

1

n n

nn

b) ( )

ln( )−

+=

∞

∑ 1

11

n

n n

4. Series de Taylor

Por el tema anterior, vimos que si una función era derivable un número finito de veces (n veces) en unintervalo, podíamos aproximar la función utilizando el polinomio de Taylor de dicha función. Pero ¿queocurrirá si la función es indefinidamente derivable?. El teorema de Taylor nos sugiere que si una funciónf tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo abierto I que contiene a x0 , entonces para cada x I∈

estamos tentados a considerar como aproximación de la función f la serie




f x

nx x

nn

n

( )

!( )0

00

⋅ −=

∞

∑

Definiciones:

a) La serie anterior recibe el nombre de serie de Taylor de f en el punto x0 .

b) En el caso de que x0=0, la serie se llamará serie de Mc Laurin. ✍

Además, casi todas las propiedades que vimos cuando introdujimos el concepto de polinomio de Taylor, sepueden generalizar a series de Taylor. Por tanto, se verifican los siguientes resultados:

Teorema: Supongamos que f tiene derivadas de todos los órdenes en un entorno I de x0 . La serie deTaylor de f en x0 representa a f en x1 ∈ I si y sólo si el error cometido al aproximar f en x1 por el n-ésimo polinomio de Taylor tiende a cero cuando n tiende a infinito, esto es, si y sólo si

LimE x Limf c

nx x

nn

n

nn

→∞ →∞

++=

+⋅ − =( )

( )

( )!( )1

1

1 01

10 ■

Corolario: Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en un entorno I de x0 . Si existe un

número B tal que f x B nn( ) ≤ ∀ ∈�+ y ∀ ∈x I entonces la serie de Taylor de f en x0 representa a f

en todoI . ■

Teorema: Si f es representable por su serie de Taylor en un entorno I de x0 , entonces su serie de Taylor esla única serie centrada en x0 que representa a f en I . ■

Definición: Si f es representada en un entorno de x0 por una serie de potencias centrada en x0 , diremos quef es analítica en x0 . Análogamente, diremos que una función f es analítica, si es analítica en cada punto

de su dominio. ✍

Teorema (Producto de Cauchy): Supongamos que las series a x xnn

n

( )−=

∞

∑ 00

y b x xnn

n

( )−=

∞

∑ 00

convergen

a las funciones f y g respectivamente, en un mismo entorno I de x0 . Entonces, la serie producto (llamadaproducto de Cauchy)

a b a b a b x x a b a b a b x x0 0 0 1 1 0 0 0 2 1 1 2 0 02+ + ⋅ − + + + ⋅ − +( ) ( ) ( ) ( ) �

cuyo n-ésimo coeficiente es ( )a bi n ii

n

−=∑

0

, representa a la función f g en I⋅ .

Análogamente, si b g x0 0 0= ≠( ) , entonces la serie

a

b

a b a b

bx x0

0

1 0 0 1

02 0+ − ⋅ − +( ) �

obtenida por división larga, representa a la función f

g en algún entorno de x0 . ■




Como el cálculo directo puede ser tedioso, el método más práctico para hallar una serie de Taylor o de McLaurin, consiste en desarrollar series de potencias para una lista básica de funciones elementales. De estalista se podrán deducir series de potencias para otras funciones mediante suma, resta, producto, división,derivación, integración o composición con series conocidas.

En la siguiente lista, ofrecemos las series de potencias de varias funciones elementales junto con susintervalos de convergencia:

SERIES DE POTENCIAS PARA FUNCIONES ELEMENTALES

11!3

)2)(1(

!2

)1(1)1(

11!3

)2)(1(

!2

)1(1)1(

11)12()!2(

)!2(arcsen

1112

)1(arctg

)!2(

)1(cos

)!12(

)1(sen

!

20)1()1(

ln

11)1(

1

1

20)1()1(

1

32

32

02

12

0

12

0

2

0

12

0

1

1

0

0

<<−+++−++−=+

<<−+−−+−++=+

≤≤−+=

≤≤−+−=

∞<<∞−−=

∞<<∞−+−=

∞<<∞−=

≤<−−=

<<−−=

+

<<−⋅−=

−

∞

=

+

∞

=

+

∞

=

∞

=

+

∞

=

∞

=

−

∞

=

∞

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

xxkkkxkk

kxx

xxkkkxkk

kxx

xnn

xnx

xn

xx

xn

xx

xn

xx

xn

xe

xn

xx

xx

x

xx

x

k

k

nn

n

n

nn

n

nn

n

nn

n

nx

n

nn

n

nn

n

nn

�

�




Ejemplo 18: Calcular las series de Mc Laurin de las siguientes funciones:

a) f x x( ) sen= 2 b) f xx

( ) =−1

1c) f x

x

x( ) = +

−1

1

2

d) f x x( ) cos= e) f x x( ) = +13 f) f x e xx( ) sen=

5. Suma de series

A lo largo del tema hemos visto una serie de criterios que nos permiten saber si una serie va a serconvergente o divergente. Sin embargo, como ya dijimos, lo interesante sería saber en el caso de queconverja, cuanto vale su suma. Pues bien, si la serie es de un “tipo especial”, vamos a saber cuanto vale susuma.

5.1. Series Geométricas: Se llama serie geométrica de razón r y término inicial a, a:

a r a ar ar ar ar con an

n

n⋅ = + + + + + + ≠=

∞

∑0

2 3 0� �

Entonces:

a rconverge a

a

rsi r

diverge si r

n

n

⋅ = −<

≥

=

∞

∑0

11

1

: ,

,

5.2. Series Aritmético-Geométricas: Son de la forma (generalización de geométricas):

( ) ( ) ( ) , ,an b r a b r a b r con a b rn

n

+ ⋅ = + + + + ∈=

∞

∑1

22 � �

Entonces:

( ):

( )( )

,

,an b r

converge aa b r br

rsi r

diverge si r

n

n

+ ⋅ =+ −

−<

≥

=

∞

∑1

2

211

1

5.3. Series Hipergeométricas: Decimos que ann=

∞

∑1

es una serie hipergeométrica, si verifica que:

a

a

n

nconn

n

+ = ++

∈1 α βα γ

α β γ, , �

Entonces:




aconverge a

asi

diverge reston

n=

∞

∑ = − −> +

1

1: ,

,

γγ α β

γ α β

5.4. Series Telescópicas: Decimos que ann=

∞

∑1

es una serie telescópica, si verifica:

a b bn n n= − +1 (o al revés)

Este tipo de series se llaman así, debido a la forma particular de su término general que permite obtenerfácilmente la sucesión de sumas parciales:

S a b b

S a a b b b b b b

S a a b b b b b bn n n n n

1 1 1 2

2 1 2 1 2 2 3 1 3

1 1 2 1 1 1

= = −= + = − + − = −

= + + = − + + − = −+ +

( ) ( )

( ) ( )

��

� �

Entonces:

ann=

∞

∑1

converge { }⇔ Sn converge

Además, si la sucesión de sumas parciales converge, entonces, tendremos que:

ann=

∞

∑1

= Lim S Lim b b b Lim bn

nn

nn

n→∞ →∞ + →∞ += − = −( )1 1 1 1

Ejemplo 19: Calcular, si se puede, la suma de las siguientes series:

a) ∑∞

= ++1 )32)(12(

1

n nnb)

2

4 121 nn −=

∞

∑ c) 1

3 221 n nn + +=

∞

∑

d) lnn

nn

+

=

∞

∑ 1

1

e) 2 5

1 21

n

n n nn

++ +=

∞

∑ ( )( )f) ( )−

=

∞

∑ 11

1

n

n n

6. Otros criterios de convergencia.

6.1.Teorema: Consideremos la serie P n

Q nn

( )

( )=

∞

∑1

, donde P y Q son dos polinomios de grados p y q

respectivamente. Entonces:

a) Si q p la serie diverge− ≤ ⇒1

b) Si q p la serie converge− > ⇒1 ■




6.2.Teorema: Sea la serie R n rn

n

( )=

∞

∑1

, donde R es una función racional y r ≠ 1. Entonces:

R n rn

n

( )=

∞

∑1

converge ⇔ <r 1 ■

6.3. Teorema: Sea la serie ( )( )

( )−

=

∞

∑ 11

n

n

P n

Q n, donde P y Q son dos polinomios de grados p y q respectivamente.

Entonces:

a) Si q p la serie diverge− < ⇒1b) Si q p la serie converge absolutamente− > ⇒1c) Si q p la serie converge condicionalmente− = ⇒1 ■

6.4. Fórmula de Stirling: Hemos visto que el determinar el carácter de una serie se basa fundamentalmenteen el cálculo de varios límites. Por otra parte, en muchas series nos puede aparecer la expresión n!, que a lahora de calcular el límite, nos puede crear muchos problemas. Entonces, para calcular dichos límites puedeser útil la fórmula de Stirling:

Limn e n

nn

n n

→∞

−

=21

π!

lo que nos dice que ambas expresiones son equivalentes, es decir:

n n e nn n! ≡ − 2π

6.5. Series del tipo P(n)n!

Vamos a estudiar las series del tipoP n

n q

( )

( )!+∑ , donde P es un polinomio de grado p y q ∈�. El criterio del

cociente nos dice que este tipo de series son siempre convergentes; además, estas series son fácilmentesumables. La clave del método está en obtener la siguiente descomposición del polinomio P :

P n a n q n q n q p P np( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅ + − + − + +1 1 1�

donde P1 es un polinomio de grado menor o igual que p −1 (y que puede ser descompuesto de la misma

forma), y ap es el coeficiente de n en Pp . Tal descomposición se obtiene fácilmente imponiendo la

igualdad y acumulando en P1 los términos que no estén en el primer sumando.

A partir de esta descomposición se obtiene que:

P n

n qa

n q p

P n

n pp

( )

( )! ( )!

( )

( )!+=

+ −+

+∑ ∑ ∑1 1




La primera serie se suma a partir de la serie de Taylor de la función exponencial, como veremos acontinuación, y la segunda es una serie del mismo tipo inicial pero tal que el polinomio del numerador tienegrado estrictamente menor. Si aplicamos la descomposición hasta conseguir que el polinomio deldenominador se reduzca a una constante, habremos reducido el problema a sumar varias series del tipo

1( )!n kn N +=

∞

∑ :

1 1 1 1 1

0 0

1

0

1

( )! ! ! ! !n k n n ne

nn N n N k n n

N k

n

N k

+= = − = −

=

∞

= +

∞

=

∞

=

+ −

=

+ −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Ejemplo 20: Calcular la suma de las siguientes series:

a) ∑∞

= +−+

0

2

)!1(

45

n n

nnb) ∑

∞

= ++−

0

3

)!2(

85

n n

nn

6.6. Observaciones sobre el criterio del cociente y de Raabe

El criterio del cociente es el más usado para estudiar el carácter de una serie. Además, cuando este criterio nodecide nada (� = 1), se puede aplicar el criterio de Raabe.

Por otra parte, el simple estudio del cociente a

an

n

+1 puede aportarnos bastante información, ya que:

a) Si a

arn

n

+ = ∈1� , entonces la serie es geométrica.

b) Si �∈++=+ γβα

γαβα

,,1 conn

n

a

a

n

n , la serie es hipergeométrica.

c) Si an > 0 y a

ann

n

+ > ∀ ∈1 0 � , la sucesión { }an es creciente y por tanto su límite no puede ser

0; luego la serie diverge.

d) Si an > 0 y a

ann

n

+ < ∀ ∈1 0 � , la sucesión { }an es decreciente.

series numericas

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