cap´itulo xiv. series numericas´ arbitrariasmtpalezp/libros/ana2_14.pdf · c. ejercicios...
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CAPITULO XIV.SERIES NUMERICASARBITRARIAS
SECCIONES
A. Series de terminos de signo variable.
B. Series dependientes de parametros.
C. Ejercicios propuestos.
193
A. SERIES DE TERMINOS DE SIGNO VARIABLE.
En el capıtulo 9 se estudiaba la convergencia de las series de terminos consigno constante. Trataremos aquı las series arbitrarias, es decir aquellas cu-yos terminos no son todos del mismo signo, mas precisamente aquellas quetienen infinitos terminos positivos e infinitos terminos negativos. Para estasseries sera importante estudiar no solo su convergencia sino la convergenciade la serie formada por los valores absolutos de sus terminos. Debido a lapropiedad:
(1) Si la serie∑n≥1
|an| converge, entonces∑n≥1
an tambien converge y ademas
∣∣∣ ∑n≥1
an
∣∣∣ ≤ ∑n≥1
|an|
podemos distinguir los siguientes casos:
(a) Una serie∑n≥1
an se dice que converge absolutamente si converge
la serie∑n≥1
|an|.
(b) Una serie∑n≥1
an converge condicionalmente si es convergente pero
diverge la serie∑n≥1
|an|.
(c) Una serie es divergente si divergen∑n≥1
an y∑n≥1
|an|.
Otras propiedades destacables son:
(2) Una serie∑n≥1
an converge absolutamente si y solo si son convergentes la
serie formada con sus terminos positivos y la formada con sus terminosnegativos.
(3) Si las series∑n≥1
an y∑n≥1
bn son absolutamente convergentes, entonces
la serie∑n≥1
(αan + βbn) es absolutamente convergente, ∀α, β ∈ R.
(4) Si∑n≥1
an converge absolutamente, todo reordenamiento de {an} produce
una serie cuya suma coincide con∑n≥1
an.
194
(5) Si∑n≥1
an y∑n≥1
bn son absolutamente convergentes, tambien lo es la
serie producto∑n≥1
pn definida de la siguiente manera:
pn = a1bn + a2bn−1 + · · ·+ anb1 =n∑
k=1
akbn−k.
Un caso particular de las series arbitrarias lo constituyen las se-ries alternadas, que son aquellas cuyos terminos son alternativamentepositivos y negativos. Las series alternadas se suelen expresar como∑n≥1
(−1)nan donde an ≥ 0, ∀n, o de cualquier forma equivalente (por
ejemplo∑n≥1
sen(nπ/2)an o∑n≥1
cos(nπ)an). Las series alternadas tienen
la siguiente propiedad:
(6) Si∑n≥1
(−1)nan es una serie alternada convergente y llamamos S a la
suma de la serie, entonces∣∣∣∣∣S −n∑
k=1
(−1)kak
∣∣∣∣∣ ≤ ak+1
(esto quiere decir que el error cometido al sumar los n primeros termi-nos es menor que el primer termino desechado).
Para estudiar la convergencia de las series arbitrarias, aparte de los criteriosya enunciados en el capıtulo 9 para series de terminos positivos, aplicaremoslos siguientes criterios especıficos:
- Criterio de Leibnitz. Si la sucesion de terminos positivos {an} es de-creciente y tiene lımite cero, entonces la serie alternada
∑n≥1
(−1)nan es
convergente.
- Criterio del cociente. Dada la serie arbitraria∑n≥1
an, llamamos
L = lım sup∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ y l = lım inf∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣.(a) Si L < 1, la serie converge absolutamente.
(b) Si l > 1, la serie diverge.
- Criterio de la raız. Dada la serie arbitraria∑n≥1
an, llamamos L = lım sup n√|an|.
195
(a) Si L < 1, la serie converge absolutamente.
(b) Si L > 1, la serie diverge.
Veremos en los siguientes problemas ejemplos diversos de aplicacion de estaspropiedades.
PROBLEMA 14.1
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general an =(−1)n[
√n2 − 1 − n] y hallar una cota del error cometido al tomar
como suma la de los cuatro primeros terminos.
Solucion
Si escribimos an = (−1)n −1√n2 − 1 + n
=(−1)n+1
√n2 − 1 + n
, vemos que se trata
de una serie alternada. Aplicaremos el criterio de Leibnitz:
1√n2 − 1 + n
<1√
(n− 1)2 + 1 + (n− 1)=⇒ |an| < |an−1|.
lım an = lım1√
n2 − 1 + n= 0.
Como la sucesion es en valor absoluto decreciente y convergente a cero, laserie es convergente.
Por otra parte, es sabido que al tomar la suma parcial sn como valor de laserie, el error cometido es menor que el valor absoluto del primer terminodespreciado |an+1|.
La cota del error pedida en este caso es |a5| = |√
52 − 1 − 5| = 5 −√
24.
PROBLEMA 14.2
Probar que la serie
1− ln 2 +12− ln
32
+13− ln
43
+ · · ·+ 1n− ln
n + 1n
+ . . .
es convergente.
Solucion
A partir de la desigualdad evidente(
1 +1n
)n
< e <
(1 +
1n
)n+1
, se obtie-ne que
196
n ln(
1 +1n
)< 1 < (n + 1) ln
(1 +
1n
)=⇒ n <
1ln
(n+1
n
) < n + 1
=⇒ 1n + 1
< ln(
n + 1n
)<
1n
,
lo que quiere decir que la sucesion de valores absolutos es decreciente.
Ademas es evidente que dicha sucesion tiende a cero pues
lımn→∞
1n
= 0 y lımn→∞
lnn + 1
n= 0.
Por el criterio de Leibnitz, la serie es convergente.
Observacion. A la suma de la serie anterior se le llama constante de Eulerγ = 0,577215 . . . la cual no se sabe aun si se trata de un numero racional oirracional.
PROBLEMA 14.3
Considerando que 1 +12
+13
+ · · ·+ 1n
= ln n + γ + εn, donde γ es la
constante de Euler y lımn→∞
εn = 0, hallar la suma de la serie
1 +13
+15
+17− 1
2− 1
4− 1
6+
19
+111
+113
+115− 1
8− 1
10− 1
12+ . . .
formada a partir de la serie alternada
1− 12
+13− 1
4+
15− 1
6+ · · ·+ (−1)n+1 1
n+ . . .
tomando cuatro terminos positivos, despues tres terminos negati-vos, despues cuatro positivos, etc.
Solucion
Calculamos la suma de los (4 + 3)n primeros terminos de la serie. Tenemosası:
197
S(4+3)n = 1 +13
+15
+17− 1
2− 1
4− 1
6+ . . .
+1
8n− 7+
18n− 5
+1
8n− 3+
18n− 1
− 16n− 4
− 16n− 2
− 16n
= 1 +13
+15
+17
+ · · ·+ 18n− 7
+1
8n− 5+
18n− 3
+1
8n− 1
−[12
+14
+16
+ · · ·+ 16n− 4
+1
6n− 2+
16n
]= 1 +
12
+13
+14
+ · · ·+ 18n− 6
+1
8n− 5+
18n− 4
+1
8n− 3+
18n− 2
+1
8n− 1+
18n
−[12
+14
+16
+ · · ·+ 18n− 4
+1
8n− 2+
18n
]−
[12
+14
+16
+ · · ·+ 16n− 4
+1
6n− 2+
16n
]= ln 8n + γ + ε8n −
12
[1 +
12
+13
+14
+ · · ·+ 14n− 3
+1
4n− 2
+1
4n− 1+
14n
]− 1
2
[1 +
12
+13
+ · · ·+ 13n− 2
+1
3n− 1+
13n
]= ln 8n + γ + ε8n −
12(ln 4n + γ + ε4n)− 1
2(ln 3n + cγ + ε3n)
= ln 8n− 12
ln 4n− 12
ln 3n + ε8n −12ε4n −
12ε3n
= ln 8 + lnn− 12
ln 4− 12
lnn− 12
ln 3− 12
lnn + ε8n −12ε4n −
12ε3n
= 3 ln 2 + lnn− ln 2− 12
lnn− 12
ln 3− 12
lnn + ε8n −12ε4n −
12ε3n
= 2 ln 2− 12
ln 3 + ε8n −12ε4n −
12ε3n.
Entonces S = lım S(4+3)n = 2 ln 2− 12
ln 3 = ln4√3.
PROBLEMA 14.4
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n n
lnn.
Solucion
Aplicaremos la regla de L’Hopital para calcular el lımite del termino general.Ası:
198
lım |an| = lımn
lnn= lım
11/n
= ∞.
Por el criterio del resto se deduce que la serie es divergente.
PROBLEMA 14.5
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n 12n + 1
.
Solucion
Como se trata de una serie alternada podemos aplicar el criterio de Leib-nitz.
Si llamamos an =1
2n + 1, es evidente que la sucesion {an} es decreciente y
tiene lımite cero, por lo que la serie es convergente. Sin embargo, la serie∑ 12n + 1
es divergente (basta compararla con la serie∑
1/n) lo que indica
que la serie dada es condicionalmente convergente.
PROBLEMA 14.6
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n n
2n.
Solucion
Aplicaremos el criterio del cociente. Como
lım∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lımn+12n+1
n2n
= lımn + 12n
=12
< 1,
la serie es absolutamente convergente.
PROBLEMA 14.7
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n−1 1√n
.
199
Solucion
Aplicaremos el criterio de Leibnitz a la serie alternada.
La sucesion de termino general an = 1/√
n es decreciente (pues an+1 <an, ∀n) y lım an = 0 lo que indica que la serie es convergente.
Sin embargo, dicha convergencia es condicional porque la serie de valores
absolutos∑ 1√
nes divergente (caso particular de
∑1/nα con α ≤ 1).
PROBLEMA 14.8
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n−1 n
6n− 5.
Solucion
Como
lım |an| = lımn
6n− 5=
166= 0,
por el criterio del resto se deduce que la serie es divergente.
PROBLEMA 14.9
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n−1 2n + 1n(n + 1)
.
Solucion
Del criterio de Leibnitz se obtiene que la serie es convergente pues la sucesion
de termino general an =2n + 1
n(n + 1)es decreciente y lım an = 0. Efectivamen-
te:
an+1 − an =2n + 3
(n + 1)(n + 2)− 2n + 1
n(n + 1)=
n(2n + 3)− (n + 2)(2n + 1)n(n + 1)(n + 2)
=−2n− 2
n(n + 1)(n + 2)< 0 =⇒ an+1 < an, ∀n;
lım an = lım2n + 1n2 + n
= 0.
200
La convergencia es condicional pues la serie∑ 2n + 1
n(n + 1)es divergente (basta
aplicar el criterio de comparacion con la serie∑
1/n).
PROBLEMA 14.10
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n n2 + 2(n + 2)2
.
Solucion
Como
lım |an| = lımn2 + 2
(n + 2)2= 1 6= 0,
la serie es divergente (criterio del resto).
PROBLEMA 14.11
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n 1lnn
.
Solucion
Por el criterio de Leibnitz, como lım1
lnn= 0 y la sucesion {1/ lnn} es de-
creciente, la serie es convergente.
Por otra parte, la serie de valores absolutos∑ 1
lnnes divergente como se
comprueba aplicando el criterio de comparacion con∑ 1
n.
En definitiva, la serie propuesta es condicionalmente convergente.
PROBLEMA 14.12
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n
(2n + 13n + 1
)n
.
201
Solucion
Aplicaremos el criterio de la raız. Como
lım n√|an| = lım
2n + 13n + 1
=23
< 1,
la serie es absolutamente convergente.
PROBLEMA 14.13
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n 1 + sen2 n
n2.
Solucion
Estudiaremos la convergencia de la serie de valores absolutos∑ 1 + sen2 n
n2.
Por el criterio de comparacion, como1 + sen2 n
n2≤ 2
n2y la serie
∑ 2n2
esconvergente, la serie propuesta es absolutamente convergente.
PROBLEMA 14.14
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n sen2 n · (2n)!n2n
.
Solucion
Si llamamos an al termino general de la serie, debido a que |an| ≤(2n)!n2n
, la se-
rie dada sera absolutamente convergente si es convergente la serie∑ (2n)!
n2n.
Por el criterio del cociente,
lımbn+1
bn= lım
(2n+2)!(n+1)2n+2
(2n)!n2n
= lım(2n + 2)(2n + 1)n2n
(n + 1)2(n + 1)2n
= lım(2n + 2)(2n + 1)
(n + 1)2· lım
(n
n + 1
)2n
= 4e−2 < 1.
Esto indica que la serie original es absolutamente convergente.
202
PROBLEMA 14.15
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
1 · 5 · 9 . . . (4n− 3)(3n)! + 1
cos(nπ).
Solucion
En primer lugar acotamos en valor absoluto el termino general de la se-rie:
|an| <1 · 5 · 9 . . . (4n− 3)
(3n)!,
debido a que | cos(nπ)| = 1 y (3n)! + 1 > (3n)!
A continuacion probaremos que la serie mayorante∑ 1 · 5 · 9 . . . (4n− 3)
(3n)!es convergente aplicando el criterio del cociente:
lımbn+1
bn= lım
1·5·····(4n−3)(4n+1)(3n+3)!
1·5·····(4n−3)(3n)!
= lım4n + 1
(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)= 0.
De lo anterior, y aplicando el criterio de comparacion, se deduce que la serieoriginal es absolutamente convergente.
PROBLEMA 14.16
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(2n)!n2n + n
cos(nπ).
Solucion
Se trata de una serie alternada ya que cos(nπ) = (−1)n. Como n2n+n > n2n,
se verifica que |an| <(2n)!n2n
. En el problema 14.14 se probo que la serie
mayorante∑ (2n)!
n2nes convergente. Esto indica que la serie propuesta es
absolutamente convergente.
203
PROBLEMA 14.17
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−3)2n
(n + 1) ln2(n + 1).
Solucion
Por el criterio del cociente,
lım∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım32n+2
(n+2) ln2(n+2)
32n
(n+1) ln2(n+1)
= lım32(n + 1) ln2(n + 1)(n + 2) ln2(n + 2)
= 9 > 1,
con lo que la serie diverge.
PROBLEMA 14.18
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
2n sen(nπ/2)√(3n− 2) · 5n
.
Solucion
Como sennπ
2= (−1)n+1, tenemos una serie alternada. Si aplicamos el cri-
terio del cociente, resulta:
lım∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
2n+1√(3n+1)·5n+1
2n√(3n−2)·5n
= lım2√5·√
3n− 2√3n + 1
=2√5
< 1
y la serie es absolutamente convergente.
PROBLEMA 14.19
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n
√n +
√n + 1
.
204
Solucion
Aplicaremos el criterio de Leibnitz al tratarse de una serie alternada. Para
ello debemos comprobar que la sucesion de termino general an =1
√n +
√n + 1
converge a cero y es decreciente.
Es evidente que lım an = 0. Ademas,an+1
an=
√n +
√n + 1√
n + 1 +√
n + 2< 1, por lo
que la sucesion es decreciente.
Sin embargo, la serie de valores absolutos∑ 1
√n +
√n + 1
es divergente,
como se deduce al aplicar el criterio de comparacion con∑ 1√
n.
En definitiva, la serie propuesta es condicionalmente convergente.
PROBLEMA 14.20
Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
sen√
n√n3 + 1
.
Solucion
Estudiamos la serie de valores absolutos aplicando el criterio de comparacion.
Como∣∣∣∣ sen
√n√
n3 + 1
∣∣∣∣ ≤ 1n3/2
y la serie∑ 1
n3/2es convergente, se deduce que la
serie original es absolutamente convergente.
PROBLEMA 14.21
Sea∑n≥1
an una serie hipergeometrica, es decir que verifica la rela-
cionan+1
an=
αn + β
αn + γ, ∀n, donde α, β, γ son constantes fijas y α, γ
no nulas a la vez.
a) Probar que la serie es convergente siγ − β
α> 1.
b) Probar que Sn =an(nα + β)− a1γ
α + β − γ, ∀n.
c) Probar que, en caso de convergencia, la suma de la serie es−a1γ
α + β − γ.
205
Solucion
a) Aplicaremos el criterio de Raabe (observamos que, desde un cierto n enadelante,
an+1
an> 0, pues α, β, γ son constantes fijas):
lım n
(1− an+1
an
)= lım n · αn + γ − αn− β
αn + γ=
γ − β
α,
lo que indica que la serie converge siγ − β
α> 1.
b) Probaremos por induccion que Sn =an(nα + β)− a1γ
α + β − γ, siendo Sn =
a1 + a2 + · · ·+ an.
- Para n = 1,a1(α + β)− a1γ
α + β − γ= a1 = S1.
- Si suponemos que Sn−1 =an−1[(n− 1)α + β)− a1γ
α + β − γ, debemos com-
probar que Sn =an(nα + β)− a1γ
α + β − γ.
Por ser una serie hipergeometrica, se verifica la relacion an[α(n− 1) +γ] = an−1[α(n− 1) + β]. Utilizando esta igualdad, tenemos:
Sn = Sn−1 + an =an−1[(n− 1)α + β)− a1γ
α + β − γ+ an
=⇒ Sn =an[α(n− 1) + γ]− a1γ
α + β − γ+ an
=an[α(n− 1) + γ + α + β − γ]− a1γ
α + β − γ=
an(αn + β)− a1γ
α + β − γ,
como querıamos demostrar.
c) Si la serie es convergente, entonces∑n≥1
an = lım Sn = lımα · nan + βan − γa1
α + β − γ.
Ahora bien, recordando que, en una serie convergente, lım an = 0 y
lım nan = 0, dicho lımite queda−γa1
α + β − γ.
PROBLEMA 14.22
Probar que, si a + b = c, entonces∑n≥0
an
n!
·
∑n≥0
bn
n!
=∑n≥0
cn
n!.
206
Solucion
Por definicion de producto de series, si an =an
n!y bn =
bn
n!, el termino general
de la serie producto es
pn = a0 · bn + a1 · bn−1 + a2 · bn−2 + · · ·+ an · b0
=bn
n!+ a · bn−1
(n− 1)!+
a2
2!· bn−2
(n− 2)!+ · · ·+ an
n!
=1n!
[bn + nabn−1 +
n(n− 1)2!
a2 · bn−2 + · · ·+ an
]=
1n!
(a + b)n =cn
n!,
como querıamos probar.
Observacion. Si llamamos f(x) =∑n≥0
xn
n!, hemos probado que f(a) ·f(b) =
f(a+b) lo que sugiere llamar a f funcion exponencial (ver capıtulo siguiente).
PROBLEMA 14.23
Probar que
∑n≥0
12n · n!
2
=∑n≥0
1n!
.
Solucion El termino n-esimo del producto es
pn =n∑
i=0
12i · i!
· 12n−i · (n− i)!
=n∑
i=0
n!2n · n!(n− i)! · i!
=1
2n · n!
n∑i=0
(n
i
)=
1n!
,
debido a que 2n =n∑
i=0
(n
i
).
B. SERIES DEPENDIENTES DE PARAMETROS.
En este apartado se resolveran distintos problemas relacionados con la con-vergencia de series definidas en funcion de uno o varios parametros. Se tra-tara de determinar los valores que deben tomar dichos parametros para quela serie correspondiente sea convergente (tanto absoluta como condicional)o divergente. El esquema que seguiremos en general es el siguiente:
207
- Aplicar el criterio del cociente o de la raız para obtener los valores de losparametros que den convergencia absoluta.
- Estudiar la convergencia de la serie que resulta al sustituir los valores delos parametros que hacen que el criterio anterior no sea concluyente. Paraello podemos hacer uso de alguno de los criterios ya indicados, tanto en estecapıtulo como en el capıtulo 9.
PROBLEMA 14.24
Estudiar el caracter de la serie∑ 1 · 5 · 10 . . . (n2 + 1)
(2n− 1)!· 1a2n
segun
los diferentes valores de a.
Solucion Si aplicamos el criterio del cociente, tenemos:
lım∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣1·5·10...(n2+1)[(n+1)2+1]
(2n+1)! · 1a2n+2
1·5·10...(n2+1)(2n−1)! · 1
a2n
∣∣∣∣∣∣ = lım(n + 1)2 + 1(2n + 1) · 2n
· 1a2
=1
4|a|2.
La serie es absolutamente convergente cuando1
4|a|2< 1, es decir cuando
|a| > 12
y divergente cuando |a| < 12.
Cuando a =12, aplicamos el criterio de Raabe y resulta:
lım n
(1− an+1
an
)= lım n
(1− (n + 1)2 + 1
(2n + 1) · 2n· 4
)= lım n· −6n− 8
4n2 + 2n= −6
4< 1,
de modo que la serie es divergente.
Cuando a = −12, la serie coincide con la anterior de modo que tambien es
divergente.
PROBLEMA 14.25
Estudiar el caracter de la serie∑n≥1
an
√3n− 2
sennπ
2segun los dife-
rentes valores de a.
208
Solucion
Como sennπ
2=
{0 si n = 2k es par(−1)k+1 si n = 2k − 1 es impar,
si aplicamos el criterio
de la raız, resulta:
lım sup n√|an| = lım
|a|n√√
3n− 2= |a|,
de modo que la serie converge absolutamente si |a| < 1 y diverge si |a| >1.
Cuando a = 1, sustituyendo los valores de sennπ/2 antes indicados, tenemosla serie∑
n≥1
1√3n− 2
· sen nπ
2=
∑k≥1
1√3(2k − 1)− 2
· (−1)k+1 =∑k≥1
(−1)k+1
√6k − 5
,
que es una serie alternada condicionalmente convergente (ver problema 14.7).
Cuando a = −1, resulta la serie
∑n≥1
(−1)n
√3n− 2
· sen nπ
2=
∑k≥1
(−1)2k−1
√6k − 5
· (−1)k+1 =∑k≥1
(−1)k
√6k − 5
,
que es tambien condicionalmente convergente.
PROBLEMA 14.26
Estudiar la convergencia de la serie∑n≥1
(−1)n en
nenasegun los dife-
rentes valores de a.
Solucion
Por el criterio de la raız,
lım n√|an| = lım
en√
n · ea= e1−a.
La serie es absolutamente convergente cuando e1−a < 1, es decir a > 1 ydivergente cuando a < 1.
Cuando a = 1, queda la serie∑ (−1)n
nque es condicionalmente convergen-
te.
209
PROBLEMA 14.27
Estudiar el caracter de la serie∑ 1
1 + a2nsegun los diferentes
valores de a.
Solucion
La serie es de terminos positivos, por lo que podemos aplicar el criterio de
comparacion. Como lım1
1+a2n
1(a2)n
= 1, las series∑ 1
(a2)ny
∑ 11 + a2n
tienen
el mismo caracter. Ahora bien, la serie∑ 1
(a2)nes convergente cuando
a2 > 1, es decir |a| > 1, y divergente cuando |a| < 1. De aquı se deduce quela serie dada es tambien convergente cuando |a| > 1 y divergente cuando|a| < 1.
Cuando |a| = 1, queda la serie∑
1/2 que es claramente divergente.
PROBLEMA 14.28
Estudiar el caracter de la serie∑ nan
ensegun los diferentes valores
de a.
Solucion
Por el criterio del cociente:
lım∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣(n+1)an+1
en+1
nan
en
∣∣∣∣∣ = lım|a|(n + 1)
en=|a|e
.
Resulta que la serie es absolutamente convergente cuando |a| < e y diver-gente cuando |a| > e.
Cuando a = e, la serie queda∑
n que es divergente y cuando a = −e, laserie es
∑(−1)nn que tambien es divergente.
PROBLEMA 14.29
Estudiar el caracter de la serie∑
anna segun los diferentes valores
de a.
210
Solucion
Por el criterio del cociente,
lım∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım∣∣∣∣an+1(n + 1)a
an · na
∣∣∣∣ = |a|.
La serie es absolutamente convergente cuando |a| < 1 y divergente cuando|a| > 1.
Cuando a = 1 obtenemos la serie∑
n que es divergente; cuando a = −1,
la serie es∑ (−1)n
nque, como sabemos, es condicionalmente convergente.
PROBLEMA 14.30
Estudiar el caracter de la serie∑ (
a +1n
)n
segun los diferentes
valores de a.
Solucion
Debido al criterio de la raız tenemos:
lım n√|an| = lım
∣∣∣∣a +1n
∣∣∣∣ = |a|.
La serie es absolutamente convergente cuando |a| < 1 y divergente cuando|a| > 1.
Cuando a = 1, tenemos la serie∑ (
1 +1n
)n
. Como lım(
1 +1n
)n
= e 6= 0,
dicha serie es divergente.
Cuando a = −1, la serie es∑ (
−1 +1n
)n
que tambien es divergente debido
a que lım(−1 +
1n
)n
no existe.
PROBLEMA 14.31
Estudiar el caracter de la serie∑ an
√n + 1
2n(n + 2)segun los diferentes
valores de a.
211
Solucion
Aplicamos tambien en este caso el criterio del cociente. Tenemos ası:
lım∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣an+1
√n+2
2n+1(n+3)
an√
n+12n(n+2)
∣∣∣∣∣∣ = lım|a|(n + 2)
√n + 2
2(n + 3)√
n + 1=|a|2
.
La serie es pues absolutamente convergente cuando |a| < 2 y divergentecuando |a| > 2.
Si a = 2, la serie es∑ √
n + 1n + 2
que es divergente, como se comprueba al
aplicar el criterio de comparacion con∑ 1√
n.
Si a = −2, la serie es ahora∑
(−1)n
√n + 1
n + 2: dicha serie es condicionalmente
convergente pues, segun el criterio de Leibnitz, la sucesion de termino ge-
neral an =√
n + 1n + 2
es decreciente y converge a cero pero la serie de valores
absolutos, como ya hemos indicado, es divergente.
PROBLEMA 14.32
Estudiar el caracter de la serie∑ (n2 + 1)an
(n + 1)!segun los diferentes
valores de a.
Solucion
Por el criterio del cociente,
lım∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣[(n+1)2+1]an+1
(n+2)!
(n2+1)an
(n+1)!
∣∣∣∣∣∣ = lım(n2 + 2n + 2)|a|(n + 2)(n2 + 1)
= 0.
La serie es pues absolutamente convergente para cualquier valor del parame-tro a.
PROBLEMA 14.33
Estudiar el caracter de la serie∑
(a/n)n segun los diferentes va-
lores de a.
212
Solucion
Aplicando el criterio de la raız, resulta:
lım n√|an| = lım |a/n| = 0.
Esto indica que la serie es siempre absolutamente convergente.
PROBLEMA 14.34
Estudiar el caracter de la serie∑ n2 + 1
nansegun los diferentes va-
lores de a.
Solucion
Si aplicamos el criterio del cociente, tenemos:
lım∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣(n+1)2+1(n+1)an+1
n2+1n·an
∣∣∣∣∣∣ = lım(n2 + 2n + 2) · n
(n + 1)(n2 + 1) · |a|=
1|a|
.
De aquı se deduce que la serie es absolutamente convergente cuando |a| > 1y divergente cuando |a| < 1. En los casos extremos tenemos:
- Si a = 1, queda la serie∑ n2 + 1
nque es divergente porque el termino
general no tiende a cero.
- Si a = −1, la serie es∑
(−1)n n2 + 1n
que tambien es divergente por lamisma razon que en el caso anterior.
PROBLEMA 14.35
Estudiar el caracter de la serie∑ an
n!segun los diferentes valores
de a.
Solucion
Por el criterio del cociente,
lım∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣an+1
(n+1)!an
n!
∣∣∣∣∣∣ = lım|a|
n + 1= 0,
por lo que la serie es absolutamente convergente para cualquier a ∈ R.
213
PROBLEMA 14.36
Estudiar el caracter de la serie∑ n!
(2 + a)(2 + 2a) . . . (2 + na)segun
los diferentes valores de a.
Solucion
De la definicion se observa que la serie no tiene sentido cuando a = −2/n, ∀n ∈N. Para el resto de valores de a utilizamos el criterio del cociente y obtene-mos:
lım∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣(n+1)!
(2+a)(2+2a)...[2+(n+1)a]
n!(2+a)(2+2a)...(2+na)
∣∣∣∣∣∣ = lım∣∣∣∣ n + 12 + (n + 1)a
∣∣∣∣ =1|a|
.
Resulta entonces que la serie es absolutamente convergente cuando |a| > 1y divergente cuando |a| < 1.
Con respecto a los valores extremos, para a = −1, como hemos indicado, laserie no tiene sentido, y para a = 1 queda la serie∑ n!
3 · 4 . . . (n + 2)=
∑ 2 · n!(n + 2)!
=∑ 2
(n + 2)(n + 1).
Esta serie es convergente como se comprueba al aplicar el criterio de com-
paracion con∑ 1
n2.
PROBLEMA 14.37
Estudiar el caracter de la serie∑ 2n
n2sen2n a segun los diferentes
valores de a.
Solucion
Observamos que se trata de una serie de terminos no negativos por lo queno hay distincion entre convergencia y convergencia absoluta. Si aplicamosel criterio de la raız, resulta:
lım n√
an = lım2
n√
n2· sen2 a = 2 sen2 a.
La serie es pues absolutamente convergente cuando sen2 a < 1/2, es de-
cir | sen a| <√
2/2. Esto ocurre cuando(4n− 1)π
4< a <
(4n + 1)π4
, n ∈ Z.Ademas, en los extremos de cada intervalo, es decir en los puntos en que
214
sen2 a = 1/2, la serie queda de la forma∑ 1
n2que, como sabemos, es con-
vergente.
En el resto de valores de a la serie es divergente.
PROBLEMA 14.38
Estudiar el caracter de la serie∑ n!
(a + b)(a + 2b) . . . (a + nb)segun
los diferentes valores de a y b, con a, b > 0.
Solucion
Tenemos en este caso una serie de terminos no negativos.
Si aplicamos el criterio del cociente, resulta:
lıman+1
an= lım
(n+1)!(a+b)(a+2b)...(a+nb)[a+(n+1)b]
n!(a+b)(a+2b)...(a+nb)
= lımn + 1
a + (n + 1)b=
1b.
La serie es pues convergente cuando b > 1 y divergente cuando b < 1.
Cuando b = 1 tenemos la serie∑ n!
(a + 1)(a + 2) . . . (a + n). Para estudiar
su convergencia aplicamos el criterio de Raabe:
lım n
(1− an+1
an
)= lım n ·
(1− n + 1
a + n + 1
)= lım
an
a + n + 1= a.
Ası pues, si a < 1, la serie es divergente y si a > 1, convergente.
Por ultimo, si a = b = 1, tenemos la serie∑ n!
(n + 1)!=
∑ 1n + 1
que
sabemos es divergente.
PROBLEMA 14.39
Estudiar el caracter de la serie∑ a(a + 1) . . . (a + n− 1)
n! nbsegun los
diferentes valores de a y b, con a 6= b.
Solucion
Podemos suponer que se trata de una serie de terminos no negativos porque,desde un cierto N en adelante, a + n − 1 > 0, ∀n ≥ N y el numerador nocambia de signo.
215
Si aplicamos el criterio del cociente, obtenemos:
lım∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣a(a+1)...(a+n−1)(a+n)
(n+1)!(n+1)b
a(a+1)...(a+n−1)n!nb
∣∣∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣n + a
n + 1·(
n
n + 1
)b∣∣∣∣∣ = 1.
Como no podemos decidir la convergencia de la serie con este criterio, apli-camos el criterio de Raabe:
lım n ·(
1− an+1
an
)= lım n · (n + 1)b+1 − (n + a) · nb
(n + 1)b+1
= lım n · nb+1 + (b + 1)nb + · · · − nb+1 − anb
(n + 1)b+1= b + 1− a.
Cuando b + 1 − a > 1, o bien b > a, la serie sera convergente, y divergentecuando b < a.
PROBLEMA 14.40
Estudiar el caracter de la serie∑ a(a + 1) . . . (a + n− 1)
b(b + 1) . . . (b + n− 1)segun los
diferentes valores de a y b.
Solucion
En primer lugar observamos que debe ser b 6= 0,−1,−2, . . . para que eldenominador no se anule.
Si aplicamos el criterio del cociente, tenemos:
lım∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣a(a+1)...(a+n−1)(a+n)b(b+1)...(b+n−1)(b+n)
a(a+1)...(a+n−1)b(b+1)...(b+n−1)
∣∣∣∣∣∣ = lım∣∣∣∣a + n
b + n
∣∣∣∣ = 1,
por lo que este criterio no es concluyente.
Aplicamos pues el criterio de Raabe:
lım n
(1−
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣) = lım n · b + n− (a + n)b + n
= b− a.
Se deduce que la serie es absolutamente convergente cuando b > a + 1 ydivergente cuando b < a + 1.
Cuando b = a + 1, queda la serie∑ a
a + nque es divergente.
216
PROBLEMA 14.41
Estudiar el caracter de la serie∑ an
nbsegun los diferentes valores
de a y b.
Solucion
Aplicando el criterio del cociente, tenemos:
lım∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣an+1
(n+1)b
an
nb
∣∣∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣a ·(
n
n + 1
)b∣∣∣∣∣ = |a|.
La serie sera pues absolutamente convergente cuando |a| < 1 y divergentecuando |a| > 1.
Si a = 1, queda la serie∑ 1
nb(serie de Riemann), que sabemos es conver-
gente cuando b > 1 y divergente cuando b ≤ 1.
En el caso a = −1, la serie es de la forma∑ (−1)n
nb; dicha serie es absoluta-
mente convergente cuando b > 1 (por ser convergente la serie de sus valoresabsolutos), es condicionalmente convergente cuando 0 < b ≤ 1 (pues, segunel criterio de Leibnitz, el termino general en valor absoluto forma una suce-sion decreciente y convergente a cero), y es divergente cuando b ≤ 0 porqueel termino general no tiende a cero.
PROBLEMA 14.42
Probar que la sucesion {an} de termino general
an = (1− 1/4)(1− 1/9) . . . (1− 1/n2)
es convergente y que su lımite es estrictamente positivo.
Solucion
Si llamamos bn al logaritmo del termino general, obtenemos:
bn = ln an = ln(
1− 14
)+ ln
(1− 1
9
)+ · · ·+ ln
(1− 1
n2
).
Esto quiere decir que bn es el termino general de la sucesion de sumas par-
ciales de ln(
1− 1n2
), con lo que lım bn =
∞∑n=2
ln(
1− 1n2
).
217
Debido a la igualdad
ln(
1− 1n2
)= ln(n2 − 1)− lnn2 = ln(n− 1)− 2 ln n + ln(n + 1),
tenemos:
bn = ln 1− 2 ln 2 + ln 3+ ln 2− 2 ln 3 + ln 4
+ ln 3− 2 ln 4 + ln 5. . .
+ ln(n− 1)− 2 ln n + ln(n + 1)
= − ln 2− lnn + ln(n + 1) = − ln 2 + lnn + 1
n.
Esto implica que lım bn = − ln 2 = ln 1/2 y, como bn = ln an, resulta endefinitiva que lım an = 1/2.
218
C. EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. Contestar razonadamente si cada uno de los siguientes enuncia-dos es verdadero o falso:
a) Si A es la suma de la serie∑n≥1
an, entonces la sucesion
(an)n∈N converge a A.
Resp.: Falso si A 6= 0 pues an → 0.
b) Si A es la suma de la serie∑n≥1
an, entonces la serie∑n≥1
|an|
converge a |A|.
Resp.: Falso (ejemplo an =(−1)n
n).
c) Si lımn→∞
an+1
an= −2, entonces
∑n≥1
an converge.
Resp.: Falso (ejemplo an = (−2)n).
d) Si lımn→∞
an+1
an< 1, entonces
∑n≥1
an converge.
Resp.: Falso (mismo ejemplo anterior).
e) Si∑n≥1
an converge, entonces la sucesion (an+1/an)n∈N tiene
lımite.
Resp.: Falso (ejemplo a2n =12n
, a2n+1 =12n
).
f) Si∑n≥1
an converge, entonces lımn→∞
a2n = 0.
Resp.: Verdadero por el criterio del resto.
g) Si∑n≥1
an converge, entonces∑n≥1
a2n converge.
Resp.: Falso (ejemplo an =(−1)n
√n
).
219
h) Si∑n≥1
an converge, entonces( ∑
n≥1an
)2converge.
Resp.: Falso (mismo ejemplo anterior).
i) Si∑n≥1
an converge absolutamente, tambien lo hace∑n≥1
a2n
1 + a2n
.
Resp.: Verdadero puesa2
n
1 + a2n
< a2n < |an|, desde un cierto n (re-
cordemos que an → 0).
j) Si {xn} es una sucesion positiva, la serie∑ xn
1 + n2xnes con-
vergente.
Resp.: Verdadero (aplicar el criterio de comparacion con∑
1/n2).
k) Si∑n≥1
an y∑n≥1
bn son divergentes, entonces∑n≥1
anbn es diver-
gente.
Resp.: Falso (ejemplo an = 1/n y bn = 1/n).
l) Si lımn→∞
an = 0 y el signo de an es alternativamente positivo y
negativo, entonces∑n≥1
an converge.
Resp.: Falso (ejemplo an = (−1)n · 2 + (−1)n
n).
m) Si an < 1/n para todo n, entonces∑n≥1
an diverge.
Resp.: Falso (ejemplo an = −1/n2).
n) Si an < 1/n2 para todo n, entonces∑n≥1
an converge.
Resp.: Falso (ejemplo an = −1/n).
2. Probar que, si la serie∑
an es absolutamente convergente, tam-
bien lo es la serie∑ n + 1
nan.
Sugerencia: Aplicar el criterio de comparacion.
220
3. Estudiar el caracter de la serie∞∑
n=1
(−1)n+1 1n + 1
(1 +
12
+ · · ·+ 12n
).
Resp.: Convergente (aplicar el criterio de Leibnitz).
4. Estudiar la convergencia de la serie∞∑
n=1
(−1)n (n14 + 5) ln(n2 + 2)en(n4 + 2)
.
Resp.: Absolutamente convergente (aplicar el criterio del cociente).
5. Estudiar el caracter de la serie∑
(−1)n lnn
2n.
Resp.: Absolutamente convergente (criterio del cociente).
6. Estudiar el caracter de la serie∑
(−1)n
√n
n− 1.
Resp.: Condicionalmente convergente (criterios de Leibnitz y compa-racion con
∑1/√
n).
7. Estudiar el caracter de la serie∑
(−1)n 1√n + (−1)n
.
Resp.: Condicionalmente convergente (criterios de Leibnitz y de com-paracion con
∑1/√
n).
8. Estudiar el caracter de la serie∑
(−1)n(n− 3
√n3 − n
).
Resp.: Converge condicionalmente (usar el criterio de Leibnitz y el decomparacion con
∑1/n).
9. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
sen(
πn2
2
). Resp.: Divergente (se trata de la serie 1+0+1+0+. . . ).
10. Estudiar el caracter de la serie∑n≥1
√n · an
(n + 1) 2nsegun los distintos
valores de a ∈ R.
Resp.: Absolutamente convergente si |a| < 2; condicionalmente con-vergente si a = −2; divergente si a = 2 o |a| > 2.
221
11. Estudiar el caracter de la serie∑ (a− 1)n
n(n + 1)segun los valores de
a ∈ R.
Resp.: Absolutamente convergente cuando a ∈ [0, 2]; diverge en elresto.
12. Estudiar el caracter de la serie∑ an
n√
n + 1 + (n + 1)√
n.
Resp.: Absolutamente convergente cuando a ∈ [−1, 1]; diverge en elresto.
13. Estudiar el caracter de la serie∑ (a− 5)n
(2n + 1) · 5nsegun los valores
de a ∈ R.
Resp.: Converge absolutamente cuando a ∈ (0, 10); converge condicio-nalmente cuando a = 0; diverge en el resto.
14. Estudiar el caracter de la serie∑ (
a(a + n)n
)n
, con a ∈ R.
Resp.: Converge absolutamente cuando a ∈ (−1, 1); diverge en el resto.
15. Estudiar el caracter de la serie∑
n3an segun los diferentes va-
lores de a. Resp.: Absolutamente convergente cuando |a| < 1; diver-gente en el resto.
16. Calcular la suma de la serie∞∑
n=1
(−1)n n
5n.
Resp.: S = 5/36.
17. Calcular la suma de la serie∑n≥1
(−1)n+1 n2
5n.
Resp.: S = 5/54.
222