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UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Series de funciones e integral

de Lebesgue

Luis Bernal Gonzalez

Departamento de Analisis Matematico

Sevilla, 2015. Disponible en: http://personal.us.es/lbernal/

Indice general

Prologo 5

1. Series de numeros reales e integral de Riemann 9

1.1. Series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Series de terminos positivos y series alternadas . . . . . . . . . 12

1.4. Otros criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Concepto y propiedades de la integral de Riemann . . . . . . . 15

1.6. Condiciones de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7. Integracion y antiderivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8. Cambio de variables e integracion por partes . . . . . . . . . . 18

1.9. La integral de Riemann–Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Integrales impropias 25

2.1. Integrales impropias de primera especie . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Integrales mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4. Criterios de convergencia. Convergencia absoluta . . . . . . . . 30

2.5. Criterios de convergencia para funciones positivas . . . . . . . 32

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1

2 Luis Bernal Gonzalez

3. Sucesiones de funciones 37

3.1. Convergencia puntual y convergencia uniforme . . . . . . . . . 37

3.2. Algebra de sucesiones uniformemente convergentes . . . . . . . 40

3.3. Convergencia uniforme, continuidad y derivabilidad . . . . . . 43

3.4. Convergencia uniforme e integracion . . . . . . . . . . . . . . 46

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. Series de funciones 49

4.1. Definiciones: sumas puntual y uniforme . . . . . . . . . . . . . 49

4.2. Relacion con la continuidad, derivacion e integracion . . . . . 50

4.3. Criterios de convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 51

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5. Series de potencias 57

5.1. Radio e intervalo de convergencia de una serie de potencias . . 57

5.2. Continuidad, derivabilidad e integrabilidad de series de potencias 61

5.3. Funciones analıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6. Medida de Lebesgue 71

6.1. El problema de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2. Espacios medibles, espacios de medida y medida exterior . . . 72

6.3. Construccion de la medida de Lebesgue en R . . . . . . . . . . 76

6.4. Conjuntos medibles Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.5. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7. Integral de Lebesgue 91

7.1. Funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.3. Integral de Lebesgue de funciones no negativas . . . . . . . . . 99

INDICE GENERAL 3

7.4. Propiedades de la integral de funciones no negativas . . . . . . 101

7.5. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.6. Integral de Lebesgue de funciones medibles . . . . . . . . . . . 104

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8. Teoremas de convergencia 113

8.1. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.2. Relacion entre las integrales de Riemann y de Lebesgue . . . . 118

8.3. El espacio L1(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.4. Subespacios densos de L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9. Integrales parametricas 129

9.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.2. Continuidad de integrales parametricas . . . . . . . . . . . . . 130

9.3. Derivabilidad de integrales parametricas . . . . . . . . . . . . 131

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

10. Series de Fourier 135

10.1. Serie de Fourier y coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . 135

10.2. Desigualdades e igualdades con coeficientes de Fourier . . . . . 138

10.3. Convergencia puntual de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . 140

10.4. Convergencia uniforme de la serie de Fourier . . . . . . . . . . 144

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Bibliografıa 151

Lista de sımbolos y abreviaturas 153

Indice alfabetico 155

Prologo

Estas notas han sido concebidas para servir de base al estudiante que

pretenda introducirse en los rudimentos de la teorıa de sucesiones y series de

funciones y en la teorıa de integracion de Lebesgue. Ambas teorıas proporcio-

nan instrumentos de amplio uso en analisis matematico, en sus dos vertientes

teorica y aplicada.

El texto esta dirigido, inicialmente, a los alumnos de la asignatura homoni-

ma Series de funciones e integral de Lebesgue, que actualmente se imparte

como asignatura obligatoria en el segundo curso del Grado en Matematicas

de la Universidad de Sevilla. No obstante, confıo en que su utilidad vaya mas

alla y pueda ser usado como consulta tambien fuera del ambito especıfico

de la asignatura citada. Espero, asimismo, que estas notas sean tambien de

provecho para el profesor que imparta los contenidos de las mismas.

Como prerrequisito para una lectura provechosa de esta obra, se presu-

pone al lector una fuerte familiaridad con nociones y resultados basicos del

calculo infinitesimal. Me refiero en especial a conocimientos sobre sucesiones

y series de numeros reales, convergencia, funciones reales de variable real,

topologıa de la recta real, continuidad, derivabilidad e integral en el sentido

de Riemann. Aunque no es indispensable, serıa asimismo bienvenida cierta

base de topologıa general, algebra lineal y geometrıa analıtica. No obstante,

y con objeto de hacer estas notas lo mas autocontenidas posible, se han in-

5


corporado, como recordatorio para el lector, algunos conceptos y resultados

adicionales.

El texto se ha dividido en diez capıtulos o temas. En el Capıtulo 1 se

recapitulan, sin demostracion, los conceptos y resultados basicos sobre series

numericas e integral de Riemann, conocidos por el estudiante de un curso

elemental de calculo. Seran muy utiles para impartir la teorıa y resolver pro-

blemas correspondientes a los temas posteriores. Aprovecho para decir que,

en los restantes capıtulos, a veces se enunciaran sin demostracion resulta-

dos adicionales que son interesantes para una ulterior profundizacion en la

materia de que trata el texto.

Como extension del concepto de integral de Riemann, se estudia la nocion

de integral impropia, en la que ya ni el intervalo de definicion de la funcion

ni la funcion misma a integrar tienen por que ser acotados. Presentamos este

tipo de integral en el Capıtulo 2.

Una sucesion real no es mas que una aplicacion del conjunto de los nume-

ros naturales en la recta real. Pero a veces surgen sucesiones que dependen

de una variable, que determina la posibilidad de un lımite que a su vez es

una funcion. Estas son las sucesiones de funciones, que se estudiaran en el

Capıtulo 3. Cuando se consideran las sumas parciales de estas sucesiones,

obtenemos series de funciones, consideradas en el Capıtulo 4. En ambos ca-

sos se estableceran condiciones para la propagacion de las propiedades de los

terminos a la funcion lımite o suma.

En el Capıtulo 5 se desarrolla el que quiza sea el ejemplo mas importante

de serie funcional, a saber, las series de potencias, las cuales dan lugar al

concepto de funcion analıtica. Las propiedades operacionales de este tipo

de series, la estructura del conjunto de puntos de convergencia y diversos

criterios de analiticidad se estudiaran en este capıtulo.

PROLOGO 7

La medida de Lebesgue sobre la recta real, como extension natural del

concepto de longitud de un intervalo, se presenta en el Capıtulo 6. Con ella

se prepara la base para establecer el concepto de integral de Lebesgue, que

se estudiara en el Capıtulo 7. La integral de Lebesgue generaliza de manera

eficaz la nocion de integral de Riemann, evitando muchas de las carencias de

esta.

El Capıtulo 8 da a luz resultados de intercambio de las operaciones de

integracion Lebesgue y de lımite/sumacion, por lo que es ampliamente util y

conecta las dos partes del tıtulo de esta obra. Como aplicacion, en el Capıtulo

9 se investiga la propagacion, a una funcion definida por una integral depen-

diente de un parametro, de las propiedades de la funcion que actua como

integrando.

Finalmente, el estudio de algunos problemas fısicos, asociados a la reso-

lucion de ciertas ecuaciones diferenciales, dio lugar a las series de Fourier,

importante clase de series funcionales cuyos rudimentos se exponen en el

Capıtulo 10.

La obra contiene ejemplos que ilustran los conceptos y resultados que van

surgiendo. Ademas, al final de cada capıtulo se propone una variada lista de

ejercicios, en los que la teorıa dada o bien se aplica o bien se completa. En

algunos de ellos se adjuntan indicaciones o sugerencias utiles. Recomendamos

al estudiante que intente la resolucion de dichos ejercicios, pues ello constituye

un buen indicador del grado de asimilacion de la materia. Al final del texto se

ofrece una bibliografıa para que el lector interesado efectue consultas y amplıe

conocimientos. Para una mayor comodidad de lectura, incluyo una lista de

abreviaturas y sımbolos. El ındice alfabetico esta organizado de modo que se

indica la pagina o paginas donde aparece por primera vez la definicion de un

concepto o la formulacion de un resultado.


Para concluir, es de justicia expresar mi agradecimiento a los profesores

Ma Angeles Japon Pineda y Rafael Villa Caro por proporcionarme material

abundante y valioso, fruto de su experiencia docente. He utilizado frecuente-

mente, con provecho, dicho material en la elaboracion de esta obra.

El autor

Capıtulo 1

Series de numeros reales e

integral de Riemann

Efectuamos en este capıtulo una recapitulacion de algunos conceptos y

teoremas que el lector probablemente conoce de un curso elemental de calculo

infinitesimal. En concreto, se refieren a las series de numeros reales y a la

integral en el sentido de Riemann. Por tanto, no se daran las demostraciones.

Nuestro objetivo es que los resultados que se recopilan se puedan usar con

comodidad en el resto de esta obra, tanto en la parte teorica como en la

practica.

1.1. Series numericas

Como es usual, denotaremos por N el conjunto {1, 2, . . . } de los enteros

positivos o numeros naturales, y por R el cuerpo de los numeros reales.

Consideremos una sucesion de numeros reales, es decir, una aplicacion ϕ :

n ∈ N 7→ an ∈ R, representada como es habitual por a1, a2, ..., {an}∞n=1 o

bien simplemente {an} o (an). Se llama serie asociada o generada por {an}a la sucesion {Sn} de sumas parciales de aquella, es decir, Sn =

∑nk=1 ak =

9


a1 + · · · + an para todo n ∈ N. Se representa por∑∞

n=1 an, o simplemente∑an, y a veces tambien por a1 + a2 + · · · + an + · · · . Por definicion, el

caracter de una serie es el mismo que el de la sucesion de sumas parciales

que la genera.

Definicion 1.1.1. Se dice que la serie∑∞

n=1 an es convergente cuando {Sn}converge, esto es, cuando existe un numero S ∈ R, necesariamente unico,

tal que Sn →n→∞

S. Este hecho se representa por∑∞

n=1 an = S, y se dice en

tal caso que S es la suma de la serie. En el caso de que la serie∑∞

n=1 an

no converja, se suele distinguir entre serie divergente y serie oscilante segun

que, respectivamente, Sn →∞ o {Sn} no tienda a ningun numero real ni a

infinito.

La ası llamada serie geometrica 1 + a + a2 + · · · proporciona el ejemplo

mas sencillo. Teniendo en cuenta que las sumas parciales valen Sn = 1 +

a + · · · + an−1 = 1−an1−a = 1

1−a −an

1−a si a 6= 1 y Sn = n si a = 1, resulta

que dicha serie es convergente (con suma 11−a) si a ∈ (−1, 1), divergente si

a ∈ (−∞,−1) ∪ [1,+∞), y oscilante si a = −1.

Es evidente que el hecho de anadir o suprimir un numero finito de terminos

de una serie no altera el caracter de la misma. Otra propiedad elemental es la

asociatividad, que afirma que si una serie∑∞

n=1 an es convergente o divergente

y consideramos la serie reagrupada∑∞

n=1 bn, donde b1 = a1 + · · · + an1 ,

b2 = an1+1 + · · ·+an2 , ... con n1 < n2 < · · · , entonces∑∞

n=1 bn tiene el mismo

caracter y la misma suma que la serie original∑∞

n=1 an. Pero la propiedad

disociativa no es valida en general. Por ejemplo, la serie 0 + 0 + 0 + · · · es

trivialmente convergente, y cada termino puede escribirse como 0 = 1 − 1.

Tras esta disociacion, resulta la nueva serie 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , la cual no

converge.

Finalmente, tenemos la siguiente propiedad distributiva o de linealidad

para series convergentes.

SERIES DE NUMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN 11

Teorema 1.1.2. Si∑an = S y

∑bn = S ′ entonces, para cada par α, β ∈

R, la serie∑αan + βbn converge y

∑αan + βbn = αS + βS ′.

Anotamos que a veces la sucesion {an} que genera la serie∑an no em-

pieza su numeracion con el subındice 1, sino con otro subındice N ∈ N0 :=

N ∪ {0}. En tal caso la serie se expresa como∑∞

n=N an y su suma, caso de

ser convergente, es por definicion el lımn→∞(aN + aN+1 + · · ·+ an).

1.2. Criterios de convergencia

Vamos a recordar condiciones, necesarias y/o suficientes, de convergen-

cia de series numericas. Comencemos con la condicion necesaria mas popular.

Teorema 1.2.1. Si la serie∑an converge, entonces lımn→∞ an = 0.

Por ejemplo, las series∑

(−1)n√n y

∑log n no convergen. Sin embargo,

la condicion dada en el teorema anterior no es suficiente para la convergencia.

Por ejemplo, la serie armonica∑

1/n cumple que 1/n→ 0, pero no es con-

vergente. A continuacion, establecemos el criterio de Cauchy de convergencia

de series numericas.

Teorema 1.2.2. La serie de numeros reales∑an es convergente si y solo

si para cada ε > 0 existe n0 = n0(ε) ∈ N tal que∣∣∑m

k=n+1 ak∣∣ < ε para

todos los m,n ∈ N con m > n ≥ n0.

Por definicion, una serie de terminos positivos (STP) es una serie∑cn

tal que cn ≥ 0 para todo n ∈ N. De manera natural, una serie numerica∑an

lleva asociada una STP, a saber,∑|an|. Se dice que la serie

∑an es abso-

lutamente convergente cuando∑|an| es convergente. Tenemos la siguiente

condicion suficiente.

Teorema 1.2.3. Toda serie absolutamente convergente es convergente. Ademas,

si∑an = S y

∑|an| = S∗ entonces |S| ≤ S∗.


Por ejemplo, la serie∑

(−1)n3+n2+n/2n converge; en efecto, la serie∑

|(−1)n3+n2+n/2n| =

∑(1/2)n

es convergente, ya que |1/2| < 1. Por tanto, si disponemos de criterios de con-

vergencia de STPs, obtendremos instrumentos para estudiar la convergencia

ordinaria de series. Recordaremos algunos de esos criterios en la seccion si-

guiente.

1.3. Series de terminos positivos y series al-

ternadas

Trataremos aquı sobre estos dos tipos especiales de series. Se conoce la

siguiente facil caracterizacion de la convergencia de las STPs en funcion de

las sumas parciales.

Teorema 1.3.1. Una STP es convergente si y solo si su sucesion de sumas

parciales esta acotada. En consecuencia, toda STP es convergente o diver-

gente, es decir, no puede ser oscilante.

Recordemos que una permutacion de N no es mas que una biyeccion

ϕ : N → N. Si∑an es una serie y ϕ es una permutacion de N, a la nueva

serie∑aϕ(n) se la llama serie reordenada respecto de la anterior.

Teorema 1.3.2. Las STPs poseen la propiedad conmutativa, es decir, series

reordenadas tienen el mismo caracter, y la misma suma en el caso en que

sean convergentes.

En general, una serie numerica∑an se dice que es incondicionalmente

convergente cuando toda reordenacion suya converge, y a la misma suma.

Una serie∑an se dice que es condicionalmente convergente cuando con-

verge pero alguna reordenacion suya no converge o converge a otra suma.


Como generalizacion del teorema anterior, se tiene el teorema de Riemann–

Dirichlet, que afirma que una serie∑an es incondicionalmente convergente

si y solo si es absolutamente convergente.

El siguiente resultado proporciona criterios de convergencia de STPs.

Teorema 1.3.3. Sean∑an y

∑bn dos STPs. Se verifica:

(a) [Criterio de comparacion] Si existe n0 ∈ N tal que an ≤ bn para todo

n ≥ n0 y∑bn es convergente, entonces

∑an es convergente. Si existe

n0 ∈ N tal que an ≥ bn para todo n ≥ n0 y∑bn es divergente, entonces∑

an es divergente.

(b) [Criterio de comparacion por paso al lımite] Si lımn→∞

anbn

= L ∈ [0,+∞)

(∈ (0,+∞], resp.) y∑bn es convergente (divergente, resp.), entonces∑

an es convergente (divergente, resp.).

(c) [Criterio de la raız o de Cauchy] Si existe lımn→∞ a1/nn =: L ∈ [0,+∞]

y L < 1 (y L > 1, resp.), entonces la serie∑an es convergente (diver-

gente, resp.).

(d) [Criterio del cociente o de D’Alembert] Si existe lımn→∞

an+1

an=: L ∈

[0,+∞] y L < 1 (y L > 1, resp.), la serie∑an es convergente (di-

vergente, resp.).

(e) [Criterio de Raabe–Duhamel] Si existe lımn→∞

n( anan+1

−1)

=: L ∈ [0,+∞]

y L < 1 (y L > 1, resp.), entonces la serie∑an es divergente (con-

vergente, resp.).

(f) [Criterio de condensacion de Cauchy] Supongamos que {an} es decre-

ciente. Entonces∑an es convergente si y solo si

∑2n ·a2n es conver-

gente.


(g) La serie armonica generalizada∑

1na

(a ∈ R) es convergente si y solo

si a > 1.

Se llama serie alternada a una serie cuyos terminos tienen signo alterno, es

decir, una serie de la forma∑

(−1)ncn o bien∑

(−1)n+1cn con cn ≥ 0 para

todo n. El teorema siguiente, conocido como Criterio de Leibniz, proporciona

una condicion suficiente de convergencia de series alternadas.

Teorema 1.3.4. Consideremos una serie alternada como la anterior. Si la

sucesion {cn} es decreciente y cn → 0, entonces la serie alternada es conver-

gente. Ademas, en tal caso, el error cometido en la aproximacion no excede

el valor absoluto del primer termino despreciado; es decir, si Sn es la suma

parcial n-esima de la serie alternada y S es la suma, entonces |Sn−S| ≤ cn+1.

Por ejemplo, la ası llamada serie anarmonica 1 − 12

+ 13− 1

4+ · · · es

convergente. Este ejemplo tambien muestra que el recıproco del Teorema

1.2.3 es falso.

1.4. Otros criterios de convergencia

A veces tenemos una serie que no es absolutamente convergente pero

tampoco alternada, con lo cual no podemos usar los criterios de convergencia

anteriores. En el siguiente teorema se dan dos condiciones suficientes, que se

basan en una descomposicion factorial adecuada del termino general.

Teorema 1.4.1. Sean∑an y

∑bn dos series de numeros reales y deno-

temos An =∑n

k=1 ak. Se verifica:

(a) [Criterio de Dirichlet] Si la sucesion {An} es acotada y la sucesion {bn}es decreciente y con lımite 0, entonces

∑anbn es convergente.

(b) [Criterio de Abel] Si∑an converge y la sucesion {bn} es monotona

convergente, entonces∑anbn es convergente.


1.5. Concepto y propiedades de la integral de

Riemann

El concepto de integral es la abstraccion y formalizacion de la idea de

area. Aquı recordaremos la integral de Riemann, mientras que en el Capıtulo

7 introduciremos la integral, mas general, de Lebesgue.

Consideremos un intervalo cerrado y acotado [a, b] ⊂ R. Se llama particion

de [a, b] a cualquier conjunto finito de puntos de [a, b], uno de los cuales es a y

otro es b. Luego cada particion P de [a, b] consta de puntos xi (i = 0, 1, ..., n)

con a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. Sea f una funcion acotada. Se define la

suma superior de Riemann de f respecto de la particion P como el numero

U(f, P ) =∑n

i=1Mi(xi − xi−1), donde Mi := sup{f(t) : xi−1 ≤ t ≤ xi}.Analogamente, la suma inferior de Riemann de f respecto de la particion

P se define como el numero L(f, P ) =∑n

i=1mi(xi − xi−1), donde mi :=

ınf{f(t) : xi−1 ≤ t ≤ xi}. Se tiene que L(f, P ) ≤ U(f, P ∗) para cualesquiera

particiones P, P ∗ de [a, b].

Definicion 1.5.1. Sea f : [a, b] → R acotada. A los numeros reales∫ baf :=

sup{L(f, P ) : P particion de [a, b]} y∫ baf := ınf{U(f, P ) : P particion de

[a, b]} se les llama, respectivamente, integral inferior de Darboux e integral

superior de Darboux de f en [a, b].

Se verifica que (b − a) · ınf{f(t) : a ≤ t ≤ b} ≤∫ baf ≤

∫ baf ≤ (b − a) ·

sup{f(t) : a ≤ t ≤ b}.

Definicion 1.5.2. Sea f : [a, b] → R acotada. Se dice que f es integrable

Riemann en [a, b] cuando∫ baf =

∫ baf , en cuyo caso se denota este valor

comun por∫ baf o

∫ baf(x) dx, el cual se denominara la integral de Riemann

de f en [a, b]. El conjunto de las funciones integrables Riemann en [a, b]

sera denotado por R[a, b].


Como ejemplo trivial, toda funcion constante f(x) ≡ c en [a, b] esta en

R[a, b], y ademas∫ baf = c(b−a). En el siguiente teorema resumimos algunas

propiedades de la integral de Riemann.

Teorema 1.5.3. (a) [Linealidad respecto al integrando] R[a, b] es un es-

pacio vectorial sobre R. De hecho, si f, g ∈ R[a, b] y α, β ∈ R, entonces

αf + βg ∈ R [a, b] y∫ ba(αf + βg) = α

∫ baf + β

∫ bag.

(b) [Linealidad respecto al intervalo] Si a < c < b y f ∈ R[a, c] ∩ R[c, b]

entonces f ∈ R[a, b] y∫ baf =

∫ caf +

∫ bcf .

(c) [Monotonıa] Si f ∈ R[a, b] y f ≥ 0 en [a, b] entonces∫ baf ≥ 0. Si

f, g ∈ R[a, b] y f ≥ g en [a, b] entonces∫ baf ≥

∫ bag.

1.6. Condiciones de integrabilidad

Establecemos aquı dos condiciones de integrabilidad en el sentido de

Riemann, una necesaria y suficiente, y otra suficiente.

Teorema 1.6.1. [Condicion de Riemann] Sea f : [a, b] → R acotada. Se

tiene que f ∈ R[a, b] si y solo si, para cada ε > 0, existe una particion P de

[a, b] tal que U(f, P )− L(f, P ) < ε.

Como consecuencia, si una funcion es integrable Riemann en un intervalo,

lo es en cualquier subintervalo de este.

Teorema 1.6.2. Toda funcion continua en [a, b] es integrable Riemann en

dicho intervalo.

En sımbolos, el teorema nos dice que C([a, b]) ⊂ R[a, b]. La anterior no es

una condicion necesaria; por ejemplo, la funcion f : [0, 1]→ R definida como

1 en x = 0 y 0 en (0, 1] es integrable Riemann, con∫ 1

0f = 0. Veremos en el


Capıtulo 8 que una funcion acotada en [a, b] es integrable Riemann si y solo

si “no tiene demasiadas discontinuidades”, en un sentido que se especificara.

Recordemos que, si f ∈ R[a, b], el valor medio integral de f sobre [a, b]

se define como el numero µ = 1b−a

∫ baf(x) dx. Si f ≥ 0 en [a, b], µ representa

la altura de un rectangulo de base el segmento [a, b] y area∫ baf . Entonces

m ≤ µ ≤ M , donde m y M son respectivamente el ınfimo y el supremo de

f en [a, b]. El Teorema del valor medio integral asegura que si f ∈ C([a, b])entonces existe algun punto x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) = µ.

Ya sabemos que cualquier combinacion lineal finita de funciones integra-

bles Riemann es tambien integrable Riemann. El siguiente resultado completa

esta afirmacion y nos viene a decir que la integral de Riemann es respetuo-

sa con las operaciones elementales. Puede probarse usando la condicion de

Riemann. Recordemos que f+ y f− denotan respectivamente la parte positi-

va y la parte negativa de una funcion f , es decir, f+(x) := max{f(x), 0} y

f−(x) := max{−f(x), 0} = −mın{f(x), 0}. Luego f+ y f− son no negativas

y se tiene f = f+ − f− y |f | = f+ + f−.

Teorema 1.6.3. Supongamos que f, g ∈ R[a, b]. Entonces las funciones f+,

f−, |f |, f 2 y f · g estan tambien en R[a, b].

1.7. Integracion y antiderivacion

Vamos a recordar la relacion que hay entre estas dos operaciones. Re-

sulta que, en un sentido que se especificara mas adelante, ambas coinciden

esencialmente.

Supongamos que I ⊂ R es un intervalo y f : I → R es una funcion. Se

dice que la funcion F : I → R es una primitiva de f cuando F ′(x) = f(x)

para todo x ∈ I. Si el extremo izquierdo a (resp., el extremo derecho b)

de I esta en I, entendemos que F ′(a) = F ′+(a) (resp., F ′(b) = F ′−(b)). Es


facil ver que dos primitivas de una misma funcion en un mismo intervalo se

diferencian en una constante.

Definicion 1.7.1. Sea f ∈ R[a, b]. A la funcion F : x ∈ [a, b] 7→∫ xaf(t) dt

se le llama integral indefinida de f en [a, b].

Podemos decir que la operacion de integracion “mejora” las propiedades

de la funcion.

Teorema 1.7.2. Si f ∈ R[a, b] entonces su funcion integral indefinida es

continua en [a, b].

Los dos resultados que agrupamos en el siguiente teorema son basicos

y expresan la fuerte relacion existente entre integrar y la operacion inversa

de derivar. Si k ∈ N, denotaremos por Ck([a, b]) el espacio de las funciones

[a, b]→ R diferenciables con continuidad hasta orden k inclusive.

Teorema 1.7.3. (a) [Primer teorema fundamental del Calculo]

Sea f ∈ R[a, b] y F su funcion integral indefinida. Si f es continua en

el punto x0 ∈ [a, b] entonces F es derivable en x0 y F ′(x0) = f(x0). En

particular, si f ∈ C([a, b]) entonces F ∈ C1([a, b]).

(b) [Segundo teorema fundamental del Calculo o Regla de Barrow]

Sea f ∈ R[a, b]. Si g : [a, b] → R es una funcion continua que es una

primitiva de f en (a, b) entonces∫ baf = g(b)− g(a).

1.8. Cambio de variables e integracion por

partes

Continuamos con este par de resultados, que son importantes desde los

puntos de vista teorico y practico. Si c > d se entendera que∫ dcf = −

∫ cdf ,

siempre que el segundo miembro tenga sentido.


Teorema 1.8.1. [Formula del cambio de variables] Si g ∈ C1([a, b]) y f es

continua en g([a, b]), entonces∫ g(b)g(a)

f =∫ ba(f ◦ g) · g′.

Teorema 1.8.2. [Formula de integracion por partes] Sean f, g : [a, b] → R

derivables con f ′, g′ ∈ R [a, b]. Entonces∫ bafg′ = f(b)g(b)−f(a)g(a)−

∫ baf ′g.

1.9. La integral de Riemann–Stieltjes

Para terminar, vamos a generalizar la integral de Riemann. El concepto

que se va a definir es muy util en muchas ramas de la Matematica, tanto pura

como aplicada. Hasta ahora tenıamos una funcion integrando f : [a, b] → R

que se integraba respecto de la funcion identidad i(x) = x. Pero podemos

considerar una funcion integradora g : [a, b] → R distinta de la identidad,

siempre que verifiquen algunas condiciones. El contexto adecuado lo propor-

cionan las funciones que se definen a continuacion.

Definicion 1.9.1. Una funcion g : [a, b] → R es de variacion acotada

cuando existe M ∈ (0,+∞) tal que, para toda particion {t0 = a < t1 <

· · · < tn = b} de [a, b], se tiene quen∑k=1

|g(tk)− g(tk−1)| ≤M .

Por BV [a, b] se denotara el conjunto de las funciones [a, b]→ R de varia-

cion acotada. Enumeramos sin demostracion sus propiedades basicas.

Proposicion 1.9.2. Se verifican las siguientes propiedades:

El conjunto BV [a, b] es un espacio vectorial.

Si g : [a, b] → R esta en BV [a, b], existen funciones g1, g2 : [a, b] → R

crecientes tales que g = g1 − g2. En particular, BV [a, b] es la variedad

lineal generada por las funciones monotonas en [a, b].

Se cumplen las siguientes relaciones de inclusion y de no-inclusion:

C[a, b] 6⊂ BV [a, b], C[a, b] 6⊃ BV [a, b] y C1[a, b] ⊂ BV [a, b].


Si g ∈ BV [a, b], entonces g es continua salvo en un conjunto numera-

ble de puntos, en los que tiene discontinuidades de salto.

Definicion 1.9.3. Consideremos dos funciones f, g : [a, b] → R. Diremos

que f es Riemann-Stieltjes integrable respecto de g en [a, b] cuando existe

un numero A ∈ R con la siguiente propiedad: para cada ε > 0 existe una

particion P0 = P0(ε) de [a, b] tal que, para toda particion P = {a = t0 <

t1 < · · · < tN = b} de [a, b] con P ⊃ P0 y todo sistema de puntos ξk ∈

[tk−1, tk] (k = 1, . . . , N), se tiene

∣∣∣∣∣A−N∑k=1

f(ξk)(g(tk)− g(tk−1))

∣∣∣∣∣ < ε. En tal

caso, diremos que A es la integral de Riemann-Stieltjes de f respecto de g, y

escribiremos∫ baf dg = A.

Es facil probar que el numero A, si existe, es unico. El conjunto de las fun-

ciones que son Riemann-Stieltjes integrables respecto de g en [a, b] sera de-

notado por RSg[a, b].

Teorema 1.9.4. Se verifican las siguientes propiedades:

(a) Si g(x) = x, entonces f ∈ RSg[a, b] si y solo si f ∈ R[a, b]. En tal

caso,

∫ b

a

f dg =

∫ b

a

f(x) dx.

(b) RSg[a, b] es un espacio vectorial. Especıficamente, si f, h ∈ RSg[a, b]y α, β ∈ R, entonces αf + βh ∈ RSg[a, b] y∫ b

a

(αf + βh) dg = α

∫ b

a

f dg + β

∫ b

a

h dg.

(c) Si f ∈ RSg[a, b] ∩RSh[a, b] y α, β ∈ R, entonces f ∈ RSαg+βh[a, b] y∫ b

a

f d(αg + βh) = α

∫ b

a

f dg + β

∫ b

a

f dh.

(d) Si c ∈ (a, b) y f ∈ RSg[a, b], entonces f ∈ RSg[a, c] ∩RSg[c, b] y∫ b

a

f dg =

∫ c

a

f dg +

∫ b

c

f dg.


(e) Si f ∈ C[a, b] y g ∈ BV [a, b], entonces f ∈ RSg[a, b].

(f) Si f ∈ BV [a, b] y g ∈ C[a, b], entonces f ∈ RSg[a, b].

(g) Se da la formula de integracion por partes. En concreto, si f ∈ RSg[a, b],

entonces g ∈ RSf [a, b] y

∫ b

a

g df = f(b)g(b)− f(a)g(a)−∫ b

a

f dg.

(h) Si f ∈ C[a, b] y g ∈ C1[a, b], entonces f ∈ RSg[a, b] y∫ baf dg =∫ b

af(x)g′(x) dx.

Ejercicios

1.- Demostrar que la sucesion {an} converge si y solo si la serie∑

(an+1 − an)

converge. Probar que, en tal caso, si L es el lımite de {an} y S es la suma

de la serie anterior, entonces S = L− a1.

2.- Demostrar el criterio de Pringsheim: Sea∑an una STP. Si existe a > 1 tal

que lımn→∞ na · an = L ∈ [0,+∞), entonces

∑an es convergente. Si existe

a ≤ 1 tal que lımn→∞ na · an = L ∈ (0,+∞], entonces

∑an es divergente.

Indicacion: usar el Teorema 1.3.3.

Como aplicacion, decidir el caracter de la serie∞∑n=1

1

n1n

+π2 · (e1/n − 1)1/2

.

3.- Demostrar el criterio logarıtmico: Sea∑an una STP. Si existe el lımite

lımn→∞

ln (1/an)

lnn=: α y α > 1 (y α < 1, resp.), la serie

∑an es convergente

(divergente, resp.). Indicacion: usar el Teorema 1.3.3.

Como aplicacion, decidir el caracter de la serie

∞∑n=2

1

(lnn)lnn.

4.- Decidir si son convergentes o no cada una de las siguientes series:

(a)∑∞

n=1sen (nθ)n2 , donde θ ∈ R es fijo.

(b) 1− 13 + 1

5 −17 + · · · .

(c) 1− 12 + 2

3 −13 + 2

4 −14 + 2

5 −15 + · · · .


(d)∑∞

n=1(−1)n lognn .

(e)∑∞

n=21

3√n2−1.

(f)∑∞

n=11

3√n2+1.

(g)∑∞

n=1n2

n! .

(h)∑∞

n=1lognn .

(i)∑∞

n=21

logn .

(j)∑∞

n=21

(logn)3.

(k)∑∞

n=21

(logn)n .

(l)∑∞

n=2(−1)n 1(logn)n .

(m)∑∞

n=1n2

n3+1.

(n)∑∞

n=1 sen (1/n).

(o)∑∞

n=1(1− cos (1/n)).

(p)∑∞

n=21

n logn .

(q)∑∞

n=21

n(logn)2.

(r)∑∞

n=21

n2 logn.

(s)∑∞

n=1n!nn .

(t)∑∞

n=12nn!nn .

(u)∑∞

n=13nn!nn .

5.- (a) Probar que si∑a2n y

∑b2n convergen, entonces

∑anbn converge.

(b) Probar que si∑a2n converge, entonces

∑an/n converge.

6.- Supongase que {an} es una sucesion decreciente con an ≥ 0 para todo n ∈ N.

Demostrar que si∑an converge, entonces lımn→∞ n · an = 0.

Indicacion: utilizar el criterio de Cauchy.

7.- Dar un ejemplo de una sucesion {an} tal que an → 0, la sucesion de sus

sumas parciales sea acotada y la serie∑an no converja.


8.- Sean f, g : [a, b] → R continuas con f ≥ g en [a, b]. Probar que∫ ba f =

∫ ba g

si y solo si f = g en [a, b].

9.- Demostrar que toda funcion monotona en un intervalo cerrado y acotado es

integrable Riemann en dicho intervalo.

10.- (a) Si f ∈ C([a, b]), demostrar que∫ ba f = lım

n→∞

b− an

n∑k=1

f(a+

k(b− a)

n

).

(b) Calcular el lımn→∞

cos(π/n) + cos(2π/n) + · · ·+ cos(nπ/n)

n.

11.- Probar, usando la definicion de integral de Riemann, que∫ 1

0 x dx = 1/2.

12.- Consideremos la funcion f : [0, 1]→ R dada por

f(x) =

1 si x ∈ Q ∩ [0, 1]

0 si x ∈ [0, 1] \Q ,

donde por Q se ha denotado el conjunto de los numeros racionales. Demos-

trar que f no es integrable Riemann en [0, 1].

13.- Sea f : [a, b]→ R continua y no negativa. Probar que

lımn→∞

(∫ b

af(x)n dx

)1/n

= sup{f(x) : a ≤ x ≤ b}.

14.- (a) Demostrar que si f es integrable Riemann en [a, b] entonces |f | tambien

lo es y∣∣ ∫ ba f∣∣ ≤ ∫ ba |f |.

(b) Dar un ejemplo de una funcion f que no sea integrable Riemann en

[0, 1] y tal que |f | sı lo sea.

15.- Supongase que f ∈ C([a, b]) y que g ∈ R[a, b] con g(x) ≥ 0 para todo

x ∈ [a, b]. Demostrar que existe ξ ∈ [a, b] tal que∫ b

af(x)g(x) dx = f(ξ)

∫ b

ag(x) dx.

Este resultado se conoce como Teorema generalizado del valor medio integral.

Mostrar con un ejemplo que la hipotesis de g(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] es

esencial.


16.- Sea f ∈ R [a, b]. Probar que, dado ε > 0, existe una funcion g ∈ C([a, b]) tal

que g ≤ f en [a, b] y ∫ b

af −

∫ b

ag < ε.

17.- Consideremos la funcion f : [0, 2]→ R dada por

f(x) =

1/[1/x] si 0 < x ≤ 1

0 si x = 0 o x > 1 ,

donde por [t] se ha denotado la parte entera del numero real t. ¿Es f

integrable Riemann en [0, 2]? En caso afirmativo, calculese∫ 2

0 f(x) dx.

18.- Determinar el area comprendida entre las graficas de las funciones f(x) =

senx y g(x) = cosx en el intervalo [0, 2π].

19.- Supongamos que f ∈ C[a, b] y que∫ ba f(x)g(x) dx = 0 para toda funcion

g ∈ C[a, b] que verifica g(a) = 0 = g(b). Demostrar que f ≡ 0 en [a, b].

20.- Dar un ejemplo de una funcion f : [0, 1] → R de variacion acotada que no

sea continua. Demostrar que la funcion g : [0, 1] → R dada por g(0) = 0,

g(x) = x sen (1/x) si x 6= 0, es continua pero no es de variacion acotada.

Demostrar que toda funcion continua h : [a, b]→ R, derivable en (a, b) y con

derivada acotada, es de variacion acotada en [a, b].

21.- Calcular la integral de Riemann–Stieltjes∫ 1

0 x dg(x) en los casos:

(a) g(x) = e−x, (b) g(x) = [3x], (c) g(x) = x[3x].

Capıtulo 2

Integrales impropias

En el capıtulo anterior se ha recordado el concepto de integral de Rie-

mann, definido para una funcion acotada en un intervalo cerrado y acotado

[a, b]. En el presente capıtulo se va a generalizar dicho concepto para funcio-

nes que, o bien no estan acotadas, o bien estan definidas en un intervalo no

acotado. Ello conduce a las nociones de integral impropia de primera especie

(si el intervalo es no acotado), de integral impropia de segunda especie (si la

funcion es no acotada en un intervalo acotado) y de integrales mixtas (si la

funcion es no acotada cerca de un punto finito y esta definida en un intervalo

no acotado). En todos los casos se procede del mismo modo: se integra en un

subintervalo acotado en el que la funcion este acotada y luego se halla el lımi-

te de dicha integral cuando el subintervalo tiende al intervalo de integracion

dado.

2.1. Integrales impropias de primera especie

En ciertos aspectos, las integrales impropias son analogas a las series.

En estas se consideraba la suma parcial de orden n y se hacıa tender n→∞.

En las integrales impropias se hace tender uno de los lımites de integracion

25


hacia +∞ o −∞. Recordemos que R[a, b] denota el conjunto de las funcio-

nes integrables Riemann en [a, b].

Definicion 2.1.1. Sea f : [a,+∞)→ R tal que f ∈ R[a, b] para todo b > a.

Consideremos la funcion I : b ∈ (a,+∞) 7→ I(b) =∫ baf(x) dx ∈ R, que se

llama integral impropia de primera especie de f en [a,+∞), y se representa

por∫ +∞a

f ,∫∞af ,∫ +∞a

f(x) dx o∫∞af(x) dx. Se dice que la integral

∫∞af es

convergente cuando existe el lımite I0 = lımb→+∞ I(b) y es finito. En tal caso

tambien se dira que f es integrable Riemann impropiamente en [a,+∞). Al

numero I0 se le llama valor de la integral impropia de f en [a,+∞), y este

hecho se escribira como∫∞af = I0, es decir,∫ ∞

a

f(x) dx = lımb→+∞

∫ b

a

f(x) dx.

En cualquier otro caso, diremos que la integral impropia∫∞af es divergente.

Notas 2.1.2. 1. Un hecho importante para la practica es que si f tiene una

primitiva F en [a,+∞) entonces, gracias a la regla de Barrow,∫ ∞a

f(x) dx = lımb→+∞

(F (b)− F (a)) = [ lımb→+∞

F (b)]− F (a).

2. Si f : (−∞, b] → R es una funcion tal que f ∈ R[a, b] para todo a < b,

se define analogamente∫ b−∞ f(x) dx = lıma→−∞

∫ baf(x) dx, siempre que el

lımite exista.

Ejemplos 2.1.3. 1. Sea a > 0 fijo y α ∈ R. Si usamos la regla de Barrow,

es facil ver que la integral∫∞a

1/xα dx diverge si α ≤ 1 y converge si α > 1,

en cuyo caso∫∞a

1/xα dx = a1−α

α−1.

2. La integral impropia∫∞

0sen (2πx) dx diverge, pues∫ ∞

0

sen (2πx) dx = lımb→+∞

∫ b

0

sen (2πx) dx = lımb→+∞

1

2π[1− cos(2πb)],

y este lımite no existe.

INTEGRALES IMPROPIAS 27

En el caso de funciones definidas en todo R el concepto de integral im-

propia se define como sigue.

Definicion 2.1.4. Sea f : R → R tal que f ∈ R[a, b] para todo intervalo

cerrado [a, b] ⊂ R. Decimos que la integral impropia∫ +∞−∞ f(x) dx converge

si existe un a ∈ R tal que∫ a−∞ f(x) dx e

∫ +∞a

f(x) dx convergen. En este

caso, el valor de la integral impropia viene dado por∫ +∞

−∞f(x) dx =

∫ a

−∞f(x) dx+

∫ +∞

a

f(x) dx.

En otro caso se dice que la integral impropia diverge.

Por ejemplo, la integral∫ +∞−∞

11+x2

dx converge y su valor I viene dado

por I =∫ 0

−∞1

1+x2dx+

∫ +∞0

11+x2

dx = lıma→−∞[arctan 0− arctan a]

+ lımb→+∞[arctan b− arctan 0] = π/2 + π/2 = π.

Notas 2.1.5. 1. Es facil ver a partir de la definicion que cualquier valor de

a es valido si hay convergencia y que en tal caso el valor de la integral no

depende de a.

2. Se llama valor principal de Cauchy de la integral∫ +∞−∞ f al lımite

lımT→+∞∫ T−T f . Se suele denotar por V PC

∫ +∞−∞ f . Es evidente que si

∫ +∞−∞ f

converge, su valor es V PC∫ +∞−∞ f . Pero puede que exista y sea finito el valor

principal sin que la integral impropia converja. Por ejemplo, V PC∫ +∞−∞ x dx =

0 pero la integral∫ +∞−∞ x dx diverge.

2.2. Integrales impropias de segunda especie

En este tipo de integrales el intervalo de definicion es acotado. Damos el

concepto cuando f esta definida en un intervalo del tipo [a, b). Analogamente

se procederıa si f estuviese definida en un intervalo del tipo (a, b].


Definicion 2.2.1. Sea f : [a, b)→ R tal que f ∈ R[a, c] para todo c ∈ (a, b).

Consideremos la funcion I : c ∈ (a, b) 7→ I(c) =∫ caf(x) dx, que se llama

integral impropia de segunda especie de f en [a, b), y se representa por∫ b−af ,∫ b−

af(x) dx, o simplemente

∫ baf(x) dx o

∫ baf . Se dice que la integral impropia∫ b

af es convergente cuando existe el lımite I0 = lımc→b− I(c) y es finito. En

tal caso tambien se dira que f es integrable Riemann impropiamente en [a, b).

Al numero I0 se le llama valor de la integral impropia de f en [a, b), y este

hecho se escribira como∫ baf = I0, es decir,∫ b

a

f(x) dx = lımc→b−

∫ c

a

f(x) dx.

En cualquier otro caso, diremos que la integral impropia∫ baf es divergente.

Notemos que en la definicion anterior no se exige que f este acotada. De

hecho, es facil ver usando una particion de [a, b] en dos intervalos adecuados,

que siempre que f este acotada en [a, b], entonces f ∈ R[a, b] si y solo si su

integral impropia de Riemann en [a, b) converge, y en este caso el valor de la

integral de Riemann coincide con el de la integral impropia.

Ejemplo 2.2.2. Sea α ∈ R. Usando la regla de Barrow se obtiene que la

integral impropia∫ 1

01xαdx converge si y solo si α < 1, en cuyo caso la integral

vale 11−α . De igual forma, las integrales

∫ ba

1(x−a)α

dx e∫ ba

1(b−x)α

dx convergen

si y solo si α < 1.

Como en el caso de las integrales del tipo∫∞−∞ f , que podrıamos llamar

bilateras de primera especie, se puede definir de manera obvia el concepto de

convergencia de una integral bilatera de segunda especie∫ b−a+f (o simplemente∫ b

af) donde f es una funcion definida en (a, b).


2.3. Integrales mixtas

El concepto de integral impropia mixta surge cuando la funcion esta de-

finida en un intervalo no acotado y no esta acotada cerca del extremo finito del

intervalo, es decir, cuando se combinan una impropiedad de primera especie

y una de segunda especie.

Definicion 2.3.1. Sea f : (a,+∞)→ R con f ∈ R[b, c] para todo intervalo

cerrado [b, c] ⊂ (a,+∞). Se dice que la integral∫ +∞a

f(x) dx, denominada

integral mixta, es convergente si existe b > a tal que las dos integrales impro-

pias∫ baf(x) dx y

∫ +∞b

f(x) dx convergen, en cuyo caso el valor de la integral

mixta se define por∫ +∞

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ +∞

b

f(x) dx.

En cualquier otro caso, diremos que la integral∫ +∞a

f(x) dx diverge.

Es facil ver que la eleccion de b en la definicion anterior es irrelevante

para la convergencia de la integral. Se puede dar un concepto mas general de

convergencia de la integral impropia de una funcion definida en un intervalo

real, que abarca todos los casos dados hasta ahora.

Definicion 2.3.2. Sean I ⊂ R un intervalo y f : I → R una funcion tal

que existe un conjunto finito F = {x1 < x2 < · · · < xN} ⊂ I de modo que

f ∈ R[a, b] para cada intervalo cerrado [a, b] ⊂ I \ F . Se dice que la integral

impropia de Riemann∫If(x) dx converge cuando cada integral impropia de

Riemann (de primera especie, de segunda especie, o mixta)∫Ijf(x) dx (j =

1, 2, ..., p) converge, donde I1, ..., Ip es la coleccion finita de intervalos dos a

dos disjuntos cuya union es I \ F . En tal caso, el valor de la integral de f

en I se define por∫If(x) dx =

∑pj=1

∫Ijf(x) dx. En cualquier otro caso, se

dira que∫If(x) dx diverge.


Se deja al lector interesado verificar que la definicion anterior es inde-

pendiente del conjunto finito F , con tal que f ∈ R[a, b] para cada intervalo

cerrado [a, b] ⊂ I \ F .

2.4. Criterios de convergencia. Convergencia

absoluta

Para estudiar la convergencia, solo consideraremos integrales impro-

pias de primera especie. Para integrales de segunda especie, los criterios son

analogos. Vamos a establecer una condicion necesaria y suficiente, debida

a Cauchy, y otra suficiente, basada en el concepto de convergencia absolu-

ta. Como antes, es tambien facil definir este concepto para otros tipos de

integrales impropias.

Notemos que el siguiente resultado guarda cierta similitud con el criterio

de Cauchy de convergencia de series (Teorema 1.2.2).

Teorema 2.4.1. [Condicion de Cauchy] Supongamos que la funcion f :

[a,+∞)→ R es tal que f ∈ R[a, b] para todo b > a. Son equivalentes:

(a) La integral∫ +∞a

f(x) dx converge.

(b) Para cada ε > 0 existe C = Cε > a tal que∣∣ ∫ c

bf(x) dx

∣∣ < ε para

todo c > b > C.

Demostracion. Para cada b > a denotemos I(b) =∫ baf . Supongamos que (a)

es cierto. Entonces existe I0 = lımb→+∞ I(b) ∈ R. Fijado ε > 0, existe C > a

tal que |I(b) − I0| < ε/2 para todo b > C. Fijemos b y c con c > b > C.

Entonces |I(b) − I0| < ε/2 y |I(c) − I0| < ε/2. Gracias a la desigualdad

triangular,∣∣ ∫ c

bf(x) dx

∣∣ = |I(c) − I(b)| ≤ |I(c) − I0| + |I(b) − I0| < ε. Esto

prueba (b).


En cuanto al recıproco, partimos ahora de que la condicion (b) se sa-

tisface. Por el Teorema fundamental del lımite, basta demostrar que existe

L ∈ R tal que lımn→∞ I(bn) = L para toda sucesion {bn} ⊂ [a,+∞) con

bn → +∞. Fijemos una tal sucesion {bn} y un ε > 0, y fijemos asimismo

el numero C = Cε > a dado por (b). Existe n0 ∈ N tal que bn > C para

todo n ≥ n0. Se deduce que |I(bm)− I(bn)| =∣∣ ∫ bm

bnf(x) dx

∣∣ < ε siempre que

m,n ≥ n0. En otras palabras, la sucesion {I(bn)} es de Cauchy, luego existe

L ∈ R tal que lımn→∞ I(bn) = L. Solo queda probar que el lımite L es el

mismo para todas las sucesiones {bn} como la anterior. Esto es facil, pues si

existiesen dos sucesiones {bn} y {b∗n} en [a,+∞) con bn, b∗n → +∞ de modo

que I(bn) → L e I(b∗n) → L∗, debe ser L∗ = L, ya que la sucesion conjunta

I(b1), I(b∗1), I(b2), I(b∗2), I(b3), I(b∗3), . . . debe converger tambien. �

Definicion 2.4.2. Supongamos que la funcion f : [a,+∞) → R es tal que

f ∈ R[a, b] para todo b > a. Se dice que la integral impropia∫ +∞a

f(x) dx es

absolutamente convergente cuando∫ +∞a|f(x)| dx converge.

De la desigualdad∣∣ ∫ c

bf∣∣ ≤ ∫ c

b|f | y del Teorema 2.4.1 se deduce lo si-

guiente.

Teorema 2.4.3. Toda integral impropia absolutamente convergente es con-

vergente.

A la vista del teorema anterior, es conveniente disponer de resultados que

garanticen la convergencia de integrales impropias de funciones no negativas.

De ello nos ocuparemos en la siguiente seccion.

Por completitud, definimos la siguiente nocion. Decimos que la integral

impropia∫ +∞a

f(x) dx es condicionalmente convergente cuando∫ +∞a

f(x) dx

converge pero∫ +∞a|f(x)| dx diverge. Un ejemplo se da en los Ejercicios 2(c)

y 3.


2.5. Criterios de convergencia para funciones

positivas

Como se anuncio en la seccion precedente, vamos a establecer varios

resultados que proporcionan condiciones suficientes de convergencia de inte-

grales impropias de funciones no negativas. Igual que antes, lo haremos solo

para el caso de integrales de primera especie, siendo inmediata su extension a

integrales de segunda especie. Los criterios dados evocan los correspondientes

de convergencia de series.

En los dos primeros teoremas y en el corolario, se supone que f, g :

[a,+∞)→ R son funciones tales que f, g ∈ R[a, b] para todo b > a.

Teorema 2.5.1. [Criterio de comparacion] Supongamos que existe x0 ≥ a

tal que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ≥ x0. Se verifica:

(a) Si∫∞ag converge entonces

∫∞af converge.

(b) Si∫∞af diverge entonces

∫∞ag diverge.

Demostracion. Puesto que (b) es el contrarrecıproco de (a), basta probar

(a). Para ello, a su vez, es suficiente ver que∫∞x0f converge (pues

∫∞af

convergerıa en tal caso con valor∫∞x0f +

∫ x0af). Por ultimo, la convergencia

de∫∞x0f se deduce de la hipotesis y de la condicion de Cauchy (Teorema

2.4.1), pues∫ cbf ≤

∫ cbg siempre que c > b ≥ x0. �

Corolario 2.5.2. [Criterio mayorante] Supongamos que existe x0 ≥ a tal

que |f(x)| ≤ g(x) para todo x ≥ x0. Si∫∞ag es convergente entonces

∫∞af

es convergente.

Demostracion. Aplicar el teorema anterior y el Teorema 2.4.3. �

Teorema 2.5.3. [Criterio de comparacion por paso al lımite]

Supongamos que f(x) ≥ 0 y g(x) > 0 para todo x ≥ a.


(a) Si existe lımx→+∞f(x)g(x)

= λ ∈ (0,+∞), entonces las integrales∫∞af e∫∞

ag son simultaneamente convergentes o divergentes.

(b) Si existe lımx→+∞f(x)g(x)

= 0 y la integral∫∞ag es convergente, entonces∫∞

af es convergente.

(c) Si existe lımx→+∞f(x)g(x)

= +∞ y la integral∫∞ag es divergente, enton-

ces∫∞af es divergente.

Demostracion. La pruebas de (b) y (c) siguen las mismas ideas que las de

(a), ası que solo demostraremos (a). A su vez, para obtener (a) es suficien-

te obtener la convergencia de∫∞af a partir de la de

∫∞ag [ya que existe

lımx→+∞g(x)f(x)

= 1λ∈ (0,+∞)]. Por hipotesis, debe existir x0 > a con la

propiedad de que f(x)/g(x) ≤ 1 + λ para todo x ≥ x0. Por tanto f(x) ≤(1 + λ)g(x) para todo x ≥ x0. Ahora bien, es obvio que

∫∞a

(1 + λ)g(x) dx

converge. Basta aplicar ahora el Teorema 2.5.1. �

Aprovechando el concepto de integral impropia, concluimos este capıtulo

con el siguiente criterio integral de convergencia de series numericas.

Teorema 2.5.4. Sea f : [1,+∞)→ [0,+∞) una funcion decreciente tal que

f(n) = an para todo n ∈ N. Entonces la serie∑an converge si y solo si la

integral impropia∫∞

1f(x) dx converge.

Demostracion. Notemos que f , al ser monotona, es automaticamente inte-

grable Riemann en cada [1, b] con b > 1. Ademas, de la hipotesis se des-

prende que an ≥ 0 para todo n, luego tenemos una serie de terminos posi-

tivos. Por tanto∑an es convergente si y solo si la sucesion de sumas par-

ciales {Sn := a1 + · · · + an}n≥1 esta acotada superiormente. Denominemos

I(b) =∫ b

1f si b ≥ 1. Como f ≥ 0 en [1,+∞), la funcion I(b) es crecien-

te. Se deduce que∫∞

1f converge si y solo si la funcion I(b) esta acotada

superiormente.


Supongamos en primer lugar que la serie converge. Entonces existe M ∈(0,+∞) tal que Sn ≤ M para todo n ∈ N. Fijemos un b ≥ 1 y llamemos

n = [b], la parte entera de b. Usando que f es decreciente, deducimos que

I(b) =∫ 2

1f +

∫ 3

2f + · · ·+

∫ nn−1

f +∫ bnf ≤ f(1) · 1 + f(2) · 1 + · · ·+ f(n− 1) ·

1 + f(n) · (b− n) ≤ a1 + · · ·+ an = Sn ≤M . Ya que M no depende de b, la

funcion I(b) esta acotada superiormente, luego∫∞

1f converge.

Recıprocamente, supongamos que∫∞

1f converge. Entonces existe M ∈

(0,+∞) tal que I(b) ≤ M para todo b ≥ 1. Si n ∈ N resulta, utilizando

de nuevo que f es decreciente, que Sn = f(1) + f(2) + · · · + f(n) ≤ f(1) +∫ 2

1f + · · · +

∫ nn−1

f = f(1) +∫ n

1f = f(1) + I(n) ≤ M∗, donde la cota

M∗ := f(1) + M es independiente de n. Esto muestra la acotacion de (Sn),

y por tanto la convergencia de∑an. �

Ejercicios

1.- Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias y calcularlas

cuando converjan:

(a)∫ +∞

0 e−x dx

(b)∫ +∞

0 xne−x dx (n ∈ N)

(c)∫ 1

0 log x dx

(d)∫ 2

0 log |x− 1| dx

(e)∫ +∞

1log xx dx

(f)∫ +∞−∞ e−|x| dx

(g)∫ 1

0x

1−x2 dx

(h)∫ +∞

0x

(1+x2)2dx

(i)∫ 1

0x

(1−x2)1/2dx.

2.- Estudiar si convergen o no las siguientes integrales impropias:


(a)∫ +∞

0sen2xx2

dx

(b)∫ +∞

0 e−xsen(1/x) dx

(c)∫ +∞

0senxxα dx (α > 0) [Indicacion: usar integracion por partes]

(d)∫ +∞

1 sen2(1/x) dx

(e)∫ +∞

0 e−x2−x−2

dx

(f)∫∞

0e−x√xdx

(g)∫ +∞

0

(5e−x

x + x+ 2)e−3x−e−x/2 dx

(h)∫ +∞

0sen2xx dx

(i)∫ +∞

0 xα| log x|β dx (α, β ∈ R).

3.- Probar la convergencia condicional de la integral del apartado (c) del ejercicio

anterior si 0 < α ≤ 1. Indicacion: fijar N ∈ N con N ≥ 2 y considerar el

conjunto {x ∈ [1, N ] : |senx| ≥ 1/2}.

4.- Sea α > 1. Demostrar que el area S(α) de la superficie de revolucion generada

por la curva y = x−α al girar alrededor de la semirrecta [1,+∞) es finita.

5.- Supongamos que f : [0, 1]→ R es continua, que f(0) = 0 y que f es derivable

en el origen. Probar que la integral

∫ 1

0f(x)x−3/2 dx es convergente.

6.- Sea f : [0,+∞) → R continua, no negativa y tal que la integral∫ +∞

0 f es

convergente.

(a) Probar que si existe lımx→∞ f(x), entonces lımx→∞ f(x) = 0.

(b) ¿Se cumple necesariamente que lımx→∞ f(x) = 0? ¿Puede ser f no

acotada?

7.- ¿Puede una funcion integrable Riemann impropiamente en [0,+∞) cumplir

|f(x)| ≥ 1 para todo x ≥ 0? ¿Puede cumplir lo anterior si f es, ademas,

continua?


8.- Demostrar que, para cada α > 0, la integral Γ(α) :=∫ +∞

0 xα−1e−x dx

converge. Por tanto define una funcion Γ : (0,+∞) → R, denominada fun-

cion gamma de Euler–Gauss. Probar que Γ(1) = 1, que posee la ası deno-

minada “propiedad reproductiva” Γ(α + 1) = αΓ(α) (∀α > 0), y que Γ es

la generalizacion del factorial, en el sentido de que Γ(n+ 1) = n! para todo

n ∈ N0.

9.- Si p, q > 0, pruebese que la integral impropia∫ 1

0 tp−1(1− t)q−1 dt converge.

A la funcion

β : (p, q) ∈ (0,+∞)× (0,+∞) 7→∫ 1

0tp−1(1− t)q−1 dt ∈ R

se la llama funcion beta. Es posible demostrar la siguiente igualdad, valida

para todos los p, q > 0:

β(p, q) =Γ(p)Γ(q)

Γ(p+ q).

En particular, β(p, q) = β(q, p).

10.- (a) Considerando la serie∑∞

n=1(e/n)n, demostrar que la integral impropia∫∞0 ey/yy dy converge.

(b) Aplicando el criterio integral (Teorema 2.5.4) junto con un cambio de

variable adecuado y la parte (a), demostrar que la serie

∞∑n=2

1

(log n)logn

converge.

(c) Aplicando el criterio integral, probar que la serie

∞∑n=2

1

(log n)log(logn)

diverge. Indicacion: Utilizar el mismo cambio de variable que en la

parte (b), y demostrar directamente que la integral resultante diverge.

11.- Estudiar la convergencia, segun los valores de p ∈ R, de las integrales im-

propias

∫ ∞0

(arctanx)p

x(1 + x)2dx e

∫ ∞0

(arctanx)p log x

exx(1 + x2)dx.

12.- Se pueden definir, de modo analogo a las integrales impropias de Riemann,

integrales impropias de Riemann–Stieltjes. Si f, g : [a,+∞) → R, dar una

definicion adecuada de∫ +∞a f dg y calcular

∫ +∞0 e−x d[x].

Capıtulo 3

Sucesiones de funciones

En muchas ocasiones, las funciones que se manejan en problemas de la

vida real se construyen utilizando funciones elementales: polinomios, funcio-

nes exponenciales, funciones trigonometricas, inversas de todas ellas y combi-

naciones algebraicas y composicionales de las mismas. Para ellas, se estudian

las propiedades mas basicas, como son la continuidad y derivabilidad, ası co-

mo las tecnicas de derivacion e integracion, entre otras. Sin embargo, otros

problemas teoricos o practicos requieren definir las funciones como lımite de

otras. Esto hace necesario el estudio de como traspasar dichas propiedades a

traves del lımite. En este capıtulo, nos ocupamos de estudiar que propiedades

hereda la funcion lımite, y como ha de definirse este para que el comporta-

miento sea el mejor posible.

3.1. Convergencia puntual y convergencia uni-

forme

En primer lugar, vamos a fijar que entenderemos por una sucesion de

funciones.

37


Definicion 3.1.1. Sea A ⊂ R y F(A) := {funciones Af−→R}. Una sucesion

de funciones en A es una aplicacion ϕ : N → F(A). Si ϕ(n) = fn, deno-

taremos la sucesion de funciones por {fn}∞1 , {fn}n≥1, {fn} o simplemente

(fn).

Presentamos un primer concepto de lımite que no es mas que el de una

convergencia punto a punto.

Definicion 3.1.2. Sea (fn) una sucesion de funciones en A ⊂ R. Considere-

mos el conjunto B := {x ∈ A : ∃ lımn→∞ fn(x) ∈ R}. La funcion f : B → R

definida por f(x) = lımn→∞ fn(x) se denomina funcion lımite puntual de la

sucesion (fn) y se dice que (fn) converge puntualmente a f en B.

Tambien se dice que (fn) converge simplemente a f en B o que f es el

lımite simple de (fn) en B. Al conjunto B se le suele denominar campo de

convergencia o dominio de convergencia de la sucesion (fn).

Por ejemplo, la sucesion de funciones fn(x) :=x

1 + nx(n ≥ 1) definidas

sobre [0, 1] converge puntualmente a la funcion f ≡ 0 en [0, 1]. Y la sucesion

de funciones gn(x) := xn (n ≥ 1) tiene por lımite puntual en [0, 1] a la funcion

g(x) =

0 si x ∈ [0, 1)

1 si x = 1.

Notemos que en el segundo ejemplo cada funcion gn es continua pero

la funcion lımite puntual g no lo es. Por tanto, para que la funcion lımite

herede las buenas propiedades de las funciones de la sucesion, se necesita

definir una convergencia mas exigente, a saber, la convergencia uniforme,

que presentamos a continuacion.

Definicion 3.1.3. Sea (fn) una sucesion de funciones en A ⊂ R. Sean B ⊂ A

y f : B → R. Se dice que (fn) converge uniformemente, o tiende uniforme-

mente, a f en B, o que f es el lımite uniforme de (fn) en B cuando

∀ε > 0 ∃k = k(ε) ∈ N tal que |fn(x)− f(x)| < ε ∀n ≥ k y ∀x ∈ B.

SUCESIONES DE FUNCIONES 39

Observemos que el k de la definicion anterior depende de ε, pero no de

x. La interpretacion geometrica es la siguiente: la graficas en B de todas las

funciones fn se situan, a partir de la k-esima, en una banda de anchura 2ε

centrada en la grafica de f .

Es evidente que si (fn) converge a f uniformemente en un conjunto enton-

ces f es el lımite puntual de (fn) en dicho conjunto. Mostraremos mas abajo,

con un ejemplo, que la implicacion recıproca no es cierta. Por supuesto, la

funcion lımite puntual (y por tanto la funcion lımite uniforme) es unica, si

existe.

Notemos tambien el hecho –que, por cierto, ofrece un criterio muy practico

para descubrir convergencia uniforme– de que fn → f uniformemente en A

si y solo si Mn → 0, donde Mn := supx∈A |fn(x)− f(x)|.

Ejemplos 3.1.4. 1. La sucesion funcional fn(x) :=x

1 + nx(n ≥ 1; x ∈ [0, 1])

vista anteriormente converge uniformemente a la funcion 0 en [0, 1]. En efecto,

| x1+nx−0| = x

1+nx≤ 1

npara todo n y todo x ≥ 0. Fijado ε > 0, de ser 1/n→ 0

se deduce la existencia de k ∈ N tal que 1/n < ε para todo n ≥ k, luego

| x1+nx

− 0| < ε para todo x ∈ [0, 1] y para los mismos valores de n.

2. Sin embargo, la sucesion gn(x) := xn (n ≥ 1; x ∈ [0, 1]) no converge

uniformemente en [0, 1]. En efecto, si convergiera, lo harıa a su funcion lımite

puntual g vista anteriormente. Pero es claro que Mn := supx∈[0,1] |gn(x) −g(x)| ≥ supx∈[0,1) x

n = 1 para todo n ∈ N, luego Mn 6→ 0.

En el siguiente teorema, conocido como condicion de Cauchy, se da una

condicion equivalente a la convergencia uniforme de sucesiones funcionales.

Esta propiedad, que no tiene demasiada aplicacion practica, es muy util des-

de el punto de vista teorico, pues ayuda a descubrir convergencia uniforme

sin necesidad de conocer el posible lımite, ya que este no aparece en su for-

mulacion.


Teorema 3.1.5. Sea (fn) una sucesion de funciones en A ⊂ R. Son equiva-

lentes:

(a) (fn) tiende uniformemente a alguna funcion definida en A.

(b) ∀ε > 0 ∃k = k(ε) ∈ N tal que |fm(x)−fn(x)| < ε ∀m,n ≥ k y ∀x ∈ A.

Demostracion. Supongamos que fn → f uniformemente en A y que ε > 0.

Entonces existe k ∈ N tal que |fn(x) − f(x)| < ε/2 para todo n ≥ k y todo

x ∈ A. Si ahora m,n ≥ k y x ∈ A, de la desigualdad triangular se infiere que

|fm(x) − fn(x)| ≤ |fm(x) − f(x)| + |fn(x) − f(x)| < ε. Esto prueba que (a)

implica (b).

Para la implicacion recıproca, supongase que (b) es cierto. Si fijamos

x ∈ A, de la condicion de Cauchy para sucesiones numericas obtenemos que

existe un numero real αx tal que lımn→∞ fn(x) = αx. Definamos la funcion

f : A → R como f(x) = αx. Resta probar que fn → f uniformemente en

A. Para ello, fijemos ε > 0. Por hipotesis, podemos encontrar un k ∈ N tal

que |fn(x)− fm(x)| < ε/2 para todos los n,m ≥ k y todo x ∈ A. Si fijamos

n ≥ k y hacemos m→∞, resulta |fn(x)− f(x)| ≤ ε/2 < ε para todo x ∈ A,

y esto es (a), como querıamos. �

3.2. Algebra de sucesiones uniformemente con-

vergentes

En esta seccion estudiaremos el comportamiento del lımite uniforme

respecto de las operaciones algebraicas mas usuales. Para la suma, el resul-

tado es inmediato sin hipotesis adicionales. Para el producto y el cociente,

sera necesario el siguiente resultado tecnico (Proposicion 3.2.1), que es in-

teresante por sı mismo. La acotacion que expresa es necesaria para mantener

la convergencia uniforme en el producto.


Una sucesion de funciones (fn) definidas en un conjunto A ⊂ R se dice que

es uniformemente acotada en A cuando existe una constante M ∈ (0,+∞)

tal que |fn(x)| ≤M para todo x ∈ A y todo n ∈ N.

Proposicion 3.2.1. Una sucesion uniformemente convergente de funciones

acotadas en A ⊂ R, es uniformemente acotada en A. En tal caso, la funcion

lımite es asimismo acotada en A.

Demostracion. Supongamos que fn → f uniformemente en A y que, para

cada n ∈ N, existe una constante αn ∈ (0,+∞) tal que |fn(x)| ≤ αn para

todo x ∈ A. Dado ε = 1, existe segun el Teorema 3.1.5 un k ∈ N tal que

|fn(x)− fk(x)| < 1 para todo n ≥ k y todo x ∈ A, luego, por la desigualdad

triangular, |fn(x)| < 1 + |fk(x)| ≤ 1 + αk para los mismos valores de n y

x. En consecuencia, |fn(x)| ≤ M para todo x ∈ A y todo n ∈ N, donde

M := max{α1, . . . , αk−1, 1 + αk}. Ası que (fn) es uniformemente acotada.

Finalmente, como f es el lımite uniforme de (fn), dado ε = 1, existe m ∈ N

tal que |fm(x)− f(x)| < 1 para todo x ∈ A. De la desigualdad triangular se

deduce que |f(x)| < 1 + |fm(x)| ≤ 1 + αm para todo x ∈ A. Por tanto f es

acotada en A. �

Por ejemplo, sea A = (0, 1), f(x) ≡ 1/x y fn(x) =

1x

si 1n≤ x < 1

0 si 0 < x < 1n.

Entonces fn → f puntualmente en A y cada fn esta acotada, pero f no lo

esta. Por tanto fn 6→ f uniformemente en A.

Enunciamos ahora el teorema general sobre algebra de sucesiones.

Teorema 3.2.2. Sean (fn) y (gn) dos sucesiones de funciones definidas en

un mismo subconjunto A ⊂ R, tales que fn → f y gn → g uniformemente

en A. Se verifica:

(a) La sucesion (fn + gn) tiende a f + g uniformemente en A.


(b) Si cada funcion fn y cada funcion gn es acotada en A entonces la su-

cesion producto (fn · gn) tiende a f · g uniformemente en A.

(c) Supongamos que cada funcion fn es acotada, que gn(x) 6= 0 para todo

n ∈ N y todo x ∈ A, y que existe α ∈ (0,+∞) tal que |g(x)| ≥ α para

todo x ∈ A. Entonces la sucesion cociente (fn/gn) tiende uniforme-

mente a f/g en A.

Demostracion. El apartado (a) es inmediato a partir de las definiciones y de

la propiedad triangular. Supongamos pues que estamos en las hipotesis de

(b). Entonces fn → f y gn → g uniformemente en A y, por la proposicion

anterior, existe M ∈ (0,+∞) tal que |fn(x)| ≤M , |gn(x)| ≤M , |f(x)| ≤M

y |g(x)| ≤M para todo x ∈ A y todo n ∈ N. Observemos ahora que

|fn(x)gn(x)− f(x)g(x)| = |fn(x)(gn(x)− g(x)) + g(x)(fn(x)− f(x))|

≤ |fn(x)(gn(x)− g(x))|+ |g(x)(fn(x)− f(x))|

≤M |fn(x)− f(x)|+M |gn(x)− g(x)|.

Dado ε > 0, podemos encontrar k ∈ N tal que |fn(x) − f(x)| < ε/(2M) y

|gn(x)−g(x)| < ε/(2M) para todo n ≥ k y todo x ∈ A. Ası que |fn(x)gn(x)−f(x)g(x)| < ε para los mismos valores de n y x. Esto prueba (b).

Demostremos (c), que es el caso del cociente. Observemos que se deriva

del caso del producto sin mas que probar que cada funcion 1/gn esta acotada

a partir de cierto numero natural y que 1/gn → 1/g uniformemente en A.

Para lo primero, como gn → g uniformemente en A, existe m ∈ N que

satisface |gn(x)− g(x)| < α/2 para todo x ∈ A y todo n ≥ m. Se deduce que

|gn(x)| ≥ |g(x)| − |gn(x) − g(x)| > α − α/2 = α/2, luego |1/gn(x)| < 2/α

para los mismos valores de n y x. En cuanto a la convergencia uniforme de

(1/gn), notemos que∣∣ 1

gn(x)− 1

g(x)

∣∣ =|gn(x)− g(x)||gn(x)||g(x)|

≤ 2

α2|gn(x)− g(x)|


para todo n ≥ m y todo x ∈ A, de donde se deduce facilmente lo que se

quiere. �

Por ejemplo, si A = (0, 1), fn(x) ≡ 1/n, gn(x) ≡ 1/x, f(x) ≡ 0 y g(x) ≡1/x, entonces fn → f y gn → g uniformemente en A, pero (fngn) no tiende a

fg uniformemente en A. En efecto, fg ≡ 0 y supx∈A |fn(x)gn(x)−f(x)g(x)| =sup0<x<1

1nx

= +∞ para todo n, luego es imposible que este supremo tienda

a 0 cuando n→∞.

3.3. Convergencia uniforme, continuidad y de-

rivabilidad

El concepto de lımite uniforme persigue poder traspasar propiedades de

regularidad de las funciones que integran la sucesion a la funcion lımite. Ya se

ha visto un ejemplo en la acotacion (Proposicion 3.2.1). Tambien ocurre con la

continuidad, como se establece en el siguiente teorema. Para la derivabilidad,

se debera exigir algo mas.

Teorema 3.3.1. Supongamos que fn → f uniformemente en A ⊂ R, y que

x0 ∈ A. Si cada funcion fn es continua en x0, entonces f es continua en x0.

En particular, si cada fn es continua en A, entonces f es continua en A.

Demostracion. Fijemos ε > 0. Por hipotesis, existe k ∈ N tal que |fk(x) −f(x)| < ε/3 para todo x ∈ A. En particular, |fk(x0)−f(x0)| < ε/3. Ya que fk

es continua en x0, podemos encontrar un δ > 0 de modo que |fk(x)−fk(x0)| <ε/3 siempre que x ∈ A∩(x0−δ, x0 +δ). Usando estos hechos y la desigualdad

triangular |f(x)−f(x0)| ≤ |fk(x)−f(x)|+ |fk(x)−fk(x0)|+ |fk(x0)−f(x0)|,obtenemos que si x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ) entonces |f(x)− f(x0)| < ε. Esto

muestra la continuidad de f en x0. �


Por ejemplo, ya sabemos que la sucesion fn(x) = xn tiende puntualmente

en [0, 1] a la funcion que vale 0 en [0, 1) y 1 en el punto 1. Ya que esta funcion

no es continua en [0, 1] pero cada fn sı lo es, se deduce que la convergencia

no es uniforme.

Para la propiedad de derivacion, es necesario reforzar las hipotesis. Sera ne-

cesario exigir que la sucesion de derivadas sea uniformemente convergente.

Esto, junto con la convergencia de la sucesion en un solo punto, implica la

convergencia uniforme de la sucesion. Esto es, la hipotesis de convergencia

para las derivadas implica la de la propia sucesion. Las derivadas en los ex-

tremos a y b se entiende que son las laterales f ′+(a) y f ′−(b).

Teorema 3.3.2. Sea fn : [a, b] → R (n ≥ 1) una sucesion de funciones

derivables tales que:

(a) (f ′n) converge uniformemente en [a, b] a cierta funcion g y

(b) existe x0 ∈ [a, b] de modo que la sucesion numerica (fn(x0)) converge.

Entonces existe una funcion f : [a, b]→ R tal que fn → f uniformemente en

[a, b], f es derivable en [a, b] y f ′(x) = g(x) para todo x ∈ [a, b].

Demostracion. Supongamos que c ∈ [a, b] y definamos una nueva sucesion

(gn) como sigue:

gn(x) =

fn(x)−fn(c)

x−c si x 6= c

f ′n(c) si x = c.

La sucesion ası formada depende del punto c. Ya que gn(c) = f ′n(c), la suce-

sion (gn(c)) es convergente. Vamos a demostrar que, de hecho, (gn) converge

uniformemente en [a, b]. Si m,n ∈ N y x 6= c, tenemos

gm(x)− gn(x) =h(x)− h(c)

x− c,


donde h(x) := fm(x) − fn(x). Aplicando a h el teorema del valor medio,

obtenemos

gm(x)− gn(x) = f ′m(x1)− f ′n(x1), [1]

donde x1 esta comprendido entre x y c. Por hipotesis, (f ′n) converge uniforme-

mente. Gracias a [1] y a la condicion de Cauchy (Teorema 3.1.5), obtenemos

que (gn) converge uniformemente en [a, b].

Probemos que (fn) converge uniformemente en [a, b]. Formemos la su-

cesion particular (gm) que resulta haciendo c = x0. Por definicion de gn,

tenemos

fm(x)− fn(x) = fm(x0)− fn(x0) + (x− x0)(gm(x)− gn(x))

para todo x ∈ [a, b]. Esta igualdad, con el auxilio de la condicion de Cauchy,

establece la convergencia uniforme de (fn) en [a, b] a cierta funcion f .

Para demostrar el resto, volvamos a la sucesion (gn) definida al principio

para un punto arbitrario c ∈ [a, b]. Sea G(x) := lımn→∞ gn(x). Como f ′n

existe, tenemos que lımx→c gn(x) = gn(c) para cada n. En otras palabras,

cada gn es continua en c. Ya que gn → G uniformemente en [a, b], la funcion

G es tambien continua en c. Esto significa que

∃ lımx→c

G(x) = G(c). [2]

Pero para x 6= c tenemos

G(x) = lımn→∞

gn(x) = lımn→∞

fn(x)− fn(c)

x− c=f(x)− f(c)

x− c.

Luego [2] establece que la derivada f ′(c) existe y coincide con G(c). Ahora

bien, G(c) = lımn→∞ gn(c) = lımn→∞ f′n(c) = g(c) y, por tanto, f ′(c) = g(c).

Puesto que c es arbitrario, el teorema queda demostrado. �

Ejemplo 3.3.3. La sucesion funcional fn : [−1, 1] → R (n ≥ 1) dada por

fn(x) = 0 si x ≤ 0 y fn(x) = x1+ 1n si x > 0 esta formada por funciones deri-

vables y converge uniformemente en [−1, 1] a la funcion f dada por f(x) = 0


si x ≤ 0 y f(x) = x si x > 0, pero la funcion f no es derivable en el 0. Los

detalles se dejan como ejercicio.

3.4. Convergencia uniforme e integracion

La integrabilidad se propaga a traves del lımite uniforme, como muestra

el siguiente resultado.

Teorema 3.4.1. Si fn → f uniformemente en [a, b] y cada fn ∈ R[a, b],

entonces f ∈ R[a, b] y

lımn→∞

∫ b

a

fn(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx.

Demostracion. Llamemos gn := f − fn para cada n ∈ N. Entonces gn → 0

uniformemente en [a, b]. Dado ε > 0, existe m ∈ N tal que

|gn(x)| < ε

4(b− a)para todo x ∈ [a, b] y todo n ≥ m. [3]

Ademas, por la convergencia uniforme y por estar cada fn acotada en [a, b],

f tambien esta acotada en [a, b] (Teorema 3.2.1). Como fm es integrable-

Riemann, por el Teorema 1.6.1 podemos encontrar una particion P de [a, b]

tal que U(fm, P ) − L(fm, P ) < ε/2. Por otra parte, es facil ver a partir de

las definiciones y de [3] que U(gm, P ) < ε/4 y L(gm, P ) > −ε/4. Asimismo,

se tienen las desigualdades elementales U(F +G,P ) ≤ U(F, P ) +U(G,P ) y

L(F +G,P ) ≥ L(F, P ) + L(G,P ). Ya que f = fm + gm, se deduce que

U(f, P )−L(f, P ) ≤ U(fm, P )−L(fm, P )+U(gm, P )−L(gm, P ) <ε

2+ε

4+ε

4= ε.

De acuerdo con el Teorema 1.6.1, f ∈ R[a, b].

En cuanto al lımite del enunciado, observemos que gracias a [3] y a la

conocida desigualdad∣∣ ∫ b

aF∣∣ ≤ ∫ b

a|F |, se obtiene∣∣∣∣∫ b

a

fn −∫ b

a

f

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|gn| ≤ε

4(b− a)· (b− a) < ε


para todo n ≥ m. Esto prueba la igualdad deseada. �

Ejemplos 3.4.2. 1. En el Teorema 3.4.1, la convergencia uniforme es sufi-

ciente, pero no es necesaria. Para ilustrarlo, consideremos la sucesion fn(x) =

nx(1−x)n (n ∈ N, x ∈ [0, 1]). Entonces (fn) converge puntualmente en [0, 1] a

la funcion f ≡ 0, pero no uniformemente. No obstante, se verifica la igualdad

del teorema anterior. La comprobacion se deja como ejercicio.

2. Demos un ejemplo para el que no es cierto el enunciado del teorema ante-

rior cuando las integrales de Riemann se sustituyen por integrales impropias.

Sea gn(x) = nn2+x2

(n ∈ N, x ∈ [0,+∞)). Se tiene que gn → 0 uniformemen-

te en [0,+∞). Pero lımn→∞∫∞

0gn(x) dx = lımn→∞ lımT→+∞[arctan(T/n)−

arctan 0] = lımn→∞ π/2 = π/2 6= 0 =∫∞

00 dx.

Ejercicios

1.- Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de

funciones:

(a) fn(x) =x

nx+ 1en [0, 1].

(b) fn(x) = n√x en [0, 1].

(c) fn(x) = (1− x)n en [0, 1].

(d) fn(x) = ınf{n, 1/x} en (0,+∞).

(e) fn(x) =1 + x log x

nx+ xen (0,+∞).

(f) fn(x) =1− xn

1 + xnen (0,+∞).

(g) fn(x) = max{x− n, 0} en R.

(h) fn(x) =log(x+ n)

nexen [0,+∞).

2.- Comprobar que la sucesion (fn) converge en todo R pero que lımn→∞ f′n(x) 6=

(lımn→∞ fn(x))′ en los siguientes casos:


(a) fn(x) =1√n

sen (nx).

(b) fn(x) =x

1 + nx2.

3.- Comprobar, con las sucesiones de funciones siguientes, que el hecho de que

(fn) converja uniformente a f en [a, b] no es condicion necesaria para que

lımn→∞∫ ba fn =

∫ ba f :

(a) fn(x) =1

1 + n2x2en [0, 1] (b) fn(x) =

1 + nx2

1 + nxen [0, 1].

4.- Consideremos la sucesion de funciones fn : R→ R dada por fn(x) = x2n

1+x2n.

(a) Estudiar su convergencia puntual.

(b) Dados a y b con 0 < b < 1 < a, estudiar su convergencia uniforme

en cada uno de los subconjuntos [1,+∞), (1,+∞), [a,+∞), [−b, b],

[a,+∞) ∪ [−b, b].

5.- Probar que toda funcion continua en [0, 1] es lımite uniforme de una sucesion

de poligonales (funciones continuas lineales a trozos). ¿Ocurre lo mismo con

la funcion f(x) = 1/x en (0, 1)?

6.- Demostrar el teorema de convergencia uniforme de Dini: Sean A ⊂ R un

subconjunto compacto y fn : A → R (n ∈ N) una sucesion de funcio-

nes continuas convergente puntualmente en A a cierta funcion continua f .

Si fn(x) ≤ fn+1(x) para todo x ∈ A y todo n ∈ N, entonces fn −→ f

uniformemente en A.

7.- Supongamos que fn → f uniformemente en un conjunto A ⊂ R, y que g :

R→ R es una funcion uniformemente continua. Pruebese que g ◦ fn → g ◦ f

uniformemente en A.

8.- Dar una demostracion mas simple del Teorema de convergencia uniforme y

derivacion reforzando la hipotesis de derivabilidad de cada fn a la hipotesis

de ser fn ∈ C1([a, b]) para todo n. Indicacion: definir f : [a, b] → R como

f(x) = α+∫ xx0g(t) dt, donde α = lımn→∞ fn(x0).

Capıtulo 4

Series de funciones

En el presente capıtulo estudiaremos las series de funciones. El concepto

de serie de funciones se basa en la sucesion de sumas parciales asociada a una

sucesion de funciones dadas. En la primera seccion definiremos los conceptos

de convergencia puntual y uniforme de una serie de funciones. A continua-

cion, y basandonos en los resultados del capıtulo anterior, analizaremos la

continuidad, derivabilidad e integrabilidad de la funcion lımite. Finalizaremos

el capıtulo con el criterio de Weierstrass, que resultara un instrumento de gran

aplicacion practica a la hora de poder asegurar que una serie de funciones

converge uniformemente.

4.1. Definiciones: sumas puntual y uniforme

Reunimos en la siguiente definicion los conceptos de serie de funciones,

convergencia puntual y convergencia uniforme.

Definicion 4.1.1. Sea (fn) una sucesion de funciones definidas en un con-

junto A ⊂ R.

(a) Llamaremos serie de funciones de termino general fn a la sucesion de

49


funciones formada por las sumas parciales sn(x) := f1(x) + · · ·+ fn(x).

Se denota por∑∞

n=1 fn,∑

n fn o∑fn.

(b) Se dice que la serie∑fn converge puntualmente o converge simple-

mente a una funcion f : A→ R cuando la sucesion de sumas parciales

asociada (sn) converge a f puntualmente en A. En tal caso, diremos

que f es la suma puntual de∑fn y se denotara

∑fn = f .

(c) Se dice que la serie∑fn converge uniformemente a una funcion f :

A→ R cuando la sucesion de sumas parciales asociada (sn) converge a

f uniformemente en A. En tal caso, diremos que f es la suma uniforme

de∑fn y se denotara

∑fn = f uniformemente en A.

Es obvio que la convergencia uniforme de una serie funcional a una funcion

implica su convergencia puntual a la misma funcion. El recıproco es falso en

general.

Ejemplo 4.1.2. Consideremos la serie funcional∑

n fn en A = R, donde

fn(x) = nx2

n3+x2. Para todo x ∈ R tenemos |fn(x)| ≤ x2/n2. De la convergencia

de∑

1/n2, del criterio de comparacion y del criterio de convergencia absoluta

(ver Capıtulo 1) resulta que∑

n fn converge puntualmente en R. Sin embargo,

no converge uniformemente en R (ver seccion 4.3).

4.2. Relacion con la continuidad, derivacion

e integracion

La demostracion de los siguientes resultados se basa en los teoremas

analogos probados en el tema anterior, sustituyendo la sucesion de funciones

por la sucesion de sumas parciales asociada a la serie de funciones. Por tal

motivo, las pruebas seran omitidas.

SERIES DE FUNCIONES 51

Teorema 4.2.1. [Convergencia uniforme de series y continuidad]

Supongamos que∑

n fn = f uniformemente en A ⊂ R, y que x0 ∈ A. Si cada

funcion fn es continua en x0, entonces f es continua en x0. En particular,

si cada fn es continua en A, entonces f es continua en A.

Teorema 4.2.2. [Convergencia uniforme de series e integracion]

Si∑

n fn = f uniformemente en un intervalo [a, b] ⊂ R y cada fn ∈ R[a, b],

entonces f ∈ R[a, b] y ∑n

∫ b

a

fn(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx.

Teorema 4.2.3. [Convergencia uniforme de series y derivacion]

Sea fn : [a, b]→ R (n ≥ 1) una sucesion de funciones derivables tales que:

(a)∑

n f′n converge uniformemente en [a, b] a cierta funcion g y

(b) existe x0 ∈ [a, b] de modo que la serie numerica∑

n fn(x0) converge.

Entonces existe una funcion f : [a, b]→ R tal que∑

n fn = f uniformemente

en [a, b], f es derivable en [a, b] y f ′(x) = g(x) para todo x ∈ [a, b].

Los teoremas anteriores expresan que, bajo las hipotesis adecuadas, se

puede intercambiar la operacion de suma infinita con la de, respectivamente,

tomar lımite cuando x→ x0, integrar en [a, b] y tomar derivadas.

4.3. Criterios de convergencia uniforme

En esta seccion estudiaremos condiciones necesarias y suficientes que

nos permitan asegurar la convergencia uniforme de una serie de funciones sin

tener conocimiento del valor de la funcion lımite.

Teorema 4.3.1. [Condicion de Cauchy de convergencia uniforme de series

de funciones] Sea (fn) una sucesion de funciones en A ⊂ R. Son equivalentes:


(a)∑

n fn tiende uniformemente en A a alguna funcion definida en A.

(b) Para cada ε > 0 existe k = k(ε) ∈ N tal que∣∣∑m

j=n+1 fj(x)∣∣ < ε

para todos los m,n ∈ N con m > n ≥ k y todo x ∈ A.

Demostracion. Simplemente aplicar la condicion de Cauchy de convergencia

uniforme de sucesiones funcionales (Teorema 3.1.5) a la sucesion de sumas

parciales de (fn). �

Una sencilla, pero util, condicion necesaria de convergencia uniforme de

series resulta como consecuencia del resultado anterior, sin mas que hacer

m = n+ 1 en la propiedad (b). La exponemos a continuacion.

Corolario 4.3.2. Si∑fn converge uniformemente en A ⊂ R entonces

fn → 0 uniformemente en A.

Como ilustracion, la serie del Ejemplo 4.1.2 no converge uniformemente

en R, ya que supx∈R |fn(x) − 0| ≥ |fn(n)| = n3

n3+n2 −→n→∞

1 6= 0, luego fn 6→ 0

uniformemente en R.

La condicion de Cauchy es la clave para la demostracion del siguiente

resultado, con el que cerramos el tema, conocido como criterio mayorante de

Weierstrass para la convergencia uniforme, o criterio M de Weierstrass, que

tiene gran aplicacion practica.

Teorema 4.3.3. Sea∑

n fn una serie de funciones definida en un conjunto

A ⊂ R. Supongamos que existe una sucesion (an) ⊂ (0,+∞) tal que la serie

numerica∑

n an es convergente y |fn(x)| ≤ an para todo n ∈ N y todo

x ∈ A. Entonces∑

n fn converge uniformemente en A.

Demostracion. Fijemos ε > 0. Por la condicion de Cauchy de convergencia de

series numericas, podemos encontrar k ∈ N tal que∑m

j=n+1 aj < ε para todos

los m,n ∈ N con m > n ≥ k. Por la desigualdad triangular y la hipotesis


de mayoracion, tenemos que∣∣∑m

j=n+1 fj(x)∣∣ ≤∑m

j=n+1 aj < ε. Basta aplicar

ahora el Teorema 4.3.1. �

Ejemplo 4.3.4. Hemos visto que la serie de funciones∑∞

n=1nx2

n3+x2, si bien

converge puntualmente en R, no lo hace uniformemente. Sin embargo, es

uniformemente convergente en cada intervalo [0, a] con a > 0. En efecto, si

llamamos fn(x) al termino general de nuestra serie y an := a2/n2, resulta que

|fn(x)| ≤ an para todo n ∈ N y todo x ∈ [0, a]. Ya que∑

1/n2 converge,

podemos aplicar el criterio M de Weierstrass.

Ejercicios

1.- Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes series de fun-

ciones∑fn:

(a) fn(x) =1 · 3 · · · (2n− 3)

2nn!(1− x)n en [0, 1] y [−1, 1].

(b) fn(x) =1

(1 + x)nen [a,+∞), donde a > 0.

(c) fn(x) =nx2

n3 + x3en [0, a], donde a > 0.

(d) fn(x) = 3n2xn

2en R, en (−1/3, 1/3) y en [0, 1/4].

2.- Sea la sucesion (fn) definida en [0, π] como fn(x) =senx

(1 + senx)n.

(a) Estudiar la convergencia puntual de la serie∑∞

n=0 fn(x) y sumarla

cuando sea convergente.

(b) Probar que si 0 < a < π/2 la convergencia es uniforme en [a, π − a].

(c) ¿Es uniforme la convergencia en [0, π]? ¿Y en (0, π/2)?

3.- Sea A ⊂ R, y supongamos que (fn) es una sucesion de funciones tal que

fn → 0 uniformemente en A. Supongamos que fn(x) ≥ fn+1(x) para todo

x ∈ A y todo n ∈ N. Estudiar si la serie∑∞

n=1(−1)n+1fn(x) converge

uniformemente en A.


4.- Justifıquese que la serie de funciones∞∑n=1

x2

(1 + x2)nconverge puntualmente

en todo R, que converge uniformemente en cada intervalo [a,+∞) (a > 0)

y que, en cada intervalo [0, a] (a > 0), no hay convergencia uniforme.

5.- Consideremos la sucesion de funciones (fn) definidas en [0, π] como fn(x) =

senx (cosx)n para cada n ∈ N0.

(a) Demostrar que fn → 0 uniformemente en [0, π].

(b) Comprobar que la serie∑∞

n=0 fn(x) es puntualmente convergente y

calcular su suma.

(c) Estudiar la convergencia uniforme de la serie en [a, π/2], donde 0 ≤

a < π/2, y en [π/2, π].

6.- Sea la sucesion de funciones fn(x) = (1− x2)x3n.

(a) Probar que fn → 0 uniformemente en [−1, 1].

(b) Estudiar la convergencia puntual de la serie∑∞

n=1 fn(x) en R. Calcular

su suma en el caso de convergencia.

(c) Estudiar la convergencia uniforme en [0, a], [0, 1] y [−1, 0], siendo 0 <

a < 1.

7.- Sea fn(x) =e−nx

n2 + 1. Demostrar:

(a)∑∞

n=1 fn(x) converge si y solo si x ∈ [0,+∞).

(b) Si se define f(x) :=∑∞

n=1 fn(x), demostrar que f es continua en

[0,+∞).

(c) f es derivable en (0,+∞).

(d) f no es derivable en 0.

8.- Estudiar la convergencia de las siguientes series y sumarlas donde converjan:

(a)

∞∑n=1

xn

n.


(b)∞∑n=2

(cosx)2n

2n− 2.

(c)∞∑n=2

(x− 1)nx

n2 − n.

Indicacion: utilizar adecuadamente el teorema de derivacion y convergencia

uniforme.

9.- Consideremos la sucesion de funciones fn(x) =ex − 1

enx(n ≥ 0).

(a) Probar que∑∞

n=0 fn converge puntualmente en [0, 1]. ¿Es uniforme la

convergencia?

(b) Calcular, si convergen, la suma de las series∑∞

n=0

∫ 11/2 fn y

∑∞n=0

∫ 10 fn.

10.- (a) Se llama serie de Dirichlet a una serie de funciones de la forma∑∞

n=1annx ,

donde {an}∞1 ⊂ R \ {0}. Recordar que αβ := eβ logα. Demostrar que,

si existe L := lımn→∞log |an|logn ∈ R, entonces la serie de Dirichlet define

una funcion continua en el intervalo (1 + L,+∞).

(b) Probar que la serie funcional∑∞

n=11nx define una funcion continua

ζ(x) en (1,+∞), la cual se denomina funcion zeta de Riemann. De-

mostrar que, para cada x > 1, se tiene que

1

ζ(x)= lım

n→∞

n∏k=1

(1− p−xk ),

donde (pn) es la sucesion creciente de los numeros naturales primos, es

decir, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, . . . .

11.- Demostrar el siguiente resultado. Consideremos la serie funcional∑fngn,

donde fn, gn : A ⊂ R→ R. Sea (Fn) la sucesion de sumas parciales de (fn).

Se tiene:

(a) Criterio de Dirichlet de convergencia uniforme de series: Si (Fn) esta uni-

formemente acotada en A, gn+1(x) ≤ gn(x) para cada x ∈ A y cada

n ∈ N, y gn → 0 uniformemente en A, entonces∑fngn converge

uniformemente en A.


(b) Criterio de Abel de convergencia uniforme de series: Si∑fn converge

uniformemente en A hacia una funcion acotada, las gn son uniforme-

mente convergentes en A a una funcion acotada y, o bien gn(x) ≤

gn+1(x) (x ∈ A, n ∈ N) o bien gn(x) ≥ gn+1(x) (x ∈ A, n ∈ N),

entonces∑fngn converge uniformemente en A.

Indicacion: Usar la siguiente formula de sumacion de Abel, la cual se de-

muestra por induccion. Sean a1, . . . , an, b1, . . . , bn+1 ∈ R y denotemos An =∑nk=1 ak. Entonces

n∑k=1

akbk = Anbn+1 −n∑k=1

Ak(bk+1 − bk).

Capıtulo 5

Series de potencias

En este capıtulo estudiaremos las series de potencias, que son un caso

particular muy importante de series de funciones. Comenzaremos compro-

bando que la convergencia puntual y la convergencia uniforme de una serie

de potencias dependen exclusivamente del radio de convergencia, el cual se

obtiene a traves del calculo de un cierto lımite. En la segunda seccion estudia-

remos la continuidad, integrabilidad y derivabilidad de la funcion lımite de

una serie de potencias definida en el intervalo de convergencia. Analizaremos

el comportamiento en la frontera del intervalo de convergencia mediante el

criterio de Abel y finalizaremos el tema definiendo las funciones analıticas.

Veremos condiciones suficientes que garanticen que una funcion infinitamen-

te derivable es analıtica y obtendremos la expresion en serie de potencias de

diversas funciones conocidas.

5.1. Radio e intervalo de convergencia de una

serie de potencias

Las series de potencias constituyen el ejemplo mas sencillo y quiza mas

57


importante dentro de las series funcionales. Tras la definicion, vamos a ver

que su dominio de convergencia es un intervalo de la recta real. Este intervalo

se puede determinar a partir de los coeficientes de la serie.

Definicion 5.1.1. Una serie de potencias (SP) es una serie de funciones del

tipo∑∞

n=0 an(x−a)n = a0 +a1(x−a)+a2(x−a)2 + · · · , donde an ∈ R para

todo n = 0, 1, 2, . . . . El punto a se dice que es el centro de la SP, mientras

que los numeros an se conocen como los coeficientes de la serie.

Por tanto, el termino n-esimo de una serie de potencias es un monomio

de grado n o es nulo. Las siguientes series de funciones son ejemplos de series

de potencias:∞∑n=0

xn

n!,∞∑n=1

(−1)nxn

n,∞∑n=1

1

n2(x− 1)n.

Teorema 5.1.2. [Formula de Cauchy–Hadamard] Sea∑∞

n=0 an(x−a)n una

serie de potencias centrada en a, y sea λ = lım supn→∞n√|an|. Denotemos

R := 1/λ, si se entiende esta expresion en la recta real extendida, de modo

que R = 0 si λ = +∞ y R = +∞ si λ = 0. Se verifica:

(a) Si 0 < R < +∞, la SP es absolutamente convergente en cada punto

del intervalo abierto (a − R, a + R), y no converge en ningun punto x

con |x−a| > R. Ademas, la serie converge uniformemente en cualquier

subconjunto compacto de (a−R, a+R).

(b) Si R = +∞, la SP es absolutamente convergente en cada punto de R,

y converge uniformemente en cualquier subconjunto compacto de R.

(c) Si R = 0 la SP solo converge en el punto a.

Se llama intervalo de convergencia de la SP al conjunto (a− R, a + R),

a R o a {a}, segun que, respectivamente, se de el caso (a), (b) o (c). El

numero R ∈ [0,+∞] definido en el teorema anterior se denomina radio de

convergencia de la SP. Es evidente que, si I es el intervalo de convergencia

de una SP y D es su dominio de convergencia, entonces I ⊂ D ⊂ I.

SERIES DE POTENCIAS 59

Demostracion del Teorema 5.1.2. Probaremos solo (a) [los apartados (b)

y (c) son mas faciles y se demuestran de modo analogo]. Sea pues 0 <

R < +∞ y fijemos un punto x ∈ (a − R, a + R). Entonces |x − a| < R

y lım supn→∞n√|an| = 1

R< 1

|x−a| . Elijamos cualquier α con 1R< α <

1|x−a| . Por definicion de lımite superior, podemos encontrar n0 ∈ N tal que

n√|an| ≤ α para todo n ≥ n0. Luego, para los mismos valores de n, se tie-

ne |an(x − a)n| ≤ (α|x − a|)n. Ya que α|x − a| < 1, la serie geometrica∑n(α|x − a|)n es convergente. Por el criterio de comparacion (ver Capıtulo

1), la serie∑

n |an(x − a)n| es tambien convergente, como se requerıa. Sea

ahora x tal que |x − a| > R. Por definicion de lımite superior, existe una

sucesion {n1 < n2 < · · · < nk < · · · } ⊂ N de modo que 1|x−a| < |ank |

1/nk ,

para todo k. Por tanto

|ank(x− a)nk | > 1 para todo k ∈ N.

Se deduce que la sucesion {an(x − a)n} tiene una sucesion parcial que no

tiende a 0, luego ella misma no tiende a 0. Por la condicion necesaria de

convergencia de series,∑∞

n=0 an(x− a)n no converge.

Por ultimo, fijemos un compacto K ⊂ (a − R, a + R). Entonces K es

acotado y cerrado, luego su ınfimo y su supremo estan en K, ası que estan

en (a − R, a + R). En consecuencia, existe un intervalo cerrado J con K ⊂J ⊂ (a − R, a + R). Es claro que podemos suponer que J = [a − r, a + r]

para algun r ∈ (0, R). Por lo ya demostrado, la SP converge absolutamente

en el punto a + r, es decir, la serie∑∞

n=0 |an|rn es convergente. Esta es una

serie numerica de terminos positivos que cumple |an(x − a)n| ≤ |an|rn para

todo x ∈ J y todo n ∈ N. Por el criterio M de Weierstrass (Teorema 4.3.3),

nuestra SP es uniformemente convergente en J , y por tanto en K. 2

El resultado anterior no afirma nada sobre el comportamiento de la se-

rie en los extremos del intervalo de convergencia. Por ejemplo, las series de


potencias∞∑n=1

xn

n2,

∞∑n=1

(−1)nxn

n,

∞∑n=0

xn

tienen radio de convergencia R = 1 y las tres presentan comportamientos

distintos en los extremos del intervalo de convergencia, es decir, en los puntos

±1.

A continuacion, damos una variante de la formula de Hadamard que es

util en muchos casos.

Proposicion 5.1.3. Sea∑∞

n=0 an(x−a)n una SP. El radio de convergencia

de esta serie viene dado por R = lımn→∞

∣∣ anan+1

∣∣, siempre que exista este lımite.

Demostracion. Como R es el unico numero de [0,+∞] tal que la serie con-

verge siempre que |x− a| < R y no converge siempre que |x− a| > R, basta

probar que, si α := lımn→∞∣∣ anan+1

∣∣, entonces α goza de la misma propiedad.

Pues bien, si x es tal que |x− a| < α, tenemos que lımn→∞|an+1||x−a|n+1

|an||x−a|n < 1.

Por el criterio del cociente (ver Capıtulo 1), la serie∑∞

n=0 an(x− a)n es ab-

solutamente convergente, luego es convergente. Por ultimo, si |x− a| > α, se

tiene que existe n0 ∈ N tal que |x− a| ≥∣∣ anan+1

∣∣ para todo n ≥ n0, de donde

se deduce que la sucesion {|an(x − a)n|}n≥n0 es creciente, luego no tiende a

0. Pero entonces el termino general de nuestra SP tampoco tiende a 0 en el

punto x, ası que, por la condicion necesaria de convergencia (ver Capıtulo

1), la SP no converge en dicho punto x. �

Nota 5.1.4. Se pueden considerar series de potencias en el plano complejo,

es decir, series de funciones de la forma∑∞

n=0 an(z − a)n, donde (an) ⊂ C y

a ∈ C. En este caso la serie converge puntualmente en el disco de convergencia

{z ∈ C : |z − a| < R} [donde la convergencia es incluso absoluta; recordar

que el valor absoluto o modulo de un numero complejo z = x+ iy viene dado

por |z| = (x2 + y2)1/2] y, para cada r ∈ (0, R), converge uniformemente en el


disco {z ∈ C : |z − a| < r}. Aquı R es el radio de convergencia dado por la

formula de Cauchy–Hadamard. Si |z − a| > R, la SP no converge.

5.2. Continuidad, derivabilidad e integrabili-

dad de series de potencias

Consideremos una serie de potencias∑∞

n=0 an(x − a)n con radio de

convergencia R > 0. Definimos la funcion suma de la SP como

x ∈ I 7→ f(x) =∞∑n=0

an(x− a)n ∈ R.

Se entiende que I = (a − R, a + R) si R < +∞ e I = R si R = +∞. El

siguiente resultado nos dice que esta funcion es continua, derivable y tiene

primitiva en su intervalo de convergencia, y que se puede derivar e integrar

termino a termino dentro de dicho intervalo.

Teorema 5.2.1. Sea f la funcion suma de la SP∑∞

n=0 an(x − a)n en el

intervalo de convergencia I. Se verifica:

(a) La funcion f es continua en I.

(b) El intervalo de convergencia de la SP∑∞

n=0(n+1)an+1(x−a)n coincide

con I, la funcion f es derivable en I y f ′(x) =∑∞

n=0(n+1)an+1(x−a)n

para todo x ∈ I. Es decir, la SP se puede derivar termino a termino.

(c) El intervalo de convergencia de la SP∑∞

n=0ann+1

(x − a)n+1 coincide

con I y la funcion g que define es una primitiva de f en I. En

particular,∫ xaf(t) dt = g(x) para todo x ∈ I, es decir, la SP se puede

integrar termino a termino en I.

Demostracion. Recordemos que el radio de convergencia de la SP original

viene dado por R = 1/ lım supn→∞ |an|1/n. Llamemos R1, R2 a los radios de


convergencia respectivos de las series que aparacen en (b) y (c), es decir, a

las series formales que resultan de derivar e integrar termino a termino la SP

original. Por la formula de Hadamard,

R1 =1

lım supn→∞[((n+ 1)|an+1|)1

n+1 ]n+1n

y R2 =1

lım supn→∞[(n−1|an−1|)1

n−1 ]n−1n

.

Teniendo en cuenta que las cuatro sucesiones {(n+1)1

n+1}, {n+1n}, {(n−1)

1n−1}

y {n−1n} tienden a 1, resulta que R1 = R = R2 y por tanto los intervalos de

convergencia de las tres series son el mismo, I. De acuerdo con el Teorema

5.1.2, las tres series convergen uniformemente en cada intervalo [a− r, a+ r]

con 0 < r < R. En particular, ya que cada monomio an(x−a)n es una funcion

continua, del Teorema 4.2.1 se deduce la continuidad de f en [a − r, a + r].

Como esto es cierto para todo r ∈ (0, R) y cada punto x ∈ I es interior a

alguno de estos intervalos, concluimos que f es continua en I [recordemos

que la continuidad, al igual que la derivabilidad, es una propiedad local, es

decir, solo depende del comportamiento de la funcion en un entorno del punto

considerado]. Por tanto hemos probado (a).

La primera parte de (b) [y de (c)] ya se ha probado en el parrafo anterior.

Para el resto, consideremos de nuevo las funciones fn(x) := an(x − a)n, que

son derivables. Fijemos un intervalo [a − r, a + r] ⊂ I como antes. Habida

cuenta de la convergencia uniforme de la serie de las derivadas a cierta funcion

g : [a − r, a + r] → R, del Teorema 4.2.3 (donde [a, b] se sustituye por

[a− r, a+ r] y elegimos x0 = a) se infiere que f es derivable en [a− r, a+ r] y

que su derivada coincide con g. De nuevo, esto es cierto para cada r ∈ (0, R),

luego las propiedades demostradas son validas en I y (b) queda probado.

La prueba de (c) se completa de manera analoga, usando el Teorema

4.2.3 en cada [a − r, a + r] pero sustituyendo f por la suma F de la serie∑∞n=0

ann+1

(x − a)n+1 y fn por ann+1

(x − a)n+1. Tambien se puede demostrar

utilizando el Teorema 4.2.2 sobre integracion termino a termino de series de


funciones. La ultima parte de (c) resulta de la regla de Barrow. �

Si I ⊂ R es un intervalo yN ∈ N, se denota por CN(I) el conjunto de todas

las funciones f : I → R que tienen derivadas continuas en todos los puntos

de I hasta orden N inclusive. A veces tambien se escribe C0(I) := C(I). Por

otra parte, simbolizaremos mediante C∞(I) el conjunto de todas las funciones

f : I → R que tienen derivadas de todos los ordenes en todos los puntos

de I. Es facil ver que todos estos conjuntos son espacios vectoriales, que

C0(I) ⊃ C1(I) ⊃ C2(I) ⊃ · · · ⊃ C∞(I) y que C∞(I) =⋂N∈N CN(I).

Corolario 5.2.2. Si f es la funcion suma de una serie de potencias∑∞n=0 an(x − a)n en su intervalo de convergencia I, se tiene que f ∈ C∞(I)

y que es factible la derivacion termino a termino en I para todos los ordenes

de derivacion. En particular, se tiene que an =f (n)(a)

n!para todo n ∈ N0.

Demostracion. Basta aplicar sucesivamente el teorema anterior. Para cual-

quier k ∈ N se tiene que la serie de potencias que resulta al derivar k veces

cada termino an(x− a)n tiene el mismo radio de convergencia R que la serie

original. Por induccion, obtenemos que f (k) existe y coincide en el intervalo

de convergencia con la suma de la serie de las derivadas k-esimas. Si en

particular hacemos x = a, obtenemos f (k)(a) = k!ak + 0 + 0 + 0 + · · · , de

donde resulta la formula deseada. �

Puesto que la derivada en un punto solo depende del comportamiento de

la funcion en un entorno de dicho punto, se deduce la siguiente consecuencia.

Corolario 5.2.3. [Principio de identidad para series de potencias]

Consideremos dos series de potencias∑∞

n=0 an(x− a)n y∑∞

n=0 bn(x− a)n,

de sumas respectivas f y g. Si f y g coinciden en un entorno de a, entonces

an = bn para todo n ∈ N0, y por tanto las dos series son identicas.


El comportamiento de una serie de potencias en los extremos del intervalo

de convergencia depende del ejemplo en concreto. El siguiente teorema resulta

muy util cuando la SP converge en un extremo, ya que nos garantiza la

continuidad de la funcion suma de la serie de potencias en dicho extremo. Lo

enunciamos para el extremo derecho a + R, aunque por supuesto se puede

formular un enunciado analogo para el extremo izquierdo a−R.

Teorema 5.2.4. [Teorema de Abel] Sea∑∞

n=0 an(x− a)n una SP de radio

de convergencia R ∈ (0,+∞) y sea f la suma de la SP en su intervalo de

convergencia (a − R, a + R). Supongamos que la SP converge en el punto

b := a + R, es decir, la serie∑∞

n=0 anRn es convergente. Entonces la SP

converge uniformemente en [a, b] y se cumple lımx→b− f(x) =∑∞

n=0 anRn.

Demostracion. La parte final se deduce de aplicar el Teorema 4.2.1 de pre-

servacion de la continuidad de series funcionales a nuestra SP y a la funcion

suma f : [a, b] → R, extendida al punto b como f(b) :=∑∞

n=0 anRn. En

consecuencia, nuestra tarea es demostrar la convergencia uniforme de la SP

en [a, b].

Para ello, consideremos dos numeros m,n ∈ N con m > n y usemos la

formula de sumacion de Abel indicada en el Ejercicio 11 del Capıtulo 4, solo

que los ındices k van desde n hasta m y se sustituye ak por akRk y bk por

(x−aR

)k. Denotando Ak,n := anRn + · · ·+ akR

k para k ≥ n, obtenemos que

m∑k=n

ak(x− a)k =m∑k=n

akRk(x− a

R

)k= Am,n

(x− aR

)m+1

+m∑k=n

Ak,n

[(x− aR

)k − (x− aR

)k+1]

= Am,n(x− a

R

)m+1+(1− x− a

R

)·m∑k=n

Ak,n(x− a

R

)kpara todo x ∈ [a, b]. Fijemos ε > 0. Por el criterio de Cauchy de convergencia

de series (ver Capıtulo 1), existe n0 ∈ N tal que |Ak,n| < ε/2 siempre que


k ≥ n ≥ n0. Por tanto, si m > n ≥ n0, resulta de la desigualdad triangular y

del hecho |x−aR| ≤ 1 que

∣∣∑mk=n ak(x−a)k

∣∣ < ε2+(1− x−a

R

)· ε

2·∑∞

k=0

(x−aR

)k=

ε2

+ ε2

= ε si x ∈ [a, b). Se ha tenido en cuenta que la serie geometrica∑∞k=0

(x−aR

)kes convergente si x 6= b y que su suma en tal caso es 1

1−x−aR

.

Pero∑m

k=n ak(x − a)k = Am,n si x = b. En resumidas cuentas, dado ε > 0

hemos hallado un n0 ∈ N tal que∣∣∑m

k=n ak(x − a)k∣∣ < ε para todo par

m,n ∈ N con m > n ≥ n0 y para todo x ∈ [a, b]. Basta aplicar ahora la

condicion de Cauchy de convergencia uniforme de series de funciones. �

Ejemplo 5.2.5. Veremos mas adelante [Teorema 5.3.3(d)] que log(1 + x) =∑∞n=1

(−1)n+1

nxn en (−1, 1). Ya que

∑∞n=1

(−1)n+1

nconverge, obtenemos del

teorema anterior que∑∞

n=1(−1)n+1

n= log 2.

5.3. Funciones analıticas

Ya estamos familiarizados con las funciones continuas, derivables, de

clase C1 (derivables con continuidad), de clase CN y de clase C∞. Vamos a

introducir ahora una nueva clase de funciones, mas pequena que las anterio-

res, que surge de manera natural al considerar series de potencias. Son las

ası llamadas “funciones analıticas”. En cierta forma, son la generalizacion de

los polinomios.

Definicion 5.3.1. Supongamos que I ⊂ R es un intervalo abierto, que f :

I → R es una funcion definida en I y que a ∈ I. Se dice que f es analıtica

en a cuando existen un intervalo J ⊂ I centrado en a y una SP centrada en

a tales que f puede expresarse como la suma de dicha serie en J . Y se dice

que f es analıtica en I cuando es analıtica en cada punto de I.

Notemos que tanto el intervalo J como la SP de la definicion anterior

dependen de f y del punto a. Denotaremos por Cω(I) el conjunto de las


funciones analıticas en I, y por Cω(a) el conjunto de las funciones definidas

en un entorno del punto a que son analıticas en a. Es facil probar que ambos

conjuntos son espacios vectoriales. De la definicion y de la seccion anterior

se deduce que si f es analıtica en a entonces tiene derivadas de todos los

ordenes en dicho punto [y de hecho en todo el intervalo J ]. En particular,

Cω(I) ⊂ C∞(I).

Pero la inclusion contraria es falsa, es decir, una funcion puede tener

derivadas de todos los ordenes en un punto sin ser analıtica en dicho punto.

Por ejemplo, la funcion

ϕ(x) =

e−1/x si x > 0

0 si x ≤ 0

tiene derivada de todos los ordenes en cada punto x ∈ R, siendo ϕ(n)(0) = 0

para cada n ∈ N0. Por tanto no puede cumplirse que ϕ(x) =∑∞

n=0ϕ(n)(0)n!

xn

en un entorno de 0, luego f no es analıtica en el 0. Esto nos lleva a estudiar

condiciones para que una funcion infinitamente derivable sea analıtica.

Supongamos que f tiene derivada de todos los ordenes en un intervalo

I = (a−R, a+R). Formalmente podemos escribir la serie de Taylor asociada

a f en el punto a como∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n. A los numeros f (n)(a)

n!se les

llama coeficientes de Taylor de f de a. Si a = 0, se suele hablar de serie de

MacLaurin y de coeficientes de MacLaurin.

El resultado que se enuncia a continuacion nos dice que si las derivadas

sucesivas de f no son demasiado grandes, entonces f coincide con su serie de

Taylor.

Teorema 5.3.2. [Teorema de Pringsheim] Sea f : I = (a− R, a+ R)→ R

tal que R ∈ (0,+∞), f ∈ C∞(I) y existe A ∈ (0,+∞) tal que

|f (n)(x)| ≤ An!

Rnpara todo n ∈ N y todo x ∈ I.


Entonces f ∈ Cω(a). De hecho, se tiene

f(x) =∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n para todo x ∈ I.

Demostracion. Por la formula de Lagrange del resto del polinomio de Taylor,

fijados x ∈ I y n ∈ N [sin perdida de generalidad, podemos suponer x > a]

existe c = c(x, n) ∈ I tal que

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n +

f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− a)n+1.

Entonces se cumplira la igualdad del enunciado en x cuando

lımn→∞f (n+1)(c)

(n+1)!(x−a)n+1 = 0. Ahora bien,

∣∣f (n+1)(c)(n+1)!

(x−a)n+1∣∣ ≤ A · (n+1)! ·

(|x−a|/R)n+1

(n+1)!= A·

( |x−a|R

)n+1 −→n→∞

0 pues |x−a|R

< 1. Esto prueba el teorema. �

Finalizamos el tema expresando ciertas funciones conocidas como suma

de una serie de Taylor. Recordemos que, para cada α ∈ R \ {0}, el numero

combinatorio generalizado(αn

)se define como(

α

n

)=α(α− 1)(α− 2) · · · (α− n+ 1)

n!si n ∈ N y

(α

0

)= 1.

Teorema 5.3.3. Se verifican los siguientes desarrollos, validos en los inter-

valos indicados:

(a) ex =∞∑n=0

xn

n!para todo x ∈ R.

(b) cosx =∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2n para todo x ∈ R.

(c) senx =∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1 para todo x ∈ R.

(d) log(1 + x) =∞∑n=1

(−1)n+1

nxn para todo x ∈ (−1, 1).

(e) [Serie binomica] (1 + x)α =∞∑n=0

(α

n

)xn para todo x ∈ (−1, 1).


Demostracion. Las series de Taylor en el origen asociadas a cada una de las

5 funciones son faciles de determinar calculando f (n)(x) por induccion sobre

n y particularizando en x = 0. En los casos (a), (b) y (c), fijar R ∈ (0,+∞) y

y aplicar el Teorema 5.3.2 para validar los desarrollos en (−R,R). Como R es

arbitrario, los desarrollos son validos en todo R. Para probar (d), se considera

la serie de potencias 1−x+x2−x3 + · · · , cuyo radio de convergencia es 1, y

cuya suma es f(x) = 11+x

en (−1, 1). Basta aplicar ahora el Teorema 5.2.1(c)

con g(x) =∑∞

n=1(−1)n+1

nxn. La demostracion de (e) puede llevarse a cabo

usando la expresion de Cauchy para el termino complementario de orden n

del resto de Taylor (1 + x)α −∑n

k=0

(αk

)xk. �

Notas 5.3.4. 1. Las funciones seno, coseno y exponencial, consideradas en

el teorema anterior, pueden de hecho ser definidas en R por las igualdades

dadas por sus desarrollos de Taylor. Las tres son ejemplos de funciones ente-

ras. Por definicion, se dice que una funcion f : R→ R es entera cuando tiene

un desarrollo en serie de Taylor valido en todo R: f(x) =∑∞

n=0f (n)(0)n!

xn

para cada x ∈ R. Puede probarse que toda funcion entera es analıtica en

todo R. Pero el recıproco no es cierto: considerese, por ejemplo, la funcion

f(x) = 11+x2

. La explicacion de estos fenomenos excede el alcance de estos

apuntes, pues para ello se ha de acudir al terreno de las funciones definidas

sobre el plano complejo C.

2. Si f es analıtica en un punto a, la unicidad de los coeficientes de Taylor en

dicho punto hace que estos puedan calcularse por el metodo de los coeficientes

indeterminados. Ver, por ejemplo, el Ejercicio 6.

Ejercicios

1.- Determinar el radio de convergencia R de las series de potencias∑∞

n=1 anxn

en los siguientes casos:


(a) an = log n.

(b) an =(−1)n

n.

(c) an =((−1)n + 3)n

n.

(d) an =n2

2n.

(e) an =n!

nn.

(f) an = n−n.

(g) an = np (p ∈ N).

(h) a2n = 2n, a2n+1 = 0.

(i) a2n = b2n, a2n+1 = a2n+1 con a, b > 0.

Cuando R sea finito, estudiar el comportamiento de la serie en la frontera

del intervalo de convergencia.

2.- Estudiar la convergencia de las siguientes series y sumarlas donde converjan:

(a)

∞∑n=1

xn

n(b)

∞∑n=2

(x− 1)n

n2 − n.

3.- Estudiar la convergencia de las series de potencias∑∞

n=1 anxn y sumarlas

donde converjan, en los casos:

(a) an =(−1)n−1

n(n+ 1).

(b) an = 3n2 − n+ 1.

(c) an =1

3ksi n = 3k − 2, an = 0 en otro caso.

(d) an =n2 + 2n− 3

n!.

(e) ak = 0 si k = 2n, ak =4n

(2n+ 1)!si k = 2n+ 1.

4.- Detallar la demostracion del Teorema 5.3.3.

5.- Obtener el desarrollo en serie de potencias, en torno al 0, de las siguientes

funciones:


(a) log1 + x

1− x.

(b) arctanx.

(c)1 + x

(1− x)3.

(d) sen2 x.

(e) (1 + ex)2.

(f) log(a+ bx), donde a > 0 y b 6= 0.

6.- Obtener, por el metodo de los coeficientes indeterminados, los primeros

terminos del desarrollo en serie de potencias, en torno al 0, de las funciones:

(a) tanx (b)cosx

1 + senx(c)

cosx

1− 2x.

7.- Sean F,G : R → R dos funciones enteras que verifican F (0) = 1, G(0) = 0,

F ′(x) = G(x) y G′(x) = F (x) para todo x ∈ R.

(a) Probar que F (x)2 −G(x)2 = 1 para todo x ∈ R.

(b) Hallar las series de Taylor, en el origen, de F y G y hallar su radio de

convergencia.

(c) Probar que estas series convergen en todo x ∈ R al valor de la funcion

correspondiente.

(d) Probar que, para todo x ∈ R, se tiene F (x) = ex+e−x

2 =∑∞

n=0x2n

(2n)!

y G(x) = ex−e−x2 =

∑∞n=0

x2n+1

(2n+1)! . A estas funciones se las denomina,

respectivamente, coseno hiperbolico y seno hiperbolico.

8.- (a) Estudiar el dominio de convergencia y la suma de la serie

∞∑n=1

x4n−1

4n− 1.

(b) Desarrollar en serie de potencias, en torno al 0, la funcion

1

4log

1 + x

1− x− 1

2arctanx.

9.- Demostrar que el radio de convergencia R de una SP∑∞

n=0 an(x−a)n viene

dado por R = sup{α ≥ 0 : la sucesion {anαn}n≥1 esta acotada}.

Capıtulo 6

Medida de Lebesgue

En este capıtulo vamos a definir la medida de Lebesgue de los sub-

conjuntos de R, persiguiendo ciertas propiedades naturales que se le deben

exigir a una medida. Veremos que no sera posible medir cualquier conjunto,

de modo que nos veremos obligados a restringir la medida a una clase de

conjuntos. Esta clase, bastante amplia, es la de los conjuntos medibles. De la

definicion, iremos obteniendo las propiedades de la medida de Lebesgue.

6.1. El problema de la medida

A finales del siglo XIX surgio la idea de que la integral de Riemann

resultaba incompleta, en relacion a su comportamiento con los procesos de

lımite. Parecıa necesario reemplazarla por otro tipo de integral, mas versatil

en dichos procesos. Las contribuciones de Jordan, Borel y Young fueron com-

pletadas por Lebesgue, quien a principios de siglo XX dio con la construccion

mas adecuada.

Recordemos (ver Capıtulo 1) que la integral de Riemann de una funcion

f : [a, b] → R se define basicamente por aproximacion de cantidades de la

forma∑n

k=1 f(tk)m(Ik), donde los Ik son intervalos cerrados cuya union es

71


[a, b] y con interiores disjuntos, y m(Ik) denota la longitud del intervalo Ik.

La teorıa de Lebesgue se basa en la idea de que esos conjuntos Ik puedan

ser elegidos en una clase mas amplia de subconjuntos de R, que llamaremos

conjuntos medibles.

El problema de la medida consiste en asignar a cada conjunto A ⊂ R un

numero m(A) ∈ [0,+∞], denominado medida de A, de modo que

m([a, b]) = b− a para todo a, b ∈ R con a < b,

m(x+ A) = m(A) para todo A ⊂ R y todo x ∈ R,

m sea numerablemente aditiva, es decir, para cualquier sucesion (An)

de conjuntos disjuntos dos a dos, se tenga

m( ⋃n≥1

An)

=∑n≥1

m(An).

Resulta que no es posible hacer tal asignacion a todos los conjuntos, por lo

que se plantea la necesidad de definir el concepto de conjunto medible.

Ejemplo 6.1.1. Sea m una medida sobre los subconjuntos de R verificando

las tres propiedades anteriores. Existe un conjunto V ⊂ [0, 1] al que no puede

asignarsele ningun valor m(V ). Este conjunto se conoce con el nombre de

conjunto de Vitali y su hallazgo se debe a G. Vitali en 1905, ver Ejercicio 5.

6.2. Espacios medibles, espacios de medida y

medida exterior

Es conveniente situar el problema anterior en un contexto mas general.

Podemos definir de manera mas abstracta una medida y la familia de conjun-

tos a los cuales es aplicable una medida. Partimos de un conjunto X 6= ∅. Por

P(X) denotaremos el conjunto de partes de X. Recordemos que, si A ⊂ X, el

MEDIDA DE LEBESGUE 73

complementario de A se define como Ac = {x ∈ X : x /∈ A}; y si A,B ⊂ X

entonces su diferencia se define por A \B = A ∩Bc.

Definicion 6.2.1. Sea X un conjunto no vacıo y M⊂ P(X). Decimos que

M es una σ-algebra sobre X cuando se verifican las siguientes condiciones:

(a) X ∈M.

(b) Si A ∈M entonces Ac ∈M.

(c) Si {An}n≥1 ⊂M entonces∞⋃n=1

An ∈M.

Se llama espacio medible al par (X,M), y conjunto medible a cada miembro

de M.

De propiedades elementales de algebra de conjuntos (incluyendo las leyes

de De Morgan) se deduce que, si M es una σ-algebra sobre X, entonces

estan en M los siguientes conjuntos: ∅, uniones finitas de miembros de M,

intersecciones finitas o numerables de miembros de M, diferencia de dos

miembros de M. Como ejemplos triviales y extremos, se tiene que {∅, X} y

P(X) son σ-algebras sobre X.

Definicion 6.2.2. Sea (X,M) un espacio medible. Por definicion, una me-

dida positiva, o simplemente una medida, sobre (X,M) es una aplicacion

µ : M → [0,+∞] tal que µ(∅) = 0 y es numerablemente aditiva, es decir,

si {An}n≥1 ⊂ M y los An son dos a dos disjuntos, entonces µ( ∞⋃n=1

An)

=

∞∑n=1

µ(An). La terna (X,M, µ) se denomina espacio de medida.

La denominacion de los siguientes casos especiales es aplicable tanto a µ

como a (X,M, µ):

Si µ(X) < +∞, µ se dice finita. Si µ(X) = 1, µ es una medida de

probabilidad o simplemente probabilidad. Comentamos aquı que, en el

lenguaje propio de la Teorıa de la Probabilidad, los elementos deM se

suelen denominar sucesos, y a (X,M) se le llama espacio de sucesos.


Si existe {An}∞n=1 ⊂ M tal que µ(An) < +∞ para todo n ∈ N y

X =∞⋃n=1

An, µ se dice σ-finita.

Si [A ∈ M, B ⊂ A y µ(A) = 0] implica que B ∈ M, entonces se dice

que µ es completa.

Si S ∈ M, entonces MS := {A ∈ M : A ⊂ S} es una σ-algebra

sobre S y la restriccion µ|MSes una medida sobre (S,MS). A la terna

(S,MS, µ|MS) se le llama espacio de medida inducido en S.

Ejemplo 6.2.3. SeaX un conjunto y consideremos la aplicacion µ : P(X)→[0,+∞] dada por µ(A) = card(A) si A es finito, y µ(A) = +∞ si A es infi-

nito. Entonces µ es una medida positiva, denominada medida cardinal sobre

X. Es facil ver que µ es finita si y solo si X es finito, y que µ es σ-finita si

y solo si X es numerable.

Nota 6.2.4. Hemos visto que el valor de la medida de un conjunto puede

ser +∞. Esto implica que se han de realizar operaciones algebraicas que

involucran numeros no finitos. Por ello es conveniente considerar la recta real

ampliada, R := R ∪ {+∞,−∞} = [−∞,+∞]. A R se le dota de un orden

estricto [<] que extiende el orden de R, de modo que −∞ < x < +∞ para

todo x ∈ R. Las operaciones de suma y producto se extienden parcialmente:

(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞, a+ (+∞) = +∞ = (+∞) + a,

a+ (−∞) = −∞ = (−∞) +a [para todo a ∈ R], a · (±∞) = ±∞ = (±∞) ·a(resp.) para todo a > 0, y analogamente con el correspondiente cambio de

signo para los numeros a < 0. Ademas a/ ±∞ = 0 [para todo a ∈ R] y

| ± ∞| = +∞. Pero la operacion +∞ − (+∞) no esta definida. Tambien

es conveniente, por motivos que se veran claros en el Capıtulo 7, detallar la

topologıa que vamos a considerar en R. A saber, una base de entornos de

cada punto a ∈ R es {(a−ε, a+ε) : ε > 0}. Una base de entornos de +∞ es

{(c,+∞] : c ∈ R}, y una base de entornos de −∞ es {[−∞, c) : c ∈ R}. Por


tanto, los abiertos de R son tambien abiertos de R. Esto no es valido para

los cerrados, ya que por ejemplo R es un cerrado en R pero no lo es en R.

Observemos que los abiertos de R son los abiertos de R, los intervalos del tipo

[−∞, c) y (c,+∞], y las uniones posibles de estos tres tipos de conjuntos.

En la siguiente proposicion se reunen algunas propiedades operacionales

basicas de las medidas. Una sucesion de conjuntos (An) se dice que es cre-

ciente [decreciente] cuando An ⊂ An+1 [An ⊃ An+1, resp.] para todo n ∈ N.

Proposicion 6.2.5. Sea (X,M, µ) un espacio de medida. Se verifica:

(a) µ es finitamente aditiva, es decir, si A1, . . . , AN ∈ M son dos a dos

disjuntos, entonces µ( N⋃n=1

An)

=N∑n=1

µ(An).

(b) µ es monotona, es decir, si A,B ∈M y A ⊂ B entonces

µ(A) ≤ µ(B).

(c) Si A,B ∈M con A ⊂ B y µ(A) < +∞ entonces

µ(B \ A) = µ(B)− µ(A).

(d) Si {An}∞n=1 ⊂M, entonces µ( ∞⋃n=1

An)≤∞∑n=1

µ(An).

(e) Si {An}∞n=1 ⊂M es creciente entonces lımn→∞

µ(An) = µ( ∞⋃n=1

An).

(f) Si {An}∞n=1 ⊂M es decreciente y µ(A1) < +∞ entonces

lımn→∞

µ(An) = µ( ∞⋂n=1

An).

Demostracion. Es facil, por lo que solo daremos algunas indicaciones. Para

(a), definir An := ∅ si n > N y aplicar la aditividad numerable de µ. Para

(b) y (c), descomponer B = A ∪ (B \ A) y aplicar (a). En cuanto a (d),

considerar la sucesion (Bn) dada por B1 := A1, B2 := A2 \ A1, . . . , Bn :=

An \ (A1 ∪ · · · ∪ An−1), . . . , formada por conjuntos medibles disjuntos cuya

union es∞⋃n=1

An; aplıquense entonces (b) y la aditividad numerable de µ.


Para probar (e), definir A0 := ∅ y considerar la misma sucesion disjunta

(Bn) anterior. Como (An) es creciente, se tiene Bn = An \An−1. Resulta que

µ( ∞⋃n=1

An)

= µ( ∞⋃n=1

Bn

)= lım

n→∞

∑nk=1 µ(Bk) = lım

n→∞

∑nk=1[µ(Ak)−µ(Ak−1)] =

lımn→∞

µ(An). Se ha supuesto que cada µ(An) < +∞, pues (e) serıa trivial si

algun µ(An) = +∞. Por ultimo, (f) se deduce aplicando (e) a la sucesion

{A1 \ An}n≥1. �

El ejemplo X = N, M = P(N), µ = medida cardinal sobre N, An =

{n, n + 1, n + 2, . . . } (n = 1, 2, ...) muestra que (f) es falso en general si se

prescinde de la hipotesis µ(A1) < +∞.

A veces es conveniente disponer de una aplicacion con propiedades mas

debiles que una medida, pero definida para cualquier subconjunto del con-

junto soporte X. Damos el correspondiente concepto, que cierra esta seccion.

Definicion 6.2.6. Se llama medida exterior sobre un conjunto X a una

aplicacion µ∗ : P(X) → [0,+∞] nula sobre el conjunto vacıo, monotona y

numerablemente subaditiva, es decir:

(a) µ∗(∅) = 0.

(b) Si A ⊂ B entonces µ∗(A) ≤ µ∗(B).

(c) Si {An}∞n=1 ⊂ P(X) entonces µ∗( ∞⋃n=1

An)≤∞∑n=1

µ∗(An).

6.3. Construccion de la medida de Lebesgue

en R

Vamos pues a definir la medida m en la recta real de modo que permita

medir una clase mas amplia de conjuntos que los intervalos. Vamos a hacerlo

por etapas, empezando precisamente por los intervalos.

Dado un intervalo acotado I = (a, b), I = [a, b], I = (a, b] o I = [a, b),

con a < b, su longitud o amplitud es por definicion long (I) := b − a. Si


I es un intervalo no acotado, definimos long (I) := +∞. Queremos que, si

I es un intervalo, su medida coincida con su longitud. Por otra parte, si

A ⊂ R y A esta contenido en una union numerable de intervalos, digamos

A ⊂∞⋃k=1

Ik, debe ocurrir que la medida de A no sea mayor que la suma

de las longitudes de los intervalos In. De esta forma se define la aplicacion

m∗ : P(R)→ [0,+∞] dada por

m∗(A) = ınf{ ∞∑k=1

long (Ik) : A ⊂∞⋃k=1

Ik, Ik intervalos ⊂ R}.

Teorema 6.3.1. La aplicacion m∗ definida anteriormente verifica las si-

guientes propiedades:

(a) m∗ es una medida exterior.

(b) m∗ es invariante por traslaciones, es decir, m∗(a + A) = m∗(A) para

todo a ∈ R y todo A ⊂ R. Aquı a+ A := {a+ x : x ∈ A}.

(c) m∗ es homotetica, es decir, m∗(λA) = |λ|m∗(A) para todo λ ∈ R y

todo A ⊂ R. Aquı λA := {λx : x ∈ A}.

(d) Si E ⊂ R es numerable, m∗(E) = 0.

(e) Si I es un intervalo, m∗(I) es igual a su longitud.

Demostracion. La monotonıa de m∗ es evidente, porque si una familia de

intervalos cubre un conjunto B, tambien cubre un subconjunto A ⊂ B,

y el ınfimo decrece a medida que el conjunto crece. Si ahora fijamos un

punto x ∈ R y un ε > 0, entonces la familia de intervalos (Ik), donde

Ik := [x − ε2−k−1, x + ε2−k−1], cubre el conjunto {x}. Como la suma de sus

longitudes es ε, se tiene m∗({x}) ≤ ε para todo ε > 0, ası que m∗({x}) = 0.

Por monotonıa m∗(∅) = 0. Sea (An) ⊂ P(R). Si algun m∗(An) = +∞, por

monotonıa se tiene m∗(⋃nAn) = +∞, luego trivialmente se da la subadi-

tividad numerable. Si m∗(An) < +∞ para todo n, fijemos ε > 0. Por la


propiedad fundamental del ınfimo, para cada n existe una sucesion {In,k}k≥1

de intervalos con∑

k long (In,k) < m∗(An) + ε2n

. Entonces {In,k}n,k≥1 es un

cubrimiento numerable de⋃nAn por intervalos cuya suma de longitudes es

menor o igual que∑

nm∗(An)+ε. Por tanto m∗(

⋃nAn) ≤

∑nm

∗(An)+ε. Ya

que esto es cierto para todo ε > 0, se deduce que m∗(⋃nAn) ≤

∑nm

∗(An),

lo cual es la subaditividad numerable. Ası que m∗ es una medida exterior y

(a) esta probado.

Los apartados (b) y (c) se deducen con facilidad de la definicion de medida

exterior y del hecho de que la invariancia por traslaciones y la propiedad de

homotecia se verifican para todo intervalo. El apartado (d) resulta de la

subaditividad numerable y de que m∗({x}) = 0 para cada x ∈ R, como se

probo en el primer parrafo.

En cuanto a (e), si I es un intervalo, consideramos la familia nume-

rable {I} ∪ {Ik}k≥1, donde (Ik) es la familia de intervalos del principio

del primer parrafo (con x cualquiera). Como la suma de sus longitudes es

long (I) + ε, se tiene que m∗(I) ≤ long (I) + ε para todo ε > 0, ası que

m∗(I) ≤ long (I). Para la desigualdad contraria, sea (Ik) una familia de in-

tervalos que cubren I. Por definicion de medida exterior, basta probar que∑k long (Ik) ≥ long (I). Podemos suponer que Ik ⊂ I sustituyendo Ik por el

intervalo I∩Ik, de modo que I =⋃k Ik. Haciendo J1 := I1, J2 := I2\I1, J3 :=

I3 \ (I1 ∪ I2), . . . , cada Jk es un union finita disjunta⋃nkj=1 Jk,j de intervalos

Jk,j, y long (Ik) ≥∑nk

j=1 long (Jk,j) para cada k. Entonces I =⋃k

⋃nkj=1 Jk,j,

union numerable disjunta de intervalos. En consecuencia,∑

k long (Ik) ≥∑k

∑nkj=1 long (Jk,j) = long (I). �

La aplicacion m∗ definida anteriormente se denomina medida exterior

de Lebesgue. Aunque en un principio parece que m∗ pudiera ser un buen

candidato para representar la medida de los conjuntos de R, recordemos que

el problema de la medida expuesto a principios del tema no tiene solucion


en P(R). Observese que m∗ cumple todas las condiciones de medida salvo

la aditividad numerable [ni siquiera es finitamente aditiva, es decir, no se

cumple que m∗(A ∪ B) = m∗(A) + m∗(B) para todo par A,B ⊂ R con

A∩B = ∅]. El problema no radica en la definicion de m∗, sino en que existen

conjuntos que no se pueden medir.

Restringiendo convenientemente la familia de subconjuntos de R, pode-

mos obtener una medida. Lo vamos a hacer mediante el procedimiento de

Caratheodory, que admite bastante generalidad.

Teorema 6.3.2. [Teorema de Caratheodory] Sea µ∗ una medida exterior

sobre un conjunto X. Consideremos la familia

M = {M ⊂ X : µ∗(A) = µ∗(A ∩M) + µ∗(A ∩M c) ∀A ⊂ X}.

Se verifica:

(a) M es una σ-algebra sobre X.

(b) La aplicacion µ := µ∗|M es una medida sobre M.

(c) La medida µ es completa. Ademas, si µ∗(M) = 0, entonces M ∈M.

La familia M definida anteriormente se denomina la σ-algebra de los

conjuntos medibles-Caratheodory relativos a la medida exterior µ∗.

Demostracion del Teorema 6.3.2. Ya que µ∗(∅) = 0, se tiene que ∅ ∈ M. Ya

que la definicion de M es simetrica para M y M c resulta que M c ∈ M si

M ∈M. En particular, X ∈M.

Sean ahora M,N ∈M, y sea A ⊂ X. Tenemos:

µ∗(A) = µ∗(A ∩M) + µ∗(A ∩M c)

= µ∗(A ∩M ∩N) + µ∗(A ∩M ∩N c) + µ∗(A ∩M c ∩N) + µ∗(A ∩M c ∩N c).


Como M,N ∈M, resulta que

µ∗(A ∩ (M ∩N)c) = µ∗(A ∩ (M ∩N)c ∩N) + µ∗(A ∩ (M ∩N)c ∩N c)

= µ∗(A ∩M c ∩N) + µ∗(A ∩N c)

= µ∗(A ∩M c ∩N) + µ∗(A ∩M ∩N c) + µ∗(A ∩M c ∩N c),

de donde obtenemos que

µ∗(A) = µ∗(A ∩ (M ∩N)) + µ∗(A ∩ (M ∩N)c),

luego M∩N ∈M. Por tanto, M∪N = (M c∩N c)c ∈M y M \N = M∩N c ∈M. Resulta tambien, por induccion, que M1∪ . . .∪Mp y M1∩ . . .∩Mp estan

en M si M1, . . . ,Mp ∈M.

Asimismo, se prueba facilmente por induccion que

µ∗(A) =

p∑j=1

µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩

( p⋃j=1

Mj

)c)[1]

para todo A ⊂ X y todo sistema de elementos M1, . . . ,Mp de M dos a dos

disjuntos.

Sean ahora Mn ∈ M con n ∈ N. Para probar que∞⋃n=1

Mn ∈ M, pode-

mos suponer que los Mn son dos a dos disjuntos (basta sustituir la sucesion

M1,M2,M3, . . . por la sucesion M1,M2 \M1,M3 \ (M1∪M2), . . . , cuya union

es tambien∞⋃n=1

Mn). Por [1], si A ⊂ X, resulta que, para todo n ∈ N,

µ∗(A) =n∑j=1

µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩

( n⋃j=1

Mj

)c)

≥n∑j=1

µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩

( ∞⋃j=1

Mj

)c),

lo que implica que

µ∗(A) ≥∞∑j=1

µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩

( ∞⋃j=1

Mj

)c)


≥ µ∗(A ∩

( ∞⋃j=1

Mj

))+ µ∗

(A ∩

( ∞⋃j=1

Mj

)c) ≥ µ∗(A),

donde hemos usado dos veces la subaditividad. Por tanto,

µ∗(A) = µ∗(A ∩

( ∞⋃j=1

Mj

))+ µ∗

(A ∩

( ∞⋃j=1

Mj

)c)para todo A ⊂ X,

de donde deducimos que∞⋃n=1

Mn ∈ M. Hemos probado que M es una σ-

algebra, lo cual es (a).

Para (b), denotemos µ := µ∗|M. Entonces µ(∅) = µ∗(∅) = 0. En cuanto a

la aditividad numerable de µ, tomemos Mn ∈M (n ∈ N) dos a dos disjuntos.

Haciendo A =∞⋃n=1

Mn en el razonamiento anterior, obtenemos –todas las

desigualdades deben ser igualdades– que

µ( ∞⋃n=1

Mn

)=∞∑n=1

µ(Mn) + µ(∅) =∞∑n=1

µ(Mn).

Probemos (c). Si M ⊂ X y µ∗(M) = 0, entonces M ∈ M. En efecto,

si A ⊂ X, entonces A ∩M ⊂ M , luego µ∗(A ∩M) = 0, ası que µ∗(A) ≤µ∗(A \ M) + 0 por subaditividad, mientras que µ∗(A) ≥ µ∗(A \ M) por

monotonıa. Resta probar que µ es completa, pero esto resulta de la propiedad

que se acaba de demostrar y de la monotonıa de µ∗. 2

Definicion 6.3.3. Un conjunto E ⊂ R se dice medible Lebesgue si es medible-

Caratheodory respecto de la medida exterior de Lebesgue m∗, es decir, si

verifica m∗(A) = m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ Ec) para todo A ⊂ R.

Denotaremos por L la σ-algebra de los subconjuntos medibles Lebesgue

de R. Se denomina medida de Lebesgue a la aplicacion m : L → [0,+∞] dada

por m := m∗|L.

Hemos resuelto pues el problema de la medida en R planteado al prin-

cipio. En efecto, por el teorema de Caratheodory, m es una medida sobre


L. Ademas, ya que m proviene de m∗, se tiene la propiedad de invarian-

cia por traslaciones y la propiedad de homotecia: m(λ + A) = m(A) y

m(λA) = |λ|m(A) para todo A ∈ L y todo λ ∈ A. Se deja como ejerci-

cio probar que los conjuntos λ + A y λA son medibles Lebesgue siempre

que A lo sea. De paso, obtenemos que m es una medida completa y que cada

conjunto E ⊂ R numerable es medible Lebesgue con m(E) = 0. Tambien,

A ∈ L si m∗(A) = 0.

6.4. Conjuntos medibles Lebesgue

En la seccion anterior hemos resuelto el problema de la medida, al

restringir la familia de conjuntos que se pueden medir. En este punto, serıa

muy interesante probar que existen muchos conjuntos medibles Lebesgue. En

particular, vamos a ver que la mayorıa de los conjuntos usuales son medibles

Lebesgue. Recordemos que un subconjunto de un espacio topologico se dice

que es cerrado cuando su complementario es abierto, que es un Fσ si es

union numerable de cerrados, y que es un Gδ si es interseccion numerable

de abiertos.

Teorema 6.4.1. Todo abierto, todo cerrado, todo subconjunto Fσ, todo sub-

conjunto Gδ, todo intervalo y todo subconjunto compacto de R es medible

Lebesgue. La medida de Lebesgue de un intervalo coincide con su longitud

y la medida de un compacto es finita. Ademas, la medida de Lebesgue es

completa y σ-finita.

Demostracion. Supongamos probado que cada intervalo abierto y acotado

I = (a, b), con −∞ < a < b < +∞, es medible. Como cada abierto de

R es union numerable de intervalos del tipo anterior y L es una σ-algebra,

tendrıamos que todo abierto es medible. Usando de nuevo que L es una σ-

algebra obtenemos que cada conjunto de los dados en el enunciado es medible


(recordar que cada compacto es cerrado). Ya sabemos que la medida exterior

de un intervalo coincide con su longitud. Al ser cada intervalo un conjunto

medible, tambien es igual a su medida. Como cada compacto esta acotado,

esta contenido en un intervalo acotado, y por monotonıa se concluye que su

medida es finita. Ya se vio antes que m es completa. Que m es σ-finita se

deduce de que podemos expresar R como la union numerable R =⋃n[−n, n],

de modo que m([−n, n]) = long ([−n, n]) = 2n < +∞ para cada n.

Nuestra tarea se reduce, por tanto, a demostrar que cada intervalo abierto

y acotado I esta en L. Para ello, fijemos A ⊂ R. Por subaditividad es cierto

que m∗(A) ≤ m∗(A ∩ I) + m∗(A ∩ Ic), y la desigualdad inversa es trivial si

m∗(A) = +∞. Ası pues, suponemos m∗(A) < +∞ y se ha de probar que

m∗(A ∩ I) +m∗(A ∩ Ic) ≤ m∗(A).

Con tal fin, fijemos ε > 0. Por definicion de m∗ existen intervalos In (n =

1, 2, ...), que se pueden suponer abiertos estirandolos levemente, tales que∑n long (In) < m∗(A)+ε y A ⊂

⋃n In. Necesariamente los In son intervalos

abiertos acotados, y podemos suponer que In ∩ I 6= ∅ para todo n, luego

cada uno de estos conjuntos es un intervalo abierto acotado. Cada In se

descompone en la union disjunta de I ∩ In con Ic∩ In, y este ultimo conjunto

es ∅ o se descompone en la union de, a lo mas, dos componentes conexas,

digamos Jn y Kn, que son intervalos acotados [los casos Ic ∩ In = ∅ o de una

sola componente conexa son mas faciles de manejar y no se consideraran;

simplemente hacer 0 el sumando correspondiente a la medida exterior o a la

longitud]. Es evidente que {Jn}n≥1∪{Kn}n≥1 es un cubrimiento por intervalos

de Ic ∩ A. En consecuencia, m∗(A ∩ I) + m∗(A ∩ Ic) ≤∑

n long (In ∩ I) +∑n long (Jn) +

∑n long (Kn) =

∑n long (In) < m∗(A) + ε. Como esto es

cierto para cada ε > 0, obtenemos la desigualdad deseada. �

Ahora podemos establecer el siguiente teorema de caracterizacion de con-


juntos medibles Lebesgue.

Teorema 6.4.2. Sea A ⊂ R. Son equivalentes:

(a) A ∈ L.

(b) Para cada ε > 0 existe un subconjunto abierto G ⊂ R tal que A ⊂ G

y m∗(G \ A) < ε.

(c) A = H \B, donde H es un Gδ y m∗(B) = 0.

(d) Para cada ε > 0 existe un subconjunto cerrado F ⊂ R tal que F ⊂ A

y m∗(A \ F ) < ε.

(e) A = K ∪ C, donde K es un Fσ y m∗(C) = 0.

Demostracion. (a)⇒ (b): Partimos de que A ∈ L. Supongamos que m(A) <

+∞. Por la definicion de m∗, existe una sucesion de intervalos {In}∞n=1 tal que

A ⊂∞⋃n=1

In y m(A) + ε2>∞∑n=1

long (In). Estirando levemente cada intervalo

In, podemos obtener una sucesion de intervalos abiertos Jn (n ∈ N) tales que

Jn ⊃ In y m∗(Jn) < long (In) + ε2n+1 . Llamemos G :=

∞⋃n=1

Jn. Entonces G es

abierto [luego G ∈ L y G\A ∈ L], A ⊂ G y, como m(A) < +∞, se tiene que

m∗(G \ A) = m(G \ A) = m(G) −m(A) ≤∞∑n=1

m∗(Jn) −∞∑n=1

long (In) + ε2<∑∞

n=1ε

2n+1 + ε2

= ε.

Si fuese m(A) = +∞, existirıa una sucesion {Aj}∞j=1 ⊂ L tal que m(Aj) <

+∞ para todo j y A =∞⋃j=1

Aj. Fijado ε > 0, existe para cada j ∈ N un

abierto Gj tal que Aj ⊂ Gj y m(Gj \ Aj) < ε2j

. Sea ahora, por definicion,

G :=∞⋃j=1

Gj. Entonces G es abierto, A ⊂ G y G \ A ⊂∞⋃j=1

(Gj \ Aj), luego

m∗(G \ A) = m(G \ A) ≤∞∑j=1

m(Gj \ Aj) <∞∑j=1

ε2j

= ε.

(b) ⇒ (c): Para ε = 1j, elegimos un abierto Gj con A ⊂ Gj tal que m∗(Gj \

A) < 1/j. Llamemos H :=∞⋂j=1

Gj. Entonces H es un Gδ, H ⊃ A y m∗(H \


A) ≤ m∗(Gj \A) < 1/j para todo j ∈ N. Por tanto, si llamamos B := H \A,

resulta que m∗(B) = 0 y A = H \B.

(a)⇒ (d): Como R \A ∈ L y ya se tenıa [(a)⇒ (b)], conseguimos que dado

ε > 0 podemos encontrar un abierto G tal que R\A ⊂ G y m(G\(R\A)) < ε.

En consecuencia, si definimos F := R \G, resulta que F es cerrado, F ⊂ A

y m∗(A \ F ) = m(A \ F ) = m(G \ (R \ A)) < ε.

(c)⇒ (a): Tenemos por hipotesis que A = H \B, con H un Gδ [luego H ∈ L]

y m∗(B) = 0 [luego B ∈ L], ası que A ∈ L.

(e) ⇒ (a): Similar a la implicacion anterior.

(d) ⇒ (e): Similar a la implicacion [(b) ⇒ (c)]. �

El resultado anterior nos viene a decir que un subconjunto de R es medible

Lebesgue si esta arbitrariamente proximo, en terminos de medida exterior, a

un abierto o a un cerrado. De hecho, se tiene lo siguiente.

Corolario 6.4.3. La medida de Lebesgue m verifica las siguientes propie-

dades, para todo A ∈ L:

(a) m es exteriormente regular, es decir,

m(A) = ınf{m(G) : G es abierto y G ⊃ A}.

(b) m es interiormente regular, es decir,

m(A) = sup{m(K) : K es compacto y K ⊂ A}.

Demostracion. La propiedad (a) es trivial si m(A) = +∞, y si m(A) < +∞resulta de la igualdad m(G\A) = m(G)−m(A) y de la equivalencia “(a)⇔(b)” del teorema anterior. De manera analoga [usando la equivalencia “(a)

⇔ (d)” del teorema anterior] se obtendrıa que m(A) = sup{m(F ) : F es

cerrado y F ⊂ A}. Ahora bien, cada cerrado F se puede expresar como

union creciente de compactos, F =⋃∞n=1Kn, tomando por ejemplo Kn =


F ∩ [−n, n]. Utilizar ahora la Proposicion 6.2.5(e). Los detalles se dejan como

ejercicio. �

Notas 6.4.4. 1. Si X es un conjunto no vacıo, es facil probar que la intersec-

cion de una familia de σ-algebras es tambien una σ-algebra. Si A ⊂ P(X), se

llama σ-algebra generada por A a la interseccion de todas las σ-algebras que

contienen a A. Es claro que es la menor σ-algebra que contiene a A. Si ahora

X es un espacio topologico y A es la familia de los abiertos, la σ-algebra

B que genera se conoce como σ-algebra de Borel de X, y sus conjuntos se

denominan borelianos o conjuntos de Borel. En el caso X = R, se tiene que

cada boreliano es medible Lebesgue, pues L es una σ-algebra que contiene a

los abiertos. Puede probarse que la contencion es estricta, es decir, existen

conjuntos medibles Lebesgue que no son borelianos.

2. Hemos construido la familia de conjuntos medibles Lebesgue y la medi-

da de Lebesgue en R. De manera analoga, con algo mas de complicacion de

notacion, se construye la medida de Lebesgue en cualquier espacio RN , par-

tiendo de los productos I = I1× · · ·× IN de intervalos reales y sustituyendo

la longitud por el volumen vol (I) :=∏N

k=1 long (Ik).

6.5. El conjunto de Cantor

Acabamos el capıtulo presentando un conjunto especial. Sabemos que

todo conjunto numerable tiene medida de Lebesgue nula. Vamos a ver que

la numerabilidad no es una condicion necesaria para ello.

Consideremos el intervalo F0 = [0, 1] y eliminemos de el el tercio central

abierto (1/3, 2/3). Resulta el conjunto F1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1] ⊂ F0. Ahora

eliminamos de este los dos tercios centrales abiertos de los intervalos que lo

componen, resultando ası el conjunto F2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪[8/9, 1] ⊂ F1. Continuemos inductivamente este proceso. Supongamos cons-


truido el conjunto Fn y consideremos el subconjunto Fn+1 ⊂ Fn obtenido

eliminando de Fn el tercio central abierto de cada uno de los subintervalos

que lo componen. Denotemos C :=⋂∞n=0 Fn. A C se le denomina conjunto

de Cantor.

Teorema 6.5.1. El conjunto de Cantor C definido anteriormente es com-

pacto, tiene medida de Lebesgue nula y es no numerable.

Demostracion. Ya que C es interseccion de conjuntos cerrados, es cerrado.

Como C ⊂ [0, 1], resulta que C es acotado, luego es compacto por el teo-

rema de Heine–Borel. En particular, es medible Lebesgue. Por construccion,

cada Fn es union disjunta de 2n intervalos cerrados de amplitud 1/3n, luego

m(Fn) = (2/3)n. Por monotonıa y por el hecho de que C ⊂ Fn para todo n,

se deduce que 0 ≤ m(C) ≤ (2/3)n para todo n. Haciendo n → ∞, resulta

m(C) = 0. En cuanto a la no-numerabilidad, supongase, por reduccion al

absurdo, que C es numerable. Entonces podemos escribir C = {xn}n≥1. Co-

mo los dos intervalos que componen F1 son disjuntos, al menos uno de ellos,

llamemosle I1, no contiene a x1. Dos de los intervalos que forman F2 estan

contenidos en I1. Al menos uno de esos dos intervalos, al ser disjuntos, no

contiene a x2. Sea I2 ⊂ I1 dicho intervalo. De ese modo se va construyendo

una sucesion de intervalos cerrados acotados encajados, que tienen que tener

interseccion A 6= ∅. Notemos que A ⊂⋂n Fn = C. Elijamos x0 ∈ A, ası que

x0 ∈ C. Pero x0 no es ninguno de los elementos xn [y esto es contradiccion]

ya que, por construccion, xn /∈ In pero x0 ∈ In para todo n. �

Ejercicios

1.- (a) Hallar la medida de Lebesgue del conjunto Q de los numeros racionales.

(b) Hallar la medida de Lebesgue del conjunto de los numeros irracionales

del intervalo [0, 1].


(c) Hallar la medida de Lebesgue del conjunto de los numeros reales al-

gebraicos, es decir, aquellos numeros reales que son solucion de una

ecuacion polinomica con coeficientes enteros.

2.- Sea (X,M, µ) un espacio de medida y {An}n≥1 una sucesion de conjuntos

medibles de X, es decir, {An}n≥1 ⊂M.

(a) Probar que el conjunto A de los elementos de X que pertenecen a

infinitos conjuntos An es medible.

(b) Probar que el conjunto B de los elementos de X que pertenecen a

todos los An salvo a un numero finito de ellos es medible.

(c) Demostrar que µ(B) ≤ lım infn→∞ µ(An).

(d) Demostrar que si µ(∪An) <∞ entonces µ(A) ≥ lım supn→∞ µ(An).

(e) Demostrar el lema de Borel–Cantelli : si∑µ(An) < ∞ entonces

µ(A) = 0.

3.- Sea A ⊂ R un conjunto medible Lebesgue de medida positiva. Denotemos

por m la medida de Lebesgue sobre R.

(a) Demostrar la continuidad de la funcion f : x ∈ [0,+∞) 7→ m(A ∩

[−x, x]).

(b) Probar que para todo α ∈ (0,m(A)) existe B medible con B ⊂ A tal

que m(B) = α.

4.- Sea f : R→ R una funcion arbitraria. Llamemos A(f) al conjunto de puntos

en que f es continua. Para cada n ∈ N, denotemos por An la union de todos

los intervalos abiertos I de extremos racionales tales que supx,y∈I |f(x) −

f(y)| ≤ 1/n. Demostrar que A(f) =∞⋂n=1

An y concluir que A(f) es un

conjunto de Borel.

5.- Este ejercicio describe la construccion del conjunto de Vitali.


(a) Consideremos la relacion binaria en [0, 1] dada por x ∼ y si y solo si

x− y ∈ Q. Demostrar que es una relacion de equivalencia.

(b) Sea V ⊂ [0, 1] un subconjunto que se forma escogiendo exactamente un

representante en cada una de las clases de equivalencia generadas por la

relacion anterior. Sea {r1, r2, ..., rn, ...} una enumeracion del conjunto

numerable [−1, 1] ∩ Q, de modo que ri 6= rj si i 6= j. Probar que si

i 6= j entonces (ri + V ) ∩ (rj + V ) = ∅.

(c) Se define M =∞⋃n=1

(rn + V ). Demostrar que [0, 1] ⊂M ⊂ [−1, 2].

(d) Concluir, por vulneracion de la aditividad numerable, que V no es

medible Lebesgue.

6.- Sea (X,M, µ) un espacio de medida σ-finito. Demuestrese que, para cada

A ∈M, se tiene µ(A) = sup{µ(B) : B ∈M, B ⊂ A, µ(B) < +∞}.

7.- (a) Dar un ejemplo de un subconjunto no-medible A ⊂ R tal que m∗(A) =

+∞.

(b) Dar un ejemplo de un par de subconjuntos A y B de R que cumplan

simultaneamente las siguientes condiciones: A y B son no-medibles

Lebesgue, A ∪B y A ∩B son medibles Lebesgue, y A ∩B 6= ∅.

8.- Sea f : R → R una funcion lipchiciana, es decir, ∃α ∈ (0,+∞) tal que

|f(x) − f(y)| ≤ α · |x − y| ∀x, y ∈ R. Demostrar que si A ⊂ R tiene me-

dida de Lebesgue nula, entonces f(A) tambien tiene medida de Lebesgue

nula. Indicacion: verificar primero que f es continua, y usar el hecho de que

toda funcion continua transforma intervalos en intervalos; si ahora I es un

intervalo, estimar la longitud de f(I) en funcion de la longitud de I.

9.- Demostrar que, si (X, d) es un espacio metrico y x0 ∈ X es un punto fijo,

la expresion α(A) := sup{d(x, x0) : x ∈ A} (A ⊂ X) define una medida

exterior sobre X.


10.- Sea (X,M, µ) un espacio de medida finita, con la propiedad de que µ(A) > 0

si A 6= ∅. Demostrar que la expresion d(A,B) = µ((A \ B) ∪ (B \ A))

(A,B ∈M) define una metrica sobre M.

11.- Sea A ⊂ [0, 1] el conjunto de numeros reales x para cuya expresion decimal

x = 0, a1a2a3a4 . . . se verifica que {a2, a4, a6, . . . } ⊂ {1, 2}. Demostrar que

A es medible-Lebesgue y calcular m(A).

Capıtulo 7

Integral de Lebesgue

Una vez definida la medida de Lebesgue en R, el objetivo del capıtulo

sera definir la integral de una funcion de R a R. Lo haremos por etapas, igual

que en el capıtulo anterior, empezando por las funciones simples y extendien-

do la definicion por aproximaciones de estas. Como en la construccion de la

medida vista en el tema anterior, no se podra definir la integral de cualquier

funcion imaginable, sino que sera necesario definir una clase de funciones

a las que se les pueda asignar una integral. Sera la clase de las funciones

medibles. Podemos realizar este proceso de modo mas general, considerando

funciones X → R, donde X es el conjunto soporte de un espacio de medida

(X,M, µ) completo. Recordemos que la medida m de Lebesgue es comple-

ta. En la mayorıa de las aplicaciones practicas, se considerara un conjunto

medible Lebesgue M ⊂ R y el espacio de medida inducido (M,LM , µ|LM ).

7.1. Funciones simples

Dado un conjunto no vacıo X y un subconjunto A ⊂ X, la funcion

caracterıstica de A se define como la funcion χA : X → R que vale 1 en A y

0 en X \ A. Propiedades elementales son: χ∅ ≡ 0, χX ≡ 1, χA · χB = χA∩B,

91


χX\A = 1− χA, {χA = 1} = A y {χA = 0} = X \ A si A,B ⊂ X.

Hemos usado y usaremos notaciones conjuntistas como {f ≤ α}, {f ≥α}, {f = α}, {f = g}, {α ≤ f ≤ β} y ası sucesivamente, donde f, g :

X → R y α, β ∈ R. Su significado respectivo es {x ∈ X : f(x) ≤ α},{x ∈ X : f(x) ≥ α}, {x ∈ X : f(x) = α}, {x ∈ X : f(x) = g(x)} y

{x ∈ X : α ≤ f(x) ≤ β}.

La idea es definir la integral de la funcion caracterıstica de un conjun-

to medible A como∫XχA dµ = m(A) y extenderla, primero por linealidad

y despues por aproximacion de combinaciones lineales de funciones carac-

terısticas. Esto lleva al concepto de funcion simple.

Definicion 7.1.1. Sea (X,M) un espacio medible y ϕ : X → R. Se dice que

ϕ es una funcion simple si toma un numero finito de valores. Diremos que

ϕ es una funcion simple medible si ademas los toma en conjuntos medibles,

es decir, ϕ es simple medible si ϕ(X) es finito y {ϕ = α} ∈ M para cada

α ∈ ϕ(X).

De la definicion se deduce que ϕ es simple (simple medible, resp.) si y

solo si existen a1, ..., am ∈ R y A1, ..., Am ⊂ X (A1, ..., Am ∈ M, resp.) dos

a dos disjuntos tales que

ϕ =m∑i=1

aiχAi .

Puede suponerse ademas que⋃mi=1Ai = X, ya que puede anadirse un suman-

do mas tomando a0 = 0 y A0 = X \(⋃m

i=1Ai).

Una propiedad elemental es que si A ⊂ X y ϕ es simple, con ϕ =∑mi=1 aiχAi , entonces ϕχA =

∑mi=1 aiχAi∩A. Si A es medible y ϕ es medible,

entonces ϕχA es medible, en cuyo caso ϕχA es simple medible. Tambien es

facil ver que las funciones simples, ası como las simples medibles, constituyen

un espacio vectorial. En efecto, si ϕ =∑m

i=1 aiχAi y ψ =∑n

j=1 bjχBj son

INTEGRAL DE LEBESGUE 93

simples con⋃mi=1Ai = X =

⋃nj=1Bj, y α ∈ R, entonces

αϕ =m∑i=1

αaiχAi y ϕ+ ψ =m∑i=1

n∑j=1

(ai + bj)χAi∩Bj .

7.2. Funciones medibles

Para definir la integral de una funcion f , la idea es aproximarla por

funciones simples medibles del tipo∑m

i=1 aiχ{ai−ε≤f≤ai+ε}. Por tanto, es ne-

cesario que los conjuntos {ai−ε ≤ f ≤ ai+ε} sean medibles. Esto nos lleva al

concepto de funcion medible. Conviene recordar cuales son los subconjuntos

abiertos de R, ver Nota 6.2.4.

Definicion 7.2.1. Sea (X,M) un espacio medible y f : X → R. Decimos

que f es una funcion medible cuando f−1(G) ∈ M para todo subconjunto

abierto G de R. En el caso en que (X,M) = (M,LM), donde M ∈ L,

diremos que f es una funcion medible Lebesgue.

Comentamos aquı que, en el lenguaje propio de la Teorıa de la Probabi-

lidad, las funciones medibles se suelen llamar tambien variables aleatorias.

Proposicion 7.2.2. Sea (X,M) un espacio medible y f : X → R. Las

siguientes propiedades son equivalentes:

(a) La funcion f es medible.

(b) Para todo a ∈ R, {f < a} ∈ M.

(c) Para todo a ∈ R, {f ≤ a} ∈ M.

(d) Para todo a ∈ R, {f > a} ∈ M.

(e) Para todo a ∈ R, {f ≥ a} ∈ M.

Demostracion. Como M es una σ-algebra, un subconjunto A de X esta en

M si y solo si lo esta Ac. Se deduce que (b) y (e) son equivalentes y que (c)

y (d) son equivalentes. Fijemos a ∈ R. Si elegimos una sucesion (an) ⊂ R


estrictamente decreciente con an → a, se tiene que {f ≤ a} =⋂n{f < an}.

Si (b) es cierto, de ser M una σ-algebra se deduce que {f ≤ a} ∈ M,

ası que (b) implica (c). Que (d) implica (e) es analogo: basta elegir cualquier

sucesion (bn) ⊂ R estrictamente creciente con bn → a y tener en cuenta que

{f ≥ a} =⋂n{f > bn}. Por tanto las 4 propiedades (b)–(e) son equivalentes.

Supongamos ahora que (a) se cumple. Entonces cada conjunto G = [−∞, a)

es abierto en R, luego {f < a} = f−1(G) ∈ M. Ası que (a) implica (b).

Finalmente, teniendo en cuenta la estructura de los abiertos de R junto con

el hecho de que cada abierto G de R es union numerable de intervalos abiertos

(an, bn), de ser M una σ-algebra se deduce que (b) conjuntamente con (d)

implica (a) [notar que (b) y (d) pueden usarse conjuntamente, ya que son

equivalentes; se deduce en particular que f−1((an, bn)) = {f > an} ∩ {f <

bn} ∈ M]. Se ha usado tambien que la operacion de tomar preimagenes

respeta las operaciones de union e interseccion de conjuntos. �

Demos algunos ejemplos. La funcion caracterıstica χA es medible si y solo

si A ∈M. Si ϕ es simple, es facil ver que es medible en el sentido de la defini-

cion anterior si y solo si lo es en el sentido de la Definicion 7.1.1. Si A1, ..., Am

son medibles y a1, ..., am ∈ R entonces la funcion simple∑m

i=1 aiχAi es medi-

ble. Toda funcion continua f : R→ R es medible Lebesgue. De la proposicion

anterior tambien se deduce que si f : X → R es medible y a ∈ R entonces

el conjunto {f = a} es medible. En el siguiente teorema agrupamos ejem-

plos mas generales, que incluyen propiedades operacionales de las funciones

medibles.

Teorema 7.2.3. Supongamos que (X,M) es un espacio medible.

(a) Si f, g : X → R son medibles y α ∈ R, entonces las funciones αf ,

f · g, f + g y f/g son medibles. Para el cociente se supone que f y g

no son simultaneamente nulas en ningun punto.


(b) Si f : X → R es medible y g : R→ R es continua, entonces g ◦ f es

medible.

(c) Si f, g, fn : X → R (n ≥ 1) son medibles, entonces las funciones

max{f, g}, mın{f, g}, f+, f−, |f |, supn fn, ınfn fn, lım supn fn y

lım infn fn son medibles.

(d) Si f : X → R es medible, A ∈ M y sobre A se considera el espacio

medible inducido (A,MA), la restriccion f |A : A→ R es medible.

(e) Si fn : X → R (n ≥ 1) son medibles, el conjunto L := {x ∈ X :

∃ lımn fn(x) ∈ R} es medible. Ademas, si sobre L se considera el espa-

cio medible inducido, la funcion f : L→ R dada por f(x) = lımn fn(x)

es medible.

Demostracion. (a) Partimos de que f y g son medibles. Sea α ∈ R. Que αf

es medible se prueba facilmente usando la Proposicion 7.2.2 y distinguiendo

los casos α = 0, α > 0, α < 0. Fijado α ∈ R, se tiene que α + f es medible

si lo es f . En efecto, usando de nuevo la Proposicion 7.2.2 y fijando a ∈ R,

resulta que {α + f < a} = {f < a − α} ∈ M, y se obtiene lo deseado.

Por otra parte, se tiene que −g = (−1)g es medible y, por lo anterior, α− gtambien es medible. Si ahora fijamos a ∈ R, obtenemos que {f + g < a} =

{f < a−g} =⋃∞n=1({f < qn}∩{qn < a−g}), donde (qn) es una enumeracion

de los elementos de Q [se ha usado que Q es denso en R]. La ultima union es

medible porque M es una σ-algebra, de donde f + g es medible. Probemos

ahora que f 2 es medible. Si a ≤ 0 entonces {f 2 < a} = ∅ ∈ M. Si a > 0,

resulta que {f 2 < a} = {f < a1/2} ∩ {f > −a1/2} ∈ M. Ası que f 2 es

medible. Observemos ahora que f · g = (1/2)((f + g)2 − f 2 − g2). Uniendo

los resultados anteriores, f · g es medible. En cuanto al cociente, si a ≥ 0,

tenemos que {1/f > a} = {f > 0} ∩ {f < 1/a} ∈ M, mientras que si a < 0


resulta que {1/f > a} = {f > 0} ∪ {f < 1/a} ∈ M. Por la Proposicion

7.2.2, 1/f es medible. Luego f/g = (1/g) · f es medible.

(b) Sea G un abierto de R. Como g es continua, g−1(G) es abierto en R y,

ya que f es medible, f−1(g−1(G)) ∈ M. Pero f−1(g−1(G)) = (g ◦ f)−1(G).

Ası que g ◦ f es medible.

(c) Llamemos F := supn fn y G := ınfn fn. Si a ∈ R, tenemos que {F ≤a} =

⋂n{fn ≤ a} ∈ M porque cada fn es medible y M es una σ-algebra.

Ası que F es medible. De la igualdad {G ≥ a} =⋂n{fn ≥ a} se deduce

analogamente que G es medible. Haciendo f1 = f , f2 = g, f3 = f , f4 = g, . . .

resulta como caso particular que max{f, g} y mın{f, g} son medibles. Ya

que −f es medible y se tiene |f | = max{f,−f}, f+ = max{f, 0} y f− =

max{−f, 0}, inferimos la medibilidad de estas tres funciones. Recordando

que lım supn fn = ınfn supk≥n fk y lım infn fn = supn ınfk≥n fn, concluimos

que lım supn fn y lım infn fn son asimismo medibles.

(d) Si G es un abierto de R entonces (f |A)−1(G) = A ∩ f−1(G), que es un

conjunto medible porque A y f−1(G) lo son.

(e) Bajo las hipotesis del enunciado, si llamamos ϕ = lım supn fn y ψ =

lım infn fn, se tiene que L = [ϕ−1(R) ∩ ψ−1(R) ∩ {ϕ − ψ = 0}] ∪ [{ϕ =

+∞}∩{ψ = +∞}]∪ [{ϕ = −∞}∩{ψ = −∞}]. Este es un conjunto medible

porque ϕ y ψ son medibles y M es una σ-algebra. Por ultimo, f = ϕ|L. Se

deduce de (d) que f es medible. �

El ultimo resultado de esta seccion muestra que las funciones medibles

son aquellas que pueden ser aproximadas por funciones simples medibles.

Teorema 7.2.4. [Teorema de aproximacion por funciones simples]

(a) Sea (X,M) un espacio medible y f : X → [0,+∞] medible. Entonces

existe una sucesion (ϕn) de funciones simples medibles tales que 0 ≤


ϕn(x) ≤ ϕn+1(x) ≤ f(x) para todo x ∈ X y todo n ∈ N, de modo que

lımn→∞

ϕn(x) = f(x) para todo x ∈ X.

(b) Sea (X,M) un espacio medible y f : X → R medible. Entonces existe

una sucesion (ϕn) de funciones simples medibles tales que |ϕn(x)| ≤|f(x)| para todo x ∈ X y todo n ∈ N, de modo que lım

n→∞ϕn(x) = f(x)

para todo x ∈ X. Si f es acotada, la convergencia puede conseguirse

uniforme.

Demostracion. Supuesto probado (a), la parte (b) es inmediata. En efecto:

f = f+ − f− con f+, f− : X → [0,+∞] medibles. Entonces existen ϕn, ψn

(n ∈ N) simples y medibles de X en [0,+∞] tales que ϕn(x) ↑ f+(x) y

ψn(x) ↑ f−(x) para todo x ∈ X. Luego {ϕn − ψn}∞n=1 es una sucesion de

funciones simples y medibles tales que ϕn(x)− ψn(x)→ f(x) (n→∞) para

todo x ∈ X. La desigualdad |ϕn(x)| ≤ |f(x)| y la parte de la convergencia

uniforme se deduce de la prueba de (a), donde se vera esta propiedad de

convergencia uniforme en el caso de f ≥ 0 con f acotada. Basta observar que

si f : X → R es acotada, entonces f = f+ − f− con f+ y f− acotadas.

Probemos (a). Sea f ≥ 0 y medible. Entonces los conjuntos En,i :=

f−1([ i−12n, i

2n)) (1 ≤ i ≤ n2n, n ∈ N) y Fn := f−1([n,+∞]) (n ∈ N) son

medibles, al serlo f . Se deduce que, para cada n ∈ N, la funcion

ϕn :=n2n∑i=1

i− 1

2nχEn,i + nχFn

es no negativa, simple y medible.

Fijemos ahora n ∈ N, y x ∈ X. Tenemos:

Si f(x) ≥ n, entonces ϕn(x) = n ≤ f(x).

Si f(x) < n, entonces existe i ∈ {1, 2, . . . , n2n} tal que i−12n≤ f(x) < i

2n,

luego ϕn(x) = i−12n≤ f(x).


En ambos casos obtenemos que ϕn(x) ≤ f(x). Probemos ahora que

{ϕn(x)}n≥1 es creciente para cada x ∈ X.

Si f(x) ≥ n+ 1 entonces ϕn(x) = n ≤ n+ 1 = ϕn+1(x).

Si n ≤ f(x) < n + 1 entonces ϕn(x) = n y ϕn+1(x) = i−12n+1 , donde

i ∈ {1, . . . , (n + 1)2n+1} es tal que i−12n+1 ≤ f(x) < i

2n+1 . Por tanto

n < i2n+1 , luego n2n+1 < i. Se deduce que n2n+1 ≤ i − 1, ası que

ϕn(x) = n ≤ i−12n+1 = ϕn+1(x).

Si f(x) < n, se tiene que f(x) < n + 1, luego existe i ∈ {1, . . . , n2n}y existe j ∈ {1, . . . , (n + 1)2n+1} tales que i−1

2n≤ f(x) < i

2ny j−1

2n+1 ≤f(x) < j

2n+1 , de donde resulta ϕn(x) = i−12n

y ϕn+1(x) = j−12n+1 . Pero de las

desigualdades anteriores obtenemos que i−12n

< j2n+1 , luego 2(i− 1) < j,

ası que 2(i− 1) ≤ j − 1, y por tanto ϕn(x) = i−12n≤ j−1

2n+1 = ϕn+1(x).

En todos los casos obtenemos que ϕn(x) ≤ ϕn+1(x).

Por ultimo, probemos que lımn→∞

ϕn(x) = f(x) para todo x ∈ X.

Si f(x) = +∞, entonces ϕn(x) = n para todo n ∈ N, de donde

lımn→∞

ϕn(x) = f(x).

Si f(x) < +∞, existe n0 ∈ N tal que f(x) < n0, luego, para todo n ≥n0, se tiene que ϕn(x) = in−1

2n≤ f(x) < in

2ncon in ∈ {1, . . . , n2n}. Esto

implica que |ϕn(x)− f(x)| = f(x)−ϕn(x) < 12n→ 0. En consecuencia,

ϕn(x)→ f(x) (n→∞).

Notemos finalmente que, si f es acotada, el n0 obtenido anteriormente no

depende de x, con lo que tendrıamos que, para todo n ≥ n0, supx∈X|ϕn(x) −

f(x)| ≤ 12n→ 0, de donde obtenemos la convergencia uniforme. �


7.3. Integral de Lebesgue de funciones no ne-

gativas

Nuestro objetivo es definir la integral de Lebesgue de una funcion me-

dible. De aquı en adelante, e incluyendo el Capıtulo 8, vamos a considerar

un espacio de medida completo (X,M, µ).

Comenzaremos por las funciones medibles y no negativas, y dentro de

estas por las funciones simples. Si A es un conjunto medible, es natural

definir∫AχA dµ = µ(A). Extendemos la definicion por linealidad.

Definicion 7.3.1. Dada una funcion simple medible no negativa ϕ : X →[0,+∞), de modo que ϕ =

∑mi=1 aiχAi , con ai ∈ [0,+∞) y Ai conjuntos

medibles dos a dos disjuntos, se define la integral de Lebesgue de ϕ sobre

X respecto de µ como ∫X

ϕdµ =m∑i=1

aiµ(Ai).

Notese que la integral de ϕ es un numero de [0,+∞]. Si para algun i es

ai > 0 y µ(Ai) = +∞, entonces∫Xϕdµ = +∞. Se toma la convencion de

que 0 · (+∞) = 0, de modo que si para algun i es ai = 0 y µ(Ai) = +∞,

se entiende que el sumando correspondiente es ai · µ(Ai) = 0.

La definicion dada no depende de la representacion usada de ϕ como com-

binacion lineal de funciones caracterısticas de conjuntos dos a dos disjuntos,

ver Ejercicio 14. Definimos ahora la integral sobre un conjunto medible.

Definicion 7.3.2. Si ϕ es una funcion simple medible no negativa como en

la definicion anterior y A ∈ M, se define la integral de Lebesgue de ϕ sobre

A como ∫A

ϕdµ =

∫X

ϕ · χA dµ =m∑i=1

aiµ(Ai ∩ A).


Reunimos algunas propiedades en la siguiente proposicion. Su prueba es

sencilla a partir de la definicion, por lo que se deja como ejercicio. Baste decir

que para demostrar la segunda parte de (a) puede usarse la representacion

de ϕ+ ψ dada al final de la seccion 7.1.

Proposicion 7.3.3. Sean α ≥ 0 y ϕ, ψ funciones simples medibles no ne-

gativas. Se tiene:

(a)∫X

(αϕ) dµ = α∫Xϕdµ y

∫X

(ϕ+ ψ) dµ =∫Xϕdµ+

∫Xψ dµ.

(b) Si ϕ ≤ ψ entonces∫Xϕdµ ≤

∫Xψ dµ.

(c) Si A ∈M con µ(A) = 0 entonces∫Aϕdµ = 0.

(d) La aplicacion νϕ : E ∈M 7→∫Eϕdµ ∈ [0,+∞] es una medida positiva,

es decir,∫⋃

n Enϕdµ =

∑n

∫Enϕdµ para toda sucesion (En) de

conjuntos medibles y disjuntos dos a dos.

Inspirados en el teorema de aproximacion de funciones medibles, parece

natural dar la siguiente definicion para funciones no negativas.

Definicion 7.3.4. Supongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida y

que f : X → [0,+∞] es una funcion medible. Se define la integral de f sobre

X respecto de µ como∫X

f dµ = sup

{∫X

ϕdµ : ϕ simple y medible con 0 ≤ ϕ ≤ f

}.

Si A ∈M, la integral de f sobre A se define como∫Af dµ =

∫Xf · χA dµ.

El supremo de la definicion anterior se entiende perteneciente a [0,+∞],

de modo que siempre existe: es un numero real ≥ 0 si el conjunto esta acotado

superiormente, y +∞ si no lo esta. Observemos tambien que la definicion de

integral es consistente con la dada en el caso en que f sea simple y medible.


7.4. Propiedades de la integral de funciones

no negativas

Reunimos las principales propiedades en la siguiente proposicion.

Proposicion 7.4.1. Sean f, g : X → [0,+∞] medibles, A,B ∈M y α ≥ 0.

Se verifican las siguientes propiedades:

(a) Si f ≤ g en X, entonces∫Xf dµ ≤

∫Xg dµ.

(b) Si A ⊂ B entonces∫Af dµ ≤

∫Bf dµ.

(c)∫Xαf dµ = α

∫Xf dµ.

(d)∫X

(f + g) dµ =∫Xf dµ+

∫Xg dµ.

(e) Si o bien f ≡ 0 en A o bien µ(A) = 0, entonces∫Af dµ = 0.

(f) Si µ(A) = 0 entonces∫Xf dµ =

∫X\A f dµ.

Demostracion. El apartado (a) es evidente a partir de la definicion, porque

si ϕ es simple y medible y 0 ≤ ϕ ≤ f entonces 0 ≤ ϕ ≤ g.

El apartado (b) resulta de (a) y del hecho de que fχA ≤ fχB si A ⊂ B.

Si α = 0, la propiedad dada en (c) se cumple trivialmente. Si α > 0, el

resultado sale de la definicion de integral, de que∫Xαϕdµ = α

∫Xϕdµ si

ϕ es simple, medible y ≥ 0, y del hecho de que, si C ⊂ [0,+∞], entonces

sup (αC) = α supC.

Probemos (d). Existen dos sucesiones crecientes (fn) y (gn) de funciones

simples, medibles y no negativas tales que fn → f y gn → g puntualmente.

Ası que fn + gn → f + g puntualmente. Por el teorema de la convergencia

monotona para funciones medibles no negativas [Teorema 8.1.1(a), que se

demostrara independientemente] y por la aditividad de la integral de este

tipo de funciones, resulta que∫X

(f + g) dµ = lımn→∞∫X

(fn + gn) dµ =

lımn→∞∫Xfn dµ+ lımn→∞

∫Xgn dµ =

∫Xf dµ+

∫Xg dµ, como se requerıa.

En cuanto a (e), si f = 0 en A entonces∫Af dµ =

∫XfχA dµ =

∫X

0 dµ =

0, mientras que la segunda parte de (e) se deduce de la definicion de integral


y de la Proposicion 7.3.3 (c). Finalmente, para probar (f), descomponer f =

fχA + fχX\A y usar (d). �

7.5. Conjuntos de medida nula

Las propiedades (e) y (f) de la proposicion anterior nos vienen a decir

que los conjuntos de medida nula son “despreciables” para la integracion.

Observando esta propiedad, tenemos que si Z ∈ M, con µ(Z) = 0, y f :

X \ Z → [0,+∞] es medible (considerando en X \ Z el espacio de medida

inducido), podrıamos definir∫Xf dµ :=

∫XF dµ, donde F : X → [0,+∞]

es la funcion dada por F (x) := f(x) si x ∈ X \ Z y F (x) := 0 si x ∈ Z.

Esto sugiere que es importante estudiar mas detenidamente los conjuntos de

medida nula en relacion con la integracion.

Definicion 7.5.1. Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo y P (·) una

propiedad definida sobre los elementos de X. Si A ∈ M, se dice que P se

verifica en casi todo A (e.c.t. A, o bien e.c.t. x ∈ A) cuando el conjunto

N := {x ∈ A : P (x) no se verifica} ∈ M y µ(N) = 0.

Por ejemplo, la expresion f = g en casi todo X significa que el conjunto

{x ∈ X : f(x) 6= g(x)} es medible y que su medida es nula. En tal caso

tambien se dice que f y g son µ-equivalentes. El siguiente resultado mues-

tra que la medibilidad de una funcion se mantiene por equivalencia y por

convergencia puntual e.c.t. Ademas la integral no varıa por µ-equivalencias.

Proposicion 7.5.2. (a) Si f, g : X → R son tales que f es medible y

f = g e.c.t., entonces g es tambien medible.

(b) Si fn, f : X → R (n = 1, 2, ...) son tales que cada fn es medible y

lımn→∞

fn(x) = f(x) e.c.t. X, entonces f es medible.


(c) Si f, g : X → [0,+∞] son medibles e iguales e.c.t. X, entonces∫Xf dµ =∫

Xg dµ.

(d) Si f : R → R es una funcion continua salvo en los puntos de un

conjunto de medida de Lebesgue nula, entonces f es medible Lebesgue.

Demostracion. (a) Llamemos N := {x ∈ X : f(x) 6= g(x)}. Hemos de

probar que, dado a ∈ R, el conjunto A := {x ∈ X : g(x) < a} ∈ M.

Tenemos A = (A ∩ N) ∪ (A ∩ N c) ∈ M, ya que A ∩ N ∈ M porque µ es

completa, y como N c ∈ M y A ∩N c = {x ∈ X : f(x) < a} ∩N c, se tiene

tambien que A ∩N c es medible.

(b) Llamemos N = {x ∈ X : fn(x) 9 f(x)}. Entonces N ∈ M y µ(N) = 0.

Denotemos g(x) := lım supn→∞ fn(x). Sabemos que g es medible. Por otra

parte, el conjunto {x ∈ X : g(x) 6= f(x)} esta contenido en N y µ(N) = 0.

Como µ es completa, el conjunto {g 6= f} es medible de medida nula, y por

tanto g = f e.c.t. De (a) se deduce que f es medible.

(c) Descomponer f = fχN + fχNc , donde N = {x ∈ X : f(x) 6= g(x)}.

(d) Existe N ∈ L con m(N) = 0 tal que f es continua en cada punto de

N c = R \ N . Entonces g := f |Nc : N c → R es continua. Llamemos h :=

f |N : N → R. Fijemos a ∈ R. Como (a,+∞) es un abierto de R, el conjunto

g−1((a,+∞)) es un abierto en la topologıa usual de R restringida a N c. Por

tanto, existe U abierto de R [luego U ∈ L] tal que g−1((a,+∞)) = U ∩ N c.

Entonces f−1((a,+∞)) = (U ∩ N c) ∪ h−1((a,+∞)). Ya que la medida de

Lebesgue es completa y h−1((a,+∞)) ⊂ N , se tiene que h−1((a,+∞)) ∈ L.

Puesto que L es una σ-algebra, f−1((a,+∞)) ∈ L, y esto prueba que f es

medible. �

Cuando se defina la integral para toda funcion medible, se vera que el

apartado (c) es tambien valido. El siguiente resultado auxiliar es interesante

por sı mismo y tendra importantes consecuencias.


Lema 7.5.3. [Desigualdad de Chebyshev] Si a ∈ (0,+∞) y f : X →[0,+∞] es medible, entonces µ({f ≥ a}) ≤ 1

a

∫X

f dµ.

Demostracion. Pruebese que a · χ{f≥a} ≤ f e integrese. �

Corolario 7.5.4. Sean f : X → [0,+∞] una funcion medible y A ∈M.

(a) Si∫Af dµ = 0, entonces f(x) = 0 e.c.t. x ∈ A.

(b) Si∫Af dµ < +∞ entonces f(x) < +∞ e.c.t. x ∈ A.

Demostracion. (a) El conjunto N := {x ∈ A : f(x) 6= 0} es medible. Hemos

de probar que µ(N) = 0. Notemos que N = {x ∈ A : f(x) > 0} =∞⋃n=1

{x ∈

A : f(x) ≥ 1n}. Por reduccion al absurdo, si fuese µ(N) > 0, existira algun

m ∈ N tal que µ({x ∈ A : f(x) ≥ 1m}) > 0. Por la desigualdad de Chebyshev,

se tiene 0 < m ·∫Af dµ. Por tanto

∫Af dµ > 0, lo cual es una contradiccion.

(b) Hemos de probar esta vez que el conjunto medible N := {x ∈ A :

f(x) = +∞} cumple µ(N) = 0. Ahora bien, N =∞⋂n=1

{x ∈ A : f(x) ≥ n}.

Por la desigualdad de Chebyshev, µ({x ∈ A : f(x) ≥ n}) ≤ 1n

∫Af dµ → 0

(n→∞). Entonces, ya que cada conjunto {x ∈ A : f(x) ≥ n} tiene medida

finita y la interseccion anterior es decreciente, se obtiene de la Proposicion

6.2.5 (f) que µ(N) = lımn→∞

µ({x ∈ A : f(x) ≥ n}) = 0. �

7.6. Integral de Lebesgue de funciones medi-

bles

Consideramos ahora el caso de una funcion medible general. Para ello,

consideraremos sus partes positiva y negativa. Recordemos que estamos su-

poniendo que las funciones estan definidas en un espacio de medida completo

(X,M, µ).


Definicion 7.6.1. Sea f : X → R medible. Se dice que f es integrable

Lebesgue sobre X cuando ambas integrales∫Xf+ dµ e

∫Xf− dµ son finitas.

En tal caso, se define la integral de f en X como el numero real∫X

f dµ :=

∫X

f+ dµ−∫X

f− dµ.

Si A ∈ M, se dice que f es integrable Lebesgue sobre A cuando f · χAes integrable sobre X, en cuyo caso la integral de f en A es por definicion∫Af dµ :=

∫Xf · χA dµ.

Notese que, ya que f+ = f y f− = 0 si f ≥ 0, la definicion de inte-

gral es consistente con la dada para funciones no negativas. Se denotara por

L1(µ,X), o bien por L1(X) si no hay confusion en la medida, el conjunto de

las funciones integrables sobre X respecto de µ. Si A ∈ M, por L1(A) o

L1(µ,A) denotaremos el conjunto de las funciones integrables sobre A. En el

caso de una de las dos integrales∫Xf+ dµ o

∫Xf− dµ sea finita y la otra no,

se puede definir la integral como −∞ o +∞; en ese caso, f no es integrable,

aunque existe la integral.

Reunimos en la proposicion que viene a continuacion las propiedades ope-

racionales basicas de la integral de Lebesgue.

Proposicion 7.6.2. (a) Si f integrable en X y A ∈ M entonces f es

integrable en A.

(b) Si f ∈ L1(X), entonces f es finita e.c.t. X.

(c) Si f es medible con f = 0 e.c.t. A o si µ(A) = 0, entonces f es inte-

grable en A y∫Af dµ = 0. En consecuencia, si f y g son funciones

medibles µ-equivalentes, entonces si una de ellas es integrable en X, la

otra lo es y∫Xf dµ =

∫Xg dµ.


(d) L1(X) es un espacio vectorial. Especıficamente, si f, g ∈ L1(X) y

α, β ∈ R, entonces αf + βg ∈ L1(X) y ademas∫X

(αf + βg) dµ = α∫Xf dµ+ β

∫Xg dµ.

(e) Si A y B son medibles y disjuntos y f : X → R es integrable en A y

en B, entonces f ∈ L1(A ∪B) y∫A∪B f dµ =

∫Af dµ+

∫Bdµ.

(f) Si f y g son integrables en X y f ≤ g e.c.t. X, entonces∫Xf dµ ≤

∫Xg dµ.

(g) Si f, g ∈ L1(X) entonces max{f, g}, mın{f, g} ∈ L1(X).

(h) Si f ∈ L1(X) y∫Af dµ = 0 para todo A ∈ M, entonces f = 0

e.c.t. X.

Demostracion. Las propiedades (a), (b) y (c) son ciertas para funciones medi-

bles no negativas. Considerando que f = f+−f−, (a), (b) y (c) se demuestran

sin dificultad para cualquier funcion medible f .

En (d), observar que αf + βg esta definida e.c.t. X, y por (c) se puede

definir como 0 –por ejemplo– en el conjunto de medida nula donde no esta de-

finida. Que f + g y αf son integrables si f y g lo son y α ≥ 0, ası como las

correspondientes igualdades integrales, son validas para f+ y f−. Si α <

0, es inmediato ver que αϕ es integrable para toda ϕ ≥ 0 integrable, y

que∫Xαϕdµ = α

∫Xϕdµ. Aplicandolo a ϕ = f+, f− y combinando estos

resultados, se obtiene (d).

El apartado (e) resulta de aplicar (d) a la descomposicion f · χA∪B =

f · χA + f · χB.

En cuanto a (f), se tiene por (a) que g − f es real y ≥ 0 e.c.t. X, y de

nuevo por (c) podemos suponer que g − f ≥ 0 en todo X. Ası que g − f

es una funcion integrable [por (d)] y no negativa, luego∫X

(g − f) dµ ≥ 0.

Aplicando (d) [con α = −1 y β = 1], se deduce la desigualdad deseada.


Para (g), partimos de que f, g ∈ L1(X). Entonces F := max{f, g} y

G := mın{f, g} son medibles y sus partes positivas y negativas cumplen

F+, F−, G+, G− ≤ f+ + f− + g+ + g−. Pero la integral de cada una de las

funciones f+, f−, g+, g− es finita, luego la integral de su suma tambien lo es.

Por tanto, la integral de cada una de las funciones F+, F−, G+, G− es finita.

Esto prueba la integrabilidad de F y G.

Finalmente, (h) se deduce del Corolario 7.5.4(a) aplicado a los pares

(f+, A = {f(x) ≥ 0}), (f−, A = {f(x) ≤ 0}). �

El siguiente resultado es muy util en la teorıa y en la practica, ya que

reduce la integrabilidad de una funcion medible al hallazgo de una mayoran-

te positiva integrable. La afirmacion es falsa para integrales impropias. Por

ejemplo, la funcion senxx

es integrable Riemann impropiamente en (0,+∞),

pero∣∣ senx

x

∣∣ no lo es.

Teorema 7.6.3. Sea f : X → R. Son equivalentes:

(a) f ∈ L1(X).

(b) f es medible y |f | ∈ L1(X).

(c) f es medible y existe g ∈ L1(X) con g(x) ≥ 0 y |f(x)| ≤ g(x)

e.c.t. x ∈ X.

Si se da cualquiera de las propiedades anteriores, se verifica

∣∣ ∫X

f dµ∣∣ ≤ ∫

X

|f | dµ =

∫X

f+ dµ+

∫X

f− dµ.

En particular, cada funcion medible y acotada f : X → R es integrable en

cada conjunto medible A de medida finita, de modo que

∣∣ ∫A

f dµ∣∣ ≤ µ(A) · sup

A|f |,

y las funciones continuas R → R son integrables respecto de la medida de

Lebesgue m en cada subconjunto compacto de R.


Demostracion. La igualdad y las desigualdades finales resultan de las defini-

ciones, de la proposicion anterior, de que |f |χA ≤ supA |f |χA y de los hechos

de que toda funcion continua R → R es medible Lebesgue, es acotada en

cada compacto, y cada compacto de R tiene medida m finita.

Probemos ahora que (a), (b) y (c) son equivalentes. Si partimos de (a),

tenemos que f es medible y f+ y f− son integrables. Como |f | = f+ +f−, de

la proposicion anterior se deduce que |f | es integrable, y esto nos da (b). Que

(b) implica (c) es trivial sin mas que tomar g = |f |. Por ultimo, si partimos

de (c), tenemos por hipotesis que f es medible. Ası que f+ y f− son medibles

y positivas. Ademas f+, f− ≤ g en X, donde g es la funcion definida como

g = g en X \Z y g = |f | en Z, siendo Z el conjunto –de medida nula– donde

g(x) < |f(x)|. Entonces g es medible, no negativa, y∫Xg dµ =

∫Xg dµ [pues

g = g e.c.t.]. Se deduce que∫Xf+ dµ y

∫Xf− dµ son tambien finitas, y ya

tenemos (a). �

Por razones que apareceran claras en el proximo capıtulo, se conservara la

notacion∫Af(x) dx para la integral de Lebesgue de una funcion medible f

en un conjunto medible A, y∫ baf(x) dx para la integral de Lebesgue de f

en un intervalo de extremos a y b.

Ejercicios

1.- Probar con detalle la Proposicion 7.3.3.

2.- Demostrar que si f : R→ R es continua y transforma conjuntos de medida

nula en conjuntos de medida nula, entonces f transforma conjuntos medibles

en conjuntos medibles. Indicacion: usar el Teorema 6.4.2 [(a) ⇔ (e)].

3.- Sea f : R → R definida por f(x) = 0 si x ∈ Qc y f(x) = 1/q si x = p/q,

donde q > 0 y la fraccion p/q es irreducible. Probar que f es medible y hallar

una sucesion de funciones simples que tienda puntualmente a f .


4.- Pruebese que cada funcion f : R→ R monotona es medible.

5.- Sea (X,M) un espacio medible. Pruebese que una funcion f : X → R

es medible si y solo si se verifica cualquiera de las propiedades (b)–(e) de

la Proposicion 7.2.2 en las que se sustituye “para todo a ∈ R” por “para

todo a ∈ Q”. Indicacion: para cada a ∈ R existen sucesiones (bn) y (cn) de

numeros racionales con bn < a < cn para todo n y bn → a← cn.

6.- Decidir razonadamente si las funciones siguientes son integrables-Lebesgue

o no, en los conjuntos que se indican:

(a) 1−cosxx(1+x2)

en (0,+∞).

(b) x·arctanx1+x2

en [1,+∞).

(c) log(1+x2)

x√

1−x2 en (0, 1).

(d) e−x2

log x en (0,+∞).

(e) senxx en (0,+∞).

7.- Sea (An) una sucesion de subconjuntos de R. Definimos f :=

∞∑n=1

χAn10n

. Pro-

bar que f es medible si y solo si los conjuntos An son medibles.

8.- Sea f : R → R una funcion medible. El soporte de f se define como {x ∈

R : f(x) 6= 0}.

(a) Probar que f es integrable-Lebesgue si y solo si∞∑

n=−∞2n ·m({x ∈ R : 2n < |f(x)| ≤ 2n+1}) <∞.

(b) Probar que si el soporte de f tiene medida finita, entonces f es inte-

grable Lebesgue si y solo si

∞∑n=1

2n ·m({x ∈ R : |f(x)| > 2n}) <∞.

Indicacion: Usar el Corolario 8.1.2(a) del Capıtulo 8. Para (a), considerar

las funciones∑

n∈Z 2n · χAn y∑

n∈Z 2n+1 · χAn , donde An = {2n < |f | ≤

2n+1}. Para (b), utilizar la funcion 2 · χ{0<|f |≤2} +∑∞

n=1 2n+1 · χAn y la

descomposicion {|f | > 2n} =⋃∞k=nAk.


9.- Sea f una funcion integrable-Lebesgue en R y no negativa. Si A ⊂ R es un

conjunto medible-Lebesgue, definimos µf (A) :=∫A f(x) dx.

(a) Demostrar que µf es una medida sobre los conjuntos medibles-Lebesgue

de R.

(b) Si f(x) =1

1 + x2y A = {x ∈ R : x3 + 3x ≥ 3x2 + 1}, calcular µf (A).

Indicacion: Para el apartado (b), usese el hecho de que si una funcion ≥ 0 es

integrable Riemann impropiamente en un intervalo I entonces es integrable

Lebesgue respecto de m y ambas integrales coinciden (ver Capıtulo 8).

10.- Sea ϕ : [0,+∞)→ [0,+∞] con ϕ(0) = 0. Se define la funcion

ψ : y ∈ [0,+∞) 7→ sup{xy − ϕ(x) : x ≥ 0}.

(a) Probar que ψ es medible viendo que cada conjunto ψ−1((a,+∞)) es

abierto.

(b) Probar que se cumple xy ≤ ϕ(x) + ψ(y) para todo x, y ∈ [0,+∞).

(c) Hallar ψ para ϕ(x) = xp/p, con 1 < p < +∞.

11.- Sea f : R→ R una funcion medible y acotada, y llamemos g(x) := sup{f(t) :

t > x} para cada x ∈ R.

(a) Probar que g es medible.

(b) Demostrar que el conjunto A := {x ∈ R : ∃t > x con f(t) > f(x)} es

medible.

12.- Sean (X,M, µ) un espacio de medida completo y f, g : X → (0,+∞)

dos funciones medibles. Demuestrese que∫X f/g dµ

µ({f≥g}) ≥ 1. Como aplicacion,

pruebese que

∫R

4x2

x4 + 3dx ≥ 2(

√3− 1).

13.- Supongamos que f : [a, b] → R es una funcion acotada. Para cada δ > 0,

se consideran las funciones f∗, f∗ : [a, b] → R, llamadas funcion superior y


funcion inferior de f , dadas respectivamente por

f∗(x) := lımδ→0+

sup{f(y) : y ∈ [a, b] ∩ [x− δ, x+ δ]} y

f∗(x) := lımδ→0+

ınf{f(y) : y ∈ [a, b] ∩ [x− δ, x+ δ]}.

(a) Probar que f∗ y f∗ estan bien definidas y que, de hecho, se puede

sustituir “lımδ→0+” en su definicion por “ınfδ>0” y “supδ>0”, respec-

tivamente.

(b) Demostrar que f∗(x) ≤ f(x) ≤ f∗(x) para todo x ∈ [a, b].

(c) Fijados α ∈ R y x0 ∈ {f∗ < α}, demostrar que existe β > 0 tal que

[a, b] ∩ (x0 − β, x0 + β) ⊂ {f∗ < α}.

(d) Deducir de (c) que f∗ es medible Lebesgue.

(e) De manera analoga, considerando conjuntos de la forma {f∗ > α},

demostrar que f∗ es medible.

(f) Fijado x0 ∈ [a, b], probar que f es continua en x0 si y solo si f∗(x0) =

f∗(x0), en cuyo caso f∗(x0) = f(x0) = f∗(x0).

(g) El conjunto C(f) de puntos de [a, b] donde f es continua, ası como el

conjunto D(f) de [a, b] donde f es discontinua, son medibles Lebesgue.

(h) Si {Ik,n : k = 1, ..., n} es una particion de [a, b] en n intervalos cerrados

de longitud b−an y denotamos ϕn(x) :=

∑nk=1 sup{f(y) : y ∈ Ik,n} ·

χIk,n(x) y ψn(x) :=∑n

k=1 ınf{f(y) : y ∈ Ik,n} · χIk,n(x), demostrar

que ϕn(x) → f∗(x) y ψn(x) → f∗(x) e.c.t. x ∈ [a, b]. Indicacion: la

union en n ∈ N de los conjuntos de puntos extremos de los intervalos

Ik,n (k = 1, ..., n) es numerable, y por tanto su medida de Lebesgue es

nula.

14.- Sea (X,M, µ) un espacio de medida. Demostrar que la definicion de integral

de una funcion medible no negativa no depende de su representacion como

combinacion lineal de funciones caracterısticas de conjuntos medibles dos

a dos disjuntos, es decir, si ϕ =∑m

i=1 aiχAi y tambien ϕ =∑n

j=1 bjχBj ,


donde a1, ..., am, b1, ..., bn ∈ R, A1, ..., Am, B1, ..., Bn ∈ M, de modo que

los Ai son dos a dos disjuntos y los Bj son dos a dos disjuntos, entonces∑mi=1 aiµ(Ai) =

∑nj=1 bjµ(Bj).

Indicacion: Adjuntar un termino nulo a cada una de las expresiones de ϕ

haciendo a0 := 0, b0 := 0, A0 := X\(A1∪· · ·∪Am), B0 := X\(B1∪· · ·∪Bn).

Entonces, para cada i, Ai =⋃mj=0(Ai ∩ Bj), donde la union es disjunta, y

se tiene una expresion analoga para cada Bj . Tener en cuenta ahora que

ai = bj si Ai ∩Bj 6= ∅.

15.- (a) Supongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida completo, y que

f, g : X → R son dos funciones medibles, de modo que f2 y g2 son

integrables. Probar que f · g es integrable.

Indicacion: (a− b)2 ≥ 0 para todo a, b ∈ R.

(b) Como aplicacion, demostrar que la funcion h(x) = (x − x2)−1/4 es

integrable Lebesgue en (0, 1).

16.- Dar un ejemplo de una funcion no-medible f : R → R tal que |f | sea

medible.

17.- Sean (X,M, µ) un espacio de medida completo, f : X → [0,+∞) una

funcion medible, y p, q, r numeros reales positivos con p < r < q. Demostrar

que, si fp y f q son integrables, entonces f r es tambien integrable.

Indicacion: descomponer X en A := {f ≤ 1} y Ac, y demostrar que f r es

integrable sobre cada uno de estos subconjuntos.

18.- (a) Sean f : R → R una funcion medible Lebesgue y a ∈ R. Demostrar

que la funcion g(x) := f(x+ a) es medible Lebesgue.

(b) Si f : R→ R es una funcion derivable, demostrar que la funcion f ′ es

medible Lebesgue.

Capıtulo 8

Teoremas de convergencia

En este tema veremos los resultados clasicos sobre convergencia de la

integral de Lebesgue. En ellos se muestra como puede deducirse la integra-

bilidad de una funcion lımite, y como puede calcularse su integral intercam-

biandola con el lımite. Estos resultados serviran para comparar la integral

de Lebesgue con la de Riemann, y para ver algunas propiedades del espacio

de funciones integrables, entre ellas, la densidad de ciertos subconjuntos de

funciones.

8.1. Teoremas de convergencia

Recordemos que en todo el capıtulo las funciones estan definidas sobre

un espacio de medida completo (X,M, µ), salvo que especıficamente se diga

lo contrario. Comencemos con el teorema de la convergencia monotona de

Beppo Levi. Lo dividiremos en dos apartados, el primero de los cuales fue ya

usado en el tema anterior para probar la aditividad de integrales de funciones

medibles no negativas.

Teorema 8.1.1. [Teorema de la convergencia monotona]

Sea fn : X → R (n ∈ N) una sucesion de funciones medibles tales que

113


fn(x) ≤ fn+1(x) e.c.t. x ∈ X para cada n ∈ N. Llamemos f := lımn→∞

fn =

supn∈N

fn, definida e.c.t. X. Se tiene:

(a) Si fn ≥ 0 para todo n ∈ N, entonces lımn→∞

∫Xfn dµ =

∫Xf dµ.

(b) Supongamos que fn ∈ L1(X) para todo n ∈ N. Entonces f ∈ L1(X)

si y solo si supn≥1

∫Xfn dµ < +∞, y en ese caso se tiene

lımn→∞

∫X

fn dµ =

∫X

f dµ.

Demostracion. Para cada n ∈ N, llamemos Ln := {x ∈ X : fn(x) >

fn+1(x)}. Entonces Ln ∈ M y µ(Ln) = 0. Por tanto L :=⋃∞n=1 Ln ∈ M y

µ(L) = 0. Ahora bien, si x ∈ X \ L, la sucesion (fn(x)) es creciente, luego

existe su lımite f(x) = supn fn(x) ∈ [−∞,+∞]. Puesto que la medibilidad,

la integrabilidad y, en su caso, el valor de la integral, no quedan afectados si

se cambia el valor de una funcion en un conjunto de medida nula, podemos

suponer que fn ≤ fn+1 en todo X para cada n, y por tanto f esta definida

en todo X. Notemos que f es medible.

Si (a) se supone demostrado, aplicandolo a fn − f1 y cambiando f por

f−f1 obtendrıamos la parte “si” de (b) y la validez del intercambio del lımite

con la integral. Si fuese f ∈ L1(X) se tendrıa∫Xf dµ < +∞. Como fn ≤ f

para todo n, se deduce que supn∫Xfn dµ ≤

∫Xf dµ < +∞, lo cual completa

la prueba de (b).

Probemos (a). Como fn ≤ f y fn ≤ fn+1 para todo n, se tiene que∫Xfn dµ ≤

∫Xf y la sucesion {

∫Xfn dµ}n≥1 es creciente, y por tanto exis-

te su lımite (en R) y coincide con su supremo. Por tanto lımn

∫Xfn dµ ≤∫

Xf dµ.

Queda probar la desigualdad “≥”. Fijado n ∈ N, existe una sucesion

{ϕn,m}∞m=1 de funciones simples y medibles tales que 0 ≤ ϕn,m ↑ fn(x) para

todo x ∈ X y todo n ∈ N. Entonces es facil ver que ψn := max{ϕ1,n, . . . , ϕn,n}

TEOREMAS DE CONVERGENCIA 115

es una sucesion de funciones simples medibles no negativas tales que ψn(x) ↑f(x) y ψn(x) ≤ fn(x) para todo x ∈ X y todo n ∈ N.

Por tanto,∫Xψn(x) dµ ≤

∫Xfn dµ para todo n ∈ N, luego es suficiente

demostrar que∫Xf dµ ≤ lım

n→∞

∫Xψn dµ, para lo cual, a su vez, basta fijar una

funcion simple medible ϕ con 0 ≤ ϕ ≤ f y probar que∫X

ϕdµ ≤ lımn→∞

∫X

ψn dµ. [1]

Probemos primero la desigualdad [1] en el caso en que ϕ ≡ c = constante

∈ [0,+∞). Si c = 0, es trivial. Si c > 0, fijemos a ∈ (0, c). Ya que ϕ ≤ f =

supn∈N

ψn, resulta que para cada x ∈ X, existe n0 ∈ N tal que ψn(x) > a para

todo n ≥ n0. Sea An := {ψn > a}. Entonces la sucesion {An}∞n=1 es creciente

y X =∞⋃n=1

An. Por tanto µ(An) ↑ µ(X). Por otra parte, a · χAn ≤ ψn,

luego a ·µ(An) ≤∫Xψn dµ, de donde deducimos que aµ(X) ≤ lım

n→∞

∫Xψn dµ,

ası que∫Xϕdµ = cµ(X) ≤ lım

n→∞

∫Xψn dµ, que es la desigualdad [1] en este

caso.

En el caso general, se tiene que ϕ =p∑i=1

ci ·χEi con ci ∈ [0,+∞) y Ei ∈M

dos a dos disjuntos con X =p⋃i=1

Ei. Aplicamos entonces el resultado a cada

funcion ci · χEi y obtenemos:∫X

ϕdµ =

p∑i=1

∫X

ci · χEi dµ =

p∑i=1

∫Ei

ϕdµ

≤p∑i=1

lımn→∞

∫Ei

ψn dµ = lımn→∞

p∑i=1

∫Ei

ψn dµ = lımn→∞

∫X

ψn dµ,

como querıamos demostrar. �

Corolario 8.1.2. Sean f, fn : X → [0,+∞] (n ∈ N) funciones medibles

definidas en un espacio de medida completo (X,M, µ). Se verifica:

(a)∫X

∞∑n=1

fn dµ =∞∑n=1

∫Xfn dµ.


(b) Si∞∑n=1

∫Xfn dµ < +∞, la funcion

∞∑n=1

fn es integrable y, en particular,

la serie∞∑n=1

fn(x) converge e.c.t. x ∈ X.

(c) La aplicacion ν : E ∈ M 7→ ν(E) =∫Ef dµ ∈ [0,+∞] es una medida

positiva.

Demostracion. El apartado (a) se deduce de aplicar el teorema de la con-

vergencia monotona a la sucesion {gn}∞n=1 dada por gn :=n∑i=1

fi (n ∈ N). El

apartado (b) es consecuencia directa de (a) y de la Proposicion 7.6.2(b). Para

probar (c), aplıquese (a) a las funciones fn := f · χAn (n ∈ N), donde los An

son conjuntos medibles disjuntos. �

La parte (c) del corolario anterior nos da una manera de generar medidas

a partir de una funcion medible y de otra medida. Ademas, ν(E) = 0 si

µ(E) = 0.

El siguiente resultado ni siquiera exige convergencia, y nos da una condi-

cion sobre la integrabilidad de los lımites de oscilacion.

Teorema 8.1.3. [Lema de Fatou] Sea fn : X → [0,+∞] (n ∈ N) una

sucesion de funciones medibles. Entonces∫X

lım infn→∞

fn dµ ≤ lım infn→∞

∫X

fn dµ.

Demostracion. Definimos gk := ınf{fk, fk+1, . . .} para cada k ∈ N. Entonces

cada gk es medible y no negativa, la sucesion {gk}k≥1 es creciente, lımk→∞

gk =

lım infn→∞

fn y gk ≤ fk para todo k ∈ N. Del teorema de la convergencia

monotona se deduce que lımk→∞

∫Xgk dµ =

∫X

lımk→∞

gk dµ =∫X

lım infn→∞

fn dµ. Por

otra parte, lımn→∞

∫Xgn dµ = lım inf

n→∞

∫Xgn dµ ≤ lım inf

n→∞

∫Xfn dµ, pues gn ≤ fn.

De aquı deducimos el resultado. �

A continuacion, establecemos el que quizas sea el resultado mas impor-

tante de intercambio de las operaciones de lımite e integracion. Se deduce


del Lema de Fatou, en el que la hipotesis de monotonıa se sustituye por la

de acotacion.

Teorema 8.1.4. [Teorema de Lebesgue de la convergencia dominada]

Supongamos que f, fn : X → R (n = 1, 2, ...) y g : X → [0,+∞] son

funciones tales que cada fn es medible, |fn| ≤ g e.c.t. X para cada n ∈ N, g

es integrable y f(x) = lımn→∞

fn(x) e.c.t. x ∈ X. Entonces f es integrable y∫X

f dµ = lımn→∞

∫X

fn dµ.

Demostracion. Ya que el conjunto Z := {x ∈ X : fn(x) 9 f(x)}∪∞⋃n=1

{|fn| >

g} es medible y µ(Z) = 0, podemos suponer una vez mas que todos los lımites

y desigualdades de las hipotesis son “en todo x ∈ X”.

Tenemos pues que f es medible y |f | ≤ g ∈ L1(X), ası que∫X|f | dµ ≤∫

Xg dµ < +∞, de donde inferimos que f ∈ L1(X). Probemos ahora que

lımn→∞

∫X

|fn − f | dµ = 0. [2]

De aquı se deduce que∫Xf dµ = lım

n→∞

∫Xfn dµ pues

∣∣ ∫Xfndµ −

∫Xf dµ| =

|∫X

(fn − f) dµ∣∣ ≤ ∫

X|fn − f | dµ. Esto concluirıa la demostracion.

Luego basta probar [2]. Para ello, notemos en primer lugar que |fn−f | ≤|fn|+ |f | ≤ 2g, luego 2g − |fn − f | ≥ 0. Por el Lema de Fatou,∫

X

lımn→∞

(2g − |fn − f |) dµ ≤ lım infn→∞

∫X

(2g − |fn − f |) dµ.

Si usamos ahora la linealidad de la integral y el hecho de que lım infn→∞

(−αn) =

− lım supn→∞

(αn) (valido para cualquier sucesion {αn}n≥1 de numeros reales),

resulta que lım supn→∞

∫X|fn− f | dµ ≤ 0. Pero lım inf

n→∞

∫X|fn− f | dµ ≥ 0, porque

|fn − f | ≥ 0 para todo n ∈ N, luego∫X|fn − f | dµ ≥ 0 para todo n ∈ N. De

las dos ultimas desigualdades sobre lım supn→∞

, lım infn→∞

se deduce [2]. �


Como consecuencia, obtenemos el siguiente resultado de intercambio de

series con integrales, ası como la aditividad respecto al dominio de integracion

en su version mas general.

Teorema 8.1.5. (a) Sea fn : X → R (n ∈ N) una sucesion de funciones

medibles tales que∞∑n=1

∫X

|fn| dµ < +∞.

Entonces∞∑n=1

fn(x) converge absolutamente en casi todo x ∈ X, la

funcion suma es integrable y∫X

∞∑n=1

fn dµ =∞∑n=1

∫X

fn dµ.

(b) Sean f ∈ L1(X) y (An) una sucesion de conjuntos medibles dos a dos

disjuntos tales que X =⋃∞n=1An. Entonces∫

X

f dµ =∞∑n=1

∫An

f dµ.

Demostracion. (a) Notese que de la hipotesis se deduce que cada funcion |fn|es integrable, luego cada fn tambien lo es. Aplicar el Corolario 8.1.2(b) a las

funciones |fn|. Se deduce que g :=∑

n |fn| es integrable, luego tambien lo es∑n fn, ya que es medible y esta mayorada por la anterior. Por ultimo, aplicar

el teorema de la convergencia dominada a la sucesion de sumas parciales de

la sucesion {fn}n≥1.

(b) Usar el apartado (a) con fn := f · χAn (n = 1, 2, ...). �

8.2. Relacion entre las integrales de Riemann

y de Lebesgue

Trataremos en esta seccion de la importante conexion entre estos dos

tipos de integrales, plasmada en el siguiente criterio de Lebesgue de integrabi-


lidad Riemann. La prueba se basa en el teorema de la convergencia dominada

de Lebesgue. Por supuesto, estamos aquı en el caso de la medida de Lebesgue

m sobre R. El criterio justifica que la notacion∫ baf(x) dx tambien se utilice

para integrales de Lebesgue respecto de la medida m.

Teorema 8.2.1. Sea f : [a, b]→ R, y denotemos D(f) := {x ∈ [a, b] : f es

discontinua en x}. Entonces f ∈ R[a, b] ⇐⇒ f es acotada y m(D(f)) = 0.

En tal caso, f ∈ L1(m, [a, b]) y∫ b

a

f(x) dx =

∫[a,b]

f dm.

Demostracion. Recordemos que f es acotada en ambas hipotesis de la doble

implicacion. Consideremos las funciones superior e inferior f ∗, f∗ : [a, b]→ R

y las funciones simples medibles ϕn, ψn (n ≥ 1) descritas en el Ejercicio 13

del Capıtulo 7. Ası que f ∗ y f∗ son medibles, f∗ ≤ f ≤ f ∗, y f es continua

en un punto x0 si y solo si f ∗(x0) = f∗(x0). Para las notaciones L(f, P ),

U(f, P ),∫ baf y

∫ baf que vienen a continuacion, remitimos al Capıtulo 1.

Sea P = {a = t0 < t1 < · · · < tn = b} una particion de [a, b]. Denotemos

Ik := [tk−1, tk], Jk := I0k = (tk−1, tk) y Mk := sup{f(y) : y ∈ Ik} (k =

1, ..., n). Recordemos que U(f, P ) =∑n

k=1 Mk(tk − tk−1). Fijado k, es claro

que f ∗(x) ≤ Mk para todo x ∈ Jk. Como el conjunto {t0, t1, ..., tn} tiene

medida de Lebesgue nula, se tiene∫

[a,b]f ∗ dm =

∑nk=1

∫Jkf ∗ dm ≤

∑nk=1 Mk ·

m(Jk) =∑n

k=1Mk(tk − tk−1) = U(f, P ). Tomando ınfimos en P , resulta que∫[a,b]

f ∗ dm ≤∫ baf . Analogamente,

∫[a,b]

f∗ ≥∫ baf .

Recordemos que ϕn → f ∗ y ψn → f∗ en casi todo [a, b]. En el apartado

(h) del Ejercicio 13 del Capıtulo 7, estas funciones se generaban a partir de f

y de ciertos intervalos Jk,n. Como |ϕn|, |ψn| ≤ M := sup[a,b] |f |, del teorema

de la convergencia dominada se deduce que∫[a,b]

f ∗ dm = lımn→∞

∫[a,b]

ϕn dm = lımn→∞

n∑k=1

supJk,n

f · long (Jk,n).


Fijado ε > 0, existe n ∈ N tal que∣∣ ∫

[a,b]f ∗ dm−

∑nk=1 supJk,n f ·long (Jk,n)

∣∣ <ε. Si tomamos como P la particion correspondiente a {J1,n, ..., Jn,n}, se tiene

que U(f, P ) =∑n

k=1 supJk,n f · long (Jk,n), luego∫

[a,b]f ∗ dm + ε > U(f, P ).

De la propiedad fundamental del ınfimo y de la definicion de integral supe-

rior de Darboux, se deduce que∫

[a,b]f ∗ dm =

∫ baf . Analogamente, usando las

ψn junto con la propiedad fundamental del supremo y la definicion de inte-

gral inferior de Darboux, se infiere que∫

[a,b]f∗ dm =

∫ baf . En consecuencia,

tenemos ∫[a,b]

(f ∗ − f∗) dm =

∫ b

a

f −∫ b

a

f.

Supongamos que f ∈ R[a, b]. Recordemos que x ∈ D(f) si y solo si

f ∗(x) − f∗(x) > 0. Si fuese m(D(f)) > 0, se tendrıa que 0 <∫D(f)

(f ∗ −

f∗) dm ≤∫

[a,b](f ∗ − f∗) dm =

∫ baf −

∫ baf = 0, lo que es absurdo, ası que

m(D(f)) = 0.

Recıprocamente, supongamos que m(D(f)) = 0. Como en los puntos de

continuidad se tiene que f ∗(x)−f∗(x) = 0, resulta que∫

[a,b](f ∗−f∗) dm = 0.

Entonces∫ baf −

∫ baf = 0, ası que

∫ baf =

∫ baf , es decir, f es integrable

Riemann.

Finalmente, probemos que las integrales de Lebesgue y de Riemann coin-

ciden. En las condiciones anteriores, f es medible [por ser continua e.c.t.] y

es acotada en un intervalo compacto, luego es integrable Lebesgue. Como

f ∗ = f e.c.t., resulta que∫[a,b]

f dm =

∫[a,b]

f ∗ dm =

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx. �

Notas 8.2.2. 1. El recıproco de la segunda parte del teorema anterior es

falso. Sirva como ejemplo la funcion f := χQ, que esta en L1(m, [0, 1]) pero

no en R[0, 1].

2. Por otra parte, si f es integrable Lebesgue en R, entonces∫R f dm =

lımn→∞

∫[−n,n]

f dm. En efecto, basta aplicar a {fn := fχ[−n,n]}∞n=1 el teorema


de la convergencia dominada. Si ademas f ∈ R[a, b] para cada intervalo

[a, b] ⊂ R, se tendra que∫R f dm = lım

n→∞

∫ n−n f(x) dx. Por tanto, en muchos

casos, las integrales de Lebesgue se pueden calcular usando primitivas.

3. Supongamos que I ⊂ R es un intervalo y que f : I → R es una funcion

tal que f ∈ R[a, b] en cada intervalo compacto [a, b] ⊂ I. Se tiene que:

[*] La integral impropia de Riemann de f es absolutamente convergente si y

solo si f es integrable Lebesgue en I, en cuyo caso las integrales de Lebesgue

e impropia de Riemann coinciden.

Ya sabemos que esto es falso si la integral impropia de Riemann en I es

condicionalmente convergente: considerar I = (0,+∞), f(x) = senxx

.

Probemos la afirmacion [*]: Si la integral impropia de |f | converge, aplicar a

gn := |f | · χJn (n = 1, 2, ...) el teorema de la convergencia monotona, donde

(Jn) es una sucesion creciente de intervalos compactos tales que⋃∞

1 Jn = I.

Se deduce que |f | ∈ L1(m, I). Como f es medible, tenemos f ∈ L1(m, I).

Si se supone ahora que f ∈ L1(m, I) y queremos probar la convergencia

de la integral impropia de |f | en I, por el Teorema Fundamental de Lımite

basta verificar que, para cada sucesion de intervalos {Jn = [an, bn]}n≥1 como

la anterior, la sucesion {∫ bnan|f(x)| dx}n≥1 converge; para ello, aplıquese el

teorema de la convergencia dominada a la sucesion (gn) anterior. La igualdad

de las integrales impropia y de Lebesgue se deduce aplicando el teorema de

la convergencia dominada a fn := f ·χJn , n = 1, 2, ..., y usando el criterio de

Lebesgue (Teorema 8.2.1) en cada [an, bn].

8.3. El espacio L1(X)

En esta seccion vamos a indagar un poco en las estructuras lineal y

topologica del conjunto L1(X) de las funciones integrables. Sabemos que es

un espacio vectorial sobre R. Demos antes la siguiente definicion general.


Definicion 8.3.1. Supongamos que E es un espacio vectorial sobre R.

Una aplicacion ‖ · ‖ : x ∈ E 7→ ‖x‖ ∈ [0,+∞) se dice que es una seminorma

sobre E cuando es homogenea y subaditiva, es decir, ‖λx‖ = |λ|‖x‖ y

‖x + y‖ ≤ ‖x| + ‖y‖ para todo λ ∈ R y todo par x, y ∈ E. Si ademas se

cumple que ‖x‖ = 0 implica x = 0, entonces se dice que ‖ · ‖ es una norma

sobre E. En tal caso, se llama espacio normado al par (E, ‖ · ‖).

Es facil ver que todo espacio normado (E, ‖ · ‖) es tambien un espacio

metrico, sin mas que considerar la aplicacion d : (x, y) ∈ X×X 7→ d(x, y) =

‖x−y‖ ∈ [0,+∞). En efecto, tal d es una distancia sobre E, pues cumple la

propiedad de simetrıa, la propiedad triangular y ademas d(x, y) = 0 solo en

el caso en que x = y. Como ejemplo trivial, el espacio E = R es un espacio

normado, donde la norma es el valor absoluto, ‖x‖ = |x|. Esta genera la

distancia euclıdea d(x, y) = |x− y| sobre la recta real.

Si ahora consideramos el espacio E = L1(X), se tiene que∫Xλf dµ =

λ∫Xf dµ e

∫X

(f + g) dµ =∫Xf dµ +

∫Xg dµ para todo λ ∈ R y todo

par f, g ∈ L1(X). De la desigualdad triangular |f + g| ≤ |f | + |g| y de la

monotonıa de la integral se deduce que la aplicacion

‖f‖1 :=

∫X

|f | dµ

es una seminorma sobre L1(X). Pero no es una norma, porque si∫X|f | dµ =

0 entonces f(x) = 0 e.c.t. x ∈ X, pero no necesariamente f ≡ 0. La solucion

a este inconveniente es la siguiente. Se denotara por L1(X) la familia de las

funciones f : X → R integrables en X, donde se identifican dos funciones f, g

cuando son µ-equivalentes; ası que, estrictamente hablando, L1(X) consta

de clases de equivalencia [es facil probar que la relacion “f = g e.c.t. X”

es de equivalencia en L1(X)]. Por otra parte, λf , f + g tienen sentido para

f, g ∈ L1(X) y λ ∈ R, pues f y g son finitas e.c.t. X. Como dos funciones

iguales e.c.t. tienen la misma integral, podemos elegir cualquier elemento de


cada clase de equivalencia para definir sin ambiguedad la integral de una

clase. Por tanto la aplicacion f ∈ L1(X) 7→ ‖f‖1 =∫Xf dµ ∈ [0,+∞)

esta bien definida y es una norma sobre L1(X) [notese que ahora ‖f‖1 = 0

implica que f es equivalente a la funcion 0, luego f = 0 como clase de

equivalencia]. Esta norma se denomina norma-1.

La norma-1 genera en L1(X) la distancia d(f, g) :=∫X|f−g| dµ, convir-

tiendo ası L1(X) en un espacio metrico. Puede probarse que dicho espacio

metrico es completo, es decir, toda sucesion de Cauchy para la distancia d

es convergente. Se dice en tal caso que el espacio normado que genera esa

distancia es un espacio de Banach.

8.4. Subespacios densos de L1(R)

A veces conviene disponer, en un espacio de funciones, de subconjuntos

densos, es decir, de subconjuntos de funciones con propiedades mas ricas que

aproximen bien cualquier funcion del espacio original. La nocion abstracta

de subconjunto denso en un espacio metrico es la siguiente.

Definicion 8.4.1. Sea (X, d) un espacio metrico, y A ⊂ X un subconjunto.

Se dice que A es denso en X si, dados x ∈ X y ε > 0, existe a ∈ A tal que

d(x, a) < ε.

Una funcion escalonada es una funcion simple ϕ : R → R de la forma

ϕ =∑m

k=1 akχIk , donde los Ik son intervalos acotados. El conjunto S de las

funciones escalonadas es un espacio vectorial con S(R) ⊂ L1(R). Tambien

es un subespacio vectorial de L1(R) el conjunto de las funciones continuas

f : R→ R de soporte compacto, es decir, que se anulan fuera de un compacto

K = Kf . Su conjunto se denota por Cc(R). Aquı estamos considerando la

medida m de Lebesgue en R.

Teorema 8.4.2. S(R) y Cc(R) son densos en L1(R).


Demostracion. Fijemos una funcion f ∈ L1(R) y un ε > 0. Aplicando el

teorema de la convergencia dominada a la sucesion (|f | · χ[−n,n]), podemos

encontrar un m ∈ N tal que∫R\[−m,m]

|f | dm < ε/3. Por el teorema de

aproximacion por funciones simples, existe una sucesion (ϕk) de funciones

simples medibles tales que ϕk(x)→ g(x) para todo x ∈ R y |ϕk(x)| ≤ |g(x)|para todo x ∈ R y todo k ∈ N, donde g := f · χ[−m,m]. Notemos que

tambien ϕk · χ[−m,m] → g(x) para todo x ∈ R cuando k → ∞, ası que

podemos suponer que cada ϕk tiene la forma∑p

i=1 aiχAi , donde Ai ∈ L y

Ai ⊂ [−m,m] (i = 1, ..., p). Ademas, |g − ϕk| ≤ 2|g| para todo k. Como

|g − ϕk| → 0 puntualmente en todo R, del teorema de la convergencia

dominada se deduce que∫R |g − ϕk| dm → 0 (k → ∞), luego existe J ∈ N

tal que∫R |g − ϕJ | dm < ε/3. Por la desigualdad triangular,∫

R|f − ϕJ | dm ≤

∫R|f − g| dm+

∫R|g − ϕJ | dm < 2ε/3,

ya que el primer sumando de la suma anterior es∫R\[−m,m]

|f | dm. Ahora hay

que aproximar ϕJ en norma-1 por una funcion de S(R), lo cual se hace

usando el teorema de estructura de los medibles Lebesgue [notar que, fijados

α > 0 y Ai ∈ L, existe un abierto G ⊂ R tal que m(G \Ai) < α]. Podemos

obtener ϕ ∈ S(R) con ‖ϕ − ϕJ‖1 < ε/3, y por la desigualdad triangular

obtendrıamos ‖f − ϕ‖1 < ε, lo que darıa la densidad de S(R).

Habida cuenta de lo anterior, para probar la densidad de Cc(R) es su-

ficiente fijar un ε > 0 y una funcion ϕ =∑m

k=1 akχIk ∈ S(R), donde los

Ik son intervalos acotados, y encontrar una funcion ψ ∈ Cc(R) tal que∫R |ϕ − ψ| dµ < ε. Para ello, se aproxima cada χIk en norma-1 por una

funcion continua adecuada de soporte compacto, y como ψ se elige la com-

binacion lineal correspondiente. �

De forma analoga, se tiene que C([a, b]) es denso en L1([a, b]).


Ejercicios

1.- Calcular, razonadamente, los siguientes lımites de integrales, entendidas es-

tas como respecto de la medida de Lebesgue en los intervalos indicados:

(a) lımn→∞

∫ +∞0

dx1+x+xn .

(b) lımn→∞

∫ +∞0

( log(1+x)x

)ndx.

(c) lımn→∞

∫ +∞0 e−x

2+nx dx.

(d) lımn→∞

∫ +∞−∞ e−nx

2+x dx.

(e) lımn→∞

∫ +∞0

x(1+x3n)1/n

dx.

(f) lımn→∞

∫ +∞0

log(x+n)n e−x cosx dx.

(g) lımn→∞

∫ 10 arctan(nx log x) dx.

(h) lımn→∞

∫ +∞0

arctan(x/n)x√x

dx.

(i) lımn→∞

∫∞1

n1+nx2

e−x2

n dx.

(j) lımn→∞

∫ 10

n log(1+√xn

)

x dx.

(k) lımn→∞

∫ e1

[1−(log x)n]x√x2−1

dx.

(l) lımn→∞

∫ +∞0

(senx)n+1

x(x+1) dx.

(m) lımn→∞

∫ +∞0

11+x2

log(x2+2nx2+n

)dx.

(n) lımn→∞

∫ +∞0

nxn+x2

e−nx dx.

2.- Probar las siguientes igualdades:

(a)∫ 1

0 xα · log2 x dx =

2

(α+ 1)3si α > −1.

(b)∫ 1

0log2 x1+x2

dx =

∞∑n=0

2(−1)n

(2n+ 1)3.

3.- Sea f(x) =e−1/x2

x2y definamos fn(x) = f(xn) si n ∈ N.

(a) Probar que la serie∑fn(x) es convergente para x > 1.


(b) Probar que S :=∑fn es integrable en [a,+∞) para todo a > 1.

(c) Demostrar que∫∞

1 fn(x) dx =∫∞

1f(x)x1/n

nx dx.

(d) Deducir que lımn→∞ n∫∞

1 fn(x) dx = e−12e .

(e) ¿Es convergente la serie∑∫∞

1 fn? ¿Es integrable la funcion S en

(1,+∞)?

4.- Para cada n ∈ N, sea fn(x) =( −1

1 + x2

)n.

(a) Dado α ≥ 0, probar que∞∑n=1

∫ ∞α|fn(x)| dx < +∞ si y solo si α > 0.

(b) Probar que para todo α > 0 se tiene que∞∑n=1

∫ ∞α

fn(x) dx = −∫ ∞α

dx

2 + x2.

(c) ¿Que ocurre en el caso α = 0?

5.- (a) Sea [a, b] un intervalo cerrado y acotado de R y A ⊂ [a, b]. Sea x0 ∈

[a, b]. Demostrar que χA es continua en x0 si y solo si x0 /∈ ∂A.

(b) Si C es el conjunto de Cantor, demostrar que χC ∈ R[0, 1].

6.- (a) Sea m la medida de Lebesgue sobre X = [0,+∞) y sea, para cada

n ∈ N,

fn(x) :=

2x/n2 si x ≤ n

0 si x > n.

¿Es lımn→∞

∫X fn dm =

∫X lımn→∞

fn dm?

(b) Idem con X = [0, 1] y

fn(x) :=

2n si x ≤ 2−n

0 si x > 2−n.

7.- Consideremos las tres sucesiones de funciones definidas para x ∈ (0,+∞) y

n ∈ N como: fn(x) =(n+xn+2x

)n, gn(x) = fn(x)e−x/2 y hn(x) = fn(x)ex/2.

(a) Calcular las funciones lımite puntual de las sucesiones (gn) y (hn).


(b) Calcular el lımn→∞

∫ +∞

0gn(x) dx.

(c) Justificar si es cierta la igualdad

lımn→∞

∫ +∞

0hn(x) dx =

∫ +∞

0lımn→∞

hn(x) dx.

8.- Se considera el conjunto N de los numeros naturales y la medida cardinal

µ(A) = card (A), A ⊂ N. Se pide:

(a) Determinar que funciones f : N→ R son integrables.

(b) Probar que la sucesion fk(x) :=

1k si 1 ≤ x ≤ k

0 si x > kconverge unifor-

memente, pero no converge en L1(µ,N).

(c) Probar que la sucesion fk(x) :=

1x si 1 ≤ x ≤ k

0 si x > kconverge unifor-

memente a una funcion no integrable.

9.- Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo y (ϕn) ⊂ L1(X). Sea ϕ ∈

L1(X) tal que ϕn(x) → ϕ(x) e.c.t. x ∈ X y ‖ϕn‖1 → ‖ϕ‖1 (n → ∞).

Demostrar que ‖ϕn − ϕ‖1 → 0. Indicacion: aplicar el Lema de Fatou a la

sucesion {|ϕn|+ |ϕ| − |ϕn − ϕ|}n≥1.

10.- Sea f la funcion definida como f(x) = 1/√x si x ∈ (0, 1) y f(x) = 0 en el

resto de los puntos de R. Sea (qn) una enumeracion de los numeros racio-

nales. Definimos g(x) :=

∞∑n=1

1

2nf(x− qn). Demostrar que g es integrable-

Lebesgue en R y, por tanto, g(x) es finito para casi todo x ∈ R.

11.- Se define fn(x) =( −x2

1 + x2

)n.

(a) Probar que la serie∑∞

n=1 fn(x) es convergente para todo x ∈ R.

(b) Si a ∈ (0,+∞), probar que∑∞

n=1

∫ a0 |fn(x)| dx < +∞.

(c) Si llamamos S(x) a la funcion suma de la serie de (a), deducir que S

es integrable en [0, a] y demostrar que∞∑n=1

∫ a

0fn(x) dx =

−a2

+1

2√

2arctan(

√2 a).


(d) Estudiar la existencia de cada una de las siguientes expresiones y, en

su caso, su posible igualdad:∫ +∞

0

∞∑n=1

fn(x) dx y

∞∑n=1

∫ +∞

0fn(x) dx.

12.- Sean (X,M, µ) un espacio de medida completo y f ∈ L1(X). Demostrar:

(a) Para cada α > 0, el conjunto {|f | > α} tiene medida finita.

Indicacion: utilizar la desigualdad de Chebyshev.

(b) El conjunto {f 6= 0} es σ-finito.

(c) Para cada ε > 0 existe A ∈M tal que µ(A) < +∞ y∣∣∣∣∫Xf dµ−

∫Af dµ

∣∣∣∣ < ε.

Indicacion: usar el Teorema 8.1.5(b).

13.- Completar los detalles de la prueba del Teorema 8.4.2.

14.- Este ejercicio pretende generalizar, para el caso de la integral de Lebesgue,

algunos resultados bien conocidos en el caso de la integral de Riemann. Los

resultados seran usados de forma mas o menos explıcita en el Capıtulo 10.

Se supone que a y T son numeros reales positivos.

(a) Sea f : [−a, a] → R una funcion integrable Lebesgue en [−a, a]. Pro-

bar que, si f es par [es decir, f(x) = f(−x) para todo x] entonces∫ a0 f dm =

∫ 0−a f dm, y por tanto

∫ a−a f dm = 2

∫ a0 f dm. Analogamen-

te, probar que, si f es impar [es decir, f(−x) = −f(x) para todo x]

entonces∫ a

0 f dm = −∫ 0−a f dm, y por tanto

∫ a−a f dm = 0.

(b) Si f : R → R es periodica de perıodo T [es decir, f(x + T ) = f(x)

para todo x ∈ R] y es integrable en [0, T ], entonces∫I f dm =

∫ T0 f dm

para cualquier intervalo I de amplitud T .

Capıtulo 9

Integrales parametricas

En este tema vamos a definir funciones a traves de integrales que depen-

den de un parametro. La integral de Lebesgue y los teoremas de convergencia

expuestos en los temas anteriores nos permitiran estudiar la continuidad y

derivabilidad de estas funciones, ası como calcular la expresion de su deriva-

da. En la practica –consultar la seccion de Ejercicios – veremos como aplicar

estos resultados para calcular, a traves de sus derivadas, funciones definidas

por integrales.

9.1. Introduccion

Sean A ⊂ R un subconjunto medible Lebesgue y B ⊂ R un intervalo.

Supongamos que tenemos una funcion de dos variables

f : (x, t) ∈ A×B 7→ f(x, t) ∈ R.

Siempre que tenga sentido, podemos definir la siguiente funcion, que es una

integral parametrica o integral que depende de un parametro:

F : t ∈ B 7→∫A

f(x, t) dx ∈ R.

129


El objetivo fundamental de este tema sera estudiar condiciones sobre

la funcion f(x, t) que determinen si la funcion F (t) esta bien definida, es

continua y, en este caso, estudiar su derivabilidad.

El tema esta dividido en dos secciones, donde estudiaremos respectiva-

mente condiciones suficientes para la continuidad y derivabilidad de F . De

hecho, obtendremos criterios para poder intercambiar las operaciones de lımi-

te e integracion, y las de derivacion e integracion. Enunciaremos los resultados

suponiendo que las hipotesis se cumplen en todo punto del dominio. Sin em-

bargo, teniendo en cuenta que las integrales de dos funciones que coinciden

en casi todo son iguales, los resultados son tambien validos si las hipotesis

referentes al espacio de medida A se cumplen en casi todo.

9.2. Continuidad de integrales parametricas

En esta seccion estudiaremos la continuidad de la funcion F , definida

anteriormente a traves de una integral parametrica.

Teorema 9.2.1. [Teorema de continuidad de integrales parametricas]

Supongamos que se cumple lo siguiente:

(a) Para cada x ∈ A, la funcion t ∈ B 7→ f(x, t) ∈ R es continua.

(b) Para cada t ∈ B, la funcion x ∈ A 7→ f(x, t) ∈ R es medible Lebesgue.

(c) Existe una funcion g : A→ [0,+∞) integrable Lebesgue tal que

|f(x, t)| ≤ g(x) para todo x ∈ A y todo t ∈ B.

Entonces la funcion F : t ∈ B 7→∫Af(x, t) dx ∈ R esta bien definida y es

continua en B.

INTEGRALES PARAMETRICAS 131

Demostracion. Fijemos t0 ∈ B. Segun (b) y (c), la funcion x ∈ A 7→f(x, t0) ∈ R es medible y esta mayorada por una funcion integrable, luego

la primera funcion es tambien integrable. Esto prueba que F esta bien defi-

nida. En cuanto a la continuidad, se ha de probar que lımt→t0 F (t) = F (t0).

Por el teorema fundamental del lımite, basta fijar una sucesion (tn) ⊂ B

con tn → t0 y probar que F (tn) → F (t0). Sea pues (tn) una tal sucesion, y

denotemos fn(x) := f(x, tn) y ϕ(x) := f(x, t0). Entonces (fn) es una suce-

sion de funciones integrables Lebesgue en A tales que |fn(x)| ≤ g(x) para

todo (x, n) ∈ A × N [por (c)] y fn(x) −→n→∞

ϕ(x) para todo x ∈ A [por (a)].

Por el teorema de la convergencia dominada, existe lımn→∞∫Afn(x) dx =∫

Aϕ(x) dx. Pero esto es lo mismo que F (tn)→ F (t0), como se requerıa. �

9.3. Derivabilidad de integrales parametricas

En esta seccion estudiaremos cuando la funcion F es derivable y calcu-

laremos el valor de su derivada.

Teorema 9.3.1. [Teorema de derivabilidad de integrales parametricas]

Supongamos que se cumple lo siguiente:

(a) Para cada x ∈ A, la funcion t ∈ B 7→ f(x, t) ∈ R es derivable, es

decir, existe ∂f∂t

(x, t) ∈ R para todo (x, t) ∈ A×B.

(b) Para cada t ∈ B, la funcion x ∈ A 7→ f(x, t) ∈ R es medible Lebesgue.

(c) Para algun t0 ∈ B, la funcion x ∈ A 7→ f(x, t0) es integrable Lebesgue.

(d) Existe una funcion g : A→ [0,+∞) integrable Lebesgue tal que

∣∣∂f∂t

(x, t)∣∣ ≤ g(x) para todo x ∈ A y todo t ∈ B.


Entonces la funcion F : t ∈ B 7→∫Af(x, t) dx ∈ R esta definida y es

derivable en B. Ademas

F ′(t) =

∫A

∂f

∂t(x, t) dx para todo t ∈ B.

Demostracion. Veamos primero que F esta bien definida. Fijemos t1 ∈ B.

Por (b), la funcion x ∈ A 7→ f(x, t1) ∈ R es medible. Por (a) y el teorema

del valor medio, para cada x ∈ A existe un punto t2 = t2(x) en el intervalo

que une t0 con t1 tal que f(x, t1)− f(x, t0) = ∂f∂t

(x, t2)(t1− t0). Gracias a (d)

y a la desigualdad triangular, obtenemos

|f(x, t1)| ≤ |t1 − t0|g(x) + |f(x, t0)| para todo x ∈ A.

Por (c) y ya que g es integrable, resulta que x 7→ f(x, t1) es integrable

Lebesgue en A, luego F esta bien definida.

Por otra parte, si elegimos cualquier sucesion (un) ⊂ B\{t1} con un → t1,

se tiene que ∂f∂t

(x, t1) = lımn→∞f(x,un)−f(x,t1)

un−t1 , que es el lımite puntual de una

sucesion de funciones medibles, luego la funcion x 7→ ∂f∂t

(x, t) es medible para

cada t ∈ B. Al estar mayorada por una funcion integrable [por (d)] resulta

que cada integral∫A∂f∂t

(x, t) dx existe y es finita.

Queda probar que F ′(t1) existe y que su valor coincide con la integral

anterior en t = t1. Usamos de nuevo el teorema fundamental del lımite y

fijamos una sucesion (un) como la del parrafo anterior. Basta demostrar que

Jn := F (un)−F (t1)un−t1 −

∫A∂f∂t

(x, t1) dx −→n→∞

0. Para cada n ∈ N, se tiene que

Jn =∫Aϕn(x) dx, donde ϕn(x) := f(x,un)−f(x,t1)

un−t1 − ∂f∂t

(x, t1). Observemos que,

por definicion de derivada, ϕn(x) → 0 cuando n → ∞ para cada x ∈ A.

Ademas, usando como antes el teorema del valor medio junto con la hipotesis

(d), resulta que |ϕn(x)| ≤ 2g(x) para todo n ∈ N y todo x ∈ A. Una vez mas,

del teorema de la convergencia dominada se infiere que Jn →∫A

0 dx = 0,

como se deseaba. �

INTEGRALES PARAMETRICAS 133

Nota 9.3.2. En orden practico, lo mas difıcil en la aplicacion de los teoremas

de este capıtulo suele ser hallar la funcion integrable g que mayora a una

familia de funciones parametrizada en t. A veces no se puede encontrar una

g valida simultaneamente para todos los t. Pero, habida cuenta de que la

continuidad y la derivabilidad son propiedades locales, es suficiente fijar un

t0 y encontrar un entorno U ⊂ B de t0 tal que alguna funcion g valga para

todos los puntos de U .

Concluimos el capıtulo comentando que los dos teoremas anteriores se

extienden sin apenas dificultad cuando A se sustituye por un espacio de

medida que no es necesariamente la de Lebesgue. Asimismo, en el teorema

de continuidad, el intervalo parametrico B se puede sustituir por un espacio

metrico mas general; y en el teorema de derivabilidad, B puede reemplazarse

por un abierto de RN y la derivada por alguna derivada parcial.

Ejercicios

1.- Hallar el lımt→0+

∫ ∞0

log(e+ tx)

1 + (1 + t)(x2 + tx5)dx.

2.- Probar que la funcion F (x) =

∫ ∞0

sen (x+ y2)

(x+ y2)(1 +√x+ y)

dy esta bien defi-

nida y es continua en [0,+∞).

3.- (a) Estudiar para que valores de t ∈ R esta bien definida, es continua y es

derivable la funcion F (t) =

∫ ∞0

xt log x

x2 − 1dx.

(b) Lo mismo para la funcion G(t) =

∫ ∞0

dx

(1 + x+ x2)t.

¿Es G acotada en su dominio de definicion?

4.- Definamos f(x) =( ∫ x

0 e−t2 dt

)2y g(x) =

∫ 10e−x

2(t2+1)

t2+1dt.

(a) Verificar que f y g estan bien definidas y son derivables en R.

(b) Demostrar que g′(x) + f ′(x) = 0 para todo x ∈ R.


(c) Deducir que g(x) + f(x) = π/4 para todo x ∈ R.

(d) Utilizar (c) para probar que∫∞

0 e−t2dt =

√π/2.

5.- (a) Demostrar que, para cada t ∈ R, la funcion x 7→ e−x2

cos(2xt) es

integrable-Lebesgue en R.

(b) Definimos F (t) =∫∞

0 e−x2

cos(2xt) dx para todo t ∈ R. Demostrar

que F satisface la ecuacion diferencial F ′(t) + 2tF (t) = 0 en R.

(c) Deducir que F (t) = (1/2)√πe−t

2. Indicacion: usar el apartado (d) del

ejercicio anterior.

6.- Sea la funcion F : (0,+∞)→ R definida por

F (t) =

∫ +∞

0

arctan(tx)− arctanx

xdx

(a) Probar que F esta bien definida.

(b) Probar que F cumple las hipotesis del Teorema de derivacion pa-

rametrica en (t0,+∞) para todo t0 > 0.

(c) Deducir que F es derivable en (0,+∞) y calcular su derivada.

(d) Deducir que F (t) =π

2log t para todo t ∈ (0,+∞).

7.- Supongamos que ϕ : [0, 1]→ R es una funcion derivable tal que ϕ′ ∈ R[0, 1].

Demostrar que la funcion F : t ∈ [0, 1] 7→∫ 1

0 ϕ(tx) dx ∈ R esta bien definida,

es derivable en [0, 1] y satisface tF ′(t) + F (t) = ϕ(t) para todo t ∈ [0, 1].

8.- Demostrar que la funcion gamma de Euler–Gauss, definida como Γ(t) :=∫ +∞0 xt−1e−x dx (t ∈ (0,+∞)) [ver Ejercicio 8 del Capıtulo 2] es derivable

en (0,+∞).

Capıtulo 10

Series de Fourier

En este capıtulo veremos otro caso particular de series funcionales, a

saber, las series de Fourier, cuyos terminos son funciones trigonometricas.

El estudio de diversos problemas fısicos –como por ejemplo la descripcion

del movimiento de una cuerda fijada por sus extremos o la transmision del

calor– llevo a importantes matematicos (entre los que se encontraban Daniel

Bernoulli y Joseph Fourier) a plantearse la posibilidad de representar “toda

funcion periodica” f(x) como una serie de senos y cosenos de la forma

f(x) =a0

2+∞∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)]. [1]

El esfuerzo para establecer la extension y el sentido preciso de la igualdad

anterior ocupo gran parte de las matematicas del siglo XIX, continuando en

el siglo XX y todavıa en la actualidad.

10.1. Serie de Fourier y coeficientes de Fou-

rier

Comenzamos el tema motivando la definicion de los coeficientes de

Fourier. Sea f : R→ R una funcion real. Se dice que f es periodica de perıodo

135


T > 0, o que es T -periodica, cuando f(x + T ) = f(x) para todo x ∈ R.

Estas funciones quedan perfectamente definidas en cualquier intervalo [a, b] de

amplitud b−a = T . Es claro que coinciden los valores extremos: f(a) = f(b).

De este modo, tambien podemos partir de cualquier funcion f : [a, b] → R

con f(a) = f(b) y extenderla de modo periodico a todo R. Si consideramos el

cambio afın de variable x ∈ [−π, π] 7→ b−a2π

(x+ π) + a ∈ [a, b] y componemos

f con esta aplicacion, obtenemos la funcion g(x) = f(b−a2π

(x + π) + a), que

es periodica de perıodo 2π. Ası que podemos suponer que todas las funciones

consideradas tienen perıodo 2π. Despues, la funcion original se recupera con

el cambio inverso, es decir, f(x) = g(

2πb−a(x− a) + π

).

Ası pues, partimos de una funcion f : [−π, π]→ R con f(−π) = f(π). Si

queremos que exista un desarrollo como el de [1], hallemos formalmente cuales

deben ser los coeficientes an y bn. Suponiendo que f es integrable Lebesgue,

se tiene que∫ π−π f(x) dx = a0π +

∫ π−π

[∑∞n=1(an cos(nx) + bnsen (nx))

]dx. Si

se dieran las condiciones para intercambiar las operaciones de suma e inte-

gracion, tendrıamos que la integral de la suma serıa igual a∑∞n=1[an

∫ π−π cos(nx) dx + bn

∫ π−π sen (nx) dx] =

∑∞n=1 0 = 0, luego a0 =

1π

∫ π−π f(x) dx. Para el calculo de los restantes coeficientes, vamos a emplear

las conocidas formulas

senα cos β = (1/2)[sen(α + β) + sen(α− β)],

cosα cos β = (1/2)[cos(α + β) + cos(α− β)],

senα sen β = (1/2)[cos(α− β)− cos(α + β)].

Fijados m,n ∈ N, se deduce que∫ π

−πcos(mx) cos(nx) dx =

∫ π

−πsen(mx) sen(nx) dx =

0 si m 6= n

π si m = n

e∫ π−π sen(mx) cos(nx) dx = 0 para todo par m,n ∈ N. Ahora multiplicamos

[1] sucesivamente por cos(mx), sin(mx) e integramos en cada caso, supo-

SERIES DE FOURIER 137

niendo asimismo la validez del intercambio∑

n

∫ π−π =

∫ π−π∑

n. Obtenemos

am = 1π

∫ π−π f(x) cos(mx) dx y bm = 1

π

∫ π−π f(x) sen(mx) dx. Estos calculos

conducen a la siguiente definicion. Notese que para darla no es necesario en

principio que f(π) = f(−π), ya que en los calculos han intervenido integrales

y la integral de una funcion en un intervalo no varıa si se modifica su valor

en los extremos.

Definicion 10.1.1. Sea f : [−π, π]→ R integrable. Se define la serie trigo-

nometrica de Fourier asociada a f como la serie de funciones

a0

2+∞∑n=1

[an cos(nx) + bn sen (nx)],

donde

a0 =1

π

∫ π

−πf(x) dx, an =

1

π

∫ π

−πf(x) cos(nx) dx

y bn =1

π

∫ π

−πf(x) sen(nx) dx (n ∈ N).

A los coeficientes an (n = 0, 1, ...) y bn (n = 1, 2, ...) se les llama los coefi-

cientes de Fourier de la funcion f .

Notas 10.1.2. (a) Observese que los coeficientes a0, an y bn (n ≥ 1) estan

bien definidos ya que las funciones que intervienen son integrables en [−π, π].

Por otra parte, en caso de que la funcion f sea par (es decir, f(x) = f(−x)

para todo x ∈ [−π, π]), es facil comprobar que bn = 0 para todo n, mientras

que si f es impar (es decir, f(x) = −f(−x)) para todo x ∈ [−π, π]) entonces

a0 = 0 = an para todo n ∈ N. Obtenemos pues una serie de cosenos

a02

+∑∞

n=1 an cos(nx) en el caso de una funcion par, y una serie de senos∑∞n=1 bn sen(nx) en el caso de una funcion impar.

(b) Volviendo al caso general de una funcion integrable f : [a, b]→ R, con el

cambio de variable mencionado al principio resultarıa que la serie de Fourier


asociada a f es

a0

2+∞∑n=1

[an cos

( 2πn

b− a(x− a)

)+ bn sen

( 2πn

b− a(x− a)

)],

donde a0 =1

π

∫ b

a

f(x) dx, an =1

π

∫ b

a

f(x) cos[ 2πn

b− a(x− a)

]dx y

bn =1

π

∫ b

a

f(x) sen[ 2πn

b− a(x− a)

]dx.

(c) Notemos que si [a, b] = [0, 2π] entonces la serie de Fourier es la misma

que la que se obtendrıa si la funcion estuviese definida en [−π, π], excepto

que las integrales que aparecen serıan∫ 2π

0. De todas formas, si la funcion en

[0, 2π] se prolongase a R de manera periodica, los valores∫ 2π

0coincidirıan

con los correspondientes valores∫ π−π.

10.2. Desigualdades e igualdades con coefi-

cientes de Fourier

Comenzaremos con un sencillo resultado que afirma que los coeficien-

tes de Fourier de una funcion integrable Lebesgue estan controlados por su

norma-1. En efecto, si f : [−π, π] → R es integrable Lebesgue, del hecho

de que cos(nx) y sen(nx) estan acotadas por 1 en valor absoluto y de que

|∫ϕ| ≤

∫|ϕ|, se deduce que |a0|, |an|, |bn| ≤ 1

π

∫ π−π |f(x)| dx para todo n ∈ N.

De hecho, se tiene no solo que (an) y (bn) estan acotadas, sino que tienden

a cero. Para verlo, incluimos un resultado tecnico que tambien usaremos en

la seccion siguiente.

Teorema 10.2.1. (a) [Lema de Riemann–Lebesgue] Sea I ⊂ R un inter-

valo y supongamos que ϕ ∈ L1(I). Entonces, para todo β ∈ R,

lımα→+∞

∫I

ϕ(t) sen(αt+ β) dt = 0.


(b) Los coeficientes de Fourier an y bn de una funcion f : [−π, π] → R

integrable Lebesgue cumplen an → 0 y bn → 0.

Demostracion. El apartado (b) se deduce de (a) haciendo I = [−π, π], ϕ =

f, α = n y tomando sucesivamente β = 0, β = π/2.

Para probar (a), fijemos ε > 0. Por el Teorema 8.4.2 existe una funcion

escalonada ψ =∑p

j=1 ajχIj con∫R |F (t)− ψ(t)| dt < ε/2, donde los aj ∈ R,

los Ij son intervalos acotados y F es la funcion R→ R definida como ϕ en I y

0 fuera de I. Notese que F es integrable en R. Ahora bien, F (t) sen(αt+β) =

(F (t) − ψ(t)) sen(αt + β) + ψ(t) sen(αt + β). Integrando en I y teniendo en

cuenta que | senu| ≤ 1 y la desigualdad |∫h| ≤

∫|h|, resulta que

∣∣ ∫I

ϕ(t) sen(αt+ β) dt∣∣ ≤ ∫

R|F (t)− ψ(t)| dt+

p∑j=1

|aj|∣∣ ∫

Ij∩Isen(αt+ β) dt

∣∣.Si J es un intervalo acotado de extremos c y d, se tiene que

∫J

sen(αt+β) dt =

1α

[cos(αc+ β)− cos(αd+ β)] −→α→+∞

0. Luego∑p

j=1 → 0 cuando α→ +∞ y,

en consecuencia, podemos encontrar un α0 tal que∑p

j=1 < ε/2 para todo

α > α0. Por tanto |∫Iϕ(t) sen(αt+β) dt| < ε para los mismos valores de α,

y la demostracion ha terminado. �

Denotaremos por (Snf) la sucesion de sumas parciales de la serie de Fou-

rier de f , es decir, Snf(x) = a02

+∑n

k=1[ak cos(kx) + bk sen(kx)] para cada

n ∈ N. Vamos a ver que, si suponemos algo mas sobre la funcion f , sus

coeficientes de Fourier van a tender rapidamente a 0.

Teorema 10.2.2. Sea f : [−π, π]→ R integrable Lebesgue. Se verifica:

(a) [Desigualdad de Bessel]a2

0

2+∞∑n=1

(a2n + b2

n) ≤ 1

π

∫ π

−πf(x)2 dx.

(b) Si f 2 es integrable, las series∑∞

n=1 a2n y

∑∞n=1 b

2n son convergentes.

Demostracion. El apartado (b) es consecuencia trivial de (a). En cuanto a

este, recordemos que el sistema trigonometrico {1, sen(nx), cos(nx) : n ≥ 1}


es ortogonal, es decir, la integral en [−π, π] del producto de cada par de

funciones distintas en el es 0. Ahora calculamos (f(x)− Snf(x))2 = f(x)2−2f(x)Snf(x) + (Snf(x))2, sustituimos Snf(x) por la expresion que la define,

e integramos teniendo en cuenta la definicion de los coeficientes de Fourier.

Se obtiene [los detalles se dejan como ejercicio] que∫ π

−π(f(x)− Snf(x))2 dx =

∫ π

−πf(x)2 dx−

[a20

2+

n∑k=1

(a2k + b2

k)]. [2]

Como el primer miembro es ≥ 0, se deduce quea202

+∑n

k=1(a2k + b2

k) ≤1π

∫ π−π f(x)2 dx. Basta hacer ahora n→∞. �

Teorema 10.2.3. Sea f : [−π, π] → R integrable Lebesgue. Entonces tiene

lugar la “identidad de Parseval”a2

0

2+∞∑n=1

(a2n + b2

n) =1

π

∫ π

−πf(x)2 dx

si y solo si (Snf) tiende cuadraticamente a f , es decir, si y solo si

lımn→∞∫ π−π(f(x) − Snf(x))2 dx = 0. En particular, se da la identidad de

Parseval si (Snf) converge uniformemente a f en [−π, π].

Demostracion. El resultado se deduce de [2]. Para el caso particular, aplicar,

por ejemplo, el teorema de la convergencia dominada. �

10.3. Convergencia puntual de la serie de Fou-

rier

En esta seccion nos planteamos que relacion tiene la serie de Fourier ob-

tenida con la funcion f de partida. Asimismo, vamos a estudiar las siguientes

cuestiones:

1. La serie de Fourier asociada a una funcion f , ¿converge puntualmente

para algun valor de x en el dominio de la funcion?

2. Si la serie de Fourier converge para algun valor de x, ¿lo hace a f(x)?


3. ¿Hay convergencia uniforme?

Notese que la serie trigonometrica de Fourier de una funcion f en [−π, π] es

una funcion periodica de periodo 2π. De esta forma, vamos a suponer que

f : [−π, π] → R es una funcion integrable y extendemos f a todo R de

forma 2π-periodica con periodo 2π.

Nuestro objetivo en esta seccion es hallar respuestas a las dos primeras

cuestiones, es decir, estudiar si existe lımn→∞ Snf(x) y hallar su valor. Ne-

cesitamos la siguiente funcion auxiliar. Si n ∈ N, se llama nucleo de Dirichlet

de orden n a la funcion Dn(t) :=sen(

2n+12t)

2 sen t2

. Es evidente que cada Dn es

par y 2π-periodica.

El teorema de representacion integral de las sumas parciales de una serie

de Fourier que se presenta a continuacion sera de suma importancia para

encontrar condiciones de regularidad en la funcion f que garanticen la con-

vergencia puntual de la serie de Fourier.

Teorema 10.3.1. Para las sumas parciales Snf de la serie de Fourier de

una funcion f : [−π, π]→ R integrable Lebesgue, se verifica

Snf(x) =1

π

∫ π

−πf(x+ t)Dn(t) dt =

1

π

∫ π

0

(f(x+ t) + f(x− t))Dn(t) dt.

Demostracion. Si tenemos en cuenta las formulas para productos de senos

y cosenos de la primera seccion, resulta que para cualquier u ∈ R se tiene

senu = 12·2 sen u

2, sen 3u

2−sen u

2= cosu·2 sen u

2,..., sen(2n+1

2u)−sen(2n−1

2u) =

cos(nu) · 2 sen u2. Sumando miembro a miembro estas igualdades obtenemos

1

2+ cosu+ · · ·+ cos(nu) =

sen(

2n+12u)

2 sen u2

= Dn(u).


Sea x ∈ [−π, π]. Entonces

Snf(x) =a0

2+

n∑k=1

[ak cos(kx) + bk sen(kx)]

=1

π

∫ π

−πf(u)

[12

+n∑k=1

(cos(kx) cos(ku) + sen(kx) sen(ku))]du

=1

π

∫ π

−πf(u)

[12

+n∑k=1

cos(k(u− x))]du

=1

π

∫ π

−πf(u)Dn(u− x) du =

1

π

∫ π

−πf(x+ t)Dn(t) dt.

En el ultimo paso se ha efectuado el cambio de variable t = u − x y se

ha tenido en cuenta que la integral de una funcion T -periodica es la misma

en intervalos que tengan longitud T . Esto prueba la primera igualdad del

enunciado. La segunda resulta de descomponer la ultima integral en suma

de dos integrales, una en [0, π] y otra en [−π, 0]. En la integral sobre este

intervalo, practicar el cambio de variable t 7→ −t y tener en cuenta que Dn

es una funcion par. �

Notemos que, como consecuencia, obtenemos que 1π

∫ π−πDn(t) dt = 1 para

todo n ∈ N. Tambien se obtiene el siguiente corolario, conocido como teorema

de localizacion de Riemann.

Corolario 10.3.2. Sea f : [−π, π]→ R integrable Lebesgue y x0 ∈ [−π, π].

Si f es nula en un entorno de x0 entonces lımn→∞ Snf(x0) = 0.

Demostracion. Por hipotesis, existe δ ∈ (0, π) tal que f(x0 +t) = 0 para todo

t ∈ (−δ, δ). Entonces |2 sen(t/2)| ≥ γ := 2 sen(δ/2) > 0 para todo t ∈ A :=

[−π,−δ] ∪ [δ, π]. De la primera igualdad del Teorema 10.3.1 deducimos que

Snf(x0) =1

π

∫ π

−πf(x0 + t)Dn(t) dt =

1

π

∫A

ϕ(t) sen(2n+ 1

2t)dt,

donde ϕ(t) := f(x0+t)2 sen(t/2)

, la cual es integrable en A por ser medible y estar

mayorada en A por la funcion (1/γ)f(x0 + t). Por el Lema de Riemann–


Lebesgue,∫Aϕ(t) sen((2n+1)t/2) dt→ 0 cuando n→∞. De aquı deducimos

lo que queremos. �

Por tanto, si dos funciones f y g coinciden en un entorno de x0 y la serie

de Fourier de una de ellas converge en x0, entonces la serie de Fourier de la

otra converge a la misma suma: aplicar a f − g el corolario anterior. Este

comportamiento contrasta con el de las series de Taylor, donde el comporta-

miento de una serie en un entorno de un punto determina su valor en todo

su intervalo de convergencia.

A continuacion, enunciamos por fin un criterio suficiente de convergencia

de la serie de Fourier, es decir, de existencia y finitud del lımite lımn→∞ Snf(x).

Recordemos que f(x+0 ) y f(x−0 ) denotan, respectivamente, el lımite lateral

a la derecha de f en x0, lımx→x+0f(x), y el lımite lateral a la izquierda de f

en x0, lımx→x−0f(x), si existen. Asimismo, f ′+(x0) y f ′−(x0) denotan, respec-

tivamente, la derivada lateral a la derecha de f en x0, lımx→x+0f(x)−f(x+0 )

x−x0 , y

la derivada lateral a la izquierda de f en x0, lımx→x−0f(x)−f(x−0 )

x−x0 , si existen.

Teorema 10.3.3. [Condicion de Jordan–Dini] Sea f : [−π, π]→ R integrable

Lebesgue con f(π) = f(−π), y supongamos que f esta extendida periodica-

mente a todo R con perıodo 2π. Sea x0 ∈ R. Se verifica:

(a) Si los lımites y derivadas laterales f(x+0 ), f(x−0 ), f ′+(x0), f ′−(x0) existen

y son finitos, entonces

lımn→∞

Snf(x0) =f(x+

0 ) + f(x−0 )

2.

Si ademas f es continua en x0, se tiene lımn→∞ Snf(x0) = f(x0).

(b) Si f es derivable en x0 entonces lımn→∞ Snf(x0) = f(x0).

Demostracion. Es evidente que (b) es un caso particular de (a). Ya en las

hipotesis de (a), si f es continua en x0 entonces f(x+0 ) = f(x0) = f(x−0 ), luego


basta probar el primer lımite del enunciado. Para ello, usamos la segunda

igualdad integral del Teorema 10.3.1 y el hecho de que 1π

∫ π0Dn(t) dt = 1/2

[porque 1π

∫ π−πDn(t) dt = 1 y Dn es par]. Tenemos ası que

Snf(x0)− f(x+0 ) + f(x−0 )

2=

1

π

∫ π

0

(f(x0 + t)− f(x+0 ))Dn(t) dt

+1

π

∫ π

0

(f(x0 − t)− f(x−0 ))Dn(t) dt.

Como las derivadas laterales de f existen y son finitas y lımt→02 sen(t/2)

t=

1, resulta que la funciones ϕ1(t) :=f(x0+t)−f(x+0 )

2 sen(t/2)y ϕ2(t) :=

f(x0−t)−f(x−0 )

2 sen(t/2),

que son medibles, estan mayoradas por alguna funcion positiva integrable en

[−π, π] (para comprobarlo, dividir el intervalo anterior en (−δ, δ) y [−π, π]\(−δ, δ), con un δ > 0 adecuado que viene de que el lımite proporcionado por

las derivadas laterales existe y es finito: se dejan los detalles como ejercicio).

La primera integral en la expresion anterior es∫ π

0

(f(x0 + t)− f(x+0 ))Dn(t) dt =

∫ π

0

ϕ1(t) sen

(2n+ 1

2t

)dt,

la cual → 0 cuando n→∞ gracias al Lema de Riemann–Lebesgue. Analo-

gamente, utilizando ϕ2, la segunda integral que interviene en la expresion de

Snf(x0)− f(x+0 )+f(x−0 )

2tambien tiende a 0, ası que Snf(x0)→ f(x+0 )+f(x−0 )

2. �

En realidad, son conocidas una condicion debida a Jordan y otra a Dini,

cada una de las cuales implica el teorema anterior. No obstante, dicho teorema

es suficiente para nuestros objetivos.

10.4. Convergencia uniforme de la serie de

Fourier

Existen varios resultados que aseguran la convergencia uniforme de la

serie de Fourier. Presentamos ahora uno que puede aplicarse en muchos casos.


Notese que la convergencia uniforme obliga a que la funcion f sea continua,

ya que cada suma parcial de Fourier SNf es una funcion continua.

Teorema 10.4.1. Sea f : [−π, π]→ R una funcion continua con f(−π) =

f(π), extendida a R periodicamente con periodo 2π. Supongamos que existe

un conjunto finito F ⊂ [−π, π] tal que f es derivable, y con derivada continua

y acotada, en [−π, π] \F . Entonces lımN→∞ SNf = f uniformemente en R.

Demostracion. Por el Teorema 10.3.3, lımn→∞ Snf(x) = f(x) para todo x ∈[−π, π]\F . Si lograsemos probar la convergencia uniforme de (Snf) a alguna

funcion g, esta debe ser continua, pues cada termino de (Snf) es continuo. Ya

que convergencia uniforme implica convergencia puntual, y el lımite puntual

es unico si existe, tendrıamos que g(x) = f(x) para todo x ∈ [−π, π]\F . Este

es un subconjunto denso de [−π, π], luego f = g en [−π, π] por continuidad.

Ası que lımN→∞ SNf = f uniformemente en [−π, π], y por tanto en R

debido a la periodicidad. En consecuencia, resta ver la convergencia uniforme

de la serie de Fourier en [−π, π], sin necesidad de comprobar cual es la funcion

suma.

Para demostrar esto, observese en primer lugar que tanto f como f ′

son integrables Riemann, si extendemos arbitrariamente f ′ al conjunto fi-

nito F . Llamemos An (n ≥ 0) y Bn (n ≥ 1) a los coeficientes de Fou-

rier de f ′, que estan definidos por ser f ′ integrable Lebesgue. Ası que

An = 1π

∫ π−π f

′(x) cos(nx) dx y Bn = 1π

∫ π−π f

′(x) sen(nx) dx. Usando la formu-

la de integracion por partes [en rigor, si F ∩ (−π, π) = {a1 < a2 < · · · < aN},la formula se aplicarıa a cada subintervalo [ai, ai+1] (i = 0, ..., N), donde

a0 = −π y aN+1 = π, y despues se sumarıan las igualdades desde i = 0

hasta i = N ; a su vez, para obtener la formula en cada [ai, ai+1], se aplicarıa

primero la misma en cada intervalo [ai + (1/n), ai+1− (1/n)], con n suficien-

temente grande, y despues se harıa tender n → ∞ usando el teorema de la


convergencia dominada de Lebesgue] es facil ver que

an = −Bn/n y bn = An/n.

Utilizando que 0 ≤ (|t| − |u|)2 = t2 + u2 − 2|t||u| para todo par t, u ∈ R,

resulta que, para todo x ∈ [−π, π],

|an cos(nx) + bn sen(nx)| ≤ |an|+ |bn| =|An|n

+|Bn|n

≤ 1

2

(A2n +

1

n2

)+

1

2

(B2n +

1

n2

)=

1

n2+

1

2(A2

n +B2n).

El ultimo miembro es el termino general de una serie numerica convergente

de terminos positivos, ya que∑

n 1/n2 converge [pues el exponente 2 es > 1]

y tambien lo hace∑

n(A2n + B2

n) [por la desigualdad de Bessel aplicada a

f ′: notese que (f ′)2 ∈ L1([−π, π])]. Finalmente, el criterio M de Weierstrass

(Teorema 4.3.3) garantiza la convergencia uniforme de la serie de Fourier. �

En terminos de los coeficientes de Fourier, puede asegurarse la convergen-

cia uniforme cuando sea aplicable el criterio M de Weierstrass, como se ha

hecho en la parte final de la prueba del teorema anterior.

Teorema 10.4.2. Sea f : [−π, π]→ R una funcion continua con f(−π) =

f(π), extendida a R periodicamente con periodo 2π. Si su serie de Fourier

converge puntualmente a f en R y las series de los coeficientes de Fourier∞∑n=1

an y∞∑n=1

bn son absolutamente convergentes, entonces lımN→∞ SNf = f

uniformemente en R.

Demostracion. La hipotesis de convergencia puntual implica, de manera pa-

recida al principio de la prueba del teorema anterior, que si la serie de Fourier

converge uniformemente a alguna funcion, esta debe ser f . En consecuencia,

basta mostrar la convergencia uniforme. Pero esto se desprende del criterio

M de Weierstrass, ya que |an cos(nx) + bn sen(nx)| ≤ |an| + |bn| para todo

x ∈ R y todo n ∈ N. �


Por tanto, aplicando el Teorema 10.2.3, se tiene que bajo cualquiera de

las hipotesis de los Teoremas 10.4.1 o 10.4.2, se verifica la igualdad de Parse-

val:a2

0

2+∞∑n=1

(a2n + b2

n) =1

π

∫ π

−πf(x)2 dx. Puede probarse que esta igualdad

es valida con la sola condicion de que f sea continua y periodica, e incluso

es suficiente que f sea medible con f 2 integrable en [−π, π].

Dos fuertes resultados, cuya prueba no incluimos aquı pero que tienen

importantes consecuencias, son los siguientes.

El teorema de Fejer asegura que si f : R → R es continua y 2π-

periodica, entonces la sucesion de medias aritmeticas (σnf) de sus sumas

parciales de Fourier convergen uniformemente a f en R. Aquı σnf :=

1n+1

(S0f + S1f + · · · + Snf) [con S0f := a0/2]. La demostracion se basa

en expresar σnf como una integral de nucleo adecuado. De este teorema

se deduce que, si una funcion f : R → R continua y 2π-periodica tiene

una serie de Fourier convergente uniformemente en R, entonces la suma de

la serie es precisamente f . Por tanto, en el Teorema 10.4.2 la hipotesis de

convergencia puntual a f es superflua. Tambien se puede deducir el teorema

de aproximacion de Weierstrass: para cada funcion continua f : [a, b] → R

existe una sucesion polinomios (Pn) tal que Pn → f uniformemente en [a, b].

El teorema de Carleson nos dice que, para cualquier funcion medible f

con f 2 ∈ L1([−π, π]), la sucesion de sumas parciales (Snf(x)) converge a

f(x) e.c.t. x ∈ [−π, π]. Esto se aplica, en particular, a cualquier funcion

continua en [−π, π].

Ejercicios

1.- (a) Probar que las series de Fourier de las funciones siguientes definidas en

[0, 2π) son las que se indican:


f1(t) = t; S(f1) =1

2+∞∑n=1

1

πnsen t

f2(t) = t2 − 2πt; S(f2) =−π2

6+∞∑n=1

cos (nt)

n2

f3(t) = χ[π,2π) − χ[0,π]; S(f3) =−4

π

∞∑n=1

sen(2n− 1)t

2n− 1.

(b) Estudiar la coincidencia entre las funciones y sus series de Fourier.

(c) Deducir la suma de las siguientes series numericas:∞∑n=1

1

n2y∞∑n=1

(−1)n

n2.

2.- Determinar la serie de Fourier de la funcion t ∈ [0, 2π] 7→ t sen t ∈ R y

estudiar su coincidencia con la funcion.

3.- (a) Hallar la serie trigonometrica de Fourier de cada una de las funciones

f(x) = x y g(x) = |x| en el intervalo [−π, π].

(b) Deducir que para todo x ∈ (0, π) se da la igualdad

π

2−∞∑n=1

2

πn2(1− (−1)n) cos(nx) = 2

∞∑n=1

(−1)n+1

nsen (nx).

4.- Sea f(x) = max{senx, 0}. Obtener la serie de Fourier asociada a f , estudiar

su convergencia y calcular∞∑n=1

(−1)n

4n2 − 1.

5.- Dada una funcion f ∈ L1([0, π]), se llama serie de senos [serie de cosenos,

resp.] de f a la serie de Fourier de la extension impar [de la extension par,

resp.] de f a [−π, π]. Desarrolla en serie de senos y de cosenos las siguientes

funciones definidas en el intervalo [0, π]:

(a) f(x) = ex.

(b) f(x) = x2 + x.

6.- Consideremos la funcion f(x) = x− [x]− 1/2.

(a) Pruebese que esta funcion admite un desarrollo de Fourier en todo R.

(b) Obtener su desarrollo de Fourier y estudiar su convergencia.


(c) Deducir la suma de la serie∞∑n=1

(−1)n

2n+ 1.

7.- Justifica que, para todo x ∈ [−π, π], se verifica

x cosx = −1

2senx+ 2

∞∑n=2

(−1)nn sen (nx)

n2 − 1.

8.- Para cada una de las siguientes funciones definidas en [−π, π], determina si

la serie de Fourier converge puntualmente y cual es su lımite puntual si es

que este existe:

(a) f(x) = xn, donde n ∈ N.

(b) f(x) = 0 si x < 0, f(x) = kx si x ≥ 0.

(c) f(x) = tanx.

(f) f(x) = e−x2.

9.- Consideremos el sistema trigonometrico {sen(nt), cos(mt) : n,m ≥ 1} y

el sistema exponencial {eint : n ∈ Z}. Un sistema A de funciones defi-

nidas sobre un mismo intervalo I ⊂ R se dice que es ortogonal cuando∫I f(x)g(x) dx = 0 para todo par f, g ∈ A con f 6= g. Recordemos que z

denota el conjugado x − iy del numero complejo z = x + iy, de modo que

z = z si y solo si z ∈ R. Denotemos por a0, an, bn (n ≥ 1) los coeficientes de

Fourier de f respecto del sistema trigonometrico.

(a) Probar que cada uno de los sistemas trigonometrico y exponencial es

ortogonal en [0, 2π].

(b) Sea f : [0, 2π] → C una funcion integrable Lebesgue, lo cual significa

que Re f e Im f son integrables Lebesgue. Consideremos los coeficientes

de Fourier de f respecto del sistema exponencial, es decir, el sistema

de numeros complejos f(n) (n ∈ Z) definidos como

f(n) =1

2π

∫ 2π

0f(t)e−int dt.


Demostrar las relaciones:

a0 = 2f(0), an = f(n) + f(−n), bn = i(f(n) + f(−n)),

f(n) =an − ibn

2, f(−n) =

an + ibn2

para todo n ≥ 1.

10.- Hallar la funcion continua en [0, 2π] de la que proviene la serie de Fourier∞∑n=1

sen (nt)

n3. Aplicar el resultado a calcular

∞∑n=1

1

n4.

11.- (a) Probar que∑∞

n=0 aneint =

1− a cos t+ ia sen t

1− 2a cos t+ a2∀a ∈ (−1, 1).

(b) Hallar la serie de Fourier en [−π, π] de f(t) =a sen t

1− 2a cos t+ a2.

(c) Probar que el desarrollo de Fourier del apartado anterior converge uni-

formemente en R.

(d) Hallar la serie de Fourier en [−π, π] de h(t) = log(1− 2a cos t+ a2).

(e) Calcular∫ π−π log(1− 2a cos t+ a2) dt.

Bibliografıa

Existe una abundante bibliografıa sobre series e integracion. Los libros que a

continuacion se enumeran constituyen solo una pequena parte. Cada uno de ellos

ha podido ser usado en la elaboracion de alguna o algunas secciones de estas notas,

pero hay que tener en cuenta que el enfoque de los temas a tratar puede variar

de libro a libro. Por supuesto, todos contienen mucho mas material adicional, que

puede ayudar al lector interesado tanto a profundizar en la teorıa dada aquı como a

introducirse en temas nuevos. Ademas, la mayorıa de los textos sugeridos contienen

listados de ejercicios y problemas sobre las materias tratadas, y en algunos casos

se dan sugerencias para resolverlos. Debe observarse que algunos de los libros que

se citan abajo estan completamente dedicados a resolver o proponer ejercicios.

• T.M. Apostol, Analisis Matematico, 2a ed., Reverte, Barcelona, 1991.

• T.M. Apostol, Calculus, 2a ed., Reverte, Barcelona, 1998.

• S.K. Berberian, Introduccion al espacio de Hilbert, Teide, Barcelona, 1977.

• H.S. Bear, A Primer of Lebesgue Integration, 2nd ed., Academic Press, New

York, 2002.

• J. Casasayas y M.C. Cascante, Problemas de analisis matematico, Edunsa,

Barcelona, 1990.

• G. Chilov, Analyse Mathematique, Mir, Moscou, 1975.

• D.L. Cohn, Measure Theory, Birkauser, Boston, 1997.

151


• B.P. Demidovich, 5000 problemas de analisis matematico, 3a ed., Paraninfo,

Madrid, 1985.

• M. Guzman y B. Rubio, Problemas, conceptos y metodos del analisis mate-

matico, Piramide, Madrid, 1993.

• M. Guzman y B. Rubio, Integracion: Teorıa y Tecnicas, Alhambra, Madrid,

1979.

• T. Hawkins, Lebesgue theory of integration: its origins and development,

Chelsea, USA, 1975.

• F. Jones, Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett, Sud-

bury MA, 2001.

• A.N.K. Kolmogorov y S.V. Fomin, Elementos de la teorıa de funciones y del

analisis funcional, Mir, Moscu, 1975.

• H.L. Royden, Real analysis, 3a ed., MacMillan, New York, 1988.

• B. Rubio, Funciones de variable real, B. Rubio, Madrid, 2006.

• W. Rudin, Analisis real y complejo, Alhambra, Madrid, 1987.

• W. Rudin, Principios de analisis matematico, 3a ed., MacGraw-Hill, Madrid,

1980.

• M. Spivak, Calculus, 2a ed., Reverte, Barcelona, 1996.

• A.J. White, Introduccion al analisis real, Promocion cultural, Barcelona,

1973.

• H.J. Wilcox and D.L. Myers, An Introduction to Lebesgue Integration and

Fourier Series, Dover Publication Inc., New York, 1994.

Lista de sımbolos y

abreviaturas

STP = serie de terminos positivos

SP = serie de potencias

VPC = valor principal de Cauchy

A := B ≡ el objeto A se define como el objeto ya conocido B∑∞n=1 an ≡ serie numerica de termino general an∑∞n=1 fn(x) ≡ serie de funciones de termino general fn

U(f, P ) = suma superior de Riemann de f respecto de la particion P

L(f, P ) = suma inferior de Riemann de f respecto de la particion P

[x] = parte entera del numero real x.

d(x, y) = distancia entre x e y en un espacio metrico

‖ · ‖ = norma en un espacio vectorial

‖ · ‖1 = norma en el espacio L1(X)

N = conjunto de los numeros naturales

N0 = N ∪ {0}

Z = conjunto de los numeros enteros

Q = conjunto de los numeros racionales

R = conjunto de los numeros reales

C = conjunto de los numeros complejos

Re z = parte real del numero complejo z

153


Im z = parte imaginaria del numero complejo z

A0 = interior del conjunto A

A = clausura, cierre o adherencia del conjunto A

∂A = frontera del conjunto A

m = medida de Lebesgue

L = σ-algebra de los subconjuntos medibles Lebesgue de R

P (X) = conjunto de los subconjuntos del conjunto X

x+ A = {x+ u : u ∈ A}λA = {λx : x ∈ A}C(S) = espacio de las funciones continuas S → R

CN(I) = espacio de las funciones diferenciables con continuidad

hasta orden N en el intervalo I

C∞(I) = espacio de las funciones infinitamente diferenciables en

el intervalo I

Cω(x0) = espacio de las funciones analıticas en el punto x0

Cω(I) = espacio de las funciones analıticas en el intervalo I

Cc(R) = espacio de las funciones continuas en R de soporte compacto

L1(X) o L1(µ,X) = espacio de las funciones integrables en X

respecto de la medida µ

L1(X) = espacio de las clases de equivalencia de funciones

integrables en X

R[a, b] = espacio de las funciones integrables Riemann en [a, b]

RSg[a, b] = espacio de las funciones Riemann–Stieltjes en [a, b]

respecto de g

S(R) = espacio de las funciones escalonadas

Indice alfabetico

Fσ-conjunto, 82

Gδ-conjunto, 82

σ-algebra, 73

de Borel, 86

generada por una familia de subconjuntos, 86

Antiderivacion, 17

Asociatividad de una serie, 10

campo o dominio de convergencia de una sucesion

funcional, 38

Coeficientes

de Fourier, 137

de MacLaurin, 66

de Taylor, 66

Coeficientes de la SP, 58

Complementario de un conjunto, 73

Condicion

de Cauchy de convergencia de integrales im-

propias, 30

de Cauchy de convergencia uniforme de series

de funciones, 51

de Cauchy de convergencia uniforme de suce-

siones de funciones, 39

de Jordan–Dini, 143

necesaria de convergencia de series, 11

necesaria de convergencia uniforme de series,

52

Conjunto

boreliano o de Borel, 86

de Cantor, 87

de Vitali, 72, 88

medible, 72, 73

medible Caratheodory, 79

medible Lebesgue, 81

Convergencia

puntual o simple, 38

uniforme, 38

Coseno hiperbolico, 70

Criterio

de convergencia de Dirichlet, 14

de Abel de convergencia uniforme de series, 56

de Cauchy de convergencia de series, 11

de comparacion, 13

de comparacion para integrales impropias, 32

de comparacion por paso al lımite, 13

de comparacion por paso al lımite para inte-

grales impropias, 32

de condensacion de Cauchy, 13

de convergencia de Abel, 14

de convergencia de la raız o de Cauchy, 13

de convergencia de Leibniz, 14

de convergencia de Pringsheim, 21

de convergencia de Raabe–Duhamel, 13

de Dirichlet de convergencia uniforme de se-

ries, 55

de Lebesgue de integrabilidad Riemann, 119

del cociente o de D’Alembert, 13

integral de convergencia de series, 33

logarıtmico, 21

M de Weierstrass, 52

mayorante de Weierstrass para la convergencia

uniforme, 52

mayorante para integrales impropias, 32

Criterios de convergencia de STPs, 13

Desigualdad de Chebyshev, 104

Diferencia entre dos conjuntos, 73

Distancia, 122

155


Espacio

de Banach, 123

de medida, 73

inducido, 74

de sucesos, 73

metrico, 122

medible, 73

normado, 121

Formula

de Cauchy–Hadamard, 58

de integracion por partes, 19

de Lagrange del resto, 67

de sumacion de Abel, 56, 64

del cambio de variables, 19

Funcion

analıtica, 65

beta, 36

caracterıstica de un subconjunto, 91

continua de soporte compacto, 123

de variacion acotada, 19

entera, 68

escalonada, 123

gamma de Euler–Gauss, 36

impar, 128, 137

integrable Lebesgue, 105

integrable Riemann, 15

medible, 93

medible Lebesgue, 93

par, 128, 137

periodica, 128, 135

Riemann-Stieltjes integrable, 20

simple, 92

simple medible, 92

superior de una funcion, 110, 111

zeta de Riemann, 55

Identidad de Parseval, 140

Integral

de Lebesgue de una funcion medible, 105

de Lebesgue de una funcion simple no negati-

va, 99

de Riemann, 15

de Riemann-Stieltjes, 20

impropia absolutamente convergente, 31

impropia de primera especie, 26

impropia de Riemann–Stieltjes, 36

impropia de segunda especie, 28

indefinida, 18

inferior de Darboux, 15

mixta, 29

parametrica, 129

superior de Darboux, 15

Intervalo de convergencia, 58

Lımite

puntual o simple, 38

uniforme, 38

Lema

de Borel–Cantelli, 88

de Fatou, 116

de Riemann–Lebesgue, 138

Linealidad para series, 10

Metodo de los coeficientes indeterminados, 68

Medida, 72, 73

σ-finita, 74

cardinal, 74

completa, 74

de Lebesgue, 81

de probabilidad, 73

exterior, 76

exterior de Lebesgue, 78

exteriormente regular, 85

finita, 73

interiormente regular, 85

positiva, 73

Nucleo de Dirichlet, 141

Numero combinatorio generalizado, 67

Norma, 121

Norma-1, 123

Partes positiva y negativa de una funcion, 17

Particion de un intervalo, 15

Perıodo de una funcion, 135

Permutacion de N, 12

Poligonal, 48

Indice alfabetico 157

Primer teorema fundamental del Calculo, 18

Primitiva de un funcion, 17

Problema de la medida, 72

Procedimiento de Caratheodory, 79

Propiedad

conmutativa de las STPs, 12

distributiva para series, 10

reproductiva de la funcion gamma, 36

Radio de convergencia, 58

Recta real ampliada, 74

Regla de Barrow, 18

Segundo teorema fundamental del Calculo, 18

Seminorma, 121

Seno hiperbolico, 70

Serie, 9

absolutamente convergente, 11

alternada, 14

anarmonica, 14

condicionalmente convergente, 12

convergente, 10

de cosenos, 148

de Dirichlet, 55

de funciones, 49

de MacLaurin, 66

de potencias, 58

de senos, 148

de terminos positivos, 11

de Taylor, 66

divergente, 10

incondicionalmente convergente, 12

numerica, 9

oscilante, 10

reordenada, 12

trigonometrica de Fourier, 137

Sistema

exponencial, 149

ortogonal, 140, 149

trigonometrico, 149

Soporte de una funcion, 109

Subconjunto denso en un espacio metrico, 123

Sucesion de funciones, 37

Suceso, 73

Suma

de una serie, 10

inferior de Riemann, 15

superior de Riemann, 15

Teorema

de Abel, 64

de aproximacion de Weierstrass, 147

de aproximacion por funciones simples, 96

de B. Levi de la convergencia monotona, 113

de caracterizacion de conjuntos medibles Le-

besgue, 84

de Caratheodory, 79

de Carleson, 147

de continuidad de integrales parametricas, 130

de convergencia uniforme de Dini, 48

de derivabilidad de integrales parametricas, 131

de Fejer, 147

de Lebesgue de la convergencia dominada, 117

de localizacion de Riemann, 142

de Pringsheim, 66

de representacion integral de las sumas parcia-

les de una serie de Fourier, 141

de Riemann–Dirichlet, 13

del valor medio integral, 17

generalizado del valor medio integral, 23

Valor medio integral, 17

Valor principal de Cauchy, 27

Variable aleatoria, 93

series de funciones e integral de lebesgue - …personal.us.es/lbernal/php/activos/pdf/sfil.pdf ·...

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