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  • CAPITULO XV.SUCESIONES Y SERIESDE FUNCIONES

    SECCIONES

    A. Campo de convergencia. Convergencia uniforme.

    B. Series de potencias. Intervalos de convergencia.

    C. Desarrollo de funciones en series de potencias.

    D. Aplicaciones al calculo infinitesimal.

    E. Ejercicios propuestos.

    223

  • A. CAMPO DE CONVERGENCIA. CONVERGENCIA UNIFOR-ME.

    Consideramos en este captulo sucesiones {fn} cuyos terminos son funcionesreales con dominio I comun. Para cada x I, se construye la sucesionnumerica {fn(x)} formada por las imagenes de las funciones en el punto x.Analogamente, se define la serie de funciones

    n1

    fn como la sucesion {Sn}

    de sumas parciales Sn =n

    k=1

    fk.

    En lo que sigue nos referiremos a series de funciones pues, aunque son uncaso particular de las sucesiones, nuestro interes se centra en el estudio delas series de potencias (seccion B) y el desarrollo de funciones en series depotencias (seccion C).

    Definimos campo de convergencia de la serien1

    fn como el conjunto S de

    puntos x I para los que la serie numerican1

    fn(x) converge. As pues, si

    f(x) =n1

    fn(x), con x S, se dice que la serien1

    fn converge puntualmen-

    te a f . Como sabemos, esto significa que, llamando Sn(x) =n

    k=1

    fk(x),

    x S, > 0, N N : |Sn(x) f(x)| =

    k>n

    fk(x)

    < , n > N,donde N depende de y de x. Si dicho N es el mismo para todos los valores dex S (no depende de x), se dice que la serie

    n1

    fn converge uniformemente

    a f en S.

    De la definicion es evidente la siguiente propiedad:

    1) Si una serie de funcionesn1

    fn converge uniformemente a f , entonces

    converge puntualmente a f .

    Otras propiedades de interes son las siguientes:

    2) Criterio de convergencia de Cauchy. La serien1

    fn converge uni-

    formemente en S si y solo si

    x S, > 0, N N :

    k+p

    n=k+1

    fn(x)

    < , k > N, p N.224

  • 3) Continuidad. Si una serie de funcionesn1

    fn converge uniformemente

    a f en S y cada fn es continua en x0 S, entonces f es continua enx0.

    En smbolos,lm

    xx0

    n1

    fn(x) =n1

    lmxx0

    fn(x).

    4) Derivacion. Sea {fn} una sucesion de funciones derivables en (a, b) ytal que la serie

    n1

    fn(x0) converge para algun x0 (a, b). Si la se-

    rien1

    f n converge uniformemente en (a, b), entoncesn1

    fn converge

    uniformemente en (a, b) y(n1

    fn(x))

    =n1

    f n(x), x (a, b).

    5) Integracion. Si una serie de funcionesn1

    fn converge uniformemente

    a f en un intervalo [a, b] y cada fn es integrable en [a, b], entonces fes integrable en [a, b] y

    n1

    xa

    fn(t) dt = x

    a

    n1

    fn(t) dt, x [a, b].

    Esto se expresa diciendo que una serie uniformemente convergente sepuede integrar termino a termino. Un metodo usual para probar queuna serie es convergente es el siguiente.

    6) Criterio de Weierstrass. Sean1

    fn una serie de funciones tal que

    |fn(x)| an, n, x S, donden1

    an es una serie numerica con-

    vergente. Entoncesn1

    fn converge uniformemente en S.

    Observacion. El criterio de Weierstrass asegura la convergencia uniformey absoluta de una serie de funciones, pero en general ambos conceptos noson equivalentes.

    PROBLEMA 15.1

    Determinar el campo de convergencia de la serien0

    2n senn x.

    225

  • Solucion

    Aplicando el criterio de la raz, la serie es absolutamente convergente cuan-do:

    lm n|an| < 1 lm 2| senx| < 1 | senx| < 1/2

    x (

    (6n 1)6

    ,(6n + 1)

    6

    ), n Z,

    que son los intervalos donde la serie es absolutamente convergente.

    En los extremos de cada intervalo, es decir cuando | senx| = 1/2, dondeel criterio de la raz no decide, quedan las series

    1 o

    (1)n, que son

    claramente divergentes.

    PROBLEMA 15.2

    Hallar el campo de convergencia de la serie

    n=1

    cos nxenx

    .

    Solucion

    Descomponemos el problema en varios casos:

    - Si x > 0, aplicamos el criterio de comparacion; tenemos por un lado quecos nxenx

    1enx

    y, aplicando el criterio de la raz a la serie

    1/enx, resul-ta:

    lm n

    1/enx = lm 1/ex < 1 pues x > 0.

    Como la serie mayorante es convergente, tambien lo sera la serie dada.

    - Si x = 0, tenemos la serie

    1 que es divergente.

    - Si x < 0, como lm enx = 0, entonces no existe lmcos nxenx

    , con lo que laserie es tambien divergente.

    PROBLEMA 15.3

    Estudiar la convergencia y convergencia uniforme de la serien1

    x

    (1 + x)nen R.

    226

  • Solucion

    Cuando |1 + x| < 1, es decir 2 < x < 0, tenemos que x(1 + x)n

    .

    Por el criterio del resto se deduce que la serie no es convergente en R. Enparticular, tampoco converge uniformemente.

    PROBLEMA 15.4

    Estudiar la convergencia y convergencia uniforme de la serien1

    enx sennx en R.

    Solucion

    Cuando x > 0, el termino general enx sennx no tiene lmite. Por el criteriodel resto se deduce que la serie no converge en R.

    PROBLEMA 15.5

    Estudiar la convergencia y convergencia uniforme de la serien1

    sen

    nx

    n

    nen R.

    Solucion

    Aplicaremos el criterio de Weierstrass. Comosennxnn 1nn, n

    y la serie 1

    n

    n= 1

    n3/2es convergente, se deduce que la serie pro-

    puesta converge absoluta y uniformemente en R.

    PROBLEMA 15.6

    Estudiar la convergencia y convergencia uniforme de la serien1

    (1)n1xn en [1/2, 1/2].

    227

  • Solucion

    La serie converge absoluta y uniformemente debido al criterio de Weierstrassporque, si 1/2 x 1/2,

    |(1)n1xn| 12n

    , n

    y la serie geometrica

    1/2n es convergente.

    PROBLEMA 15.7

    Estudiar la convergencia y convergencia uniforme de la serien1

    arc tg2x

    x2 + n3en R.

    Solucion

    Sea N una constante positiva fija. Teniendo en cuenta que | arc tg x| |x|, x R, obtenemos las siguientes acotaciones:

    - Si |x| N ,arc tg 2xx2 + n3

    2xx2 + n3 2Nn3 , n.

    - Si |x| > N ,arc tg 2xx2 + n3

    2xx2 + n3 2n2 , n > |x|.

    Como las dos series 2N

    n3y 2

    n2son convergentes, del criterio de Weiers-

    trass se deduce que la serie propuesta es absoluta y uniformemente conver-gente.

    PROBLEMA 15.8

    Probar que la serien1

    xn sennxnp

    converge uniformemente en [1, 1]

    si p > 1.

    Solucion

    En efecto, por el criterio de Weierstrass, si p > 1 y 1 x 1, tenemos laacotacion xn sennxnp

    1npy la serie mayorante

    1np

    es convergente.

    228

  • PROBLEMA 15.9

    Probar que la serien1

    (1)n x2 + nn2

    converge uniformemente en

    todo [a, b] pero nunca converge absolutamente.

    Solucion

    Si llamamos fn(x) = (1)nx2 + n

    n2, por el criterio de comparacion, como

    |fn(x)| 1/n y la serie

    1/n es divergente, la serie propuesta no es ab-solutamente convergente. Sin embargo, aplicando el criterio de Leibnitz, seprueba que converge condicionalmente en R.

    Por otra parte, al ser una serie alternada, si llamamos = max{|a|, |b|},tenemos:

    |Sn(x) S(x)| |fn+1(x)| =x2 + (n + 1)

    (n + 1)2

    2 + (n + 1)(n + 1)2

    0, x [a, b],

    lo que indica que la serie converge uniformemente.

    PROBLEMA 15.10

    Dada la serie

    n=1

    fn(x), donde fn(x) son continuas en [0, 1] para

    todo n y verifican la acotacion

    n

    k=1

    fk(x) x2 nn2 + 5 , x [0, 1],

    calcular

    n=1

    10

    fn(x) dx.

    Solucion

    Comon

    n2 + 5 0 cuando n independientemente de x [0, 1], la

    acotacion dada indica que la serie

    n=1

    fn(x) converge uniformemente a la

    funcion y = x2. En consecuencia la serie se puede integrar termino a terminoy resulta:

    n=1

    10

    fn(x) dx = 1

    0

    n=1

    fn(x) dx = 1

    0x2 dx =

    13.

    229

  • PROBLEMA 15.11

    Probar que la serien1

    sennxn2

    es convergente en todo R. Si f(x) es

    su suma, probar que f es continua en [0, ] y que 0

    f(x) dx = 2n1

    1(2n 1)3

    .

    Solucion

    Si llamamos fn(x) =sennx

    n2, como |fn(x)|

    1n2

    , n, x R y la serie 1

    n2es convergente, por el criterio de Weierstrass se deduce que la serie propuestaes uniformemente convergente en R. Como ademas las funciones fn(x) soncontinuas, tambien lo sera su suma f(x).

    De la formula

    0f(x) dx =

    n1

    0

    fn(x) dx, deducimos entonces que:

    0

    f(x) dx =n1

    0

    sennxn2

    dx =n1

    [ cos nx

    n3

    ]0

    =n1

    1 cos nn3

    =n1

    2(2n 1)3

    ,

    pues 1 cos n =

    {0 si n es par2 si n es impar.

    B. SERIES DE POTENCIAS. INTERVALOS DE CONVERGEN-CIA.

    Una serie de la forman0

    an(x a)n = a0 + a1(x a) + + an(x a)n + . . .,

    con an R, n, se llama serie de potencias de x a o serie de potenciascentrada en a. Nos referiremos aqu a las series de potencias centradas enel origen pues basta hacer una traslacion x a = t para reducir la serien0

    an(x a)n a la serien0

    antn. La siguiente propiedad es basica:

    230

  • 1) El campo de convergencia de una serie de potenciasn0

    anxn es un

    intervalo centrado en el origen, o todo R, o el origen.

    As pues, para determinar el intervalo de convergencia, basta calcularla distancia de los extremos del intervalo al origen, lo que llamaremosradio de convergencia.

    2) Formula de Hadamard. El radio de convergencia (la mitad de la am-plitud del intervalo de convergencia) de una serie de potencias

    n0

    anxn

    es R = 1/L donde L = lm sup n|an|.

    3) Si el campo de convergencia tiene radio R, la serie converge absolutay uniformemente x (R,R) y diverge si |x| > R. Sin embargo, six = R o x = R, caben todas las posibilidades.

    Para la mayor parte de las series de potencias que consideraremos,el campo de convergencia puede obtenerse mediante el criterio delcociente o de la raz. Tenemos entonces la siguiente propiedad:

    4) a) Si existe lm n|an| = L, el radio de convergencia es R = 1/L.

    b) Si existe lman+1an

    = L, el radio de convergencia es R = 1/L.Las operaciones posibles con series de potencias se deducen de lascorrespondientes con series arbitrarias. Podemos destacar las siguien-tes:

    5) En el interior de su intervalo de convergencia, toda serie de potenciaspuede derivarse termino a termino.

    Es decir, (n0

    an(x a)n)

    =n1

    n an(x a)n1

    y la serie obtenida tiene el mismo radio de convergencia que la serieoriginal.

    6) Toda serie de potencias es integrable en su campo de convergencia y laprimitiva se obtiene integrando termino a termino la serie dada.

    Esto se expresa simbolicamente como xa

    n0

    an(t a)n dt =n0

    an (x a)n+1

    n + 1, x (aR, a + R)

    y la serie resultante tiene el mismo radio de convergencia que la serieoriginal (aunque es posible que converja tambien en algun extremo delintervalo de convergencia).

    231

  • 7) Dadas las series de potencias

    f(x) =n0

    an(x a)n y g(x) =n0

    bn(x a)n,

    convergentes en los intervalos (a R1, a + R1) y (a R2, a + R2),respectivamente, el producto viene dado por la serie

    f(x) g(x) =n0

    cn(x a)n, x (R,R),

    donde cn =n

    k=0

    ak bnk, n 0 y R = mn{R1, R2}.

    PROBLEMA 15.12

    Determinar el campo de convergencia de la serien0

    xn

    2n n2.

    Solucion

    Aplicando la formula de Hadamard, calculamos el radio de convergenciacomo:

    1R

    = lm sup n|an| = lm

    1

    2 n

    n2=

    12.

    Por tanto, R = 2 y la serie converge absolutamente cuando x (2, 2).

    En los extremos del intervalo tenemos:

    - Si x = 2, resulta la serie 1

    n2que es convergente.

    - Si x = 2, resulta la serie (1)n

    n2que es tambien absolutamente con-

    vergente.

    PROBLEMA 15.13

    Determinar el campo de convergencia de la serien0

    n!xn

    nn.

    Solucion

    Por la formula de Hadamard,

    1R

    = lm sup n|an| = lm

    n

    n!n

    = lmn e1 n

    2n

    n= e1,

    232

  • con lo que R = e y la serie converge absolutamente en (e, e) y divergecuando x (,e) (e,). En los extremos tenemos:

    - Si x = e, la serie es n! en

    nn. Como

    lmn! en

    nn= lm

    2n = 6= 0,

    la serie es divergente.

    - Si x = e, la serie es (1)nn! en

    nnque tambien es divergente, por la

    misma razon del caso anterior.

    PROBLEMA 15.14

    Determinar el campo de convergencia de la serien1

    xn

    n 10n1.

    Solucion

    Por la formula de Hadamard,

    1R

    = lm sup n|an| = lm

    1n

    n 10n1=

    110

    ,

    de donde R = 10 y la serie converge absolutamente en (10, 10) y divergeen (,10) (10,).

    - Si x = 10, la serie resulta 10

    nque es divergente.

    - Si x = 10, tenemos la serie (1)n 10

    nque es condicionalmente con-

    vergente (basta aplicar el criterio de Leibnitz).

    PROBLEMA 15.15

    Determinar el campo de convergencia de la serien0

    xn

    an + bn, donde

    a, b > 0.

    233

  • Solucion

    Supondremos que a b pues, en caso contrario, se procede de forma analoga.Por la formula de Hadamard,

    1R

    = lm sup n|an| = lm

    1n

    an + bn= lm

    1a n

    1 + (b/a)n=

    1a,

    con lo que R = a y la serie converge absolutamente en (a, a) y diverge en(,a) (a,).

    - Cuando x = a, tenemos la serie an

    an + bn. Como

    lman

    an + bn= lm

    11 + (b/a)n

    = 1 6= 0,

    la serie es divergente.

    - Cuando x = a, aplicamos el mismo procedimiento anterior y la serie estambien divergente.

    PROBLEMA 15.16

    Determinar el campo de convergencia de la serien0

    (nx

    n + 1

    )n.

    Solucion

    Por la formula de Hadamard,

    1R

    = lm sup n|an| = lm

    n

    n + 1= 1 = R = 1,

    y la serie converge absolutamente en (1, 1) y diverge en (,1)(1,).

    - Si x = 1, tenemos la serie( n

    n + 1

    )ny si x = 1,

    ( nn + 1

    )n. En

    ambos casos, si llamamos an al termino general,

    lm |an| = lm(

    n

    n + 1

    )n= lm en(

    nn+1

    1) = lm en1

    n+1 = e1 6= 0,

    de modo que ambas series son divergentes.

    234

  • PROBLEMA 15.17

    Hallar el intervalo de convergencia de la serie

    (x 1) 3(x 1)2

    22+ + (1)n+1 (n + 1)(x 1)

    n

    2n+ . . .

    Solucion

    Por la formula de Hadamard,

    1R

    = lm sup n|an| = lm

    n

    n + 12

    =12

    = R = 2.

    El intervalo de convergencia es entonces I = (1 2, 1 + 2) = (1, 3).

    - Para x = 1, tenemos la serie divergente(n + 1), y para x = 3,

    tenemos tambien la serie divergente

    (1)n+1(n + 1).

    PROBLEMA 15.18

    Determinar el campo de convergencia de la serie

    1 +n1

    (1)n x4n1

    4n.

    Solucion

    Aplicaremos el criterio del cociente considerando la serie como serie numeri-ca.

    lman+1an

    = lm x4n+3/(4n + 4)x4n1/4n = |x|4.

    La serie sera convergente cuando |x|4 < 1, es decir cuando |x| < 1, y diver-gente cuando |x| > 1. En los casos extremos tenemos:

    - Si x = 1, la serie 1 +n1

    (1)n

    4nes condicionalmente convergente.

    - Si x = 1, la serie es 1n1

    (1)n

    4nque es tambien condicionalmente

    convergente.

    235

  • PROBLEMA 15.19

    Determinar el campo de convergencia de la serien0

    [cos(1/n)]n2+2n+2 xn.

    Solucion

    Por la formula de Hadamard,

    1R

    = lm sup n|an| = lm [cos(1/n)]

    n2+2

    n2+2n = 1,

    de modo que la serie converge absolutamente en (1, 1) y diverge en (,1)(1,).

    En los extremos x = 1 y x = 1 las series son divergentes porque, aplicandoel criterio del resto,

    lm [cos(1/n)]n2+2n+2 = lm e

    n2

    n+2[cos(1/n)1] = lm e

    n2

    n+21/n

    2

    2 = 1 6= 0.

    PROBLEMA 15.20

    Determinar el campo de convergencia de la serien1

    n(1)nxn1.

    Solucion

    Aplicaremos el criterio de comparacion, para lo que llamaremos an = n(1)nxn1.

    Tenemos la acotacion |an| = n(1)n |x|n1 n|x|n1. Ademas la serie

    n|x|n1

    converge si |x| < 1 como se deduce aplicando el criterio del cociente:

    lm(n + 1)|x|n

    n|x|n1= |x|.

    Lo anterior indica que la serie propuesta es tambien absolutamente conver-gente cuando |x| < 1.

    Ahora bien, si |x| = 1, lm an no existe; por tanto la serie diverge.

    Por tratarse de una serie de potencias, la serie debe ser tambien divergentecuando |x| > 1.

    236

  • PROBLEMA 15.21

    Determinar el campo de convergencia de la serien1

    (x 1)2n

    n 9n.

    Solucion

    Aplicando el criterio de la raz,

    lm n|an| = lm

    |x 1|2

    9 n

    n=|x 1|2

    9.

    Esto quiere decir que la serie converge absolutamente cuando |x 1|2 < 9,es decir cuando x (2, 4) y diverge cuando x (,2) (4,).

    Ademas, tanto para x = 2 como para x = 4, queda la serie

    1/n que esdivergente.

    PROBLEMA 15.22

    Determinar el campo de convergencia de la serien1

    (2n 1)n(x + 1)n

    2n1 nn.

    Solucion

    Por el criterio de la raz tenemos:

    lm n|an| = lm

    (2n 1) |x + 1|2(n1)/n n

    = |x + 1|

    de modo que la serie converge absolutamente cuando |x + 1| < 1, es decircuando x (2, 0) y diverge cuando x (,2) (0,).

    - Para x = 0 queda la serie (2n 1)n

    2n1 nn. Esta serie es divergente porque

    el termino general no tiende a cero:

    lm(2n 1)n

    2n1 nn= lm 2

    (2n 1

    2n

    )n= 2e1/2.

    - Si x = 2, tenemos la serie alternada

    (1)n (2n 1)n

    2n1 nnque tambien

    es divergente por la misma razon que en el caso anterior.

    237

  • PROBLEMA 15.23

    Determinar el campo de convergencia de la serien1

    (x + 5)2n1

    2n 4n.

    Solucion

    Por el criterio del cociente, obtenemos:

    lman+1an

    = lm |x+5|2n+1

    2(n+1)4n+1|x+5|2n1

    2n4n= lm

    |x + 5|2 2n4 2(n + 1)

    =|x + 5|2

    4.

    Entonces la serie converge absolutamente cuando|x + 5|2

    4< 1, es decir cuan-

    do x (7,3) y diverge cuando x (,7) (3,).

    En los extremos del intervalo, x = 3 y x = 7, tenemos la serie

    1/4nque es divergente.

    PROBLEMA 15.24

    Determinar el campo de convergencia de la serie n!(a + 1) . . . (a + n)

    xn1.

    Solucion

    Si aplicamos el criterio del cociente, tenemos:

    lman+1an

    = lm

    (n+1)!xn

    (a+1)...(a+n)(a+n+1)

    n!xn1

    (a+1)...(a+n)

    = lm (n + 1)|x|a + n + 1 = |x|.Entonces la serie es absolutamente convergente cuando |x| < 1 y divergentecuando |x| > 1. En los extremos del intervalo de convergencia tenemos:

    - Si x = 1, la serie es n!

    (a + 1) . . . (a + n). Aplicando el criterio de Raabe,

    resulta:

    lm n (

    1 n + 1a + n + 1

    )= lm

    an

    a + n + 1= a,

    con lo que la serie es convergente si a > 1 y divergente si a < 1. Por ultimo,

    si a = 1, la serie es ahora 1

    n + 1, que es evidentemente divergente.

    238

  • - Si x = 1, queda la serie alternada

    (1)n1 n!(a + 1) . . . (a + n)

    . Como

    hemos visto antes, cuando a > 1 es absolutamente convergente. Cuando a 1 aplicamos el criterio de Leibnitz, para lo cual llamamos an =

    n!(a + 1) . . . (a + n)

    :

    Comoan+1an

    =n + 1

    a + n + 1, la sucesion {an} es decreciente si 0 < a 1 y

    creciente si a < 0. En el primer caso, 0 < a 1, ademas lm an = 0.Veamoslo:

    Si llamamos L = lmn!

    (a + 1) . . . (a + n)= lm

    1(1 + a)(1 + a/2) . . . (1 + a/n)

    ,

    altomar logaritmos obtenemos:

    lnL = lm[ln(1 + a) + ln(1 + a/2) + + ln(1 + a/n)] =

    n=1

    ln(1 + a/n).

    Esta ultima serie es divergente pues ln(1+a/n) 1/n, con lo que lnL = ,de donde L = e = 0, como queramos probar.

    Por ultimo, si a = 0, tenemos la serie divergente

    (1)n1.

    En resumen, en el caso x = 1, la serie dada es absolutamente convergentecuando a > 1; condicionalmente convergente cuando 0 < a 1 y divergentecuando a 0.

    PROBLEMA 15.25

    Determinar el campo de convergencia de la seriexn1 ln

    (1 +

    1n

    ).

    Solucion

    Por el criterio del cociente,

    lman+1an

    = lm xn ln n+2n+1xn1 ln n+1n

    = |x|.Tenemos entonces que la serie converge absolutamente cuando |x| < 1 ydiverge cuando |x| > 1. Ademas,

    - Si x = 1, tenemos la serie

    ln(1 + 1/n) que es divergente como se com-prueba al compararla con la serie armonica

    1/n.

    239

  • - Si x = 1, queda la serie alternada

    (1)n1 ln(1 + 1/n) que es con-dicionalmente convergente, pues la sucesion {ln(1 + 1/n)} es decreciente ytiene lmite cero.

    PROBLEMA 15.26

    Determinar el campo de convergencia de la serie (2n + 1)!1 3 5 6 . . . (4n 3)(3n)

    (x/e)5n.

    Solucion

    Si hacemos el cambio t = (x/e)5 y aplicamos el criterio del cociente, tene-mos:

    lman+1an

    = lm (2n+3)!1356...(4n3)(3n)(4n+1)(3n+3)(2n+1)!1356...(4n3)(3n)

    |t| = lm (2n + 3)(2n + 2)(4n + 1)(3n + 3)

    |t| = |t|3

    .

    De aqu se deduce que la serie converge absolutamente cuando |t| < 3, obien cuando |x| < e 5

    3, y diverge cuando |x| > e 5

    3.

    - Cuando x = e 5

    3, la serie queda

    (1)5n (2n + 1)! 3n

    1 3 5 6 . . . (4n 3)(3n).

    Esta serie es divergente porque el termino general no tiende a cero. Enefecto, comoan+1an

    = (2n + 3)(2n + 2) 3(4n + 1)(3n + 3) = 4n2 + 10n + 64n2 + 5n + 1 > 1,entonces |an+1| > |an| y lm |an| 6= 0.

    - Cuando x = e 5

    3, procedemos de manera analoga al caso anterior. As laserie es tambien divergente.

    PROBLEMA 15.27

    Si la serie

    anzn tiene radio de convergencia 2, encontrar los

    radios de convergencia de las series

    aknzn,

    anzkn, (k > 1),

    anzn2.

    240

  • Solucion

    Por hipotesis sabemos que 1/2 = lm sup n|an|. Aplicando tambien la formu-

    la de Hadamard en los demas casos, tenemos:

    lm sup n|akn| = lm sup

    (n|an|

    )k=

    12k

    .

    De aqu se deduce que la serie

    aknzn tiene radio de convergencia R1 =

    2k.

    Para el segundo caso, como

    lm sup kn|an| = lm sup |an| 1n nkn = (1/2)0 = 1,

    el radio de convergencia de la serie

    anzkn es R2 = 1.

    Analogamente, como

    lm sup n2|an| = lm sup [|an|1/n]n(1/n2) = (1/2)0 = 1,

    el radio de convergencia de

    anzn2 es R3 = 1.

    PROBLEMA 15.28

    Se considera la serie de potencias

    anxn, donde llamamos

    an =1 2 . . . n

    3 5 . . . (2n + 1).

    a) Probar que su radio de convergencia es 2.

    b) Probar que la serie original no converge en x = 2.

    c) Sean bn = an2n y pn = ln bn. Probar que los terminos pn son lassumas parciales de una serie de terminos negativos que divergehacia .

    d) Deducir de c) el caracter de la serie original en x = 2.

    Solucion

    a) Por el criterio del cociente,

    lman+1an

    = lm 12...n(n+1)35...(2n+1)(2n+3)12...n35...(2n+1)

    xn+1xn

    = lm n + 12n + 3 |x| = |x|2 ,de modo que la serie converge absolutamente cuando |x| < 2.

    241

  • b) Para x = 2 aplicamos el criterio de Raabe:

    lm n(

    1 an+1an

    )= lm n

    (1 n + 1

    2n + 3 2)

    = lm n 12n + 3

    =12

    < 1,

    por lo que la serie es divergente.

    c) Si escribimos bn = an 2n =2 4 . . . 2n

    3 5 . . . (2n + 1)=

    23 45

    . . .2n

    2n + 1, enton-

    cespn = ln bn = ln

    23

    + ln45

    + + ln 2n2n + 1

    es una cantidad negativa por ser suma de numeros negativos (loga-ritmos de numeros menores que uno). Ademas pn es la suma de los

    n primeros terminos de la serien1

    ln2n

    2n + 1. Esta serie es divergen-

    te como se observa al aplicar el criterio de comparacion con la serie1/n:

    lmln 2n2n+1

    1/n= lm ln

    (2n

    2n + 1

    )n= e1/2.

    Esto quiere decir que lm pn = , como queramos probar.

    d) La serie original en x = 2 es la serie alternada

    (1)n 2n an.Para estudiar su convergencia aplicamos el criterio de Leibnitz. Porel apartado c), el termino general en valor absoluto tiende a ceropues |(1)n 2n an| = bn = epn e = 0. Ademas la sucesion {bn}es decreciente pues

    bn+1bn

    = 2 n + 12n + 3

    =2n + 22n + 3

    < 1.

    De lo anterior resulta que la serie es condicionalmente convergente (laconvergencia no es absoluta pues vimos en el apartado b) que la seriede valores absolutos no es convergente).

    C. DESARROLLO DE FUNCIONES EN SERIES DE POTEN-CIAS.

    Se plantea en esta seccion el problema de saber si una funcion f es la su-ma de una serie de potencias que converja en cierto intervalo centrado en

    242

  • algun punto x = a. Es decir, queremos encontrar los coeficientes {an} paraque

    f(x) =n0

    an(x a)n, x (aR, a + R).

    1) Una condicion necesaria para que exista dicha serie es que f sea infini-tamente derivable en un entorno de a; en este caso, los coeficientes se

    obtienen por la formula an =f (n)(a)

    n!(como se deduce al aplicar su-

    cesivas veces la propiedad 5 de la seccion B). Tenemos as la llamadaserie de Taylor generada por la funcion f en el punto x = a:

    f(x) n0

    f (n)(a)n!

    (x a)n,

    o, en el caso particular de a = 0, la serie de McLaurin generada por f :

    f(x) n0

    f (n)(a)n!

    xn.

    Para encontrar alguna condicion suficiente que asegure la convergenciade la serie de Taylor a la funcion f escribimos la siguiente formula deTaylor con resto:

    f(x) =n

    k=0

    f (k)(a)k!

    (xa)k+Rn(x, a), donde Rn(x, a) =f (n+1)(c)(n + 1)!

    (xa)n+1

    para algun c comprendido entre x y a (Rn(x, a), llamado resto de ordenn de la serie, indica el error cometido al sustituir la funcion f por lasuma de los n primeros terminos de la serie de Taylor asociada). Es

    evidente que lmxa

    Rn(x, a)(x a)n

    = 0, es decir, el resto es un infinitesimo de

    orden superior a n en x = a.

    De lo anterior se deduce que:

    2) Una condicion necesaria y suficiente para que la serie de Taylor converjaa f es que

    lmn

    Rn(x, a) = lmn

    f (n+1)(c)(n + 1)!

    (x a)n+1 = 0.

    Muchas veces, en la practica basta encontrar una cota superior de laderivada de orden n+1 de la funcion en un entorno de x = a. Esto dalugar entonces a:

    3) Una condicion suficiente para que la serie de Taylor converja a f esque las derivadas de cualquier orden de la funcion f esten acotadas enalgun entorno de a.

    243

  • Escribiremos a continuacion los desarrollos en serie de las funciones mascomunes, que serviran de base para obtener los desarrollos de otras funcio-nes.

    1. Funcion exponencial. ex =n0

    xn

    n!,

    y la serie converge en todo R.

    2. Funciones trigonometricas. senx =n0

    (1)n x2n+1

    (2n + 1)!,

    que converge en todo R.

    Analogamente, cos x =n0

    (1)n x2n

    (2n)!

    y converge tambien en todo R (se puede obtener como derivada de sen x).

    3. Funcion logartmica. ln(x + 1) =n1

    (1)n1 xn

    n

    y la serie converge absolutamente en (1, 1) y condicionalmente en x = 1.

    4. Serie binomica. (1 + x)m =n0

    (m

    n

    )xn,

    (donde definimos(

    m

    n

    )=

    m(m 1) . . . (m n + 1)n!

    , para todo m R y

    n N) y la serie es absolutamente convergente en (1, 1); para ciertosvalores de m la serie tambien converge en algun extremo del intervalo.

    En los siguientes problemas veremos la forma de obtener desarrollos en se-rie de funciones que se obtienen mediante operaciones algebraicas de lasanteriores.

    PROBLEMA 15.29

    Desarrollar en serie de McLaurin la funcion f(x) = (1 + x)ex ydeterminar su intervalo de convergencia.

    244

  • Solucion

    Como ex =n0

    (x)n

    n!, para todo x R, entonces

    (1 + x)ex =n0

    (x)n

    n!+ x

    n0

    (x)n

    n!= 1 +

    n1

    (1)n

    n!xn +

    n0

    (1)n

    n!xn+1

    = 1 +n1

    (1)n

    n!xn +

    m1

    (1)m1

    (m 1)!xm

    = 1 +n1

    (1)nxn[

    1n! 1

    (n 1)!

    ]= 1 +

    n1

    (1)nxn 1 nn!

    ,

    y el desarrollo es tambien valido en todo R.

    PROBLEMA 15.30

    Desarrollar la funcion f(x) = x +x

    1 + x2en serie de potencias

    alrededor del origen especificando su intervalo de convergencia.

    Solucion

    Utilizaremos el desarrollo en serie binomica (1 + x2)1/2 =n0

    (1/2

    n

    )(x2)n,

    valido cuando |x| < 1; teniendo en cuenta que(1/2

    n

    )= (1)n 1 3 . . . (2n 1)

    n! 2n,

    resulta:

    x + x(1 + x2)1/2 = x +n0

    (1)n 1 3 . . . (2n 1)n! 2n

    x2n+1

    = 2x +n1

    (1)n 1 3 . . . (2n 1)n! 2n

    x2n+1,

    y el desarrollo es igualmente valido cuando |x| < 1 (observar tambien que laserie converge condicionalmente cuando x = 1 procediendo como se hizoen el problema 15.24).

    PROBLEMA 15.31

    Desarrollar la funcion f(x) =

    {ex1

    x si x 6= 01 si x = 0

    en serie de poten-

    cias alrededor del origen.

    245

  • Solucion

    A partir del desarrollo ex =n0

    xn

    n!, obtenemos:

    ex 1 =n1

    xn

    n!= e

    x 1x

    =n1

    xn1

    n!

    y el desarrollo es valido en todo R por serlo el desarrollo de ex.

    PROBLEMA 15.32

    Obtener el desarrollo en serie de potencias de x de la funcionf(x) = (1 + x2) arc tg x, especificando su intervalo de convergencia.

    Solucion

    Calculando la derivada de la funcion y = arc tg x, tenemos el desarro-llo:

    y =1

    1 + x2=n0

    (1n

    )(x2)n =

    n0

    (1)nx2n.

    Si integramos ahora termino a termino, para x (1, 1):

    y =n0

    (1)n x2n+1

    2n + 1+ C, con C = y(0) = 0.

    Multiplicando ahora por 1 + x2, obtenemos en definitiva:

    f(x) =n0

    (1)n x2n+1

    2n + 1+n0

    (1)n x2n+3

    2n + 1=n0

    (1)n x2n+1

    2n + 1

    +m1

    (1)m1 x2m+1

    2m 1= x +

    n1

    (1)n1x2n+1( 1

    2n + 1+

    12n 1

    )= x +

    n1

    (1)n1 2(2n + 1)(2n 1)

    x2n+1,

    y el desarrollo es valido cuando |x| < 1 pues corresponde al intervalo donde esvalido el desarrollo de (1+x2)1 (en este caso se puede comprobar facilmenteque tambien es convergente cuando x = 1).

    246

  • PROBLEMA 15.33

    Desarrollar en serie de potencias alrededor de x = 0 la funcionf(x) =

    x

    1 + x3especificando su intervalo de convergencia. Escribir

    el desarrollo de la funcion F (x) = x

    0f(t)dt.

    Solucion

    A partir del desarrollo de (1 + x3)1 resulta:

    x(1 + x3)1 = xn0

    (1n

    )x3n =

    n0

    (1)nx3n+1,

    y la serie converge absolutamente a la funcion cuando x (1, 1).

    Como en dicho intervalo la convergencia es absoluta y uniforme, enton-ces

    F (x) = x

    0f(t)dt =

    n0

    x0

    (1)nt3n+1dt

    =n0

    (1)n[

    t3n+2

    3n + 2

    ]x0

    =n0

    (1)n x3n+2

    3n + 2.

    Ahora la serie obtenida converge tambien (aunque solo condicionalmente)cuando x = 1.

    PROBLEMA 15.34

    Desarrollar la funcion f(x) = sen2 x en serie de McLaurin.

    Solucion

    Debido a la formula sen2 x =1 cos 2x

    2y a partir del desarrollo del coseno,

    el desarrollo de la funcion dada es:

    f(x) =12 1

    2

    n0

    (1)n (2x)2n

    (2n)!=n1

    (1)n1 22n1 x2n

    (2n)!.

    El intervalo de convergencia coincide pues con el de la serie correspondientea cos 2x, es decir todo R.

    247

  • PROBLEMA 15.35

    Desarrollar la funcion f(x) =ln(1 + x)

    1 + xen serie de McLaurin.

    Solucion

    Debemos multiplicar las series correspondientes a las funciones y = ln(1+x),y = (1 + x)1. Tenemos pues:

    f(x) =

    n0

    (1)nxn

    n1

    (1)n1 xn

    n

    .Para calcular el coeficiente del termino general de la serie producto hace-mos:

    pn =n

    k=0

    ank bk =n

    k=1

    (1)nk (1)k1 1k

    = (1)n1n

    k=1

    1k, n 1.

    En definitiva, tenemos:

    f(x) =n1

    (1)n1

    (n

    k=1

    1/k

    )xn,

    y el desarrollo es valido en (1, 1) que corresponde a la interseccion de losintervalos de convergencia de las series factores.

    PROBLEMA 15.36

    Desarrollar alrededor de x = 1 la funcion f(x) =

    x.

    Solucion

    Haciendo el cambio de variable t = x 1, podemos escribir la funcion co-mo f(t) =

    t + 1. Al desarrollar esta ultima como serie binomica, obtene-

    mos:

    f(t) = (t + 1)1/2 =n0

    (1/2n

    )tn = f(x) =

    n0

    (1/2n

    )(x 1)n,

    y el desarrollo es valido cuando 1 < x 1 < 1, es decir cuando 0 < x < 2.

    248

  • PROBLEMA 15.37

    Desarrollar la funcion f(x) =12 5x

    6 5x x2en serie de McLaurin.

    Solucion

    En primer lugar descomponemos la funcion en fracciones simples. As:

    f(x) =5x 12

    x2 + 5x 6=

    A

    x 1+

    B

    x + 6=

    (A + B)x + 6AB(x 1)(x + 6)

    = A = 1, B = 6.

    Teniendo en cuenta ahora el desarrollo en serie binomica, (1 + x)m =n0

    (m

    n

    )xn,

    x (1, 1), escribimos los desarrollos correspondientes a cada sumando co-mo:

    1x 1

    = [1 + (x)]1 =n0

    (1n

    )(x)n =

    n0

    xn, x (1, 1);

    6x + 6

    = [1 + (x/6)]1 =n0

    (1n

    )(x/6)n =

    n0

    (1)n xn

    6n, x/6 (1, 1).

    Sumando las series en el intervalo (1, 1), que es la interseccion de los in-tervalos de convergencia de ambas series, obtenemos:

    f(x) =n0

    xn +n0

    (1)n xn

    6n=n0

    (1 +

    (1)n

    6n

    )xn.

    PROBLEMA 15.38

    Desarrollar la funcion f(x) = arc senx en serie de McLaurin.

    Solucion

    Como la derivada de la funcion es f (x) =1

    1 x2= (1 x2)1/2, podemos

    escribir el desarrollo de esta ultima funcion como:

    f (x) =n0

    (1/2

    n

    )(x2)n =

    n0

    1 3 . . . (2n 1)2n n!

    x2n, x (1, 1).

    Integrando ahora termino a termino en el intervalo de convergencia absoluta,resulta:

    f(x) =n0

    1 3 . . . (2n 1)2n n!

    x2n+1

    2n + 1, x (1, 1).

    249

  • PROBLEMA 15.39

    Desarrollar la funcion f(x) =1 + x1 x3

    en serie de McLaurin.

    Solucion

    Si descomponemos la funcion en dos fracciones y aplicamos el desarrollo de

    la serie geometrica (1 x3)1 =n0

    (1n

    )(x3)n, tenemos:

    f(x) =1

    1 x3+

    x

    1 x3=n0

    (1n

    )(x3)n + x

    n0

    (1n

    )(x3)n

    =n0

    x3n +n0

    x3n+1 =n0

    (x3n + x3n+1)

    y el desarrollo es valido en el intervalo (1, 1), que corresponde al intervalodonde convergen ambas series.

    PROBLEMA 15.40

    Desarrollar la funcion f(x) =ex

    1 + xen serie de McLaurin.

    Solucion

    Multiplicando las series correspondientes a las funciones y = ex e y = (1 +x)1, tenemos:

    f(x) =

    n0

    xn

    n!

    n0(1)nxn

    .El coeficiente del termino general en la serie producto es

    pn =n

    k=0

    ak bnk =n

    k=0

    (1)nk

    k!

    y la serien0

    pnxn converge absolutamente en el intervalo (1, 1) que corres-

    ponde a la interseccion de los intervalos de convergencia de las dos seriesfactores.

    250

  • PROBLEMA 15.41

    Desarrollar la funcion f(x) = ln

    1 + x1 x

    en serie de McLaurin.

    Solucion

    Aplicando las propiedades usuales de los logaritmos, escribimos la funcion

    como f(x) =12[ln(1 + x) ln(1 x)]. Recordando que el desarrollo de ln(1+

    x) en serie de McLaurin esn1

    (1)n1

    nxn, y el radio de convergencia es 1,

    escribimos los desarrollos correspondientes a cada uno de los sumandos yobtenemos:

    f(x) =12

    n1

    (1)n1

    nxn

    n1

    (1)n1

    n(x)n

    =

    12

    n1

    (1)n1

    n[1 (1)n]xn =

    n1

    x2n1

    2n 1

    y la serie converge absolutamente en (1, 1).

    PROBLEMA 15.42

    Es posible desarrollar en serie de potencias alrededor del origen

    la funcion f(x) =

    {ex + e1/x

    2si x 6= 0,

    1 si x = 0?

    Solucion

    La funcion y = e1/x2

    tiene todas sus derivadas en el origen nulas (esto sepuede probar por induccion), de modo que f (n)(0) = 1 y podemos escribirel desarrollo

    f(x) 1 + x + x2

    2!+ + x

    n

    n!+ Rn(x).

    Sin embargo, como lmn

    (1 + x +

    x2

    2!+ + x

    n

    n!+ Rn(x)

    )= ex + lm

    nRn(x),

    si la serie converge a la funcion, debe ser lmn

    Rn(x) = e1/x2 6= 0 salvo para

    x = 0. Esto indica que la funcion no es desarrollable en serie de McLaurin.

    251

  • D. APLICACIONES AL CALCULO INFINITESIMAL.

    Debido a que las series de potencias son la generalizacion inmediata de lospolinomios (donde el numero de terminos es infinito), el calculo de las de-rivadas e integrales es tambien directo. Ademas, como muchas funcioneselementales son suma de series de potencias, sus valores en puntos del in-tervalo de convergencia seran tambien suma de las series correspondientes aesos puntos. Esto permite plantear una gran variedad de aplicaciones de losdesarrollos de funciones en serie de Taylor y McLaurin a diversos problemasde Calculo Infinitesimal; completamos as las herramientas necesarias parael calculo de lmites, derivadas, integrales y sumas de series que no eranposible sin el uso de las series de potencias.

    PROBLEMA 15.43

    Calcular, mediante series de funciones, lmx0

    sen2 x x2

    (ex 1)4.

    Solucion

    Teniendo en cuenta el desarrollo en serie de las funciones involucradas, po-demos escribir las siguientes relaciones:

    senx = xx3

    3!+. . . = sen2 x = x22x

    4

    3!+. . . = sen2 xx2 = 2x

    4

    3!+R4(x),

    donde lmx0

    R4(x)x4

    = 0, lo cual da lugar a la equivalencia sen2 x x2 2x4

    3!.

    Procediendo analogamente, resulta:

    ex = 1 + x + R1(x) = ex 1 = x + R1(x) = (ex 1)4 x4.

    Aplicando las equivalencias obtenidas, tenemos:

    lmx0

    sen2 x x2

    (ex 1)4= lm

    x0

    2x4/6x4

    = 13.

    PROBLEMA 15.44

    Calcular, mediante series de funciones, lmx0

    sen2 x3

    (1 cos x2)3.

    252

  • Solucion

    Analogamente al problema anterior, tenemos:

    senx3 = x3 + R3(x) = sen2 x3 = x6 + R6(x) = sen2 x3 x6;

    cos x2 = 1 x4

    2!+ R4(x) = 1 cos x2 =

    x4

    2+ R4(x) = (1 cos x2)3

    x12

    8.

    Aplicando las equivalencias anteriores, obtenemos:

    lmx0

    sen2 x3

    (1 cos x2)3= lm

    x0

    x6

    x12/8= lm

    x0

    8x6

    = .

    PROBLEMA 15.45

    Calcular, mediante series de funciones, la derivada de orden k en

    el origen de la funcion f(x) =

    {sen x

    x si x 6= 00 si x = 0.

    Solucion

    Debido al desarrollo

    senxx

    = 1 x2

    3!+ + (1)n x

    2n

    (2n + 1)!+ . . . ,

    y recordando que el termino general del desarrollo verifica la formula ak =f (k)(0)

    k!,

    se obtiene en definitiva que

    f (k)(0) = ak k! =

    {0 si k = 2n + 1(k es impar)(1)n

    (2n+1)! (2n)! =(1)n2n+1 si k = 2n(k es par).

    PROBLEMA 15.46

    Calcular, mediante series de funciones,

    10

    senx2 dx.

    Solucion

    Como senx2 =n0

    (1)n (x2)2n+1

    (2n + 1)!y la convergencia es uniforme en R, po-

    demos integrar termino a termino: 10

    senx2 dx =n0

    (1)n

    (2n + 1)!

    10

    x4n+2 dx =n0

    (1)n

    (2n + 1)! 14n + 3

    .

    253

  • PROBLEMA 15.47

    Calcular, mediante series de funciones,

    x0

    dt

    1 + t3.

    Solucion

    A partir del desarrollo en serie1

    1 + t3=n0

    (1)n (t3)n, que es uniforme-

    mente convergente en (1, 1), resulta: x0

    dt

    1 + t3=n0

    (1)n x

    0t3n dt =

    n0

    (1)n x3n+1

    3n + 1, x (1, 1).

    PROBLEMA 15.48

    Calcular

    10

    ln1

    1 xdx.

    Solucion

    Aplicaremos en este caso el desarrollo de la funcion logaritmo. Como

    ln1

    1 x= ln(1 x) =

    n1

    xn

    n, x (1, 1),

    y la convergencia es uniforme en dicho intervalo, la integral impropia va-le 1

    0ln

    11 x

    dx = lm1

    0

    ln1

    1 xdx

    = lm1

    n1

    0

    xn

    ndx =

    n1

    1n(n + 1)

    = 1.

    Para calcular la suma de la ultima serie, se descompone el termino generalen fracciones simples y se obtiene en forma simplificada el termino generalde la sucesion de sumas parciales (ver captulo 9).

    PROBLEMA 15.49

    Probar que

    10

    x

    1 + x3dx =

    n=1

    (1)n1

    3n 1.

    254

  • Solucion

    Si escribimos el desarrollo en serie de la funcion integrando, obtenemos:

    x

    1 + x3= x

    n0

    (1)nx3n =n0

    (1)nx3n+1, x (1, 1).

    Como la convergencia de la serie de potencias es uniforme, integramos termi-no a termino, con lo que: 1

    0

    x

    1 + x3dx =

    n0

    (1)n 1

    0x3n+1 dx =

    n0

    (1)n

    3n + 2=m1

    (1)m1

    3m 1.

    PROBLEMA 15.50

    Probar que la serien0

    x(1 x)n converge no uniformemente en

    [0, 2). Sin embargo, se puede integrar termino a termino en [0, 1].

    Solucion

    Como se trata de una serie geometrica de razon 1 x, sera convergente si|1 x| < 1, es decir si 0 < x < 2. Ademas, si x = 0, resulta la serie

    0 que

    converge a la funcion cero, pero si x = 2, resulta la serie

    (1) 2 que esdivergente.

    De lo anterior se deduce que el intervalo de convergencia es [0, 2). Para verque la convergencia no es uniforme, llamamos {Sn(x)} a la sucesion de sumasparciales, es decir

    Sn(x) =n

    k=0

    x(1x)k = x1 (1 x)n+1

    1 (1 x)=

    {1 (1 x)n+1 si 0 < x < 20 si x = 0.

    Entonces S(x) = lm Sn(x) =

    {0 si x = 01 si 0 < x < 2.

    Como dicho lmite no es una funcion continua, no puede ser lmite uniformede funciones continuas.

    Por otra parte, para ver que se puede integrar termino a termino en [0, 1],

    255

  • tenemos: 10

    S(x) dx = 1; 10

    fn(x) dx =[x(1 x)n+1

    n + 1

    ]10

    +1

    n + 1

    10

    (1 x)n+1 dx = 1(n + 1)(n + 2)

    =

    n=0

    10

    Sn(x) dx =

    n=0

    1(n + 1)(n + 2)

    = 1.

    Como se observa en este problema, la convergencia uniforme no es necesa-ria para que se pueda integrar termino a termino una serie aunque, comosabemos, s es una condicion suficiente.

    PROBLEMA 15.51

    Calcular las integrales de las siguientes funciones en el intervalo[0, 1]:

    a) f(x) = signo(sen

    x

    ).

    b) f(x) = signo (sen lnx).

    Solucion

    a) Teniendo en cuenta que sen

    x< 0 cuando x

    (12k

    ,1

    2k 1

    ), donde

    k Z \ {0}, entonces

    f(x) =

    {1 si 12k < x 0, pero no en [0,). Calcular la suma de la seriepara x > 0.

    Solucion

    Si llamamos fn(x) = nenx, cuando x [a,), entonces fn(x) nean, n.Ademas la serie numerica

    nean es convergente cuando ea < 1 (lo que

    se prueba aplicando el criterio del cociente), es decir cuando a > 0.

    El criterio de Weierstrass indica que la serie propuesta converge uniforme-mente en [a,).

    Haciendo x = 0, nos queda la serie divergente

    n, por lo que la serie defunciones no es uniformemente convergente en [0,).

    257

  • Para calcular la suma de la serie, basta tener en cuenta que fn(x) = D(enx).

    Como la serie

    enx converge uniformemente si x > 0 yn1

    enx =ex

    1 ex,

    entonces n1

    nenx = D(

    ex

    1 ex

    )=

    ex

    (ex 1)2.

    PROBLEMA 15.53

    Que funcion representa la serien1

    xn

    1 + + n?

    Solucion

    Si recordamos la formula 1 + 2 + + n = n(n + 1)2

    , entonces

    xn

    1 + + n=

    2xn

    n(n + 1)=

    2xn

    n 2x

    n

    n + 1, x (1, 1).

    Sabiendo ademas que ln(1 x) = n1

    xn

    n, entonces

    n1

    xn

    n + 1=

    1x

    n1

    xn+1

    n + 1=

    1x

    [ ln(1 x) x].

    De aqu resulta:

    f(x) =n1

    xn

    1 + + n= 2

    [ ln(1 x) ln(1 x) + x

    x

    ], x (1, 1).

    PROBLEMA 15.54

    Demostrar que para |x| < 1 se verifica lo siguiente:

    a)n0

    (1)nxn = 11 + x

    .

    b)n0

    (1)nx2n = 11 + x2

    .

    258

  • Solucion

    a) Si escribimos el termino general de la sucesion de sumas parciales, tene-mos:

    Sn = 1 x + x2 + (1)nxn;xSn = x x2 + x3 + (1)nxn+1. Sumando miembro a miembro,

    (1 + x)Sn = 1 + (1)nxn+1 = Sn =1 + (1)nxn+1

    1 + x= S = lm

    nSn =

    11 + x

    ,

    cuando |x| < 1, pues lmn

    xn+1 = 0.

    b) Analogamente al anterior,

    Sn = 1 x2 + x4 + (1)nx2n;x2Sn = x2 x4 + x6 + (1)nx2n+2;

    (1 + x2)Sn = 1 + (1)nx2n+2

    = Sn =1 + (1)nx2n+2

    1 + x2= S = lm

    nSn =

    11 + x2

    ,

    tambien cuando |x| < 1.

    PROBLEMA 15.55

    Dada la serie de potencias 1

    (3n 2)(3n + 1) 8n(1 x)3n, deter-

    minar su campo de convergencia y calcular su suma cuando x =1.

    Solucion

    Aplicando el criterio del cociente,

    lmn

    an+1an = lm |1x|

    3n+3

    (3n+1)(3n+4)8n+1

    |1x|3n(3n2)(3n+1)

    = lm |1 x|3 3n 28(3n + 4)

    =|1 x|3

    8.

    De aqu se deduce que la serie converge absolutamente cuando |1 x|3 < 8,o bien cuando x (1, 3). En los extremos del intervalo tenemos:

    - Si x = 3, la serie

    (1)n 1(3n 2)(3n + 1)

    es absolutamente convergen-

    te.

    - Si x = 1, la serie 1

    (3n 2)(3n + 1)es tambien absolutamente conver-

    gente.

    259

  • Para calcular la suma de esta ultima serie, escribimos el termino general

    como an =1

    (3n 2)(3n + 1)=

    1/33n 2

    1/33n + 1

    . As, la suma de los n pri-

    meros terminos vale:

    Sn =13

    [1 1

    4+

    14 1

    7+

    17 + 1

    3n 2 1

    3n + 1

    ]=

    13

    [1 1

    3n + 1

    ].

    La suma sera entonces S = lmn

    Sn = 1.

    PROBLEMA 15.56

    Determinar el intervalo de convergencia de la serien0

    1 3 5 . . . (2n 1)(n + 1)!

    (x/2)3n.

    Calcular la suma de la serie para x = 3

    4.

    Solucion

    Por el criterio del cociente,

    lmn

    an+1an = lm 13...(2n1)(2n+1)(n+2)!13...(2n1)

    (n+1)!

    (x/2)3n+3(x/2)3n = lm 2n + 1n + 2 |x|38 = |x|34 ,

    de modo que la serie es absolutamente convergente cuando |x| < 3

    4.

    En los extremos del intervalo tenemos las series 1 3 . . . (2n 1)(n + 1)! 2n

    y

    (1)n 1 3 . . . (2n 1)(n + 1)! 2n

    .

    Ambas son absolutamente convergentes como se deduce al aplicar el criteriode Raabe:

    lm n (

    1an+1an

    ) = lm n (1 2n + 12(n + 2))

    =32

    > 1.

    Escribimos la serie en x = 3

    4 como

    S =n0

    1 3 . . . (2n 1)(n + 1)! 2n

    =n0

    (1)n (1/2)(3/2) . . . [(2n 1)/2]n! (n + 1)

    =n0

    (1)n(1/2

    n

    )1

    n + 1.

    260

  • A partir del desarrollo de la serie binomican0

    (m

    n

    )xn = (1 + x)m, al inte-

    grar los dos miembros de la igualdad, resulta:

    n0

    (m

    n

    ) x0

    xn dx = x

    0(1+x)m dx =

    n0

    (m

    n

    )xn+1

    n + 1=

    (1 + x)m+1

    m + 1 1

    m + 1.

    Haciendo ahora m = 1/2 y x = 1, tenemos:

    n0

    (1/2

    n

    )(1)n+1

    n + 1= 2 = S = 2.

    PROBLEMA 15.57

    Calcular la suma de la serien1

    (x 3)3n1

    (3n 1) 8nespecificando el inter-

    valo de convergencia de la misma.

    Solucion

    Por el criterio de la raz,

    lmn

    n|an| = lm

    |x 3|31/n

    8 n

    3n 1=|x 3|3

    8,

    y la serie converge absolutamente cuando |x3|3 < 8, o bien x (1, 5).

    - Cuando x = 1, la serie es (1)3n1

    2(3n 1)que converge condicionalmente

    (basta aplicar el criterio de Leibnitz).

    - Cuando x = 5, la serie 1

    2(3n 1)es divergente.

    Para calcular la suma de la serie, si llamamos f(x) =n1

    (x 3)3n1

    (3n 1) 8n, al

    derivar obtenemos:

    f (x) =n1

    (x 3)3n2

    8n= (x 3)2

    n1

    [(x 3)3

    8

    ]n= (x 3)2 (x 3)

    3/81 (x 3)3/8

    =x 3

    8 (x 3)3=f(x) =

    x3

    x 38 (x 3)3

    dx

    =1

    2

    3

    (

    6 arc tg x 2

    3

    ) ln(5 x)

    6+

    ln(7 4x + x2)12

    .

    261

  • PROBLEMA 15.58

    Demostrar que ch 1 =n0

    1(2n)!

    .

    Solucion

    Recordando la formula 2 chx = ex + ex y el desarrollo en serie de cada unode los sumandos, obtenemos:

    2 ch x =n0

    xn

    n!+n0

    (1)n xn

    n!=n0

    [1 + (1)n]xn

    n!= 2

    n0

    x2n

    (2n)!

    = chx =n0

    x2n

    (2n)!.

    PROBLEMA 15.59

    Sabiendo que

    n=0

    xn

    n!= ex, hallar las sumas de las siguientes se-

    ries:

    a)

    n=2

    n 1n!

    .

    b)

    n=2

    (n 1)(n + 1)n!

    .

    Solucion

    a) Al descomponer la serie en suma, tenemos:n2

    n 1n!

    =n2

    1(n 1)!

    n2

    1n!

    =m1

    1m!

    n2

    1n!

    .

    Ahora bien, como

    e =n0

    1n!

    = 1 +n1

    1n!

    = 1 + 1 +n2

    1n!

    ,

    resulta en definitiva que S = (e 1) (e 2) = 1.

    262

  • b) Procediendo analogamente al apartado anterior,

    S =

    n=2

    n2 1n!

    =n2

    n2

    n!n2

    1n!

    =n2

    n

    (n 1)!n2

    1n!

    =m1

    m + 1m!

    n2

    1n!

    =m1

    1(m 1)!

    +m1

    1m!

    n2

    1n!

    =k0

    1k!

    +m1

    1m!

    n2

    1n!

    = e + (e 1) (e 2) = e + 1.

    PROBLEMA 15.60

    Sabiendo que, para |x| < 1, se tiene

    n=0

    xn =1

    1 x, calcular cuando

    sea posible:

    a)n0

    xn+1

    n + 1.

    b)n0

    xn+2

    (n + 1)(n + 2).

    c)n1

    nxn1.

    d)n2

    n(n 1)xn2.

    e)n0

    n2xn.

    f)n0

    1en+2(n + 1)(n + 2)

    +n0

    n2

    n.

    Solucion

    a) Integrando miembro a miembro, resulta:

    n0

    x0

    xn dx = x

    0

    11 x

    dx =n0

    xn+1

    n + 1= ln |1x|, x (1, 1).

    263

  • b) Integrando nuevamente el resultado de a),n0

    x0

    xn+1

    n + 1dx =

    x0 ln |1 x| dx =

    n0

    xn+2

    (n + 1)(n + 2)

    = x ln |1 x|+ x + ln |1 x|, x (1, 1).

    c) Derivamos ahora termino a termino la serie original. As:

    D

    (1

    1 x

    )=n1

    D(xn) = 1(1 x)2

    =n1

    n xn1, x (1, 1).

    d) Derivando nuevamente,

    D

    (1

    (1 x)2

    )=n2

    D(nxn1) = 2(1 x)3

    =n2

    n(n1)xn2, x (1, 1).

    e) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores,n0

    n2xn =n1

    n(n 1)xn +n1

    nxn = x2n2

    n(n 1)xn2 + x n1

    nxn1

    = x2 2(1 x)3

    + x 1(1 x)2

    =x2 + x

    (1 x)3.

    f) Haciendo en b) x = 1/e y en e) x = 1/, resulta:n0

    1en+2(n + 1)(n + 2)

    +n0

    n2

    n= 1

    eln(

    1 1e

    )+

    1e+ln

    (1 1

    e

    )+

    1/2 + 1/(1 1/)3

    .

    PROBLEMA 15.61

    Dada la serien1

    n2

    22n(x 1)n, determinar su intervalo de conver-

    gencia y calcular su suma cuando x = 0.

    Solucion

    Por el criterio del cociente,

    lmn

    an+1an = lm (n+1)222n+2 |x 1|n+1n2

    22n|x 1|n

    = lm |x 1| (n + 1)2

    22 n2=|x 1|

    4,

    y la serie converge absolutamente cuando |x1| < 4, es decir x (3, 5).

    264

  • En los extremos, tenemos:

    Para x = 5, la serie

    n2 es divergente; para x = 3, la serie

    (1)nn2 estambien divergente.

    Para x = 0 resulta la serien1

    (1)n n2

    4n=n1

    n2

    (4)n. Para calcular su suma

    aplicaremos el apartado e) del problema anterior haciendo x = 1/4. Quedaas

    n1

    n2

    (4)n=

    (1/4)2 + (1/4)(1 + 1/4)3

    = 12125

    .

    PROBLEMA 15.62

    Sabiendo que, para |x| < 1, se tiene

    n=1

    nxn =x

    (1 x)2, calcular

    cuando sea posible:

    a)n1

    nxn+1

    n + 1.

    b)n1

    n2xn1.

    c)n1

    n2(n 1)xn2.

    d)n1

    n2(n 1)en

    .

    Solucion

    a) Integrando miembro a miembro, obtenemos:n1

    nxn+1

    n + 1=n1

    x0

    nxn dx = x

    0

    x

    (1 x)2dx =

    11 x

    +ln |1x|1.

    b) Si derivamos ahora la formula dada,n1

    n2xn1 =n1

    D(nxn) = D(

    x

    (1 x)2

    )=

    1 + x(1 x)3

    .

    c) Derivamos nuevamente el resultado de b). As:n1

    n2(n 1)xn2 =n1

    D(n2xn1) = D(

    1 + x(1 x)3

    )=

    2x + 4(1 x)4

    .

    265

  • d) Si, en el apartado anterior, hacemos x = 1/e, resulta:

    n1

    n2(n 1)en

    =2/e + 4

    (1 1/e)4=

    e3(2 + 4e)(e 1)4

    .

    266

  • E. EJERCICIOS PROPUESTOS.

    1. Contestar razonadamente si cada uno de los siguientes apartadoses verdadero o falso:

    a) Si la serien0

    an6n es convergente, entonces la serien0

    an(6)n

    es convergente.

    Resp.: Falso (considerar el contraejemplo: an =(1)n

    n 6n).

    b) Si la serien0

    an6n es convergente, entonces la serien0

    an(5)n

    es convergente.

    Resp.: Verdadero, pues el radio de convergencia es R 6.

    c) Si la serien0

    anxn es convergente para todo x > 0, entonces

    la serie converge para todo x < 0.

    Resp.: Verdadero, pues el radio de convergencia es R = .

    d) Si f(x) =n0

    anxn es una funcion continua par, entonces

    a2n+1 = 0, para todo n.

    Resp.: Verdadero, pues f(x) = f(x) = an = (1)nan, n.

    e) Si la serie

    n=0

    anxn tiene radio de convergencia R > 0, R es

    tambien el radio de convergencia de la serie

    n=2

    an n (n 1)xn2.

    Resp.: Verdadero pues la segunda serie es derivada de orden dosde la primera.

    2. Estudiar la convergencia uniforme de la serie

    n=1

    1 + cos xn2

    en R.

    Resp.: Por el criterio de Weierstrass, |fn(x)| 2/n2, n.

    267

  • 3. Se considera la serie

    n=1

    fn donde las funciones fn son conti-

    nuas en [0, 1] y se tiene ademas que

    n

    k=1

    fk(x) x2 lnnn2 + 5 ,

    x [0, 1]. Calcular, si es posible, 1

    0

    n=1

    fn(x) dx.

    Resp.: 1/3.

    4. Existe una sucesion {fn} de funciones integrables en [0, 1] que

    converja uniformemente a f(x) = x2 en [0, 1] y tal que 1

    0fn(x) dx =

    5 + 3nn

    ?

    Resp.: No; si existiera, debera cumplirse que lm 1

    0fn(x) dx =

    10

    lm fn(x) dx.

    5. Sea {fn} una sucesion de funciones derivables en [0, 1] tal que

    i) fn f en [0, 1];

    ii) fn(0) = (1 + 1/n)n, n N;

    iii) |f n(x) x| 7/(3 + n), x [0, 1], n N.

    Calcular f(1/2).

    Resp.: Como f(x) = x

    0lmn

    f n(x) dx + lmn fn(0) = f(1/2) = e + 1/8.

    6. Estudiar la convergencia de la serien1

    (1

    1 3+

    12 4

    +1

    3 5+ + 1

    n(n + 2)

    )xn.

    Resp.: Converge absolutamente en [1, 1]; diverge en el resto.

    7. Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencias

    n=1

    2 4 6 . . . 2n3 5 7 . . . (2n + 1) 4n+1

    xn+1.

    Resp.: Converge absolutamente en (4, 4); converge condicionalmenteen x = 4; diverge en el resto.

    268

  • 8. Obtener el campo de convergencia de la serie

    n=1

    (1 + n2

    1 + n3 xn

    )2.

    Resp.: Converge absolutamente en [1, 1]; diverge en el resto.

    9. Estudiar el caracter de la serie

    n=1

    (1)n(x 1)n

    2n(3n 1)con x R.

    Resp.: Converge absolutamente cuando x (5, 7); diverge en el resto.

    10. Obtener el campo de convergencia de la serien1

    (x 2)n

    (2n 1) 2n.

    Resp.: Converge absolutamente cuando x (0, 4); converge condicio-nalmente cuando x = 0; diverge en el resto.

    11. Determinar el campo de convergencia de la serie (1)nx2n

    22n(n!)2.

    Resp.: Converge absolutamente en R.

    12. Determinar el campo de convergencia de la serien1

    (1)n 2n(n!)2

    (2n + 1)!xn.

    Resp.: Converge absolutamente en (2, 2); converge condicionalmenteen x = 2; diverge en el resto.

    13. Determinar el campo de convergencia de la serie 1(3n 2)(3n + 1)

    (x/5)3n.

    Resp.: [5, 5].

    14. Desarrollar en serie de potencias alrededor del punto indicado yencontrar el campo de convergencia de la misma:

    a) f(x) = lnx, x = 1.

    Resp.: f(x) =n1

    (1)n1

    n(x 1)n, x (0, 2]. b) f(x) = 1/x2, x =

    1.

    269

  • Resp.: f(x) =n0

    (n + 1)(x + 1)n, x (2, 0). c) f(x) = x(1 x)2

    ,

    x = 0.

    Resp.: f(x) =n0

    (n + 1)xn+1, x (1, 1).

    15. Desarrollar en serie de McLaurin la funcion y = shx y hallarn0

    1(2n + 1)!

    .

    Resp.: shx =n0

    x2n+1

    (2n + 1)!;n0

    1(2n + 1)!

    = sh 1 =e2 1

    2e.

    16. Escribir los primeros terminos del desarrollo alrededor de x =0 de la funcion f(x) = ln(

    1 + x2 x) y aplicarlo al calculo de

    lmx0

    x + ln(

    1 + x2 x)x3

    .

    Resp.: f(x) x + x3

    3!+ R3(x); L = 1/6.

    17. Hallar la suma de las series

    a)n1

    xn

    n.

    Resp.: S = ln |1 x|.

    b)n1

    x2n1

    2n 1.

    Resp.: S = ln

    1 + x1 x

    .

    c)n1

    nxn.

    Resp.: S =x

    (1 x)2.

    18. Calcular la suma de la serie

    n=1

    n2 5n + 7n!

    .

    Resp.: e 7.

    270

  • 19. Probar que x

    0

    sen tt

    dt =

    k=0

    (1)kx2k+1

    (2k + 1)(2k + 1)!.

    Sugerencia: Utilizar el desarrollosen t

    t=

    k=0

    (1)kt2k

    (2k + 1)!.

    20. Estudiar la convergencia de la serie 3x/2 + 7x2/4 + 11x3/8 + 15x4/16 + . . .y sumarla cuando sea posible.

    Resp.: Converge absolutamente cuando x (2, 2); diverge en el resto.

    S =x2 + 6x(2 x)2

    .

    271