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Semestre

1-2011 José Luis Quintero

Julio 2011

TEMA 6

SERIES DE POTENCIAS

Cálculo II (0252)

Semestre 1-2011

Departamento de

Matemática Aplicada

Prof. José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252)

Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al

estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de series de potencias.

La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de

repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y

propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores,

también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo

más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo II en

Ingeniería.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora

del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo:

[email protected].

INDICE GENERAL Departamento de

Matemática Aplicada

Prof. José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252)

TEMA 6. SERIES DE POTENCIAS

6.1. Series de potencias

6.2. Aproximación de una función por una serie de potencias

6.3. Serie de Taylor para una función f

6.4. Fórmula de Taylor con residuo

6.5. Obtención de series de potencias a partir de otras conocidas

6.6. Derivación de series de potencias

6.7. Integración de series de potencias

6.8. Tablas de MacLaurin

6.9. Aplicaciones de las series de Taylor

6.10. Cálculo de límites indeterminados

6.11. Aproximación del cálculo de derivadas

6.12. Aproximación del cálculo de integrales

6.13. Cálculo de suma de series numéricas

6.14. Problemas propuestos

G

251

256

257

260

262

262

263

265

266

266

268

269

270

271

SERIES DE POTENCIAS Series de Potencias Pág.: 251 de 280

Prof. José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252) – TEMA 6

6.1. SERIES DE POTENCIAS

Definición 1. Una serie de la forma

n 2n 0 0 1 0 2 0

n 0

a (x x ) a a (x x ) a (x x ) ...

∞

=

− = + − + − +∑ ,

se llama serie de potencias centrada en 0x . En ella x es variable y na es una sucesión

cualquiera.

Ejemplo 1.

n 2 3

n 0

x x x1 x ...

n! 2! 3!

∞

=

= + + + +∑ ,

es una serie centrada en 0x 0= .

n 1n 1 2 3

n 0

( 1) 1 1(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) ...

n 1 2 3

∞+

+

=

− + = − + + + − + ++∑ ,

es una serie centrada en 0x 1= − .

Si se tiene una serie infinita y x es una variable, la pregunta que surge de inmediato

es:

Dada una serie de potencias, ¿para qué valores de x converge la serie?

Si se tiene en cuenta, por ejemplo, la segunda serie dada anteriormente:

Para x 0= se obtiene la serie numérica

n 1

n 0

( 1)

n 1

∞+

=

−+∑

que converge, luego la serie de potencias

n 1n 1

n 0

( 1)(x 1)

n 1

∞+

+

=

− ++∑

converge para x 0= .



Para x 1= se obtiene la serie numérica

n 1n

n 0

( 1)2

n 1

∞+

=

−+∑

que diverge, pues n 1

n 1

n

( 1)lím 2

n 1

++

→+∞

−+

no existe. Así la anterior serie de potencias diverge si x 1= . No obstante, la búsqueda de la

respuesta a la pregunta debe ser en base a algún procedimiento general y no la comprobación

número a número.

Con toda serie de potencias está asociado un intervalo de la forma 0 0( R x ,x R)− + +

que se llama intervalo de convergencia, 0x es el “centro” del intervalo y R su radio. El

siguiente teorema establece que la serie converge absolutamente para cada x en el intervalo

y suministra una forma de calcular el radio de convergencia R.

TEOREMA 1. Dada una serie de potencias

nn 0

n 0

a (x x )

∞

=

−∑ ,

entonces ocurrirá solamente uno de los siguientes casos:

a. La serie converge únicamente para 0x x= .

b. La serie converge absolutamente para todos los valores de x.

c. Existe un número R 0> tal que la serie converge absolutamente en el intervalo

0x x R− < .

En el primer caso se dice que el radio de convergencia es cero, en el segundo

infinito y en el tercero R.

El teorema no da información del comportamiento de la serie de potencias para

x R= ± , extremos del intervalo de convergencia.

Ejemplo 2. Dada la serie de potencias

n 1n

n 1

x( 1)

n 1

∞+

=

−+∑ ,

sea



n 1

nn

xa ( 1)

n 1

+= −

+.

n 1

n n nn

u x(n 1) n 1lím lím x lím x

u n 2 n 2+

→+∞ →+∞ →+∞

+ += = =+ +

.

El criterio de la razón dice que:

a. La serie converge absolutamente si x 1< , inecuación cuya solución es el intervalo ( 1,1)− .

b. La serie diverge si x 1> .

c. No es concluyente si x 1= , o sea x 1= ± ; lo cual corresponde a los extremos del

intervalo ( 1,1)− .

Estudio en los extremos:

Se sustituye x 1= en la serie de potencias para obtener la serie

n

n 1

1( 1)

n 1

∞

=

−+∑ ,

la cual converge por el criterio de series alternas.

Se sustituye x 1= − para obtener la serie

2n 1

n 0 n 0

( 1) 1

n 1 n 1

∞ ∞+

= =

− = −+ +∑ ∑ ,

la cual diverge por el criterio de la integral. Se concluye que la serie de potencias converge en

el intervalo ( 1,1]− y su radio de convergencia R es 1.

Ejemplo 3. Halle el intervalo de convergencia de la serie de potencias

n

n 2

(x 2)

n.ln(n)

∞

=

−∑ .

Solución.

Aplicando criterio del cociente: n 1(x 2) n n

(n 1).ln(n 1)

n n nn n n(x 2)

n.ln(n)

n n

(x 2) .(x 2).n.ln(n) (x 2) .(x 2).n.ln(n)lím lím lím

(x 2) .(n 1).ln(n 1) (x 2) .(n 1).ln(n 1)

n.ln(n) n x 2 lím x 2 . lím

(n 1).ln(n 1) (n 1)

+−+ +

→∞ →∞ →∞−

→∞ →∞

− − − −= =− + + − + +

= − = −+ + + n

ln(n). lím x 2 .1.1

ln(n 1)

x 2 1 1 x 3.

→∞= −

+= − < ⇒ < <



Estudio en los extremos:

x 1:=

n

n 2

1( 1)

n.ln(n)

∞

=

−∑ (serie alterna).

Sea

n 2

1

n.ln(n)

∞

=

una sucesión. Se probará que esta sucesión es decreciente.

Sea 1

f(x)x.ln(x)

=

su función asociada. Se tiene

2 2

1 ln(x)f '(x) 0

x .(ln(x))

+= − <

al menos para todo x 2≥ .

Por otro lado,

n

1lím 0

n.ln(n)→+∞= .

De acuerdo al criterio de convergencia para series alternas, esta serie converge.

x 3 :=

n 2

1

n.ln(n)

∞

=∑ .

El término general de la serie es positivo. Sea 1

f(x)x.ln(x)

=

su función real asociada. Ella es continua y decreciente en el intervalo [2, )∞ . Se aplicará el

criterio de la integral. c

c

2c c c 2 2

1 1dx lím dx lím ln(ln(x)) lím ln(ln(c)) ln(ln(2))

x.ln(x) x.ln(x)

∞

→∞ →∞ →∞= = = − = +∞∫ ∫ .

Por lo tanto la serie diverge. El intervalo de convergencia de la serie de potencias es [1,3).



Ejemplo 4. Demuestre que n 2n

0 2n 2

n 0

( 1) xJ (x)

2 (n!)

+∞

=

−=∑

satisface la ecuación 2 '' ' 2

0 0 0x J (x) xJ (x) x J (x) 0+ + =

e indique en qué intervalo es válida.

Solución.

n 2n 1'0 2n 2

n 0

( 1) 2nxJ (x)

2 (n!)

+∞−

=

−=∑ , n 2n 2

''0 2n 2

n 0

( 1) 2n(2n 1)xJ (x)

2 (n!)

+∞−

=

− −=∑

Se tiene que:

n 2n n 2n n 2n2 '' ' 2

0 0 0 2n 2 2n 2 2(n 1) 2

n 1

n 2n

2 2 2n 2

n 1

( 1) 2n(2n 1)x ( 1) 2nx ( 1) xx J (x) xJ (x) x J (x)

2 (n!) 2 (n!) 2 ((n 1)!)

2n(2n 1) 2n ( 1) x 4

n n 2 ((n 1)!)

+∞

−

=+∞

=

− − − −+ + = + − −

− − = + − −

∑

∑2 n 2n n 2n

2 2n 2 2n 2

n 1 n 1

4n ( 1) x ( 1) x 4 0. 0

n 2 ((n 1)!) 2 ((n 1)!)

+∞ +∞

= =

− −= − = = − − ∑ ∑

Intervalo de validez de la ecuación: n 1 2n 2( 1) x

2n 2 2n 22n 2 22 ((n 1)!) 2n 1n 2n 2n 2n 2 2 2 2n n n n( 1) xn

2n 22 (n!)

a x .x .2 (n!) 1lím lím lím x lím 0

a x .2 .2 (n 1) .(n!) 4(n 1)

+ +−+ ++

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞−= = = =

+ +.

El radio de convergencia es r = +∞ . El intervalo de convergencia es R. Dado que el radio de

convergencia se preserva en los desarrollos de '0J (x) y

''0J (x) , se tiene que la ecuación es

válida para cada ∈x R .

APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UNA SERIE DE POTENCIAS

Series de Potencias Pág.: 256 de 280


6.2. APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UNA SERIE DE POTENCIAS

En cursos anteriores se vió como aproximar los valores de una función por los valores

de la recta tangente:

0 0 0f(x) y f(x ) f '(x )(x x )≈ = + − ,

si x es “cercano” a 0x . Lo anterior se llama aproximación lineal de f.

Suponga ahora que se quiere algo más general; para ello se pedirá que en el punto

0x , sean iguales las derivadas del polinomio y de la función, incluyendo la derivada de orden

cero.

TEOREMA 2. Suponga que f(x) es una función n veces derivable en 0x x= y sea

n(n) (k)

2 n k0 0 0n 0 0 0 0 0 0

k 0

f ''(x ) f (x ) f (x )P (x) f(x ) f '(x )(x x ) (x x ) ... (x x ) (x x )

2! n! k!=

= + − + − + + − = −∑

entonces (k) (k)n 0 0P (x ) f (x )= con k 0,1,...,n= .

nP (x) se llama polinomio de Taylor de orden n de la función f(x) en 0x x= , y es tal que

todas las derivadas coinciden con las de f(x) en 0x x= .

Ejemplo 5. Dada la función xf(x) e= , calcule su polinomio de Taylor de orden n en 0x 0= .

Solución. (k) xf (x) e= y (k)f (0) 1= .

Por lo tanto n n

(k) kk

n

k 0 k 0

f (0) xP (x) (x 0)

k! k!= =

= − =∑ ∑ ,

0

1

2

2

2 3

3

P (x) 1

P (x) 1 x

xP (x) 1 x

2

x xP (x) 1 x

2! 3!

== +

= + +

= + + +

⋮

APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UNA SERIE DE POTENCIAS



Se puede observar, en la figura anexa, que si x se aleja del origen las gráficas de los

polinomios de Taylor y de la función se separan. Sin embargo, a medida que n crece la

aproximación entre nP (x) y f(x) mejora. Surge de forma natural la pregunta:

¿Si f es infinitamente derivable en 0x , para cualquier x D(f)∈ convergen los polinomios de

Taylor a f(x) cuando n → +∞ ?

6.3. SERIE DE TAYLOR PARA UNA FUNCIÓN F

Lo anterior sugiere definir una representación para la función f en 0x , de la siguiente

forma, si f tiene derivadas de todos los órdenes en 0x :

(k)k 20 0

0 0 0 0 0

k 0

f (x ) f ''(x )f(x) (x x ) f(x ) f '(x )(x x ) (x x ) ...

k! 2!

∞

=

≈ − = + − + − +∑

conocida como serie o desarrollo de Taylor de f en 0x .

Si 0x 0= la serie de Taylor recibe el nombre, muy particular, de serie de MacLaurin.

Así, la serie de Taylor de una función f en un punto 0x de su dominio se obtiene

calculando todas sus derivadas en 0x y sustituyéndolas en la fórmula. Como es lógico

suponer, calcular todas las derivadas de f en 0x es una tarea imposible; sin embargo para

algunas funciones se logra describirlas a través de un término general.

SERIE DE TAYLOR PARA UNA FUNCIÓN F



Observe que se habla de representación de f en 0x y se usa el símbolo

≈ (equivalente), ello es debido a:

a. El dominio de f y el intervalo de convergencia de la serie de Taylor no siempre

coinciden.

b. Aunque x esté en el intervalo de convergencia de la serie, no necesariamente ésta

converge a f(x).

Más adelante se verá cuando tiene sentido la igualdad:

Ejemplo 6. Calcule la serie de MacLaurin de f(x) sen(x)= .

Solución. En la siguiente tabla se ven las derivadas de f y sus valores en 0x :

Derivadas de f Evaluación en 0x 0=

IV

f(x) sen(x)

f '(x) cos(x)

f ''(x) sen(x)

f '''(x) cos(x)

f (x) sen(x)

=== −= −

=⋮

IV

f(0) 0

f '(0) 1

f ''(0) 0

f '''(0) 1

f (0) 0

==== −

=⋮

La derivadas se repiten a partir de la cuarta. Se puede para esta función, escribir una fórmula

general para sus derivadas: kf (x) sen(x k / 2) con k 0,1,2,3,..= + π = .

(k)

1 si k 1,5,9,...

f (0) sen k 0 si k es par2

1 si k 3,7,11,...

=π = =

− =

Sustituyendo se tiene el desarrollo del seno en 0x 0 :=

2k 1 3 5 7k

k 0

x x x xsen(x) ( 1) x ...

(2k 1)! 3! 5! 7!

∞+

=

≈ − = − + − ++∑

Calculando el intervalo de convergencia de la serie obtenida: 2k 1

kk

xa ( 1)

(2k 1)!

+= −

+,

luego

k 1

k kk

xalím lím 0

a 2k 2+

→+∞ →+∞= =

+,

cualquiera que sea el valor de x. Por lo tanto el intervalo de convergencia es ( , )−∞ ∞ .




Ejemplo 7. Siendo f(x) ln(1 x)= + cuyo dominio es el intervalo ( 1, )− +∞ . Se deduce la serie de

Taylor asociada a la función en 0x 0= en forma similar al ejemplo anterior:

Derivadas de f Evaluación en 0x 0=

2

3

IV

4

f(x) ln(1 x)

1f '(x)

1 x

1f ''(x)

(1 x)

2f '''(x)

(1 x)

2.3f (x)

(1 x)

= +

=+

= −+

=+

= −+

⋮

IV

f(0) 0

f '(0) 1

f ''(0) 1

f '''(0) 2

f (0) 2.3

=== −=

= −⋮

También para esta función se puede escribir una fórmula general para las derivadas:

(k) k 1

k

(k 1)!f (x) ( 1)

(1 x)

+ −= −+

y (k) k 1f ( 1) (k 1)! , k 1+− − > .

Luego la serie asociada será:

k 1 2 3 4k

k 0

x x x xln(x 1) ( 1) x ...

k 1 2 3 4

∞+

=

+ ≈ − = − + − ++∑

cuyo intervalo de convergencia es ( 1,1]− , calculado anteriormente. La respuesta a la pregunta

planteada, al menos para la función ln(x 1)+ , es negativa. Por ejemplo para x 2= , en el

dominio de la función, la serie no converge.

Surge otra pregunta:

¿Si x está en el intervalo de convergencia de la serie, la serie de Taylor converge a f(x)?

Ejemplo 8. Deduzca la serie de Taylor de

21/xe si x 0f(x)0 si x 0

− ≠= =

,

en 0x 0= y su intervalo de convergencia.

Solución. Se puede probar con algo de trabajo que (k)f (0) 0= para todo k; se efectuará este cálculo

para las dos primeras derivadas: 21/h

h 0 h 0

f(0 h) f(0) ef '(0) lím lím 0,

h h

−

→ →

+ −= = =




por lo tanto

21/x

3

2esi x 0f '(x) x

0 si x 0

− ≠= =

.

21/h

4h 0 h 0

f '(0 h) f '(0) ef ''(0) lím lím 0

h h

−

→ →

+ −= = = ,

así

21/x 22e (2 3x ) si x 0f ''(x)0 si x 0

− − ≠= =

.

Luego la serie de Taylor de f en 0x 0= es

2 3f ''(0) f '''(0)f(x) f(0) f '(0)x x x ... 0

2! 3!≈ + + + + =

La suma de la serie es cero, es decir que la serie de Taylor de f converge a cero para cualquier

x R∈ , sin embargo la función f solamente se anula en x 0= . Resumiendo, la serie de Taylor

de f converge a f(x) sólo para x 0= .

6.4. FÓRMULA DE TAYLOR CON RESIDUO

El polinomio de Taylor de grado n de f(x) en 0x , se puede obtener tomando los n 1+

primeros términos de la serie de Taylor:

(k)k0

n 0

k 0

f (x )P (x) (x x )

k!

∞

=

= −∑ .

Este es una aproximación de f en cada punto x del intervalo de convergencia de la

serie. La diferencia

n nR (x) f(x) P (x)= −

se llama residuo de grado n para f(x) en 0x x= , y se tiene el siguiente teorema que permite

estimar el error cometido al aproximar f(x) por el polinomio de Taylor de grado n, en términos

de la derivada n 1+ .

FÓRMULA DE TAYLOR CON RESIDUO



TEOREMA 3. Si f es una función derivable hasta el orden n 1+ en un intervalo I que contiene

a 0x entonces existe un número z comprendido entre 0x y x tal que

(k)k0

0 n

k 0

f (x )f(x) (x x ) R (x)

k!

∞

=

= − +∑ ,

donde (n 1)

n 1n 0

f (z)R (x) (x x )

(n 1)!

++= −

+.

El término anterior es por lo tanto el residuo de orden n, también llamado residuo de

Lagrange, y la penúltima ecuación recibe el nombre de fórmula de Taylor con residuo.

Algunas veces se puede usar la ecuación del residuo para probar que nnlím R (x) 0→+∞

= ,

para algún valor fijo de x.

Si lo anterior ocurre, y se hace n → ∞ en la fórmula de Taylor con residuo se obtiene:

n n nn n

f(x) lím [P (x) R (x)] lím P (x)→+∞ →+∞

= + =

o sea

(k)k0

0

k 0

f (x )f(x) (x x )

k!

∞

=

= −∑

la serie de Taylor de f en 0x .

Por lo tanto se puede enunciar el siguiente teorema que es la respuesta a la pregunta

formulada anteriormente.

TEOREMA 4. La igualdad

(k)k0

0

k 0

f (x )f(x) (x x )

k!

∞

=

= −∑

es válida si y sólo si

nnlím R (x) 0→+∞

=

para cada 0 0x (x r, x r)∈ − + con r 0> .

OBTENCIÓN DE SERIES DE POTENCIAS A PARTIR DE OTRAS CONOCIDAS



6.5. OBTENCIÓN DE SERIES DE POTENCIAS A PARTIR DE OTRAS CONOCIDAS

La obtención de una serie de Taylor o MacLaurin por la vía del cálculo de sus derivadas

en 0x puede resultar tedioso y difícil. Resulta más práctico, de ser posible, partir de una serie

ya conocida y usar operaciones algebraicas, composición, derivación e integración término a

término para obtener la serie en cuestión.

6.6. DERIVACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS

TEOREMA 5. Si

kk 0

k 0

f(x) a (x x )

∞

=

= −∑

con intervalo de convergencia 0x x R− < entonces f tiene derivadas de todos los órdenes en

el intervalo de convergencia, y

k k 1k 0 k 0

k 0 k 1

k 1 k 2k 0 k 0

k 1 k 2

df '(x) [a (x x ) ] ka (x x ) ,

dx

df ''(x) [ka (x x ) ] k(k 1)a (x x ) ,

dx

...

∞ ∞

−

= =∞ ∞

− −

= =

= − = −

= − = − −

∑ ∑

∑ ∑

para cada x que satisfaga 0x x R− < .

Se tiene, en cuanto a integración se refiere, un teorema similar al anterior para una

serie de potencias.

INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS



6.7. INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS

TEOREMA 6. Si

kk 0

k 0

f(x) a (x x )

∞

=

= −∑

con intervalo de convergencia 0x x R− < entonces

a. kk 0

k 0

f(x)dx a (x x ) dx C

∞

=

= − +

∑∫ ∫

b. Dados 0 0a,b ( R x ,x R)∈ − + + entonces

b b

kk 0

a ak 0

f(x)dx a (x x ) dx,

∞

=

= −∑∫ ∫

y las series resultantes son convergentes en 0x x R− < .

Observación 1. Las series que se obtienen derivando e integrando tienen el mismo radio de

convergencia de la serie original, sin embargo:

a. Al derivar término a término la convergencia puede perderse en un extremo.

b. Al integrar término a término la convergencia puede ganarse en los extremos.

Ejemplo 9. Se dedujo anteriormente la representación del seno en serie de potencias:

3 5 2k 1k

k 0

x x xsen(x) x ... ( 1) , x

3! 5! (2k 1)!

∞+

=

= − + − = − − ∞ < < ∞+∑

Por el teorema anterior

2k 1 2k 2 4 6k k

k 0 k 0

d x x x x xcos(x) ( 1) ( 1) 1 ..., x

dx (2k 1)! (2k)! 2! 4! 6!

∞ ∞+

= =

= − = − = − + − + − ∞ < < ∞

+ ∑ ∑

Ejemplo 10. A partir de la serie geométrica y por cambios de variable construya la serie de

MacLaurin de

2

1f(x)

1 x=

+

indicando su intervalo de convergencia.

Solución.

La serie geométrica es

INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS



n

n 0

1x , x 1

1 x

∞

=

= <− ∑ .

Efectuando el cambio x por 2x− se tiene:

2 n 2

2

n 0

1( x ) , x 1

1 ( x )

∞

=

= − <− − ∑

n 2n

2

n 0

1( 1) x , x 1

1 x

∞

=

= − <+ ∑ .

Ejemplo 11. En el ejemplo anterior se dedujo que

n 2n

2

n 0

1( 1) x , x 1

1 x

∞

=

= − <+ ∑ .

Solución. Integrando se obtiene la serie de arctg(x) :

x x2k 1 3 5 7

k 2k k

20 0

k 0 k 0

1 x x x xarctg(x) dt ( 1) t dt ( 1) x ...,

2k 1 3 5 71 t

∞ ∞+

= =

= = − = − = − + − +++ ∑ ∑∫ ∫

manteniendo el mismo radio de convergencia, se debe estudiar la convergencia en los

extremos:

Para x 1= resulta la serie numérica

k

k 0

( 1)

2k 1

∞

=

−+∑ ;

y para x 1= − resulta la serie numérica

3k 1

k 0

( 1)

2k 1

∞+

=

−+∑ ,

que convergen ambas por el criterio para series alternas.

Luego

2k 1k

k 0

xarctg(x) ( 1) , 1 x 1

2k 1

∞+

=

= − − ≤ ≤+∑

TABLAS DE MACLAURIN Series de Potencias Pág.: 265 de 280


6.8. TABLAS DE MACLAURIN

Función

Serie

Intervalo

de

Convergencia

xe

k 2 3

k 0

x x x1 x ...

k! 2! 3!

∞

=

= + + + +∑

x−∞ < < ∞

sen(x)

2k 1 3 5 7k

k 0

x x x x( 1) x ...

(2k 1)! 3! 5! 7!

∞+

=

− = − + − ++∑

x−∞ < < ∞

cos(x)

2k 2 4 6k

k 0

x x x x( 1) 1 ...

(2k)! 2! 4! 6!

∞

=

− = − + − +∑

x−∞ < < ∞

1

1 x− k 2 3

k 0

x 1 x x x ...

∞

=

= + + + +∑

1 x 1− < <

ln(1 x)+

k 1 2 3 4k

k 0

x x x x( 1) x ...

k 1 2 3 4

∞+

=

− = − + − ++∑

1 x 1− < ≤

arctg(x)

2k 1 3 5 7k

k 0

x x x x( 1) x ...

(2k 1) 3 5 7

∞+

=

− = − + − ++∑

1 x 1− ≤ ≤

APLICACIONES DE LAS SERIES DE TAYLOR



6.9. APLICACIONES DE LAS SERIES DE TAYLOR

Se verá ahora como usar el desarrollo en serie de Taylor de una función para el cálculo

de límites indeterminados, aproximación del cálculo de derivadas, evaluación de integrales

definidas de las cuales no se conoce una primitiva así como la suma de series numéricas.

6.10. CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS

Ejemplo 12. Calcule

3

x 0

ln 1 x sen(2x)lím

x→

+ −.

Solución.

Se sabe que

2n 1n

n 0

xsen(x) ( 1) x

(2n 1)!

∞+

=

= − − ∞ < < ∞+∑ .

Reemplazando x por 2x se tiene:

2n 1 2n 1n

n 0

2 xsen(2x) ( 1) x

(2n 1)!

∞+ +

=

= − − ∞ < < ∞+∑ .

Por otro lado

n 1n

n 0

xln(1 x) ( 1) 1 x 1

n 1

∞+

=

+ = − − < ≤+∑ ,

luego

n 1n3

n 0

1 xln 1 x ln(1 x) ( 1) 1 x 1

3 3(n 1)

∞+

=

+ = + = − − < ≤+∑ .

Por lo tanto, restando las dos series y dividiendo por x resulta

n 2n 1 2n3n

n 0

ln 1 x sen(2x) x 2 x( 1)

x 3(n 1) (2n 1)!

∞+

=

+ − = − − + + ∑

con x ( 1,0) (0,1]∈ − ∪ .

Tomando límites a ambos lados:

CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS



n 2n 1 2n3n

x 0 x 0

n 0

ln 1 x sen(2x) x 2 x 1 5lím lím ( 1) 2

x 3(n 1) (2n 1)! 3 3

∞+

→ →=

+ − = − − = − = − + + ∑ .

Ejemplo 13. Sea la función

3

arctg(x) xf(x)

x

−= .

a. Encuentre su serie de MacLaurin.

Solución.

Sea la serie geométrica

k

k 0

1x , x 1

1 x

∞

=

= <− ∑ .

Efectuando el cambio x por 2x− se tiene

k 2k

2

k 0

1( 1) x , x 1

1 x

∞

=

= − <+ ∑ .

Sea x x

k 2k 1k 2k

2 0 0

k 0 k 0

dt ( 1) xarctg(x) ( 1) t dt , x 1

2k 11 t

∞ ∞+

= =

−= = − = <++ ∑ ∑∫ ∫ .

En consecuencia

k 2k 2 2

3 2 2 2

k 0

arctg(x) x ( 1) x 1 1 1 1 x..., x 1, x 0

2k 1 3 5x x x x

∞−

=

− −= − = − + − + − < ≠+∑

b. A partir de (a) calcule x 0lím f(x)

→.

Solución.

k 2k 2

3 2 2x 0

k 2

arctg(x) x 1 1 1 ( 1) x 1lím .

3 2k 1 3x x x

∞−

→=

− −= − + − + = −+∑

Ejemplo 14. Represente sen(3x) por medio de una serie y encuentre los valores de r y s para

los cuales

3 2x 0

sen(3x) rlím s 0

x x→

+ + =

.

Solución.

Se sabe que

CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS



2n 1n

n 0

xsen(x) ( 1) , x

(2n 1)!

+∞+

=

= − − ∞ < < +∞+∑ .

De modo que

2n 1n

k 0

(3x)sen(3x) ( 1) , x

(2n 1)!

+∞+

=

= − − ∞ < < +∞+∑ .

Se tiene:

2n 1 2n 2 2n 1 2n 2n n

2 2 2x 0 x 0

n 0 n 2

2n 1 2n 2n

2 2 2 2x 0 x 0 x 0

n 2

3 x r 3 27 3 x rlím ( 1) s lím ( 1) s 0

(2n 1)! 6 (2n 1)!x x x

3 27 r 3 x 3 27 rlím s lím ( 1) lím s 0

6 (2n 1)! 6x x x x

l

+∞ +∞+ − + −

→ →= =

+∞+ −

→ → →=

− + + = − + − + + = + +

− + + + − = − + + = +

∑ ∑

∑922x 0

3 r 6s 27ím 0 r 3 , s .

6x→

+ − + = ⇒ = − =

6.11. APROXIMACIÓN DEL CÁLCULO DE DERIVADAS

Ejemplo 15. Sea 2 xf(x) x e .−=

a. Halle el desarrollo en serie de MacLaurin de f '(x).

Solución.

Se sabe que

nx

n 0

xe

n!

∞

=

=∑ ,

luego a partir de este desarrollo se obtiene el desarrollo de

n 22 x n

n 0

xf(x) x e ( 1)

n!

∞+

−

=

= = −∑ .

Derivando término a término del desarrollo en serie de f, se obtiene

n 1x n

n 0

(n 2)xf '(x) x(2 x)e ( 1)

n!

∞+

−

=

+= − = −∑ .

b. Indique cuántos primeros términos, como mínimo, se requieren del desarrollo de f '(x)

para obtener un valor aproximado de f '(1) con dos cifras decimales exactas.

APROXIMACIÓN DEL CÁLCULO DE DERIVADAS



Solución.

En el apartado anterior si se sustituye en x 1= se tiene

1 n

n 0

(n 2)f '(1) e ( 1)

n!

∞

−

=

+= = −∑ .

Para obtener un valor aproximado de 1e− con dos cifras decimales exactas, el resto debe

satisfacer la desigualdad

2n n 1

n 3R b 0.5 10

(n 1)!−

++< = < ×+

.

Dado que el primer n que satisface esta desigualdad es n 6= , se necesitarán, como

mínimo, de los 7 primeros términos de la serie cuya suma permite la aproximación

deseada.

6.12. APROXIMACIÓN DEL CÁLCULO DE INTEGRALES

Ejemplo 16. Usando los cuatro primeros términos de la serie de MacLaurin de 2cos(x ) ,

calcule 1

2

0

cos(x )dx∫ .

Solución.

El desarrollo de MacLaurin de cos(x) es

2nn

n 0

xcos(x) ( 1) x

(2n)!

∞

=

= − − ∞ < < ∞∑

Reemplazando x por 2x :

4n2 n

n 0

xcos(x ) ( 1)

(2n)!

∞

=

= −∑ .

Usando los cuatro primeros términos: 1 1 1

4 8 12 5 9 132

0 0 0

x x x x x xcos(x )dx 1 dx x

2! 4! 6! 5.2! 9.4! 13.6!

1 1 1 1 0.9045227

5.2! 9.4! 13.6!

≈ − + − = − + −

≈ − + − ≅

∫ ∫

CÁLCULO DE SUMA DE SERIES NUMÉRICAS



6.13. CÁLCULO DE SUMA DE SERIES NUMÉRICAS

Ejemplo 17. Sea la función

31 x

f(x) ln1 x

−=+

.

a. Halle la serie de MacLaurin de f(x).

Solución.

31 x 1

f(x) ln (ln(1 x) ln(1 x))1 x 3

−= = − − ++

.

Se sabe que

n 1n

n 0

xln(1 x) ( 1) , 1 x 1

n 1

+∞+

=

+ = − − < ≤+∑ .

En consecuencia:

n 1 n 1n n

n 0 n 0

1 ( x) xf(x) ( 1) ( 1) , 1 x 1

3 n 1 n 1

+∞ +∞+ +

= =

− = − − − − < ≤ + +

∑ ∑ .

n 1 n 12n 1 n

n 0

1 x xf(x) ( 1) ( 1) , 1 x 1

3 n 1 n 1

+∞+ +

+

=

= − − − − < ≤ + + ∑ .

n 1 n 1 n 1n n

n 0 n 0

1 x x 1 xf(x) ( 1) (1 ( 1) ) , 1 x 1

3 n 1 n 1 3 n 1

+∞ +∞+ + +

= =

= − + − = − + − − < ≤ + + + ∑ ∑ .

b. Usando el resultado obtenido en a, obtenga la suma de la serie

n 1

2n 1 n

n 1

1 ( 1)

( 1) .2 .3n

+∞−

−

=

+ −−∑ .

Solución.

n 1 n n

2n 1 n 2n 1 n 1 n 1

n 1 n 0 n 0

n 11n 2 1 13

2 3

n 0

1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( 1)

3( 1) .2 .3n ( 1) .2 .3(n 1) 2 (n 1)

( )1 ln(3) (1 ( 1) ) f( ) ln .

3 n 1 3

+∞ +∞ +∞−

− + + +

= = =+∞ +

=

+ − + − + −= = −− − + +

= − + − = = = −+

∑ ∑ ∑

∑

PROBLEMAS PROPUESTOS Series Numéricas Pág.: 271 de 280


6.14. PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Halle el radio y el intervalo de convergencia para cada serie de potencias:

a. n

n 1

x

n

∞

=∑ Rta. [ 1,1)−

b. n 2 n

n 0

( 1) n x

∞

=

−∑ Rta. ( 1,1)−

c. n

n

n 0

(x 3)Rta. (0,6)

3

∞

=

−∑

d. 3

n

n

n 0

n(x 1)

3

∞

=

+∑ Rta. ( 4,2)−

e. n

4

n 0

(2x 1)

n 16

∞

=

−+∑ Rta. [0,1]

f. n

n 2

(x 5)

n.ln(n)

∞

=

−∑ Rta. [4,6) n

n

n 1

2n 1x

n

∞

=

+∑

g. n

n

n 1

2n 1x

n

∞

=

+∑ Rta. Converge para toda x

h. n

n n

n

n 0

5( 1) (x 2)

2 1

∞

=

− −+∑ 8 12

5 5Rta. ( , )

i. n n 1 n

n 1

n 0

3 4 x

7

∞+

+

=∑ 7 7

12 12Rta. ( , )−

j. n n

n

n 1

8 (x 1)

n

∞

=

−∑ Rta. Converge para toda x

2. Halle el desarrollo de MacLaurin de 2f(x) ln(1 2x )= + y encuentre el intervalo de

convergencia de la serie obtenida.



3. A partir de la serie geométrica y por cambios de variable construya la serie de MacLaurin

de las siguientes funciones indicando su dominio de convergencia.

a. 2

xf(x)

1 x=

−

b. 2

1f(x)

4x 1=

+

4. A partir de las series de xe y de sen(x) construya las series de

a. x1 e

f(x)x

−−= .

b. 2

2

sen(x )f(x)

x= .

5. A partir de la serie geométrica y por derivación o integración, halle las series de:

a. 2

1f(x)

(1 x)=

−

b. 2f(x) arctg(x )=

6. Hallar el desarrollo en serie de potencias de x de la función 2 2f(x) x sen(x )= y determine

su intervalo de convergencia.

n 4(n 1)

n 0

( 1) xRta.

(2n 1)!

∞+

=

−+∑ converge para toda x

7. Usando el desarrollo obtenido en el apartado anterior, calcule

1

0

f(x)dx∫

con un error menor que 510− . Rta. 0.1821114

8. Determine la serie de MacLaurin para 2xe− y utilicela para estimar

12x

0

e dx−∫

hasta tres cifras decimales exactas.



9. Halle el desarrollo de la serie de MacLaurin de 3xf(x) e−= y utilicela para estimar la

integral

13x

0

e dx−∫

con un error menor que 210− .

n 3n

n 0

( 1) xRta. 0.805

n!

∞

=

−∑

10. Obtenga el desarrollo de MacLaurin de la función x xe e

f(x)2

−−=

y determine su intervalo de convergencia.

11. Halle el desarrollo en serie de potencias de x de la función

3 2

1f(x)

(1 x )=

+,

determinando su intervalo de convergencia.

n 1 3(n 1)

n 1

Rta. ( 1) nx , 1 x 1

∞

+ −

=

− − < <∑ .

12. Usando el resultado anterior calcule

1/2

0

f(x)dx∫ ,

con un error menor que 410− . Rta. 0.4717

13. Calcule con tres decimales exactos:

1

0

1 cos(x)dx

x

−∫

Rta 0.239



14. Calcule con un error menor que 0.03:

1

0

ln(1 x)dx

x

+∫ .

Rta.0.83861

15. Encuentre una representación en serie de potencias de la función 1 cos( x)

f(x)x

−= .

n 1

n 1

n 1

xRta. ( 1)

(2n)!

∞−

+

=

−∑

16. Tomando en cuenta el ejercicio anterior, aproxime con una exactitud de dos cifras

decimales:

1

0

f(x)dx∫ .

Rta. 4823 .

series de potencias - · pdf filesemestre 1-2011 josé luis quintero julio 2011 tema 6...

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