serie graficacion limites y continuidad(calderon tellez)
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[CLARIBEL CALDERÓN TÉLLEZ] Cálculo III
GRAFICACIÓN, LÍMITES Y CONTINUIDAD
Los ejercicios 1-6 muestran algunas curvas de nivel para las superficies graficadas en a) - f). Asocie cada conjunto de curvas con la función apropiada. 1)
2)
[CLARIBEL CALDERÓN TÉLLEZ] Cálculo III
3)
4)
[CLARIBEL CALDERÓN TÉLLEZ] Cálculo III
5)
6)
[CLARIBEL CALDERÓN TÉLLEZ] Cálculo III
0
5
10
z 1 4 9
z
y
z=-y2
0
5
10
z 1 4 9
z
x
z=-x2
En los ejercicios siguientes muestre los valores de las funciones en dos formas: a)
trazando la superficie y b) dibujando un grupo de curvas de nivel en el dominio de la función. Marque cada curva de nivel con el valor correspondiente de la función.
7. f(x,y) = –(x2 + y2) 8. f(x,y) = 4x2 + y2+1 9. 7. f(x,y) = –(x2 + y2)
Z=−𝑥2 −𝑦2 X= 0
Z= −𝑦2 Y=0 z=0
𝐳 = −𝐱𝟐
−𝐱𝟐 − 𝐲𝟐 = 𝟎
f(x,y) = –(x2 + y2)
[CLARIBEL CALDERÓN TÉLLEZ] Cálculo III
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
z 1 4 9
z
y
z=y2+1
0
10
20
30
1 2 3 4
z
x
z=4x2+1
8. f(x,y) = 4x2 + y2+1 Z= 4x²+y²+1 X= 0 Z= y²+1 Y= 0 Z= 4x²+1 Z=0
𝟒𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟏 = 𝟎
𝟒𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟏 = 𝒌 f(x,y) = 4x2 + y2+1
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9. X=0 Z= 1-|y| Y=0 Z= 1-|x| Z=0 1-|x|-|y|=0
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En los ejercicios siguientes grafique la región en que f es continua:
10) f(x,y)= x2 y 11) f(x,y)= x4 - y4
25 – x2 -y2 x2 + y2
10) Sus extremos son discontinuos 10) f(x,y)= x
2 y
25 – x2 -y
2
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0
2
4
6
8
10
1 2 3
z
y
z=-y4/y2
0
2
4
6
8
10
1 2 3
z
x
z=x4/x2
11) f(x, y) =𝑥4−𝑦4
𝑥2+𝑦2
X=0
𝐳 =−𝐲𝟒
𝐲𝟐
Y=0
𝐳 =𝐱𝟒
𝐱𝟐
Z=0
𝐱𝟒 − 𝐲𝟒
𝐱𝟐 + 𝐲𝟐= 𝟎
𝐱𝟒−𝐲𝟒
𝐱𝟐+𝐲𝟐= 𝐤 𝐟(𝐱, 𝐲) =
𝒙𝟒−𝒚𝟒
𝒙𝟐+𝒚𝟐
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12. Explique con sus palabras qué significa que f sea continua en un punto X0. Significa que no existen discontinuidades y que la función no pierde la forma en este punto. Se dice que si se tiene una función f(x), esta será continua en el punto X = Xo si cumple las siguientes tres condiciones: 1-. f(Xo) está definida 2-. Lim f(x) existe x-->Xo 3-. Lim f(x) = f(Xo) x-->Xo En cada uno de los siguientes incisos dé un ejemplo de una función que satisfaga la condición que se especifica: 13) f no tiene límite en (3,2)
𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 →(𝟑,𝟐)
𝒙𝟐
𝟓 − (𝒙 + 𝒚)
.
14) f tiene límite en (1,-1) pero no es continua en dicho punto.
𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 →(𝟏,−𝟏) 𝒙𝟐− 𝒚𝟐
𝒙+𝒚
.
=𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 →(𝟏,−𝟏) 𝒙+𝒚 (𝒙−𝒚)
𝒙+𝒚
.
= x-y= 2
15. Suponga que lím. f(x,y) = 6. ¿Qué podría decir acerca del valor de f(3,2)? ¿Qué
pasa si f es (x,y)(3,2 ) continua? Se pude decir que la función [f(3,2)= 6], es continua y no está indeterminada en este punto.
16. Utilice una tabla de valores numéricos de f(x,y) para (x,y) cerca del origen con
objeto de conjeturar acerca del valor del límite de f(x,y) conforme (x,y)(0,0). Después explique por qué su conjetura es correcta: f(x,y)= x2 y3 + x3 y2 2 – xy
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Grafique la función f(x,y) y observe dónde es continua y dónde es discontinua. Después utilice la expresión para explicar lo que ha observado.
17) f(x,y) = 𝑒1
𝑥−𝑦
Se puede observar que la función es continua entre mas este alejada del origen, ya que cerca de este, se le forma un pico a la grafica, dejando de ser continua en estos puntos; esto es indiscutible, al ver que su función s exponencial.
18) 𝑓(𝑥,𝑦) =1
1−x2−y2
En esta grafica se muestra que la función es continua en casi todo el plano, solo que al acercarse cada vez más al centro se observan varias discontinuidades.
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Discuta la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado:
19) f(x,y)= 6x – 2y en (1,3). 20) f(x,y)=27x3-8y
3 en (2,3)
9x2 - y
2 3x – 2y
Las dos son continuas solo que la primera es lineal ya que esta sobre una de las rectas del plano y la 2
da sobre una curva pero ningún plano presenta discontinuidades en los puntos dados.
Punto (1,3)
6 1 – 2 3
9 1 2 − 3 2=
6 − 6
9 − 9=
0
0
Nuestra función 19) no está definida en éste punto dado, lo cual nos hace discontinua la función en ese punto y, por ende, podemos observar lo agujeros en nuestra gráfica.
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20) Punto (2,3)
27𝑥3 − 8𝑦3
3𝑥 − 2𝑦=
27(2)3 − 8(3)3
3(2) − 2(3)=
216 − 216
6 − 6=
0
0
Nuestra función 20) no está definida en éste punto dado lo cual hace discontinua a la función en éste punto y, por ello, podemos apreciar unos agujeros en nuestra gráfica.