HISTORIA UNIVERSAL

PRIMER BOLETN - CICLO ANUAL 2014

FACTORIZACIN II

1. aspa simpleForma General:ax2 + bxy + cy2Ejemplo:2. ASPA DOBLEForma General:

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f

Consiste en la formacin de 2 aspas simples.Ejemplo:

3. ASPA DOBLE ESPECIALForma General:ax4 + bx3 + cx2 + dx + eEjemplo:

teorema del factorTodo polinomio ser divisible entre cada uno de sus factores. Podemos decir entonces que un cierto polinomio es mltiplo de sus factores.Ejemplo: Demostrar que (x - 3) es factor x3 13 x + 12Solucin:Por el teorema del factor tenemos que demostrar que la divisin:

es exacta (R = 0)Por el teorema:R = 33 13(3) + 12 = 0 (x 3) factor de x3 13x + 124. MTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOSGeneralmente se utiliza para factorizar polinomios de grado impar y que tienen factores de la forma: ax + b

Consideraciones:1. El valor que anula a un polinomio (lo convierte en cero) lo llamaremos cero del polinomio.2. Si en un polinomio P(x), x = b anula a dicho polinomio; este valor ser un cero del polinomio y (x - b) ser un factor de dicho polinomio.3. Esto significa que si (x - b) es un factor del polinomio, por el teorema del factor la divisin de P(x): (x b), ser exacta.4. Existe un procedimiento para calcular los posibles ceros en el polinomio.Ejemplo: Factorizar:E = x3 + 7x2 + 7x 15

= 8 posibles ceros Probando con cada uno de ellos en orden.Primero con x = 1 (Si fuera cero del polinomio (x - 1) sera un factor)Luego se divide por Ruffini el polinomio.x3 + 7x2 + 7x 5: (x - 1)Observacin:El nmero mximo de ceros est determinado por el grado de polinomio.5. MTODO DE LOS ARTIFICIOS En este caso mediante sumas y restas trataremos de formar trinomio cuadrado perfecto para exponentes impares. Tambin se pueden hacer cambios de variables.

Ejemplo: Factorizar: 64x4 + y8PROBLEMAS PROUESTOS

1. Factorizar e indicar un trmino de un factor primo:P(x, y) = 15x2 + 14xy + 3y2 + 41x + 23y + 14

a) 5xb) 2c) 3y d) y e) Todas son correctas2. Indicar uno de los coeficientes de y en uno de los factores primos de:P(x, y) = 6x2 xy 12y2 + x 10y - 2a) 1b) 2c) 8 d) 4e) 63. Factorizar e indicar un factor primo:F(x, y) = 15x2 xy 6y2 + 34x + 28y - 16a) 5x + 3y + 2d) x + y - 2b) 5x + 3y 2e) 3x + 5y - 3c) 5x 3y - 94. Luego de factorizar:P(a, b) = 18a2 + 13b + 9ab 2b2 20 18a;indicar la suma de factores primos.a) 9a + b b) 9a + b - 1c) 6a 3b + 1 d) 6a + 3b 2 e) 9a + b + 1

5. Factorizar:F(x, y) = 6x2 + xy 2y2 + 18y + 5y + 12;indique un factor primo:

a) 2x + y 4d) 2x + y - 1b) 3x + 2y + 3e) 2x 3y + 1c) 3x + 2y + 4

6. Factorize:P(x, y) = 5x2 + 9x - 6y2 + 8y 7xy 2;seale un factor primo:

a) 5x + 3y 2d) 5x + 3y - 1b) 5x 3y + 1e) x 2y - 1c) x 2y + 3

7. Factorize:R(x, y) = 4x2 + 8xy 5x + 6y 6;indique la suma de coeficientes de un factor primo.

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

8. Factorizar:P(x) = x4 + x3 x2 + x 2;dar el factor primo de mayor suma de coeficientes.a) x + 2 b) x2 + 1c) x2 + 4d) x 1e) x2 - 3

9. Factorizar:P(x) = 3x4 x3 23x2 + 9x 36;dar el factor primo de mayor grado.

a) 3x2 x + 9d) x + 3b) 3x2 x 3e) x - 3c) 3x2 x + 4

10. Factorizar:P(x) = x4 + 6x3 + 7x2 6x + 1;indique un factor primo.

a) x2 + 3x 3d) x2 + 3x - 1b) x2 + 2x 1e) x2 -2x + 1c) x2 + x + 2

11. Factorize y seale un factor primo de:F(x) = x4 + 6x2 + 25

a) x2 + 2x + 5b) x2 + x + 1c) x2 x + 3d) x2 + 4x + 1e) x2 x + 7

12. Factorizar:P(x) = x4 + 4x2 + 16;dar la suma de factores primos.

a) 2(x2 + 2)b) 2(x2 + 3)c) 2(x2 + 4)d) x2 + 5e) x2 - 5

13. Factorize:P(x) = x4 + 4;dar la suma de factores primos.

a) x2 + 2x b) x(x + 3)c) 2(x2 + 2)d) 2(x2 + 4)e) x(x - 3)14. Factorizar:P(x) = x3 6x2 + 11x 6;indique un factor primo.

a) x + 1b) x 1c) x + 2d) x + 6e) x - 3

15. Factorizar:P(x) = x3 13x + 12;y reconoce un factor.

a) x + 1b) x 2c) x + 4d) x + 3e) x - 4

AUTOEVALUACION 1. Factorizar:P(x, y) = 5x2 + 16xy + 3y2 + 11x + 5y + 2;sealar un factor primo.

a) x + 3y + 1d) x y + 1b) x + 3y + 2e) 5x + y + 6c) 2x + y + 5

2. Factorizar:F(x, y) = 6x2 7xy + 2y2 13x + 7y + 5;indicar un factor primo:

a) 3x 2y 5b) 3x y c) 2x + yd) 3x + 5ye) 4x 5y - 1

3. Factorizar:M(x, y) = 6x2 + 9xy + 5x 6y 6;dar el factor primo de menor suma de coeficientes.

a) 2x + 3y 3b) 2x 3y 3c) 3x - 2d) 3x + 2e) 2x + 4y 3

4. Factorizar:N(x, y) = 8x2 + 2xy + 28x + 13y + 24;y sealar el factor primo trinomio:

a) 2x + 3y + 3d) 4x + y + 8b) 2x + 3y + 1e) 2x 3y + 2c) 4x + y + 4

5. Factorizar:F(x, y) = 6x2 xy2 2y2 + 17x 2y + 12;indique un factor primo:

a) 2x + y 2d) 2x + y - 4b) 3x 2y 3e) 3x + 2y - 4c) 3x 2y + 4

6. Factorizar:G(x, y) = 6x2 + 20y2 + x + 23xy + 6y 2;seale el factor primo de mayor suma de coeficientes:

a) 3x + 4y + 2d) 3x 4y + 2b) 2x + 5y + 1e) 3x 2y + 4c) 2x 5y - 2

7. Factorize:H(x, y) = x2 + 5x + 4 + 9y 9y2;sealar un factor primo:

a) x + 3y 2d) x + 3y - 1b) x 11y + 3e) x 3y + 4c) x + 3y - 4

8. Factorize:Q(x) = x8 + 15x4 + 18x2 + 6x6 + 9;indique un factor primo:

a) x4 + 3x2 + 3d) x4 2x2 - 3b) x4 + x2 + 3e) x4 + 2x2 + 3c) x4 x2 + 3

9. Factorize:P(x) = 2x4 + 5x3 + 3x2 + 5x 3;indique un factor primo:

a) x2 + x + 1d) 2x2 + x + 3b) x2 + x 1e) x2 + x + 3c) 2x2 x - 2

10. Factorize:P(x, y) = x4 + x3y 7x2y2 xy3 + 6y4;indique la menor suma de coeficientes de un factor primo:

a) 5b) 2c) 0d) 4e) -1RREFUERZA LO APRENDIDO

1. Factorizar:P(x) = x4 + x2 + 1;sealar el nmero de factores primos:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 52. Factorizar:P(x) = x4 + 2x2 + 9;indique un trmino de un factor primo.a) xb) 8xc) 7xd) x2e) 93. Factorizar:P(x) = x4 + x2 + 25;sealar el nmero de factores primos:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 54. Factorizar:M(x) = x3 + 5x2 2x 24;indicar un factor primo.

a) x + 5b) x + 10c) x + 9 d) x + 4e) x + 75. Factorizar:P(x) = x3 + 2x2 5x 6;sealar la suma de coeficientes de un factor primo:a) 0b) 1c) 2d) -4e) -3

RADICACIN

Llamaremos radical simple a la expresin , cumplindose que:

Las cantidades a y b sern positivas siempre que n sea un nmero par.Elementossigno radicalndiceraz ensimaSub-radical

RADICALES SEMEJANTES Estos tienen la misma expresin sub-radical y el mismo ndice.

Ejemplo: son semejantes.RADICALES HOMOGNEOSEstos se caracterizan por tener el mismo ndice.Ejemplo: son homogneos, de ndice 2.

son homogneos, de ndice 3.

HOMOGENIZACIN DE RADICALESEs la operacin que consiste en transformar radicales con diferente ndice, en radicales con igual ndice. Para tal fin se aplican los teoremas de exponentes y radicales, asimismo se recomienda tener en cuenta las siguientes reglas.

1. Se halla el MCM de los ndices de los radicales, que ser el ndice comn.2. Se divide el MCM encontrado entre el ndice original de cada radical y cada cociente se multiplica por el exponente tambin original de la cantidad subradical.

Ejemplo: Dados: ; expresarlos como homogneos:En primer lugar se debe reconocer que el MCM de 3; 4 y 5 es 60. Luego trataremos que todos los ndices de radical tengan el mismo valor 60:

SIMPLIFICACIN DE RADICALES Simplificar un radical es transformarlo en otro equivalente utilizando los teoremas ya mencionados.

=

=

=

INTRODUCCIN DE EXPRESIONESBAJO EL SIGNO RADICAL Se eleva la expresin que esta afuera del radical, a una potencia igual al ndice del radical.Ejemplo:

==

==REDUCCIN DE RADICALES SEMEJANTESLos radicales semejantes, se reducen como si fueran trminos semejantes.

Ejemplo:

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE RADICALESPara efectuar estas operaciones los radicales deben ser homogneos o en caso contrario, reducirlos a homogneos.

Ejemplo:TRANSFORMACIN DE RADICALES DOBLES A RADICALES SIMPLES

RADICALES DE LA FORMA:

Los radicales de la forma donde A y B son nmeros racionales positivos, se pueden transformar a la forma . As toda la transformacin consiste en hallar x e y en funcin de A y B, para lo cual se plantean las siguientes ecuaciones:

. (1)

. (2)Sumando miembro por miembro (1) y (2) y elevando al cuadrado despus, podemos encontrar que:

Procediendo de una manera anloga, al restar (1) y (2) y elevar al cuadrado despus, se obtiene:

RADICALES DE LA FORMA:

Cuando un radical doble es de la forma , se pueden determinar dos nmeros x e y que cumplan con las siguientes relaciones:x + y = A ; x . y = BAs se verificar que:

Ejemplo: Para: , tenemos:De acuerdo con el criterio expuesto se debe buscar dos nmeros que multiplicados sean igual a 30 y sumandos reproduzcan 11. Veamos:

56

Finalmente la expresin transformada queda as:

PROBLEMAS PROUESTOS

1. 1. Reducir:

a) b) c)

d) e)

2. El equivalente de:

Es:

a) b) c)

d) e) 1

3. Mostrar el equivalente de:

Sabiendo que: 2 001 < m < n < 2 002

a) nb) c) -md) n2e) n24. Si: 1 999 < m < n < 2 001Reducir:

a) 2nb) -2nc) 2md) -2me) m + n5. Efectuar:

a) 1/2b) -2c) 2d) 1e) 146. Efectuar:

a) b) c)

d) e) 17.Si: x > 1, reducir:

a) b) c)

d) e) 8.Hallar: B 8A en:

a) 84b) 4c) 94d) 49e) 479.Mostrar el equivalente de:

a) b) c)

d) e) 10.Un radical simple de:

Considerando: x2 < 2, es:

a) b) c)

d) e) 11. Descomponer a radicales simples:

a) b) c)

d) e)

12. Descomponer en radicales simples:

a) b) c)

d) e)

13. Si: el equivalente de:

Es:

a) e)

b) d)

c)

14. Si:

{a; b} / a > b. Mostrar un radical simple de:

a) b) c)

d) e) a o d

15.

Proporcionar el valor de: si el radical doble: puede descomponerse en radicales simples:

a) 1b) 1/2c) 1/4d) 1/3e) 1/6AUTOEVALUACION

1. Reducir:

a) b) c)

d) e)

2. Mostrar el equivalente de:

a) 1b) 2c) 4d) 6e) 8

3. Si: n / n 2 001, proporcionar el equivalente de:

a) 2b) 1c) 3d) 4e) 8

4. Mostrar el equivalente de:

Sabiendo que: 2 001 < a < b < 2 003

a) 0b) bc) ad) 2a + 2be) 2b 2a

5. La expresin mostrada: Equivale a:

a) b) c)

d) e)

6. Efectuar:

a) 0b) c) d) 1e) -1

7. Sabiendo que: x2 = x + 1; x > 0

Reducir:

a) b) c)

d) e) 1

8. Hallar: a y b en la siguiente igualdad:

a) a = 2; b = 1d) a = 1; b = 5b) a = 3; b = 6e) a = 0; b = 1c) a = 1; b = 2

9. Reducir:

a) b) c)

d) e) 1

10. Simplificar:

Si: x > 1

a) b) c) 4d) 1e) 2

11. Hallar: B A en:

a) 18b) 37c) 83d) 61e) 17

12. Hallar el valor de:

a) b) c)

d) e)

13. Al extraer la raz cuadrada de:

Se obtienen 2 radicales simples cuadrticas. Calcular el valor numrico de uno de ellos para x = 7.

a) b) c) d) e) a o c14. ; es equivalente a:

a) b) c)

d) e) 15. Si se cumple:

De modo que: {a; b; c} Calcular: a + b + ca) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

RACIONALIZACIN

Es la operacin mediante la cual, se transforma una expresin cuyo denominador es irracional, en otra equivalente, pero con denominador racional.RACIONALIZACIN

FACTOR RACIONALIZANTE (F.R) Es la expresin irracional, que multiplicada por el denominador irracional, lo convierte en una expresin racional.DENOMINADORES MONOMIOS

Si el denominador es de la forma , el factor racionalizante es . En estos casos el factor racionalizante es conocido tambin como el conjugado del denominador. Veamos el siguiente ejemplo:

RACIONALIZACIN DEDENOMINADORES BINOMIOS Cuando una fraccin presenta un denominador binomio, el factor racionalizante es en general un polinomio cuya forma depender del binomio original.

DENOMINADOR BINOMIO DE LA FORMA :

Denominador:F.R.:

Denominador:F.R.:

Basta multiplicar los dos trminos por la cantidad conjugada del denominador.Ejemplo:

DENOMINADOR BINOMIO DE LA FORMA: Cuando los denominadores son binomios cuyas races resultan ser de ndice tres, los factores racionalizantes se obtienen as:

Denominador:F.R.:

Denominador:F.R.:

Ejemplo:

DENOMINADOR BINOMIO DE LA FORMA: En general, para denominadores cuyos radicales son de orden mayor que 3, se utilizarn criterios de cocientes notables.

Denominador:

F.R.: ; n impar

Denominador:F.R.: ; n par

Denominador:

F.R.: ; n

Ejemplo: PROBLEMAS PROUESTOS

1.Al racionalizar se obtiene una expresin de la forma: . Calcular: a + b.

a) 2b) 6c) 3d) 4e) 5

2.

Al racionalizar obtenemos una expresin de la forma: proporcionar el valor de k.

a) 2b) 4c) 5d) 6e) 7

3. Racionalizar e indicar el denominador:

a) 1b) 3c) 2d) 6e) 104. Racionalizar:

a) d) 1

b) e)

c) 5. Reducir:

a) 3b) 6c) 9d) 12e) 15

6. Reducir:

a) 0b) c)

d) e) 7. Efectuar:

a) 1b) c) 2

d) 0e) 8. Indicar el denominador racional de:

a) 11b) 23c) 5d) 3e) 69. Indicar el denominador racional de:

a) 6b) 1c) 2d) 3e) 910. Racionalizar:

Dar su denominador:a) 2b) 3c) 4d) 6e) 5

11. Racionalizar:

Dar su denominador:

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 712. Si la expresin:

Es equivalente a:

Calcular el valor de . a) 8b) 6c) 20d) 12e) 1613. Simplificar:

a) 1 + xb) c) d) 1e) 0

14. Indicar el denominador racional de:

a) 240b) 243c) 245 d) 244e) 246

15. Proporcionar el denominador racional de:

a) 1b) 2002c) 2003d) 200e) 3AUTOEVALUACION

1. Simplificar:

a) b) c)

d) e) 2. Efectuar:

a) xy d) 0b) x2y2e) 1

c)

3. Efectuar:

a) b) c)

d) e) 0

4. Dividir 1 entre:

a) b) c)

d) e) No es posible

5. Efectuar:

a) ab) abc) a - b

d) a + be)

6. Dar el denominador racionalizado de:

a) 2b) 4c) 1d) 7e) 3

7. Simplificar:

a) b) c)

d) e)

8. Racionalizar y simplificar:

a)

b)

c)

d)

e)

9. Racionalizar:

Indicar el denominador:

a) 1b) 2c) 4d) 6e) 8

10. Racionalizar:

Dar su denominador:

a) 2b) 3c) 4d) 5e) N.A.

11. Racionalizar:

Dar su denominador:

a) 2b) 3c) 4d) 5e) N.A.

12. Indicar el denominador racionalizado de:

a) 25b) 27c) 29d) 7e) 14

13. Si despus de racionalizar y simplificar:

Reemplazo x por y se obtiene:

a) -1b) 1c) 2d) 1/2e) -2

14. Calcular el verdadero valor de:

Para x = 2

a) 0b) 1c)

d) e)

15. Efectuar:

a) 1/2b) 1c) 3/2d) 2e) 5/2

FACTORIAL DE UN NMERO

FACTORIALEl factorial de un nmero slo est definido en el conjunto de los nmero naturales y es igual el producto del nmero dado, por todos los nmero naturales menores que l, sin incluir el cero.

NOTACINPara indicar el factorial de un nmero empleamos cualesquiera de los siguiente smbolos ! L.

Se lee: factorial de n

Por definicin:

Ejemplo:

6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 7204! = 1 . 2 . 3 . 4 = 24n! = 1 . 2 . 3 (n 2) (n 1)n

Por definicin: 1! = 1Por convencin:0! = 1

PROPIEDADES:1. Si a! = b! a = b , a, b Z+

Ejemplo: x! = 24 x! = 4! x = 4 (2x 1)! = 6 (2x 1)! = 3! 2x 1 = 3 2x = 4 x = 21. Si a! = 1 a = 1 a = 0

1. n! = n (n 1)! , n Z+ n 1Ejemplo: 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 16! = 6 . 5! (n + 2)! = (n + 2) (n + 1)! (n 3)! = (n 3) (n 4)!

1. n! = n(n 1) (n 2) (n k + 1) (n k)!k multiplicaciones indicadasDonde: n k 0Ejemplo: 7! = 7 . 6 . 5! 7! = 7 . 6 . 5 . 4!7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3!PROBLEMAS PROUESTOS

1. Para cada caso, encontrar el valor equivalente de:0.

0.

0.

0.

0.

0.

1. Simplificar: 1.

1.

1.

1. Halle la suma de valores de n que satisfagan la igualdad

A) 1B) 2C) 3 D) 4E) 5 1. Reducir:

A) 28B) C) 14

D) E) 1. Calcule la suma de valores de n A) 3B) -3C) 8 D) - 8E) 9 1. Halle el valor de n en:

A) 3B) 4C) 5 D) 6E) 7

6. Determinar en:

7. REDUCIR:

8. REDUCIR:

AUTOEVALUACION

1. Simplificar:2. Simplificar:3. Simplificar:4. Calcular n: n! x 4 x 5 x 6 x 7 = 7!5. Hallar a si: 720 = (a 8)!6. Hallar a + b, si 7. REDUCIR 8. REDUCIR 9. RESUCIR 10. HALLAR m:

1. 2. 3. 4. 5. 11. Descompo ner a radicales simples:

AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676