semana 11

Ecuaciones Diferenciales

Catalina DomınguezRicardo Prato

Universidad del Norte

Departamento de matematicas y estadıstica

Semana 13

05-08.10.2015

Pagina 1 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Sistema Masa-Resorte


l

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)


l

Masa


Posicion de equilibrio:


l

Masa

l


Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s


l

Masa

l

s



mg − ks = 0

.


l

Masa

l

s

Masa

F



mg − ks = 0

.En movimiento, se


l

Masa

l

s

Masa

F

l

ss



mg − ks = 0

.En movimiento, se


l

Masa

l

s

Masa

F

x

l

ss



mg − ks = 0

.En movimiento, seproduce undesplazamiento x


l

Masa

l

s

Masa

x

l

ss



mg − ks = 0


ma = −k(x+ s) +mg


l

Masa

l

s

Masa

x

l

ss



mg − ks = 0


ma = −k(x+ s) +mg

ma = −kx−ks+mg


l

Masa

l

s

Masa

x

l

ss



mg − ks = 0


ma = −k(x+ s) +mg

ma = −kx−ks+mg

md2x

dt2= −kx


l

Masa

l

s

Masa

x

l

ss

Movimiento libre No amortiguado

d2x

dt2+ ω2x = 0, ω =

√

k

m



mg − ks = 0


ma = −k(x+ s) +mg

ma = −kx−ks+mg

md2x

dt2= −kx


l

Masa

l

s

Masa

x

l

ss

Movimiento libre No amortiguado

d2x

dt2+ ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0



mg − ks = 0


ma = −k(x+ s) +mg

ma = −kx−ks+mg

md2x

dt2= −kx

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.


En equilibrio estatico:



Hallar k



Hallar k

Fresorte = W



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m.



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100


W = mg,⇒



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100


W = mg,⇒ m =10N

10m/s2=



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100


W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100


W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:

Mov. libre no amortiguado



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100


W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:


x′′(t) +k

mx(t) = 0



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100


W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:


x′′(t) +k

mx(t) = 0

x′′(t) +100

1x(t) = 0



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100


W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:


x′′(t) +k

mx(t) = 0

x′′(t) +100

1x(t) = 0

x′′(t) + 100x(t) = 0



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100


W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:


x′′(t) +k

mx(t) = 0

x′′(t) +100

1x(t) = 0

x′′(t) + 100x(t) = 0

x(0) =0.5, x′(0) = 10



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100


W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:


x′′(t) +k

mx(t) = 0

x′′(t) +100

1x(t) = 0

x′′(t) + 100x(t) = 0

x(0) =0.5, x′(0) = 10

r2+100 = 0,



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100


W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:


x′′(t) +k

mx(t) = 0

x′′(t) +100

1x(t) = 0

x′′(t) + 100x(t) = 0

x(0) =0.5, x′(0) = 10

r2+100 = 0, r = ±10i



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100


W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:


x′′(t) +k

mx(t) = 0

x′′(t) +100

1x(t) = 0

x′′(t) + 100x(t) = 0

x(0) =0.5, x′(0) = 10

r2+100 = 0, r = ±10i

x(t) = c1 cos(10t) + c2 sin(10t)



Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100


W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:


x′′(t) +k

mx(t) = 0

x′′(t) +100

1x(t) = 0

x′′(t) + 100x(t) = 0

x(0) =0.5, x′(0) = 10

r2+100 = 0, r = ±10i

x(t) = c1 cos(10t) + c2 sin(10t)

x(t) =1

2cos(10t) + 1 · sin(10t)

... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0




x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)




x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0


C =√

c21+ c2

2




x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0


C =√

c21+ c2

2

x(t) =(

c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C

C




x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0


C =√

c21+ c2

2

x(t) =(


C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))




x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0


C =√

c21+ c2

2

x(t) =(


C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

c2

c1

C

α




x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0


C =√

c21+ c2

2

x(t) =(


C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

c2

c1

C

α

cos(α) =




x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0


C =√

c21+ c2

2

x(t) =(


C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

c2

c1

C

α

cos(α) =c1C




x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0


C =√

c21+ c2

2

x(t) =(


C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

c2

c1

C

α

cos(α) =c1C

sin(α) =c2C




x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0


C =√

c21+ c2

2

x(t) =(


C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

= C(

cos(α) cos(ωt) + sin(α) sin(ωt))

c2

c1

C

α

cos(α) =c1C

sin(α) =c2C




x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0


C =√

c21+ c2

2

x(t) =(


C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

= C(


= C cos(ωt− α)

c2

c1

C

α

cos(α) =c1C

sin(α) =c2C




x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0


C =√

c21+ c2

2

x(t) =(


C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

= C(


= C cos(ωt− α) C = Amplitud

c2

c1

C

α

cos(α) =c1C

sin(α) =c2C




x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0


α

C

C =√

c21+ c2

2

x(t) =(


C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

= C(


= C cos(ωt− α) C = Amplitud

c2

c1

C

α

cos(α) =c1C

sin(α) =c2C



Masa

F

x

l + s


Masa

x

l + s


Masa

x

l + s

Movimiento libre amortiguado

Fuerza amortiguamiento:

famort. = βdx

dt


Masa

x

l + s



famort. = βdx

dt

ma = mg − k(x+ s)− βdx

dt


Masa

x

l + s



famort. = βdx

dt


dt

md2x

dt2= −kx− β

dx

dt


Masa

x

l + s



famort. = βdx

dt


dt

md2x

dt2= −kx− β

dx

dtd2x

dt2+

k

mx+

β

m

dx

dt= 0


Masa

x

l + s



famort. = βdx

dt


dt

md2x

dt2= −kx− β

dx

dtd2x

dt2+

k

mx+

β

m

dx

dt= 0

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x = 0

2λ =β

mω2 =

k

m


Masa

x

l + s



famort. = βdx

dt


dt

md2x

dt2= −kx− β

dx

dtd2x

dt2+

k

mx+

β

m

dx

dt= 0

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x = 0

2λ =β

mω2 =

k

mEcuacion caracterıstica:

m2 + 2λm+ ω2 = 0


Masa

x

l + s



famort. = βdx

dt


dt

md2x

dt2= −kx− β

dx

dtd2x

dt2+

k

mx+

β

m

dx

dt= 0

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x = 0

2λ =β

mω2 =

k

mEcuacion caracterıstica:

m2 + 2λm+ ω2 = 0 ⇒ m1,2 = −λ±√

λ2 − ω2


Caso I: λ2 − ω2 > 0 (Sobre-amortiguamiento)

En este caso β > k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1e√λ2−ω2t + C2e

−√λ2−ω2t

)




x(t) = e−λt(


−√λ2−ω2t

)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0−0.5

e−λt




x(t) = e−λt(


−√λ2−ω2t

)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0−0.5


−√λ2−ω2te−λt




x(t) = e−λt(


−√λ2−ω2t

)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0−0.5



x(t)




x(t) = e−λt(


−√λ2−ω2t

)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0−0.5



x(t)

El cuerpo puede pasar por el puntode equilibrio, pero NO logra realizaruna oscilacion completa


Caso II: λ2 − ω2 = 0 (Crıticamente amortiguamiento)

En este caso las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1 + C2t)




x(t) = e−λt(

C1 + C2t)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0

e−λt




x(t) = e−λt(

C1 + C2t)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0

C1 + C2te−λt




x(t) = e−λt(

C1 + C2t)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0

C1 + C2te−λt

x(t)




x(t) = e−λt(

C1 + C2t)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0

C1 + C2te−λt

x(t)

La masa puede pasar por el puntode equilibrio a lo sumo una vez. Nose presentan oscilaciones


Caso III: ∆ := λ2 − ω2 < 0 (Sub-amortiguamiento)

En este caso β < k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1 cos√−∆ t+ C2 sin

√−∆ t

)




x(t) = e−λt(


√−∆ t

)

2

4

−2

−4

1 2 3 4 5 6

e−λt




x(t) = e−λt(


√−∆ t

)

2

4

−2

−4

1 2 3 4 5 6


√−∆ t

e−λt




x(t) = e−λt(


√−∆ t

)

2

4

−2

−4

1 2 3 4 5 6


√−∆ t

e−λt

x(t)


Masa

F

x

l + s


Masa

x

l + s


Masa

x

l + s

F


Masa

x

l + s

F

Movimiento forzado

En este caso


Masa

x

l + s

F

Movimiento forzado

En este caso

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x =

Fm

2λ =β

mω2 =

k

m


Masa

x

l + s

F

Movimiento forzado

En este caso

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x =

Fm

2λ =β

mω2 =

k

m

dondex(t) = xc(t) + xp(t)


Masa

x

l + s

F

Movimiento forzado

En este caso

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x =

Fm

2λ =β

mω2 =

k

m


1 xc(t) se dice solucion transitoria


Masa

x

l + s

F

Movimiento forzado

En este caso

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x =

Fm

2λ =β

mω2 =

k

m


1 xc(t) se dice solucion transitoria(xc(t) → 0 cuando t → ∞)


Masa

x

l + s

F

Movimiento forzado

En este caso

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x =

Fm

2λ =β

mω2 =

k

m


1 xc(t) se dice solucion transitoria(xc(t) → 0 cuando t → ∞)

2 xp(t) se dice solucion de estado estacionario

Movimiento Libre Forzado mx′′(t) + βx′(t) + kx = F (t)

x(t) = xc(t) + xp(t)




1

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8

Solucion transitoria xc




1

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8


Solucion estable xp




1

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8


Solucion estable xp

Solucion estable x(t) = xc(t) + xp(t)


Ejemplo

La solucion de

d2x

dt2+ ω2x = F0 sin γt

x(0) = 0 x′(0) = 0

donde γ 6= ω viene dada por

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)(−γ sinωt+ ω sin γt)


Ejemplo

La solucion de

d2x

dt2+ ω2x = F0 sin γt

x(0) = 0 x′(0) = 0

donde γ 6= ω viene dada por

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)(−γ sinωt+ ω sin γt)

Pregunta

¿ limγ→ω

x(t)?


Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0



x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0

ω2 − γ2sin(γt)




ω2 − γ2sin(γt)

Al resolver el PVI

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)

(

− γ sin(ωt) + ω sin(γt))




ω2 − γ2sin(γt)

Al resolver el PVI

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)

(


Si γ → ω




ω2 − γ2sin(γt)

Al resolver el PVI

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)

(


Si γ → ω

limγ→ω

−γ sin(ωt) + ω sin(γt)

ω(ω2 − γ2)=




ω2 − γ2sin(γt)

Al resolver el PVI

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)

(


Si γ → ω

limγ→ω


ω(ω2 − γ2)= lim

γ→ω

ddγ

(


ddγ

(

ω(ω2 − γ2))




ω2 − γ2sin(γt)

Al resolver el PVI

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)

(


Si γ → ω

limγ→ω



γ→ω

ddγ

(


ddγ

(

ω(ω2 − γ2))

= limγ→ω

− sin(ωt) + ωt cos(γt)

−2ωγ




ω2 − γ2sin(γt)

Al resolver el PVI

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)

(


Si γ → ω

limγ→ω



γ→ω

ddγ

(


ddγ

(

ω(ω2 − γ2))

= limγ→ω

− sin(ωt) + ωt cos(γt)

−2ωγ=

− sin(ωt) + ωt cos(ωt)

−2ω2


Ejemplo

limα→ω

x(t) =F0

2ω2sin(ωt)− F0

2ωt cos(ωt)


Ejemplo

limα→ω

x(t) =F0

2ω2sin(ωt)− F0

2ωt cos(ωt)

2

4

6

8

−2

−4

−6

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2


Ejemplo: Resonancia

limα→ω

x(t) =F0

2ω2sin(ωt)− F0

2ωt cos(ωt)

2

4

6

8

−2

−4

−6

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2


Resonancia

Si no ve el video consulte:

http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw

http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw

Ejemplo

1 Una masa de 3Kg esta fija al extremo de un resorte quese estira20 cm por una fuerza de 15N . Se pone en movimiento con la posicioninicial de x0 = 0 y la velocidad inicial de v0 = −10m/s. Encuentre laamplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento resultante.

2 Una masa que pesa 100K esta sujeta al extremos de un resorte que seha estirado 1m mediante una fuerza de 100K. Otra fuerza F0 cos(ωt)actua sobre la masa. ¿A que frecuencia (en hertzios) ocurriran lasoscilaciones de resonancia? Haga casa omiso del amortiguamiento.

3 A mass of 1 slug, when attached to a spring, stretches it 2 feet andthen comes to rest in the equilibrium position. Starting at t = 0, anexternal force equal to f(t) = 8 sin 4t is applied to the system. Findthe equation of motion if the surrounding medium offers a dampingforce numerically equal to 8 times the instantaneous velocity.


.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L

Caıda de voltaje en el condensador:q(t)

C

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L


CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L



Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)

dt

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L




dtUsando la segunda ley de Kirchhoff

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L





Ldi(t)

dt

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L





Ldi(t)

dt+Ri(t)

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L





Ldi(t)

dt+Ri(t) +

1

Cq(t) =

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L





Ldi(t)

dt+Ri(t) +

1

Cq(t) = E(t)

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L





Ldi(t)

dt+Ri(t) +

1

Cq(t) = E(t)

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = E(t)

Si E(t) = 0

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = 0

las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.


Si E(t) = 0

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = 0

las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.La ecuacion caracterıstica para esta dada por

Lm2 +Rm+1

C= 0


Si E(t) = 0

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = 0


Lm2 +Rm+1

C= 0 ⇒ m1,2 =

−R±√

R2 − 4LC

2L


Si E(t) = 0

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = 0


Lm2 +Rm+1

C= 0 ⇒ m1,2 =

−R±√

R2 − 4LC

2L

Lo anterior define 3 estados del circuito dependiendo del valor deldiscriminante:


Si E(t) = 0

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = 0


Lm2 +Rm+1

C= 0 ⇒ m1,2 =

−R±√

R2 − 4LC

2L

Lo anterior define 3 estados del circuito dependiendo del valor deldiscriminante:

Estadoamorti-guado

Discriminante

∆ := R2 − 4LC

Solucion

sobre R2 − 4LC

> 0, q(t) = e−R

2Lt(C1e

√∆t + C2e

√∆t)

crıtico R2 − 4LC

= 0 q(t) = e−R

2Lt(C1 + C2t)

sub R2 − 4LC< O q(t) = e

−R

2Lt(C1 cos

√−∆t+ C2 sin

√−∆t)


Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y lasvibraciones electricas no tienden a cero cuando t crece sin lımite, larespuesta del circuito es armonica simple.



En cada uno de estos tres casos la solucion general de q(t) contiene el

factor e−R

2Lt, y ası

q(t) → 0 cuando t → ∞




factor e−R

2Lt, y ası


En el caso subamortiguado cuando q(0) = q0, la carga en elcondensador oscila a medida que decae, en otras palabras, elcondensador se carga y descarga cuando t → ∞.




factor e−R

2Lt, y ası



Cuando el voltaje aplicado en el circuito E(t) 6= 0 , las vibracioneselectricas se dicen que estan forzadas. En el caso en que R 6= 0, lasolucion de la homogenea asociada qc(t), se denomina una soluciontransciente o remanente (transient solution).




factor e−R

2Lt, y ası



Cuando el voltaje aplicado en el circuito E(t) 6= 0 , las vibracioneselectricas se dicen que estan forzadas. En el caso en que R 6= 0, lasolucion de la homogenea asociada qc(t), se denomina una soluciontransciente o remanente (transient solution).

Si E(t) es periodica o una constante, entonces la solucion particularqp(t) de se dice solucion de estado estacionario (steady-statesolution).


Ejemplo

1 Find the charge on the capacitor in an RLC series circuit when L = 1

2

h, R = 10Ω , C = 0.01 f, E(t) = 150 V, q(0) = 1 C, and i(0) = 0 A.What is the charge on the capacitor after a long time?


Ejemplo

1 Find the charge on the capacitor in an RLC series circuit when L = 1

2

h, R = 10Ω , C = 0.01 f, E(t) = 150 V, q(0) = 1 C, and i(0) = 0 A.What is the charge on the capacitor after a long time?

2 Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRCen serie cuando L = 1h, R = 2Ω, C = 1/4 y E(t) = 50 cos(t)V .


semana 11

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