semana 02 analisis vectorial unac 2010 a plus

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

Lic., WALTER PEREZ TERREL/ [email protected]/997089931 Página 1

ANÁLISIS VECTORIAL Semana 01

1. VECTOR. Se representa mediante un segmento de recta orientado. En física sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. Se representa por cualquier letra del alfabeto con una pequeña flecha en la parte superior. Todo vector tiene dos elementos fundamentales: el modulo y la dirección. El módulo representa el tamaño o valor de la cantidad vectorial. La dirección representa la orientación del vector respecto del sistema coordenado cartesiano u otro sistema coordenado.

2. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL ESPACIO . El vector unitario es aquel que tiene como módulo o tamaño la unidad de medida. Los vectores cartesianos son:

i : tiene dirección del eje X positivo.

i− : tiene dirección del eje X negativo.

j : tiene dirección del eje Y positivo

j− : tiene dirección del eje Y negativo

k : tiene dirección del eje Z positivo.

k− : tiene dirección del eje Z negativo. El módulo de cada vector unitario es igual a la unidad de medida:

1ˆˆˆ === kji

Los tres vectores unitarios son mutuamente perpendiculares:

kji ˆˆˆ ⊥⊥

En el espacio tridimensional el vector a tiene tres componentes:

ˆˆ ˆ( ; ; )x y z x y za a a a a i a j a k= = + +

EJEMPLO 01 : Se tiene un vector ˆˆ ˆ3 12 4a i j k = + + .

Determine el módulo del vector. Resolución Si graficamos el vector obtenemos un paralelepípedo, entonces el módulo del vector es igual al tamaño de la diagonal.

( )22 23 12 4 9 144 16a = + + = + +

13a =

Respuesta: el módulo del vector es 13. 3. VECTOR UNITARIO DIRECCIONAL . Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector unitario es

paralelo a su respetivo vector de origen.

uaaa

au ˆ.ˆ =⇒=

En general se puede obtener un vector unitario en una dirección determinada, relacionado dos o más

a

X

Y

Z

VECTOR EN EL ESPACIO

X

Y

Z

VECTORES UNITARIOS

j

i

k



vectores.

EJEMPLO 02: Determine el vector unitario del vector: kjiA 1243 ++= Resolución

El vector unitario se define como: 13

1243ˆ

kji

A

Au

++==

El vector unitario es: kjiu13

12

13

4

13

3ˆ ++=

4. COSENOS DIRECTORES. Son las componentes del vector unitario en el sistema coordenado cartesiano.

En el sistema cartesiano tridimensional vector a tiene tres componentes rectangulares:

ˆˆ ˆ( ; ; )x y z x y za a a a a i a j a k= = + +

Designamos con θβα y, los ángulos que el vector a hace

con los ejes cartesianos X, Y y Z, respectivamente. Tenemos tres componentes:

αCosaax .= , βCosaa y .= , θCosaaz .= …(1)

Cálculo del módulo del vector:

2222xyx aaaa ++= …(2)

reemplazando (1) en (2) tenemos: ( ) ( ) ( ) 1222 =++ θβα CosCosCos

Entonces el vector unitario de a es: ( )θβα CosCosCosu ;;ˆ = EJEMPLO 03: Calcular los cosenos directores del vector kjiA 161512 −−=

. RESOLUCIÓN

Cálculo del módulo del vector: ( ) ( ) ( )2 2 212 15 16 144 225 256 25= + − + − = + + =

a

A i j ku i j k

A

12 15 16ˆ 0,48 0,6 0,64

25− −= = = − −

y ( )θβα CosCosCosu ;;ˆ =

Comparando tenemos que: Cos 0,48α = , Cos 0,6β = − , Cos 0,64θ = −

5. PRODUCTO ESCALAR . Dado los vectores A y B

, su producto escalar o interno se representa por A B••••

,

y se define como el producto de sus módulos por el coseno del ánguloθ que forman, esto es:

A B A . B .Cos B . A .Cosθ θ• = =• = =• = =• = =

,

donde πθ ≤≤0

Debemos enfatizar que A B••••

es un número real, (positivo, negativo o nulo), y no un vector.

Dado los vectores: 1 2 3A a .i a .j a .k= + += + += + += + +

y 1 2 3B b .i b .j b .k= + += + += + += + +

X

Y

Z

COMPONENTES DEL VECTOR

ay

ax

az



1 1 2 2 3 3A B a .b a .b a .b• = + +• = + +• = + +• = + +

PROPIEDADES

Se cumple la propiedad conmutativa: A B B A• = •• = •• = •• = •

Propiedad Distributiva:

(((( ))))A B C A B A C• + = • + •• + = • + •• + = • + •• + = • + •

Vectores paralelos: i i j j k k 1• = • = • =• = • = • =• = • = • =• = • = • =

Vectores ortogonales: i j j k i k 0• = • = • =• = • = • =• = • = • =• = • = • =

(((( )))) (((( )))) (((( ))))22 2

1 2 3A A a a a• = + +• = + +• = + +• = + +

y

(((( )))) (((( )))) (((( ))))22 2

1 2 3B B b b b• = + +• = + +• = + +• = + +

Cuadrado del módulo: 2

A A A• =• =• =• =

Si A B 0• =• =• =• =

y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares.

EJEMPLO 04: Los vectores bya

forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que 43 == bya

. Calcular:

ba

• RESOLUCIÓN

De la definición: 0a b a . b .Cos 3 4 Cos120 6

θ• = = ⋅ ⋅ = −• = = ⋅ ⋅ = −• = = ⋅ ⋅ = −• = = ⋅ ⋅ = −

EJEMPLO 05: ¿Para qué valores de “m” los vectores a m.i 3j 2k= − += − += − += − +

y b 1i 2 j m.k= + −= + −= + −= + −

son perpendiculares entre sí? RESOLUCIÓN

De la definición: 1 2 3a a .i a .j a .k

= + += + += + += + + y 1 2 3b b .i b .j b .k

= + += + += + += + +

1 1 2 2 3 3a b a .b a .b a .b

• = + +• = + +• = + +• = + +

De la condición: Si a b 0

• =• =• =• = y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares.

Entonces: (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))m . 1 3 . 2 2 . m 0+ − + − =+ − + − =+ − + − =+ − + − =

Resolviendo: m 6= −= −= −= −

6. PRODUCTO VECTORIAL . Dado los vectores A y B

, su producto

vectorial o externo se representa por otro vector C

, que se denota

como C A B= ×= ×= ×= ×

. Su módulo se define como el producto de sus

módulos por el seno del ánguloθ que forman entre sí, esto es:

A B A . B .Senθ× =× =× =× =

, donde πθ ≤≤0

Debemos enfatizar que C

es perpendicular al plano formado por los

vectores A y B

.

A

B

θ

PRODUCTO VECTORIAL

C

O

PRODUCTO ESCALAR

B

A

θ



Regla de la mano Derecha : los dedos giran desde la dirección del vector A hacia la dirección del vector B y el

dedo pulgar coincide con el vector C. El la figura el ángulo θ gira en el sentido desde A hacia B. PROPIEDADES

I. Si A B 0× =× =× =× =

, entonces los vectores tienen la

misma dirección o son paralelos.

II. Anti conmutativo: A B B A× = − ×× = − ×× = − ×× = − ×

III. Propiedad Distributiva:

(((( ))))A B C A B A C× + = × + ×× + = × + ×× + = × + ×× + = × + ×

IV. Vectores paralelos: i i j j k k 0× = × = × =× = × = × =× = × = × =× = × = × =

V. Vectores ortogonales: i j k× =× =× =× = , j k i× =× =× =× = ,

k i j× =× =× =× =

VI. Dado los vectores:

1 2 3A a .i a .j a .k= + += + += + += + +

y

1 2 3B b .i b .j b .k= + += + += + += + +

entonces se cumple que: 1 2 3

1 2 3

i j k

A B a a a

b b b

× =× =× =× =

El área del paralelogramo formado por los vectores concurrentes A y B

es:

Area del parale log ramo A B= ×= ×= ×= ×

El área de la región triangular formado por los vectores A y B

es: A B

Area del triangulo2

××××====

EJEMPLO 06: Los vectores bya


. Calcular:

ba

×

RESOLUCIÓN

De la definición: 0a b a . b .Sen 6 5 Sen30 15

θ× = = ⋅ ⋅ =× = = ⋅ ⋅ =× = = ⋅ ⋅ =× = = ⋅ ⋅ =

EJEMPLO 07: Dado los vectores kjiA 213 −−=

y kjiB 121 −+=

determinar las componentes

vectoriales de: A B×

RESOLUCIÓN De la definición del producto vectorial entre dos vectores:

1 2 3

1 2 3

i j k

A B a a a

b b b

× =× =× =× =

i j k

3 1 2

1 2 1

= − −= − −= − −= − − −−−−

1 2 3 2 3 1i j k

2 1 1 1 1 2

− − − −− − − −− − − −− − − − = − += − += − += − + − −− −− −− −

A

B θ

ÁREA DEL PARALELOGRAMO



A B i j kˆ ˆ ˆ5 1 7× = + +

EJEMPLO 08: Se conocen los vértices de un triángulo: A (0; 0; 0), B (3; 0; 0) y C (0; 4; 0), calcular el área de la región definida por el triángulo de vértices A, B y C. RESOLUCIÓN

Sean los vectores AB y AC

donde (((( )))) (((( ))))AB 3;0;0 y AC 0;4;0

= == == == =

1 2 3

1 2 3

i j k

AB AC a a a

b b b

× =× =× =× =

i j k

3 0 0

0 4 0

====

0 0 3 0 3 0ˆ ˆ î j k4 0 0 0 0 4

= − += − += − += − +

ÂB AC 12 k

× =× =× =× =

El valor o módulo es: AB AC 12

× =× =× =× =

AB AC 12Area del triangulo 6

2 2

××××= = == = == = == = =

Respuesta: el área de la región triangular es 6 unidades cuadradas. EJEMPLO 09: Se conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las

componentes vectoriales de: AB BC××××

RESOLUCIÓN

Determinamos las componentes de cada vector: (((( )))) (((( ))))AB 1;3; 3 y BC 2;0;2

= − − == − − == − − == − − =

i j k

AB BC 1 3 3

2 0 2

× = − −× = − −× = − −× = − −

3 3 1 3 1 3ˆ ˆ î j k0 2 2 2 2 0

− − − −− − − −− − − −− − − − = − += − += − += − +

ˆ ˆ ÂB BC 6 i 4 j 6 k

× = − −× = − −× = − −× = − −

7. TRIPLE PRODUCTO ESCALAR . Por medio del

productos escalar y vectorial de tres vectores

A , B y C

se forma: (((( ))))A B C• ×• ×• ×• ×

(((( ))))1 2 3

1 2 3

1 2 3

A A A

A B C B B B

C C C

• × =• × =• × =• × =

PROPIEDADES: I. El producto triple escalar es un número real:

(((( ))))A B C número real• × =• × =• × =• × =

A

B

C

VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO



II. (((( )))) (((( )))) (((( ))))A B C B C A C A B• × = • × = • ×• × = • × = • ×• × = • × = • ×• × = • × = • ×

III. El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralelepípedo de aristas A , B y C

.

EJEMPLO 09: Se conocen los vértices A (4; 0; 0), B (0; 5; 0), C (0; 0; 3) y D (0; 0; 0) calcular el volumen del sólido de vértices A, B, C y D.

RESOLUCIÓN

Sean los vectores (((( )))) (((( )))) (((( ))))DA 4;0;0 , DB 0;5;0 , DC 0;0;3

= = == = == = == = =

El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralelepípedo de aristas

DA , DB y DC

.

(((( ))))1 2 3

1 2 3

1 2 3

A A A

DA DB DC B B B

C C C

• × =• × =• × =• × =4 0 0

0 5 0

0 0 3

==== 5 0 0 0 0 5

4 0 0 600 3 0 3 0 0

= − + == − + == − + == − + =

Respuesta: el volumen del solido es 60 unidades cúbicas.

EJEMPLO 10: Se dan los vectores a 1i 1j 3k= − += − += − += − +

, b 2i 2 j 1k= − + += − + += − + += − + +

y c 3i 2 j 5k= − += − += − += − +

. Determinar:

(((( ))))a b c× •× •× •× •

RESOLUCIÓN De la definición del producto vectorial entre dos vectores:

1 2 3

1 2 3

i j k

a b a a a

b b b

× =× =× =× =

i j k

1 1 3

2 2 1

= −= −= −= − −−−−

1 3 1 3 1 1

i j k2 1 2 1 2 2

− −− −− −− − = − += − += − += − + − −− −− −− −

a b i j kˆ ˆ ˆ7 7 0× = − + +

Cálculo de: (((( ))))a b c× •× •× •× •

(((( )))) (((( ))))7; 7; 0 3; 2; 5 7= − • = −= − • = −= − • = −= − • = −

8. TRIPLE PRODUCTO. Por medio de productos vectoriales de tres vectores A , B y C

se pueden formar

productos como: (((( ))))A B C× ×× ×× ×× ×

, (((( ))))A B C× ×× ×× ×× ×

o (((( ))))C B A× ×× ×× ×× ×

, en todos estos casos el resultado es otro

vector. PROPIEDADES:

I. No se puede asociar: (((( )))) (((( ))))A B C A B C× × ≠ × ×× × ≠ × ×× × ≠ × ×× × ≠ × ×

II. (((( )))) (((( )))) (((( ))))A B C A C B A B C× × = • − •× × = • − •× × = • − •× × = • − •

III. (((( )))) (((( )))) (((( ))))A B C A C B B C A× × = • − •× × = • − •× × = • − •× × = • − •



EJEMPLO 11: Sean los vectores (((( )))) (((( )))) (((( ))))A 4; 0; 0 , B 0; 5; 0 , C 0; 1; 3

= = == = == = == = = , determine (((( ))))A B C

× ×× ×× ×× × y

(((( ))))A B C

× ×× ×× ×× × ¿se obtiene el mismo resultado?

RESOLUCIÓN

Primer caso: (((( ))))A B C

× ×× ×× ×× ×

i j k

B C 0 5 0

0 1 3

× =× =× =× =

5 0 0 0 0 5ˆ ˆ î j k1 3 0 3 0 1

= − += − += − += − +

ˆ ˆ ˆ15 i 0 j 0 k= + += + += + += + +

Cálculo de (((( )))) (((( )))) (((( ))))A B C 4;0;0 15;0;0

× × = ×× × = ×× × = ×× × = ×

(((( ))))i j k

ˆ ˆ Â B C 4 0 0 0 i 0 j 0 k 0

15 0 0

× × = = + + =× × = = + + =× × = = + + =× × = = + + =

Segundo caso: (((( ))))A B C

× ×× ×× ×× ×

i j k

A B 4 0 0

0 5 0

× =× =× =× =

0 0 4 0 4 0ˆ ˆ î j k5 0 0 0 0 5

= − += − += − += − +

ˆ ˆ ˆ0 i 0 j 20 k= + += + += + += + +

Cálculo de (((( )))) (((( )))) (((( ))))A B C 0;0;20 0;1;3

× × = ×× × = ×× × = ×× × = ×

(((( ))))i j k

ˆ ˆ ˆ Â B C 0 0 20 20 i 0 j 0 k 20 i

0 1 3

× × = = − + + = −× × = = − + + = −× × = = − + + = −× × = = − + + = −

Es importante hacer notar que: (((( )))) (((( ))))A B C A B C× × ≠ × ×× × ≠ × ×× × ≠ × ×× × ≠ × ×

9. PROYECCIÓN DE UN VECTOR. La proyección del vector A

sobre el vector B

, es otro vector paralelo al

vector B que se denota del siguiente modo:

B

A B BPr oyec A .

B B

••••====

Al módulo de la proyección del vector A sobre el vector se le denomina Componente del vector A sobre el vector B.

B

A BComp A

B

••••====

O

B

Proyección de A sobre B

A

θ



(((( ))))B B

BProyec A Comp A.

B====

(((( )))) BB BˆPr oyec A Comp A. u====

EJEMPLO 11: Determina las componentes rectangulares del vector m

, sabiendo que es perpendicular a los

vectores 1F 2i 3j 1k= − += − += − += − +

y 2F 1 i 2 j 3k= − += − += − += − +

además satisface a la condición: (((( ))))m 1 i 2 j 7k 10• + − =• + − =• + − =• + − =

RESOLUCIÓN

Sea (((( ))))1 2m q F F

= ×= ×= ×= × pero 1 2F F

× =× =× =× = (((( ))))i j k

ˆ ˆ ˆ2 3 1 7 i 5 j 1 k 7; 5; 1

1 2 3

− = − − − = − − −− = − − − = − − −− = − − − = − − −− = − − − = − − − −−−−

la condición: (((( ))))m 1 i 2 j 7k 10• + − =• + − =• + − =• + − =

la condición: (((( )))) (((( ))))q 7; 5; 1 1 ; 2; 7 10− − − • − =− − − • − =− − − • − =− − − • − =

Resolviendo la ecuación tenemos que: q 1= −= −= −= −

Respuesta: (((( )))) (((( ))))1 2ˆ ˆ ˆm 1 F F 7 i 5 j 1 k

= − × = + += − × = + += − × = + += − × = + +

xˆProyec m 7 i

==== , y

ˆProyec m 5 j

==== , z

ˆProyec m 1 k

====

PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES

1. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación: (((( )))) (((( ))))a b c d

− • +− • +− • +− • + ¿Qué

ángulo forman (((( ))))a b

−−−− y (((( ))))c d

++++ ?

RESOLUCIÓN

Los vectores son: ˆ ˆa 3 i 2 j

= += += += + , ˆ ˆb 1 i 2 j

= − += − += − += − + , ˆ ˆc 2 i 2 j

= − −= − −= − −= − − , ˆ ˆd 2 i 2 j

= −= −= −= −

Cálculo de: (((( )))) ˆa b 4 i 0 j

− = +− = +− = +− = + y (((( )))) ˆc d 0 i 4 j

+ = −+ = −+ = −+ = −

Piden: (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))a b c d 4; 0 0; 4 0

− • + = • − =− • + = • − =− • + = • − =− • + = • − =

Respuesta: (((( ))))a b

−−−− y (((( ))))c d

++++ forman un ángulo recto.

2. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación: (((( )))) (((( ))))a b a c

− • +− • +− • +− • + ¿Qué

ángulo forman (((( ))))a b

−−−− y (((( ))))a c

++++ ?

1

a

b

c

ab

c d

1



RESOLUCIÓN

Los vectores son: ˆ â 3 i 2 j = − += − += − += − + , ˆ ˆb 4 i 2 j

= += += += + , ˆ ˆc 3 i 1 j = −= −= −= −

Cálculo de: (((( )))) ˆ â b 7 i 0 j

− = − +− = − +− = − +− = − + y (((( )))) ˆ â c 0 i 1 j

+ = ++ = ++ = ++ = +

Piden: (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))a b a c 7; 0 0; 1 0

− • + = − • =− • + = − • =− • + = − • =− • + = − • =

Respuesta: (((( ))))a b

−−−− y (((( ))))a c ++++ forman un ángulo recto.

3. Se muestra un conjunto de vectores. Sabiendo que A m.B n.C

= += += += + , donde m y n son números reales.

Determine (((( ))))m n++++

C

AB

RESOLUCIÓN

Los vectores son: ˆ Â 2 i 1 j

= += += += + , ˆ ˆB 0 i 1 j

= += += += + , ˆ ˆC 1 i 1 j

= − += − += − += − +

Reemplazamos en la relación: A m.B n.C

= += += += + , entonces (((( )))) (((( )))) (((( ))))2; 1 m. 0; 1 n. 1; 1= + −= + −= + −= + −

(((( )))) (((( ))))2; 1 n; m n= − += − += − += − + comparando las coordenadas cartesianas tenemos que: n 2= −= −= −= − y 1 m n= += += += +

resolviendo m 3==== Respuesta: (((( ))))m n 1+ =+ =+ =+ =

4. Verificar que los cuatro puntos (((( ))))A 3; 1; 2−−−− , (((( ))))B 1; 2; 1−−−− , (((( ))))C 1; 1; 3− −− −− −− − y (((( ))))D 3; 5; 3−−−− son los vértices

de un trapecio. RESOLUCIÓN

Para formar vectores a partir de dos puntos en el espacio: (((( ))))2 1 1 2 1 2AB x x ;y y ;z z

= − − −= − − −= − − −= − − −

entonces: (((( ))))AB 2; 3; 3

= − −= − −= − −= − − , (((( ))))BC 2; 1; 2

= − − −= − − −= − − −= − − − , (((( ))))CD 4; 6; 6

= −= −= −= − , (((( ))))DA 0; 4; 1

= −= −= −= −

Comparando las coordenadas de los vectores (((( ))))AB 2; 3; 3

= − −= − −= − −= − − y (((( ))))CD 4; 6; 6

= −= −= −= −

1K

2= −= −= −= − entonces AB K.CD

====

Entonces AB

y CD

son paralelos, por consiguiente ABCD es un trapecio.

5. ¿Para qué valores de α y β los vectores ˆ ˆ â 2 i 3 j k β= − + += − + += − + += − + + y ˆ ˆ ˆb i 6 j 2 k

α= − += − += − += − + son colineales?

RESOLUCIÓN

Si a

y b

sus componentes en los ejes cartesianos serán proporcionales: 1 1 1

2 2 2

x y zK

x y z= = == = == = == = =

Reemplazando tenemos que: 2 3

K6 2

βα−−−− = = == = == = == = =

−−−−

Resolviendo se tiene que: 4α ==== y 1β = −= −= −= −



PROBLEMAS PROPUESTOS DE VECTORES 1. Calcular el módulo del vector: kjiA 236 −+=

2. Calcular el módulo del vector: kjiW 1234 +−=

3. Dado los puntos ( )2;1;3 −=A y ( )1;2;1−=B determinar los vectores: AB

y BA

respectivamente.

4. Dado los puntos ( )1;2;3−=P y ( )1;2;1 −−=Q determinar los vectores: PQ

y QP

respectivamente.

5. Determinar el punto N, con que coincide el extremo del vector kjiA 234 ++−=

sabiendo que el origen

coincide con el punto M de coordenadas ( )3;2;1 − .

6. Determinar el punto P, con que coincide el extremo del vector kjiC 534 +−=

sabiendo que el origen

coincide con el punto Q de coordenadas ( )3;1;2 − .

7. Se dan los vectores kjiA 624 +−=

y jiB 42 +−=

. Determinar la proyección del vector 2

BA

+ sobre

los ejes coordenados cartesianos.

8. Dado el módulo de vector 2=A

y los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos x, y, z

respectivamente 45=α , 60=β y 120=θ . Determinar la proyección del vector A

sobre los ejes coordenados.

9. Dado el módulo de vector 10=A

y los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos x, y, z

respectivamente 90=α , 150=β y 60=θ . Determinar la proyección del vector A

sobre los ejes coordenados.

10. Calcular los cosenos directores del vector kjiA 161512 −−=

.

11. Calcular los cosenos directores del vector P 3i 4 j 12k= − −= − −= − −= − −

.

12. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes 45=α , 135=β y 60=θ ?



15. Un vector forma con los ejes OX, y OZ los ángulos 120=α y 45=θ respectivamente, ¿qué ángulo forma el vector con el eje OY?

16. Un vector forma con los ejes OX, y OY los ángulos 45=α y 135=β respectivamente, ¿qué ángulo forma el vector con el eje OZ?

17. Un vector forma con los ejes OY, y OZ los ángulos 150=β y 60=θ respectivamente, ¿qué ángulo forma el vector con el eje OX?

18. Determinar las coordenadas del punto M, si su radio vector forma con los ejes coordenados ángulos iguales y su módulo es igual a 3 unidades. ¿Qué ángulo forma el radio vector con los ejes coordenados cartesianos?

19. Calcular el vector unitario del vector kjiT 1234 ++−=

20. Calcular el vector unitario del vector kjia 326 −−=

21. Calcular el vector unitario del vector G 4i 3j= − += − += − += − +

22. Determinar el vector unitario perpendicular al vector E 6i 8j= += += += +

23. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 25 unidades cuadradas. Si conocemos el vértice A (10; 20) y el lado AB es paralelo al vector ji 43 + . Determinar la posición de los vértices B, C y D.

24. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 100 unidades cuadradas. Si conocemos el vértice A (20; 10) y el lado AB es paralelo al vector ji 34 + . Determinar la posición de los vértices B, C y D.

25. Si los módulos de los vectores P

y Q

son 18 y 14 unidades y sus cosenos directores con los ejes X, Y y Z

son 3

2;

3

1;

3

2 − y

7

2;

7

3;

7

6 respectivamente. Determinar el resultado de:

P Q

2

++++



26. Dado 13=A

, 19=B

y 24=+ BA

Calcular: BA

−

27. Sabiendo que los vectores ByA

forman entre si un ángulo de 120° y además 3=A

, 5=B

Determinar:

BA

−

28. ¿Para qué valores de “p” y “q” los vectores kpjiA ++−= 32

y kjiqB 26 +−=

son colineales?

29. ¿Para qué valores de “r” y “s” los vectores kjirA 312 ++=

y ksjiB 28 ++=

son paralelos?

30. Los siguientes vectores W 15i 12 j 9 k= − += − += − += − +

y P 5i 4 j 3k= + += + += + += + +

¿son colineales?

31. Los siguientes vectores E 15i 12 j 9 k= − += − += − += − +

y T 5i 4 j 3k= − += − += − += − +

¿son paralelos?

32. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (4; 9), B (9; 9), C (9; 6) y D (2; 6). ¿Es un trapecio? 33. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (3;-1; 2), B (1; 2,-1), C (-1; 1:-3) y D (3;-5; 3). ¿Es un

trapecio?

34. Dado los puntos A (-15; -10), B (5; -7,8), C (2; 2:-7) y D (5;-4; 2). ¿ AB y CD son colineales?

35. El vector T

de módulo 75 tiene dirección opuesta al vector kjia 121516 +−= . Determinar las

proyecciones del vector T

en el sistema coordenado cartesiano.

36. Dado los vectores en el plano p 2i 3j= −= −= −= −

y q 1i 2 j= += += += +

. Expresar el vector A 9i 4 j= += += += +

en función de los

vectores p y q

.

37. Dado los vectores en el plano p 3i 2 j= −= −= −= −

y q 2i 1j= − += − += − += − +

. Expresar el vector A 7i 4 j= −= −= −= −

en función de

los vectores p y q

.


y q 7i 4 j= −= −= −= −

. Expresar el vector A 2i 1j= − += − += − += − +

en función de

los vectores p y q

.


y q 2i 1j= − += − += − += − +

. Expresar el vector A 3i 2 j= −= −= −= −

en función de

los vectores p y q

.

40. Se dan los vectores a 3i 1j= −= −= −= −

, b 1i 2j= −= −= −= −

y jic 71 +−= . Determinar la descomposición del vector

p a b c= + += + += + += + +

en base de los vectores bya

.

41. Se dan los vectores a 6i 2 j= −= −= −= −

, b 1i 5j= −= −= −= −

y jic 71 +−= . Determinar la descomposición del vector

a b cp

2

− +− +− +− +====

en base de los vectores bya

.

42. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la

descomposición del vector AD

tomado como base los vectores AB y AC

. 43. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la

descomposición del vector BD


.


descomposición del vector CD

tomado como base los vectores ACyAB .


descomposición del vector AD BC CD+ ++ ++ ++ +


.

46. Se dan los vectores p 3i 2j= −= −= −= −

, q 1i 1j= − += − += − += − +

y r 2i 1j= += += += +

. Determinar la descomposición del vector

c 11 i 6 j= −= −= −= −

en base de los vectores p;q y r

.

47. Se dan los vectores p 3i 2 j 1k= − += − += − += − +

, q 1i 1j 2k= − + −= − + −= − + −= − + −

y r 2i 1j 3k= + −= + −= + −= + −

. Determinar la

descomposición del vector c 11i 6 j 5k= − += − += − += − +

en base de los vectores p;q y r

.

48. Los vectores bya


. Calcular: ba

•



. Calcular: ( )2a





. Calcular: ( )2ba

+



. Calcular: ( )2ba

−



. Calcular:

(((( )))) (((( ))))3a 2b a 2b− • +− • +− • +− • +



. Calcular:

( )223 ba

+

54. Conociendo los vectores ja 1= , jib 21 += y ic 3= . Determinar: cba

cbcabaE

++•+•+•=

55. Conociendo los vectores jia 13 += , jib 21 += y jic 24 +−= . Determinar:

cba

cbcabaK

++•+•+•=


son perpendiculares entre si, además el vector c forma con cada uno de ellos un

ángulo de 60°. Sabiendo que: 3=a , 5=b

y 8=c calcular: (((( )))) (((( ))))3a 2b b 3c− • +− • +− • +− • +


son perpendiculares entre si, además el vector c forma con cada uno de ellos un

ángulo de 60°. Sabiendo que: 3=a , 5=b

y 8=c calcular: ( )2cba

++

58. Cada par de vectores cyba

, forman entre si un ángulo de 60°. Sabiendo que 4=a , 2=b

y

6=c Determina el módulo de ( )cba

++ .

59. Para que valores de “m” los vectores a m.i 3j 2k= − += − += − += − +

y b 1i 2 j m.k= + −= + −= + −= + −

son perpendiculares entre sí.

60. Para que valores de “p” los vectores a 12.i p.j 2k= − += − += − += − +

y b 1i 2 j p.k= + −= + −= + −= + −

son perpendiculares entre sí.

61. Sabiendo que 3=a y 5=b

determinar para que valor de “q” los vectores ( )bqa

.+ y ( )bqa

.− son

perpendiculares entre sí.

62. Sabiendo que 4=a y 2=b

determinar para que valor de “q” los vectores ( )bqa

.+ y ( )bqa

.− son

perpendiculares entre sí.

63. ¿Qué condición deben satisfacer los vectores bya

para que ( )ba

+ y ( )ba

− sean perpendiculares

entre sí?

64. Demostrar que el vector ( ) ( )baccabp

•−•= es perpendicular con el vector a .

65. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2; 2), B (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) y D (-5; -5; 3). Demostrar que las diagonales AC y BD son perpendiculares entre sí.


forman 30° entre sí. Sabiendo que: 3=a y 1=b

Determine la medida del

ángulo que forman entre si los vectores ( )ba

+ y ( )ba

−



Determine la medida del ángulo

que forman entre si los vectores ( )ba

+ y ( )ba

−



Determina la medida del ángulo

que forman entre si los vectores ( )ba

+ y ( )ba

− 69. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos

agudos de un triángulo rectángulo isósceles. 70. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos

agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente proporcionales a los números 3, 4 y 5.



71. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente proporcionales a los números 5, 12 y 13.

72. Calcular la componente del vector kjiA 525 ++=

sobre el eje del vector kjiB 212 +−=

73. Calcularla proyección del vector jiA 510 +=

sobre el eje del vector jiB 43 +=

74. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del

ángulo interno del vértice C. 75. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del

ángulo interno del vértice B. 76. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del

ángulo interno del vértice A.

77. El vector de módulo 50=a es colineal con el vector kjib 5,786 −−=

y forma un ángulo agudo con el

eje OZ. Determine las componentes cartesianas del vector a .

78. Determine las componentes cartesianas del vector a sabiendo que es colineal con el vector

kjib 112 −+=

y satisface la condición 3=• ba

.

79. Determinar el vector m , si se sabe que es perpendicular con los vectores: kjiA 132 −+=

y

kjiB 321 +−=

además satisface a la condición: ( ) 6111 −=+−• kjim


y kjiB 321 −+=

. Determinar el vector X

que es perpendicular

al eje OZ y satisface a las condiciones: 9=• AX

y 4−=• BX


, kjiB 231 +−=

y kjiC 323 −+= . Determinar el vector

X

que satisface a las condiciones: 5−=• AX

, 11−=• BX

y 20=• CX

82. Determinar las componentes del vector S 4i 3j 2k= − += − += − += − +

sobre el eje L

que forma con los ejes cartesianos ángulos agudos iguales.

83. Dado los vectores A, B; C y D

se cumple que: kjiA 434 ++=

y kjiB 122 −+=

además se sabe

que C

es paralelo a B

y el vector D

es ortogonal con B

. Si A C D= += += += +

determinar las expresiones

vectoriales de C y D

.



. Calcular: ba

×

85. Sabiendo que 210 == bya

, además 12=•ba

. Calcular: ba

×


, además 72=×ba

. Calcular: ba

•


, además 0=•ba

. Calcular: ( ) ( )baba

−×+


, además 0=•ba

. Calcular: ( ) ( )baba

23 −×−



. Calcular: ( )2ba

×



. Calcular:

( ) ( ) 222 baba

+×+



. Calcular:

( ) ( ) 2233 baba

−×+

92. Dado los vectores kjiA 213 −−=

y kjiB 121 −+=

determinar las componentes vectoriales de:

ba

×




y kjiB 121 −+=


( ) bba ×+


y kjiB 121 −+=


( ) ( )baba

+×− 22


y kjiB 121 −+=


( ) ( )baba

2332 +×− 96. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las

componentes vectoriales de: AB BC××××

97. Se conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las componentes

vectoriales de: (((( ))))BC 2.CA CB− ×− ×− ×− ×

98. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; 2), B (7; 6) y C (9; 2), calcular la longitud de la altura bajada desde el vértice B al lado AC.

99. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; -1; 2), B (5; -6; 2) y C (1; 3; -1), calcular la longitud de la altura bajada desde el vértice B al lado AC.

100. La fuerza F 3i 2 j 4k= + −= + −= + −= + −

está aplicada al punto A (2; -1; -2). Determinar el torque τ de esta fuerza

respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que r Fτ = ×= ×= ×= ×

donde r OA====

es el vector posición.

101. La fuerza F 2i 4 j 5k= − += − += − += − +

está aplicada al punto A (4; -2; 3). Determinar el torque τ de esta fuerza

respecto del punto B (3; 2; -1). Sabiendo que r Fτ = ×= ×= ×= ×

donde r BA====


102. La fuerza F 3i 2 j 2k= + −= + −= + −= + −

está aplicada al punto A (2; -1; 1). Determinar el torque τ

de esta fuerza

respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que r Fτ = ×= ×= ×= ×

donde r OA====



y kjiB 223 −+=

, determinar los cosenos directores de A B××××

104. Se dan las fuerzas 1F 2i 1j 3k= + −= + −= + −= + −

, 2F 3i 2 j 1k= + −= + −= + −= + −

y 3F 4i 1j 3k= − + += − + += − + += − + +

, determinar los cosenos

directores de (((( ))))21 3F F F+ ++ ++ ++ +


, 2F 3i 2 j 1k= + −= + −= + −= + −

y 3F 4i 1j 3k= − + += − + += − + += − + +


directores de (((( ))))21 3F F F+ ×+ ×+ ×+ ×


, 2F 3i 2 j 1k= + −= + −= + −= + −

y 3F 4i 1j 3k= − + += − + += − + += − + +


directores de (((( )))) (((( ))))21 3 2F F F F+ × −+ × −+ × −+ × −

107. Las fuerzas 1F 2i 1j 3k= + −= + −= + −= + −

, 2F 3i 2 j 1k= + −= + −= + −= + −

y 3F 4i 1j 3k= − + += − + += − + += − + +

están aplicadas en el punto A

(2;-1;-2). Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del origen de coordenadas.

108. Las fuerzas 1F 2i 1j 3k= + −= + −= + −= + −

, 2F 3i 2 j 1k= + −= + −= + −= + −

y 3F 4i 1j 3k= − + += − + += − + += − + +

están aplicadas en el punto A (-

1; 4; -2). Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del punto B (2; 3; -1). 109. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; 2; 0), B (3; 0; -3) y C (5; 2; 6). Calcular el área de la región

triangular.

110. El vector 3F

de módulo 26 es perpendicular a los vectores 1F 4i 2 j 3k= − −= − −= − −= − −

y 2F 1j 3k= += += += +

, además

forma con el eje OY un ángulo obtuso. Determinar las componentes rectangulares de 3F

.

111. El vector 3F de módulo 39 es perpendicular a los vectores 1F 4i 2 j 3k= − −= − −= − −= − −

y 2F 1j 3k= += += += +

, además

forma con el eje OY un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de F3

.

112. El vector m

de módulo 51 es perpendicular al eje OZ y al vector Q 8i 15j 3k= − += − += − += − +

y, además forma con

el eje OX un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de m

.



113. Determina las componentes rectangulares del vector m

, sabiendo que es perpendicular a los vectores

1F 2i 3j 1k= − += − += − += − +

y 2F 1 i 2 j 3k= − += − += − += − +

además satisface a la condición: (((( ))))m 1 i 2 j 7k 10• + − =• + − =• + − =• + − =

114. Se dan los vectores a 2i 3j 1k= − += − += − += − +

, b 3i 1j 2k= − + += − + += − + += − + +

y c 1 i 2 j 3k= + += + += + += + +

, calcular: (((( ))))a b c× ×× ×× ×× ×


, b 3i 1j 2k= − + += − + += − + += − + +

y c 1 i 2 j 3k= + += + += + += + +

, calcular: (((( ))))a b c× ×× ×× ×× ×


, b 3i 1j 2k= − + += − + += − + += − + +

y c 1 i 2 j 3k= + += + += + += + +

, calcular: (((( ))))b a c× ×× ×× ×× ×

117. Se dan los vectores a 2i 2j 1k= + += + += + += + +

, b 1i 1k= += += += +

y c 1 i 1 j 4k= + −= + −= + −= + −

. Determinar el vector unitario u

contenido en el plano formado por los vectores a y b

además que sea perpendicular al vector c

.

118. Se dan los vectores a 2i====

, b 4k====

y c 3 j====

. Determinar: (((( ))))a b c× •× •× •× •

119. Se dan los vectores a 3i====

, b 4 j= −= −= −= −

y c 2k====

. Determinar: (((( ))))c b a× •× •× •× •

120. Se dan los vectores a 5i= −= −= −= −

, b 3j====

y c 4k= −= −= −= −

. Determinar: (((( ))))a c b× •× •× •× •


forman entre si un ángulo de 30° además 6=a y 3=b Sabiendo que el vector c

de módulo 3 es perpendicular a bya

, calcular: (((( ))))a b c× •× •× •× •


, b 2i 2 j 1k= − + += − + += − + += − + +

y c 3i 2 j 5k= − += − += − += − +

. Determinar: (((( ))))a b c× •× •× •× •


, b 2i 2 j 1k= − + += − + += − + += − + +

y c 3i 2 j 5k= − += − += − += − +

. Determinar: (((( ))))c b a× •× •× •× •

124. Se dan los vectores a 2i 3 j 1k= + −= + −= + −= + −

, b 1i 1 j 3k= − += − += − += − +

y c 1i 9 j 11k= + −= + −= + −= + −

. ¿Son coplanares los

vectores cyba

, ?

125. Se dan los vectores a 3i 2 j 1k= − += − += − += − +

, b 2i 1 j 2k= + += + += + += + +

y c 3i 1 j 2k= − −= − −= − −= − −


vectores cyba

, ?

126. Se dan los vectores a 2i 1 j 2k= − += − += − += − +

, b 1i 2 j 3k= + −= + −= + −= + −

y c 3i 4 j 7k= − += − += − += − +


vectores cyba

, ? 127. Se conocen los cuatro puntos: A (1; -2; 2), B (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) y D (-5; -5; 3). ¿Son coplanares estos

cuatro puntos? 128. Se conocen los cuatro puntos: A (1; 2; -1), B (0; 1; 5), C (-1; 2; 1) y D (2; 1; 3). ¿Son coplanares estos

cuatro puntos? 129. Determinar el volumen de un tetraedro cuyos vértices están en los puntos A (2; -1; 1), B (5; 5; 4), C (3; 2; -

1) y D (4; 1; 3). 130. Se tiene un tetraedro cuyos vértices son A (2; 3; 1), B (4; 1; -2), C (6; 3; 7) y D (-5; -4; 8). Calcular la

longitud de la altura bajad desde el vértice D al plano ABC. 131. El volumen de un tetraedro es 5 unidades cubicas, tres de sus vértices están en los puntos:

A (2; 1; -1), B (3; 0; 1), C (2; -1; 3). Determinar las coordenadas cartesianas del cuarto vértice, D, si se sabe que está contenida en el eje OY.

132. Determinar el volumen en unidades cubicas del paralelepípedo construido sobre los vectores concurrentes

a 8i====

, b 2i 8 j= += += += +

y c 1i 1 j 8k= + += + += + += + +

133. Determinar el volumen en unidades cubicas del paralelepípedo construido sobre los vectores concurrentes

a 4i====

, b 4 j====

y c m. j 4k= += += += +

, donde “m” es un número real.

134. Se tiene un plano P cuya ecuación es: 2 x + 2y - 3 z – 20 = 0. Determine el vector unitario perpendicular al plano.

135. Se tiene un plano P cuya ecuación es: 3x + 4y +12z – 20 = 0. Determine el vector unitario perpendicular al plano.

136. Descomponer el vector a 10i 10 j 4k= + += + += + += + +

en dos componentes rectangulares en las direcciones perpendicular y paralela al plano P cuya ecuación es: 6x +3y +2z – 11= 0.



137. Una fuerza F 20i 10 j 30k= + −= + −= + −= + −

(en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la posición A (2; 3; -4) hasta B (6; 4; -1). Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque cuando se desplaza desde A hasta B. El trabajo se calcula multiplicado escalarmente la fuerza por el

desplazamiento: FA B ABW F d→→→→ = •= •= •= •

Las coordenadas estas expresadas en metros y el trabajo se mide en joules (J).

138. Una fuerza F 50i 20 j 30k= − += − += − += − +

(en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la

posición A (2; 0; -4) hasta B (6; 4; 0). Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque cuando se desplaza desde A hasta B. Las coordenadas estas expresadas en metros y el trabajo se mide en joules (J).

139. Se muestra un cuadriculado de lados igual a la unidad. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación:

a) (((( )))) (((( ))))F a b c d

= − • += − • += − • += − • +

b) (((( )))) (((( ))))I a b c d

= + • −= + • −= + • −= + • −

c) a b a c b c

Sa b c

• + • + •=+ +

d) Y a b c d

= × + ×= × + ×= × + ×= × + ×

e) a b a c a d

Cb c b d c d

• + • + •• + • + •• + • + •• + • + •====

• + • + •• + • + •• + • + •• + • + •

f) (((( )))) (((( ))))A a b c d

= + × += + × += + × += + × +

g) Sabiendo que a m.b n.c

= += += += + , donde m y n son números reales. Determine (((( ))))m n++++

h) Sabiendo que d r.b s.c

= += += += + , donde r y s son números reales. Determine (((( ))))r s++++

i) Sabiendo que c p.b q.d = += += += + , donde p y q son números reales. Determine (((( ))))p q++++

140. Se muestra un cuadriculado de lados

igual a la unidad. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación:

a) (((( )))) (((( ))))a b c dΘ = − • −Θ = − • −Θ = − • −Θ = − • −

b) (((( )))) (((( ))))a b c dΦ = − • +Φ = − • +Φ = − • +Φ = − • +

c) a b a c b c

a b c

• + • + •Ζ =+ +

d) (((( )))) (((( ))))a b c c d aΩ

= × • + × •= × • + × •= × • + × •= × • + × •

e) a b a c a d

b c b d c d∆

• − • − •• − • − •• − • − •• − • − •====

• − • − •• − • − •• − • − •• − • − •

f) (((( )))) (((( ))))a b c d= − × −= − × −= − × −= − × − α

g) Sabiendo que a m.b n.c

= += += += + , donde m y n son números reales. Determine (((( ))))m n++++

h) Sabiendo que d r.b s.c

= += += += + , donde r y s son números reales. Determine (((( ))))r s++++

i) Sabiendo que c p.b q.d = += += += + , donde p y q son números reales. Determine (((( ))))p q++++

1

a

b

d

Para el problema 139

c

a b

d

Para el problema 140 c



141. Se muestra un cubo de arista igual a la unidad de medida. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación:

a) (((( )))) (((( ))))a b c b= − • += − • += − • += − • + α

b) (((( )))) (((( ))))a b c b= + • −= + • −= + • −= + • − β

c) a b c

a b a c b c

+ +δ =

• + • + •

d) Y a b c a= × + ×= × + ×= × + ×= × + ×

e) a b a c b c

a a b b c c

• + • + •• + • + •• + • + •• + • + •====

• − • − •• − • − •• − • − •• − • − •

φ

f) (((( )))) (((( ))))

(((( ))))a b c a

a b c

+ × −+ × −+ × −+ × −====

+ •+ •+ •+ •

µ

g) El resultado de (((( ))))a b c× ×× ×× ×× ×

compara con (((( ))))a b c× ×× ×× ×× ×

¿son iguales?

142. Se muestra un cubo de arista igual a la unidad de medida.

a) Calcular: a b c+ ++ ++ ++ +

b) Calcular: a 2b 3c+ −+ −+ −+ −

c) Determine el vector unitario de: (((( ))))a b c− +− +− +− +

d) Determine el vector unitario de: (((( ))))a b c+ −+ −+ −+ −

e) Reducir: (((( )))) (((( ))))

(((( ))))a b c b

a b c

− • −− • −− • −− • −Θ =Θ =Θ =Θ =

+ •+ •+ •+ •

f) Reducir: (((( )))) (((( ))))

(((( ))))a b c b

a b c

− • +− • +− • +− • +Φ =Φ =Φ =Φ =

• −• −• −• −

g) Reducir: a b c

a b a c b c

− +Ζ =

• + • − •

h)(((( )))) (((( ))))a b c c b a

a a b b c c

× • + × •× • + × •× • + × •× • + × •====

• + • + •• + • + •• + • + •• + • + •

Ω

i) (((( )))) (((( ))))a b c a c b

b b a a c c

× • − × •× • − × •× • − × •× • − × •====

• − • − •• − • − •• − • − •• − • − •

∆

j) (((( )))) (((( ))))

(((( ))))a b b c

a b c

− × −− × −− × −− × −====

• +• +• +• +

α

a

Z


b

c

Y

X

X

Y

Z


c

b a



k) El resultado de (((( ))))a b c× ×× ×× ×× ×

compara con (((( ))))a b c× ×× ×× ×× ×

¿son iguales?

143. Se muestra un sistema de vectores.

a) Expresar el vector AC

en función de los vectores

AB y AD

.

b) Expresar el vector

AD en función de los vectores

AB y AC .

c) Expresar el vector

AB en función de los vectores

AD y AC .

Taller Número 1 Pregunta Nº 1 Responde las siguientes preguntas, justificando su respuesta. a) Se tienen dos vectores A y B. ¿Es posible que el módulo de la suma de dichos vectores sea

menor que el módulo de cualquiera de ellos? ¿Cómo? b) El módulo de la suma de dos vectores siempre es menor o igual a la suma de los módulos de

dichos vectores. ¿Es esto correcto? c) La casa de las pastas vende una pizza de 8 pulgadas de diámetro a 20 soles. Si escoges un

sector de ella que vale 5 soles, ¿cuánto mide la superficie del pedazo de pizza que escogiste (en cm2)? (Dato: 1pulgada = 2,54 cm)

d) Un leopardo en carrera puede alcanzar una velocidad de 100 km/h. En contraste, un caracol puede alcanzar una velocidad de 1,8 mm/s. ¿Cuántas veces más rápido es el leopardo con respecto al caracol?

Pregunta N° 2 Se tienen los siguientes los vectores: a, b, x, y, z y u, y se sabe que en el paralelogramo OPSV se cumple que 2PQ = QR = 2RS y 2ST = TU = 2UV. a) Hallar (x + y) y (z + u) en función de a y b. b) Hallar (x − z + y − u) en función de a y b. c) Hallar el módulo de (x + y + z + u), sabiendo

que los módulos de a y b son 10 y 6 unidades, respectivamente, y que el ángulo obtuso del paralelogramo mide el doble de su ángulo agudo.

Pregunta Nº 3 El peso P de un cuerpo de masa m se puede calcular multiplicando la masa del cuerpo por el valor de la aceleración de la gravedad g, esto es: P = mg. En el Sistema Inglés la masa se mide en slug, la aceleración en pie/s2 y el peso en libras (lb). En el Sistema Internacional la masa se mide en kg, la aceleración en m/s2 y el peso en newtons (N). Además se sabe que en el Sistema Inglés se cumple que 1 lb = 1 slug x pie/s2, mientras que en el Sistema Internacional se tiene que 1 N = 1 kg x m/s2. La equivalencia entre las unidades de peso de los dos sistemas es: 1 lb = 4,448 N, y la equivalencia entre las unidades de longitud es: 1 pie = 0,3048 m. Considerando que la aceleración de la gravedad en el Sistema Internacional es g = 9,81 m/s2, determinar: a) La aceleración de la gravedad (en pie/s2). b) La equivalencia entre las unidades de masa de los dos sistemas. c) La masa (en slug) de un tractor (de transporte de cohetes) cuyo peso es de 4,9 x 106 libras. d) ¿cuántos automóviles de 106 g de masa suman una masa total igual a la del tractor?

A

D C B 2 3




Pregunta Nº 4 Dos motociclistas parten desde un mismo punto, recorriendo las siguientes rutas: El primero se dirige 8 km hacia el norte, luego gira 65° en sentido antihorario recorriendo 10 km, para finalmente girar 140° en sentido horario y recorrer 12 km. El segundo se dirige 9 km hacia el este y luego gira 45° en sentido antihorario recorriendo 7 km. a) ¿A qué distancia se encuentra cada uno del punto de partida? b) ¿A qué distancia se encuentran entre sí los dos motociclistas? c) ¿Qué ángulo tendría que girar el segundo motociclista, y en qué sentido, para alcanzar al primer

motociclista en un tercer tramo recto de recorrido? Pregunta Nº 5 El goleador del equipo del Manchester necesita sólo de 3 toques para marcar un gol. El primer toque (desde el origen O) mueve la pelota 120 pies al norte, el segundo toque 60 pies al noreste (N 45º E) y el tercer toque 30 pies al noroeste(N 45º O). Determina la distancia que recorrería la pelota y el ángulo del lanzamiento con respecto a la horizontal para que el lanzamiento sea en un solo toque. Asume que el jugador patea desde el origen O y la pelota llega exactamente al mismo punto de ingreso al arco que en la jugada de 3 toques. Da tu respuesta en forma analítica y gráfica. Nota: 1 pie = 12 pulg y 1 pulg = 2,54 cm Pregunta Nº 6 A. Cuando una gota de aceite se esparce en una superficie de agua, la película de aceite que se forma es

aproximadamente de una molécula de espesor. Una gota de aceite de 9,0×10-7 kg de masa y de 918 kg/m3 de densidad se esparce dentro de un círculo de 41,8 cm de radio sobre una superficie de agua. ¿Cuál es el tamaño de una molécula de aceite? (La densidad se define como la masa total dividida por el volumen)

B. Una esfera sólida de 2,5 m de diámetro se encuentra sumergida a gran profundidad en el océano. Se sube a la superficie y su radio aumenta en 10% debido al cambio en la presión del agua. Considerando que 1 pulgada equivale a 2,54 cm, se pide determinar el volumen de la esfera en la superficie (en pulgadas cúbicas).

Pregunta Nº 7 Un niño está buscando un tesoro enterrado. Su mapa le indica empezar en A y moverse rumbo a B, pero solo la mitad de la distancia entre los dos puntos. Después debe caminar hacia C, cubriendo solo un tercio de la distancia entre B y C. Luego debe dirigirse a D, recorriendo un cuarto de la distancia entre C y D. Por último debe moverse hacia E, cubriendo un quinto de la distancia entre D y E, detenerse y cavar. Si el lado de un cuadrito de la cuadrícula del mapa representa 10 m, ¿a qué distancia del punto A se encuentra enterrado el tesoro?

144.

semana 02 analisis vectorial unac 2010 a plus

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