segunda parte: magnetismo · ley de faraday-lenz. fuerza electromotriz. generadores. el magnetismo....
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Fiacutesica IISegunda parte Magnetismo
Webpage httppaginasfisicausonmxqb
copy2017 Departamento de Fiacutesica
Universidad de Sonora
Dr Mario Enrique Aacutelvarez Ramos(Responsable)
Dr Roberto Pedro Duarte Zamorano
Dr Ezequiel Rodriacuteguez Jaacuteuregui
Dr Santos Jesuacutes Castillo
B Magnetismo
6 Campo magneacutetico (6 horas)1 El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
2 Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
3 Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo magneacutetico uniformeSelector o filtro de velocidades El espectroacutemetro de masas
4 Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corrienteeleacutectrica
5 Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente Motor eleacutectrico
6 El efecto Hall
7 Ley de Biot-Savart Fuerza entre dos conductores paralelos
8 Ley de Ampegravere El solenoide
9 Ley de Faraday-Lenz Fuerza electromotriz Generadores
Temario de Fiacutesica II
7 Propiedades magneacuteticas de la materia (3 horas)1 Dipolo magneacutetico
2 Magnetismo atoacutemico y nuclear
3 Magnetizacioacuten
4 Materiales magneacuteticos Paramagnetismo diamagnetismoferromagnetismo curva de histeacuteresis
5 Efectos de la temperatura sobre el ferromagnetismo
6 Magnetismo de los planetas
Temario de Fiacutesica II
Tema 6 Campo magneacutetico
i El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujomagneacutetico
ii Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoiii Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo
magneacutetico uniforme Selector o filtro de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
iv Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta unacorriente eleacutectrica
v Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
vi El efecto Hallvii Ley de Biot-Savart Fuerza entre dos conductores
paralelosviii Ley de Ampegravere El solenoideix Ley de Faraday-Lenz Fuerza electromotriz
Generadores
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Objetivos Despueacutes de completar ese moacutedulo
deberaacute
bull Definir el campo magneacutetico los polos
magneacuteticos y las liacuteneas de flujo
bull Resolver problemas que involucren la
magnitud y direccioacuten de fuerzas sobre cargas
que se mueven en un campo magneacutetico
bull Resolver problemas que involucren la magnitud
y direccioacuten de fuerzas sobre conductores
portadores de corriente en un campo B
Estos materiales los conocemos como imanes tienen la
propiedad de atraer pequentildeos trozos de metal Esta propiedad
atractiva se llamoacute Magnetismo
NS
Imaacuten de barra
N
S
Magnetismo liacuteneas de campo magneacutetico y flujomagneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones de
Asia Menor ya que fue en una regioacuten de Asia Menor conocida
como magnesia donde se encontroacute algunas rocas que se atraiacutean
entre siacute A estas rocas se les llamoacute ldquomagnetosrdquo en alusioacuten al
lugar de su descubrimiento
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El experimento de OerstedEn 1820 H Oersted descubrioacute la relacioacutenentre la electricidad y el magnetismo enun experimento que hoy se nos presentacomo muy sencillo y que llevoacute a caboante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
httpswwwyoutubecomwatchv=eawtABJG-y8
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuenciade la existencia de cargas y dependiendo de su estado demovimiento dan lugar a uno o a otro fenoacutemeno Sinembargo esta relacioacuten fue descubierta hasta el siglo XIXmediante una serie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con el trabajo de JCMaxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usadoel siacutembolo B para representar elcampo magneacutetico debido a quees una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos
llamados ldquopolosrdquo norte y sur del
imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
S
N
Limaduras
de hierro
httpswwwyoutubecomwatchv=kBHrIjPZ1zU
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticas
presentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anterior se
puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como se muestra
en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden
describir al imaginar
una pequentildea bruacutejula
colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier
punto es la misma que la
direccioacuten que indica esta
bruacutejula
El campo B es fuerte donde las
liacuteneas son densas y deacutebil donde
las liacuteneas estaacuten esparcidas
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
B Magnetismo
6 Campo magneacutetico (6 horas)1 El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
2 Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
3 Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo magneacutetico uniformeSelector o filtro de velocidades El espectroacutemetro de masas
4 Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corrienteeleacutectrica
5 Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente Motor eleacutectrico
6 El efecto Hall
7 Ley de Biot-Savart Fuerza entre dos conductores paralelos
8 Ley de Ampegravere El solenoide
9 Ley de Faraday-Lenz Fuerza electromotriz Generadores
Temario de Fiacutesica II
7 Propiedades magneacuteticas de la materia (3 horas)1 Dipolo magneacutetico
2 Magnetismo atoacutemico y nuclear
3 Magnetizacioacuten
4 Materiales magneacuteticos Paramagnetismo diamagnetismoferromagnetismo curva de histeacuteresis
5 Efectos de la temperatura sobre el ferromagnetismo
6 Magnetismo de los planetas
Temario de Fiacutesica II
Tema 6 Campo magneacutetico
i El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujomagneacutetico
ii Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoiii Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo
magneacutetico uniforme Selector o filtro de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
iv Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta unacorriente eleacutectrica
v Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
vi El efecto Hallvii Ley de Biot-Savart Fuerza entre dos conductores
paralelosviii Ley de Ampegravere El solenoideix Ley de Faraday-Lenz Fuerza electromotriz
Generadores
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Objetivos Despueacutes de completar ese moacutedulo
deberaacute
bull Definir el campo magneacutetico los polos
magneacuteticos y las liacuteneas de flujo
bull Resolver problemas que involucren la
magnitud y direccioacuten de fuerzas sobre cargas
que se mueven en un campo magneacutetico
bull Resolver problemas que involucren la magnitud
y direccioacuten de fuerzas sobre conductores
portadores de corriente en un campo B
Estos materiales los conocemos como imanes tienen la
propiedad de atraer pequentildeos trozos de metal Esta propiedad
atractiva se llamoacute Magnetismo
NS
Imaacuten de barra
N
S
Magnetismo liacuteneas de campo magneacutetico y flujomagneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones de
Asia Menor ya que fue en una regioacuten de Asia Menor conocida
como magnesia donde se encontroacute algunas rocas que se atraiacutean
entre siacute A estas rocas se les llamoacute ldquomagnetosrdquo en alusioacuten al
lugar de su descubrimiento
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El experimento de OerstedEn 1820 H Oersted descubrioacute la relacioacutenentre la electricidad y el magnetismo enun experimento que hoy se nos presentacomo muy sencillo y que llevoacute a caboante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
httpswwwyoutubecomwatchv=eawtABJG-y8
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuenciade la existencia de cargas y dependiendo de su estado demovimiento dan lugar a uno o a otro fenoacutemeno Sinembargo esta relacioacuten fue descubierta hasta el siglo XIXmediante una serie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con el trabajo de JCMaxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usadoel siacutembolo B para representar elcampo magneacutetico debido a quees una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos
llamados ldquopolosrdquo norte y sur del
imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
S
N
Limaduras
de hierro
httpswwwyoutubecomwatchv=kBHrIjPZ1zU
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticas
presentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anterior se
puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como se muestra
en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden
describir al imaginar
una pequentildea bruacutejula
colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier
punto es la misma que la
direccioacuten que indica esta
bruacutejula
El campo B es fuerte donde las
liacuteneas son densas y deacutebil donde
las liacuteneas estaacuten esparcidas
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
7 Propiedades magneacuteticas de la materia (3 horas)1 Dipolo magneacutetico
2 Magnetismo atoacutemico y nuclear
3 Magnetizacioacuten
4 Materiales magneacuteticos Paramagnetismo diamagnetismoferromagnetismo curva de histeacuteresis
5 Efectos de la temperatura sobre el ferromagnetismo
6 Magnetismo de los planetas
Temario de Fiacutesica II
Tema 6 Campo magneacutetico
i El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujomagneacutetico
ii Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoiii Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo
magneacutetico uniforme Selector o filtro de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
iv Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta unacorriente eleacutectrica
v Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
vi El efecto Hallvii Ley de Biot-Savart Fuerza entre dos conductores
paralelosviii Ley de Ampegravere El solenoideix Ley de Faraday-Lenz Fuerza electromotriz
Generadores
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Objetivos Despueacutes de completar ese moacutedulo
deberaacute
bull Definir el campo magneacutetico los polos
magneacuteticos y las liacuteneas de flujo
bull Resolver problemas que involucren la
magnitud y direccioacuten de fuerzas sobre cargas
que se mueven en un campo magneacutetico
bull Resolver problemas que involucren la magnitud
y direccioacuten de fuerzas sobre conductores
portadores de corriente en un campo B
Estos materiales los conocemos como imanes tienen la
propiedad de atraer pequentildeos trozos de metal Esta propiedad
atractiva se llamoacute Magnetismo
NS
Imaacuten de barra
N
S
Magnetismo liacuteneas de campo magneacutetico y flujomagneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones de
Asia Menor ya que fue en una regioacuten de Asia Menor conocida
como magnesia donde se encontroacute algunas rocas que se atraiacutean
entre siacute A estas rocas se les llamoacute ldquomagnetosrdquo en alusioacuten al
lugar de su descubrimiento
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El experimento de OerstedEn 1820 H Oersted descubrioacute la relacioacutenentre la electricidad y el magnetismo enun experimento que hoy se nos presentacomo muy sencillo y que llevoacute a caboante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
httpswwwyoutubecomwatchv=eawtABJG-y8
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuenciade la existencia de cargas y dependiendo de su estado demovimiento dan lugar a uno o a otro fenoacutemeno Sinembargo esta relacioacuten fue descubierta hasta el siglo XIXmediante una serie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con el trabajo de JCMaxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usadoel siacutembolo B para representar elcampo magneacutetico debido a quees una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos
llamados ldquopolosrdquo norte y sur del
imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
S
N
Limaduras
de hierro
httpswwwyoutubecomwatchv=kBHrIjPZ1zU
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticas
presentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anterior se
puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como se muestra
en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden
describir al imaginar
una pequentildea bruacutejula
colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier
punto es la misma que la
direccioacuten que indica esta
bruacutejula
El campo B es fuerte donde las
liacuteneas son densas y deacutebil donde
las liacuteneas estaacuten esparcidas
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Tema 6 Campo magneacutetico
i El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujomagneacutetico
ii Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoiii Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo
magneacutetico uniforme Selector o filtro de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
iv Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta unacorriente eleacutectrica
v Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteMotor eleacutectrico
vi El efecto Hallvii Ley de Biot-Savart Fuerza entre dos conductores
paralelosviii Ley de Ampegravere El solenoideix Ley de Faraday-Lenz Fuerza electromotriz
Generadores
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Objetivos Despueacutes de completar ese moacutedulo
deberaacute
bull Definir el campo magneacutetico los polos
magneacuteticos y las liacuteneas de flujo
bull Resolver problemas que involucren la
magnitud y direccioacuten de fuerzas sobre cargas
que se mueven en un campo magneacutetico
bull Resolver problemas que involucren la magnitud
y direccioacuten de fuerzas sobre conductores
portadores de corriente en un campo B
Estos materiales los conocemos como imanes tienen la
propiedad de atraer pequentildeos trozos de metal Esta propiedad
atractiva se llamoacute Magnetismo
NS
Imaacuten de barra
N
S
Magnetismo liacuteneas de campo magneacutetico y flujomagneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones de
Asia Menor ya que fue en una regioacuten de Asia Menor conocida
como magnesia donde se encontroacute algunas rocas que se atraiacutean
entre siacute A estas rocas se les llamoacute ldquomagnetosrdquo en alusioacuten al
lugar de su descubrimiento
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El experimento de OerstedEn 1820 H Oersted descubrioacute la relacioacutenentre la electricidad y el magnetismo enun experimento que hoy se nos presentacomo muy sencillo y que llevoacute a caboante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
httpswwwyoutubecomwatchv=eawtABJG-y8
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuenciade la existencia de cargas y dependiendo de su estado demovimiento dan lugar a uno o a otro fenoacutemeno Sinembargo esta relacioacuten fue descubierta hasta el siglo XIXmediante una serie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con el trabajo de JCMaxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usadoel siacutembolo B para representar elcampo magneacutetico debido a quees una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos
llamados ldquopolosrdquo norte y sur del
imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
S
N
Limaduras
de hierro
httpswwwyoutubecomwatchv=kBHrIjPZ1zU
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticas
presentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anterior se
puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como se muestra
en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden
describir al imaginar
una pequentildea bruacutejula
colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier
punto es la misma que la
direccioacuten que indica esta
bruacutejula
El campo B es fuerte donde las
liacuteneas son densas y deacutebil donde
las liacuteneas estaacuten esparcidas
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Objetivos Despueacutes de completar ese moacutedulo
deberaacute
bull Definir el campo magneacutetico los polos
magneacuteticos y las liacuteneas de flujo
bull Resolver problemas que involucren la
magnitud y direccioacuten de fuerzas sobre cargas
que se mueven en un campo magneacutetico
bull Resolver problemas que involucren la magnitud
y direccioacuten de fuerzas sobre conductores
portadores de corriente en un campo B
Estos materiales los conocemos como imanes tienen la
propiedad de atraer pequentildeos trozos de metal Esta propiedad
atractiva se llamoacute Magnetismo
NS
Imaacuten de barra
N
S
Magnetismo liacuteneas de campo magneacutetico y flujomagneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones de
Asia Menor ya que fue en una regioacuten de Asia Menor conocida
como magnesia donde se encontroacute algunas rocas que se atraiacutean
entre siacute A estas rocas se les llamoacute ldquomagnetosrdquo en alusioacuten al
lugar de su descubrimiento
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El experimento de OerstedEn 1820 H Oersted descubrioacute la relacioacutenentre la electricidad y el magnetismo enun experimento que hoy se nos presentacomo muy sencillo y que llevoacute a caboante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
httpswwwyoutubecomwatchv=eawtABJG-y8
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuenciade la existencia de cargas y dependiendo de su estado demovimiento dan lugar a uno o a otro fenoacutemeno Sinembargo esta relacioacuten fue descubierta hasta el siglo XIXmediante una serie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con el trabajo de JCMaxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usadoel siacutembolo B para representar elcampo magneacutetico debido a quees una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos
llamados ldquopolosrdquo norte y sur del
imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
S
N
Limaduras
de hierro
httpswwwyoutubecomwatchv=kBHrIjPZ1zU
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticas
presentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anterior se
puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como se muestra
en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden
describir al imaginar
una pequentildea bruacutejula
colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier
punto es la misma que la
direccioacuten que indica esta
bruacutejula
El campo B es fuerte donde las
liacuteneas son densas y deacutebil donde
las liacuteneas estaacuten esparcidas
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Objetivos Despueacutes de completar ese moacutedulo
deberaacute
bull Definir el campo magneacutetico los polos
magneacuteticos y las liacuteneas de flujo
bull Resolver problemas que involucren la
magnitud y direccioacuten de fuerzas sobre cargas
que se mueven en un campo magneacutetico
bull Resolver problemas que involucren la magnitud
y direccioacuten de fuerzas sobre conductores
portadores de corriente en un campo B
Estos materiales los conocemos como imanes tienen la
propiedad de atraer pequentildeos trozos de metal Esta propiedad
atractiva se llamoacute Magnetismo
NS
Imaacuten de barra
N
S
Magnetismo liacuteneas de campo magneacutetico y flujomagneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones de
Asia Menor ya que fue en una regioacuten de Asia Menor conocida
como magnesia donde se encontroacute algunas rocas que se atraiacutean
entre siacute A estas rocas se les llamoacute ldquomagnetosrdquo en alusioacuten al
lugar de su descubrimiento
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El experimento de OerstedEn 1820 H Oersted descubrioacute la relacioacutenentre la electricidad y el magnetismo enun experimento que hoy se nos presentacomo muy sencillo y que llevoacute a caboante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
httpswwwyoutubecomwatchv=eawtABJG-y8
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuenciade la existencia de cargas y dependiendo de su estado demovimiento dan lugar a uno o a otro fenoacutemeno Sinembargo esta relacioacuten fue descubierta hasta el siglo XIXmediante una serie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con el trabajo de JCMaxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usadoel siacutembolo B para representar elcampo magneacutetico debido a quees una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos
llamados ldquopolosrdquo norte y sur del
imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
S
N
Limaduras
de hierro
httpswwwyoutubecomwatchv=kBHrIjPZ1zU
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticas
presentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anterior se
puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como se muestra
en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden
describir al imaginar
una pequentildea bruacutejula
colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier
punto es la misma que la
direccioacuten que indica esta
bruacutejula
El campo B es fuerte donde las
liacuteneas son densas y deacutebil donde
las liacuteneas estaacuten esparcidas
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Estos materiales los conocemos como imanes tienen la
propiedad de atraer pequentildeos trozos de metal Esta propiedad
atractiva se llamoacute Magnetismo
NS
Imaacuten de barra
N
S
Magnetismo liacuteneas de campo magneacutetico y flujomagneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones de
Asia Menor ya que fue en una regioacuten de Asia Menor conocida
como magnesia donde se encontroacute algunas rocas que se atraiacutean
entre siacute A estas rocas se les llamoacute ldquomagnetosrdquo en alusioacuten al
lugar de su descubrimiento
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El experimento de OerstedEn 1820 H Oersted descubrioacute la relacioacutenentre la electricidad y el magnetismo enun experimento que hoy se nos presentacomo muy sencillo y que llevoacute a caboante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
httpswwwyoutubecomwatchv=eawtABJG-y8
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuenciade la existencia de cargas y dependiendo de su estado demovimiento dan lugar a uno o a otro fenoacutemeno Sinembargo esta relacioacuten fue descubierta hasta el siglo XIXmediante una serie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con el trabajo de JCMaxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usadoel siacutembolo B para representar elcampo magneacutetico debido a quees una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos
llamados ldquopolosrdquo norte y sur del
imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
S
N
Limaduras
de hierro
httpswwwyoutubecomwatchv=kBHrIjPZ1zU
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticas
presentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anterior se
puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como se muestra
en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden
describir al imaginar
una pequentildea bruacutejula
colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier
punto es la misma que la
direccioacuten que indica esta
bruacutejula
El campo B es fuerte donde las
liacuteneas son densas y deacutebil donde
las liacuteneas estaacuten esparcidas
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El experimento de OerstedEn 1820 H Oersted descubrioacute la relacioacutenentre la electricidad y el magnetismo enun experimento que hoy se nos presentacomo muy sencillo y que llevoacute a caboante sus alumnos
En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hiloconductor de corriente podiacuteamover la aguja imantada de unabruacutejula de tal forma que esta seorientaba perpendicularmente alalambre
httpswwwyoutubecomwatchv=eawtABJG-y8
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuenciade la existencia de cargas y dependiendo de su estado demovimiento dan lugar a uno o a otro fenoacutemeno Sinembargo esta relacioacuten fue descubierta hasta el siglo XIXmediante una serie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con el trabajo de JCMaxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usadoel siacutembolo B para representar elcampo magneacutetico debido a quees una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos
llamados ldquopolosrdquo norte y sur del
imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
S
N
Limaduras
de hierro
httpswwwyoutubecomwatchv=kBHrIjPZ1zU
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticas
presentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anterior se
puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como se muestra
en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden
describir al imaginar
una pequentildea bruacutejula
colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier
punto es la misma que la
direccioacuten que indica esta
bruacutejula
El campo B es fuerte donde las
liacuteneas son densas y deacutebil donde
las liacuteneas estaacuten esparcidas
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuenciade la existencia de cargas y dependiendo de su estado demovimiento dan lugar a uno o a otro fenoacutemeno Sinembargo esta relacioacuten fue descubierta hasta el siglo XIXmediante una serie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con el trabajo de JCMaxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usadoel siacutembolo B para representar elcampo magneacutetico debido a quees una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos
llamados ldquopolosrdquo norte y sur del
imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
S
N
Limaduras
de hierro
httpswwwyoutubecomwatchv=kBHrIjPZ1zU
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticas
presentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anterior se
puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como se muestra
en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden
describir al imaginar
una pequentildea bruacutejula
colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier
punto es la misma que la
direccioacuten que indica esta
bruacutejula
El campo B es fuerte donde las
liacuteneas son densas y deacutebil donde
las liacuteneas estaacuten esparcidas
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usadoel siacutembolo B para representar elcampo magneacutetico debido a quees una cantidad vectorial
La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en ladireccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos
llamados ldquopolosrdquo norte y sur del
imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
S
N
Limaduras
de hierro
httpswwwyoutubecomwatchv=kBHrIjPZ1zU
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticas
presentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anterior se
puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como se muestra
en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden
describir al imaginar
una pequentildea bruacutejula
colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier
punto es la misma que la
direccioacuten que indica esta
bruacutejula
El campo B es fuerte donde las
liacuteneas son densas y deacutebil donde
las liacuteneas estaacuten esparcidas
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos
llamados ldquopolosrdquo norte y sur del
imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
S
N
Limaduras
de hierro
httpswwwyoutubecomwatchv=kBHrIjPZ1zU
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticas
presentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anterior se
puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como se muestra
en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden
describir al imaginar
una pequentildea bruacutejula
colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier
punto es la misma que la
direccioacuten que indica esta
bruacutejula
El campo B es fuerte donde las
liacuteneas son densas y deacutebil donde
las liacuteneas estaacuten esparcidas
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticas
presentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anterior se
puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como se muestra
en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden
describir al imaginar
una pequentildea bruacutejula
colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier
punto es la misma que la
direccioacuten que indica esta
bruacutejula
El campo B es fuerte donde las
liacuteneas son densas y deacutebil donde
las liacuteneas estaacuten esparcidas
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticas
presentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anterior se
puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como se muestra
en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden
describir al imaginar
una pequentildea bruacutejula
colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier
punto es la misma que la
direccioacuten que indica esta
bruacutejula
El campo B es fuerte donde las
liacuteneas son densas y deacutebil donde
las liacuteneas estaacuten esparcidas
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Liacuteneas de campo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden
describir al imaginar
una pequentildea bruacutejula
colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier
punto es la misma que la
direccioacuten que indica esta
bruacutejula
El campo B es fuerte donde las
liacuteneas son densas y deacutebil donde
las liacuteneas estaacuten esparcidas
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Liacuteneas de campo entre imanes
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
httpswwwyoutubecomwatchv=XCbSF-ZenKo
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Origen de campos magneacuteticos
Recuerde que la intensidad de un campo eleacutectrico E se definioacute como la fuerza eleacutectrica por unidad de carga
Puesto que no se han encontrado polos magneacuteticos aislados no se puede definir el campo magneacutetico B en teacuterminos de la fuerza magneacutetica por unidad de polo norte
En vez de ello se veraacute que los campos magneacuteticos resultan de cargas en movimiento no de carga o polos estacionarios Este hecho se cubriraacute maacutes tarde
+E
+ B v
v
^
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuerza magneacutetica sobre carga en movimiento
N S
B
N
Imagine un tubo que proyecta carga +q con velocidad v en el campo B perpendicular
Fuerza magneacutetica F hacia arriba
sobre carga que se mueve en el
campo B
v
F
El experimento muestra
F qvB
Lo siguiente resulta en una mayor fuerza magneacutetica F aumento en velocidad v aumento en carga q y un mayor campo magneacutetico B
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Direccioacuten de la fuerza magneacutetica
B
v
F
N SN
Regla de la mano derecha
Con la mano derecha plana apunte el pulgar en direccioacuten de la velocidad v dedos en direccioacuten del campo B La palma de la mano empuja en direccioacuten de la fuerza F
B
v
F
La fuerza es mayor cuando la velocidad v es
perpendicular al campo B La desviacioacuten disminuye a
cero para movimiento paralelo
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuerza y aacutengulo de trayectoria
SNN
SNN
SNN
La fuerza de desviacioacuten es mayor cuando la trayectoria es perpendicular al campo Es menor en paralelo
B
v
F
v sen
v
senvF
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Definicioacuten del campo B
Observaciones experimentales muestran lo siguiente
Al elegir las unidades adecuadas para la constante de proporcionalidad ahora se puede definir el campo B como
Una intensidad de campo magneacutetico de un tesla (T) existe en una regioacuten del espacio donde una carga de un coulomb (C) que se mueve a 1 msperpendicular al campo B experimentaraacute una fuerza de un newton (N)
constante senqv
F o senqvF
Intensidad de campo magneacutetico B
senBqvF o
senvq
FB
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuerza magneacutetica sobre una carga en
movimientoDe lo anterior se tiene que si en un campo magneacutetico se mueve una
carga q sobre ella se ejerceraacute una fuerza que llamaremos magneacutetica(FB) la cual depende del valor y signo de la carga q de la velocidad conla cual se esta movieacutendose y la direccioacuten del campo magneacutetico B se endicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v dela partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico B
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campomagneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
BF qv B r rr
donde FB estaacute en la direccioacuten del productovectorial v x B si q es positiva Pordefinicioacuten del producto vectorial (oproducto cruz) la fuerza magneacutetica esperpendicular al plano formado por losvectores v y B
Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacutenoperacional del campo magneacutetico
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la
fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de
si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacuteticaactuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra enmovimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable norealiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar ladireccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarlesu magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacuteculacargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma quela fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacuteculaestaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
r rr
r rr
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Coacutemo indicar la direccioacuten de los campos B
Una forma de indicar las direcciones de los campos perpendiculares a un plano es usar cruces X y puntos middot
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
Un campo dirigido hacia el papel se denota mediante una cruz ldquoXrdquo como las plumas de una flecha
Un campo dirigido afuera del papel se denota mediante un punto ldquobullrdquo como la parte frontal de una flecha
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Praacutectica con direcciones de B
X X X X
X X X X X
X X X X X
X X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
bullbullbullbull
-
v
-
v
+
v
v
+
ArribaF
IzquierdaF
FDerecha
Arriba
F
q negativa
iquestCuaacutel es la direccioacuten de la fuerza F sobre la carga en cada uno de los ejemplos siguientes
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Ejemplo 1 Una carga de 2 nC se proyecta como se muestra con una
velocidad de 5 x 104 ms en un aacutengulo de 300 con un campo
magneacutetico de 3 mT iquestCuaacuteles son la magnitud y direccioacuten de la fuerza
resultante
v sen fv
300
B
v
FDibuje un bosquejo burdo
q = 2 x 10-9 C v = 5 x
104 ms B = 3 x 10-3 T
= 300
Al usar la regla de la mano derecha se ve que la fuerza es hacia arriba
Fuerza magneacutetica resultante F = 150 x 10-7 N hacia arriba
B
T ) s e n 3 01 0m s ) ( 31 0C ) ( 51 0( 2 349q v B s e nF
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacuteticoPara ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendoseperpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FB
v
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X
X X+
+
+
+
Fc centriacutepeta = FB
R
Fc
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacuteticoComo pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un
movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum linealmv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la cargaq y a la magnitud del campo magneacutetico B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de lapartiacutecula w a saber
v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo delmovimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni delradio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce comofrecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento departiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda lapartiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidadSin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la mismarapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas quese muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectricoy magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzascorrespondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacutenen la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca queambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula noexperimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
r rr
r rr
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Campos E y B cruzados
x x x x
x x x x
+
-
e-
v
Nota FE sobre el
electroacuten es hacia arriba
y opuesta al campo E
Pero FB sobre el electroacuten
es hacia abajo (regla de la
mano izquierda)
Desviacioacuten cero cuando
FB = FE
B
v
F
EE e-
-
B
vF
B
-
El movimiento de partiacuteculas cargadas como los electrones se puede controlar mediante campos eleacutectricos y magneacuteticos combinados
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen larelacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten delos campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculascon rapidez v=EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas conuna rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoriamientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten dela fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen endireccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculascargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten esa la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Ejemplo 2 Un ioacuten de litio q = +16 x 10-16 C se proyecta hacia un selector de velocidad donde B = 20 mT El campo E se ajusta para seleccionar una velocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
x x x x
x x x x
+
-
+q
v
Fuente
de +q
V
Ev
B
E = vB
E = (15 x 106 ms)(20 x 10-3 T) E = 300 x 104 Vm
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separariones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacutenconocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de ionespasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en unsegundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten queel campo magneacutetico en el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio dela trayectoria circular estaacutedado por
0
rmv
qB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0m
q
B Br
E Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Espectroacutemetro de masa
+q
R
Ev
B
+-
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m1
m2
rendija
Iones que pasan a traveacutes
de un selector de velocidad
con una velocidad conocida
llegan a un campo
magneacutetico como se
muestra El radio es
La masa se encuentra al medir
el radio R
mvR
qB
qBRm
v
2mvqvB
R
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de estateacutecnica fue empleadapor JJ Thomson(1856-1940) en 1897para medir larelacioacuten carga-masade los electrones asaber eme
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Ejemplo 3 Un ioacuten de neoacuten q = 16 x 10-19 C sigue una
trayectoria de 728 cm de radio Superior e inferior B = 05 T y
E = 1000 Vm iquestCuaacutel es su masa
mvR
qB
qBRm
v
1000 Vm
05 T
Ev
B
v = 2000 ms
-19(16 x 10 C)(05 T)(00728 m)
2000 msm m = 291 x 10-24 kg
+q
R
Ev
B
+-x x
x x
x x
x x
Placa
fotograacutefica
m
rendijax x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodopasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos camposeleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos sonajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga elcampo magneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en lasmagnitudes deambos campos yen la desviacioacutenmedida se calculala relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corrienteen presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado enla figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical enpresencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corrienteen (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo
Como puede advertirseexiste un efecto sobre elalambre producto deuna interaccioacuten entre lacorriente que circulapor el alambre y elcampo magneacutetico lafuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacutentransversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga q
que se mueve a una velocidad vd estaacute dada por
Dado que una corriente I es carga qt que semueve a traveacutes de un alambre la fuerzamagneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos decorriente
q vd x B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica
I = qtL
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
Dado que una corriente I que se mueve dentro de un alambre se exprese como I = qt la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos de corriente
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuerza magneacutetica sobre un alambre quetransporta una corriente eleacutectrica
Por lo tanto en general la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
BF IL B r r r
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tieneuna magnitud igual a la longitud L del segmento
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
BTal como para una carga enmovimiento la fuerza sobre unalambre variacutea con la direccioacuten
F = IBL sen q
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200
con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
2 0se n m ) T )(0 0 6 1 0(3
N 1 01 5
se n 3
4
B L
FI
Iq=20
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuerza sobre una carga en movimiento
Recuerde que el campo magneacutetico B en teslas (T) se definioacute en teacuterminos de la fuerza sobre una carga en movimiento
Intensidad de campo magneacutetico B
1 N 1 N1 T
C(ms) A m
B
v
F
SNN
B
v
F
B
sen qv
FB
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuerza sobre un conductor
Dado que una corriente I es carga q que se mueve a traveacutes de un alambre la fuerza magneacutetica se puede proporcionar en teacuterminos
de corriente
I = qt
L
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x
F Movimiento de +q
Regla de la mano derecha la fuerza F es hacia arriba
F = qvB
Como v = Lt e I = qt se puede reordenar para encontrar
L qF q B LB
t t
La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B F = IBL
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
La fuerza depende del aacutengulo de la corriente
v sen qI
q
B
v
F
Corriente I en el alambre longitud L
B
F = IBL sen q
Tal como para una carga en movimiento la fuerza sobre un alambre variacutea con la direccioacuten
Ejemplo 1 Un alambre de 6 cm de longitud forma un aacutengulo de 200 con un campo magneacutetico de 3 mT iquestQueacute corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 15 x 10-4 N
I = 244 A
20sen m) T)(006 10(3
N 1015
sen 3
4
BL
FI
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b
aI
Ejemplo 2 Un alambre de en forma rectangular que porta una
corriente I forma un aacutengulo de 900 con un campo magneacutetico de 3
mT Cual es la fuerza sobre el alambre
F = IBL sen
F = f 1+f 2+f 3+f4
F =
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de alambre de
forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniformeen un campo magneacutetico como el que se muestrapodemos calcular la fuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerzamagneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector delongitud ds en presencia de un campo B es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B r rr
b
B
a
F I ds B r rr
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuerzas sobre un lazo conductor
Considere un lazo de aacuterea A = ab que porta una
corriente I en un campo constante B como se
muestra a continuacioacuten
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
b
aI
La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan
mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsioacuten
n
A
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de
torsioacuten t
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Momento de torsioacuten sobre espira de corriente
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x
b
aI
Recuerde que el momento de torsioacuten es el producto de la fuerza y el
brazo de momento
Los brazos de
momento para F1 y F2
son
F1 = F2 = IBb
En general para una espira de N vueltas
que porta una corriente I se tiene
2 sena
)2
)((
)2
)((
2
1
t
t
senaIBb
senaIBb
t sena bIBsenaIBb )()2
)((2 t IBAsen
t NIBAsen
bull
2
a
2a
n
B
2 sina
2 sina
X
F2
F1
Iout
Iin
sen
sen
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Otra manera de abordar el Momento de torsioacuten
sobre una espira de corriente es la siguiente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre unaespira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero Acontinuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerzamagneacutetica ya que tanto la corriente I como elcampo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hayuna fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno de losdos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramos que parael segmento 2 usando la regla de la manoderecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano dela figura mientras que para el segmento 4 lafuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura
En la figura (b) se muestra una vista inferior dela espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indicaque la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de talforma que las fuerzas 2 y 4 son perpendicularesal plano de la espira (en este caso la horizontal)y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo dela misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a la espiraalrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax es
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento detorsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es la magnituddel campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca puedeser reescrita como
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A seemplea la regla de la mano derecha los dedosldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente Ihacen que el pulgar apunte en la direccioacuten deA
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt rr r
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemosuna bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina esigual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt r rr r r
Si a continuacioacuten definimos el momentodipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomentomagneacuteticordquo) de la espira como
IA rr
donde tiene como unidades al ampere-metro2podemos escribir la torca sobre una espira como
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Ejemplo 3 Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una
radio de 20 cm y la normal al aacuterea forma un aacutengulo de 300 con
un campo B de 3 mT iquestCuaacutel es el momento de torsioacuten en la
espira si la corriente es de 3 A
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
2 2( 2m)A R
A = 0126 m2 N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300 I = 3 A
t = 0113 NmMomento de torsioacuten resultante sobre la
espira
t NIBAsen
3 0s e n )m T ) ( 0 1 2 6 A ) ( 0 0 0 3 ( 2 0 0 ) ( 3s e n 2t N I B A
IA Bt r rr
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Al establecer una corriente sobre laespira (colocada en un campo magneacuteticoB) aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsable deque gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta sudireccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre laespira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espiragirando en una misma direccioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso delmomento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Fuentes de Campo Magneacutetico
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Efectos de B sobre cargas eleacutectricas en
movimiento
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Efectos de B sobre corrientes eleacutectricas
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Efectos de torsioacuten
siendo el momento de
la espira
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Ley de Biot-Savat
Experimento de Orested
El vector dB es perpendicular tanto a ds ( el cual apunta en la direccioacuten de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto
La magnitud de dB es inversamente proporcional a
r 2 donde r es la distancia de ds a P
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds
La magnitud de dB es proporcional a sin donde es el aacutengulo entre r y ds
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Para otra configuracioacuten
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Ley de Biot-Savat en forma diferencial
Donde
0 es la constante
de permitividad
magneacutetica del vacioacute
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
COMPARACION
Campo magneacutetico
B a i
B a1r
Direccioacuten perpendicular a r
y dS
Campo eleacutectrico
E a q
E a1r
Direccioacuten RADIAL
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Direccioacuten de B usando la Regla de la mano derecha
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Campo B para geometriacuteas distintas
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Para una corriente en un alambre de forma arbitraria
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Ejemplo de un alambre recto
El campo B emerge del plano en el punto P
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
De la figura se tiene que las coordenadas x y no son
independientes
tan = a x
de donde
x= a cot entonces
dx = -a csc2
bull Como r2 =x2 + a2 se puede expresar como
r2 = a2+ a2cot2
r2a2 (1+ cot 2
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Entonces el integrando
La integral
queda
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
En este caso tenemos
Alambre recto infinito
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Consideremos dos alambres rectos de largo l por los que circulancorrientes I1 e I2 y separados una distancia a Si analizamos el cable concorriente I2 vemos que este produce un campo B2 tal como se muestraEn particular vemos que en la posicioacuten del alambre 1 (con corriente I1)el campo B es perpendicular a esta corriente I1 de tal forma que sicalculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos queesta apunta hacia el alambre 2
Fuerza entre dos alambres
Si usamos los resultados previos podemosescribir la magnitud de F1 como
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Dos alambres paralelos que conducen corrientes en la mismadireccioacuten se atraen entre siacute mientras que dos conductores concorrientes en la misma direccioacuten se repelen En ambos casos lamagnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) estaacute dada por
Fuerza entre dos alambres paralelos
Si usamos la regla de la mano derecha parael caso en que las corrientes vayan endirecciones opuestas encontraremos quela fuerza F1 estaacute dirigida en direccioacutenopuesta es decir alejaacutendose del alambre2
Esto permite concluir que
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Ley de Ampegravere
Experimentalmente se observa que el campo magneacutetico de un alambrerecto forma ciacuterculos alrededor de la corriente tal como se muestra en lafigura siguiente
En este caso se muestra elpatroacuten formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Ley de AmpegravereEn el experimento deOersted se observa que elcampo magneacutetico tiene lasiguiente formaesquematizadaConsiderando el esquema (b)calculemos el producto
para un diferencial ds a lolargo de la trayectoriacircular definida por lasagujas de las bruacutejulas
En particular podemos advertir que a lo largo de la trayectoriamencionada tanto B como ds son paralelos por lo que el producto puntose reduce al producto Bds
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Ley de Ampegravere
Si ahora consideramos que el campo magneacutetico alrededor de un alambresoacutelo depende de la distancia podemos concluir que el campo sobre latrayectoria mencionada es constante de tal forma que si calculamos laintegral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoriacircular encontramos sucesivamente que
donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia esprecisamente el periacutemetro (2r)
Es importante hacer notar que este resultado es independiente de latrayectoria seguida en este caso por simplicidad se ha considerado unacircunferencia
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Ley de Ampegravere
El caso general conocido como Ley de Ampegravere puede ser enunciadocomo
Es importante mencionar que auacuten cuando la ley de Ampegravere estableceuna relacioacuten entre el campo magneacutetico B y su fuente la corriente I ladificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla soacutelo encondiciones de simetriacutea
La integral de liacutenea de Bmiddotds a lo largo de una trayectoriacerrada es igual a 0I donde I es la corriente total que atraviesael aacuterea delimitada por dicha trayectoria cerrada es decir
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Una aplicacioacuten de la Ley de Ampegravere
Usando Ley de Ampegravere paracada una de la trayectoriasmostradas iquestcuaacutento vale laintegral
a 0(4A)
b 0(-1A)
c 0(6A)
d 0(3A)
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de heacutelice Con estearreglo se logra un campo magneacuteticorazonablemente uniforme en el espaciodelimitado por las espiras de alambre loque podriacuteamos llamar el interior delsolenoide tal como se muestra en elesquema siguiente
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Campo magneacutetico de un solenoide
Liacuteneas de campo magneacutetico de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magneacutetico de un imaacuten en forma de
barra visualizado mediante limaduras de hierro
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Campo magneacutetico de un solenoide
Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras estaacuten cada vez menos espaciadas ellargo crece y el radio de las espiras disminuyeEn tal caso las liacuteneas de campo magneacutetico en elinterior son cada vez maacutes uniformes mientrasque el campo en el exterior es cada vez maacutesdeacutebil
En este caso podemos esquematizar un cortedel solenoide tal como se muestra en la figuraadjunta
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Para calcular el campo magneacutetico en el interiorde un solenoide ideal se utiliza la ley deAmpegravere considerando la trayectoria mostradaen la figura
Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto Bmiddotds escero ya que son perpendiculares mientras quesobre la trayectoria 3 tambieacuten es cero debido aque estamos considerando un solenoide ideal(donde el campo exterior es cero) Con loanterior la uacutenica contribucioacuten a la integralcorresponde a la trayectoria 1 es decir
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Caacutelculo del campo B de un solenoide
Lo anterior permite escribir la ley de Ampegraverepara este caso como
De donde podemos establecer que la intensidaddel campo magneacutetico en el interior de unsolenoide estaacute dada por
donde n=Nl es el nuacutemero de espiras por unidadde longitud
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Para tener una idea maacutes clara del concepto deflujo consideremos la figura siguienteLas liacuteneas de campo B penetran una superficierectangular de aacuterea A perpendicular a talesliacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas esproporcional a la magnitud de B se tiene queel nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficiees proporcional al producto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descritocualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo hallegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es precisodefinir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Flujo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (conlo que =900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujomagneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacuteticomaacuteximo (FB max=BdA)
Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA yBdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico esproporcional al nuacutemero deliacuteneas de campo magneacutetico quepenetran una superficiearbitraria perpendicular alpropio campo B
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
En este caso el flujo magneacutetico a traveacutesde un elemento diferencial de aacuterea dA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta preguntaconsideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de lamisma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacutetico total atraveacutes de la superficie estaacute dado por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico atraveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dichasuperficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededorde un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva yterminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En el caso del magnetismo tambieacuten podemosaplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada
En este caso la ley de Gauss establece que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficiecerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barraimanada forman trazos cerrados Nota que el flujomagneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerradaalrededor de uno de los polos (o cualquier otrasuperficie cerrada) es cero lo cual es evidente alnotar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igualal de liacuteneas que salen
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Experimentalmente se encuentra que (la variacioacuten del flujo de) uncampo magneacutetico induce una corriente en una espira cerrada como semuestra en las siguientes figuras
Ley de induccioacuten de Faraday
Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabateriacutea para producir una corrienteen la espira por lo que se dice quetenemos una corriente inducida enla espira como producto de lapresencia de un flujo magneacutetico
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Tambieacuten se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas una de ellasconectada a una bateriacutea y la otra a un galvanoacutemetro al momento decerrar el circuito hay un registro en el galvanoacutemetro pero ese desaparecehasta que se abre el circuito
Ley de induccioacuten de Faraday
De nuevo en la espira secundaria NO hay conectada una bateriacutea paraproducir una corriente en la espira por lo que se dice que tenemos unacorriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujomagneacutetico en este caso producido por la corriente en la espira primaria
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Como resultado de estas observaciones Faraday concluyoacute que ldquoes posibleinducir una corriente eleacutectrica en un circuito mediante variaciones en (elflujo de) el campo magneacuteticordquo
En general es costumbre enunciar la Ley de Faraday en teacuterminos de unafuerza electromotriz (fem) e en vez de una corriente
Con lo anterior establecemos que ldquola fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magneacutetico fB a traveacutes de ellardquolo que se escribe como
Ley de induccioacuten de Faraday
donde es el flujo magneacutetico a traveacutes de la espira que se calculaen cada punto considerando el producto escalar entre el campomagneacutetico B y un vector dA que tiene como magnitud dA y direccioacutenperpendicular a la superficie delimitada por la espira
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Si en vez de tener una espira tenemos una bobina formada por N espiras(todas de la misma aacuterea) podemos generalizar la Ley de induccioacuten deFaraday como
Ley de induccioacuten de Faraday
Para el caacutelculo del flujo magneacutetico a traveacutes de laespira podemos considerar el esquema anexo
En este caso el flujo magneacutetico resulta serBAcos lo que permite escribir a la ley de
induccioacuten de Faraday como
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Retomando esta uacuteltima expresioacuten a saber
Ley de induccioacuten de Faraday
Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina)mediante
1 una variacioacuten temporal de la magnitud de campo magneacutetico B o
2 una variacioacuten temporal del aacuterea encerrada por la espira o
3 una variacioacuten temporal entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la
normal a la espira o
4 una combinacioacuten de cualquiera de ellas
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Aplicaciones de la Ley de Faraday
La Ley de induccioacuten tiene un amplio rango de aplicaciones entre lasque podemos mencionar
1 Los transformadores de voltaje que emplean la primera de las
situaciones enlistadas anteriormente variaciones en la magnitud de B
2 Los generadores de electricidad que emplean la tercera de las situaciones
enlistadas variaciones en el aacutengulo entre el campo y la normal a la
espira
3 Microacutefonos pastillas magneacuteticas agujas de tocadiscos etc tambieacuten son
ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday
4 Etc
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magneacutetico tiene signoopuesto a la fem inducida este resultado experimental se conoce comoLey de Lenz la cual establece
Ley de Lenz
ldquoLa polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende aproducir una corriente que crea un flujo magneacutetico el cual seopone al cambio del flujo magneacutetico a traveacutes del aacuterea encerradapor la espira de corrienterdquo
Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla
bull Si el flujo magneacutetico aumenta la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es opuesta a la direccioacuten del campo magneacutetico externo
bull Si el flujo magneacutetico disminuye la direccioacuten del campo magneacuteticoinducido es la misma que la direccioacuten del campo magneacutetico externo
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Ley de Lenz
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Ley de Lenz
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
Una situacioacuten en la que podemos considerar el cambio del aacuterea de laespira aparece cuando consideramos una barra en movimiento
fem de movimiento
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por
En la situacioacuten mostrada podemos considerar que B y no cambian detal forma que soacutelo el aacuterea A=lx variacutea con el tiempo de tal forma que
fem de movimiento
De donde la fem que se induce y que seconoce como fem de movimiento estaacutedada por