secuencia ii

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SECUENCIA DIDCTICA II

Geometra Plana

BLOQUE II: Polgonos y circunferencia

2.1. Polgonos2.1.1. Definicin y clasificacin de polgonos.

Objetivo:El estudiante aprender a definir y clasificar los polgonos de acuerdo a sus

propiedades y elementos.

Definicin: Es una figura plana, cerrada y simple formada por segmentos que no se

corta a s mismos, proviene del latn poli que significa muchos y de gonos que significa

ngulos, que pudiera traducirse como una figura de muchos ngulos.

Clasificacin de los Polgonos

Los polgonos se pueden clasificar siguiendo diferentes criterios:


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Actividad.

Con la la investigacin que realices tanto en internet como en algunos libros,

contesta lo siguiente:

Describe las caractersticas de cada uno de los polgonos que a continuacin serelacionan.

a) Convexo: ____________________________________________________

b) Concavo:____________________________________________________

c) Regular: _____________________________________________________

d) Dar tres ejemplos de polgonos regulares: __________________________

e) Irregular: _____________________________________________________

f) Dar tres ejemplos de polgonos irregulares: _________________________

g) Equiltero: ___________________________________________________

h) Equingulo: __________________________________________________

i) Dibuja un polgono convexo. K) Dibuja un polgono cncavo.

______________________ _______________________


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Ejercicio 12.

Con la investigacin que realices tanto en internet como en algunos libros,

relaciona el nombre que corresponde al nmero de lados de los siguientes polgonos.

1) Dodecgono ( ) 6 lados

2) Heptgono ( ) 20 lados

3) Octodecgono ( ) 4 lados

4) Pentacontgono ( ) 90 lados

5) Cuadriltero ( ) 7 lados

6) Hectgono ( ) 8 lados

7) Hexgono ( ) 19 lados

8) Pentgono ( ) 100 lados

9) Icosgono/Isodecagono ( ) 18 lados

10) Octagono ( ) 12 lados

11) Eneadecgono/Nonadecagono ( ) 5 lados

12) Eneacontgono ( ) 50 lados


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2.1.2. Elementos de los polgonos.

Objetivo:El estudiante conocer los elementos de un polgono, investigndolos en

libros y/o internet.

Actividad.Investiga los elementos del siguiente polgono.

Ejercicio 13.

Con lo aprendido hasta ahora contesta las siguientes cuestiones:

1) Los elementos de un polgono son: lados, vrtices. Cul es el elemento que falta y

que est sealado con una flecha?

a) ngulo internob) ngulo externoc) ngulo recto

2) Es el polgono ms sencillo.

a) tringulo b) pentgono c) enegono

vrticelado

G: _____________________________

k: ______________________________

g: ______________________________

c: ______________________________

E: _____________________________

____________________________


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3) Son los polgonos con sus lados y sus ngulos iguales.

a) irregulares b) regulares c) convexos4) Es el punto donde se cruzan dos lados consecutivos de un polgono.

5) Son los lados de un polgono

que se unen en el mismovrtice.

a) Opuestos b) colaterales c) consecutivos

6) Es el segmento que une dos vrtices no contiguos de un polgono.

a) Diagonal b) eje de simetra c) radio

7) La siguiente figura es un ejemplo de un polgono

a) Recto b) cncavo c ) convexo

8) El tringulo equiltero es un ejemplo de polgono

__________________________________________________________________

9 ) Tetradecgono es un polgono de __________ lados

10) Octacontgono es un polgono de __________ lados

2.1.3. Propiedades de los Polgonos

Objetivo:El estudiante determinar los elementos de un polgono mediante la

aplicacin de algunas frmulas geomtricas.

Calculo de elementos fundamentales de un polgono.

a) Suma de ngulos interiores de cualquier polgono: 2180 nSi

b) Un ngulo interior de un polgono regular: n

ni

2180

.

c) Suma de ngulos exteriores de cualquier polgono: .

d) Un ngulo exterior de un polgono regular:

.

e) Un ngulo central de un polgono regular:

.

a) punto medio b) centro c) vrtice


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f) Nmero de diagonales que se pueden trazar desde todos los vrtices:

.

g) Nmero de diagonales que se pueden trazar desde un vrtice: d = n3.

h) Nmero de tringulos que se forma en cualquier polgono: .

Ejemplo. Resuelve lo que a continuacin se te presenta, aplicando las frmulas antes

enlistadas.

1) Cunto suman los ngulos interiores de un pentgono regular?

Datos Procedimiento Solucina) Si =

b) Pentgono regular

n = 5

c) Frmula: 180(n -2)

a) Sustituir valores en la frmula:

Si = 180(n2) = 180(52) =

Si = 180 (3)

Si = 540

La suma de los ngulos interiores

de un pentgono regular es de

540.

2) Determina el nmero total de diagonales que pueden trazarse en un endecgono

regular.

Datos Procedimiento Solucina) D =

b) Endecgono regular

n = 11

c) Frmula:

a) Sustituir valores en la frmula:

El total de diagonales de un

endecgono regular es de 44

diagonales.


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Ejercicio 14. Resuelve lo que a continuacin se te presenta, aplicando las frmulas

antes enlistadas.

1.- Hallar la suma de ngulos internos de un hexgono.

2.- Cul es el polgono cuya suma de ngulos interiores es de 1260?

3.- Hallar el valor de un ngulo interior de un hexgono regular.

4.- Determinar cul es el polgono regular cuyo ngulo interior vale 135.

5.- Hallar la suma de ngulos interiores de un heptgono.

6.- Hallar el valor de un ngulo exterior de un decgono

7.- Calcular el nmero de diagonales que se pueden trazar desde un vrtice de un

octgono.

8.- Calcular el nmero total de diagonales que se pueden trazar en un polgono de 20

lados.


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9.- Cuantas diagonales se pueden trazar en total en un enegono?

10.-Cunto medir el quinto ngulo? En un pentgono irregular si cuatro de susngulos miden 125, 85,130 y 80.

11.- Calcular el nmero de tringulos que se pueden trazar en los siguientes polgonos:

a) cuatro lados. b) hexgono

c) nueve lados d) pentadecgono

e) 19 lados f) 25 lados

12.- Hallar la suma de ngulos internos de los polgonos anteriores:

a ) _________________________ b ) __________________________

c ) ________________________ d ) __________________________

e ) ________________________ f ) __________________________


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13.- Cul es el nombre del polgono que tiene 12 diagonales ms que lados?

14. Cul es el polgono cuya suma de ngulos interiores es de?:a) 7020 b) 6120

c) 1980 d) 3420

15.- Cul es el nombre del polgono que tiene el doble de diagonales que lados?

16.-Determinar cul es el polgono regular cuyo ngulo interior vale 108

17.- encuentra el valor de las incgnitas en la siguiente figura

a = _________

b = ________

c = __________

Cuadrilteros

c

b b

a


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Es un polgono que tiene cuatro lados.Los cuadrilteros pueden tener distintas

formas, pero todos ellos tienen cuatrovrtices y dosdiagonales.

Los cuadrilteros se clasifican de la siguiente manera:

Actividad. Investiga las caractersticas de cada cuadriltero.

a) Paralelogramo: ________________________________________________

b) Trapecio: ____________________________________________________

c) Trapezoide: __________________________________________________

d) Paralelogramos rectngulos: _____________________________________

e) Paralelogramos oblicungulos: ___________________________________
http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuatrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Diagonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Diagonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuatrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono


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f) Cuadrado: Paralelogramo que tiene todos sus lados iguales, cuatro ngulos

iguales y rectos.

g) Rectngulo: __________________________________________________

h) Rombo: ______________________________________________________i) Romboide: ___________________________________________________

j) Trapecio rectngulo: ___________________________________________

k) Trapecio issceles: ____________________________________________

l) Trapecio escaleno: _____________________________________________

m) Trapezoides simtricos: _________________________________________

n) Trapezoides asimtricos: ________________________________________

o) Con tu juego de geometra y en papel milimtrico, traza los siguientes

cuadrilteros: cuadrado, rectngulo, rombo, romboide, trapecio (rectngulo,

issceles y escaleno) y trapezoides (simtricos y asimtricos).

Elementos de los cuadrilteros.

Investiga los elementos del siguiente cuadriltero.

< B: ______________________________

Cuntos? __________________________

< BDE: ____________________________

Cuntos? __________________________

d: Lados.___________________________

Cuntos? ___4______________________

_______________________________

Cuntos? __________________________


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Ejercicio 15. Con lo que aprendiste con el tema de cuadriltero, subraya la respuesta

de cada cuestin.

1) Las bases de los trapecios son paralelas y de diferente longitud. Por el nmero de

lados, los trapecios se clasifican como ____?

a) tringulos b) pentgonos c) cuadrilteros

2) Los RECTANGULOS son figuras geomtricas planas formadas por cuatro lados.

Cmo son los lados opuestos?

a) todos diferentes b) perpendiculares c) iguales y paralelos

3) Este cuadriltero es un trapecio. Cmo se llama el lado AB?

a) base menor b) base mayor c) eje de simetra

4) Los rectngulos tienen 4 ngulos internos. Cunto mide cada uno?

a) 45 b) 100 c) 90.

5) Los trapecios issceles tienen dos lados de igual longitud, cules son?

a) los que unen las bases b) los que unen los vrtices opuestos c) las bases

6) Los cuadrados tienen cuatro ngulos internos iguales. Cunto mide cada uno?

a) 180 b) 45 c) 90

A B

D C


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7) Qu es un paralelogramo?

a) Polgono de cuatro lados iguales dos a dos.

b) Polgono de cuatro lados paralelos dos a dos.

c) Polgono que tiene dos pares de lados consecutivos.

2.2. Circunferencia.

2.2.1 Definicin de circunferencia.

Objetivo:El alumno analizara la definicin de una circunferencia.

Definicin:La Circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos estn en un mismo

plano. Todos estos equidistan de otro punto llamado centro de la circunferencia. El

Crculo es la superficie definida, encerrada, por una circunferencia.

2.2.2 Elementos de la circunferencia.

Objetivo: El estudiante conocer los elementos de una circunferencia y los podr

identificar en otras circunferencias.

Investiga tanto en Internet como en libros los elementos de una circunferencia, a

completa lo que a continuacin se te presenta, de acuerdo a la figura.


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Nombre Concepto :

:

:

:

:

:

2.2.3. Propiedades de la circunferencia.

Objetivo:El estudiante conocer las propiedades de la circunferencia y los aplicara en

la resolucin de ejercicios.

ngulos en la circunferencia

Consulta en Internet y en libros de geometra los ngulos que se forman en una

circunferencia, as como la frmula con que se obtiene el valor de cada ngulo.

ngulos Figura Frmula redactadaCentral:

Inscrito:

Semiinscrito:

Interior:

Exterior:


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Ejercicio 16. Resuelve los siguientes ejercicios de ngulos que se forman en una

circunferencia aplicando sus elementos y sus propiedades.

1) O centro de la circunferencia, BAC=30 EOC=40. Calcular EDB

SiBAC=30 arco BC = ______

Si EOC=40. arco CE = ______

As que arco BE = ______


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En base en el siguiente esquema resuelve:

c a A

5) Si arco a = 15 angulo A = 25 arco c = _______

6) Si arco c = 90 y arco a = 40 < A = _______

7) Si arco c = a + 40 < A = _______

8) Si arco c = 135 y angulo A = 40 arco a = _______

9) Si arco c = 3 a y ngulo A = 25 arco a = _______


CB

yx

D E A

10) Si BD = 26 y CA = 96. Calcular la medida del < x ____________

11) Si AC = 90 y BD = 70. Calcular la medida del < x ____________


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CB

yx

D E

A

12) Si < x = 60 y DA = 160. Calcular la medida del arco BC ____________

13) Si < y = 72 y AD = 2 BC. Calcular la medida del arco BC ____________

14) Si < y = 110 y AC = 100. Calcular la medida del arco BD ____________

Si ABC es un tringulo inscrito como se ilustra, hallar

15) Si arco a = 100 y arco c = 200 Calcular la medida del < A____________

16) Si AB BC y arco a = 100 Calcular la medida del < A____________

ab

c

C

B

A


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Si ABC es un tringulo inscrito como se ilustra, hallar

17) Si AC es un dimetro y arco a = 100 Calcular la medida del < A____________

18) Si arco b : a : c estn en razn 1 : 2 : 3

Calcula arco a ___________________ y la medida del < B ___________________

19) Hallar x si: < 50 DCA ; < 20 CDB

20) Calcular x si: el arco AB mide 60; el arco AE es 70 y el ngulo D mide 20

ab

c

C

B

A


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21) En la siguiente figura arco CD = 100 arco AyD = 150 y AB es tangente a la circunferencia

Encuentra:< BAC _______________ < ACD _______________


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El apotema que es la lnea perpendicularque une el centro con cualquiera de

sus lados; por lo cual un polgono regular tiene tantos apotemas como lados.

Actividad.

Realiza una investigacin de acuerdo a los datos que te piden en la siguientetabla.

Figura Frmula de Permetro y

rea

Tringulo

Cuadrado

Rectngulo

Rombo

Romboide


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Trapecio

Hexgono

Crculo

Ejercicio 17. Calcula el rea sombreda de las siguientes figuras geomtricas.

1) Todos sus lados son congruentes y adems todos sus ngulos son rectos. Se sabe

que la longitud de cada lado es 6, determine el rea de la parte de la regin sombreada

2) Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo que la circunferencia tiene un

radio de 4 cm.


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3) Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo que de largo el rectngulo mide

20 cm (el punto resaltado representa el centro de la circunferencia).

4) Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo que la circunferencia

mediana tiene un dimetro de 8 cm. y las pequeas de 4 cm. cada una

5) Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo que los catetos del triangulo

miden 12 y 16 cm.

6) Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo el cuadrado mide 5 cm. delado.


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7) El lado del cuadrado es 4 cm.; los arcos de circunferencias son congruentes. Hallar

el rea sombreada.

8)Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo que la circunferencia mayor ( c )

tiene un dimetro de 12 cm. y la mediana ( b ) 9 y la pequea ( a ) de 5 cm.

9) Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo el cuadrado mide 12 cm. de lado

10) Encuentra el rea de la regin sombreada sabiendo que los crculos son tangentes

exteriormente con radios congruentes r = 6.


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11) Encuentre el rea sombreada de la figura sabiendo que las circunferencias son

congruentes y miden 7 cm. de dimetro cada una.

12)

13)


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14)

Ejercicio 18. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando frmulas de reas y otros

conocimientos y habilidades adquiridas en temas anteriores.

1) Cul es el ancho de un rectngulo que mide 16 cm. de largo si su rea es

equivalente al de un cuadrado de 12 cm. de largo?

2) Calcula la medida del lado de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 10 cm.

Tambin se pide el rea del cuadrado

3) En un rectngulo, el largo excede en 8 cm. al ancho. Si el permetro mide 72 cm.

Cul es su rea?


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4) Las bases de un trapecio miden 12 cm. y 21 cm. Cul es su rea si la medida de

su altura es igual a la medida de la base menor?

5) Determina el permetro de un rectngulo cuya rea es 200 m2y su largo 25 m.

2.3.2 Volmenes de los cuerpos geomtricos.

Objetivo:El estudiante conocer las frmulas para calcular volmenes de cuerpos

geomtricos y los aplicar en la resolucin de ejercicios.

Volumen y capacidad.

El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo, la unidad principal

es el metro cbico (m3) y capacidad es lo que cabe dentro de un recipiente.

Volumen de prisma.

Frmula:

Ejemplo.

Calcula la longitud de la arista de un cubo de 343 m3de volumen.

Datos Formula Procedimientosa) Cubo.b) V = 343 m3.c) a = ?

h = a

Ab= a2

a) Frmula:

b) Sustituir datos en a):

c) Extrayendo raz cbica: a = 7.


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Volumen de pirmide.

Frmula:

Ejemplo.

La base de esta pirmide pentagonal es un polgono regular de lado 1,3 cm y

apotema 0,9 cm. Calcula su volumen sabiendo que su altura es 2,7 cm.

Datos Formula Procedimientosa) Pirmide

pentagonal.b) b = 1.3 cmc) a = 0.9 cm

d) h = 2.7 cme) V = ?

a) rea de la base:

b) Volumen.

Volumen de cilindro.

Frmula:

Se echan 7 cm3 de agua en un recipiente cilndrico de 1,3 cm de radio. Qu

altura alcanzar el agua?

Datos Formula Procedimientos

a) Cilindro.b) V = 7 m3.c) r = 1.3 cmd) h = ?

a) Frmula:


c) Frmula: d) Sustituir b) y V en la frmula.

e) Despejando h, resulta: h = 1.32 cm.


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Cuntos cubos cilndricos, de 47 cm de altura y 16 cm de radio, se tienen que

vaciar en una piscina de 10x6x1.5 m para llenarla?


a) Cilindro.b) h = 47 cm.

c) r = 16 cm

d) h = prisma

rectngular.

e) Dimensin:

106 m

a) Frmula:


c) Frmula:

d) Sustituir b) y V en la frmula.

e) Conversin a m3: 0.037 m3.

f) Frmula:

g) Sustituir datos en f :

h) Frmula:

i) Sustituir datos en h:

j) Dividir el volumen del prisma entre la

del cilindro, resulta: 2432 cubos de

agua.


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Volumen de una esfera.

Frmula:

Se introduce una bola de plomo, de 1 cm de radio, en un recipiente cilndrico de

3,1 cm de altura y 1,5 cm de radio. Calcula el volumen de agua necesario para llenar el

recipiente.


a) Esfera.

b) r = 1 cm.

c) Cilindro.d) h = 3.1 cm

e) r = 1.5 cm.

a) Frmula:


c) Frmula:

d) Sustituir datos en la frmula.

e) Frmula:

f) Sustituir datos en e :

g) Diferencia de volmenes:

.


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5) Cuntos bloques cbicos de piedra, aproximadamente, de 50 cm de arista,

hacen falta para construir una pirmide regular con base cuadrada de 208 m de

lado y 101 m de altura?

6) Se echan 19,8 cm3 de agua en un recipiente cilndrico de 1,8 cm de radio. Qu

altura alcanzar el agua?

7) Cuntas copas puedo llenar con 11 litros de refresco, si el recipiente cnico de

cada copa tiene una altura interior de 9 cm y un radio interior de 5 cm?


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8) Cuntos kilogramos pesa una bola de plomo de 17 cm de radio? El plomo tiene

una densidad de 11,4 g/cm3.

9) Calcula el volumen de un tronco de cono de 7,6 cm de altura, sabiendo que los

radios de sus bases miden 4,9 cm y 2,1 cm. (Frmula: Vtc= VcgVcp).

10) Calcula el volumen de la escultura de la imagen, sabiendo que sus bases son

rectngulos de 3 x 12 dm y su altura 20 dm.

secuencia ii

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