s3 sistemas de coordenadas 2015 2

7/24/2019 S3 Sistemas de Coordenadas 2015 2

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GEOMETRA ANALTICA Y

ALGEBRA

SISTEMAS DE COORDENADAS


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Cada estructura puede utilizar diferentes sistemas de coordenadas para

describir la localizacin de los puntos y las direcciones de las cargas,

desplazamientos, fuerzas internas, y los esfuerzos.

La comprensin de estos diferentes sistemas de coordenadas es crucial para

poder definir apropiadamente el modelo e interpretar los resultados.


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Los sistemas de coordenadas se utilizan para localizar las diferentes partes

del modelo estructural y para definir las direcciones de las cargas,

desplazamientos, fuerzas internas, y los esfuerzos.

Todos los sistemas de coordenadas en el modelo estn definidos con

respecto a un nico sistema global de coordenadas. Cada parte del modelo

tiene su propio sistema de coordenadas local. Adems, es posible crear

sistemas alternativos.


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Las ubicaciones de los puntos en un sistema de coordenadas pueden ser

especificados usando coordenadas rectangulares , cilndricos o esfricos.


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Ubicacin de un punto en el espacio. Distancia entre dos puntos en el espacio

Valor de las funciones trigonomtricas

de ngulos notables.

Recordar


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Logro de la sesin

Al finalizar la clase el alumno ser capaz de:

Describir el espacio tridimensional a travs del sistema de

coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas.

Encontrar la representacin cartesiana de una ecuacin dada

en coordenadas cilndricas o esfricas y viceversa.

Haciendo uso de la teora impartida en clase, de forma lgica y

ordenada.


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SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANASEN TRES DIMENSIONES


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UBICACIN DE UN PUNTO


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SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS EN TRESDIMENSIONES

Muchas de las frmulas establecidas para el sistema decoordenadas bidimensionales, puede extenderse a tres

dimensiones.

La distancia entre dos puntos en el espacio, se usa dos

veces el teorema pitagrico


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EJEMPLO: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL ESPACIO

Calcule la distancia entre los puntos (2,-1,3 ) y (1,0,-2)

2 2 2

(1 2) (0 1) ( 2 3)

= 1 1 25

= 27

=3 3

d


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Ejemplo:Representar los puntos en el mismo sistema decoordenadas tridimensional y calcular la distancia entre ellos.


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Ya hemos comprobado que ciertas grficas bidimensionales son ms fciles de

representar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. En

esta seccin introduciremos dos sistemas alternativos de coordenadas para el

espacio. El primero, el sistema de coordenadas cilndricas, que es una

generalizacin de las coordenadas polares en el espacio y el segundo ser las

coordenadas esfricas.


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x

y

z

r

z

P , ,r z

, , 0r

Sistema de Coordenadas Cilndricas

En un sistema de coordenadas

cilndricas, un punto P delespacio se representa por un

tro ordenado .

1. (r, ) son las coordenadas

polares de la proyeccin deP sobre el plano xy.

2. Z es la distancia dirigida de

P a (r, ).

, ,r z


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Para convertir de coordenadas cilndricas para rectangulares, usamos las

siguientes ecuaciones:

Cilndricas a rectangulares

zzrsenyrx ,,cos

Rectangulares a cilndricas

zzx

ytgyxr ,,222

Conversin de Coordenadas

Para convertir de coordenadas rectangulares para cilndricas, usamos las



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EJEMPLO:Expresar en coordenadas rectangulares el punto )3,6/5,4(),,( zr

322

34

6

5cos4

x

22

14

6

54

seny

Solucin:

z = 3

As pues, en coordenadas rectangulares ese

punto es

)3,2,32(),,( zyx

Cambio de coordenadas cilndricas a rectangulares


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EJEMPLO:Expresar el punto(x, y, z)=(1, ,2) en coordenadas cilndricas

Cambio de coordenadas rectangulares a cilndricas

3

Solucin:

231 r

2

3)3(3

z

nnarctgtg

Tenemos dos elecciones para r e infinitas para . Sin embargo, dos

representaciones convenientes del punto son:

yr 02,3

,2

yr 02,3

4,2

en el cuadranteI

en el cuadranteIII


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Conversin de rectangulares a cilndricas

EJEMPLO: Hallar ecuaciones en coordenadas cilndricas para las superficiescuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuacin.

xyb

zyxa

2

222

)

4)

2224zyx

Solucin:

a) Si sustituimosx2 + y2 por r2 , obtenemos su ecuacin en cilndricas

224zr

Ecuacin en coordenadas rectangulares

Ecuacin en coordenadas cilndricas


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xy 2

cos22 rsenr

0)cos( 2 rsenr

0cos2

rsen

2

cos

sen

r

ctgsensen

r csc1cos

Ecuacin rectangular

Ecuacin en cilndricas

b)


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Conversin de cilndricas a rectangulares

EJEMPLO: Hallar la ecuacin en coordenadas rectangulares de la curvadeterminada por la ecuacin en cilndricas.

012cos 22

zr

012cos 22

zr

01)(cos 2222 zsenr

Solucin:

1cos

22222

zsenrr

1222

zyx

1222 zxy

Ecuacin en cilndricas

Ecuacin rectangular

Identidad trigonomtrica


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EL SISTEMA DE COORDENADASESFRICAS

En un sistema de

coordenadas esfricas un

punto P del espacio viene

representado por un tro

ordenado .

1. es la distancia de P

al origen, .

2. es el mismo ngulo

utilizado en

coordenadas

cilndricas para .

3. es el ngulo entre

el semieje z positivo y

el segmento recto OP,

.

, ,

0

r 0

0

P , ,

x

y

z

O


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Conversin de Coordenadas(Esfricas - Retangulares)

P , ,

x

y

z

O

P , ,x y z

x

y

'P , , 0x y

r

z

Del tringulo rectngulo , tenemos:'OPP

Q


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Para convertir de coordenadas esfricas para rectangulares, usamos las


Esfricas a rectangulares

Rectangulares a Esfricas

2 2 2 2

2 2 2

, , arccosy z

x y z tg

x x y z

Para convertir de coordenadas rectangulares para esfricas, usamos las


cosx sen y sen sen cosz


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EJEMPLO 3: Hallar una ecuacin en coordenadas esfricas para lassuperficies cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se

especifican a continuacin.

a) Cono

b) Esfera

2 + 2 = 2

2 + 2 + 2 = 9


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Bibliografa

N CDIGO AUTOR TITULO EDITORIAL AO

1 516.3 OROZ OROZCO MAYREN,

GILBERTO

Geometra Analtica: Teora y

Aplicaciones Trillas 2007

2

516.182

ESPI/E

ESPINOZA, RAMOS

EDUARDO Geometra Vectorial en R3

2004, s.n. 2004

3 516.32

ESPI

ESPINOZA RAMOS,

EDUARDO

Geometra Analtica Plana : Terico-

Prctico S.n 2007

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