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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MATAMOROS.
INGENIERÍA MECATRÓNICA.
“RESPUESTA FORZADA DE UN SISTEMA AMORTIGUADO VISCOSO SUJETO A UNA SOLA
FRECUENCIA DE EXCITACIÓN ARMÓNICA”.
Materia: Análisis de Vibraciones.
Profesor. Luis Carlos Rincón Ruíz.
Integrantes del Equipo:
Ulisses Alberto Heredia Rivera. Carlos Flores Perales. Oliver de Jesús Martínez Delgadillo. David Mondragón Aguilar. Erick Elver Chávez Leal.
Septiembre 2012 H.Matamoros.Tam
2.1. ECUACIONES CONSTITUTIVAS DEL ELMENTO RESORTE.
2.1.1. DEFINICIÓN DE RESORTE.
Un resorte es un enlace flexible mecánica entre dos partículas en un sistema
mecánico. En realidadun resorte en sí es un sistema continuo. Sin embargo, la
inercia del resorte es generalmente pequeñaen comparación con los otros
elementos del sistema mecánico y es despreciada. Bajo este supuestola fuerza
aplicada a cada extremo del resorte es la misma.
La longitud de un resorte cuando no está sujeto a fuerzas externas que le llama
longitud sin estirar. Puesto que el resorte está hecho de un material flexible, la
fuerza F que se debe de aplicar aal resorte para cambiar su longitud en x es una
función continua de x,
f ( x )=kx2.1
2.1.2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS DEL ELEMENTO RESORTE.
Las ecuaciones constitutivas relacionan tensiones con deformaciones. En este
curso se adopta como ecuaciones constitutivas las más simples en las que la
fuerzas actuantes (normal, flexión, corte, torsión) varían proporcionalmente con la
deformación correspondiente. Los coeficientes de proporcionalidad son los
módulos de elasticidad longitudinal E (módulo de Young) para las tensiones
axiales asociadas al esfuerzo normal y la flexión y el módulo de elasticidad
transversal G para las tensiones de corte asociadas al esfuerzo de corte y la
torsión, juntamente con coeficientes que caracterizan geométricamente a la
sección. Las expresiones que resultan son las siguientes:
Las ecuaciones en la última columna de la Tabla 1.1 son lineales. Ejemplos de
ecuaciones constitutivas no lineales son las correspondientes al endurecimiento
(el módulo E aumenta con la deformación), ablandamiento (el módulo E disminuye
con la deformación) o comportamiento plástico.
2.1.3 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN.
La manera más sencilla de analizar un resorte físicamente es mediante su modelo
ideal global y bajo la suposición de que éste obedece la Ley de Hooke. Se
establece así la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre
el mismo con el alargamiento/contracción o elongación x producida, del siguiente
modo:
siendo
Donde k es la constante elástica del resorte, x la elongación (alargamiento
producido), A la sección del cilindro imaginario que envuelve al muelle y E el
módulo de elasticidad del muelle (no confundir con el módulo de elasticidad del
material).
La energía de deformación o energía potencial elástica asociada al
estiramiento o acortamiento un muelle lineal viene dada por la integración de
trabajo realizado en cada cambio infinitesimal de su longitud:
Si el muelle no es lineal entonces la rigidez del muelle es dependiente de su
deformación y en ese caso se tiene una formula algo más general:
2.1.4. ECUACIÓN DIFERENCIAL Y ECUACIÓN DE ONDAS.
Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la
longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle.
Multiplicando por la longitud total, y llamando al producto o k intrínseca, se
tiene:
donde
Llamaremos a la tensión en una sección del muelle situada a una
distancia de uno de sus extremos, que consideraremos fijo y que tomaremos
como origen de coordenadas, a la constante de un pequeño trozo de muelle
de longitud , a la misma distancia y al alargamiento de ese pequeño trozo
en virtud de la aplicación de la fuerza . Por la ley del muelle completo:
Tomando el límite:
que por el principio de superposición resulta:
Si además suponemos que tanto la sección como el módulo de elasticidad pueden
variar con la distancia al origen, la ecuación queda:
Que es la ecuación diferencial completa del muelle. Si se integra para todo x, se
obtiene como resultado el valor del alargamiento unitario total. Normalmente
puede considerarse F (x) constante e igual a la fuerza total aplicada. Cuando F (x)
no es constante y se incluye en el razonamiento la inercia de éste, se llega a
la ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios.
Supongamos, por simplicidad, que tanto la sección del resorte, como su densidad
(entendiendo densidad como la masa de un tramo de muelle dividida por el
volumen del cilindro imaginario envolvente) y su módulo de elasticidad son
constantes a lo largo del mismo y que el resorte es cilíndrico. Llamemos al
desplazamiento de una sección de muelle. Ahora tomemos un tramo diferencial de
muelle de longitud (dx). La masa de esa porción vendrá dada por:
Aplicando la segunda ley de Newton a ese tramo:
Es decir:
Por otro lado es sencillo deducir que
Al introducir, por tanto, esta expresión en la ecuación diferencial del muelle antes
deducida, se llega a:
Derivando esta expresión respecto a x se obtiene:
Juntando la expresión temporal con la expresión espacial se deduce finalmente la
ecuación general de un muelle cilíndrico de sección, densidad y elasticidad
constantes, que coincide exactamente con la ecuación de onda longitudinal:
De la que se deduce la velocidad de propagación de perturbaciones en un muelle
ideal como:
2.1.5. MUELLE CON UNA MASA SUSPENDIDA.
Para el caso de un muelle con una masa suspendida,
Cuya solución es , es decir, la masa realiza un movimiento
armónico simple de amplitud y frecuencia angular . Derivando y sustituyendo:
Simplificando:
Esta ecuación relaciona la frecuencia natural con la rigidez del muelle y la masa
suspendida
La forma más común de representar matemáticamente la Ley de
Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se
relaciona la fuerza ejercida sobre el resorte con la elongación o
alargamiento producido:
donde se llama constante elástica del resorte y es su elongación o variación
que experimenta su longitud.
La energía de deformación o energía potencial elástica asociada al
estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:
Es importante notar que la antes definida depende de la longitud del muelle y de
su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte
independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial
constitutiva de un muelle. Multiplicando por la longitud total, y llamando al
producto o intrínseca, se tiene:
Llamaremos a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x
de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, a la
constante de un pequeño trozo de muelle de longitud a la misma distancia
y al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la
fuerza . Por la ley del muelle completo:
Tomando el límite:
que por el principio de superposición resulta:
Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo , se obtiene
como ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios
(Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un
resorte se calcula como:
2.1.6. RESORTE DE EMBOBINADO HELICODAL.
El muelle helicoidal se utiliza en aplicaciones tales como máquinas industriales y
sistemas de suspensión de vehículos. Considere un muelle fabricado a partir de
una varilla de sección transversal circular dediámetro D. El módulo de
cizallamiento de la varilla es G. La varilla está formada en una bobina de N
vueltasde radio r. Se supone que el radio de la bobina es mucho mayor que el
radio de la varilla yque la normal al plano de una bobina casi coincide con el eje
del muelle.
Considere un resorte con embobinado helicoidal sujeto a una carga axial F.
Imagine el un corte arbitrario en el embobinado, dividiendo al resorte en dos
secciones .El corte expone una fuerza cortante interna F y una resistencia interna
al torque Fr, como se ilustra a continuación. Asumiendo el comportamiento
elástico, el esfuerzo cortante debido a la resistencia al torque varía linealmente
con la distancia del centro de la varilla a un máximo de:
τ max=FrD2J
=16 Frπ D3
Los principios de mecánica de materiales pueden ser usados para demostrar que
el desplazamiento total en el resorte debido a la fuerza F aplicada es:
x=64 Fr3 N
GD 4
2.1.7. DEFLEXIÓN ESTÁTICA.
Cuando un sistema no está estirado cuando un sistema esta en equilibro, el
resorte tiene una deflexión estática.
2.2. Análisis de Sistemas con Amortiguamiento.
El amortiguamiento se define como la capacidad de un sistema o cuerpo para
disipar energía cinética en otro tipo de energía. Típicamente los amortiguados
disipan la energía cinética enenergía térmica y/o en energía plástica (e.g.
atenuador de impactos).
El amortiguamiento es un parámetro fundamental en el campo de las Vibraciones,
fundamental en el desarrollo de modelos matemáticos que permiten el estudio y
análisis de sistemas vibratorios, como lo son: estructuras metálicas, motores,
maquinaria rotativa, turbinas, automóviles, etc. Esto va encaminado a la teoría de
que todo sistema vibratorio (regularmente sistemas mecánicos) tiene la capacidad
de disipar energía. Para el Control de Vibraciones e Impactos en maquinaria, se
utiliza el concepto de amortiguamiento como una técnica para disipar energía del
sistema, manipulando así la amplitud de vibración en el sistema y otros
parámetros de estudio.
Existen formas de disipación de energía (conocidas también como mecanismos de
amortiguamiento) en los sistemas vibratorios las cuales producen el fin de los
movimientos oscilatorios de dichos sistemas. Durante el amortiguamiento la
energía del sistema vibratorio es disipada como fricción, calor o sonido. Los
mecanismos de amortiguamiento existen de varias formas, por ejemplo:
• Amortiguamiento de Coulomb o de fricción seca.- En este caso la fuerza
• Amortiguadora la fuerza es constante.
• Amortiguamiento sólido o de histéresis.- Este es causado por la fricción
interna de
• Un sólido al oponerse a entrar en vibración.
• Amortiguamiento turbulento.- En este caso la fuerza de amortiguamiento es
• Proporcional al cuadrado de la velocidad promedio.
• Amortiguamiento en fluido viscoso.- En este caso la fuerza de
amortiguamiento es proporcional a la velocidad.
2.2.1. Amortiguamiento viscoso.
Existen modelos de amortiguamiento ideal que se adaptan bien a ciertos casos
particulares. Uno de ellos es el que permite el tratamiento matemático más simple
y se basa en la hipótesis de que la fuerza del amortiguador es proporcional a la
velocidad. Se suele llamar amortiguamiento viscoso.
Cuandoseexcitaunsistemalinealconungradodelibertad,surespuestadependerádeltip
odeexcitaciónydelamortiguamientoqueéstepresente.Ensistemasdeungradodelibert
ad,comúnmenteseutilizanamortiguadoresdetipoviscoso.Enmecánica,seconsideraq
uelasfuerzasdeamortiguamientoqueactúansobreuncuerposonproporcionalesaalgun
apotenciadelavelocidadinstantánea.Estoes:
f=−Cx
Donde C es la constante de amortiguamiento o coeficiente de amortiguamiento
viscoso y el signo negativo indica que la fuerza de amortiguamiento es en
dirección apuesta a la velocidad.
Aplicando la ley de Newton a un sistema de 1 grado de libertad, la ecuación de
movimiento puede ser expresado mediante:
mẍ=−cẋ−kx
La cual es la ecuación lineal de segundo orden, cuya solución es del tipo:
x (t )=C est
Donde C y s son constantes indeterminadas. La ecuación característica a resolver
es:
ms2+cs+k=0
Cuyas raíces son:
s1=−C
2m +√( C2m )
2
− km
s1=−C
2m−√( C2m )
2
− km
Estas dos raíces dan dos soluciones a la ecuación:
x (t )=C est
Son: x1 (t )=C1 es1 t y x2 ( t )=C2 e
s2 t
La solución general esta dado por la combinación de las 2 soluciones:
x (t )=C1 es1t+C2 e
s2 t
Donde C1y C2 son determinadas por las condiciones iniciales del sistema.
Constante de Amortiguamiento Critico y Relación de Amortiguamiento del Sistema
El amortiguamiento critico CC esta definido como el valor de la constante C, para el
cual el radical de las ecuaciones
s1=−C
2m +√( C2m )
2
− km
Se hace 0.
( CC
2m )2
− km
=0oCC=2m√ km
Pero ωn=√ km
se tiene
CC=2mωn
Para cualquier sistema amortiguado, la relación de amortiguamiento ζ esta
definida como la relación entre amortiguamiento constante y la relación de
amortiguamiento critico.
ζ= CCC
Utilizando las ecuaciones:
CC=2mωnyζ=CCC
Se tiene:
C2m
= CCC
CC
2m=ζ ωn
Sustituyendo la ecuación
S1=(−ζ+√ζ 2−1)ωn
S1=(−ζ−√ζ 2−1)ωn
Sustituyendo estos valores en las soluciones de la ecuación general,
x (t )=C1 e(−ζ +√ζ 2−1 )ωn t+C2e
(−ζ−√ζ 2−1)ωn t
La solución depende de las raíces de S1 y S2. Además se observa que esto
depende sobre todo del amortiguamiento, al suponer ζ=0, el sistema tiende a
tener vibración libre (no amortiguada). Debido a esto, se considera ζ ≠0. De esta
forma se tiene el siguiente caso:
2.2.2. Sistema Sobre amortiguado.
Un sistema esta sobre amortiguado si ζ ˂1 ò C˂CC ò C /2m˂√ km
para estas
condiciones (ζ 2−1 )˂0 y las raíces S1 y S2 son:
S1=(−ζ+i√1−ζ 2 )ωn
S2=(−ζ−i√1−ζ 2)ωn
Entonces la ecuación general se expresa:
x (t )=C1 e(−ζ +i√1−ζ 2 )ωn t+C2 e
(−ζ−i√1−ζ 2 )ωnt
x (t )=e−ζ ωn t (C1eiωn t√1−ζ 2+C2 e
−iωnt √1−ζ 2)
Donde el Angulo de Euler:
e iωn t√1−ζ 2=cos (ωnt√1−ζ2 )+i sin (ωnt √1−ζ 2 )
e−i ωn t√1−ζ 2=cos (ωnt √1−ζ 2 )−isin (ωn t√1−ζ 2)
Sustituyendo las ecuaciones anteriores se tiene
x (t )=e−ζ ωn t {(C1+C2 )cos (ωnt √1−ζ 2 )+i (C1−C2 ) sin (ωnt √1−ζ 2 )}
x (t )=e−ζ ωn t {C1cos (ωnt √1−ζ 2 )+i C2 sin (ωn t √1−ζ 2 )}
Donde C1=(C1+C2 ) y C2=(C1−C2 )
x (t )=X e−ζ ωnt sin (ωnt √1−ζ 2+ϕ )
x (t )=X0 e−ζ ωn t cos (ωn t√1−ζ 2−ϕ )
Donde (C1 ,C2), (X,ϕ) y (X ¿¿0 , ϕ0)¿ son constantes determinadas apartir de las
condiciones iniciales.
Para las condiciones iníciales, x (t=0 )=X0 y ẋ (t=0 )=ẋ0 ,C1 y C2 pueden ser
determinados mediante:
C1=X0yC2=X0+ζ ωnX 0
ωn√1−ζ 2
Entonces la solución se expresa:
x (t )=e−ζ ωn t {X 0cos (ωnt √1−ζ 2 )+ X0+ζ ωn X0ωn√1−ζ 2
sin (ωn t√1−ζ 2 )}
Y las constantes (X,ϕ) y (X ¿¿0 , ϕ0)¿ se expresan como
X=X0√ (C1)2+(C2)
2
ϕ=tan−1(C1
C2)yϕ0=tan−1(−C 2
C1)
El movimiento descrito por la ecuación:
x (t )=e−ζ ωn t {X 0cos (ωnt √1−ζ 2 )+ X0+ζ ωn X0ωn√1−ζ 2
sin (ωn t√1−ζ 2 )}Es un movimiento armónico amortiguado, con frecuencia angular ωn√1−ζ 2, pero
debido al factor e−ζ ωn t, la amplitud decrece exponencialmente con el tiempo. La
cantidad ωd=ωn√1−ζ 2 es llamada la frecuencia de vibración amortiguada, la
frecuencia de vibración ωdsiempre es menor que la frecuencia natural sin
amortiguamiento ωn.
2.2.3. Sistemas Críticamente Amortiguados.
Para este caso se requieren las siguientes condiciones
ζ=1oC=CC o C2m
=√ km
Para este caso las raíces de las ecuaciones
S1=(−ζ+i√1−ζ 2 )ωn
S2=(−ζ−i√1−ζ 2)ωn
Son: S1=S2=−ωn
Debido a que las raíces son repetidas, la solución general se cambia por:
x (t )=C1 e−ωnt+C2 t e
−ωn t
Aplicando las condiciones iniciales x (t=0 )=X0 y x (t=0 )=X0 para este caso:
C1=X0
C2=X0+ωn X0
Sustituyendo en la ecuación general de la ecuación
x (t )=C1 e−ωnt+C2 t e
−ωn t
Tenemos
x (t )=[ X0+(X 0+ωn X0 ) t ] e−ωnt
El movimiento representado por la ecuación anterior no es periódico, ya que e−ωn t
tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito.
2.2.4. Sistema Sub Amortiguado.
En este caso ( C2m )
2
˂ km
En este caso se presentará un movimiento oscilatorio harmónico alrededor de una
posición de equilibrio en el cual la amplitud disminuirá con el tiempo en cada
oscilación.
En este caso, dado que el radical es negativo, las raíces S1 , S2 son complejas y
conjugadas teniendo la forma
S1 , S2=α ± iβ
Donde α=−C2m y β=√ k
m− C2
4m2
Y la solución en este caso tendrá la forma
X=eαt [C1eiβt+C1 e
−iβt ]
Que también puede escribirse:
X=e−( C2m )t [ A cos (ωd t )+B sin (ωd t ) ]
Donde:
ωd=β=√ km
− C2
4m2=ωn√1−ζ 2
2.2.5. Amortiguamiento de fricción seca o de Coulomb.
Este tipo de amortiguamiento se debe a la fuerza que ocasiona la fricción entre
dos superficies solidas. La fuerza que actúa en el sistema se tiene que oponer a
movimiento; por lo tanto, el signo de la fuerza debe ser de sentido contrario
(dirección) a la velocidad, tal y como se ilustra.
Si el coeficiente cinético de fricción es μ y la fuerza que ejerce compresión sobre
las superficies es N, entonces:
F ( ẋ )=μNsgn ( ẋ )
Donde sgn es la función del signo, la cual toma el valor de +1 cuando los valores
del argumento son positivos (ẋ en este caso), -1 cuando los valores del argumento
son negativos y de 0 cuando el argumento es cero. Si la fuerza normal se debe al
peso del sistema entonces N=mg y tenemos que
F ( ẋ )=μmg sgn ( ẋ )
La energía disipada en este caso se obtiene con:
Ed=∫ Fdx=∫ Fẋdt=μmg∫ sgn(ẋ)ẋdt
La fricción seca puede dar como resultado perdida de eficiencia en los motores de
combustión interna, desgaste en las paredes de contacto y perdida de exactitud de
posición en los servomecanismos.
2.2.6. Amortiguamiento estructural o solido o histérico.
Explica las perdidas en los materiales debido a la fricción interna. La fuerza de
amortiguamiento es una función del desplazamiento y la velocidad, que se
expresa de la siguiente forma.
F=kπ βh sgn (ẋ)|x|
Donde βh es una constante determinada por los medios empíricos, la energía
disipada es: Ed=∫Fdx=∫ Fẋdt=kπ βh∫ sgn(ẋ)|x|ẋdt
2.3.1. Sistemas de un grado de libertad con excitación armónica sin amortiguamiento.
Para recapitular la definición de un grado de libertad es el número mínimo de
velocidades generalizadas independientes necesarias para definir el estado
cinemático de un mecanismo o sistema mecánico.
En este caso en un sistema sin amortiguamiento, considérese un sistema, durante
el movimiento, que no está bajo la acción de fuerzas externas excitadoras. Debido
a esto, este sistema es gobernado solo por la influencia de las condiciones
iniciales; esto es dando desplazamiento y velocidad para un tiempo (t igual a 0)
cuando se inicia el estudio del fenómeno.
Un sistema que cumple con estas condiciones, se le denomina sistema de un
grado de libertad con excitación armónica sin amortiguamiento.
Esto también ocurre cuando el trabajo está siendo hecho sobre el sistema
mientras las vibraciones ocurren. Los ejemplos de vibración forzada incluyen el
movimiento de tierra durante un terremoto, el movimiento causado por la
maquinaria desequilibrada que corresponde, o el movimiento de tierra impartido a
un vehículo como su rueda atraviesa el contorno del camino.
Para estos casos, el límite de la solución homogénea como el infinito de accesos
de t no es el cero. La respuesta homogénea es importante si la frecuencia de
excitación coincide o está cerca de la frecuencia natural. De otra manera es
asumido que alguna forma de humectación realmente ocurre y la respuesta libre
realmente deteriora la salida sólo la respuesta forzada como la respuesta a largo
plazo. Cuando el sistema es seco y la frecuencia de la excitación coincide con la
frecuencia natural una condición de resonancia existe. Cuando el sistema es seco
y la frecuencia de excitación es cercana, pero no igual a, la frecuencia natural los
fenómenos la paliza llamada ocurre.
En la figura se ilustra un modelo de sistemas equivalente para las vibraciones
forzadas de un sistema SDOF cuando un desplazamiento lineal es escogido como
la coordenada generalizada.
La ecuacion general para estos casos es:
meq x+ceq x+keq x=F eq(t )01
Aunque, las derivaciones que sigan el empleo un desplazamiento lineal como una
coordenada generalizada ellos son también válidas si un desplazamiento angular
es usado como una coordenada generalizada. La forma de la ecuación diferencial,
la Ecuación (1) es usada como una ecuación modelo.
La División de la Ecuación (1) por meqconduce a la ecuación 02:
x+2 ζ ωn x+ω2n x=
1meq
Feq (t ) 02
Esta ecuación es la forma estándar de la ecuación diferencial que gobierna las
vibraciones lineales forzadas de un sistema SDOF con la humectación viscosa.
Entonces, la solución general es:
x (t )=h (t )+xp( t) 03
dondexh (t) es la solución homogénea, la solución obtenida si Feq (t) ' 0, y xp (t) la
solución particular, una solución que es específica a Feq (t). La solución
homogénea es en términos de dos constantes de integración. Sin embargo las
condiciones iniciales no son impuestas hasta que la solución general de Ecuación
(03) sea desarrollada.
Y para un sistema bajo es:
xb ( t )=e−ζωn t [C1cos (ωd t )+C1sin(ωd t)]
Muchos caminos existen para solucionar la solución particular.
Estos incluyen el método de coeficientes indeterminados, variación de parámetros,
métodos anuladores, Laplace transforman métodos, y métodos numéricos.
Una frecuencia sola la excitación periódica es definida como donde
F eq ( t )=F0 sin(ωt+ψ )
F0 es la amplitud de la excitación, es su frecuencia tal que y 2(3.14) sobre T es su
fase. Note que es independiente de la n, la frecuencia natural que es una función
de la rigidez y las propiedades de masas del sistema. Ellos son independientes,
pero las frecuencias pueden coincidir.
Los ejemplos de excitaciones periódicas (a) una senoidal pura; (b) una onda
periódica triangular; (y c) una onda periódica cuadrada
Para estos casos, el límite de la solución homogénea como el infinito de accesos
de t no es el cero. La respuesta homogénea es importante si la frecuencia de
excitación coincide o está cerca de la frecuencia natural. De otra manera es
asumido que alguna forma de humectación realmente ocurre y la respuesta libre
realmente deteriora la salida sólo la respuesta forzada como la respuesta a largo
plazo. Cuando el sistema es seco y la frecuencia de la excitación coincide con la
frecuencia natural una condición de resonancia existe. Cuando el sistema es seco
y la frecuencia de excitación es cercana, pero no igual a, la frecuencia natural los
fenómenos la paliza llamada ocurre.
Cuando el sistema es seco con la frecuencia de excitación bastante lejos lejos de
la frecuencia natural o el sistema tiene la humectación viscosa la solución
particular de Ecuación (2) sujeto a la excitación de Ecuación (6) es determinada en
términos de términos de parámetros de sistema. La solución es caracterizada en
el término de una amplitud fija y una fase fija. Las relaciones para estos términos
son no dimensionadas causando por un factor de amplificación sin dimensiones
como una función de la proporción que se debilita y la proporción de frecuencia sin
dimensiones. La fase es escrita como una función de la proporción de frecuencia y
la proporción que se debilita.
El concepto de respuesta frecuencial implica el estudiar el comportamiento de
estas funciones con la proporción de frecuencia para los valores diferentes de la
proporción que se debilita. La respuesta frecuencial es estudiada de las
ecuaciones que definen las funciones y sus gráficos. Un caso especial de una
frecuencia cuadró la excitación, cuando la amplitud de excitación es proporcional
al cuadrado de su frecuencia, es considerada. Una nueva función sin dimensiones
que representa la respuesta frecuencial de tales sistemas es presentada. La teoría
general es aplicada a una variedad de problemas físicos incluyendo las
vibraciones de máquinas que corresponden con un componente de giro
desequilibrado y vibraciones inducidas por el vertimiento de vórtice de un cilindro
circular.
Dos cantidades importantes en el estudiar la respuesta de un sistema debido al
movimiento armónico de su base son la aceleración absoluta del sistema y el
desplazamiento del sistema en relación con su base. Muestran el éste para ser un
uso de la teoría de frecuencia excitaciones cuadriculadas mientras el antiguo es
un uso de teoría de aislamiento de vibración. El aislamiento de vibración es la
inserción de un miembro elástico entre un objeto, decir una máquina, y su
fundación para proteger fundación de fuerzas grandes generadas durante la
operación de la máquina o proteger la máquina de aceleraciones grandes
generadas por el movimiento de la fundación. Un sistema de suspensión
proporciona el aislamiento de vibración a un vehículo como esto protege el
vehículo de las aceleraciones generadas por las ruedas. La teoría de aislamiento
de vibración es desarrollada para un sistema SDOF sujeto a la entrada armónica.
Una serie Fourier es una representación de una función periódica por una serie
infinita de términos de coseno y seno. La serie converge a la función periódica
pointwise en cada punto donde la función es continua. La representación de serie
Fourier y el método de superposición lineal son usados para solucionar para la
respuesta fija de un sistema debido a una excitación general periódica.
Instrumentos de medida de vibración sísmicos usan las vibraciones de una masa
sísmica para medir las vibraciones de un cuerpo. Como la masa sísmica es
conectada al instrumento que rígidamente es conectado al cuerpo cuyas
vibraciones están siendo medidas las vibraciones de la masa sísmica en relación
con el cuerpo en realidad son medidas. Un sismómetro mide este movimiento
relativo y requiere una proporción de frecuencia grande para la exactitud. Un
acelerómetro convierte la salida de modo que esto mida la aceleración y requiera
una pequeña proporción de frecuencia para la exactitud.
La respuesta de un sistema con el Columbio que se debilita debido al forzar de
armónico es complicada por la posibilidad de incluyen palo que el movimiento
cesa durante un período cuando la fuerza de primavera y la fuerza de entrada son
insuficientes para vencer la fuerza de fricción. Esto hace la respuesta del sistema
sumamente no lineal.
La amplitud del movimiento tiende a aumentar infinitamente, un sistema que actúa
bajo una excitación externa con una frecuencia forzada que, coincide con la
frecuencia natural, se dice que esta en resonancia.
La amplitud aumenta gradualmente hacia el infinito, sin embargo los materiales
comúnmente usados en una práctica están sujetos a límites de resistencia y los
fallos estructurales ocurrirán mucho antes de que las amplitudes puedan alcanzar
valores extremadamente altos.
2.3.1.2. RESPUESTA FORZADA.
La respuesta crece sin la resonancia de producción atada. Respuesta de un
sistema seco SDOF cuando ω es menor que ωn.
La respuesta de un sistema para el cual la frecuencia de excitación iguala la
frecuencia natural es ilustrada en la figura 1. Ya que la amplitud de la respuesta es
proporcional a la t cultiva sin la producción atada una condición la resonancia
llamada. La resonancia conduce a un aumento de amplitud a un valor donde las
suposiciones usadas en el modelado del sistema físico son caducadas. Por
ejemplo en un sistema con una primavera de rollo helicoidal el límite proporcional
del material de la primavera es excedido como los aumentos de amplitud.
Después de este tiempo el movimiento es gobernado por una ecuación no lineal
diferencial.
Figura 1
Cuando las vibraciones de un sistema conservador son iniciadas, el movimiento es
sostenido en la frecuencia natural del sistema sin la entrada de energía adicional.
Así, cuando la frecuencia de excitación es la misma como la frecuencia natural, el
trabajo hecho por la fuerza externa no es necesario para sostener el movimiento.
La energía total aumenta debido a la entrada de trabajo y conduce a un aumento
continuo de la amplitud. Cuando la frecuencia de excitación es diferente de la
frecuencia natural, el trabajo hecho por la fuerza externa es necesario para
sostener el movimiento en la frecuencia de excitación.
2.3.2.1. RESPUESTA FORZADA DE UN SISTEMA AMORTIGUADO VISCOSO SUJETO A UNA SOLA FRECUENCIA DE EXCITACIÓN
ARMÓNICA.
La forma estándar de la ecuación diferencial que gobierna el movimiento de un
sistema amortiguado de un grado de libertad con una sola frecuencia de excitación
armónica es:
x+2 ζ ωn x+ωn2 x=
F0meq
sin(ωt+ψ )
Una solución particular asumida es
x p (t )=U cos (ωt+ψ )+V sin (ωt+ψ )
Sustituyendo la solución particular en la forma estándar obtenemos las siguientes
ecuaciones para U y V:
(2.3.2.2)
(2.3.2.3)
(2.3.2.1)
(ωn2−ω2 )U+2 ζωωnV=0
−2 ζωωnU+(ωn2−ω2 )V=
F0meq
Resolviendo y sustituyendo en la solución particular obtenemos:
x p (t )=F0
meq [(ωn2−ω2 )2+(2 ζωωn)
2 ][−2 ζωωn cos (ωt+ψ )+(ωn
2−ω2 )sin (ωt+ψ )]
Aplicando la identidad trigonométrica para la diferencia de ángulos del seno y
manipulación algebraica obtenemos:
x p (t )=X sin (ωt+ψ−ф )
X=F0
meq [(ωn2−ω2 )2+(2ζωωn)
2]1/2ф= tan−1(
2ζωωn
ωn2−ω2
)
Donde X es la amplitud de la respuesta forzada y ф el ángulo de fase entre la respuesta y la excitación.
La amplitud y ángulo de fase proveen importante información acerca de la
respuesta forzada. La formulación de las ecuaciones de la amplitud y del ángulo
de fase en forma no dimensional permite una mejor interpretación cualitativa de la
respuesta. En las ecuaciones se puede notar que:
X=f (F0 ,meq ,ω ,ωn , ζ ) y ф=g (ω,ωn)
Los parámetros usan las tres básicas dimensiones: masa, longitud y tiempo. El
teorema de Buckingham Pi establece que la formulación de la relación de la
(2.3.2.4)
(2.3.2.5)
(2.3.2.6)
(2.3.2.8 y 9)
(2.3.2.9 y 10)
amplitud es una función de 6- 3= 3 parámetros no dimensionales. Uno de los
parámetros depende de la amplitud mientras que los otros dos son
independientes.
Si multiplicamos a la amplitud por (meqωn2 )/ F0 obtenemos:
meqωn2 X
F0= 1
[ (1−r 2)2+(2 ζr)2]1/2
Donde r=ωωn
es la frecuencia de radio. El radio es
M=meqωn
2 XF0
adimensional y frecuentemente es llamado amplificación de radio o factor de
magnificación. El factor demagnificación tiene la interpretación de el radio de la
amplitud de la respuesta a la deflexión estática de un resorte de la rigidez K
debido a una fuerza constante F0,
M= XΔst
Una interpretación alternativa seria la máxima fuerza desarrollada en el
resorte de un sistema masa resorte y un sistema viscoso amortiguado, Fmax = kX
= m ωn2 X a la máxima excitación. Representa que tanto la fuerza es magnificada
por el sistema. El factor de magnificación es realmente una fuerza de
radio,dinámicamente similar a:
(2.3.2.11)
(2.3.2.12)
(2.3.2.13)
(2.3.2.14)
(2.3.2.15)
M=Fmax
F0
Entonces la forma no dimensional de la amplitud viene dada por:
M (r ,ζ )= 1
√(1−r 2)2−(2rζ )2
El factor de magnificación es una función de la frecuencia de radio para diferentes
valores del amortiguamiento de radio lo cual se muestra en la siguiente gráfica:
Las siguientes observaciones de las ecuaciones anteriores:
1. M=1 cuando r=0.En este caso la fuerza de
excitación es constante y la máxima fuerza
desarrollada en el resorte de un sistema
masa-resorte-amortiguador es igual al valor
de la fuerza de excitación.
2. Para un valor de r dado, M decrece cuando ζ
incrementa.
2.3.2.2. EXCITACIONES DE FRECUENCIA CUADRADA.
Muchos sistemas de un grado de libertad están sujetos a una sola frecuencia de
excitación armónica cuya amplitudes proporcional al cuadrado de su frecuencia.
F eq (t )=A ω2 sin(ωt+ψ )
donde A es una constante de proporcionalidad con dimensiones de FT2 o L.
Cuando Feq(t) representa un momento A tiene dimensiones de FLT 2 o L2 M. La
respuesta de estado estacionario debido a este tipo de excitación se desarrolla
aplicando ecuaciones desarrolladas en la sección 2.3.2.1. con :
F0=Aω2
(2.3.2.16)
(2.3.2.18)
(2.3.2.17)
Sustituyendo (2.3.2.18) en (2.3.2.11) obtenemos:
(meq XA )(ωn
ω )2
= 1
√[1−( ωωn
)2
]2
+(2ζ ωωn
)2
Donde
Δ es al igual que M una función adimensional de la frecuencia de radio y el
amortiguador de radio. Δ se relaciona con M mediante:
2.3.2.3. RESPUESTA DADA UNA EXCITACIÓN ARMÓNICA DE UN SOPORTE.
Considere el sistema masa-resorte-amortiguador siguiente.
(2.3.2.23)
(2.3.2.19)
(2.3.2.20)
(2.3.2.21)
(2.3.2.22)
El elemento amortiguador y el resorte están en paralelo con uno de los extremos
del elemento de masa y el otro extremo conectado a un soporte movible. Vamos a
denotar y(t) como el desplazamiento conocido del soporte móvil y x(t) el
desplazamiento absoluto de la masa. Aplicando la segunda ley de Newton al
diagrama de cuerpo libre obtenemos:
Definiendo
Como el desplazamiento relativo de la masa respecto del soporte. Si denotamos a
z como la variable dependiente entonces:
Dividiendo las ecuaciones del sistema por m, obtenemos:
y
La ecuación obtenida anteriormente muestra que un sistema masa-resorte-
amortiguador es un ejemplo mas en el cual la magnitud de una excitación
armónica es proporcional al cuadrado de su frecuencia. Entonces usando el
teorema de la sección 2.3.2.2:
Donde
Cuando sustituimos (2.3.2.29) y (2.3.2.30) en (2.3.2.25), el desplazamiento absoluto viene a
ser:
(2.3.2.24)
(2.3.2.25)
(2.3.2.26)
(2.3.2.27 y 28)
(2.3.2.29)
(2.3.2.30)
Usando la identidad trigonométrica de la diferencia de ángulos del seno es posible
expresar la ecuación anterior como:
Donde y
Donde T(ζ,r) es también una función no dimensional de la frecuencia de
radio y el amortiguamiento de radio definido por
2.3.2.3. Excitaciones Multifrecuenciales.
Una excitación multifrecuencia tiene la forma
F ( t )=∑i=1
n
F i sin(ωi t+ψ)
Sin pérdida de generalidad, se asume que Ft> 0 para cada i. La respuesta de
estado estacionariodebido a una excitación de multifrecuencia se obtiene usando
la respuesta de una sola frecuenciaexcitación y el principio de superposición lineal.
La respuesta total es la suma de lasrespuestas debidas a cada uno de los
términos de frecuencia individuales.
2.3.2.4. Representación de Series de Fourier.
La serie de Fourier de una función f definida en el intervalo (-p ,p) está dada por
(2.3.2.31)
(2.3.2.32)
(2.3.2.33)
(2.3.2.34)
f ( x )=a02
+∑n=1
∞
(ancosnπpx+bnsin
nπp
x ) ,
a0=1p∫− p
p
f (x )dx an=1p∫− p
p
f ( x)cos nπp
xdx an=1p∫−p
p
f (x )sin nπpxdx
2.3.2.5. Respuesta de Sistemas debido a una Excitación General Periódica.
Si F(t) es una excitación periódica para un sistema de un grado de libertad con
amortiguamiento viscoso, la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento
del sistema es:
x+2 ζ ωn˙
x+ωn2 x= 1
meq¿¿
VISCOSIDAD.
La viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales. Un
fluido que no tiene viscosidad se llama fluido ideal. En realidad todos los fluidos
conocidos presentan algo de viscosidad, siendo el modelo de viscosidad nula una
aproximación bastante buena para ciertas aplicaciones. La viscosidad sólo se
manifiesta en líquidos en movimiento.
Se habla de viscosidad para hacer referencia a la fuerza contraria que un fluido
ejerce ante una deformación de característica tangencial. Se trata de una
propiedad caracterizada por la resistencia a fluir que se genera a partir del
rozamiento entre las moléculas.
BIBLIOGRAFIA.
http://es.scribd.com/doc/31344306/tipos-de-amortiguamientohttp://books.google.com.mx/books?id=72MXlBvrHsAC&pg=PA48&lpg=PA48&dq=amortiguamiento+de+friccion+seca&source=bl&ots=mvMGTyB9I_&sig=Hkzuuz3qfOWtcLW_j9nFCeGNhQo&hl=es#v=onepage&q=amortiguamiento%20de%20friccion%20seca&f=falsehttp://www.mty.itesm.mx/dia/deptos/im/m95864/P3.pdfhttp://es.wikipedia.org/wiki/Amortiguamiento