2.3 Teoremas de límite y límite laterales

Teoremas sobre Límites

A) Límites de operaciones con funciones.

Sean f y g dos funciones se verifica que:

Si existe y

I. - = +

II. - = –

III. - =

IV. - = , donde

Existen otros teoremas de los límites.

B) Límite de una constante:

Si k es una constante, entonces:

El resultado anterior es bastante evidente a partir de la gráfica de una función

constante.

y

( c, f(c) ) f (x) = k

c x

No olvidemos que se representación es una recta horizontal situada a una

distancia k (0 – k si k < 0) del eje de abscisas. Sabemos además que cualquier función

constante está definida para todo número real por lo que si f(x) = k.

Dentro del producto de funciones existe un caso especial; el producto de una

constante con cualquier función arbitraria. Si g(x) = k f(x), cuando existe ,

entonces:

=

y en virtud del teorema A (III):

= , o bien:

C) Límite del producto de una constante por una función.

Si existe, entonces:

=

Es decir, las constantes que multiplican a una función “entran” o “salen” del límite,

sin que esto lo altere.

La función g(x) = xn (nN) está definida en todo el eje real. Por tal motivo:

D) Límite de una potencia.

La función polinomio es de la forma:

p(x) = a0 xn + a1 xn-1 + … + an.

Observarás que cada término del polinomio es el producto de una constante y una

potencia. Así, en virtud de (C) y (D) se establece la siguiente propiedad:

E) Límite de un polinomio.

Desde luego (E) se puede establecer también recordando que cualquier polinomio

esta definido para todo número real, así, independientemente del valor c, éste pertenece

al dominio.

F) Límite de una función compuesta.

Otra propiedad de gran importancia es el límite de la función compuesta de la

forma:

Si f(x) ≥ 0 y existe , entonces:

=

Esto es, el límite puede “entrar” o “salir” de un radical.

Resumen

I.Si f (x) = c, constante, tendremos:

Si y , resulta:

II. , siendo k una constante.

III. 

IV.

V. 

VI.  , siempre que sea un número real. (Ayres, 10)]

Ejemplos Tabulares: 1) f(x) = x2 + 1 Acercándose a 3 Acercándose a 3  por la izquierda: por la derecha:

x f(x) x f(x)2.99 9.994 3.001 10.006

2.9991 9.9946 3.0009 10.00542.9992 9.9952 3.0008 10.00482.9993 9.9958 3.0007 10.00422.9994 9.9964 3.0006 10.00362.9995 9.997 3.0005 10.0032.9996 9.9976 3.0004 10.00242.9997 9.9982 3.0003 10.00182.9998 9.9988 3.0002 10.00122.9999 9.9994 3.0001 10.0006

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-4 -2 0 2 4

21

1

3

) ( )f xx

x

 Acercándose a 1 Acercándose a 1por la izquierda:  por la derecha:

x f(x) x f(x)0.999 2.997 1.001 3.003

0.9991 2.9973 1.0009 3.00270.9992 2.9976 1.0008 3.00240.9993 2.9979 1.0007 3.00210.9994 2.9982 1.0006 3.001790.9995 2.9985 1.0005 3.00150.9996 2.9988 1.0004 3.00120.9997 2.9991 1.0003 3.000890.9998 2.9994 1.0002 3.00060.9999 2.9997 1.0001 3.0003

  

  

3) ( )f xx

x

 Acercándose a 0 Acercándose a 0 por la izquierda:  por la derecha:

x f(x) x f(x)-0.001 -1 0.001 1

-0.0009 -1 0.0009 1-0.0008 -1 0.0008 1-0.0007 -1 0.0007 1-0.0006 -1 0.0006 1-0.0005 -1 0.0005 1-0.0004 -1 0.0004 1-0.0003 -1 0.0003 1-0.0002 -1 0.0002 1-0.0001 -1 0.0001 1

     

        

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -2 0 2 4

xxf

1sin)()4

  Acercándose a 0 Acercándose a 0 por la izquierda: por la derecha:

x f(x) x f(x)-0.001 -0.82708 0.001 0.82708

-0.0009 0.848291 0.0009 -0.848291-0.0008 0.346117 0.0008 -0.346117-0.0007 -0.753712 0.0007 0.753712-0.0006 -0.998629 0.0006 0.998629-0.0005 -0.930278 0.0005 0.930278-0.0004 0.649448 0.0004 -0.649448-0.0003 0.104528 0.0003 -0.104528-0.0002 0.987688 0.0002 -0.987688-0.0001 0.309017 0.0001 -0.309017

  

54 1

4 1

2

) ( ),

,f x

x x x

x x

  Acercándose a 1 Acercándose a 1  por la izquierda: por la derecha:

x f(x) x f(x)0.999 3.001 1.001 3.00199

0.9991 3.0009 1.0009 3.001790.9992 3.0008 1.0008 3.001590.9993 3.0007 1.0007 3.001390.9994 3.0006 1.0006 3.001190.9995 3.0005 1.0005 3.000990.9996 3.0004 1.0004 3.000790.9997 3.0003 1.0003 3.000590.9998 3.0002 1.0002 3.000390.9999 3.0001 1.0001 3.00019

 

3.1.4. Límites Laterales, al Infinito e Infinitos.

Límites Laterales

Considere la función f, definida por:

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-5 0 5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-4 -2 0 2 4

y cuya gráfica aparece en la figura 8.5.

fig. 8.5.

Se desea conocer el valor de los siguientes límites:

a.

b.

c.

d.

e.El problema ahora se reduce a "sustituir" apropiadamente f(x) en cada uno de los literales anteriores.

a. Nótese que en las "cercanías" de la función f(x) es: . Asi que:

b. Igualmente, en las "cercanías" de la función f(x) es: . De esta forma: 

c. También en las "cercanías" de la función f(x) es: . Por lo tanto, 

Ahora, nótese en la fig. 8.5. que para los valores de x anteriores al

viene dada por: . Mientras que para los valores de x próximos a 1 pero

posteriores viene dado por:

¿Cuál es entonces la f(x) apropiada para sustituir en la parte d.? En situaciones como esta, es útil y natural introducir los llamados Límites laterales.

El símbolo: significa que: x se aproxima a 1 por la izquierda (por valores menores que 1).

El símbolo: significa que: x se aproxima a 1 por la derecha (por valores mayores que 1).

En el caso particular que interesa, se tiene:

(1)

(2) 

Igualmente, en el caso e. ocurre algo similar en las cercanías del punto x = 3. Es decir, 

si y si .

Asi que:

(3)

(4) 

En general, denotamos por: 

para expresar que: x se aproxima al valor a por la derecha.

Esto es por valores de x > a.

para expresar que: x se aproxima al valor a por la izquierda.

Esto es por valores de x < a.

Lo anterior, nos permite dar una definición informal de los límites laterales.

Definiciones.

i.Límite por la derecha.

Decir que , significa que cuando x está cerca, pero a la derecha de a, entonces f(x) está cerca de L.

ii. Límite por la izquierda.

Decir que , significa que cuando x está cerca, pero a la izquierda de a, entonces f(x) está cerca de L.

Observación:

Decir que es diferente a decir que .

El siguiente teorema establece la relación que existe entre el límite de una función en un punto y los límites laterales.

TEOREMA.

Observaciones:

i.Otra forma equivalente de enunciar el teorema es la siguiente: no existe, si y solo si, no existe alguno de los límites laterales, o, si existen, son diferentes.

ii. Las dos formas del teorema se utilizan para determinar la existencia o no del límite de una función, en particular para la función inicial de estudio en esta

sección, se deduce de (1) y (2) que: existe y

, puesto que . De igual forma, de (3) y (4)

se deduce que: no existe, ya que

Límites al Infinito

En lo que sigue vamos a estudiar los límites infinitos para diversas funciones.

Aquí consideraremos un problema diferente al considerado en capítulos anteriores. En ellos nos hemos preguntado qué pasa con f(x) cuando x se aproxima a un valor determinado c. Aquí nos preguntaremos qué pasa con f(x) cuando x crece ilimitadamente (x crece sin cota) o cuando decrece ilimitadamente (decrece sin cota). Estos son los límites al infinito.

Ejemplo 7. Crecimiento ilimitado de x.

Sea , nos preguntamos:

a) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos crecer a x ilimitadamente? b) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos decrecer a x ilimitadamente? (esto es, si tomamos valores negativos de x cada vez "más abajo")

Solución: La gráfica de la función indica que a medida que x crece o decrece ilimitadamente, los valores de f(x) se acercan arbitrariamente a 2.

a) Construyamos una tabla de valores que nos refuerza lo que vemos en la gráfica:

Tabla 4.4

Hacia

x 10 100 1000 10000 100000

f(x) 3,125 2,091836 2,009018 2,0009 2,00009

Hacia 2

Con la tabla 4.4 comprobamos que a medida que los valores de x crecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2.

La expresión "x crece sin cota" se simboliza con y se dice que x tiende a infinito. Toda la situación anterior se escribe simbólicamente como

b) Para comprobar la respuesta también construiremos una tabla de valores.

Tabla 4.5

Hacia

x -10 -100 -1000 -10000 -100000

f(x) 1,25 1,911764 1,991017 1,9991 1,99991

Hacia 2

Nuevamente, a partir de la tabla 4.5 vemos que a medida que los valores de x decrecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2.

La expresión "x decrece sin cota" se simboliza con y se dice que x tiende a menos infinito. La situación anterior se escribe simbólicamente como

Podemos dar una definición informal para estas situaciones.

Definición 4.3. Límites al infinitoa. Decimos que el límite cuando x tiende a infinito de f(x) es igual a L si a

medida que hacemos crecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a L. Simbólicamente

(Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a infinito es L).

b. Decimos que el límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es igual a M si a medida que hacemos decrecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a M. Simbólicamente

(Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es M).

Teorema 4.3. Propiedades de los límites al infinito

1. Si k es una constante entonces y

2. Si n es un número natural par entonces y

3. Si n es un número natural impar entonces y

4. Si m es un número natural par entonces

5. Si m es un número natural impar entonces y

6. Si k es un número racional positivo y r es un número real arbitrario

entonces y siempre que xk esté definido.

Además, son válidas las propiedades dadas en los teoremas 2.1 y 4.2 si en vez de x tiende a c escribimos o escribimos .

Aplicaciones del Teorema 4.3

Ejemplo 9.

, por el punto 1 del teorema anterior tomando k=439.

y , por el punto 2 del teorema, tomando n=2 (par).

y , por el punto 3 del teorema, tomando n=5 (impar).

, por el punto 4 del teorema, tomando m=2 (par).

y , por el punto 5 del teorema, tomando m=3 (impar).

y , por el punto 6 del teorema, tomando r=42 y k=4.

Ejemplo 10. Un método para calcular ciertos límites al infinito.

Calcular

Solución: Tenemos

Calcular .

Solución: Usualmente, con el fin de utilizar las propiedades anteriores, se procede en estos casos del siguiente modo:

Observe que lo que se hizo fue factorizar la expresión "sacando" el término de mayor exponente, por esta razón dentro del paréntesis quedan fracciones en las que aparece la variable en el denominador. El objetivo que se persigue con esto es muy claro: estas fracciones que acabamos de mencionar tienden a 0 y, por lo tanto, el límite solo va a depender del término de mayor exponente. Entonces,

(¿por qué?)

El procedimiento que acabamos de utilizar en el ejemplo anterior se usa en el cálculo de muchos de los límites al infinito.

Calcular

Solución: Procedemos del siguiente modo:

Límites al infinito de funciones polinomiales

El procedimiento usado es bastante general y podemos deducir de él las dos reglas siguientes.

Regla 1: Si tenemos un polinomio p(x)=anxn+an-1xn-1+ ··· +a1x+a0 (con an

diferente de 0) entonces

y también

Regla 2: Si tenemos dos polinomios p(x)=anxn+an-1xn-1+ ··· +a1x+a0 (con an

distinto de 0) y q(x)=bmxm+bm-1xm-1+ ··· +b1x+b0 (con bm distinto de 0) entonces

y además

Simplemente lo que dicen las dos reglas anteriores es que al calcular los límites al infinito de un polinomio basta considerar solo el término de mayor grado. Del mismo modo, al calcular los límites al infinito de un cociente de polinomios basta considerar solamente el cociente de los términos de mayor grado de ambos polinomios.

1. Evaluar los siguientes límites: 

a. 

b.

Solución

a. El límite es indeterminado de la forma  .  Para eliminar la indeterminación, se divide numerador y denominador por x; así: 

Como  , x < 0 y se puede escribir  en el numerador. 

Luego, 

 

b. Este límite también es indeterminado de la forma  . 

Para eliminar la indeterminación, se divide numerador y denominador

nuevamente por x y como  , se puede escribir  en el numerador, asi: 

2. Evaluar el siguiente límite: 

SoluciónEl límite es indeterminado de la forma:  . 

Para eliminar la indeterminación, se multiplica y se divide la expresión

inicial por  y luego, se divide numerador y denominador por x. 

Esto es, 

 

Ahora, como x > 0 se puede escribir  en el denominador de la última fracción.  De esta forma:

3. Evaluar los siguientes límites: 

a. 

b. 

Solución

a. Al dividir numerador y denominador por  (mayor potencia de x), se obtiene: 

b. Nótese que como la función  es una función par, esto

es  , significa esto entonces que el comportamiento de f para valores grandes de x positivos y para valores grandes de x negativos, es el mismo. Asi que, 

Límites infinitos

     Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.

 Crecimiento infinito:

 Decrecimiento infinito:

 Teorema de límite13:

 Teorema de límite14:

 Teorema de límite15:

 Teorema de límite16:

 Teorema de lìmite 17:

 Ejercicios resueltos  En los ejercicios 1 a 7, determine el límite. En los ejercicios 9 a 11. encuentre la(s) asíntota(s) vertical(es) de la gráfica de la función y trácela(s).

S o l u c i o n e s 1. Solución:

 2. Solución:

 3. Solución:

 4. Solución:

 5. Solución:

 6. Solución: