RAZONAMIENTO MATEMTICO.NIVEL: SECUNDARIA SEMANA N 01 SEGUNDO GRADO

I.E.P San Juan Bautista-El AltoDel colegio a la Universidad

Mes: Abril 2013

ORDEN DE INFORMACIN II.

ORDENAMIENTO CIRCULAR

En este captulo resolveremos problemas que en su representacin esquemtica se consideran circuitos cerrados como por ejemplo: personas o cosas alrededor de una mesa, personas alrededor de una fogata, etc.

En los problemas de ordenamiento circular asumimos que: Todas las personas se ubican mirando al centro del crculo (con ello podremos establecer las ubicaciones a la izquierda y las ubicaciones a la derecha).

En muchos de los problemas de ordenamiento circular se considera que los asientos se encuentran distribuidos de manera simtricaqu significa ello?

Si no se dijera que las personas se encuentran distribuidas de manera simtrica , ellas se podran colocar alrededor de la mesa como se muestra en la figura 1; en cambio, si estn distribuidas de manera simtrica ellas estaran ubicadas tal como lo muestra la figura 2.

A continuacin se muestra algunas situaciones bsicas asociadas con el ordenamiento circular. (Analizaremos una situacin donde hay seis animales distribuidos simtricamente alrededor de una mesa circular).

Frente al gato est el chancho.Junto al gorila estn el gato y el pato.A la derecha del perro estn el chancho y el pato.A la izquierda del avestruz estn el gato y el gorila.Junto y a la derecha del pato est el gorila.A dos asientos del gato estn el pato y el perro.A tres asientos a la izquierda del chancho est el gato.Entre el chancho y la avestruz est el perro.El gorila y el chancho tienen un vecino en comn, ese es el pato.Ocho frutas han sido distribuidas alrededor de una mesa de manera simtrica tal como se muestra en el siguiente grfico:

TALLER DE APRENDIZAJE PREVIO

1.Dado el siguiente esquema, indicar cuntas de las afirmaciones son verdaderas.

Manuel est a la derecha de Miriam.Sergio est a la izquierda de Luz.Manuel est frente a una mujer.Luz est adyacente a Sergio y a Miriam.

2.Sobre el esquema mostrado, cul de las siguientes afirmaciones es falsa?

a)Cecilia est sentada frente a Ada.b)Luis est sentado adyacente a dos mujeres.c)Cecilia est sentada a la derecha de Hugo.d)Luis est sentado a la izquierda de Cecilia.e)Ada est sentada a la derecha de Luis.

3.Dado el siguiente esquema, indicar la cantidad de afirmaciones que son verdaderas.

Paco est sentado frente a Donald.A la derecha de Lucas estn Luis y Donald.Junto y a la izquierda de Daisy est Hugo.Lucas est entre Daisy y Luis.

4.Segn el siguiente esquema, junto a quin se sienta el que est frente a Mafalda?

5.Segn el siguiente esquema, cuntas de las afirmaciones son verdaderas?

Luna est sentada dos asientos a la derecha de Lena.A la izquierda de Luna estn Lilo, Lalo y Lana.Entre Lalo y Lina estn Lana y Lolo.Dos asientos a la derecha de Lolo est Lena.

6.Juan, Sergio, Rosario y Roco se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cuatro asientos distribuidos simtricamente y se sabe que:

Rosario se sienta a la derecha de Juan.Sergio est sentado junto a dos mujeres.Quin se sienta a la izquierda de Roco?

7.Tapo, Tepo, Tipo y Topo son cuatro hermanos que se deciden sentar alrededor de una mesa circular con cuatro asientos distribuidos simtricamente y se sabe que Tapo no est junto a Topo.

Cuntos ordenamientos diferentes son posibles?

8.Segn el enunciado de la pregunta anterior, si Tipo est a la izquierda de Tapo, es cierto que:

a)Tepo est junto a Tipob)Topo est a la izquierda de Tepoc)Tipo est a la izquierda de Topod)Tapo est a la izquierda de Tepoe)Tepo est adyacente a Tipo y Tapo

PROBLEMAS PARA LA CLASE

En una mesa circular con seis asientos distribuidos simtricamente se sientan cinco amigos: Ricardo, Ruben, Vanessa, Lorena y Fernando.

-Fernando est a la derecha del asiento vaco.-Vanessa se sienta frente a Ruben.-Ruben se sienta junto a Ricardo y Lorena.

1.Quin est frente al lugar vaco?

a)Ricardob)Rubenc)Lorenad)Vanessae)No se puede determinar2.Cuntos posibles ordenamientos hay?a)1b)2c)3d)4e)5

3.Cul de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I.Lorena se sienta frente a Fernando.II.Ricardo se sienta a la derecha de Ruben.III. Vanessa y Fernando se sientan juntos.

a)Solo Ib)II y IIIc)Solo IId)I y IIIe)Solo III

4.Todas las siguientes afirmaciones son verdaderas, excepto:a)Vanessa esta adyacente al sitio vacio.b)Lorena est junto a Vanessa.c)Ricardo se sienta a la derecha de Vanessa.d)El sitio vaco se encuentra a la derecha de Ricardo.e)N.A.

5.Si Fernando est frente a Roco, el sitio vaco se encuentra frente a:

a)Vanessab)Rubenc)Lorenad)No se puede determinare)N.A.

Cinco amigos se sientan en una mesa circular con seis asientos distribuidos simtricamente:

-Shirley est junto y a la izquierda de Juan.-Roxana est frente a Shirley.-Gabriela no se sienta junto a Roxana.

6.Cul(es) enunciado(s) es(son) verdadero(s)?

I.Juan est junto al asiento vaco.II.Roxana est junto a Roco.III. Gabriela se sienta frente a Roco.

a)Solo Ib)II y IIIc)I y IIId)Solo IIIe)N.A.

7.Si el asiento vaco est entre Gabriela y Roxana, entonces es cierto que:

a)Shirley est junto a Roco.b)Juan est frente a Gabriela.c)Roco est junto a Roxana.d)Juan se sienta a la derecha del asiento vaco.e)N.A.

8.Quin est junto al asiento vaco?

a)Roxanab)Rococ)Gabrielad)Shirleye)Juan

9.Quin est frente a Roco?

a)Juan b)Shirleyc)Gabrielad)Fernandoe)No se puede determinar

10.Cuntos posibles ordenamientos hay?

a)1b)2c)3d)4e)5

ENUNCIADO:Alrededor de una mesa circular hay seis asientos distribuidos simtricamente y se van a sentar cinco personas teniendo en cuenta que:

Ricardo no se sienta junto a Fernando.Jorge se sienta adyacente a Alfredo y al asiento vaco.Tadeo est a la derecha de Alfredo.

11.Cuntos ordenamientos diferentes son posibles?TAREA DOMICILIARIA N 01

a) 1 b) 2 c)3 d)4 e)Ms de 4

12.Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a)Fernando se sienta junto al asiento vaco.b)Ricardo se sienta junto al asiento vaco.c)Ricardo se sienta a la derecha de Fernando.d)Alfredo se sienta frente a Fernando.e)Tadeo se sienta junto a Ricardo.

1.Seis amigos: Alberto, Beatrz, Carmen, Diego, Elena y Miguel, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simtricamente. Adems:

Los tres hombres se sientan juntos.Beatrz se sienta junto y a la derecha de Diego.Carmen se sienta frente a Miguel.

Quin se sienta junto a Elena?

a) Beatrz b) Diego c) Miguel d) Alberto e) Falta informacin

2.Segn el enunciado de la pregunta anterior, quin se sienta junto y a la izquierda de Alberto?

a) Miguel b) Elena c) Diego d) Carmen e) Falta informacin

3.Alrededor de una mesa circular se distribuyen seis cartas de manera simtrica y se sabe que:

El 2 de corazones est junto y a la izquierda del 7 de espadas.El 9 de diamantes est tres cartas a la izquierda del 7 de espadas.El 5 de trboles est frente al 8 de corazones.El 10 de diamantes es la carta ms alta que hay en la mesa.

Junto a qu carta est el 10 de diamantes?

a) 5b) 7 c) 2 d) 8 e) 9

4.Segn la pregunta anterior, cuntos ordenamientos diferentes son posibles?

a) 1 b) 2 c)3 d) 4 e) Ms de 4

5."A", "B", "C", "D", "E" y "F" se sientan alrededor de una mesa circular en seis asientos distribuidos simtricamente y se sabe que:

"A" no se sienta junto a "B" ni a "F"."E" se sienta adyacente a "F" y "C".

Frente a quin se sienta D?

a) A b) B c) E d) F e) Falta informacin

6.Segn la pregunta anterior, cuntos ordenamientos diferentes son posibles?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Ms de 4

7.En una mesa con seis asientos distribuidos simtricamente se van a sentar cuatro personas y se sabe que:

Roberto estar junto a los asientos vacos.Manuel no estar frente a un asiento vaco.Alonso y Diego son hinchas de la U.

Cuntos ordenamientos diferentes son posibles?

a) 1 b)2 c)3 d)4 e)Ms de 4

8.Segn la pregunta anterior, cules de las siguientes afirmaciones son ciertas?

I.Alonso se sienta frente a un lugar vaco.II.Diego no est sentado junto a Alonso.III. Manuel est sentado a la derecha de Diego.

a) Solo I b) Solo IIc) Solo IIId) Solo I y II e) Todas

9.En las esquinas de una mesa hexagonal (regular) se sientan seis personas tal como se muestra en el esquema adjunto:

Quin se sienta a la derecha de Frodo y a la izquierda de Alf?

a) Willy b) Fiona c) Nemo d) Shrek e) Faltan datos

10.Segn el esquema anterior, si se desea que Alf y Willy no estn juntos y slo debe realizarse un intercambio de lugares entre dos personas, de cuntas maneras diferentes se podr realizar dicho intercambio?

a) 4 b) 5 c) 6 d)7 e) Ms de 7

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA N 02 SEGUNDO GRADO

CONTEO DE FIGURAS.

En el presente captulo, estudiaremos la tcnica de conteo directo para determinar la cantidad mxima de figuras de un determinado tipo presentes en una figura dada y, luego de ello, estudiaremos el conteo de caminos y el trazado de figuras.

A.CONTEO DE FIGURAS

CONTEO DIRECTOConsiste en calcular el nmero mximo de figuras del tipo deseado, procediendo de la siguiente manera:

Numeracin de las figuras simples mediante nmeros y/o letras.Conteo ordenado de las figuras con una letra, con dos letras, con tres letras y as sucesivamente.

1.Cuntos tringulos como mximo hay en la siguiente figura?

Resolucin:Primero procedemos a enumerar las figuras simples:

Luego realizamos el conteo ordenado:

Con una figura simple:

Con dos figuras simples:

Con tres figuras simples:NO HAY TRINGULOS

Con cuatro figuras simples:NO HAY TRINGULOSEl nmero mximo de tringulos en la figura es 5.

2.Cuntos tringulos como mximo hay en la siguiente figura?

Resolucin:Ahora vamos a usar letras: A continuacin realicemos el conteo ordenado de los tringulos:

Con una letra: B - C - E - F - G (5 tringulos)

Con dos letras: AC - AB - EG - FG (4 tringulos)

Con tres letras: CDE - BDF (2 tringulos)

Con cuatro letras: NO HAY

Con cinco letras: ABCDE - ACBDF (2 tringulos)

Con seis letras: NO HAY

Con siete letras: ABCDEFG (1 tringulo)

En total hay 14 tringulos.

B.CONTEO DE CAMINOS

1.Juanito desea trasladarse desde su casa al colegio (ver esquema adjunto). De cuntas maneras podr hacerlo, si en cada uno de los caminos a seguir no podr pasar ms de una vez por cada uno de los puntos?

Los posibles caminos a seguir son:

En total hay cuatro caminos posibles.

2.Mariana quiere llegar al cine. De cuntas maneras podr escoger el camino a seguir, si en cada uno de los caminos, no puede pasar ms de una vez por cada uno de los puntos?.

Los posibles caminos son:ACEH ACFH ACFDGH ABDGH ABDFH ABDFCEH

En total hay 6 caminos posibles.C.TRAZADO DE FIGURAS

En esta parte debemos analizar si una figura dada se puede realizar de un solo trazo bajo las siguientes condiciones:

No se debe levantar el lapicero de la superficie donde se est dibujando la figura.No se puede pasar ms de una vez por una misma lnea.

*Definiciones previas:

Punto par: Punto donde converge un nmero par de lneas (figura 1).Punto impar: Punto donde converge un nmero impar de lneas (figura 2).

En las siguientes figuras determinar la cantidad de puntos pares y la cantidad de puntos impares. Luego intente ver si se puede realizar la figura de un solo trazo:

Conclusiones en base al anlisis anterior:

-Si la figura no tiene puntos impares, entonces -Si la figura tiene hasta dos puntos impares, entonces -Si la figura tiene ms de dos puntos impares, entonces

TRALLER DE APRENDIZAJE N 01.

Cuntos tringulos como mximo hay en las siguientes figuras?

1.

2.

3.

4.

5.

Cuntos cuadrilteros como mximo hay en las siguientes figuras?

6.

7.

8.

En cada caso indicar de cuntas maneras diferentes se pueden ir de "A" hasta "G" sin pasar, en cada recorrido, ms de una vez por cada uno de los puntos.9.

10.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1.Cuntos tringulos hay en la figura?

a)18b)16c)14d)12e)102.Cuntos tringulos hay en la figura?

a)12b)15c)13d)18e)16

3.Cuntos cuadrilteros hay en la figura?

a)17b)13c)16d)12e)15

4.Hallar el nmero de tringulos en:

a)15b)18c)20d)24e)16

5.Calcular el nmero de tringulos en:

a)90b)91c)92d)93e)94

6.Cuntos cuadrilteros hay?

a)7b)8c)11d)9e)57.Hallar la totalidad de cuadrilteros en:

a)18b)23c)9d)7e)12

8.Cuntos tringulos hay en total

a)30b)39c)40d)42e)48

9.Hallar el total de cuadrilteros en:

a)16b)17c)18d)19e)20

10.Hallar el nmero total de cuadrilteros y tringulos en la figura, luego suma estos valores.

a)13b)12c)14d)15e)16

TAREA DOMICILIARIA N 02.

Indicar de cuntas maneras diferentes se pueden ir de "A" hasta "G" sin pasar, en cada recorrido, ms de una vez por cada uno de los puntos.1.

a) 8 b)9 c)10 d)11 e)12

En las siguientes figuras, indicar la cantidad de puntos impares que tienen las figuras mostradas y concluir si se pueden hacer o no de un solo trazo.

2.

a) 2 s b) 0 s c) 4 no d) 4 s e) 2 no

3.

a) 6 no b) 8 no c) 2 s d) 4 no e) 0 s

4.

a) 0 s b) 2 s c) 4 no d) 2 no e) 6 no

5.

a) 0 s b) 2 s c) 2 no d) 4 s e) 4 no

6. Cuntos tringulos como mximo hay en la siguiente figura?

a) 15 b) 16 c) 17 d) 14 e) 137. Cuntos cuadrilteros hay en la siguiente figura?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e)9

8. Cuntos tringulos tienen al menos un asterisco?

a) 6 b) 7 c)8 d)9 e)10

9. Cuntos cuadrados hay en la siguiente cuadrcula?

a) 16 b) 25 c) 28 d) 30 e) 32

10. Cuntas de las figuras mostradas se pueden realizar de un solo trazo?

a) 0 b) 1 c)2 d)3 e)4

11. Cuntos tringulos hay en la siguiente figura?

a) 14 b) 16 c)18 d) 20 e)24

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA N 03 SEGUNDO GRADO

SUCESIONES.

Una sucesin viene a ser un conjunto ordenado de elementos que pueden ser nmeros, letras, figuras o una combinacin de los anteriores. Estos elementos se caracterizan por seguir una regla de formacin y lo que buscaremos en cada uno de los ejercicios es encontrar esa regla de formacin.

Ejemplos de sucesiones:

Numrica: 4 ; 6 ; 9 ; 13 ; 18 ; 24

Literal:A ; C ; E ; G ; I ; K

De figuras: ; ; ;

Combinada: C4 ; D7 ; E10 ; F13 ; G16 ; H19

En el presente captulo nos ocuparemos de las sucesiones numricas y literales.

Sucesiones numricas

En cada uno de los siguientes ejemplos nos ocuparemos de encontrar la ley de formacin y el elemento que sigue.

a.4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ;

Resolucin:

El nmero que sigue es: 12+2=14

b.2 ; 5 ; 9 ; 14 ; 20 ;

Resolucin:

El nmero que sigue es: 20 + 7 = 27

c.5 ; 10 ; 20 ; 40 ; 80 ;

Resolucin:

El nmero que sigue es: 80 x 2 = 160

Sucesiones literalesSon un conjunto ordenado de letras de acuerdo a los siguientes criterios:

Lugar que ocupa la letra en el abecedario (no consideraremos "CH" ni "LL")

Ejemplos: Indicar la letra que sigue en las siguientes sucesiones:a.A ; C ; F ; J ; ;

Resolucin:

La letra que sigue est asociada con el nmero:15 + 6 = 21 . La letra es la T.

Iniciales de palabras conocidas

Ejemplos:

Indicar la letra que sigue en las siguientes sucesiones:

a.L ; M ; M ; J ; V ;

Resolucin: La letra que sigue es: S (sbado)

TALLER DE APRENDIZAJE N 03.

Determinar el nmero o letra que sigue en cada una de las siguientes sucesiones:

1.2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ;

2.3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 ;

3.128 ; 64 ; 32 ; 16 ;

4.1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ;

5.1 ; 8 ; 27 ; 64 ;

6.3 ; 7 ; 12 ; 18 ; 25 ;

7.3 ; 6 ; 12 ; 15 ; 30 ; 33 ;

8.5 ; 5 ; 10 ; 30 ; 120 ;

9.360 ; 72 ; 18 ; 6 ;

10.2 ; 5 ; 4 ; 6 ; 8 ; 7 ; 16 ; 8 ;

Indicar el nmero o letra que sigue en cada una de las siguientes sucesiones:1.3; 7; 11; 15; 19; ...

2.B; D; F; H; J; ...

3.9; 16; 25; 36; 49; ...

4.1; 2; 4; 5; 10; 11; ...

5.D; F; I; M; ...

6.2; 7; 4; 6; 8; 5; 16; ...

7.2; 6; 12; 20; 30; ...

8.U; D; T; C; C; S; ...

9.6; 10; 16; 26; 42; 68; ...

10. 1; 3; 7; 15; 31; ...

PROBLEMAS PARA LA CLASE.

En cada caso, hallar el nmero o letra que contina:

1.2; 14; 26; 38; ...

a)50b)52c)60d)39e)48

2.1; 8; 27; 64; 125; 216; ...

a)125b)269c)333d)349e)343

3.1; 1; 2; 3; 5; 8; ...

a)10b)9c)14d)12e)13

4.5; 9; 14; 21; 31; ...

a)39b)41c)43d)45e)47

5.z, w, r, l, ...

a)Bb)Cc)Dd)Ae)E

6.p, s, t, c, q, s,s, o, n, d, ...

a)Sb)Oc)Ud)Te)N

7.R, 1, Z, 16, N, 1, M, 9, E, 14, T, ...

a)15b)22c)20d)16e)18

8.A, 2, D, 5, G, 8, J, 11, ...

a)M, 16b)N, 10c)M, 13d)M, 14e)M, 12

9.A, F, K, O, ...

a)Tb)Rc)Wd)Pe)U

10.1, 1, 3, 18, 180, ...

a)1 200b)190c)350d)2 700e)1 200

Determinar el nmero o letra que sigue en cada una de las siguientes sucesiones:

11.3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21;

a) 31 b) 33 c) 34 d) 35 e) 43

12.2 ; 4 ; 7 ; 28 ; 33 ;

a) 89 b) 198 c) 208 d) 189 e) 162

13.A ; D ; I ; O ; X ;

a) B b) E c) F d) H e) I

14.C ; D ; Q ; V ; V ; T ; T ;

a) C b) S c) O d) N e) X

15.7 ; 12 ; 19 ; 28 ; 39 ;

a) 46 b) 50 c) 51 d)62 e) 52

16.2 ; 3 ; 6 ; 11 ; 18 ;

a)27 b)29 c)31 d)25 e)23

17.2 ; 4 ; 10 ; 22 ; 42 ;

a) 56 b) 64 c) 68 d) 72 e) 80

18.1 ; 1 ; 3 ; 9 ; 5 ; 1 ; 7 ;

a) 70 b) 42 c) 49 d) 56 e) 84

En cada caso, hallar el nmero o letra que contina:

1.B ; D ; F ; H ; J ;

2.C ; F ; I ; L ; ;

3.Z ; X ; V ; T ;

4.E ; F ; M ; A ; M ;

5.D ; C ; S ; O ; D ;

6.A ; C ; F ; J ;

7.A ; Z ; B ; Y ; C ; X ;

8.B ; A ; F ; C ; J ; E ;

9.B ; F ; K ; P ;

10.A ; B ; D ; H ;

11. 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; ...

12. D; G; J; M; O; ...

13. B; F; L; S; C; ...

14. A; B; D; H; ...

15. 5; 13; 29; 61; ...

16. 9; 5; 15; 11; 33; 29; ...

17. 32; 20; 16; 17; 8; 14; ...

18. 2; 10; 30; 68; 130; ...

19. Z; W; T; Q; ...

20. 5; 8; 14; 32; 104; ...

21. 3; 8; 15; 24; 35; ...

22. C; F; E; J; I; Q; ...

23. B; G; K; N; O; ...

24. B; Y; E; V; H; S; K; ...

25. 6; 3; 6; 24; 12; 15; 60; ...

26. 1; 6; 10; 18; 25; 39; 52; ...

27. B; C; E; G; K; M; P; R; ...