r.m. 5º prim

RAZONAMIENTO MATEMÁTICORAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5º GRADO DE PRIMARIA5º GRADO DE PRIMARIA

Dada la sucesión: a1 ; a2 ; a3 ; …; an

La suma de los términos de dicha sucesión se le conoce con el nombre de serie; es decir:

Serie Aritmética: Cuando la razón entre sus términos consecutivos se halla por diferencia es decir:

Dada la sucesión aritmética:

Entonces:

Ejemplo: Dada la serie:

Dada la Serie Aritmética

La suma de los términos de una serie aritmética esta dado por:

Donde:a1 = primer término an = último término n = número de términos

El número de términos de una serie aritmética esta dado por:

Donde:an = último término a0 = primer término r = razón

Ejemplo: Calcular la suma de los términos de la siguiente sucesión:

3 ; 7 ; 11 ; 15 ; …. ; 119

Resolución:

Recuerde que:

Para hallar el término anterior al primero se hace de la manera siguiente:

Hallamos el número de términos:

Hallamos la suma de términos:

Serie Geométrica: Cuando la razón entre sus términos consecutivos se halla por cociente, es decir:

Dada la sucesión geométrica:

Entonces:

Ejemplo: Dada la serie:

67

RAZONAMIENTO MATEMÁTICORAZONAMIENTO MATEMÁTICO II TRIMESTREII TRIMESTRE

Dada la Serie Geométrica

La suma de los términos de una serie geométrica esta dada por:

Donde:a1 = primer término r = razón n = número de términos

El número de términos de una serie geométrica esta dado por:

Donde:a1 = primer término r = razón n = número de términos

Ejemplo: Calcular la suma de los términos de la siguiente sucesión:3 ; 6 ; 12 ; 24 ; …. ; 384

Resolución:

Aplicamos la formula:

Por comparación de bases y exponentes: 7 = n – 1

Aplicamos la formula:

ALGUNAS SERIES IMPORTANTES:

1.

2.

3.

4.

5.

A. SUMA DE LOS “N” PRIMEROS NÚMEROS NATURALES

“n” nos indica el número de términos

Esta fórmula sólo se cumplirá cuando la sumatoria empieza en 1 y va de uno en uno.

Ejemplo: Hallar el valor de “P”

Resolución:Como se observará: n=8; pues hay 8 términos, reemplazando dicho valor en la formula, obtenemos:

Verificación:

68


B. SUMA DE LOS “N” PRIMEROS NÚMEROS PARES CONSECUTIVOS

Nota: Cuando los números son pares consecutivos siempre y cuando empiece con 2; para saber cuantos términos tiene dicha sumatoria al último término se le saca su mitad, en este caso el número de términos será:

Luego: para sumar los “n” primeros números pares consecutivos se aplica la siguiente fórmula:

Fórmula

Esta fórmula sólo se cumplirá cuando la sumatoria empieza en 2 y va de dos en dos.

Ejemplo: Hallar el valor de “Q”

Resolución:

En primer lugar, hallamos el número de términos

En segundo lugar, aplicamos la fórmula: , que reemplazando el valor de

n=10, obtenemos:

Verificación:

Nota: En esta caso B; osea la suma de los n primeros números pares consecutivos, también se puede aplicar las fórmulas.

Fórmula I:

Fórmula II:

Aplicamos dichas formulas en la sumatoria;

Obtenemos:anterior al primero = primero – razón = 2 – 2 = 0

Fórmula I:

Fórmula II:

C. SUMA DE LOS “N” PRIMEROS NÚMEROS IMPARES CONSECUTIVOS

Luego, para sumar los “n” primeros números impares consecutivos se aplica la siguiente fórmula:

(fórmula)

Donde: “n” nos indica el número de términos de dicha sumatoria.

Nota: Cuando los números son impares consecutivos, para saber cuántos términos tiene dicha sumatoria se suma el primer término con el último y este resultado se divide entre 2. Osea:

Números de términos

Ejemplo: Hallar el valor de:

Resolución:En primer lugar, hallamos el número de términos.

69


En segundo lugar, aplicamos la fórmula: , que reemplazando el valor de n=9

obtenemos:

Verificación:

Nota: En este caso C; o sea de la suma de los “N” primero números impares consecutivos, también se puede aplicar las fórmulas.

Fórmula I:

Fórmula II:

Aplicamos dichas formulas en la sumatoria:

Obtenemos:anterior al primero = primero – razón = 1 – 2 = 1

Fórmula I:

Fórmula II:

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE SUMATORIAS

Ejercicio 1 Efectuar:

Resolución:La expresión dada se puede escribir de la manera siguiente:

Agrupamos términos de la manera siguiente:

Luego:

Ejercicio 2Hallar “a + b + c”; si:

Resolución En primer lugar, calculamos el # de términos

En segundo lugar, calculamos la suma de los términos

Luego:

70


Ejercicio 3Calcular el valor de “x”, si:1 + 3 + 5 + 7 + … + x = 2025

Resolución:Cuando los números son impares consecutivos a partir de 1, para hallar el número de términos se suma el primero mas el ultimo y se divide entre dos.

O sea:

Luego: para hallar la suma de términos, al # de términos se le eleva al cuadrado, así:

Ejercicio 4

Hallar el valor de “x”, en:1 + 8 +27 + …. + 343 = 4 + 12 + 20 + … + x

Resolución:La expresión dada se puede escribir de la manera siguiente:

Identificando:

Luego:

Ejercicios 1Hallar el valor de:

Resolución

Rpta. S = 496

Ejercicios 2Hallar el valor de “x”, si:

Resolución

Rpta. x = 20

Ejercicios 3

71


Si la suma de los primeros múltiplos de 7, le restamos, la suma de los 20 primeros números múltiplos de 5; se obtiene:Resolución

Rpta. 420


Resolución

Rpta. E = 330

Ejercicios 5Hallar el número de términos en la siguiente sumatoria:

Resolución

Rpta. # término = 22


Resolución

Rpta. R = 12210


Resolución

72


Rpta. S = 55


Resolución

Rpta. S = 31Ejercicios 9Hallar el valor de “x”; si:

Resolución

Rpta. x = 49


Resolución

Rpta. Q = 819


Resolución

73


Rpta. E = 26


Resolución

Rpta. E = 91/9

Ejercicios de Reforzamiento sobre Sumatorias

NIVEL I

Ejercicio 1Hallar el valor de:

a) 4050 b) 4005 c) 5004d) 4500 e) 4675


a) 465 b) 930 c) 903

d) 654 e) 850

Ejercicio 3Hallar la suma de los primeros 50 números múltiplos de 5. (No considerar al cero)

a) 7635 b) 6735 c) 6375d) 7365 e) 3756

Ejercicio 4Si a la suma de 25 primeros números múltiplos de 6, le restamos, la suma de los 25 primeros números múltiplos de 4, se obtiene:

a) 650 b) 560 c) 506d) 605 e) 780


a) 224 b) 422 c) 242d) 426 e) 644


a) 410 b) 401 c) 420d) 460 e) 501Ejercicio 7Hallar el número de términos en la siguiente sumatoria:

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19


a) 1506 b) 1056 c) 1065d) 1606 e) 1605


a) 90 b) 120 c) 160d) 180 e) 360

Ejercicio 10Hallar el número de términos en la siguiente sumatoria:

74


a) 63 b) 65 c) 67d) 69 e) 72


a) 1021 b) 1012 c) 1102d) 2101 e) 2011


a) 756 b) 756 c) 676d) 657 e) 706

Ejercicio 13Hallar el valor de “x”:

a) 28 b) 27 c) 26d) 23 e) 37

Ejercicio 14Hallar el término 30 de la siguiente sumatoria:

a) 57 b) 58 c) 59d) 61 e) 63


a) 6210 b) 6201 c) 6102d) 6021 e) 2061


a) 44100 b) 41400 c) 14400d) 12400 e) 40140


a) 527 b) 275 c) 705d) 705 e) 257

Ejercicio 18En la siguiente expresión, hallar el valor de “m+n”:

a) 42 b) 35 c) 53d) 63 e) 57


a) 1206 b) 1026 c) 1062d) 1602 e) 1428


a) 1653 b) 1453 c) 1533d) 1353 e) 1853

75



a) 288 b) 278 c) 376d) 478 e) 882


a) 918 b) 919 c) 819d) 891 e) 691


a) 63 b) 36 c) 28d) 42 e) 34


a) 380 b) 347 c) 374d) 437 e) 473


a) 1575 b) 1755 c) 1557d) 7515 e) 5175

NIVEL II


a) 2205 b) 2025 c) 2502d) 2252 e) 2325


a) 3601 b) 3106 c) 3026d) 3016 e) 3061

Ejercicio 3Sabiendo que:

Hallar el valor de:

a) 8 b) 2 c) 1d) 16 e) 64

Ejercicio 4Efectuar:

a) 480 b) 804 c) 840d) 408 e) N.A.

Ejercicio 5Si: Hallar el valor de:

a) K+3 b) K+6 c) 20d) K – 21 e) N.A.

Ejercicio 6Si: Hallar el valor de:

a) S+22 b) S+20 c) S+11d) S+10 e) N.A.

Ejercicio 7¿Cuántos cuadraditos existen en la figura # 20?

a) 36 b) 93 c) 39d) 24 e) 40

76

# 1

;

# 2

;

# 3

; ……. ; …… ?


DEFINCIONES PREVIAS

Enunciados Abiertos. Es aquel en que aparece por lo menos una letra o palabra llamada variable que al sustituirla por valores determinados se transforma en una proposición.

Los siguientes son enunciados abiertos:(a) 3 + x = 8(b) 2x – 5 = 7(c) x < 7(d) 10 + 3x > 4(e) 4x – 1 ≤ 7(f) 5x + 2 ≥ 12

PROPOSICIÓN: Es una expresión de nuestro lenguaje, a la que se le puede asignar el único calificativo de verdadero o falso.

SON PROPOSICIONES VERDADERAS(a) 10 > 4(b) Miguel Grau nació en Piura(c) 11 es un número primo(d) 35 : 7 = 5

SON PROPOSICIONES FALSAS(a) 3 > 8(b) 6 es número impar(c) -52 = 25(d) 9 – 12 = 3

TRADUCCIÓN DE ENUNCIADOS ABIERTOS DE LA FORMA VERBAL A LA SIMBÓLICA Y VICEVERSA

Podemos decir que en matemática se trabaja con un idioma equivalente al que tenemos para comunicarnos. El idioma de la matemática es eminentemente simbólico y por lo tanto, tiene suma importancia el hecho de traducir un enunciado de su forma verbal a la simbólica y recíprocamente.

Es recomendable leer detenidamente, verificar y completar las traducciones que a continuación proponemos. Así mismo para su mejor éxito es conveniente realizar muchos otros ejercicios que uno mismo se proponga o con sus compañeros de clase.

Enunciados Abiertos.Forma

simbólicoForma simbólica

3x El triple de un número o tres veces un número.

x2 + 5 El cuadrado de un número, aumentado en cinco.

(x+5)2 El cuadrado de un número aumentado en cinco.

x + (x+2) El producto de dos números pares consecutivos.

(2x)3 El cubo del doble de un número.x+y+z La suma de tres números.

Las tres quintas partes de un número.

4x3 El cuádruplo del cubo de un número.

3x + 4 El triple de un número, aumentado en cuatro.

3(x+4) El triple de un número aumentado en cuatro

Observación:Para el planteo de una ecuación es importante tener en cuenta “La coma” veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Como se observará las dos frases que se acaban de enunciar son semejantes, lo que los diferencia es la “coma” de la primera frase.Ejemplo 2

Como se observará las dos frases que se acaban de enunciar son semejantes, lo que los diferencia es la “coma” de la primera frase.

77


ECUACIONES

Para dar conceptos claros y precisos referentes a Ecuaciones, consideremos los siguientes términos:

IGUALDAD:(=; signo de igualdad), son dos expresiones aritméticas o algebraicas que gozan del mismo valor; por ejemplo:1.- Una docena = 12 unidades2.- 12 + 4 = 18 – 23.- 4x = 24

IDENTIDAD:(≡ signo de identidad), es una igualdad por si misma evidente; por ejemplo:1.- 4 ≡ 42.- 6x ≡ 6x3.- z + 9 ≡ z + 9

ECUACIÓN:Es igualdad de expresiones de las cuales una encierra cantidades desconocidas (incógnita) a las cuales corresponden unos valores condicionales pero determinados. Por ejemplo: 5x = 20

Nota: Las cantidades desconocidas están expresadas por medio de letras, generalmente las ultimas del alfabeto como son la x, y, z, etc.

En la ecuación: 5x = 20, el valor de x es 4; porque 5 veces 4 da 20.

Osea:

Verificación:

RAÍZ Y CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

- Si en la ecuación: ; a la variable “x” le damos el valor de 4. Obtenemos la proposición verdadera, veamos: 2 • 4 + 5 = 13. En este caso se dice que 4 es la raíz o solución de la ecuación: 2x + 5 = 13, y el conjunto {4} es el conjunto solución de la ecuación.

- Si en la ecuación: x2 + 3x = 18, a la variable “x” le damos los valores de 3 y -6, obtenemos la proposición verdadera, veamos:(3)2 + 3(3) = 18

(-6)2 + 3 (-6) = 18

En este caso se dice que 3 y -6 son las raíces o soluciones de la ecuación: x2 + 3x = 18 y el conjunto {3, -6} es el conjuntó solución de la ecuación.

SOLUCIÓN O RAÍZ DE UNA ECUACIÓNEs el número que al reemplazar a la variable de la ecuación la transforma en una proposición verdadera.

CONJUNTO SOLUCIÓNEl conjunto solución de una ecuación de primer grado con una variable, es el conjunto que tiene como Único elemento a la raíz de la ecuación.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

- PROBLEMA: Problema es la investigación de términos desconocidos por medio de los conocidos.

- RESOLVER UN PROBLEMA: Quiere decir: Hallar el valor de la incógnita, hallar una igualdad la cual, desarrollada, satisfaga al valor de la incógnita.Y así toda clase de ecuación es una expresión más sencilla de un problema dado: por ejemplo la siguiente ecuación: 2x + 3 = 11, puede ser expresión algebraica de este problema: ¿Cuál es el número cuyo duplo, aumentado en tres sea igual a once?- El número desconocido es “x”- Cuyo duplo es: 2x- Aumentando en 3, osea: 2x + 3- Es igual a once; osea: 2x + 3 = 11

Resolviendo la ecuación:2x + 3 = 11, se tiene: 2x = 11 – 3

78


PLANTEO DE UN PROBLEMA

Por plantear un problema se entiende acomodar lodos sus términos conocidos y desconocidos, con respecto a la incógnita, de tal suerte que se oblonga una ecuación, expresando fielmente el sentido del problema dado.

NORMAS PARA EL PLANTEO DE UN PROBLEMA

Aunque no hay reglas fijas para el planteo de problemas, de donde vienen las dificultades para resolver, éstas se superan y vencen únicamente con la constante práctica de múltiples y variados problemas (Ejercicios). Con todo esto se pueden seguir estas normas generales:a) Saber determinar bien. Cuál es la

cantidad que se ha de considerar como incógnita del problema

b) Relacionar con precisión estas cantidades entre si, con respecto a la incógnita.

c) Igualar las expresiones equivalente, resolviendo la ecuación obtenida

Ejemplo:

¿Cuál es el número cuyos ; aumentado en 2

es igual a sus , disminuido en 2?

Raciocinio: El número buscado es “x”

- cuyo es: x

- aumentando en 2 es: x + 2

- es igual …… : =

- a los del mismo número: x

- disminuido en 2 es: x – 2

PLANTEO: x + 2 = x – 2, transponiendo

términos.

El número buscado es 24

Recuerde que:

CLASES DE PROBLEMAS: Considerando los valores que corresponden a las raíces de los problemas, estos pueden ser:a) Determinados: cuando tienen un número

limitado de soluciones.b) Indeterminados: cuando tiene un número

ilimitado de soluciones.c) Absurdo: cuando la solución no satisface al

problema o es imposible su valor hallado.

Veamos ahora algunos ejemplos de problemas:a) Problemas determinados: Un padre tiene

37 años y su hijo 7 años ¿Dentro de cuantos años la edad del padre será el cuádruplo de la edad de su hijo?

Raciocinio:- La edad del padre es 37 años.- La edad del hijo 7 años.Dentro de cuantos años; osea “x” años para ambos.Luego: - La edad del padre será: 37 + x- La edad del hijo 7 será: 7 + xDel enunciado: La edad del padre (37 + x) será el cuádruplo del hijo: 4(7 + x)

PLANTEO:

Dentro de 3 años la edad del padre será el cuádruplo de la edad del hijo, osea:

79


b) Problemas Indeterminados: Halla un número cuyo tercio, sumado con los dos quintos del mismo número resulte once quinceavos del mismo número.

Raciocinio:- El número buscado es “x”

- cuyo tercio es: x

- sumando con los del número es: x

- Resulte igual a del número que es:

x

PLANTEO:

,damos común

denominador en el primer miembro.

, simplificamos los

denominadores de ambos miembros., igualamos a cero la

ecuación.

Nota: Lo hallado no determina ningún valor concreto, más bien indica que cualquier valor puede satisfacer al problema propuesto.

c) Problemas Absurdos o Imposible: Se ha repartido caramelos entre cierto número de niños. Dando a cada uno cuatro caramelos, sobrarían dos, pero dando a cada uno 6 caramelos faltarían 3. Hallar el número de niños.

Raciocinio: Hay “x” niños- Dando 4 caramelos a cada uno, tenemos

que: 4x = 4x, en este caso sobran 2, o sea (4x + 2) caramelos.

- Y dando 6 caramelos a cada uno tenemos que 6x = 4x, en este caso faltarían 3, osea (6x – 3) caramelos.

PLANTEO:

Recuerde que:

Igualando: 4x + 2 = 6x – 3 Trasponemos términos:

Este resultado es absurdo en si y no

satisface al sentido del problema porque el número de niños debe ser un número que exprese entero positivo.

El valor hallado; satisface

plenamente la ecuación pero de ninguna manera al problema propuesto.

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA

INCÓGNITA

Problema 1Si se suma a 19, la cuarta parte de un número, la suma es 5 veces dicho número. El número es:a) 3 b) 5 c) 4d) 6 e) 7

ResoluciónSea: x = número pedido

Del enunciado: Si se suma a 19, la cuarta parte de un número, la suma es 5 veces dicho número.

PLANTEO:

; resolviendo la ecuación, se tiene:

; simplificamos 19, en ambos miembros.

80


Problema 2Dos cajas rectangulares tienen el mismo volumen. Las dimensiones de una caja son: 4, 6 y “x”. Las dimensiones de la otra son: 8, 6 y “x – 3”. El valor de “x” es igual a:a) 4 b) 3 c) 6d) 8 e) 10

ResoluciónEl volumen de una caja es igual al producto de las tres dimensiones: largo x ancho x altura.- Volumen de la 1ra caja = - Volumen de la 2da caja =

como los dos volúmenes son iguales.

Recuerde que:

Volumen de la Caja = Largo x Ancho x AlturaSi se suma a 19, la cuarta parte de un número, la suma es 5 veces dicho número.

; transponemos términos

Problema 3Un electricista debe colocar 24 focos en la casa de Manuel, ganando 2 soles por cada foco que coloque, pero debe pagar 6 soles por cada foco que rompa, concluido el trabajo se le pago 16 soles. ¿Cuántos focos rompió?a) 2 b) 6 c) 8d) 4 e) 20

ResoluciónSea: focos rotos = x; focos colocados = 24 – x- Por los focos colocados gano: S/. 2(24 – x)- Por los focos colocados rotos pagó: S/. 6x

Luego:

; transponemos términos

Problema 4Si Luis diese 15 soles a Andrés. Éste tendría el triple de lo que le quedaría a Luis, si juntos tienen 280 soles. ¿Cuántos tenia Andrés?a) 85 b) 105 c) 175d) 195 e) 165

ResoluciónSea:

Del enunciado: Si Luis diese 15 soles a Andrés, éste tendría el triple de lo que el quedaría a Luis.- De la ecuación (I), despejamos “x”

Reemplazamos (III) en (II):

Otra forma:Sea: de soles que tiene Luis.

de soles que tiene Andrés.Del enunciado: Si Luis diese 15 soles a Andrés, éste tendría el triple de lo que le quedaría a Luis.

Luis:

Andrés:

Luego hallamos el dinero que tiene Andrés:81


Problema 5Hace 5 años la edad de Violeta era 7 veces la de su hijo; ahora su edad no es más que el cuádruplo. ¿Qué edad tiene Violeta?a) 30 años b) 40 años c) 20 añosd) 24 años e) 32 años

Resolución

Del enunciado, planteamos la ecuación

Problema 6Después de adquirir 12 cortes de casimir del mismo precio me sobran 80 soles y para comprar dos cortes más me faltarían 20 soles. ¿De qué suma disponía?a) 650 soles b) 670 soles c) 640 solesd) 680 soles e) 860 soles

ResoluciónSea: x = precio de corte de casimir

Del enunciado:Después de adquirir 12 cortes de casimir del mismo precio me sobran 80 soles.- Dinero que disponía Y para comprar dos cortes más me faltarían 20 soles.- Dinero que disponía

Igualamos las expresiones (I) y (II) formando la siguiente ecuación:

Luego reemplazamos el valor de x = 50, en (I)Dinero que disponía

Problema 7La diferencia de dos números es 32 y el mayor excede a la diferencia en 57. ¿Cuál es el mayor de dichos números?a) 57 b) 98 c) 89d) 75 e) 86

ResoluciónSean los dos números:x = número mayor ; y = número menor

Del enunciado:- La diferencia de dos números es 32:

- El mayor excede a la diferencia en 57:

De (II): Reemplazamos el valor de y = 57, en (I):

82


TALLER DE PROBLEMAS

Problema 1Por un par de zapatillas y un par de zapatos he pagado S/. 148. Si el precio de las zapatillas era S/. 16 menos. ¿Cuánto costaron?Resolución:

Rpta. S/. 66

Problema 2Un alumno gasta la mitad de su dinero en pasajes y la sexta parte en comida. ¿Cuánto tenía inicialmente si al final se quedó con 10 soles?Resolución:

Rpta. S/. 30

Problema 3Si la suma de tres números impares consecutivos es 93. ¿Cuál es el menor de ellos?

Resolución:

Rpta. 29

Problema 4En una canasta hay 40 naranjas y en otra 140 naranjas. ¿Cuántas naranjas se debe pasar de la segunda canasta a la primera para que en la primera canasta haya la mitad de la segunda?Resolución:

Rpta. 20

Problema 5Si en una caja hay 40 dados entre azules, blancos y rojos; los rojos corresponden a la mitad de los azules y éstos a los 2/5 de los blancos. ¿Cuántos dados blancos hay?Resolución:

83


Rpta. 25

Problema 6Un automóvil cuesta tanto como 40 bicicletas. Si 3 automóviles y 100 bicicletas cuestan S/. 22000 ¿Cuánto cuestan cada bicicleta?Resolución:

Rpta. S/. 100

Problema 7Dentro de 12 años Nataly tendrá 5 veces la edad que tenia hace 8 años. ¿Cuántos años faltan para que cumpla sus 15 años?Resolución:

Edad hace 8 años

Edad actual

Edad dentro de 12 años

NatalyRpta. 2 años

Problema 8Manuel tiene 47 y Sara 32 años. ¿Cuánto tiempo hace que la edad de Manuel fue el cuádruplo de la de Sara?Resolución:

Edad hace “n” años

Edades actuales

ManuelSara

Rpta. 27 años

Problema 9Descompón el número 133 en dos partes tales que, la dividir la parte mayor por el menor nos de 4 de cociente y 8 de resto. (Dar como respuesta la parte mayor)Resolución:Rpta. 108

Problema 10La razón de dos números es ¾. Si se suman 10 unidades a cada uno de ellos es 11/14. ¿Cuál es el menor de dichos números?Resolución:Rpta. 445

Problema 11Hallar dos números enteros consecutivos tales que la diferencia entre la tercera parte del mayor y la séptima parte del menor sea igual a la quinta parte del menor. (Dar como respuesta el mayor de dichos números).Resolución:Rpta. 36

Problema 12Juan y Pedro son mellizos, Julio tiene 2 años más que ellos y las edades de los tres suman, 35 años. ¿Qué edad tiene Julio?Resolución:Rpta. 13 años

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE PLANTEO DE ECUACIONES

84


Problema 1Determinar dos números de modo que su suma sea 20 y su producto sea el triple del cuadrado del menor. (Dar como respuesta la diferencia entre dichos números)a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

Problema 2En este momento las edades de tres hermanos, de mayor a menor, suman 30 años. Sabiendo que se diferencian en 2 años entre si. ¿Qué edad tiene el mayor?a) 8 años b) 10 años c) 12 añosd) 14 años e) 16 años

Problema 3Las edades de Pedro, Juan y Diego suman 93, la edad de Juan es 5/6 la edad de Pedro y la de Diego es el cuádruplo de la edad de Juan. Determinar la edad de Pedro.a) 40 años b) 60 años c) 15 añosd) 18 años e) 24 años

Problema 4Hace 5 años la edad de una joven madre era el cuádruplo de la edad de su hijo. Dentro de 5 años será el doble. Calcular la edad actual del hijo.a) 25 años b) 10 años c) 15 añosd) 18 años e) 20 años

Problema 5Dos cajas rectangulares tienen el mismo volumen. Las dimensiones de una caja son: 12, 16 y “x”. Las dimensiones de la otra son: 16, 20 y “x – 2”, el valor “x” es igual a:a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8

Problema 6 Después de adquirir 9 libros de razonamiento matemático del mismo precio me sobran 60 soles y para comprar 3 libros más me faltarían 15 soles. ¿De qué suma disponía?a) 275 soles b) 258 soles c) 528 solesd) 285 soles e) 385 soles

Problema 7El producto de dos números es 108. Si la suma de dichos números excede a su diferencia ten 24. Hallar el residuo que resulta de dividir dichos números.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

Problema 8Si de un número se resta 10, el resultado es igual a los 3/4 del número. ¿Cuál es el número?

a) 30 b) 40 c) 50d) 60 e) 80

Problema 9Luis tiene 4 años más que María y además, la mitad de la edad de Arturo. Si la suma de las tres edades es 56 años. ¿Cuál es la edad de María?

a) 15 años b) 11 años c) 20 añosd) 30 años e) 13 años

Problema 10Se ha vendido la quinta parte, la tercera parte y la cuarta parte de una pieza de tela. Quedando aún 26 metros. ¿Cuántos metros se han vendido?

a) 96 b) 49 c) 94d) 120 e) 70

Problema 11La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el cuádruplo de las cifras de las unidades. Si se invierte el orden de las cifras se tiene B un número que tiene 54 unidades menos que el número primitivo. Calcular la suma de las cifras de dicho número

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

Problema 12Por cada problema bien resuelto, un alumno recibe 4 soles y por cada equivocado él devuelve 3 soles. Después de haber hecho 10 problemas, el alumno cuenta con 19 soles. ¿Cuántos problemas ha resuelto bien?a) 3 b) 5 c) 7d) 6 e) 4Problema 13El número de cuadernos que tengo es el doble del de los libros; si compro 7 cuadernos y 1 libro más, tendré el triple de cuadernos que libros. ¿Cuántos libros tengo?a) 8 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

Problema 14 Qué número hay que restarle a los dos términos de la fracción 3/9 para que el valor de ella sea ½.

85


a) 3 b) 2 c) -3d) -4 e) 6

Problema 15Qué número hay que restarle al numerador de la fracción 7/15 para que su valor sea 1/3 a) 3 b) 2 c) -2 d) 4 e) -5

86


Todos los números que usamos para contar, forman “el conjunto de los números naturales” y se denota:

Si le agregamos el 0 (cero), se convierte en:

Si a, b, c son números naturales, efectuamos las operaciones:

Adición y su inversa la sustracción

Multiplicación y su inversa la división

Con los números naturales: D (dividendo), d (divisor), c (cociente) y r (residuo), escribimos:

. Así:

La multiplicación, donde todos los factores son iguales se llama potenciación.Así, , escribimos

Análogamente:

En las operaciones combinadas, de izquierda a derecha, el orden operativo es: potencias; divisiones, multiplicaciones, sumas y restas.

Si en el ejercicio figuran signos de agrupación, como: ( ) paréntesis, [ ] corchetes o { } llaves, las operaciones encerradas deben efectuarse primero en el orden indicado. Así:

Ejemplos

1. Hallar el valor de A + 3 en:

SoluciónEn las unidades: , llevo 1.

En las decenas: , llevo 1.

En las centenas:

Luego:

El valor de A + 3 es 6 (R).

2. Hallar el valor de 2M en la siguiente operación:

SoluciónPor el primer paso del proceso de la división, tenemos:

De donde:

Luego: El valor de 2M es 4 (R).

3. Hallar si,

SoluciónSiguiendo el proceso de multiplicación, tenemos:

a) , escribo 0 y llevo 4.b) , si ; llevo 2.c)

De donde

87


Ahora bien, si y , entonces:

(R).

Completa

1. Halla el valor de A+7, en:

Solución

14 – 9 = A = …………………….El valor de A+7 es …………………….

2. Si:

Halla

Solución………….. (único resultado)

O sea: = ………………………...Además:

, o sea: …………………Luego:

………………………. = ………………………El valor de es …………………….

3. Halla el valor de A – 4, si

Solución

8 x A = …………………….A = …………………….

Luego, A – 4 = ……………………El valor de A – 4 es …………………….

4. Hallar A + B, si:

Solución1 x A = ………. A = …………..B x A = B x ……. = ………….….. = ………………………..……...B = …………………..…………...Luego: A + B = ………………….El valor de A + B es …………….

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO

1. El valor de A en: , es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. El valor de N en: , es:

a) 6 b) 5 c) 4d) 3 e) 2

3. Si , el valor de K + 1 es:

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

4. ¿Cuál es el valor de 3a, si: ?

a) 4 b) 6 c) 9d) 15 e) 12

5. El valor de 2K – 10, si: es:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

88


6. ¿Cuál es el valor de E?

a) 3 b) 6 c) 5d) 4 e) 7

7. El valor de C – 1 en: es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. ¿Cuál es el valor de K : 3, si: ?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

9. El valor de en:

es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 8 e) 6

10. El valor de en: , es:

a) 6 b) 4 c) 5d) 3 e) 7

11. Si , el valor de N – M – P , es:

a) 2 b) 8 c) 0d) 5 e) 6

12. Si , el valor A+B+C es:

a) 13 b) 12 c) 17d) 18 e) 15

Ejemplos

1. Hallar el valor de A + B + C en:24 35 5942 36 A 66 B C

SoluciónEn las filas: En las columnas:

Luego:A + B + C = 78 + 71 + 137= 286 (R.)

2. ¿Cuál es el valor de M?3 4 1 121 2 3 a2 b 3 c 6 40 d M

SoluciónFilas: Columnas:

Luego: M = 2160 (R.)

89


COMPLETA

1. Hallar el valor de A+B+C+K en:36 27 918 A B C 12 K


Luego:A + B + C + K = …………………..= …………………..

El valor de A+B+C+K es:

2. Hallar el valor de B – 2 en:48 24 2m 6 n 8 p b


Luego:B – 2 es ……………………

3. Hallar el valor de M + 3 en:108 9

3 6

3 M


Luego M + 3 = ……………………….= ……………………….El valor de M + 3 es ……………………


1. Hallar el valor de B en:76 23 9944 37

120 B

a) 180 b) 160 c) 130d) 190 e) 170

2. ¿Cuál es el valor de M?29 1513 7

16 M

a) 7 b) 9 c) 5d) 8 e) 6

3. Hallar el valor de A en:6 4 245

32 A

a) 962 b) 970 c) 958d) 960 e) 604

4. Hallar el valor de E en:

24 6 12 2 2

E

a) 4 b) 8 c) 5d) 2 e) 3

90


5. Halla 2K si:30 6 510 2

K

a) 0 b) 1 c) 4d) 3 e) 2

6. ¿Cuál es el valor de A+7?49 15 6434

38 A

a) 121 b) 311 c) 124d) 128 e) 138

7. El valor de (M + N) – (P + R)125 M 7585 48 N P 2 R

a) 10 b) 8 c) 9d) 15 e) 11

8. Halla E + F + GE 3 215 F 10

35 6 G

a) 219 b) 291 c) 192d) 129 e) 316

9. ¿Cuál es el valor de A – (B+C)?36 A 418 9 C B 1 2

a) 12 b) 18 c) 3d) 8 e) 5

10. El valor de M es:2 1 3 64 0 5 5 20

40 M

a) 4 b) 3 c) 0d) 1 e) 5

EJEMPLOS

1. Hallar los números que faltan en:

28 6

3

Solución Observamos que el número que está en el casillero superior es la diferencia de los dos inferiores sobre los cuales descansa, o sea:8 – 6 = 2En forma semejante, obtenemos:

Luego:Los números que faltan son 9 y 17 (R)

2. ¿Cuál es el valor de A + B?

4B 2

A 12 6

Solución Observamos que:12: 6 = 2, entonces es la división que interviene en este ejercicio. Así:

91


De donde:

Luego:El valor de A + B es 104 (R.)

Ejercicios

1. Hallar los números que faltan en:

2212

3 9

Solución Observo que: 3 + 9 =12; o sea, la operación que interviene es la ………………Luego:

…………………………

…………………………

Luego:Los números que faltan son ……………………………………………………….

2. Hallar A + B en:

186 3

A 3 B

Solución Observo: 6 x 3 = ………………La operación que interviene es la ………………Luego:

De donde:A + B = …………………..Luego, el valor de A + B es ……………….

3. Hallar M x N – R:

411 M

21 N 3R 27 17 14

Solución Operación que interviene:17 – 14 = ………….Luego:

…………………………..De donde: M x N – R = ………..El valor de M x N – R es ………


Halla los números que deben ir en los casilleros en blanco:

1.12

52 3

a) 4 y 3 b) 4 y 8 c) 7 y 2d) 4 y 7 e) 4 y 4

2.

3 26 4

a) 9 y 1 b) 3 y 3 c) 5 y 1d) 9 y 3 e) 3 y 1

3.84

147 2

a) 3 y 2 b) 3 y 4 c) 3 y 1d) 3 y 6 e) 3 y 5

92


4.

6 224 4

a) 24 y 3 b) 2 y 3 c) 3 y 4d) 3 y 3 e) 8 y 3

5.

03

8 2

a) 15 y 3 b) 5 y 3 c) 5 y 2d) 3 y 4 e) 6 y 3

6. El valor de B – A es:

50B 10

A 5 2

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

7. M : N es:

M8 28

N 4 7

a) 112 b) 422 c) 242d) 224 e) 212

8. ¿Cuál es el valor de A – B – C?

26A 15

5 6 93 C B 5

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 11

9. Calcular (A+B) x C

A9 1

C 2 272 4 B 1

a) 180 b) 126 c) 144d) 54 e) 198

10. El valor de 2A + B – 8C es:

750A 50

3 5 B3 1 C 2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

EJEMPLOS

1. Hallar:

Solución:

Efectuamos:

El valor de A es 41 (R.)

2. Si: y , hallar A + B

Solución:

Luego:A + B = 24 + 10 = 34El valor de A + B es 34 (R.)

93


3. Hallar A + B en:

Solución:Siguiendo el sentido de las flechas:33 + 1 7 = 50 = AA – 30 = 50 – 30 = 20 = BDe donde:A + B = 50 + 20 = 70

El valor de A + B es 70 (R.)

4. Hallar P – Q:

Solución:65 – 38 = 27 = QQ x 3 = 27 x 3 = 81 = PO también:65 + 16 = 81 = PLuego:P – Q = 81 – 27 = 54

El valor de P – Q es 54 (R.)

Completa

1. Halla el valor de K, si:

SoluciónSiguiendo el orden de las operaciones:

= …………………………..= …………………………..= …………………………..Luego el valor de K es …..

2. Si M = (220 – 80) : (4 x 5), ¿Cuál es el valor de 2M – 5?

Solución

= …………………………..= …………………………..De donde:2M – 5 = 2 x ….. – 5 = …………………………..El valor de 2M – 5 es …..

3. Si R = (220 – 100) : (50 + 50), ¿Cuál es el valor de R:10?

Solución

= …………………………..= …………………………..= …………………………..Luego:R:10 = …………………………..= …………………………..El valor de R:10 es …..

4. Si y , halla el valor de A x B

Solución

= 3 + …………………..= …………………………..

= …………………………..= …………………………..

Luego:A x B = …………………………..= …………………………..El valor de A x B es …..

5. Hallar el valor de M – N + R, en:

SoluciónSiguiendo el sentido de las flechas:11 x 9 = …………………….M : 3 = …………………..R + 7 = ……………………..

Luego:M – N + R = …………………………..= …………………………..El valor de M – N + R es …..

94


6. ¿Cuál es el valor de R + T – V?

SoluciónSiguiendo el sentido de las flechas:18 + 15 = ……………………..R – 5 = T ……………………..……… = ……………………..……… = ……………………..T – 9 = V……… = ……………………..……… = ……………………..Luego: R + T – V = …………………………..……… = ……………………..El valor de R + T – V es …..


1. El resultado de, A = 8 +10 : 2 – 13, es:

a) 0 b) 3 c) 1d) 4 e) 2

2. Si B = 25 – 10 x 2 + 42 : 6, el valor de B + 1 es:

a) 10 b) 13 c) 12d) 14 e) 11

3. Si , el valor de 2E es:

a) 19 b) 18 c) 36d) 39 e) 38

4. Si , el valor de P – 100 es:

a) 40 b) 200 c) 100d) 1900 e) 2000

5. ¿Cuál es el valor de 3A, si ?

a) 10 b) 40 c) 20d) 50 e) 30

6. Si y , ¿Cuál es el valor de 2B – A?

a) 18 b) 13 c) 3d) 5 e) 4

7. Si y , el valor de A – B es:

a) 36 b) 51 c) 15d) 21 e) 20

8. Si , el valor de K2 es:

a) 30 b) 60 c) 90d) 400 e) 900

9. Si , el valor de L3 es:

a) 18 b) 36 c) 12d) 216 e) 729

10. Si y , el valor de M x N es:

a) 0 b) 1 c) 2d) 64 e) 25

11. ¿Cuál es el valor de A + B – C + D?

a) 37 b) 39 c) 33d) 38 e) 34

95


12. El valor de A : (B – 4C), es:

a) 8 b) 15 c) 12d) 6 e) 16

13. El valor de P5, es:

a) 16 b) 64 c) 32d) 8 e) 10

14. El valor de M – (N – P) + 32, es:

a) 23 b) 41 c) 5d) 32 e) 14

EJEMPLOS

1. ¿Qué signos de operación deben escribirse en los cuadritos en blanco, para que la expresión: sea verdadera?

Solución

Si escribimos los signos + y x, obtenemos:

Falso

Si escribimos los signos x y +, obtenemos:

Verdadero

Luego, los signos son x y + en ese orden (R.)

2. ¿Qué números debe escribirse en los cuadritos en blanco, para que la expresión:

sea verdadera?

Solución

El número buscado debe ser divisor de 20, o sea: 1, 2, 4, 5, 10 ó 20.Probemos con 10:

Es falso.

Probemos con 5:

Es verdadero.

Luego, el número que debe escribirse es 5 (R.)

Completa

1. ¿Qué signos de operación deben escribirse en los cuadritos en blanco, para que la expresión: sea verdadera?

SoluciónLa operación que da el resultado 20 es la …………………………..Luego:El signo que debe escribirse en el cuadrito en blanco es: ……………………..

2. ¿Qué número debe escribirse en los cuadritos en blanco, para que la expresión:

sea verdadera?

SoluciónProbemos con los signos: - y +

96


Probemos con:………………………………………..…………………………..…………………………..…………………………..Luego, los signos son: ……………………..…………………………..

3. ¿Qué número debe escribirse en los cuadritos en blanco, para que la expresión:

sea verdadera?

SoluciónTenemos:

Probemos con …………:

…………………………Luego, el número son: ………..

4.

SoluciónProbemos con 5:

……………………………………………………

Probemos con …………:………………………………………………………………………………Luego, el número es: ………..

Ejercicios de Reforzamiento

¿Qué signos de operación deben escribirse en los cuadritos en blanco, para que la expresión dada sea verdadera?

1.

a) + b) - c) :d) x e) []

2.

a) x, + b) x, : c) +, - d) +, : e) +,x

3.

a) +, x b) x, - c) -, xd) -, : e) -,+

4.

a) x, - b) -, x c) x, +d) +, - e) x, :

5.

a) x, + b) +, x c) +, - d) x, : e) +, :

¿Qué número debe escribirse en los cuadritos en blanco, para que la expresión dada sea verdadera?

6.

a) 10 b) 18 c) 9d) 45 e) 2

7.

a) 4 b) 5 c) 10d) 2 e) 1

8.

a) 6 b) 7 c) 5d) 8 e) 4

9.

a) 4;2 b) 2;3 c) 3;4d) 2;4 e) 4;3

10.

a) 8;19 b) 6;19 c) 8;18d) 7;19 e) 7;18

97

r.m. 5º prim

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